Warteschlangen Warteschlangen ModelleModelle

Marie-Therese StumbergerMarie-Therese Stumberger

Bettina TotzBettina Totz

Dynamik von WarteschlangenDynamik von Warteschlangen Eins der besten Beispiele:Eins der besten Beispiele:

Disney WorldDisney World Konstruktion, Kapazitäts- und Konstruktion, Kapazitäts- und

Layoutplanung, Verwaltung des Layoutplanung, Verwaltung des Inventars, Zeitablaufplanung Inventars, Zeitablaufplanung (scheduling)(scheduling)

Warum sich Warum sich Warteschlangen bildenWarteschlangen bilden Warten auf BedienungWarten auf Bedienung Menschen, Maschinen, Menschen, Maschinen,

VerkaufsaufträgeVerkaufsaufträge Momentane Unausgeglichenheit Momentane Unausgeglichenheit

zwischen Nachfrage und zwischen Nachfrage und KapazitätKapazität

Beispiel (Bank)Beispiel (Bank)

15 Kunden kommen in einer 15 Kunden kommen in einer Stunde anStunde an

20 Kunden können bedient 20 Kunden können bedient werdenwerden

Mittlere Bedienrate >Mittlere Bedienrate >

mittlere Ankunftsratemittlere Ankunftsrate

=> trotzdem Warteschlange=> trotzdem Warteschlange

Struktur von Struktur von Warteschlangen-Warteschlangen-ProblemenProblemen Input – Customer PopulationInput – Customer Population Warteschlange von KundenWarteschlange von Kunden BedieneinrichtungBedieneinrichtung PrioritätsregelPrioritätsregel

Customer population

Warteschlange

Prioritäts-regel

Bedien-einrichtung

Bediente Kunden

Bediensystem

Customer PopulationCustomer Population

Quelle für den Input des Quelle für den Input des BediensystemsBediensystems

Endliche InputquelleEndliche Inputquelle Unendliche InputquelleUnendliche Inputquelle Geduldige/ungeduldige KundenGeduldige/ungeduldige Kunden

Das BediensystemDas Bediensystem

Anzahl der BedienungskanäleAnzahl der Bedienungskanäle

Bedieneinrichtungen Bedieneinrichtungen

Mehrere SchlangenEinzelne Schlange

Ausstattung der Ausstattung der BedieneinrichtungBedieneinrichtung

Personal, BetriebsmittelPersonal, Betriebsmittel Optimale AusstattungOptimale Ausstattung

Abhängig von Kundenanzahl und Abhängig von Kundenanzahl und der Art der angebotenen Leistungder Art der angebotenen Leistung

Einzelner oder mehrere Einzelner oder mehrere ArbeitsschritteArbeitsschritte

PrioritätsregelPrioritätsregel

FCFS – First come, first serveFCFS – First come, first serve SPT – shortest expected SPT – shortest expected

processing processing time time EDD – earliest promised due dateEDD – earliest promised due date Prä-emptivPrä-emptiv

Verwendung von Verwendung von Warteschlangen-Modellen zur Warteschlangen-Modellen zur Analyse von Arbeitsabläufen Analyse von Arbeitsabläufen (operations)(operations)

Vorteile der Effizienzsteigerung Vorteile der Effizienzsteigerung vs. dadurch entstehende Kostenvs. dadurch entstehende Kosten

Kosten durch das NichtverbessernKosten durch das Nichtverbessern

1.1. SchlangenlängeSchlangenlänge

2.2. Anzahl der Kunden im SystemAnzahl der Kunden im System

3.3. WartezeitWartezeit

4.4. Gesamte Zeit im SystemGesamte Zeit im System

5.5. Nutzung der BedieneinrichtungNutzung der Bedieneinrichtung

Betriebseigenschaften des Systems

Wahrscheinlichkeits-Wahrscheinlichkeits-verteilungenverteilungen Ankunftszeiten folgen oft einer Ankunftszeiten folgen oft einer

PoissonverteilungPoissonverteilung::

Erwartungswert u. Varianz sind Erwartungswert u. Varianz sind λλTT

Tn

en

TnTNP

!für n=0,1,2,…

Beispiel (Kundenbüro)Beispiel (Kundenbüro)

Wie groß ist die Ws., dass in der Wie groß ist die Ws., dass in der nächsten Stunde 4 Kunden nächsten Stunde 4 Kunden kommen?kommen?

