19
HOOFDSTUK 6 WARMTETRANSPORT FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.1

Warmteleer H6 Donker

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Warmteleer H6 Donker

HOOFDSTUK 6 WARMTETRANSPORT

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.1

Page 2: Warmteleer H6 Donker

Fig. 6.1 Warmtetransport

F

6.1 Inleiding Warmtetransport (warmte overdracht) blijkt in de techniek en in natuurlijkeprocessen een belangrijke rol te spelen. In de techniek is het vaak nodig om hetwarmte transport te bevorderen (bv. afvoeren van afval warmte, verwarmen of afkoelen van stoffen, toevoeren van reactie warmte bij chemische processen etc.), inandere gevallen is het belemmeren van dit transport gewenst (bv. warmte isolatievan koelhuizen en ovens etc.). Warmtetransport kan op verschillende manieren plaats vinden: • geleiding: binnen een systeem vindt er energieoverdracht plaats door deeltjes

met hogere temperatuur aan deeltjes met lagere temperatuur. Deze vorm vanwarmte overdracht vindt plaats binnen vaste stoffen, stilstaande vloeistoffen en gassen.

• : warmconvectie tetransport door een stromende medium (gas of vloeistof). • straling: warmte wordt getransporteerd door middel van elektromagnetische

straling. Deze vorm van warmte overdracht zou ook plaatsvinden in vacuüm, dus zonder medium

F ektromagnetische straling van de zon ig. 6.2 Het spectrum van de el

an warmtetransport dat zowel in de techniek (warmtepomp, koel-machine) als in de natuur (transpiratie) vrij veel voorkomt is: • een vloeistof op de ene plaats

d p

Een vorm v

verdampen en condenseren : proces waarbij ver am t en op een andere plaats weer condenseert. Bij het verdampen neemtde vloeis ingswarmte) en bij het condenseren wordtof warmte op (verdamp tdeze warmte weer afgestaan (condensatie warmte).

de warmte die per tijdseenheid wordt getransporteerd, dus:

Bij het bestuderen van warmtetransport zal gebruik gemaakt worden van debegrippen warmtestroom Φ en warmtestroomdichtheid ψ. De warmtestroom Φ is

= t

Φ

De w eid, dus:armtestroomdichtheid ψ is de warmtestroom per oppervlakte eenh

= AΦψ [ W/m2 ] (6.2)

V maken tu n stationaire en niet-stat aire pr ssen. Estationair verandert niet in de tijd, er vindt geen opwarming oafkoeling plaats van het lichaam wtemperatuur blijft ant en de warmtestroom die het systeem ve de st m die het systeem ingaat. Niet-stationaire rlaat is even groot als roo

armtetransport is echter wel tijdsafhankelijk.

n

w 6.2 Geleiding Geleiding is het proces waarbij thermische energie van het ene naar het andere deel va een systeem wordt getransporteerd. Indien we een voorwerp aan één uiteindeverwarmen, dan leert de ervaring dat na verloop van tijd het andere uiteinde ook intemperatuur stijgt. Stopt men de warmtetoevoer aan het voorwerp, dan wordt hettemperatuurverschil tussen beide uiteinden steeds kleiner, totdat het voorwerpoveral dezelfde temperatuur heeft aangenomen.De warmtestroom zal zodanig zijn

die in de richting van de lage temperatuur plaatsvindt. chouw nu het eenvoudigste geval van een vlakke wand met evenwijdige zijden,

dat Bes

ig. 6.3 Warmtegeleiding door een metalen

staaf

Q [ W ] (6.1)

erder is onderscheid te sse ion oce en warmtetransport f

aardoor de warmtestroom gaat. Dus de van het lichaam const

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.2

Page 3: Warmteleer H6 Donker

ig. 6.4 Warmtegeleiding door vlakkeand

Fw

Fig. 6.5 In een ijskast, vindt koeling plaats

d.m.v. een koelmiddel dat stroomt door buizen in een aluminiumplaat.

aan beide zijden op verschillende temperatuur wordt gehouden. Warmte-rgang vindt dan pla t

tefiguur 6.4). Tengevolge van het temperatuurverschil ∆T zal er warmte strolinks naar rechts in figuur 6.4. Onder de warmtestroom (of warmteflux) Φg verstaan we in dit verband de energie die per tijdseenheid het oppervlak A passeert. We verwachten van deze warmtestroom, dat deze groter zal zijn bij een kleine dikte∆x van de wand. Experimenteel wordt dit bevestigd: voor kleine ∆x is de

armtestroom omgekeerdw evenredig met ∆x:

x

~g ∆Φ

Evenzo verwachten we een toename van de warmtestroom bij een groter tempera-tuurverschil. Ook dit wordt door het experiment bevestigd. Voor kleine ∆T geldt: T~g

1

∆Φ

Tenslotte bevestigt het experiment de verwachting, dat de warmtestroom Φgevenredig zal zijn met het oppervlak A:

bineren:

x

A~g ∆Φ T∆

tie als een vergelijkingord oor een 1-dimensionaal stationair warmte-

geleidingsproces:

Met behulp van een evenredigheidconstante kan deze relaw en geschreven en we vinden v

T∆

Hierbij is : Φ = warmtestroom [W] A = warmte-doorstroomoppervlak [m2] λ = evenredigheidsconstante die warmtegeleidingcoëfficiënt wordt

genoemd [W/m.K] ∆T = temperatuurverschil = T2 - T1 [K] ∆x = afstand waarover temperatuurverschil ∆T 2 1

arde van λ is afhankelijk van het soort materiaal. In de meeste gevallen is λnog afhankelijk van de temperatuur, maar deze variatie is klein en kan meestal

rwaarloosd worden.

ls de wet van Fourier):

heerst = x - x [m] De wa

ve

Opdracht 6.1 Verklaar waarom in vergelijking 6.3 een min teken voorkomt.

In differentiaalvorm wordt deze vergelijking (staat bekend a

De warmte

Voor de oplossing van een dergelijk sta waardente kennen. De randvoorwaarden kunnen we onderverdelen in: • Randvoorwaarden van de 1 soort: de temperatuur op de oppervlakken is

gegeven. • Randvoorwaarden van de 2

e

Randvoorwaarde van de 3e soort: de warmtestroom door een begrenzen

e soort: de warmtestroom door en oppervlak is gegeven.

• op ervlak is evenredomgeving. Deze randvoorwaarde beschrijft de warmteoverdracht tussen een vaste wand enrandvoorwaarde.

Het systeem werkt mindergoed als de plaat bedekt is doorijs.

die doo ats loodrecht op de wand in één dimensie.Veronderstel he

d p ig met het temperatuurverschil tussen dit oppervlak en de

fluïdum. Men noemt deze voorwaarde ook wel de ‘convectieve’

−d T = A d x

Φ λ (6.4)

stroomdichtheid ψ is dan:

−d T = =

A d xΦψ λ (6.5)

tionair proces is nodig de randvoor

− = A x

Φ λ∆

(6.3)

A~gΦ De hierboven geschetste resultaten laten zich tot een geheel com

mperatuurverschil is ∆T (negatief), de dikte ∆x (positief) en het oppervlak A (zie men van

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.3

Page 4: Warmteleer H6 Donker

Fig. 6.6 Temperatuur verloop bij stationaire

warmtegeleiding door een vlakkewand.

Fig. 6.7 Warmtegele

3 wanden iniding door serie

6.2.1 STATIONAIRE WARMTEGELEIDING DOOR EEN VLAKKE WAND In een stationaire warmtegeleidingproces is Φ constant. In veel technische problemen zal men (zeker in eerste benadering) uitgaan van een stationaire situatie.Men dient echter steeds na te gaan of dit wel verantwoord is. De vergelijking vooreen 1-dimensionaal stationair warmtegeleidingproces is:

Een ééndimension

b

pWe beturen

− −2 1 1 T T T vlakke wand (6.7) − 2T = A = ddA

Φ λ

λ

Deze uitdrukking doet ons denken aan de wet van Ohm: 1 – met het potentiaalverschil ∆V,

m

T T2 komt overeenΦ et de stroomsterkte I en

met de weerstand R.

Daarom w wel de warmteweerstand R = rA

genoemd.

