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Wavelets: come e perché. Primi fondamenti di signal processing. 1780 - 1830 Pierre Simon Laplace Jean Baptiste Fourier Augustine Cauchy. L’algoritmo FFT oggi viene attribuito a Gauss!. Risultati moderni. 1920 - 1950. Norbert Wiener Andrei Kolmogorov Claude Shannon. Probabilità - PowerPoint PPT Presentation
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Wavelets: come e perch
Primi fondamenti di signal processing1780 - 1830
Pierre Simon Laplace Jean Baptiste Fourier Augustine CauchyLalgoritmo FFT oggi viene attribuito a Gauss!
Probabilit
Teoria dei segnali casuali
Predizione Filtro di Wiener
Teoria dellInformazione
Teorema del campionamentoRisultati moderni
Signal processing
Produzione di DSP Ricadute industriali
Time Frequency Analysis
WAVELETS!
Architetture VLIW
Applicazioni nelle Telecomunicazioni
Esplosione dei servizi MultimediaStoria di oggi
Trasformata di Fourier
Segnale stazionario
Analisi ambiguaSegnale variabile nel tempo
Un altro segnale stazionario
Un altro segnale non stazionario
I due segnali nel dominio delle frequenze
Contiene solo informazioni sulla frequenza Crea problemi per segnali non stazionariTrasformata di Fourier variabile nel tempo Le informazioni sul tempo vengono perse Funziona bene per segnali stazionariProblemi con la Trasformata di Fourier
Analisi in tempo-frequenza
Funzioni finestraTrasformata di Fourier Short-time (STFT)
Come si legge la STFT
FinestraPiccolaMediaLarga(frequenza)(tempo)
Problemi con la STFT Scelta di una finestra appropriata Finestra troppo grande cattiva risoluzione nel tempo (violazione della condizione di stazionariet)Risoluzioni diverse a frequenze diverse Finestra troppo piccola cattiva risoluzione in frequenza
Si sceglie una wavelet e ne si fa variare la scalaSi analizza la risposta del segnale alle varie scaleTrasformata wavelet
La scaladiminuisceLa frequenza diminuisceFrequenze
Analisi tempo-frequenza per le waveletPrincipio di indeterminazione di HeisenbergDt Df C
SegnalePasso 1Passo 2Passo NTrasformata wavelet**
Scala bassa
Scala media
Scala alta
Come si legge la Trasformata waveletCWT
Come si calcola la trasformata wavelet (discreta) in modo veloce- Haar wavelet -Funzione waveletFunzione di scaling (Haar)(t) (t)
Algoritmo piramidale10 2 8 4 6 2 4 0 6 6 4 2
6 3
4.5
4 2 2 20 1 4 2 2 21.5 0 1 4 2 2 2
O(N) operations10 2 8 4 6 2 4 0Veloce!
Ridondanza delle rappresentazioni10 2 8 4 6 2 4 06 6 4 2 4 2 2 2 4.5 1.5 0 1 4 2 2 26 3 0 1 4 2 2 2DatiScalingWavelet
Filter Bank
Algoritmo di Mallat
Altre funzioni wavelet
Segnali(1D)Segnale
Wavelet
Scaling
Rappresentazione trasformata discretaScaling Wavelet
Immagini(2D)
Applicazioni De-noising Compressione Equazioni a derivate parziali Classificazione Analisi serie temporali Problemi inversi
De-Noising
Compressione - Immagini
Compressione - Telerilevamento
Compressione - FBI
Strumenti di lavoro Notiziaro: Wavelet Digest - http://www.wavelets.org
Software di base: Wavelab per Matlab http://www-stat.stanford.edu/~wavelab/
Per divertirsi e impratichirsi -http://www.mathtools.net/MATLAB/Wavelets/Java/index.html Letteratura - http://www.mathsoft.com/wavelets.html
Altro software -http://www.mathtools.net/MATLAB/Wavelets/index.html