– Ankunftsrate:Ankunftsrate: λλ=2=2– Zeitperiode:Zeitperiode: T=1T=1– Anzahl der Kunden:Anzahl der Kunden: n=4n=4

090,03

2

!4

241 22

4

eeNP

Ankunftszeiten – PoissonprozessAnkunftszeiten – Poissonprozess

=> Zwischenankunftszeiten => Zwischenankunftszeiten exponentialverteilt exponentialverteilt

TeTtP 1

Bedienzeiten oft exponentialverteiltBedienzeiten oft exponentialverteilt

Mittlere Bedienzeit:Mittlere Bedienzeit:

Varianz:Varianz:

TeTxP 1

1

xE

2

1

xVar

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Dichtefunktion der Exponentialverteilung

Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung

λ=2λ=1λ=0,5

λ=2λ=1λ=0,5

Beispiel (Kundenbüro)Beispiel (Kundenbüro)

Wie groß ist die Ws., dass ein Wie groß ist die Ws., dass ein Kunde weniger als 10 min Kunde weniger als 10 min Bedienzeit hat?Bedienzeit hat?

– Bedienrate:Bedienrate: μμ=3=3– Zeitperiode:Zeitperiode: T=1/6T=1/6

39,011 2

1

6

13

61

eetP

GedächtnislosigkeitGedächtnislosigkeit

A/B/sA/B/s M/M/s (memoryless)M/M/s (memoryless)

Single-Server Model (M/M/1)Single-Server Model (M/M/1)

Customer Population unendlichCustomer Population unendlich

Kunden geduldigKunden geduldig Ankunft poissonverteiltAnkunft poissonverteilt Bedienzeiten exponentialverteiltBedienzeiten exponentialverteilt FCFSFCFS Warteschlange unbeschränktWarteschlange unbeschränkt

Operative EigenschaftenOperative Eigenschaften

Auslastung des Systems

nnP )1( Ws., dass n Kunden im System sind ( 1 nP )

L mittlere Anzahl an Kunden im System

LLq mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange

1W mittlere Zeit im System

WWq mittlere Wartezeit

Beispiel (Supermarkt)Beispiel (Supermarkt)

Eigene Kassa für SeniorenEigene Kassa für Senioren 30 Kunden/Stunde bezahlen30 Kunden/Stunde bezahlen 35 Kunden bedienen35 Kunden bedienen

857,035

30

Der Kassier ist 85,7% seiner Zeit beschäftigt.

63035

30

L Im Schnitt sind 6 Senioren im System.

14,56857,0 LLq Im Mittel warten 5,14 Kunden auf ihre Bedienung.

20,03035

11

W Im Schnitt verbringen die Kunden 12

Minuten im System.

17,02,0857,0 WWq Die mittlere Wartezeit beträgt gute 10 Minuten.

Welche Bedienrate wäre Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass die Kunden notwendig, so dass die Kunden nur 8 min im System sind?nur 8 min im System sind?

1W 52,3730

133,0

11

W

Wie hoch ist dann die Ws., dass Wie hoch ist dann die Ws., dass mehr als 4 Kunden im System mehr als 4 Kunden im System sind?sind?

)4(1)4( nPnP

328,0672,01)1(114

0

4

0

n

n

nnPP

mit 80,052,37

30

Welche Bedienrate wäre Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass diese Ws. Nur notwendig, so dass diese Ws. Nur 10% beträgt?10% beträgt?

5432 )1)(1(1 P

63,0)10.0( 5

1

5

1

P

62,4763,0

30

Multiple-Server Model Multiple-Server Model (M/M/s)(M/M/s)

Wählen einen der Wählen einen der Bedienungskanäle, wenn einer Bedienungskanäle, wenn einer frei istfrei ist

Ein ArbeitsschrittEin Arbeitsschritt Gleiche Annahmen wie bei M/M/1Gleiche Annahmen wie bei M/M/1 Zusätzlich: Bedienungskanäle Zusätzlich: Bedienungskanäle

identischidentisch

Operative EigenschaftenOperative Eigenschaften

s

für

für

Auslastung des Systems

11

00 1

1

!

