16 Problemas Resueltos

Problema 1

Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números son?

Solución

x= primer número

y= segundo número

Los números suman 25:

x + y = 25

El doble de uno de los números es 14:

2x = 14

Tenemos el sistema

Aplicamos substitución

Por tanto, los números son 7 y 18.

Problema 2

El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué números son?

Solución

x= primer número

y= segundo número

El doble de la suma de los números es 32:

2(x + y) = 32

La diferencia de los números es 0:

x - y = 0

Tenemos el sistema

Aplicamos reducción

Por tanto, los números son 8 y 8.

Problema 3

La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del otro. ¿Qué números son?

Solución

x= primer número

y= segundo número

La suma de los números es 12:

x + y = 12

La mitad del primer número es el doble del segundo: x/2 = 2y

Tenemos el sistema

Resolvemos por substitución

Por tanto, los números son 18/5 y 12/5.

Problema 4

Tenemos dos números cuya suma es 0 y si a uno de ellos le sumamos 123 obtenemos el doble del otro. ¿Qué números son?

Solución

x= primer número

y= segundo número

La suma de los números es 0: x + y = 0

Si al primero le sumamos 123 obtenemos el doble del segundo:

x + 123 = 2y

Tenemos el sistema

Resolvemos por substitución

Por tanto, los números son 41 y -41.

Problema 5

Hallar un número de dos cifras que cumpla:

La segunda cifra es el doble de la primera La suma de las cifras es 12.

Solución

El número es xy donde x es la primera cifra e y la segunda.

La segunda cifra es el doble de la primera:

y = 2x

La suma de las cifras es 12:

x + y = 12

Tenemos el sistema

Resolvemos por substitución

Por tanto, el número es 48.

Problema 6

Ana tiene el triple de edad que su hijo Jaime. Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de su hijo. ¿Cuántos años más que Jaime tiene su madre?

Solución

a = edad de Ana

j = edad de Jaime

La edad de Ana es el triple que la de Jaime:

a = 3j

Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de Jaime:

( a + 15 ) = 2( j + 15 )

Tenemos el sistema

Resolvemos por substitución

Ana tiene 45 años y su hijo Jaime 15, por tanto, Ana tiene 30 años más que su hijo.

Problema 7

Hemos comprado 3 canicas de cristal y 2 de acero por 1,45€ y, ayer, 2 de cristal y 5 de acero por 1,7€. Determinar el precio de una canica de cristal y de una de acero.

Solución

c = número de canicas de cristal

a = número de canicas de acero

3 canicas de cristal y 2 de acero valen 1.45€:

3c + 2a = 1,45

2 canicas de cristal y 5 de acero valen 1.7€:

2c + 5a = 1,7

Tenemos el sistema

Resolvemos por reducción

Una canica de acero vale 0.2€ y una de cristal 0.35€.

Problema 8

Hallar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es 24 y cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor.

Solución

Los rectángulos constan de cuatro lados: dos lados iguales (base) y otros dos iguales (altura).

El perímetro es la suma de todos los lados.

x= lado mayor

y= lado menor

El perímetro es 24:

2x + 2y = 24

El lado mayor mide tres veces el menor:

x = 3y

Tenemos el sistema

Resolvemos por substitución

Los lados mayores miden 9 unidades y los menores 3 unidades (cada uno de ellos).

Problema 9

Averiguar el número de animales de una granja sabiendo que:

la suma de patos y vacas es 132 y la de sus patas es 402. se necesitan 200kg al día para alimentar a las gallinas y a los gallos. Se tiene un gallo por

cada 6 gallinas y se sabe que una gallina come una media de 500g, el doble que un gallo. se piensa que la sexta parte de los conejos escapan al comedero de las vacas, lo que

supone el triple de animales en dicho comedero.

Solución

a. Hay que tener en cuenta que cada pato tiene 2 patas y cada vaca 4.

p = número de patos

v = número de vacas

La suma de los animales es 132:

p + v = 132

La suma de las patas es 402 (dos patas por pato y cuatro por vaca):

2p + 4v = 402

Tenemos el sistema

Resolvemos por reducción

Hay 63 patos y 69 vacas.

b. Puesto que las cantidades de pienso que consumen son aproximadas, no obtendremos el número exacto de animales, sólo una estimación.

y = número de gallos

x = número de gallinas

Hay un gallo por cada 6 gallina: x = 6y

Una gallina come 0,5kg y un gallo 0,25kg. En total consumen 200kg:

0,5x + 0,25y = 200

Tenemos el sistema

Aplicamos substitución

Los resultados son decimales ya que las cantidades de comida que consumen son aproximadas.

