1

Warunek plastyczności

Dla materiału izotropowego i idealnie plastycznego przyjmuje się, że kryterium uplastycznie-

nia jest pewną funkcją stanu naprężenia, co ogólnie można zapisać:

( ) 0=ijF σ .

Funkcja F, pojawiająca się w warunku plastyczności, nazywana jest kryterium uplastycznie-

nia, a opisana nią hiperpowierzchnia w przestrzeni naprężeń nazywana jest powierzchnią pły-

nięcia plastycznego.

Jeśli materiał wykazuje wzmocnienie plastyczne można mówić o początkowej i aktualnej

powierzchni płynięcia plastycznego.

Dla ciała idealnie plastycznego (bez wzmocnienia) rozróżnienie pomiędzy procesami czyn-

nymi i biernymi dokonuje się poprzez warunek plastyczności. Proces jest procesem biernym,

jeśli:

( ) 0<ijF σ lub ( ) 0=ijF σ i 0<∂

∂ij

ij

Fσ

σ& ,

2

a procesem czynnym, jeśli:

( ) 0=ijF σ i 0=∂

∂ij

ij

Fσ

σ& .

Procesy ( ) 0>ijF σ dla idealnej plastyczności nie istnieją.

Dla ciała izotropowego powyższy warunek nie może zależeć od kierunków, może natomiast

zależeć od naprężeń głównych albo niezmienników tensora naprężenia:

( ) 0,, 321 =JJJF .

Tak ogólnie sformułowany warunek nie uwzględnia właściwości charakterystycznych mate-

riału. Jednym z powszechnie występujących faktów doświadczalnych jest słaba zależność uplastycznienia albo wręcz jej brak od stanu hydrostatycznego. Dlatego można np. przyjąć, że

warunek plastyczności zależy od jedynie od niezmienników dewiatora naprężenia. Ponieważ pierwszy niezmiennik dewiatora jest zawsze równy zero, mamy:

( ) 0, '3

'2 =JJF .

Jest to równanie walcowej powierzchni plastyczności o osi równo nachylonej do osi układu

współrzędnych w przestrzeni naprężeń Haigha-Westergaarda (Haigha-Beckera).

3

Jeśli materiał nie wykazuje efektu Bauschingera, czyli że granica plastyczności przy rozcią-ganiu i przy ściskaniu jest zawsze taka sama, warunek plastyczności powinien być parzystą funkcją trzeciego niezmiennika dewiatora naprężenia:

( ) ( )'3

'2

'3

'2 ,, JJFJJF −= .

Najczęściej stosowanymi warunkami plastyczności, opartymi o równanie walcowych po-

wierzchni plastyczności są:

− warunek Hubera (1904) – Misesa (1913) –Hencky’ego (1924)

− warunek Tresca’i (1868) – Guesta (1900),

popularnie zwane kryteriami HMH i TG (CTG).

Kryterium Hubera stanowi, że o uplastycznieniu decyduje gęstość energii odkształcenia po-

staciowego:

ijijf es21=Φ

czyli że zależy wyłącznie od drugiego niezmiennika dewiatora naprężenia:

( )'

2JFFHMH = ,

4

czyli:

002

30 =−=− σσσ ijiji ss

albo wyrażone w naprężeniach:

( ) ( ) ( ) ( ) 02620

222222=−+++−+−+− στττσσσσσσ zxyzxyxzzyyx .

Z porównania ze stanem jednoosiowym wynika wzór na naprężenie zredukowane:

ijij ss23

red =σ .

W przestrzeni Haigha-Westergaarda powierzchnię płynięcia plastycznego obrazuje walec o

promieniu 032 σ . Na płaszczyźnie dewiatorowej Meldahla const321 =++ σσσ jest okrąg.

Kryterium Tresca’i jest maksymalne naprężenie styczne.

( ) 021

21

max const σσστ ==−= IIII ,

gdzie indeksy rzymskie oznaczają naprężenia główne uporządkowane algebraicznie; w naprę-żeniach:

( )[ ]( )[ ]( )[ ] 020

213

20

232

20

221 =−−−−−− σσσσσσσσσ .

5

Wyjaśnia się przyjęcie takiego kryterium liniami poślizgu w metalach czy stożkowymi po-

wierzchniami uszkodzenia betonu ściskanego.

W przestrzeni Haigha-Westergaarda jest to foremny sześciokątny walec wpisany w walec

Hubera a na płaszczyźnie dewiatorowej jest to sześciokąt foremny wpisany w okrąg Hubera.

Szczególny przypadek czystego ścinania

τττ == zyyz , czyli 0, 231 ==−= στσσ

bywa wykorzystywany przy doświadczalnym porównywaniu obu warunków plastyczności.

Naprężenie odpowiadające wówczas uplastycznieniu wynosi

0TG00

HMH 5.0,58.03

σσσσ

σ =≈= .

Oba powyższe warunki łączy fakt, że warunki plastyczności mogą być formułowane jako

warunki narzucone jedynie na dewiatory naprężenia, a więc nie zależą od średniego napręże-

nia normalnego mσ i co za tym idzie ciśnienie hydrostatyczne nie ma wpływu na osiągnięcie

stanu plastycznego.

Charakterystyczne dla warunku TG jest niezależność od średniego naprężenia głównego 2σ .

6

Ogólnie krzywa płynięcia plastycznego na płaszczyźnie dewiatorowej powinna spełniać na-

stępujące warunki:

− nie przechodzić przez początek układu współrzędnych, ponieważ odkształcenia plastyczne

powstają tylko przy znacznych naprężeniach,

− promień wychodzący z początku układu współrzędnych powinien przecinać krzywą tylko

jeden raz (w przeciwnym wypadku występowałyby dwa podobne stany naprężeń spełnia-

jące warunek płynięcia, co jest niemożliwe)

− krzywa powinna być symetryczna względem osi naprężeń głównych z powodu izotropo-

wości ciała.

Mendelson (1968) wykazał, że jeśli założymy warunek plastyczności dający na płaszczyźnie

dewiatorowej krzywą wypukłą, spełniający warunek izotropii i izonomiczności oraz niezależ-ność od naprężenia hydrostatycznego, wszystkie możliwe przecięcia z płaszczyzną dewiato-

rową muszą leżeć pomiędzy dwoma sześciokątami foremnymi: opisanym i wpisanym w

okrąg Hubera.

Sześciokąt opisany na okręgu Hubera odpowiada kryterium maksymalnego naprężenia dewia-

torowego, SIH: Schmidta (1932) – Ishlinskiego (1940) – Hilla (1950):

[ ] 032

321 const,,max σσσσσσσ ==−−− mmm .

7

Innym kryterium, zawierającym kryteria HMH i TG jako przypadki szczególne, jest kryte-

rium Hersheya (1954) – Davisa (1961), HD:

nnnn

0133221 2σσσσσσσ =−+−+− .

Dla n = 2 lub n = 4 kryterium HD pokrywa się z HMH, dla ∞→n z TC. Jeśli n > 4 to krzywa

HD leży pomiędzy TG i HMH a dla 2 < n < 4 leży na zewnątrz HMH.

σ1

σ2

σ3

SIH

HMH

HD

TG

Warunki plastyczności na płaszczyźnie dewiatorowej

8

Walcowe powierzchnie plastyczności wymagają pewnego ograniczenia ich stosowalności,

zwłaszcza dla przypadku trójosiowego rozciągania. Mimo, że powierzchnia plastyczności jest

nieograniczona, może dojść do dekohezji poprzedzającej jakiekolwiek deformacje plastyczne.

Jeśli wprowadzi się hipotezę de Saint-Venanta jako ograniczenie dla warunku plastyczności

HMH, otrzymuje się hipotezę Pełczyńskiego (1951), która walec huberowski obcina trzema

płaszczyznami stałych wydłużeń.