We be len nu de temperpa atuur Tx op een willekeurige plaats x in de wand. Bij een stati aion re situatie is de warmtestroom Φ door alle lagen even groot. Dus::

− T T

Dus:

⇒ −−

x 1x 1 2 1

2 1

x xT T = = + ( )T T T T d dT T (6.9)

Het temperatuur verloop in de wand is dus lineair. We plaatsen nu 3 verschillende vlakke wanden in serie. Bij een stationaire situatie

eis de warmt stroom φ is door alle lagen even groot. Dus:

)TT(A

)TT(A

)TT(A 321 −=−=−=

ddd 433

32211 2

λλλΦ

of te wel:

)(A

)TT()T321

433 λλλ++=−+−

dddT()TT( 321

221Φ

+−

zodat:

)ddd

(TT 3212 Φ ++=− (6.10)

et de elektriciteitsleer kunnen we dus de warmtegeleiding door 3

gesch

=−=dxdTAλΦ constant (6.6)

aal warmtegeleidingproces is een proces dat slechts van 1 plaatscoördinaat afhankelijk is. De vergelijking geldt dus voor vlakke platen, cilinders en

ollen die homogeen (de stof heeft in verschillende punten van het systeem in één bepaalde richting hetzelfde gedrag) en isotroop (de stof heeft in een willekeurig

unt van het systeem in elke richting hetzelfde gedrag) zijn. schouwen een vlakke wand, waarvan de dikte d is en de oppervlakte tempera-respectievelijk T1 en T2 zijn (met T1 > T2). Na integratie van (6.6) volgt:

dA λ

ordt d

A λook

−− − x 12 1 T T = A = A

d xφ λ λ (6.8)

3211 λλλ

In analogie mvlakke wanden in serie beschouwen als een elektrische stroom door 3 in serie

akelde weerstanden.

Opdracht 6.2 Leidt een formule af voor de warmteweerstand van een wand die bestaatuit n lagen.

6.2.2 STATIONAIRE WARMTEGELEIDING DOOR EEN RONDE BUISWAND Een veel voorkomende technische toepassing is de warmtestroom door eengeïsoleerde cilindervormige buiswand. De binnenwand wordt op een constantetemperatuur T1 gehouden en de buitenwand op een constante temperatuur T2. We

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.4

Page 5: Warmteleer H6 Donker

F Warmtegeleiding d ronde buis

ig. 6.8 oor een

ig. 6.9 Stalen pijp F

Fig. 6.10

met binnen iameter 2 r1 en buitendiameter 2 r2. De totale warmtestroom door een heel dunne enkbeeldige) buiswand met straal r, dikte en lengte L wordt gegeven door:

Drie lagen

beschouwen de warmtestroom door een cilindervormige buiswandd(d dr

drdr

Φ

Integratie levert:

1

1 122 21 r

T r LLr λππλ∫ ∫ 22 2 rT rlnTT

drdT ΦΦ

=−⇒=−

Dus:

L

ln rrTT

λπ

Φ

2

21

12

−= cilinder wand (6.11)

Opdracht 6.3 • Laat zien dat de warmteweerstand R van een cilindervormige

buiswand met n verschillende lagen gelijk is aan:

∑==

+n

i i

rr

L

lnR i

i

1 2

1

λπ cilinder wand (6.12)

Opdracht 6.4

• Ga na of het temperatuur verloop in de verschillende wanden lineairis als functie van de straal.

Voorbeeld 6.1 Edikke vuurvaste stenen laag. Deze laag is op zijn beurt geïsoleerd met 60 mm dikke asbest vilt. Door de pijp stroomt stoom, waardoor de binnen oppervlakte temperatuur gelijk is aa

o on

55 C. De buiten oppervlakte temperatuur is 25 C Bereken het warmteverlies pe2engte pijp.

Oplossing Allereerste wat gedaan moet worden is het opzoeken en noteren van dewarmtegeleidingcoëfficiënten van de materialen. Deze bedragen als v

E an af ele

1T rmet RR 2. .∆

Ψ = =πλ

, alleen moet men opletten dat dit geldt als er sprake is van

een homogene cilinder. Dit is hier niet van toepassing, de warmteweerstand zal dusen wel met behulp van:anders bedragen. We kunnen deze als volgt bepalen

∑=n rR i

λπ. Aangezien de cilinder is opgebouwd uit 3 materialen

=i iL

ln

12 is n = 3 en

us:

+ri 1

d432 rrr lnln lnr3

vuurvaststeen asbestR

2. .57 97 157ln ln ln50 57 97

2. .50 2. .0,09 2. .0,1

= +πλ

= + +π π π

1 2r r

2. .+

πλtotstaal2. .π λ

44,17075.10−= m.KW0,94018 0,7663864 1,707+ + =

armtestroom per lengte eenheid: Hierd vinden weoor dan voor de w

Lrdr

dTdTLrdTAπλ

Φπλλ

22 =−⇒−=−=

en stalen pijp met binnendiameter 100 mm en 7 mm wand dikte is geïsoleerd met 40 mm

r eenheidsl

olgt: λstaal = 50 W/(K.m), λvuurvaste steen = 0,09 W/(K.m), λasbest = 0,1 W/(K.m).

r k g id worden dat de warmtestroom per eenheidslengte gelijk is aan: 2rln

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.5

Page 6: Warmteleer H6 Donker

Tabel 6.1 Warm

Materiaal tegeleidingscoëfficiënten

λ (W/m.K) Koper Aluminium Messing IJzer Staal Beton Glas Mica Rubber Hout Water Melk Alcohol Lucht Waterdamp Zwaveldioxide

0,15 0,14 – 0,47

0,60 0,49 0,17

0,024 0,016 0,0084

390 220 120 75 50 1,7 0,93

0,4 - 0,6

Fig. 6.11 Convectie binnen een ijskast. Koude lucht zakt naar beneden.

Fig.6.12 Thermiek door convectieve

beweging van lucht opgewarmd door de grond

Fig. 6.13 Temperatuurverloop bij een

stationair convectief warmte overdracht proces.

Wm

tot

T 255 25 134,74R 1,707∆ −

Ψ = = =

6.2.3 WARMTEGELEIDINGSCOËFFICIËNTEN Warmte geleiding is een proces op moleculaire schaal. Een direct gevolg daarvan isdat de warmtegeleidingscoëfficiënt λ afhankelijk is van de moleculaire structuur van het materiaal en de in het materiaal heersende temperatuur. De grootste warmtegeleidingscoëfficiënten vindt men bij metalen (in de ordegrootte van 102 W/m.K). Dit is een gevolg van het feit dat de vrije electronen voor een intensief transport van inwendige energie zorgen. Hierop berust ook deeigenschap van metalen als goede elektrische geleiders. Bij vaste roostertrillingen getransporteerd, dit tr

stoffen zonder vrije elektronen wordt de thermische energie via

.3 Convectie processen waarbij geleiding warmte naar de begrenzing van het systee

ansport gaat vele malen langzamer. Bij vloei-stoffen en gassen zijn de contacten tussen de moleculen minder en λ is als gevolg daarvan klein (vloeistoffen in de orde van 10-1 en gassen in de orde van 10-2 ). 6In door mwordt gevoerd, zal deze warmte aan de omgeving worden overgedragen. Deze

heel vaak door de omgeving opgenomen d.m.v. convectie. Deze middel van een opgelegde stroming plaatsvinden. Men spreek

warmte wordtconvectie kan door tdan van gedwongen convectie. Bijvoorbeeld: de koeling van een computer m.b.v. een fan en de koeling van een automotor d.m.v. water rondgepompt door waterpomp. Ontstaat de stroming t.g.v. dichtheidsverschillen die het gevolg zijn vantemperatuurverschillen, dan spreekt men van spontane convectie of vrije convectie. Bijvoorbeeld: convectie binnen een ijskast en thermiek die door zweefvliegtuigen worden gebruikt om te stijgen. Volgens Newton is de convectieve warmtestroom evenredig met hettemperatuurverschil tussen de wand en het stromend medium ver van de wand

Φ = α A (Tw - Tm) (6.13) De evenredigheidsconstante α wordt warmte-overdrachtscoëfficiënt genoemd en is afhankelijk van de eigenschappen van wand, medium en stromingstoestand terplaatse. De warmteoverdrachtweerstand r wordt gedefinieerd als

r = 1α

We bekijken een stationair proces van convectief warmteoverdracht van een me-dium a naar een vlakke wand en van de wand naar een medium b. Het proces is sta-tionair, dat houdt in dat de warmtestroom door elk oppervlak gelijk en constant is.De warmteoverdracht van medium a naar de wand is:

Φ = α12 A (T1 - T2) D tegeleiding van de linker naar de rechterkant van de wand: e warm

−2 3( )T T = A d

Φ λ

De warmteoverdracht van de wand naar medium b is: Φ = α34 A (T3 - T4)

We vinden zo:

