Wavelet Turbu-lence for Fluid

Simulation

논문 세미나 2008.10.02 윤종철

목차Abstract1. Introduction2. Previous Works3. Procedural Wavelet Turbulence

1. Incompressible, Band-Limited Noise2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

4. High-Resolution Fluid Synthesis1. Background2. Injecting Turbulence3. Detecting Scattering4. Texture Distortion5. Final Algorithm6. Complexity

5. Results6. Conclusions

Abstract• 저해상도 VS 고해상도

Þ 빠른 속도로 원하는 해상도의 결과를 얻는 것이 목표

빠름Not detail

느림detail

Abstract• High spatial resolution 유체 시뮬레이션을 위한 wavelet method 제안• Post-processing step 으로 디테일을 더함• Linear system 안 풀고 , 병렬화 쉽고 , 약간의 보조 array 만 필요• 고해상도 , 저해상도 독립적으로 편집 가능

1. Introduction• Visual simulation of fluids 는 지난 10 년간 Considerable

progress but scalability 와 user interaction 여전히 problem• Large-scale phenomena simulation 할 때 memory 사용량 linear

increase, 실행 시간 linear increase 보다 더 오래 걸림=> small-scale 유체 detail 을 procedurally 발생

algorithm 제안detail 잃은 곳에 incompressible turbu-

lence function 으로 다시 생성velocity field 만 input 으로 필요보통 fluid solver 로 해상도 높이면 effective vis-

cosity 변해 모션 달라짐 본 논문은 existing struc-tures 유지됨

1. Introduction• Contributions

• An incompressible turbulence function that can generate arbitrary energy spectra• A method for estimating the small-scale tur-

bulence that is lost by a simulation, and re-synthesizing it in a way consistent with Kol-mogorov theory• A method of preserving the temporal coher-

ence of the synthesized turbulence• A large- and small-scale fluid detail decou-

pling that allows the latter to be edited in-dependently

1. Introduction• Contributions

• 임의의 에너지 spectra 를 발생시킬 수 있는 incom-pressible turbulence function• 잃어버린 small-scale turbulence 를 추정하는 , 그리고 일관된 Kolmogorove theory 를 사용하여 재합성하는 기법• 합성된 turbulence 의 temporal coherence 유지 기법• large- 그리고 small-scale fluid 디테일 독립적으로 편집 가능

2. Previous Works• Adaptive Refinement

Octree Graded Tetrahedra

[Lossaso et al.2004]

[Shi and Yu 2004]

[Klingner et al. 2006]

2. Previous Works• Dissipation Suppression

[Selle et al. 2005]

[Kim et al. 2006]

[Selle et al. 2008]

[Fedkiw et al. 2001]

Vortex Meth-ods

MacCor-mack / BFECC

2. Previous Works• Turbulence Modeling

[Stam and Fiume 1993]

[Rasmussen et al. 2001]

Back ground (Fourier Transform, Wave-let Transform)• Fourier Transform

• 시간축의 파형을 주파수축으로 변환 – 주파수와 위상 크기가 다른 정현파 (sin,cos) 의 조합으로 모든 파형을 만들어 낼 수 있음 -> 모든 파형은 주파수별 위상과 크기가 다른 정현파로 분리됨– ex) 이퀄라이져

» 음악신호에 들어있는 주파수 성분을 각각 나누어 크기 가시화 . 수백 Hz 에서 20khz 까지 순간 주파수대역의 신호 크기가 디스플레이

–임의의 파형을 주파수가 다른 정현파들로 분리시켜 놓은 것이 바로 푸리에 변환

Back ground (Fourier Transform, Wave-let Transform)• Fourier Transform Wavelet Trans-

form

3. Procedural Wavelet Turbulence

3. Procedural Wavelet Turbulence

• Notation– Bold 는 vector, non-bold 는 scalar– x 는 spatial position– k 는 spectral band, u 는 velocity field– Carat 은 wavelet transform– 는 spectral band k 안의 position x에서 velocity u 의 spectral component– N 큰 grid, n 은 작은 grid

0 0 v

3-1. Incompressible, Band-Limited Noise

• Wavelet Noise [Cook and DeRose 2005] 사용

• [Bridson et al. 2007] 에서 처럼 scalar field 의 Curl 로 divergence-free field 생성

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

• A velocity field

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

• Frequency Decomposition

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

• Frequency Decomposition

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence• 한 grid cell x 에서 kinetic energy e 정의

• 모든 cell 의 e(x) 합은 total energy et

• 각 band k 에 대해 et를 계산하면 energy spectrum 을 얻음 • Kolmogorov theory 의 key results 중에 하나는 turbu-

lent fluid 의 energy spectrum 이 5/3 power distribu-tion 에 접근한다는 것

• C 와 입실론은 Kolmogorov 상수이고 unit mass 당 에너지 소실률 의미

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

• Noise function w 를 사용하여 , 이 power distribution 을 생성하는 속도 필드를 procedurally 만들 수 있음

• 식 (3) 을 이용하여

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

• 를 w(x) 로 대체

– i 는 spectral band 를 제어하는데 사용• Discussion : (7) 과 비슷함

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

• Energy Spectrum

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

• Energy Spectrum

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

4. High-Resolution Fluid Synthesis

• 4.1 Background• 물리적으로 5/3 distribution 은 scattering 때문에 발생

– Forward scattering» Eddy 는 incompressible field 에 의해 advect 되기 때문에 한 방향으로 stretch, 다른 방향으로 compress되고 결국 이 deformations 는 반짜리 사이즈 두 개의

eddy 로 나뉨 – Back scattering

» 작은 eddies 가 큰 eddy 로 combine 될 때 발생

• 그러나 forward scattering 이 보통 지배적임

4-2.Injecting Turbulence• 목표는 저해상도 속도 필드로부터 고해상도

density field D 를 합성하는 것• : 고해상도 위치 X 에서 u 를 in-

terpolation• : U 로 D 를 advection• u 에서 가장 작은 eddies 의 energy et

(n/2) 를 계산하여 weight 로 사용

4-2.Injecting Turbulence

4-2.Injecting Turbulence

4-2.Injecting Turbulence

4-3.Detecting Scattering• Texture Advection [Neyret 2003]

• texture coordinate 의 set 을 flow 를 따라 ad-vection• Texture coordinates 의 Jacobian 을 사용하여

local deformation 의 양을 계산• Threshold 보다 크거나 작으면 regenerate

4-4.Texture Distortion• advect 된 texture coordinates 가

stretch 하고 rotate 할 때 y 가 incom-pressibility 를 위배할 수 있음

• Cartesian axes 를 texture space 로 projection, directional derivative 를 구하는 것으로 해결

4-5.Final Algorithm

4-6.Complexity• 거의 모든 스텝은 smaller n^3 grid 상에서 일어남• 큰 grid 는 D, D 는 메모리 사용량이 많아서 약점 -> 파티클 사용하면 D 필요 없음

5. Results

5. Results

5. Results

6. Conclusions• Add physical detail as post-processing• Preserves vortex frequencies• Fast, efficient, low memory• Relatively simple to implement

• Limitations• Cannot reproduce “correct” high-res solution• Obstacle interaction depends on low resolu-

tion• Vortex advection limited due to regeneration

END