Gdy podobne ograniczenie zastosuje się do walca Tresca’i, otrzymuje się hipotezę Daviden-

kova (1947) – Friedmana (1946).

Dla kryształów stosowana jest hipoteza Lebiedieva (1968) opisująca „gładkie” przejście od

plastycznego płynięcia do dekohezji, co wydaje się być bardziej uprawnione:

−=+ βασσ βα ,,,,1 BABA Ii stałe

9

Obrotowo symetryczne powierzchnie płynięcia

Dla szerokiej klasy materiałów uplastycznienie zależy od hydrostatycznego ciśnienia i może

być opisane równaniem obrotowo symetrycznej powierzchni płynięcia, której osią symetrii

jest oś równo nachylona do osi naprężeń głównych. Równanie może być zapisane poprzez

główne niezmienniki tensora naprężenia jak i przez naprężenie średnie i intensywność naprę-żenia:

( ) 0, 21 =sJJF σ , lub ( ) 0, =emF σσ .

Zgodnie z hipotezą Burzyńskiego (1928-29), obrotowa powierzchnia płynięcia może być za-

pisana przez 3-parametrowy warunek:

0122 =−++ mme CBA σσσ .

Stałe materiałowe A, B i C mogą być oszacowane na podstawie testów:

i. jednoosiowego rozciągania, ++ == 031

0 , σσσσ me ,

ii. jednoosiowego ściskania, −− −== 031

0 , σσσσ me ,

iii. prostego ścinania, 0,3 0 == me στσ ,

10

skąd otrzymuje się trójparametrowe kryterium uplastycznienia Burzyńskiego:

( ) 033

93

00002

20

002

20

00 =−−+

−+ −++−

−+−+

σσσσσστ

σσσ

τ

σσmme .

W szczególnym przypadku, przyjmując:

3

000

−+

=σσ

τ lub ( )−+

−+

+=

00

000

3

2

σσ

σστ

liczba niezależnych parametrów redukuje się do dwóch, skąd otrzymuje się dwuparametrową aproksymację warunku plastyczności Burzyńskiego za pomocą paraboloidy:

( ) 03 00002 =−−+ −++− σσσσσσ me

lub kołowego stożka:

023

00

00

00

00 =+

−+

−+

−+

−+

+−

+−

σσ

σσσ

σσ

σσσ me

11

−0σ

+0σ

30−

−σ

30+σ ( )−+

−+

− 00

00

3

2

σσ

σσ ( )−+

−+

− 00

00

3 σσ

σσ

Burzyński

walec

Hubera

ii

iii

i

σm

σe

stożek

kołowy

paraboloida

Aproksymacje hipotezy Burzyńskiego

12

Warunki stanu granicznego w gruntach i mechanice skał

Poprzednie koncepcje znajdują zastosowanie głównie do metali.

Dla kruchych materiałów i granulatów takich jak skały i grunty, musi być zastosowany bar-

dziej ogólny warunek. W przypadku skał inicjalizacja i niestabilny wzrost spękania może być traktowany jako stan graniczny zależny od historii procesu.

Dla gruntów początek nieograniczonego płynięcia plastycznego określa stan graniczny odpo-

wiadając modelowi idealnej plastyczności.

Zależnie od panującego ciśnienia hydrostatycznego ten sam materiał może zachowywać się jak plastyczny albo kruchy. Stąd zależność powierzchni granicznej od pierwszego niezmien-

nika naprężenia jest niezbędna.

Zgodnie z teorią Mohra (1900), zniszczenie materiału skalnego czy zapoczątkowanie płynię-cia plastycznego gruntu zależą od ekstremalnych naprężeń głównych. Stan graniczny w

układzie τσ − jest obwiednią największych kół Mohra. Oznaczając środek koła przez p i jego

promień jako q, można zapisać warunek stanu granicznego w ogólnej postaci jako:

( ) ( )IIII2

1IIII2

1 ,),( σσσσ −=+−== qpqfp ,

13

który w przestrzeni Haigha-Westergaarda przedstawia krzywoliniową piramidę utworzoną przez 6 gładkich powierzchni przecinających się wzdłuż 6 krawędzi. Jeśli powyższa zależ-ność jest znana, definiuje się obwiednię największych kół Mohra:

0),( =τσf .

Warunek paraboliczny jest często stosowany zarówno do skał jak i gruntów:

2τσ ab +=

Coulomb (1776) sugerował liniową postać pomiędzy p i q, zwaną warunkiem Coulomba:

0cossin =−− ψψ cpq

gdzie c jest kohezją (spoistością) a ψ kątem tarcia wewnętrznego. Równanie obwiedni zapisu-

je się:

ψστ tan−= c .

14

τ

σ

σc σt

Obwiednia paraboliczna kół Mohra

W przestrzeni Haigha-Westergaarda warunek ten przedstawia nieregularną piramidę, której

osie pokrywają się z linią hydrostatyczną a wierzchołek ma współrzędne ψσσσ tan321 c=== .

Przekroje płaszczyzną const3 =σ przedstawiają nieregularne sześcioboki, które maleją ze

wzrostem 3σ .

15

Inną propozycję warunku stanów granicznych stanowi warunek Hubera-Schleichera w postaci

paraboloidy obrotowej n-tego stopnia:

( ) 013

122 =−+− kJJ

n

s σα .

Dla n = 1 powyższe równanie redukuje się do warunku Druckera-Pragera (1953):

013

12 =−+− kJJ s σα ,

przedstawiający kołowy stożek będący rozszerzeniem warunku plastyczności HMH. Uogól-

nieniem warunku plastyczności TG jest propozycja Druckera:

( ) 013

1 =−+− mJIIII σβσσ ,

gdzie powierzchnia graniczna jest regularną piramidą o podstawie sześciokątnej.

16

σ1

σ2

stożek

Druckera-

Pragera

piramida

Druckera

piramida

Coulomba

Porównanie warunków granicznych dla gruntów i skał

17

Warunek idealnej plastyczności dla materiałów anizotropowych

W zasadzie polikryształy są materiałami początkowo i oryginalnie izotropowymi. W wyniku

jednak wielu procesów kształtowania plastycznego stają się anizotropowe. Nazywa się to ani-

zotropią wymuszoną naprężeniami/odkształceniami. Zazwyczaj anizotropia nie jest „zupełna”

i zwykle można ograniczyć się do prostego przypadku ortotropii, anizotropii o 3 prostopa-

dłych do siebie płaszczyznach symetrii.

Warunek idealnej plastyczności dla materiału anizotropowego przedstawiony został przez

Misesa (1928) z użyciem tensora modułów plastyczności czwartego rzędu:

1=Π klijijkl σσ .

Z uwagi na wymagania symetrii z 81 modułów jedynie 21 jest niezależnych. W przypadku

ortotropii i niezależności uplastycznienia od naprężenia średniego otrzymuje się sześciopara-

metrowy warunek Hilla:

( ) ( ) ( ) 1222 222222=+++−+−+− xyzxyzyxxzzy NMLHGF τττσσσσσσ .

Moduły F, ... , N wyznacza się na podstawie sześciu prób wytrzymałościowych: rozciągania

lub ściskania w 3 kierunkach oraz ścinania w trzech płaszczyznach.

18

Przykład 1

g = 6.35 mm (1/4 ")

p pσa

σc

Stalowy walczak cienkościenny

Cienkościenny walczak o średnicy 2 cale i grubości ścianki ¼ cala oddany jest ciśnieniu we-

wnętrznemu p. Określić wartość ciśnienia, przy którym pojawi się płynięcie plastyczne. Przy-

jąć dla stali 2250 =σ MPa.