−1 4 1 d 1T T = A et r = + + Φ

12 34r λ m

α α Opdracht 6.5

(6.14)

Leidt vergelijking 6. 14 af. 6.4 Straling 6.4.1 INLEIDING We gaan een zwart stuk ijzer verwarmen. In het begin zien we weinig verandering,

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.6

Page 7: Warmteleer H6 Donker

Fig. 6.14 Thermozuil

Fig. 6.15 Schematische voorstelling

thermozuil.

ig. 6.15a. Ideaal zwart lichaam F

F

F

maar we kunnen op afstand wel voelen dat het ijzer warmer wordt. Langzaamverandert dan de kleur van zwart in donker rood. Daarna begint het ijzer steeds helderder te gloeien totdat het ‘witheet’ geworden is. De kleur is blijkbaar een maatvoor de temperatuur. Ook al is er nog geen licht te zien, er blijkt wel straling te zijn. Deze straling, diewordt verkregen door het verwarmen van een lichaam, noemen we warmtestraling. W kunnen deze bv. meten met een thermozuiMet het oplopen van de temperatuur m we, dat de (stralings)warmte, die van

e l (zie figuur 6.14). erken

een voorwerp afkomt, intenser wordt. Blijkbaar neemt de uitgestraalde energie toe met de temperatuur. We zullen deze eigenschappen meer kwantitatief uitwerken. 6.4.2 ABSORPTIE EN REFLECTIE Als straling op een materieel oppervlak valt en er geen straling doorgelaten wordt,dan wordt in het algemeen een gedeelte a geabsorbeerd en een gedeelte rgereflecteerd. De grootheden a en r worden de absorptie- en reflectiecoëfficiëntenoemd. Dus: g

op

aaψψ

= en oprr

ψ=

ψ

Er geldt dan a + r = 1 Een zwart oppervlak is in dit verband een oppervlak, dat alle straling absorbeert, zodat a = 1 en r = 0. Echte zwarte oppervlakken bestaan niet. We kunnen wel ietsmaken dat daar op lijkt (figuuren 6.15 en 6.16). Men maakt daartoe een kleinepening t er straling door de opening in de doos, dan zal deze bij

ldt:

at slechts voor een gedeelte ui

o in een doos. Valiedere reflectie tegen de wand met een factor r in intensiteit gereduceerd worden.Voordat nu een lichtstraal weer door de opening naar buiten treedt, heeft hij alzoveel reflecties ondergaan, dat de intensiteit tot een minimum is gereduceerd. Deopening gedraagt zich vrijwel als een zwart oppervlak. Sommige media laten ook straling door bv. een glazen ruit. Het gedeelte van destraling dat doorgelaten wordt, geven we aan met de transmissiecoëfficiënt t. In zo’n geval ge a + r + t = 1 (6.15) 6.4.3 EMISSIE De straling die van een voorwerp afkomt, besta tg erde straling. Naast deze gereflecte ereflecteerdeook straling uit. De in alle richtingeeenheid van oppervlak wordt de emittantie van het oppervlak genoemd. We hebben al gezien dat de intensiteit van de straling afhangt van de temperatuur. In1879 leidde Stefan uit oudere meetresultaten van Tyndall af, dat de totaleuitgestraalde energie per tijdseenheid van een zwart lichaam Φstr voor alleg de macht van de absolute temperatuur.

nwordt dit de wet van Stefan-Boltzmann genoemd: Φstr = A σ T4 (6.16)

v is 5,6703 10-8 W/m2K4.

Formule (6.16) is niet zonder meer toepasbaar voor niet zwarte oppervlakken. Hiervoor gel n

ε A σ T4

Hierin is de emen 1), waarvan de

ε issiecoëfficiënt. De emissiecoëfficiënt is een constante (tussen 0 rde afhankelijk is van het soort oppervlak. waa

We voeren nu het volgende gedachte-experiment uit. Een oneindig uitgestrekt plat, zwart oppervlak is evenwijdig aan een zelfde niet-zwart oppervlak van dezelfde temperatuur. Er mag nu tussen beide oppervlakken geen warmteoverdrachtplaatsvinden. Anders zou één van beide ten koste van de ander in temperatuurstijgen, wat in strijd is met onze ervaring (en de tweede hoofdwet van de thermo-dynamica). Er moet dus voor beide wanden evenwicht bestaan tussen absorptie en

straling zendt een voorwerp zelfn zelf uitgestraalde energie per tijdseenheid en

olflengten samen evenredig is met de vier

Vijf jaar later bewees Boltzmann deze wet langs thermodynamische weg. Sindsdie

ig. 6.15b. Binnenkant is wit

ig. 6.16 Straling die de holte binnenkomt

heeft een kleine kans om de holtete verlaten

met σ de constante van Stefan-Boltzmann. De meest nauwkeurige waarde die nu oor σ wordt genomen

dt bij be adering:

Φstr = wet van Stefan Boltzmann (6.17)

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.7

Page 8: Warmteleer H6 Donker

T

Witte verf Zwarte verf Aluminium Lood Goud Koper Kwik Zilver

0,95 0,95 0,05 0,28

0,02 – 0,03 0,03

0,09 – 0,12 0,09 – 0,03

F atische

zon ter bepaling

derstel nu dat plaat 2 zwart is en ertussen delaten een filter staat opgesteld welke slechts één golflengte λ doorlaat. Dan moe

ig. 6.17 Schem voorstelling van devan stralingstroom-

dichtheid op afstand r

emissie. Hieruit volgt onmiddellijk dat de absorptie- en emissiecoëfficiënt van een oppervlak gelijk moeten zijn. Veronpdus gelden ψ1(λ) = α(λ) ψzwart(λ). Met andere woorden:

zwart ( )) ( )= ε λ wet van Kirchhoff (6.18)

Dus de absorptiecoëfficiënt bij één bepaalde golflengte = emissiecoëfficiënt bijdV w in twee

iezelfde golflengte, deze relatie staat bekend als de wet van Kirchhoff. oor een ideaal zwart oppervlak geldt ε = 1, voor andere oppervlakken ligt deaarde van ε tussen 0 en 1. De waarden van ε in tabel 6.2 vallen duidelijk

groepen uiteen. Voor niet metalen ligt ε dicht bij 1. Echte lage waarden van ε vindt m

en bij metalen met gepolijst oppervlak.

.4.4 STRALINGSWETTEN ittantie van een lichaam bekend is, dan kan met behulp van de we

6Wanneer de emvan Stefan-Boltmann de temperatuur van dat lichaam bepaald worden. We zullenmet dit gegeven de stralingstemperatuur van de zon bepalen. Willen we de stralingsstroomdichtheid van de zon hier op aarde meten dan kunnen we dit het beste doen buiten de atmosfeer met een satelliet. We hoeven dan niet tecorrigeren voor reflectie aan de atmosfeer en absorptie in de atmosfeer. Destralingstroomdichtheid, die we dan meten, wordt de zonneconstante S genoemd en heeft ongeveer de waarde: S = 1368 W/m2

Deze zonneconstante S is niet gelijk aan de emittantie van de zon. Immers wehebben gezien dat de emittantie de stralingstroomdichtheid op het oppervlak is. Destraling, die van de zon uitgaat, zal zich uitbreiden in de ruimte. Op grond van de symmetrie is het uitgestraalde vermogen (de straling stroom) gelijkmatig over alle

chtingen verdeeld. De stralingstroomdichtheid neemt daarom af met de afstand tori td ste zon. Hoe groot deze op een af and r van de zon valt met behulp van figuur 6.17 af te leiden.

meVoor de emittantie van de zon (beschouw de zon als een zwart lichaam ttemperatuur T ) geldt: z D 2 σ Tz

4

et R de straal van de zon. concentrische bol met straal r, dan moet de

ψz = σ Tz4

e stralingstroom die van de zon uitgaat, is dan Φz = Az ψz = 4 π R

mDenken we ons nu op een afstand r een stralingstroom door het oppervlak van deze bol gelijk zijn aan de stralingstroom Φz.De stralingstroomdichtheid door het oppervlak van deze bol met straal r is dan:

2 4 2

4z zs z2 2

4 R T R( r ) TΦ π σψ = = = σ (6.19)

rA 4 r rπ

Is nu a de afstand van de aarde tot de zon dan is ψs(a) de stralingstroomdichtheid van de zon op aarde oftewel de zonneconstante S. Dus:

2

4z

RS Ta

⎛ ⎞= σ (6.20)

et vergelijking (6.20) kunnen we de temMgegeven is: R = 6,96 108 m a = 1,50 1011 m σ = 5,67 10-8 W/m2K4