Podemos decir que hay 61 gallos y 366 gallinas.

c. Sabemos que hay 69 vacas.

c = número de conejos

La sexta parte de conejos está junto a las vacas, por lo que hay 69 + c/6 animales en el comedero de las vacas.

Al contar los conejos, el número de animales en el comedero de las vacas es el triple: (69 + c/6) = 69·3

Resolvemos la ecuación de primer grado

Hay 828 conejos.

Resumiendo:

Problema 10

En un examen tipo test, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas).

La nota de un alumno es 8.05 sobre 10. Calcular el número de preguntas que contestó correcta e incorrectamente.

Solución

Escribimos la nota sobre 100 en vez de sobre 10:

8.05⋅10=80.5

Llamamos x al número de respuestas correctas e y al número de respuestas incorrectas.

Puesto que se deben contestar todas las preguntas, debe cumplirse la ecuación

x+y=100

Cada respuesta correcta suma 1 y cada incorrecta resta 0.5:

1⋅x−0.5⋅y=80.5

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones por sustitución:

Aislamos la x en la primera ecuación:

x+y=100

x=100−y

Ahora sustituimos x en la segunda ecuación:

x−0.5⋅y=80.5

(100−y)−0.5⋅y=80.5

Resolvemos la ecuación de primer grado:

100−y−0.5⋅y=80.5

100−80.5=y+0.5y

19.5=1.5y

y=19.51.5=13

Tenemos que el número de respuestas incorrectas es y = 13.

Fácilmente calculamos el número de respuestas correctas:

x=100−y=100−13=87

Problema 11

Si se suma 7 al numerador y al denominador de una determinada fracción, se obtiene la fracción

23

Si en vez de sumar 7 se resta 3 al numerador y al denominador, se obtiene la fracción

14

Encontrar dicha fracción.

Solución

Podemos llamar x al numerador e y al denominador. Es decir, la fracción es

xy

Sumamos 7 al numerador y al denominador y obtenemos 2/3:

x+7y+7=23

Notemos que de la igualdad anterior se obtiene la siguiente:

3(x+7)=2(y+7)

Operamos un poco para simplificarla:

3x+21=2y+14

3x−2y=−7

Ahora procedemos del mismo modo pero restando 3:

x−3y−3=14

Operamos un poco:

4(x−3)=y−3

4x−12=y−3

4x−y=9

Por tanto, el sistema de ecuaciones lineales es

3x−2y=−7

4x−y=9

Lo resolvemos por igualación (por cambiar de método). Para ello aislamos en ambas ecuaciones la x.

De la primera ecuación:

3x−2y=−7

x=−7+2y3

Y de la segunda:

4x−y=9

x=9+y4

Igualamos las x:

−7+2y3=9+y4

Resolvemos la ecuación de primer grado:

4(−7+2y)=3(9+y)

−28+8y=27+3y

5y=55

y=555=11

Calculamos x a partir de la y:

x=−7+2y3=

x=−7+223=

x=153=

x=5

Por tanto, la fracción buscada es

xy=511

Problema 12

Una marca de bebidas prepara una limonada (agua y concentrado de limón) con una cantidad muy precisa de sus ingredientes. La relación entre las cantidades de agua y concentrado limón es

LL=2LA5

donde LL representa los litros de concentrado de limón y LA los litros de agua.

Si se necesitan 20 limones para obtener un litro de concentrado de limón, ¿cuántos limones se necesitan para elaborar 1230 botellas de 2L de esta limonada?

Solución

Las 1230 botellas de 2L equivalen a un total de

1230⋅2=2460L

de limonada.

Una de las ecuaciones del sistema es la proporcionada por el enunciado.

La otra es la siguiente:

LL+LA=2460

Es decir, el total de litros de limonada es la suma de los litros de agua y de los litros de concentrado de limón.

Resolvemos el sistema por sustitución:

De la segunda ecuación:

LL=2460−LA

Sustituimos en la primera:

LL=2LA5

2460−LA=2LA5

Resolvemos la ecuación de primer grado:

5⋅2460−5LA=2LA

12300=5LA+2LA

12300=7LA

LA=123007=1757.14L

Nota: L indica litros, no tiene que ver con el nombre de las incógnitas.

Ahora calculamos los litros de concentrado de limón:

LL=2460−1757.14=702.86L

Puesto que se requieren 20 limones para un litro de concentrado y queremos 702.86L de concentrado, necesitamos

20⋅702.86=14057.2

Es decir, se necesitan 14058 limones.