19

Rozwiązanie:

stan naprężenia jest dwuosiowy (trzecie naprężenie po grubości ścianki, jak wynika z warun-

ków brzegowych, jest równe od wewnątrz p i 0 od zewnątrz):

pp p

σ

σ

σ

σx

x

r

r

Obliczenie naprężeń osiowych i obwodowych z równań równowagi

z sumy rzutów wynika, że naprężenie obwodowe jest dwukrotnie większe od naprężenia

osiowego:

g

pD

g

pDac

4,

2== σσ .

dla powłoki cienkościennej, 1>>g

D , naprężenie w trzecim kierunku (promieniowym) jest

znacznie mniejsze i może być pominięte.

Wg kryterium TG:

uporządkowane algebraicznie naprężenia główne są:

20

0,, 321 ==== rac σσσσσσ ,

skąd:

222

031max

σσσστ ==

−= c ,

i ostatecznie

625.52 0 === K

D

gp

σMPa

Wg kryterium HMH:

warunek plastyczności dla stanu dwuosiowego:

20

22 σσσσσ =−+ caca

po podstawieniu mamy:

202

22

2

22

2

22

8416σ=−+

g

Dp

g

Dp

g

Dp

skąd

495.63

40 === Kσ

D

gp MPa

21

Przykład 2

2a

O

θ

r

x

y

σσ

σ

σ

Obciążona półpłaszczyzna ze szczeliną

22

Płaszczyzna ze szczeliną o długości 2a poddana jest dwuosiowemu obciążeniu, jak na rysun-

ku. Jeśli początek układu współrzędnych znajduje się na końcu szczeliny, pole naprężenia

wokół naroża wyraża się wzorami:

2cos

2

3cos

2sin

2

2

3sin

2sin1

2cos

2

2

3sin

2sin1

2cos

2

1

1

1

θθθ

πτ

θθθ

πσ

θθθ

πσ

r

K

r

K

r

K

xy

y

x

=

+=

−=

,

gdzie K1 jest współczynnikiem intensywności naprężeń. Określić front plastyczny na podsta-

wie kryteriów uplastycznienia TG i HMH.

Rozwiązanie:

a) warunek TG:

obliczamy naprężenia główne:

.2

sin12

cos2

,2

sin12

cos2

12

11

−=

+=

θθ

πσ

θθ

πσ

r

K

r

K

23

(i) płaski stan naprężenia: 03 =σ

dla πθ ≤≤0 warunek plastyczności:

01

12

sin12

cos2

σθθ

πσ =

+=

r

K

i równanie frontu plastycznego ma postać:

2

2

20

21

2sin1

2cos

2

+=

θθ

πσ

Kr

(ii) płaski stan odkształcenia: ( ) ( )213 σσνσσνσ +=+= yx

dla 5.0<ν naprężenie 1σ jest zawsze największe, natomiast są dwie możliwości odnośnie

pozostałych naprężeń głównych, zależnie od liczby Poissona

jeżeli 321 σσσ >> , to warunek płynięcia plastycznego:

( ) 021 1 σνσνσ =−−

a front plastyczny:

( )2

2

20

21

12

sin212

cos2

+−=

θν

θ

πσ

Kr

jeżeli natomiast 231 σσσ >> to warunek uplastycznienia:

021 σσσ =−

24

i front plastyczny

+=

2sin31

2cos

2

22

20

21

2θθ

πσ

Kr

b) kryterium HMH

(i) płaski stan naprężenia ( 03 =σ )

postępując analogicznie, mamy równanie frontu plastycznego:

+=

2sin31

2cos

2

22

20

21 θθ

πσ

Kr

(ii) płaski stan odkształcenia:

( )

+−=

2sin321

2cos

2

222

20

21 θ

νθ

πσ

Kr

Poniższy wykres przedstawia front plastyczny dla w/w przypadków oraz 25.0=ν i bezwymia-

rowego promienia ( )21

20 /2 Kr πσ .

25

Uplastycznienie wokół naroża szczeliny

26

Warunek plastyczności dla materiałów o właściwościach zależnych od ci-śnienia

Hipoteza Rankine’a stanowi uogólnienie hipotezy Galileusza na materiały nieizonomiczne i

może być traktowana jako hipoteza właściwości materiału zależnych od ciśnienia hydrosta-

tycznego.

σ1 σ2

σ3

Rb

Rb

Rbz

Rbz

σ1

σ2

σ3

σ1

σ3 oś aksjatorów

Hipoteza Clebscha-Rankine’a

Jest to widoczne przy zapisie dla sektora 60° (osie symetrii co 60 stopni):

( ) 03cos32,, 01221 =−+= σθθ IIIIf .

27

Podobnie dla hipotezy Mohra-Coulomba:

ψστ tan−= c ,

która dla materiałów bez tarcia wewnętrznego przechodzi w hipotezę Tresci-Guesta (kohezja

czyli spoistość odpowiada wówczas granicy plastycznej dla ścinania).

τ

σc

cσ1σ3

φφ

0.5(σ +σ )1 2

| |=c- tanτ σ φ

0.5(σ −σ )1 2

c.cosφ

Hipoteza Mohra-Coulomba

28

Hipoteza Mohra-Coulomba może być zapisana w innej postaci, zgodnie z rysunkiem:

φφσσ

σσφσσ tansin2

)(5.0cos)(5.0 212121

−++−=− c

a po podstawieniu:

φ

φ

φ

φ

φ

φ

sin1

sin1

'

',

sin1

cos2',

sin1

cos2'

−

+==

+=

−=

t

ctc

f

fm

cf

cf

i przekształceniach:

32131 ,' σσσσσ ≥≥=− cfm

a więc podobnie do warunku Tresci-Guesta (dla m = 1 postać jest identyczna).

29

σ /1 f 'c

σ /2 f 'c σ /3 f 'c

σ /1 f 'cσ /2 f 'c

m=1

1.7

5.9

Hipoteza Mohra-Coulomba dla 03 =σ i na płaszczyźnie dewiatorowej

30

Warunek Druckera-Pragera jest uogólnieniem warunku MHM, poprzez dodanie członu zależ-nego od pierwszego niezmiennika tensora naprężenia:

0021 =−+ σα JI ,

co powoduje przesunięcie elipsy HMH i jest „obwiednią” dla kryterium Mohra-Coulomba:

f 'c

f 'cf 't

f 't

σ1

σ2

-σ1

σ1

-σ3σ3

-σ2 σ2

Drucker-Prager

Mohr-Coulomb

θ=60ο

HMH

Kryterium Druckera-Pragera

31

Przykład

Materiał, którego granica plastyczności na ściskanie jest dziesięciokrotnie większa niż na roz-

ciąganie, poddany jest naprężeniu normalnemu σ oraz stycznemu τ. Na podstawie warunku

Coulomba-Mohra oraz Druckera-Pragera sporządzić krzywe interakcji odpowiadające płynię-ciu plastycznemu.

Rozwiązanie:

a) naprężenia główne z kół Mohra:

022

,0,022

32

2

212

2

<=+

−=>=+

+ στ

σσσστ

σσ

podstawiając do warunku Mohra-Coulomba, otrzymujemy, podstawiając ct ff ''101= :

140/''

'22

2011

209

=

+

+

cc

c

ff

f τσ.

b) dla kryterium Druckera-Pragera, wyrażamy stałe materiałowe k,α poprzez granice

tc ff ',' , mamy:

32

311

9,'

311

2== αcfk ,

co dla stanu naprężenia σ=1I , 22

31

2 τσ +=J prowadzi do: 0022

31 =−++ στσασ .