We vinden dan: Tz = 5790 K Men zal zich nu afvragen of we een foutieve redenering hebben gevolgd. Algemeenis bekend, dat op de zon temperaturen voorkomen van miljoenen graden. De verklaring voor deze paradox ligt in het feit, dat vrijwel alle zonnestraling die onsbereiken van de buitenste lagen van de zon afkomstig is, de zogenaamde fotosfeer.Deze heeft kennelijk ‘slechts’ een temperatuur van ca 6000 K. Volgens deastrofy

abel 6.2 Emissiecoëfficiënten materiaal emissiecoëfficiënt Rubber Roet Water Gips Bladeren

0,95 0,95 0,95

0,8 – 0,9 0,90 – 0,95

t

1(( ) ψ λα λ =

ψ λ

t

⎜ ⎟⎝ ⎠

peratuur van de zon uitrekenen als nog

sica is dit terecht; naar het middelpunt van de zon neemt de temperatuur

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.8

Page 9: Warmteleer H6 Donker

F T

T

Fig. 6.19 Verdeling van de emittantie van

een zwart lichaam over de golflengten voor een aantal temperaturen

F

echter toe tot ca 15 miljoen Kelvin. Uit formule 6.19 volgt dat voor de stralingsstroomdichtheid op afstand r geldt:

21

r~)r(bol,sψ (6.21a)

Dit gaat op voor een bolvormige straler, maar ook voor een puntvormige straler. In oorden: w

De stralingsstroomdichtheid van een punt- of bolvormige straler op een afstand r is omgekeerd evenredig met die afstand in het kwadraat.

Voor een cilindervormige straler kan op een analoge manier worden afgeleid dat

r

~cilinder,s (6.21b) 1ψ

Cosinuswet De zonnestraling die het aardoppervlak bereikt, wordt voor een belangrijk deelgeabsorbeerd. We kunnen dit uitdrukken in de energiestroomdichtheid ψw van het aardoppervlak d.w.z. de energie die per seconde en per vierkante meter aardoppervlak wordt geabsorbeerd. Deze energiestroomdichtheid is niet voor he

hangt af van de nder dezonnestraling op het aardoppervlak valt. Beschouwen we de aarde als een zwart lichaam (a = 1) dan zal voor een stukje oppervlak loodrecht op de zonnestraling deeabsorbeerde energieg stroomdichtheid gelijk zijn aan de stralingstroomdichtheid ψs

aakt de zonnestraling een hoek φ met de normaal van van de zon (figuur 6.18a). Mhet oppervlak dan volgt uit figuur 6.18b gemakkelijk de relatie tussen de energie-stroomdichtheden ψs en ψs(φ):

o .cosss o

( ) cos(0 )

φψψ φ= = φ

ψ ψ

of ψs(φ) = ψo cos φ (6.22) Dit wordt de cosinuswet voor evenwijdige straling genoemd. In woorden:

De energiestroomdichtheid op een oppervlak door absorptie van straling is evenredig met de cosinus van de hoek tussen de normaal van dat oppervlak en de stralingsrichting.

6.4.5 STRALING EN GOLFLENGTE De warmtestraling blijkt van dezelfde fysische (in dit geval elektromagnetische) aard te zijn als verschillende andere vormen van straling, zoals licht, radiogolven,UV-straling, etc. Al deze verschillende vormen worden als de elektromagnetischestraling aangeduid. Een overzicht hiervan wordt gegeven in tabellen 6.3 en 6.4. De (onzichtbare) warmtestraling blijkt nu straling te zijn met golflengten groter dandie van het licht, dus ook van rood licht. Daarom spreken we meestal overinfraroodstraling in plaats van warmtestraling. De naam warmtestraling kanverwarrend zijn, omdat bijvoorbeeld ook door licht een voorwerp verwarmd kanworden. Hoe nu de relatie is tussen de golflengte en de intensiteit van de straling,zullen in het vervolg nader onderzoeken. ZH olflengten bij verschillende temperaturen

warte straler oe de emittantie verdeeld is over de g

voor een zwarte straler, is te zien in figuur 6.19. Deze experimentele resultaten

angs de horizontale as is de golflengte uitgezet, langs de verticale as de spectrale 3

werden in 1899 voor eerste verkregen door Lummer en Pringsheim. Lconcentratie van de emittantie ψz,λ. De eenheid is W/m . De relatie met de emittantie vinden we als volgt. Bij een klein golflengtegebiedje λ → λ + ∆λ hoort een (klein gedeelte van de) emittantie dψz, het uitgestraalde vermogen per vierkante meter. Het golflengtegebiedje nemen we zo klein, dat ψz,λ in dat gebiedje constant is. Dan geldt: dψz = ψz,λ dλ (6.23)

ig. 6.18 Cosinuswet

abel 6.3 EM straling Naam Golflengte λ Kosmische straling Gammastraling Rontgenstraling Ultraviolet Zichtbaar licht Infrarood Microgolven Ultra korte golf Radiogolven

< 0,001nm 0,0001 – 0,1 nm 0,01 – 10 nm 10 - 390 nm 390 - 760 760 - 106 nm 10-3 -0,5 m 0,5 - 10 m 10 - 3000 m

tgehele oppervlak van de aarde constant, maar hoek waaro

abel 6.4 Licht Golflengte λ (nm) Kleurindruk

390 – 436 436 – 495 495 – 566 566 – 589 589 – 627 627 - 780

Violet Blauw Groen Geel Oranje Rood

ig. 6.20 Verdeling emittantie zwart

oppervlak

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.9

Page 10: Warmteleer H6 Donker

F

waarin ψz,λ dλ de spectrale emittantie wordt genoemd. Deze spectrale emittantie kan wgte vinden, moeten we (6.23) integreren:

4z z,

0d T

λψ = ψ λ=σ∫ (6.24)

H ltaat van de intet resu egratie is ons al bekend uit de wet van Stefan-Boltzmann. De emittantie ψz van een lichaam met een temperatuur T komt dus overeen met hettotale oppervlak onder de curve van de spectrale concentratie van de emittantie ψz,λ, die behoort bij de temperatuur T. Stralingswet van Wien In figuur 6.19 zien we dat het maximum van ψz,λ bij hogere temperatuur naar lagere golfleng e hadden dit in de iten verschuift. W nleiding al kwalitatief vastgesteld, toenwe spraken over de kleurverandering bij het verhitten van een voorwerp.

kwantitatief, dan vinden we het volgende Onderzoeken we deze eigenschap verband tussen de temperatuur en golflengte, waarbij het maximum optreedt:

λmax . T = constant = 2,898 10-3 K.m wet van Wien (6.25)

v

Stralingswet van Planck In 1900 lukte het Planck om een theorie te ontwikkelen op basis waarvoor hij eenrelatie tussen de spectrale emittantie ψz,Planck onderkende dat het slechts mogelijk was om de straling van een zwar

λ, de golflengte λ en de temperatuur T vond.t

lichaam kwantitatief te verklaren met behulp van de kwantumhypothese. Dezekwantumhypothese was volkomen vreemd in de fysica, zoals die zich tot 1900ontwikkeld had. Deze kwantumtheorie houdt in, dat energie-uitwisseling van een oppervlak met straling niet in willekeurige hoeveelheden plaatsvindt, maar in(geheel tallige) veelvouden van het energiekwantum h f. Hierin is f de frequentievan de straling. De zogeheten constante van Planck h is een nieuwe natuurconstante met de waarde h = 6,626 10-34 J.s.

e kwantumhypothese he

In de klassieke elektrodynamica is een dergelijke beperking van de energie-uitwisseling tussen een ladingssysteem en een elektromagnetische golf onbekend.D eft dan ook vele consequenties gehad op diverse gebiedenvan de fysica, maar waar we hier niet verder op in kunnen gaan. Eveneens laten wede afleiding van de wet van Planck uit deze hypothese achterwege. De wet van Planck beschrijft de spectrale samenstelling van de straling. Hij kan opeen aantal verschillende, maar sterk op elkaar gelijkende manieren worden geformuleerd. Men moet daarom voorzichtig zijn met het gebruiken van de wet vanPlanck, zoals die in een willekeurig boek gevonden wordt. Men dient precies na tegaan op welke situatie de gegeven formule betrekking heeft om foutieve numerieke resultaten te vermijtemperatuurstraling uitgedrukt in de golflengte λ:

hc

kTz, 5

2 hc 1d . .de 1λ

λπ 2

ψ λ= λλ −

(6.26)

