Upload
phunghanh
View
291
Download
8
Embed Size (px)
Citation preview
VEKTORMata Kuliah : Calculus (MF113)
Oleh : Hanung N. PrasetyoOleh : Hanung N. Prasetyo
Information System Department
TELKOM Polytechnic
Bandung
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 2
1. Vektor di Ruang 2
� Besaran Skalar dan Besaran Vektor� Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai)
� Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
� Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah
Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet,
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 3
� Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik
� Notasi Vektor
� Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu.
� Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic).
� Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB
� Notasi u dibaca “vektor u”
Penyajian Vektor
� Vektor sbg pasangan bilangan
� u = (a,b)
� a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
� Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j
=b
au
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 4
� Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j
� u = ai + bj
� Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
22|u| ba +=
Kesamaan Vektor
� Dua buah vektor dikatakan sama besar bila
besar dan arahnya sama.
� Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
� Jika u = v, maka
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 5
� |u| = |v|
� arah u = arah v
� a=c dan b=d
a b
Dua vektor sama,
a = b
a b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 6
a b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
a
b
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
Penjumlahan Vektor
� Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan
aturan jajaran genjang
vu w = u + v
w = u + v
u
v
=u
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 7
aturan jajaran genjang
� Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
=u
+
+=
+
=+
=
=
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
Elemen Identitas
� Vektor nol ditulis 0
� Vektor nol disebut elemen identitas
� u + 0 = 0 + u = u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 8
� Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
maka –u adalah invers aditif u yang
didefinisikan sebagai vektor yang memiliki
besar sama tetapi arah berlawanan.
� u – u = u + (-u) = 0
Pengurangan Vektor
� Selisih dua vektor u
dan v ditulis u – v
didefinisikan u + (-v)
� Dalam bentuk
pasangan bilangan
vu
u
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 9
pasangan bilanganw = u - v -v
−
−=
−
=−
=
=
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
Perkalian Vektor dengan Skalar
� mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali
panjang vektor u dan
searah dengan u jika
m > 0, dan berlawanan
u
2u
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 10
m > 0, dan berlawanan
arah jika m < 0.
{ }
=
=
∈
=
mb
ma
b
ammumaka
realbilanganmdanb
auJika
:
,
Sifat-Sifat Operasi Vektor
� Komutatif � a + b = b + a
� Asosiatif � (a+b)+c = a+(b+c)
� Elemen identitas terhadap penjumlahan
� Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 11
� Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor
� Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
� 1u = u
� 0u = 0, m0 = 0.
� Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)
� (mn)u = m(nu)
� |mu| = |m||u|
� (-mu) = - (mu) = m (-u)
Distributif : (m+n)u = mu + nu
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 12
� Distributif : (m+n)u = mu + nu
� Distributif : m(u+v) = mu + mv
� u+(-1)u = u + (-u) = 0
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
d
cvdan
b
auJika
nPenguranga
=
=
d
cvdan
b
auJika
nPenjumlaha
=
=
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 13
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
−+−=−
−
−=
−
=−
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
+++=+
+
+=
+
=+
Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
θcos||||2|||||| 22 vuvuvu ++=+u + v
u
v
θ
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 14
θcos||||2|||||| 22 vuvuvu −+=−u
vu-v
θ
Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
npenjumlaha hasilr arah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
βββααvuvu
=−
=+
u + v
u
v
α β
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 15
u
vu-v
αnpenguranga hasilr arah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
ββαβαvuvu
=−
=−
β
Vektor Posisi
� OA = a dan OB = b
adalah vektor posisi.
� AB = AO + OB
� = OB – OA
Y
A
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 16
� = b – a
X0
A
B
b
a
Dot Product (Inner Product)
� Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.
γcos|||| baba =•
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 17
� Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :
332211 ccbababa ++=•� a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
� a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
� a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
Vektor Ortogonal
� Teorema
� Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling
tegak lurus
� Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 18
� Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,
dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
� Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
� Untuk vektor bukan-nol
� a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 � γ = 90o = π/2
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product
� Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
bbaa
ba
ba
ba
••
•=
•=
||||cosγ
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 19
bbaaba ••||||
Contoh Perkalian Dot Product
� a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]
� Hitung sudut antara dua vektor tsb
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 20
Applications of Vector ProductMoment of a force� Find moment of force P
about the center of the wheel.
|P|=1000 lb
30o
1,5 ft
]0,500,866[
]0,30sin1000,30cos1000[
=−=
=
°°=P
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 21
]1299,0,0[500866
5.1000
0500866
05.10
)5,1titikpadarodapusat(]0,5.1,0[
−=++==×=
=−=
kji
kji
prm
yr
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
Scalar Triple Product
,,vac)(b a
] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a
sebagaiandidefinisk)(ditulis
],,[],,,[,],,[
vektor tigadariproduct tripleScalar
211332
332211
321
321321321
bba
bba
bba
vavava
cba
ccccbbbbaaaa
+
−−=
=•=ו
==×ו=
===
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 22
shg pertama, brsmnrt 3 orde determinan ekspansimrpk Ini
21
21
3
13
13
2
32
32
1cc
bba
cc
bba
cc
bba +
−−=
321
321
321
c)(b ac)b(a
ccc
bbb
bbb
=ו=
Scalar Triple ProductGeometric representation
� a,b,c vektor
� β sudut antara (bxc)
dan a
� h tinggi parallelogramc
b x c
a
β h
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 23
b
||luasmempunyaicdan b sisi dgalasgenjangjajaran
cos||
cos|||||)(|
)(
cbarea
hheighta
cbacba
cbaBesar
×
=
×=ו
ו
ββ
Referensi
� Advanced Engineering Mathematic, chapter 8
� Aljabar Linier Elementer, Howard Anton
� Fisika Mekanika Jilid 1, Faraday
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom 24