Po wstawieniu do kryterium płynięcia, mamy: 130/''

'22

2011

209

=

+

+

cc

c

ff

f τσ.

σ

τ

33

Teorie idealnej plastyczności

Teoria odkształceniowa Hencky-Iliuszyna

Teoria odkształceniowa plastyczności zwana także teorią małych odkształceń sprężysto-

plastycznych, została sformułowana ogólnie przez Hencky’ego (1924) a rozwinięta przez Iliu-

szyna (1943). Zakładając istnienie związku pomiędzy tensorem naprężenia i tensorem od-

kształcenia stanowi uogólnienie związków fizycznych nieliniowej teorii sprężystości.

Postuluje się, że:

− kierunki główne tensora naprężenia pokrywają się z kierunkami głównymi tensora od-

kształcenia,

− naprężenie średnie jest proporcjonalne do odkształcenia średniego, a współczynnik pro-

porcjonalności jest taki sam jak w prawie zmiany objętości (Hooke’a),

− intensywność naprężenia jest funkcją intensywności odkształcenia, którą należy wyzna-

czyć na drodze doświadczalnej.

Równania procesów czynnych mają postać:

σε ϕ DD = , σε AK

A3

1=

lub wskaźnikowo:

34

ijij se ϕ= , kkkkE

σν

ε21−

= ,

gdzie funkcja ( ) ( )Gi 21, >= ϕεϕϕ określa zaawansowanie odkształceń plastycznych. Dla ide-

alnej plastyczności funkcja ta może być wyznaczona z warunku plastyczności. Mnożąc ska-

larnie pierwsze z równań przez siebie:

ijijijij ssee2ϕ=

i wykorzystując definicje intensywności naprężeń i odkształceń:

ijijiijiji eess32

23 , == εσ

dostajemy po podstawieniu warunku huberowskiego:

0

23

232

3222

23 ,

σσ

εϕσϕε

ijij

i

i

ii

ee==⇒=

Do opisu procesów biernych przyjmuje się odmienne równania (inaczej niż ma to miejsce w

nieliniowej teorii sprężystości):

( )ijijijij ss

Gee −=− ~

2

1~ ,

gdzie wężykiem oznaczono punkt z którego rozpoczyna się proces bierny. Równanie granicy

pomiędzy obszarem procesów czynnych i procesów biernych otrzymamy żądając jednocze-

35

snego spełnienia równań procesów biernych i warunku plastyczności, np. HMH. Otrzymuje

się w ten sposób równanie powierzchni procesów neutralnych.

Z powyższego równania wyliczamy dewiator naprężenia dla procesu biernego:

( )ijijijij eeGss −−= ~2~

i wstawiamy do warunku plastyczności: 2

032

0 0 σσσ =⇒=− ijiji ss

dostając:

( )[ ] ( )[ ] 2

032~2~~2~ σ=−−−− ijijijijijij eeGseeGs ,

czyli:

( ) ( ) ( )( ) 2

0322 ~~4~~2~~2~~ σ=−−+−−−− ijijijijijijijijijijijij eeeeGeesGeesGss

a ponieważ również i ijs~ spełnia warunek plastyczności, dzieląc przez 4G:

( )( ) ( ) 0~~~~ =−−−− ijijijijijijij eeseeeeG .

Jedną z osobliwości teorii H-I jest to, że zmniejszanie się intensywności odkształceń nieko-

niecznie oznacza proces bierny.

Jako przykład rozpatrzmy proces dwóch składowych naprężenia stycznego wywołujących

jedynie odkształcenia kątowe:

xzxyxzxy γγττ ,, → ,

36

a warunek plastyczności sprowadza się do: 2

0

22τττ =+ xzxy .

Proces neutralny opisuje okrąg o środku przesuniętym:

( )[ ] ( )[ ] 0~~~~ 2

0

22=−−−+−− τγγτγγτ xzxzxzxyxyxy GG

a stałość intensywności odkształceń okrąg o środku w początku układu:

const~~ 2222=+=+ xzxyxzxy γγγγ

Promień pierwszego okręgu wynosi G0τ a drugiego ( )22

xzxy γγ + . Jak widać z rysunku,

mimo spadku intensywności odkształceń, proces może być aktywny, co niezbyt odpowiada

rzeczywistym procesom.

37

γxz

γxy

stała intens.

odkształceń

początkowy

stan neutr.

aktualny

stan neutr.

proces aktywny

proces bierny

Procesy czynne i bierny na płaszczyźnie odkształceń

Mimo swej prostoty i pewnych wad teoria H-I może być z powodzeniem stosowana w wielu

przypadkach prostych obciążeń.

38

Teoria płynięcia Levy-Misesa

Jest to najstarsza teoria plastyczności zaproponowana przez Levy’ego (1870). W przeciwień-stwie do teorii odkształceniowej zaniedbuje się odkształcenia sprężyste i postuluje się model

ciała sztywno-plastycznego, w którym istnieje proporcjonalność pomiędzy dewiatorami na-

prężenia i prędkości (małego) odkształcenia:

σε λDD =&

,

lub w zapisie wskaźnikowym:

ijij se λ=& .

Powyższe równanie przypomina do pewnego stopnia równanie stanu dla materiału reologicz-

nego i dlatego teoria często zwana jest teorią plastycznego płynięcia, a samo równanie pra-

wem płynięcia.

Nieznana funkcja λ powinna zostać wyznaczona z warunku plastyczności. Pierwotnie Levy

zaproponował warunek Tresca’i ale – jak zauważył Mises – warunek huberowski jest wygod-

niejszy. Stosując podobną procedurę jak w teorii H-I (mnożąc obie strony przez ijs ), mamy:

ijijijij sses λ=& ,

z definicji intensywności naprężeń i warunku plastyczności jest:

39

2

0322

32

23 σσσ ==⇒= iijijijiji ssss

dostajemy:

2

0

2

02

3

2

3

σσλ

Wes ijij&&

== ,

gdzie W& jest gęstością mocy odkształceń (tutaj wyłącznie plastycznych), czyli moc na jed-

nostkę objętości.

Podstawiając otrzymaną funkcję do równania stanu, po formalnym pomnożeniu przez róż-niczkę czasu, otrzymujemy równanie w formie przyrostowej gdzie czynnik czasu został wy-

eliminowany:

ij

klkl

ij sdes

de2

02

3

σ= .

Teoria Levy-Misesa zaniedbuje odkształcenia sprężyste a więc:

− w prawie zmiany objętości powinno się podstawiać ∞→E , co prowadzi do warunku

nieściśliwości,

− powierzchnię neutralną w przestrzeni naprężeń opisuje warunek plastyczności,

− powierzchnia neutralna w przestrzeni odkształceń redukuje się do punktu: każdy ruch w

przestrzeni odkształceń jest procesem czynnym

40

− procesy bierne odpowiadają zachowaniu się bryły sztywnej

Mimo zasadniczych różnic fizykalnych teorie H-I i L-M są podobne matematycznie, jeśli oznaczyć takimi samymi symbolami odkształcenia i pochodne odkształcenia. Stąd, jeśli od-

kształcenia i ich pochodne mogą być wyeliminowane jako parametry w trakcie rozważań (np.

w problemach nośności granicznej), obie teorie prowadzą do identycznych wyników.

Teoria płynięcia Prandtla-Reussa

Prandtl (1924) i Reuss (1930) uogólnili związki teorii L-M na przypadek odkształceń sprężys-

tych, dodając prędkości odkształceń sprężystych i plastycznych:

σσε λ&&

DG

DD2

1+=

lub wskaźnikowo:

ijijij sG

se &&2

1+= λ .

Ponieważ fizycznie powyższe równania niewiele się różnią od poprzednich L-M, również i do

nich stosuje się nazwę teorii płynięcia plastycznego (lub płynięcia sprężysto-plastycznego).