Hierin is c de lichtsnelheid in vacuum en is gelijk aan 299 792 458 m/s. Niet-zwarte stralers De wet van Planck in de hierboven gegeven vorm geldt alleen voor zwarteoppervlakken. Voor niet-zwarte oppervlakken kan weer een correctiefactor (de spectrale emissiecoëfficiënt ελ) ingevoerd worden. Is voor een lichaam ελonafhankelijk van de golflengte, dan noemt men een dergelijk lichaam een grijzestraler (figuur 6.21). Dit is het geval bij veel metalen, bv. ijzer. De vorm van despectrale verdeling is hetzelfde als voor een zwarte straler. Het maximum ligt bijdezelfde golflengte. In het algemeen zal de spectrale emissiecoëfficiënt ελ sterk van de golflengte afhangen. Een oppervlak, waarbij dit het geval is, noemt men een

ig. 6.21 Zwarte, grijze en selectieve straler

orden voorgesteld door het oppervlak van he

den. Hier wordt de wet van Planck gegeven voor

Dit verband werd al in 1893 door Wien geformuleerd en wordt de verschuivingwet an Wien genoemd.

t earceerde strookje in figuur 6.20. Om de totale emittantie ψz voor alle golflengten

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.10

Page 11: Warmteleer H6 Donker

ig. 6.22 Wet van Lambert-Beer F

F

selectieve straler (figuur 6.21). 6.4.6 STRALING IN DOORLATEND MEDIA Transmissie Zformule 6.15: a + r + t = 1 Hierin was a het gvindt vooral in het medium plaats. In het medium neemt de intensiteitstroomdichtheid van de straExperimenteel heeft men vastgesteld, dat in een dunne laag dx de– dIx voor evenwijdige straling evenredig is met de dikte dx van de laag en deintensiteit Ix van de straling ter plaatse. In fo

- dIx = a Ix dx xIadx

−=⇒ x

teit van de straling,

illekeurig punt x (zie figuur 6.22):

dI (6.27)

met a een evenredigheidsconstante. Vergelijking (6.27) is een differentiaalvergelijking. Is de intensidie het medium binnendringt, gelijk aan Io dan is de oplossing van (6.27) voor een w

= − ⇒ = − ⇒∫ ∫x xdI Ia dx ln a x I xx

x oI 0oI I

x oI I e= (6.28) Voor de intensiteit van de straling die een laag met dikte d gepasseerd is, geldt dan:

a d−

a x−

d oI I e= (6.29) e constante a wordt de extinctiecoëfficiënt of ook wel

genoemd (niet te verwarren met de al eerder genoemde absorptiecoëfficiënt,ensies). Deze is een functie van de golflengte. Er geldt: hoe grote

D absorptiecoëfficiënt

vergelijk de dim

ddichtheid van de absorberende gas of de concentratie van een in vloeiabsorberende stof. Voor homogene oplossingen of gassen is a evenredig met de concentratie nc, dus: c

dnao coeII −= ( 31)

Deze relatie wordt ook wel de wet van Lambert-Beer genoemd; ao is de molaire extinctiecoëfficiënt. In figuur 6.23 is een voorbeeld gegeven van een absorptiespectrum d.w.z. de extinctiecoëfficiënt als functie van de golflengte. Het is het absorptiespectrum vanwater. µlage extinctiecoëfficiënt. Dit betekent een hoge transm

leurd zijn van

Verstrooiing In een troebele stof wordt het licht verstrooid.

N v. van mastixdeeltjes in water) en laat men ereen sterke bundel wit licht op vallen, dan zien we dat het doorgelaten licht een rodekleur heeft. Van opzij gezien is het licht echter blauw gekleurd. Hieruit valt te concluderen, dat blauw licht meer verstrooid wordt dan rood licht. Voor zeer kleinedeeltjes (afmetingen kleiner dan de golflengte van het licht) blijkt de intensiteit vanhet verstrooide licht omgekeerd evenredig met λ4 te zijn (Rayleighverstrooiing).

rstrooid als het rode licht.Blauw licht wordt dus ongeveer 6 maal zo sterk veVandaar de blauwe kleur van de mastrixemulsie, van verdunde melk, vansigarenrook en van de onbewolkte hemel. Bij grotere deeltjes is de intensiteit van het verstrooide licht minder afhankelijk an go len : het v ooide t is witter, het doov de lf gte erstr lich

(Tyndallverstrooiing; voor λ ∼ afmeting van deeltje). Hangt bijvoorbeeld

ig. 6.23 Absorptiespectrum van water. Let

op de logaritmische schaal voor deextinctiecoëfficiënt

oals in paragraaf 6.4.2 al geconstateerd is, geldt voor een doorlatend mediu

rde extinctiecoëfficiënt, hoe groter de absorptie. Verder hangt a af van de aard van e absorberende stof en van de concentratie, waarin die stof aanwezig is, dus bv. de

stof opgeloste

a = ao n (6.30) 6.

In het blauw gebied van het spectrum (440 – 490 m) vinden we een relatief issiecoëfficiënt voor blauw

licht, wat zichtbaar wordt als het in meer of minder mate blauw gekonderwateropnames.

Elk vreemd deeltje, waarvan debrekingsindex van die der omgeving afwijkt, werkt als een verstrooiingscentrum.

eemt men een troebele oplossing (b

m

edeelte van de straling dat geabsorbeerd wordt. Deze absorptie, de stralings-

ling af. intensiteitafname

rmulevorm:

rgelaten licht minder rood

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.11

Page 12: Warmteleer H6 Donker

Fig. 6.24 Temperatuurverloop in vlakke

wand, in stationaire warmte overdrachtproces

sigarenrook enige tijd in een vertrek, dan klonten de deeltjes tot grotere complexen samen en wordt de rook dus minder blauw. Hetzelfde is het geval met de rook,

OPPERVLAKdig grote vlakke oppervlakken op enige afstand van elkaa

welke door de sigaar gaande aan de punt van de sigaar opstijgt. 6.4.7 STRALING TUSSEN TWEE VLAKKE EVENWIJDIGE KEN We beschouwen 2 oneinmet t << (a + r). De temperatuur van plaat 1 is T1 en die van plaat 2 is T 1 > T2). Voor een voorwerp geldt: • stroomdichtheid uitgezonden warmtestraling (emittantie): ψw = ε σ T4 (6.32)

ψopv (6.33) • stroomdichtheid gereflecteerde straling ψr = (• stroomdichtheid totaal van voorwerp ψtot = ε σ T4 + (1 - ε) ψopv (6.35) We vinden zo voor de stro• • vanaf plaat tot,2 2 2 2 tot,1 Vermenigvuldigen we vergelijking (6.36) met ε en vergelijking (6.37) met ε dan vinden we voor de stroomdichtheid van de netto straling van plaat 1 naar plaa

2 1

−−

4 41 2 1 2

netto tot ,1 tot ,21 2 1 2

( )T T = = + σε εψ ψ ψ

ε ε ε ε (6.38)

Opdracht 6.6 Leidt formule (6.38) af.

6.4.8 WARMTE-OVERDRACHTSCOËFFICIËNT DOOR STRALING Volgens Newton is de netto warmtestroomdichtheid ψnetto tussen 2 voor-werpen

ψnetto = α (T1- T2) (6.39)

evenredig met het temperatuur verschil tussen de twee lichamen, d.w.z.

hierbij is α een constante die warmte-overdrachtcoëfficiënt wordt genoemd. We gaan nu bekijken in hoeverre formule (6.38) aan het door Newton gestelde eisen voldoet. Voor de stroomdichtheid van de netto straling tussen 2 evenwijdige vlakke platengeldt:

−−

2 21 21 2 1 21 2netto

1 2 1 2

= ( + ) ( + ) ( )T T T TT T +

σε εψε ε ε ε

(6.40)

Vergelijken we formules (6.39) en (6.40) met elkaar dan kan bij niet te grotetemperatuurverschillen voor de warmte-overdrachtscoëfficiënt door straling tus2 evenwijdige vlakke platen genomen worden:

≈−

3gem1 2

str1 2 1 2

4 T

+ σε ε

αε ε ε ε

(6.41)

Deze ruwe schatting van αstr biedt de mogelijkheid na te gaan of de warmte-overdracht door straling in relatie tot de andere vormen van warmte-overdracht verwaarloosd mag worden. 6.5 Warmteoverdracht tussen lucht en wand

e bekijken opnieuw de stationaire warmte overdracht van lucht (TL) naar wanW(Tw) en omgekeerd. De totale warmtestroomdichtheid is opgebouwd uit bijdragenten gevolge van geleiding, convectie en straling. Dus: ψtotaal = ψgeleiding + ψconvectie +ψstraling