Problema 13 (Dificultad alta)

Con una cuerda de 34 metros se puede dibujar un rectángulo (sin que sobre cuerda) cuya diagonal mide 13 metros.

Calcular cuánto mide la base y la altura de dicho rectángulo.

Solución

Llamamos b a la base del rectángulo y a a su altura.

Notemos que la medida de la cuerda es el perímetro. Por tanto,

2a+2b=34

Si dibujamos la diagonal del rectángulo veremos 2 triángulos rectángulos, siendo su hipotenusa la diagonal del rectángulo:

Aplicamos el Teorema de Pitágoras:

a2+b2=h2

donde h representa la hipotenusa (la diagonal). Luego

a2+b2=132=169

La dificultad del problema se debe a esta última ecuación ya que no es lineal (las incógnitas están al cuadrado).

Aislamos a en la primera de las ecuaciones:

2a+2b=34

a=34−2b2=17−b

Ahora sustituimos a en la ecuación no lineal:

a2+b2=169

(17−b)2+b2=169

Calculamos el cuadrado de la resta (binomio de Newton):

(17−b)2=172+b2−2⋅17b=

=289+b2−34b

Por tanto, tenemos una ecuación de segundo grado:

289+b2−34b+b2=169

Simplificamos un poco:

2b2−34b+120=0

Omitimos el procedimiento ya que no pertenece al tema de sistemas de ecuaciones.

Las soluciones son:

b=12, b=5

Por lo que a puede tener dos valores:

a=17−b=17−5=12

a=17−b=17−12=5

Notemos que en realidad sólo existe una solución al problema ya que si b = 12 entonces a = 5 y si b = 12 entonces a = 5. Esto se debe a que no importa si consideramos un lado como la base o como la altura.

Por tanto, los lados del rectángulo miden 12 y 5 metros.

Problema 14

En un concierto benéfico se venden todas las entradas y se recaudan 23 mil dólares. Los precios de las entradas son 50 dólares las normales y 300 dólares las vip.

Calcular el número de entradas vendidas de cada tipo si el aforo del establecimiento es de 160 personas.

Solución

Llamaremos v al número de entradas vip y n al número de entradas normales (no importa el nombre que le demos a las incógnitas).

El número total de entradas coincide con el número total de personas:

v+n=160

La recaudación es

300v+50n=23000

Resolvemos el sistema de ecuaciones por igualación. Para ello aislamos v en ambas ecuaciones:

De la primera ecuación:

v=160−n

De la segunda ecuación:

v=23000−50n300

Igualamos ambas expresiones:

160−n=23000−50n300

La solución de la ecuación de primer grado anterior es:

n=100

Por tanto,

v=160−100=60

Por tanto, se vendieron 60 entradas vip y 100 normales.

Problema 15

Un niño realiza las siguientes observaciones sobre un parque infantil de pelotas:

Hay pelotas verdes, rojas y amarillas. El número de pelotas verdes y pelotas rojas es cinco veces el número de las

amarillas. El número de pelotas verdes es el triple que el de amarillas. El total de pelotas amarillas y rojas asciende a 123.

Solución

Llamaremos v al número de pelotas verdes, r al número de pelotas rojas y a al número de pelotas amarillas.

El segundo punto nos dice que

v+r=5a

El tercer punto nos dice que

v=3a

Y el cuarto nos dice que

a+r=123

Tenemos un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas.

Resolvemos el sistema por sustitución:

Sustituimos la v de la segunda ecuación en la primera ecuación:

v+r=5a

3a+r=5a

Aislamos r:

r=5a−3a

r=2a

Sustituimos r en la tercera ecuación:

a+r=123

a+2a=123

3a=123

a=41

Ahora usamos el valor de a para obtener las otras incógnitas:

r=2a=82

v=3a=123

Problema 16

Calcular el número de números positivos de 3 cifras (mayores que 99) tales que una de sus cifras es 0 y las otras dos cifras suman 7.

Solución

Puesto que los números son de 3 cifras, serán de la forma

xy0

O bien

x0y

donde x e y representan cifras.

Notemos que los números 0xy no son en realidad de tres cifras ya que 0xy = xy.

En ambos casos, tiene que cumplirse que

x+y=7

Por tanto, tenemos las posibilidades

x y x + y

1 6 7

2 5 7

3 4 7

4 3 7

5 2 7

6 1 7

7 0 7

Notemos que x no puede ser 0 ya que es la primera cifra en ambos casos.

En la tabla se recogen las 7 posibilidades y son válidas para ambos casos.

Por tanto, en un principio hay un total de 14 números, pero tenemos que descontar uno ya que los valores de la última fila proporcionan el mismo número.

La solución es: 13 números.