Nieznaną funkcję λ należy wyznaczyć z warunku plastyczności, dla którego obliczamy po-

chodną po czasie:

41

0020232

0

2

0 =⇒=⇒=⇒=− ijijijijii ssss &&σσσσ

i mnożąc równania wyjściowe przez dewiator naprężenia:

ijijijijijijijij ssssG

ssse λλ =+= &&2

1

mamy identycznie jak poprzednio dla teorii L-M:

2

02

3

σλ

ijij

ijij

ijij se

ss

se &&== .

Wyrażenie w liczniku ponownie określa gęstość mocy odkształceń plastycznych, gdyż z de-

kompozycji odkształceń na plastyczne i sprężyste wynika, że drugi człon znika:

( ) p

ijij

ij

ij

p

ijij

e

ij

p

ijijijij esG

sseseesse &

&&&&& =+=+=

2.

Podobnie jak poprzednio, czas może zostać wyeliminowany ze związków fizycznych poprzez

formalne mnożenie przez różniczkę czasu; mamy wówczas postać przyrostową prawa płynię-cia:

ij

klklij

ij sdes

G

dsde

2

02

3

2 σ+= .

42

Opis rzeczywistych właściwości materiałów teorią P-R jest znacznie lepszy, niemniej jednak

pojawiają się pewne komplikacje. Tensory kierunków i podobieństwa naprężeń i odkształceń są równe jedynie osobno dla części sprężystej i osobno dla części plastycznej. Procesy neu-

tralne opisane są warunkiem plastyczności i przyjęciem 0=λ . Niemniej jednak na granicy

sprężysto-plastycznej funkcja jest w ogólności różna od zera i najłatwiej granicę jest znaleźć przyjmując 0σσ =i dla rozwiązania sprężystego. Rozgraniczenie pomiędzy procesami czyn-

nymi i biernymi jest podobne jak w teorii H-I. Dla procesów biernych równanie przyrostowe:

ijij Gdeds 2=

Jeśli rozwiązanie problemu z zastosowaniem teorii H-I jest łatwiejsze, to takie rozwiązanie

może być sprawdzone poprzez weryfikację równań teorii P-R.

Porównanie teorii, dyskusja

Klasyczne teorie: odkształceniowa H-I i płynięcia mogą być otrzymane jako przypadek

szczególny ogólniejszej liniowej teorii tensorowej Hohenemsera-Pragera (1932):

04321 =+++ ijijijij eess && αααα ,

gdzie 3 współczynniki są stałe a jeden jest funkcją odkształceń wyznaczaną z warunku pla-

styczności. Stąd, mimo że równanie jest „liniowe tensorowo”, w rzeczywistości jest nielinio-

wym związkiem między naprężeniami i odkształceniami.

43

Jeszcze bardziej ogólną postać zaproponował Reiner (1945):

kjikijijij εεαεαδασ &&&210 ++=

gdzie ijε& jest prędkością odkształceń zarówno sprężystych, sprężysto-plastycznych jak i

sztywno-plastycznych.

Teorie płynięcia plastycznego odnoszą naprężenia do prędkości odkształceń, podczas gdy w

teorii odkształceniowej postulowana jest wzajemnie jednoznaczna zależność pomiędzy naprę-żeniami i odkształceniami. Inaczej mówiąc w teoriach płynięcia stan naprężenia zależy od

trajektorii obciążenia (historii) a w teorii odkształceniowej – nie. W niektórych przypadkach

teorie są zbieżne. Aby stwierdzić w jakich, pomnóżmy je skalarnie przez dewiator naprężenia:

ijijijijijij ssssse ϕϕ &&& += (H-I)

ijijijijijij ssssG

se λ+= &&2

1 (P-R)

Ponieważ, jak już wcześniej zostało wykazane, 0=ijij ss& , części prawych stron są identyczne

jeśli: 0=− λϕ& .

Można więc wówczas zapisać:

ijijij sse λϕ += && (H-I)

44

ijijij ssG

e λ+= &&2

1 (P-R)

Po odjęciu stronami i odrzuceniu przypadku trywialnego G21=ϕ otrzymujemy warunek

zgodności:

0=ijs& lub inaczej 0

ijij ss = .

Całkowanie któregokolwiek z równań fizycznych przy warunku stałości naprężeń prowadzi

do odpowiadającego mu warunku proporcjonalnego wzrostu składowych dewiatora odkształ-

cenia:

)(0tfee ijij = .

Proces opisany powyższym równaniem nazywany jest prostym procesem deformacji lub pro-

cesem prostym. W takim procesie również i składowe dewiatora naprężenia rosną proporcjo-

nalnie. Sprawdzenie tego wprost jest uciążliwe. Iliuszyn sformułował użyteczne twierdzenie o

prostym (proporcjonalnym) obciążaniu, usuwające tę trudność. Zgodnie z twierdzeniem pro-

ces obciążania jest prosty, jeśli wszystkie obciążenia zewnętrzne rosną proporcjonalnie.

Przykład: rura cienkościenna poddana rozciąganiu i skręcaniu.

Rura cienkościenna obciążona jest siła rozciągającą i momentem skręcającym, niezależnie

działającymi. Dla uproszczenia przyjmiemy, że stan naprężenia jest jednorodny i określony

45

dwoma niezależnymi odkształceniami ( ( )γε , . Dojście do punktu końcowego ( )γε ~,~~A jest reali-

zowane na trzy sposoby:

1. uplastycznienie przez rozciąganie do ε~ , a następnie skręcanie do kąta γ~ , przy stałym wy-

dłużeniu ( )0dconst~ === εεε

2. uplastycznienie przez skręcanie do γ~ , a następnie rozciąganie do odkształcenia osiowego

ε~ , przy stałym kącie ( )0dconst~ === γγγ

3. proporcjonalne wydłużanie i skręcanie do punktu ( )γε ~,~~A (obciążenie proste).

Zakładamy przy tym materiał nieściśliwy idealnie sprężysto-plastyczny opisany równaniami

płynięcia Prandtla-Reussa oraz warunkiem idealnej plastyczności (bez wzmocnienia) HMH:

ijklijp

ij ses

de02

3

σ= .

Ponieważ

20

dd

2

3

σ

γτεσλ

+=d

równania przyrostowe teorii P-R przyjmują postać:

46

( )τ

σ

γτεστγ

σσ

γτεσσε

20

20

dd3

3

dd

dd

3

dd

++=

++=

G

G.

Dla kolejnych przypadków mamy:

1. rozciąganie + skręcanie

20

2

20

d3

dd

d

3

d0

σ

γττγ

σ

γτσσ

+=

+=

G

G

skąd

0

0

0

00

0

648.0~3

cosh

440.0~3

tanh3

σ

σ

γ

σσ

σσ

γστ

==

==

G

G

47

2. skręcanie + rozciąganie

20

20

2

d3

d0

d

3

dd

σ

εσττ

σ

εσσε

+=

+=

G

G

skąd

0

0

0

00

0

374.0~3cosh3

762.0~3

tanh

σ

σ

ε

στ

σσ

εσσ

==

==

G

G

3. obciążenie proste, εγ 3=

najpierw teoria Prandtla-Reussa:

( )τετ

σ

τστε

σεσσ

τσσε

⋅+

+=

⋅+

+=

/d33d

d3

/d3

3

dd

20

20

G

G

48

dodając równania stronami i wykorzystując warunek HMH w formie skończonej i zróż-niczkowanej:

0d3d3 20

22 =+→=+ ττσσστσ

otrzymujemy

( ) ( )

00

00

20

22

3

6

1,

2

1

2

3,

2

1

3:

σγσσ

σγ

σε

σγε

==

==

=+

EE

GEA

oraz

00

003

6

1~,2

1~

3~,~:~

στσσ

σγ

σε

==

==EE

A

co oznacza, że w procesie prostym naprężenie nie zmienia się podczas plastycznego pły-

nięcia (brak redystrybucji naprężeń), mimo że odkształcenie zmienia się, wg teorii odkształceniowej H-I:

49

εεσ

εϕ

ϕτ

σϕε

γ2,

2

3

02

32

==

=

=

ii

i ostatecznie:

===

===

GEEA

GEEA

i

i

2

11

2

3~,2~:~

2

11

2

3,:

03

03

ϕσ

ε

ϕσ

ε

6

~

2

~

0

0

σττ

σσσ

==

==

Jak widać, w przypadku procesów prostych (proporcjonalność składowych dewiatora od-

kształceń, wyniki wg teorii P-R i H-I są identyczne. Gdy proces jest nieproporcjonalny, jedy-

nie teoria przyrostowa daje wynik poprawny, uzależniony od ścieżki obciążenia.