De warmtegeleidingcoëfficiënt van lucht is klein (λ = 0,023 W/m.K). Daarom wordt het warmtetransport ten gevolge van geleiding meestal verwaarloosd t.o.v. de

r

2 (T

• stroomdichtheid opvallende straling :

1 - a) ψopv = (1 - ε) ψopv (6.34) komende straling :

omdichtheid van de: vanaf plaat 1 komende straling: ψtot,1 = ε1 σ T1

4 + (1 - ε1) ψtot,2 (6.36)2 komende straling: ψ = ε σ T 4 + (1 - ε ) ψ (6.37)

t 2:

sen

d

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.12

Page 13: Warmteleer H6 Donker

F

F

F

bijdragen door convectie en straling. Dus: ψtotaal = ψconvectie +ψstraling = α Tw) + αstr (TL – Tw) We vinden zo: ψtotaal =

α α

Binnen: ri = 0,13 2m KW

(6.44)

Buiten ru = 0,05 2m KW

(6.45)

Opdracht 6.7 L

Voorbeeld 6.2 Een enkeldeurs ijskast met een hoogte van 146 h

Vtem uur daar - 15 oC is. De temperatuur in het koelgedeelte is + 5 oC. De wanden van de ijskast bestaan uit 2 lagen aluminium met te verwaarlozen warmteweerstand, waartussen een laag schuim van 1 cm dikte is. De ovebinnen als buiten, 0,1 in SI eenheden. Er is geen warmte overgangsweerstand tussenaluminium en schuim. De warmtegeleidingcoëfficiënt van schuim is 0,035 W/m.K.a. Bereken het rendement van de koelmachine in de ijskast. b. Ga na of er op een gemiddelde dag in maart condensatie op de ijskast gaat

optreden. Oplossing

Er zal even nagegaan worden wat bepaald ma. oet worden teneinde de in de ijskasopgave op te lossen. Men wil de koudefactor van de koelmachine

t hoeveelheid opgenomen warmAls verondersteld wordt dat h

Eerst moet de gemiddelde buitenlucht temperatuur in maart bepaald worden. Uit de gegeven grafiek volgt voor de maand maart: de gemiddelde tempera roverdag is tgem. = 27,3 ºC en de relatieve vochtigheid overdag is Rv,gem. = 76,9 %.

erder geldt dat ‘s nachts tnacht = 22 ºC en Rv,nacht = 96 % , in de avonduren is de latieve vochtigheid het hoogst bij deze aangegeven temperatuur.

r zal even nagegaan worden hoe de warmte in feiten van de buitenlucht naa

Vre Ebrubinnen de ijskast. Duidelijk zal zijn dat de warmte stroomt van een hoog temperatuur naar een lage dus hier voor beide gevallen van buiten naar binnen. We zien duidelijk dat er bijaluminium geen temperatuursverschil heerst, omdat zijn warmte weerstandverwaarloosbaar is. Geconstateerd kan worden dat er dus 3 warmteweerstanden zijn waarlangs de warmte heen moet stromen en deze zijn de overgang buitenlucht -wand, de schuimlaag en de overgang wand - binnenlucht. We moeten nu dus de

ig. 6.25 Verloop temperatuur en relatieve

vochtigheid op een gemiddelde dag in maart en september

ig.6 26.a Koelruimtewand

ig. 6.26.b Vriesruimtewand

conv (TL –

αov (TL – Tw) (6.42) met ov = conv + αstr.

We gebruiken de warmte overdracht weerstand rov =

r innen stroomt. Als gekeken wordt naar de 2 figuren voor de koel - en de vries-imte dan zien we dat er een temperatuurverschil is tussen de lucht buiten en

thebben en gegeven is de hoeveelheid energie dat overdag verbruikt wordt oftewelhet vermogen van de machine als je dat even uitrekent. Wa nog nodig is de

te door de koelmachine oftewel het koelvermogen.et proces stationair verloopt dan is het duidelijk dat

het koelvermogen gelijk zal moeten zijn aan de totale warmtestroom die de ijskast binnenkomt. Dus moet dan dit nog bepaald worden teneinde de koudefactor tebepalen.

tuu

rgangsweerstand per oppervlakte eenheid tussen wand en lucht bedraagt, zowel

aat zien dat het volgende het geval is: Willen we weten of er op de wand condensatie optreedt, dan moeten we nagaan ofde lucht vlak in de buurt van de wand verzadigd wordt. Dat betekent dat je moet nagaan of de Tw ≤ Tdauw.

0 cm, breedte van 65 cm en diepte van 0 cm gebruikt in maart overdag gemiddeld 0,7 kW aan elektriciteit. We veronder-

stellen dat er een scherpe grens tussen het vriesgedeelte en het koelgedeelte is. erder nemen we aan dat de hoogte van het vriesgedeelte 20 cm is en dat de

perat

ov

. (6.43)

In Suriname gebruiken we vaak de volgende waarden voor de overdrachtweerstand:

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.13

Page 14: Warmteleer H6 Donker

totale weerstand bepalen, want: tot

TA.R∆

Φ = . Voor de totale warmteweerstand

vinden we:

tot lucht,wand schuim wand,luchtu schuim i

2

1 d 1r r r r

0,010,1

= + + = + +

m .K0,1 0,4 W0,035

α λ α

= +

+ =

Nu kan de warmte stroom door ieder van de wanden bepaald worden en voor detotale warmtestroom door de ijskastwanden heen zal er dan gewoon opgeteldworden. Als er even nagegaan wordt dan zal men zich realiseren dat het niet nodig was om de warmte stroom door de scheiding tussen vries- en koelgedeelte te bepalen, omdat deze tijdens de optelling zichzelf zal neutraliseren. We vinden dan:

vries koeltotaal vries koel tot.,vries tot.,koel

tot tot

T TA . A .r r

∆ ∆Φ = Φ +Φ = + .

( ) ( ) ( ) ( )totaal

27,3 15 27,3 52.0,65.0,2 2.0,6.0,2 0,65.0.6 . 2.0,65.1,2 2.0,6.1,2 0,65.0,6 .

0,486 0,48677,5 155,5 233W

+ −Φ = + + + + +

= + =

Gevonden wordt dan voor de koudefactor:

koelkoelmahine 0,7 kWhmotor 12 h

P 0,233 kWcop. 4P

= = = .

. Voor het bepalen als er condensatie gaat optreden b zal er eerst nagegaan

anning van de buitenlucht oftewel de

moeten worden waar de kans het grootst zal zijn en wanneer. De kans opcondensatie is het grootst op de buitenwanden van de vriesruimte en wel bij t =22ºC. (Waarom bij de buitenwanden en de vriesruimte? En waarom speciaal bij dietemperatuur?) Op deze wanden zal er condensatie gaan optreden als de verzadigde dampspanning(ps) die correspondeert met de buitenwandoppervlakte temperatuur van deriesruimte kleiner is dan de dampspv

buitenwandoppervlakte temperatuur kleiner is dan het dauwpunt (tdauw) van de buitenlucht. Dus zal dit gecontroleerd moeten worden. Bepaling van de buitenwand opp. temperatuur van de vriesruimte.

ou i u ou ouou

tot lucht,wand

T T T T 22 T22 15 T 14,4 CR R 0,486 0,1− − −+

Ψ = = ⇔ = ⇔ =

Bepaling van het dauwpunt. o

u v w

o

t 22 C en R 96% p 0,96 2,645 2,5392kPa2,5392 2,488t 21 21,33

= = ⇒ = × =

−⇒ = + =

dauw 2,645 2,488−

Het is duidelijk te zien dat: dou TT

C

< , dus er zal wel condensatie optreden. 6.6 Energiebalans van de aarde (klimaatmodel) 6.6.1 INLEIDING Van tijd tot tijd verschijnen er in de media alarmerende berichten over de toename van de concentratie kooldioxide (CO2) in de atmosfeer. De vrees bestaat dat deze toename het klimaat op aarde zal gaan beïnvloeden door de stijging van degemiddelde temperatuur; men spreekt in dit verband vaak over het broeikaseffect van de atmosfeer. We willen dit broeikaseffect hier eens nader onderzoeken. Broeikassen, die van de buitenlucht worden afgesloten met bijvoorbeeld glas