1

!

1

ss

n

n

snP

Ws., dass kein Kunde im System ist

sn 0

sn

0

0

!

1

!

1

Pss

Pn

Ps

sn

n

n

Wahrscheinlichkeit, dass n Kunden im System sind

02)1(!

1P

sL

s

q

mittlere Anzahl an Kunden

in der Warteschlange

q

q

LW mittlere Wartezeit

1

qWW mittlere Zeit im System

WL mittlere Anzahl an Kunden im System

Beispiel (Verladestation)Beispiel (Verladestation)

4 Ablade-Stationen4 Ablade-Stationen Pro Station ein Arbeitsteam - Pro Station ein Arbeitsteam -

$30/h$30/h Verlust - $50/hVerlust - $50/h 3 LKWs pro Stunde3 LKWs pro Stunde Team benötigt 1 Stunde fürs Team benötigt 1 Stunde fürs

AusladenAusladen

Wie hoch sind nun die stündlichen Wie hoch sind nun die stündlichen Kosten dieses Betriebs?Kosten dieses Betriebs?

75,041

3

s

0377,075.01

1

24

8113

1

1

!

1

!

111

1

00

ss

n

n

snP

53,10377,0)75,01(

75,0

24

81

)1(!

1202

Ps

Ls

q

51,03

53,1

q

q

LW

51,1151,01

qWW

53,451,13 WL LKWs im System

Lohnkosten $30∙s=$30∙4 = $120,00

Verlust der LKWs$50∙L=$50∙4

,53= $226,50

Gesamte Kosten/Stunde $346,50

Finite-Source ModelFinite-Source Model

Gleiche Annahmen wie Single-Gleiche Annahmen wie Single-Server außer:Server außer:

Customer Population endlich (N)Customer Population endlich (N)

Operative EigenschaftenOperative Eigenschaften

1

00 )!(

N

n

n

nN

NP

Ws., dass kein Kunde im System ist

01 P Auslastung des Systems

)1( 0PNLq

mittlere Anzahl an Kunden

in der Warteschlange

)1( 0PNL

mittlere Anzahl an Kunden im System

1)( LNLW qq mittlere Wartezeit

1)( LNLW mittlere Zeit im System

Beispiel (Roboter)Beispiel (Roboter)

10 Roboter in Betrieb10 Roboter in Betrieb Zeit zwischen Ausfälle: 200 Zeit zwischen Ausfälle: 200

StundenStunden Pro Stunde Ausfall Kosten von Pro Stunde Ausfall Kosten von

$30$30 10 Stunden für Reparatur10 Stunden für Reparatur Arbeiter bekommt $10/hArbeiter bekommt $10/h

Wie hoch sind nun die täglichen Kosten Wie hoch sind nun die täglichen Kosten für den Arbeiter und der ausgefallenen für den Arbeiter und der ausgefallenen Maschinen?Maschinen?

005,0200

1 Ausfälle pro Stunde

10,010

1 Roboter werden pro Stunde bedient

538,010,0

005,0

)!10(

10

)!(

110

0

1

00

n

nN

n

n

nnN

NP

462,01 0 P oder 46,2%

30,0462,0005,0

105,010)1( 0

PNLq

Roboter in der Warteschlange

76,0462,0005,0

10,010)1( 0 PNL

Roboter im System

49,6005,024,930,0)( 11 LNLW qqStunden Wartezeit

45,16005,024,976,0)( 11 LNLW Stunden im System

Lohnkosten$10∙8∙0,46

2= $ 36,96

Verlust durch Ausfall

$30∙8∙0,76 = $182,40

Gesamte Kosten/Tag $219,36

Entscheidungsbereich Entscheidungsbereich des Managementsdes Managements

1.1. AnkunftsrateAnkunftsrate

2.2. Anzahl der BedienungseinrichtungenAnzahl der Bedienungseinrichtungen

3.3. Anzahl der ArbeitsschritteAnzahl der Arbeitsschritte

4.4. Anzahl der Bediener pro Anzahl der Bediener pro BedieneinrichtungBedieneinrichtung

5.5. Effizienz der BedienerEffizienz der Bediener

6.6. PrioritätsregelPrioritätsregel

7.7. Anzahl der WarteschlangenAnzahl der Warteschlangen