50

γ σE/ 0

ε σE/ 0

1.0

1.8

0.707

1.224

A1

A2 A1

A2

A3

1.0

1.0τ σ/ 0

σ/σ0

Ścieżki obciążenia w przestrzeni odkształceń i naprężeń

51

Duża część problemów inżynierskich, choć nie jest procesami prostymi, różni się od nich nie-

znacznie. W takich przypadkach teoria odkształceniowa H-I może dawać dobre rezultaty.

Niemniej jednak teoria ta nie spełnia postulatu ciągłości opisu dla procesów neutralnych.

Różniczkując równania teorii H-I:

( ),~

2

1~, ijijijijijij ssG

eese −=−= ϕ

i uwzględniając warunek plastyczności (ustalony „punkt startu”) otrzymuje się:

02

1=

− ijs

G&ϕ ,

skąd wynika, że ta teoria nie spełnia postulatu poza pojedynczym punktem G21=ϕ , odpo-

wiadającym początkowi procesu plastycznego.

Dla teorii płynięcia P-R ten sam postulat prowadzi do spójnego warunku 0=λ , co oznacza

brak dyssypacji energii plastycznej, gęstość mocy odkształceń plastycznych jest równa zero.

Znaczącą poprawę opisu zachowania się plastycznego materiałów uzyskuje się poprzez

uwzględnienie wzmocnienia plastycznego.

52

Teorie plastyczności ze wzmocnieniem

Efekt Bauschingera

Materiał izonomiczny (izozwrotny), mający w stanie naturalnym takie same właściwości przy

ściskaniu, co przy rozciąganiu, często w wyniku wywołanych procesem obciążania odkształ-

ceń plastycznych nabiera cech anizonomicznych (anizozwrotnych), ujawniających się przy

odciążeniu. Przy rozciąganiu, granica plastyczności po stronie rozciągania zwykle zwiększa

się, podczas gdy po stronie ściskania – maleje. Efekt taki nazywa się efektem Bauschingera i

dla realnego materiału może występować w różnym stopniu.

Wprowadzając za Tałypowem współczynnik efektu Bauschingera:

( )( )10,~2

~~

0

≤≤−

+=

−

βσσ

σσβ

gdzie w liczniku mamy naprężenie odciążania a w mianowniku podwojoną wartość napręże-

nia wzmocnienia.

53

0=β

σ0

σ

ε 1=β

Efekt Bauschingera

Możemy wyróżnić trzy przypadki szczególne:

− 1=β , 02~~ σσσ −=− , idealny efekt Bauschingera (tzw. wzmocnienie kinematyczne),

− 5.0=β , 0~ σσ −=− , stabilizacja granicy plastyczności,

54

− 0=β , σσ ~~ −=− , brak efektu Bauschingera (tzw. wzmocnienie izotropowe)

W przypadku silnego efektu Bauschingera może się zdarzyć, że końcowa faza odciążenia

odbywa się w sposób czynny (czerwona linia na rys. 1). Dla realnych materiałów, zgodnie z

badaniami Tałypowa, wielkość parametru β zależy od wartości osiąganych odkształceń.

Tak więc z efektem Bauschingera związane jest pojawienie się pewnych rozbieżności:

− nie zawsze moduł dla procesu odciążania jest równy modułowi sprężystości Younga; ist-

nieją badania potwierdzające zależność modułu odciążania od odkształceń plastycznych,

− dla silnego efektu Bauschingera możliwe są dwie różne definicje odkształceń plastycz-

nych: jedna opierająca się na dekompozycji odkształceń na sprężyste i plastyczne:

E

ep σεεεε −=−=

i druga odnosząca się do rzeczywistych trwałych odkształceń, por. rys.

55

σ~

ε~

0σ

p

)1(ε p

)2(ε

Dwie definicje odkształceń plastycznych

56

Cykl w teorii plastyczności

Cykl jest to proces, po zakończeniu którego zarówno zmienne niezależne jak i zmienne zależ-ne powracają do wartości pierwotnych. W teorii plastyczności, wskutek nieodwracalności

odkształceń plastycznych, poza nielicznymi wyjątkami (patrz rys.) cykli w ogóle nie ma.

Przykład cyklu plastycznego

Dlatego w teorii plastyczności wprowadza się pojęcie quasi-cyklu. Jest to proces po zakoń-

czeniu którego zmienne niezależne (czynniki wytężenia) powracają do wartości pierwotnych.

Wyróżnia się dwa typowe quasi-cykle: naprężeniowe i odkształceniowe, por. rys.2.

57

σ

ε

σ

ε

Quasi-cykle: naprężeniowy i odkształceniowy

58

Zasada prac wirtualnych

Jak wiadomo, zasada ta obowiązuje niezależnie od związków fizycznych i dotyczy dwu od-

dzielnych i nie powiązanych ze sobą układów: sił będących w równowadze i zgodnych prze-

mieszczeń (spełniających warunki nierozdzielności:

59

Potencjał plastyczny

Równania teorii H-I

ijij se ϕ=

można zapisać w postaci:

ij

s

ijs

Ie

∂

∂= 2

2

ϕ

a teorii płynięcia L-M i P-R:

ijijijijij sG

sese &&&2

1, +== λλ

jako:

ij

sij

p

s

Ie

∂

∂= 2

2

λ& .

Powyższe związki można uogólnić. Najpierw jednak wykażemy, że jeśli ( )ijI σ jest dowol-

nym niezmiennikiem tensora σT , to obiekt:

( ) ( ) ( )jlikijjlik

ij

ij

kl

ij

ij

ij

kl

kl

kl aaaaIII

χσ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σχ =

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂=

60

jest tensorem drugiego rzędu.

Uogólniając równania teorii H-I oraz L-M i P-R, możemy zapisać: ( )

ij

ij

ij

ge

σ

σϕ

∂

∂= , oraz

( )ij

ijij

pg

eσ

σλ

∂

∂=& .

Funkcję ( )ijg σ nazywamy potencjałem plastycznym. Jak widać istnieje analogia pomiędzy

potencjałem sprężystym i potencjałem plastycznym. Dla ciał idealnie plastycznych wielkości

te nie dadzą się wyrazić poprzez naprężenia, mimo to istnienie potencjału plastycznego dla

szerokiej klasy materiałów nie podlega dyskusji; natomiast postać samej funkcji potencjału

może być dyskusyjna.

Jeżeli posłużymy się dziewięciowymiarową przestrzenią Pragera, w której osiami są osie

związane ze składowymi tensora i który jest w niej przedstawiony jako wektor, możemy zapi-

sać: ( )

ijg σϕ gradε = , ( )ij

pg σλ gradε =& .