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.14

Page 15: Warmteleer H6 Donker

g. 6.27 Transmissiespectrum vensterglas fi

Fig. 6.28 Absorptiespectra door gassen in de

atmosfeer

worden in landen met gematigde klimaten in de tuinbouw toegepast. We kunnen de werking van een broeikas zelf ervaren als we een auto lang in de zon laten. Dezonnewarmte wordt vastgehouden dankzij het ‘muizenvaleffect’ van het glas. Doo

Inzgecombineerde effect van CO en H Odamp de golflengten2 2 die groter zijn dan 2 m vrijwel geheel worden geabsorbeerd door de atmosfeer. Een uitzondering hieropvormt het gebied van 8 µm tot 12 µm, waar een zgn. ‘atmosferische venster’ optreedt. Dit venster wordt gebruikt om infraroodopnamen van het aardoppervlak temaken vanuit de ruimte (tele-detectie). Een gedeelte van het absorptiespectrum van de atmosfeer vinden we terug in figuur 6.29. Hierbij is o.a. de spectrale verdeling van de zonnestraling aan de buitenkantvan atmosfeer weergegeven (spectrale concentratie). We zien een redelijkeovereenkomst met een zwarte straler van 5900 K (stippellijn). Verder vinden we indeze figuur de spectrale verdeling van de zonnestraling op zeeniveau. Deze kromme ligt in zijn geheel een stuk lager dan de kromme van de straling buiten de atmosfeer,vanwege reflectie aan de atmosfeer. Duidelijk zichtbaar zijn de absorptiebanden vanO2, CO2, H2O en andere gassen (met pijlen aangegeven gespikkelde oppervlakken). Deze gassen absorberen slechts een klein gedeelte van de totale zonnestraling, hetgrootste gedeelte wordt doorgelaten. Samengevat kunnen we zeggen, dat de zonnestraling voor het grootste deel door deatmosfeer wordt doorgelaten. De straling die de aarde uitzendt ligt echter bijgolflengten groter dan 2 µm en wordt (voor het merendeel) door de atmosfeer geabsorbeerd. Net als bij een broeikas wordt o r t e stralinngevee de helf van dez gnaar de aarde teruggestraald en door aardbodem geabsorbeerd (De andere helft verdwijde aarde stijgen. Om nu het muizenvaleffect ook kwantitatief duidelijk te maken,zullen we nu twee modellen opstellen. Het meest eenvoudige model is dat van een aarde zonder abso berende atmosfeer. Het tweede is een model van de aarde mer teen absorberende atmosfeer, waarbij enkele vereenvoudigingen worden toegepast.

rde aanwezigheid van het glas blijft de lucht bovendien in de auto, zodat er weinig ofgeen warmte-uitwisseling door convectie met de omgeving (de buitenlucht) kanplaatsvinden. Het muizenvaleffect van glas kan als volgt worden verklaard. Vrijwel alle stralingvan de zon ligt bij golflengten die kleiner zijn dan 4 µm; deze kortgolvige straling wordt volgens figuur 6.27 (voor het grootste gedeelte) door het glas doorgelaten. Dedoorgelaten straling wordt door de inwendige van de auto geabsorbeerd. Hierdoorwordt het inwendige verwarmd (en via convectie ook de lucht in de auto). Detemperatuur van het inwendige ligt rond de 300 K (in orde van grootte). Bij dezetemperatuur zendt het inwendige zelf straling uit met een golflengte groter dan 10µm. Deze infrarode (IR) straling wordt door het glas vrijwel geheel geabsorbeerd.Hierdoor zal de temperatuur van het glas toenemen. De straling die het glas nu uitzendt, is zowel naar binnen als naar buiten gericht. De straling naar binnen zorgtdan voor een extra verwarming van het inwendige. Een gedeelte van dezonnestraling wordt zo in de auto ‘gevangen’, vandaar de naam muizenvaleffect. Zonder de aanwezigheid van het glas zou deze extra verwarming er niet zijn! Ookonze aarde gedraagt zich als een broeikas. De aarde als geheel kan nl. wordenopgevat als een afgesloten ruimte, waarbij geen warmte-uitwisseling door convectie met de omgeving (het heelal) mogelijk is; in de atmosfeer treedt ook het muizen-valeffect op, door de aanwezigheid van onder andere CO2.

figuur 6.28 zijn de absorptiespectra opgenomen van de gassen die van belangijn voor de totale absorptie in de atmosfeer.We zien hierbij dat vooral door het

µ

nt in het heelal). Door deze extra straling zal de gemiddelde temperatuur van

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.15

Page 16: Warmteleer H6 Donker

Fig. 6.30a Aarde zonder absorberende

atmosfeer

ig. 6.30b Aarde met absorberende atmosfeeF r

F

Fig. 6.29 Het zonnespectrum buiten de atmosfeer op zeeniveau 6.6.2 AARDE ZONDER ABSORBERENDE ATMOSFEER De energie uitwisseling van de aarde met het heelal bestralingsprocessen. De aarde absorbeert hierbij zonnestraling en zendt zelf ook (IR)traling s uit. Verwaarlozen we nu alle invloeden van de atmosfeer, dan zal er op

aarde een stationaire situatie ontstaan, waarbij de temperatuur op aarde constantblijft. Deze temperatuur kunnen we opvatten als een gemiddelde temperatuur vanhet aardoppervlak.

e strali strooD ngs mdichtheid aan de buitenkant van de atmosfeer is gelijk aan 1368 reflecteerde deel van de zonnestraling wordt deW/m (zonneconstante S). Het ge

albedo genoemd (d.i. “wit zijn” in2

het Latijn). Voor de gehele aarde bedraagt dealbedo c oëfficiënt r = 0,36); stralingsstroomdichtheia. 36% (d.w.z. de reflectiec deop zeeniveau is dus (1 – 0,36) . 1368 = 876 W/m2. Deze een oppervlak loodrecht op de invallende zonnestraling. De stralingsstroom-d bodem is afhankelijk van de plaats op aarde en kan worden berekend met de cosinuswet. We kunnen dit probleem omzeilen door tekijken naar een cirkelvormige dwarsdoorsnede van de aarde (zie figuur 6.31). Allezonnestraling door dit oppervlak AR bereikt het aardoppervlak en –met een reflectie van 36% - zal hiervan dus 64% worden geabsorbeerd door de bodem. Voor degeabsorbeerde energie per seconde (de stralingsflux) door de aarde vinden we dan Φa = AR (1 – r) S = π R2 (1 – r) S (6.46) waarbij R de straal van de aarde is en AR = π R2 het oppervlak waardoor de straling invalt. De aarde verlies e ook gedraagt als een zwart oppervlak (voor langgolvige straling). Voor de emittantiegeldt dan ψ = σ Ta (6.47) met T

4 a de temperatuur van de aarde. Als we aannemen dat alle warmte zich

gelijkmatig over het oppervlak verdeelt, dan zal door het hele (bol)oppervlak van deaarde eenzelfde hoeveelheid straling worden uitgezonden. De uitgezonden energieper seconde wordt dan Φe = Abol ψ = 4 π R2σ Ta

4 (6.48) in een stationaire situatie zijn de absorptie en de emissie gelijk Uit (6.30) en (6.32)volgt dan π R2 (1 – r) S = 4 π R2σ Ta

4 (6.49) ofwel

staat vrijwel geheel uit

d waarde geldt echter voor

ichtheid door een stukje

t chter energie. We gaan er van uit dat de aarde zich hierbij

ig. 6.31 Stralingsbalans aarde

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.16

Page 17: Warmteleer H6 Donker

Fig. 6.32 Stralingsbalans van aarde en atmosfeer

4aT4

(6.50)

Met S = 1368 W/m

(1 r ).S−

2 wordt dan de gemiddelde temperatuur op aarde – 17 oC. Dit is een temperatuur waarbij het huidige leven op aarde niet mogelijk zou zijn.Kennelijk hebben we een te eenvoudig model gebruikt; we zullen dit model dusmoeten aanpassen. 6.6.3 AARDE MET ABSORBERENDE ATMOSFEER In dit aangepast model houden we rekening met de absorptie van de atmosfeer. Zoals we in de inleiding al hebben opgemerkt, wordt deze absorptie vooralveroorzaakt door de aanwezigheid van CO2 in de atmosfeer. We hebben hierbij gezien, dat deze CO2 nauwelijks leidt tot directe absorptie van zonnestraling in de atmosfeer. Voor absorptie van zonnestraling door de aarde blijft (6.46) dan ookgeldig. De door de aarde uitgezonden IR-straling Φb wordt echter wel voor een groot deel door de atmosfeer geabsorbeerd. Voor het begrip stellen we daarom de atmosfeer voor als een zekere laag boven het aardoppervlak (zie figuur 6.32 ). Dezelaag heeft een absorptiecoëfficiënt a voor de langgolvige straling van de aarde,

oor de atmosfeer. Hebben tuatie, dan zal ook de temperatuur van de atmosfeer constant blijven en zal er evenveel IR-straling door de atmosfeer worde

zodat een gedeelte a Φb wordt geabsorbeerd dwe nu weer een stationaire si

geabsorbeerd als geëmitteerd. De totale emissie van de atmobroeikas uit paragraaf 6.6.1 zendt de atde ene helft verdwijnt in aardoppervlak teruggestraald en door de bodem nmegemiddelde temperatuur van de aarde nu hoger zal zijn.