Przyrównując potencjał plastyczny do zera lub do pewnej stałej, określamy powierzchnię w

przestrzeni Pragera, do której wektor odkształcenia lub prędkości odkształceń jest prostopa-

dły.

61

Stowarzyszone prawo płynięcia

Prawo płynięcia jest to niezbędne kinematyczne założenie dotyczące kierunku na ścieżce ob-

ciążenia, t.j. określa wielkości względne składowych tensora przyrostu odkształcenia.

Jeżeli dla warunku plastyczności w postaci:

( ) const=ijf σ

zachodzi związek:

( ) ( )ijij fg σσ =

to mówimy o stowarzyszonym prawie płynięcia.

62

const)()( == ijij fg σσ

pijij εσ ,

ij

pij

fd

σλε

∂

∂=

pijdε

pijdε

pijdε

pijdε

)(aijσ

)(bijσ

)(cijσ

)(dijσ

płaskigładki

potencjał plastyczny

naroże

63

W klasycznej teorii P-R korzystającej z warunku plastyczności HMH mamy do czynienia ze

stowarzyszonym prawem płynięcia, bowiem:

( ) ( ) ( )ijijsij fIg σσσ HMH2

2

1== ,

co jest dość dobrze potwierdzone doświadczalnie, zwłaszcza dla procesów w których kierunki

główne nie ulegają zmianie.

Jeśli brak danych doświadczalnych pozwalających na określenie równań fizycznych, nasuwa-

ją się dwa podejścia przybliżone:

− zachowanie prawa płynięcia oznaczającego podobieństwo dewiatorów naprężenia i pręd-

kości odkształceń plastycznych, które jest stowarzyszone z warunkiem plastyczności

HMH

− przyjęcie stowarzyszonego prawa płynięcia.

W pewnym sensie równania fizykalne teorii sprężystości i teorii odkształceniowej są stowa-

rzyszone z warunkiem plastyczności HMH.

64

τ γoct oct, dp

p

p

p

dεij

σij

0

σ εoct oct, d

σ ε1 1, d

p

σ ε2, d 2

p

σ ε3 3, d

f( ) = kσij

sij

d = sε λij ij

0

płaszczyzna hydrostatyczna płaszczyzna dewiatorowa

Stowarzyszone prawo płynięcia dla warunku plastyczności H-M-H

65

A

Aσ σ σ1 2 0 - =

σ σ σ1 2 0 - =

σ σ σ2 1 0 - = σ σ σ3 1 0- =

σ σ σ1 3 0- =

σ σ σ3 2 0 - = σ σ σ2 3 0 - =

σ σ σ1 3 0 - =

dεij

p

σ ε1 1, dp

σ ε3 3, dp

σ ε2 2, dp

O

Stowarzyszone prawo płynięcia dla warunku TG; przyrosty odkształceń plastycznych

(normalne i jako granica gładkiej powierzchni)

66

A

σ1

σ3σ2

O

d mλ ( ,0,−1)1 d mλ ( ,−1,0)2

d mλ (0,−1, )3

d mλ (−1,0, )4d mλ (−1, ,0)5

d mλ (0, ,−1)6

Stowarzyszone prawo płynięcia dla warunku Mohra-Coulomba

67

Postulat Druckera. Stateczność materiału w sensie Druckera

P

f

∆P2

∆P1

Ugięcia powłoki mało wyniosłej

Jak widać z rys. 3, w trakcie cyklu dla P1 + ∆P1 praca całkowita jak i praca nadwyżki obcią-żenia są równe zero. Zachowanie się konstrukcji jest stateczne. Natomiast dla cyklu P2 + ∆P2

następuje przeskok, zostaje wykonana pewna praca, natomiast pracę nadwyżki obciążenia

można uważać za ujemną (całkowite pole zakreskowane). Dalsze przykładanie i zdejmowanie

nadwyżki powoduje już cykl wykazujący cechy stateczności.

68

Podobne rozumowanie możemy odnieść do punktu ciała: do stanu naprężenia )0(

ijσ przykła-

damy dodatkowy stan naprężenia ijσ∆ a następnie zdejmujemy go.

Załóżmy, że mamy jakieś obciążenie, wywołujące określony stan naprężenia, odkształcenia i

przemieszczenia. Przyłóżmy dodatkowe obciążenie zewnętrzne, całkowicie niezależne od

istniejącego. Spowoduje ono dodatkowe naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia.

iF

iT ii TT &+

ii FF &+

ijijiu εσ ,, ijijijijii uu εεσσ &&& +++ ,,

69

Powiemy, że materiał stateczny to taki materiał, który spełnia następujące postulaty (znane

jako postulaty stateczności Druckera):

1. Praca dodatkowego obciążenia na wywołanych przez nie zmianach przemieszczenia jest

dodatnia

2. W cyklu przyłożenia obciążenia i jego zdjęcia praca wykonana przez dodatkowe obciążenie

zewnętrzne na zmianach przemieszczeń jakie powoduje jest nieujemna.

Należy podkreślić, że postulaty dotyczą jedynie pracy wykonanej przez dodatkowe obciążenie

na zmianach przemieszczenia wywołanych przez nie a pracy wszystkich sił na tych zmianach

przemieszczeń. Matematycznie te dwa postulaty mogą być zapisane jako:

0>+ ∫∫V

ii

A

ii dVuFdAuT &&&& (stabilność w małym)

0≥+ ∫∫V

ii

A

ii dVuFdAuT &&&& (stabilność w cyklu)

gdzie całki w drugim ze wzorów oznaczają całkowanie po cyklu obciążenia i odciążenia.

Postulaty stabilności są bardziej restrykcyjne niż prawa termodynamiki, żądające jedynie nie-

ujemności całkowitej pracy wszystkich sił na zmianach przemieszczenia.

70

σ σ

σ σ

ε ε

ε ε

σ > 0, ε < 0σ < 0, ε > 0

σ > 0, ε > 0

σ > 0, ε > 0

σσ

σ

σ

ε

ε

εε

71

Z prezentacji graficznej postulatów Druckera widać, że zapewniają one istnienie jednoznacz-

nej relacji odwrotnej naprężenie-odkształcenie.

Można pokazać, że dla materiałów sprężystych, postulaty Druckera stanowią konieczny i wy-

starczający warunek istnienia energii odkształcenia i komplementarnej (nadwyżkowej) ener-

gii.

σ

ε

σ εd

energiapotencjalna

ε σdenergia komplementarna

Energia potencjalna i komplementarna

72

Jeżeli cały proces, tj. zarówno stan początkowy jak i wszystkie stany pośrednie leżą wewnątrz

aktualnej powierzchni plastyczności, to proces jest całkowicie sprężysty i mamy do czynienia

z cyklem. Praca całkowita jak i nadwyżkowa są równe zeru.

Jeżeli proces dotarł do aktualnej powierzchni plastyczności, to na ogół pojawiają się odkształ-

cenia plastyczne i mamy do czynienia z quasi-cyklem naprężeniowym: całkowita praca jest

dodatnia a praca nadwyżkowa może być dodatnia, ujemna albo zero. Elementarna praca nad-

wyżkowa, odpowiadająca nieskończenie małemu przyrostowi odkształceń plastycznych,

określona jest wzorem z zastosowaniem konwencji sumacyjnej:

( ) p

ijijij ddW εσσ )0(* −= .

Postulat Druckera stateczności materiału sprowadza się do założenia nieujemności pracy

nadwyżkowej:

( ) 0)0( ≥− p

ijijij dεσσ .