t een extra absorptie van straling door het aardoppervlak, waardoor de

de stralingsflux van deze extra absorptie geldt: (6.51)

(aarde bij benadering een zwart oppervlak voor langgolvige straling). Analoog aan (

Φe, totaal = Abol Φb = 4 π R2 σ Tb4

Φa + Φa, extra = Φe, totaal π R2 ½ a σ T 4= 4 π R2σ Tb

4

Voor Φa, extra = Abol ½ a ΦbDe emissie van de aarde blijft hierbij van dezelfde vorm als in het eerste model

6.45) is de emissie dan Φb = σ Tb4, waarmee (6.48) overgaat in

(6.52) In de stationaire situatie geldt nu

π R2 (1 – r) S + 4 b

−=4a

(1 r ).ST2.(

(6.53)

De gemiddelde aheeft de waarde 0,80. De gemiddelde temperatuur op aarde wordt dan + 18 C een duidelijk betere waarde gevonden dan de waarde uit paragraaf 6.6.2. We hebbenhiermee aangetoond dat het muizenvaleffect daadwerkelijk een extra verwarming van de aarde tot gevolg heeft. Met de gevonden uitdrukking (6.53) kunnen we nuook laten zien wat het effect zal zijn van een toename van CO2 in de atmosfeer. Uit de formule van Lambert-Beer voor absorptie (6.31) Id = Io a n do oe− Volgt dat de absorptiecoëfficiënt a van de atmosfeer groter wordt bij toenemendeconcentratie no. En een grotere waarde van a in (6.53) leidt weer tot een hogere

weul 2 2 , maar niet alle langgolvige straling in de

sorberen. Ook kunnen bv. sneeuw en ijsvorming invloed hebben op de

gemiddelde temperatuur Tb. Het zal duidelijk zijn dat ook dit verbeterde model nog steeds een vereenvoudigde

ergave van de werkelijkheid is. Er spelen nog tal van andere effecten een rol. Zolen CO en H O wel de meestez

atmosfeer abreflectie van straling en de extra verdamping van H2O zou een verdere toename van de absorptie kunnen veroorzaken. De mate waarin met deze en andere effectenrekening wordt gehouden is bepalend voor het eindresultaat. Dm

e verschillende odellen variëren dan ook sterk in hun uitkomsten. Wel wordt bij vrijwel alle

bestaande modellen een toename van de gemiddelde temperatuur verwacht, netzoals in ons aangepaste model.

n

sfeer is dus ook gelijk aan a Φb. Net als bij de mosfeer deze straling naar twee kanten uit:

het heelal, de andere helft (dwz. ½ a Φb) wordt naar het geabsorbeerd. We hebben te make

− σ2 a ).

bsorptiecoëfficiënt a van de atmosfeer voor langgolvige stralingo

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.17

Page 18: Warmteleer H6 Donker

Fig.6.33 Temperatuurverloop van een

voorwerp (resp. afkoeling vanuit 100 oC en opwarmen vanuit 0 oC)

de praktijk van alle dag komen we vaak de opwarming of afkoeling vanvoorwerpen tegen. De vraag die heel vaak rijst, is hoelang het duurt voor he

7.7 In

Afkoeling en opwarming van lichamen

tlichaam op temperatuur is. De tijd die nodig is voor de afkoeling of opwarmingblijkt afhankelijk te zijn van de vorm, de massa, de warmtegeleidingcoëfficiënt en soortelijke warmte van het materiaal, de warmte-overdrachtcoëfficiënt en verder van de omgevings- en voorwerpstemperatuur.

e ing of afkoeling van metalen. armtetransport in het lichaam door geleiding vele malen

geving.overal en op elk moment dezelfde

Tb op tijdstip t = 0 in een omgeving me

W bekijken nu een speciaal geval: de opwarmBij metalen geldt dat het wgroter is dan de convectieve warmteoverdracht tussen het metaal en de omDit houdt in dat het voorwerp tijdens het proces temperatuur heeft. Stel dat een voorwerp met temperatuur constante Tomg wordt geplaatst, waarbij is ρ, het volume V, het oppervlak Anagaan in hoeveel tijd het lichaamDe warmtebalans voor een tijdsinterval dt is:

φtoe = opwarming lichaam ⇒ α A (Tomg - T) dt = ρ c V dT

⇒−∫ ∫

b omg0 T A TTα

t T c V d T dt = ρ

⇒ = A

t Tb < Tomg. De dichtheid van het voorwerp

en de soortelijke warmte c. Dan kunnen we opgewarmd wordt van Tb naar T.

−b

t Tomg

T0

c V t ln( T) Tρ

Dus: −

−omg b

omg

T T c V t = ln ( )A TT

ρα

(6.54)

−− A t

omg b omg c V T = + ( ) eT T Tαρ (6.55)

De temperatuur van het voorwerp nadert asymptotisch naar Tomg.

Opdracht 6.8: Laat zien dat bij afkoeling van een voorwerp ook de vergelijkingen 6.54 en 6.55 gelden.

Voorbeeld 6.3 In het jaar 2010 wordt een bolvormige satelliet, met een straal van 4 m, die meteorologischedata moet verzamelen gelanceerd. De satelliet mag beschouwd worden als een zwart lichaamdie continu om haar eigen as draait, en geostationair is (blijft op één plaats 36000 km boven de aarde, in dit geval Paramaribo). Eveneens kan vermeld worden dat de aarde gedurende5 kwartier tussen de zon en de satelliet in staat, en dat het oppervlak van de satelliet goedwarmte geleidt. De warmtecapaciteit van de satelliet is 20 kJ/K. Enige tijd na de lancering wordt de evenwichtsituatie bereikt. De zonne instraling is onder deze omstandigheden 2000W/m2 a. Bepaal de temperatuur van de satelliet in de evenwichtstoestand. b. Geef een formule waarmee de afkoeling van de satelliet berekend kan worden als de

aarde tussen de satelliet en de zon instaat en bepaal de temperatuur van de satellietwanneer deze weer in de zon komt.

Oplossing Het lichaam mag beschouwd worden als te zijn een zwart lichaam dus zijn emissiecoëfficiënt (ε) is gelijk aan 1. Verder is gegeven dat W kJzon 2 Km

R 4m, 2000 , warmtecapaciteit 20= Ψ = = .

Indien de satelliet in een evenwichttoestand verkeert, dan zal hij evenveel warmte-straling opnemen als uitstralen. We kunnen dan direct noteren dat:

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.18

Page 19: Warmteleer H6 Donker

FTeW -------------------------------------------------------------------- Inleiding Warmteleer 2004 -------------------------------------------------- blz. 6.19

4 2 2 4

in uit zon dwarsdoorsnede bol zon8 4.A A . . .T . .R 4. .R . . .T

2000 4.5,7.10 .T T 306K−

Φ = Φ ⇔ Ψ = ε σ ⇔ Ψ π = π ε σ

⇔ = ⇔ =

Wanneer nu de satelliet in het donker terechtkomt zal hij dan gaan afkoelen. Wevinden: opgenomen warmte + afgestane warmte + warmte productie = veranderinginwendige energie Met opgenomen warmte = 0, warmte productie = 0, afgestane warmte = 4

uit bolA . . .T .dtΦ = − ε σ , verandering inwendige energie = Q mcdT warmtecapaciteit.dT= = wordt dit dan:

2 44 R T dt warmtecapaciteit dTπ σ = − t T2

40 Tb

4 R 1dt dTwarmtecapaciteit T

π σ− =∫ ∫

213 3 3

b

4 R t 1 1warmtecapaciteit T T

⎛ ⎞π σ ⎜ ⎟− = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 8

3 4 33.1,25.3600.4 .4 .5,7.10 1 1

20.10 306 T

−π− = −

6 33 4

1 1 7,735.10 T 129280T 306

−= + ⇒ =

Dus: T = 50,6 K