Jest to tzw. wielki postulat Druckera. W granicy możemy zapisać:

0≥p

ijij dd εσ ,

otrzymując tzw. mały postulat Druckera. Mały postulat wynika z wielkiego, ale nie na od-

wrót, bo wielki postulat odnosi się do dowolnego przyrostu naprężenia a mały do infinitezy-

malnego.

73

Jeżeli materiał spełnia postulat Druckera dla dowolnego procesu nazywamy nieograniczenie

statecznymi. W przeciwnym wypadku mówimy o stateczności chwilowej lub o stateczności w

pewnych kierunkach.

W dziewięciowymiarowej przestrzeni Pragera postulat Druckera można przedstawić jako ilo-

czyn skalarny wektorów przyrostu odkształcenia i różnicy naprężeń (por. rys. 4).

σd

pdε

0σσ −

pdε

Ujemna praca nadwyżkowa dla wklęsłej powierzchni plastyczności i normalność wektora

przyrostu odkształcenia plastycznego do powierzchni granicznej

Wynika stąd, że powierzchnia graniczna dla materiału statecznego w sensie Druckera musi

być wypukła. Jeśli wykazuje wklęsłości, to zawsze można znaleźć proces, dla którego iloczyn

skalarny jest ujemny. Z nierówności małego postulatu Druckera wynika, że wektor przyrostu

odkształceń plastycznych musi być prostopadły do powierzchni granicznej, gdyż tylko wtedy

wykluczony jest kąt rozwarty między tym wektorem a wektorem przyrostu naprężenia.

74

εij

σij

OO

ijij

W

εσ

∂

∂=

ijij

σε

∂

Ω∂=

W=constΩ=const

przestrzeńodkszt.

przestrz.

napr.

Kierunek normalny do powierzchni plastycznej jest dany gradientem warunku plastyczności,

co należy skojarzyć z faktem, że teorie płynięcia plastycznego w przestrzeni Pragera postulują proporcjonalność do gradientu z potencjału:

( )ijg σϕ gradε = , ( )

ij

pg σλ gradε =& .

Pokrywanie się gradientów potencjału jak i warunku plastyczności oznacza z kolei, że dla

materiałów nieograniczenie statecznych prawo płynięcia plastycznego musi być stowarzyszo-

nym prawem płynięcia.

75

Przyjęcie postulatu Druckera oznacza daleko idące konsekwencje. Można wykazać, że infini-

tezymalny przyrost obciążeń powoduje jednoznaczny infinitezymalny przyrost naprężeń i

odkształceń. Również stosunkowo łatwo można sformułować zasady wariacyjne.

Klasyczne teorie płynięcia L-M i P-R posługujące się warunkiem plastyczności HMH spełnia-

ją postulat Druckera. Dlatego często, wbrew opinii samego Druckera, postulat stateczności w

sensie Druckera jest przez wielu autorów traktowany jako pewne prawo przyrody a wynikają-ce stąd stowarzyszone prawo płynięcia jako oczywistą konieczność, niewymagającą komenta-

rzy. Jednakże – jak wiadomo – np. stal miękka w trakcie statycznej próby rozciągania wyka-

zuje chwilową niestateczność tuż po przekroczeniu wyraźnej granicy plastyczności.

W przypadku materiałów kruchych, takich jak beton czy niektóre rodzaje gruntów, stowarzy-

szone prawa płynięcia prowadzą do wyników sprzecznych z doświadczeniami. Np. dla jedno-

osiowego rozciągania materiału idealnie plastycznego L-M i w przypadku często występują-cym w praktyce:

+− > 00 2σσ

otrzymuje się wzrost wymiarów przekroju próbki rozciąganej.

Wnioski wynikające z postulatu Druckera oparto na założeniu zerowej pracy nadwyżkowej

odkształceń sprężystych. Jak zauważył Iliuszyn, odkształceniom plastycznym może towarzy-

szyć zmiana modułów sprężystych, a w konsekwencji wektor przyrostu odkształceń plastycz-

nych nie jest ortogonalny do powierzchni granicznej.

76

Przykład obliczeniowy w monografii Życzkowskiego pokazuje, że dla przyjętej aproksymacji

warunku plastyczności równania klasyczne P-R dają mniejsze błędy niż zastosowanie równań

stowarzyszonego prawa płynięcia.

Podsumowując z postulatów Druckera wynika że:

1. Energia odkształcenia (sprężysta) i komplementarna istnieją i są zawsze dodatnio określo-

ne, co zgadza się z postulatami termodynamiki

2. Naprężenia (odkształcenia) są normalne do powierzchni stałej energii potencjalnej (kom-

plementarnej)

3. Powierzchnie stałych energii potencjalnej w przestrzeni odkształceń i komplementarnej w

przestrzeni naprężeń są wypukłe

4. Związki naprężenie – odkształcenie są odwracalne (w sensie istnienia relacji odwrotnej).

5. Dla materiałów sprężystych obie postaci energii są niezależne od drogi (ścieżki obciąże-

nia) i w związku z tym są funkcjami stanu: posiadają różniczkę zupełną i zależą jedynie od

stanu początkowego i końcowego.

77

Wzmocnienie izotropowe

ε

σ σ

τ

Izotropowe wzmocnienie plastyczne

Powierzchnia plastyczna wzrasta proporcjonalnie w wyniku wzmocnienia plastycznego. Pro-

ces neutralny nie powoduje wzmocnienia. Wzmocnienie zależy od niemalejącej funkcji od-

kształceń plastycznych. Nie opisuje się efektu Bauschingera. Rozpowszechnione są dwie pro-

pozycje.

F.K.G.Odqvist (1933):

( )pi If εσ 1=

78

gdzie parametr Odqvista jest to długość drogi w przestrzeni odkształceń plastycznych:

∫∫∫ ===

pe

p

ij

p

ij

t

p

ij

p

ij

t

p

ij

p

ijp dededteedtI

~

0

~

0

~

0

&&&& εεε

Taylor-Quinney (1931):

( )p

i Wf 2=σ

gdzie praca odkształcenia plastycznego (energia dyssypowana):

∫∫∫ ====

pppe

p

ijij

e

p

ijij

e

p

ijij

dpdesdedWW

~

0

~

0

~

0

σεσ

jest również wielkością niemalejącą.

Wzmocnienie kinematyczne

Materiał zachowuje się w taki sposób, że powierzchnia płynięcia przemieszcza się (w dzie-

więciowymiarowej przestrzeni Pragera) jak bryła sztywna. Jeżeli początkową powierzchnię opisuje równanie:

( ) CF ij =σ

Prager (1935):

79

( ) CF ijij =−ασ ,

gdzie wg Melana (1938) dwie możliwości: p

ijij cdd εα = , const=c

(ale przy przejściu do podwymiarów brak zachowania kształtu) bądź stowarzyszone prawo

płynięcia:

ijij dd σα = .

Ziegler (1959):

( ) µασα dd ijijij −=

(kształt zachowany przy przejściu do podprzestrzeni).

80

σ1

σ2

p.p. wg Melana

początkowa p.p.

p.p. wg Zieglera

Warianty wzmocnienia kinematycznego

Wzmocnienie mieszane i anizotropowe

Wzmocnienie mieszane stanowi kombinację wzmocnienia izotropowego i kinematycznego.

Powierzchnia czynna powiększa swoje wymiary z zachowaniem podobieństwa geometrycz-

nego i ulega jednocześnie translacji.

Wzmocnienie anizotropowe polega na tym, że powierzchnia czynna zmienia kształt. Można

wyróżnić kilka przypadków szczególnych takiego wzmocnienia:

81

− ogólny

− niezależności mechanizmów

− tworzenie się naroży plastycznych (zmiana jakościowa)

τ

σ

σ1

σ2 σ3

σ1

σ2 σ3

Różne mechanizmy wzmocnienia anizotropowego.