“La geometría es una ciencia del conocimiento del ser, pero no de lo que está sujeto a la generación y a la muerte. La geometría es una ciencia de lo que siempre es.”

 

- Platón

Introducción

Vivimos en un mundo donde los objetos tienen tres dimensiones, y hemos llegado a acostumbrarnos a descubrir esquemáticamente estos objetos haciendo referencia a su longitud, altura y profundidad. Durante muchísimos siglos aun desde cuando el primer hombre prehistórico dibujaba extintos mamíferos en las paredes de su cueva, un gran problema ha preocupado a todo artista y dibujante : ¿ Como pueden los objetos de tres dimensiones ser fielmente representados en una superficie de dos dimensiones?.

La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional y, por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura.

En la época actual se reconocen dos modelos: uno que considera la geometría descriptiva como un lenguaje de representación y sus aplicaciones, y otro que la sitúa como un tratado de geometría. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado asociado al de la Geometría proyectiva.La geometría descriptiva, que posee el carácter de ciencia aplicada, ha tenido un largo proceso de desarrollo desde las incipientes representaciones trazadas en la edad de piedra. Los Elementos de Euclides, los estudios de Descartes en geometría analítica y la crucial aportación de Gaspard Monge a finales del siglo XVIII, quien la formula y la eleva a la condición de ciencia autónoma. 

Las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos métodos que les permitan representar fielmente la realidad. Aquí se enmarcan figuras como Luca Paccioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Battista Alberti, Piero della Francesca y muchos otros.Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Gérard Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría también fue estudiada por Blaise Pascal o por de la Hire, pero debido al gran interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión.El posterior desarrollo de la técnica hizo necesario aplicar las teorías matemáticas a la práctica, proceso que culminó en 1795 con la publicación de la obra de Gaspard Monge «Geometría descriptiva». 

Geometría Proyectiva.

Se llama geometría proyectiva a una estructura matemática que estudia las incidencias de puntos y rectas sin tener en cuenta la medida. A menudo se usa esta palabra también para hablar de la teoría de la proyección que en realidad se llama geometría descriptiva Gérard Desargues es el iniciador de la geometría proyectiva, pues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639, pasó desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes. 

En el siglo XIX, la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica, se establecieron dentro de las matemáticas, pero lo que acabó de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analítico. Dentro del contexto de la geometría euclidiana-cartesiana se puede construir la geometría proyectiva, y si se acepta la primera, hay que admitir la segunda. 

Este proceso finalizó definitivamente a principios del siglo XX, pues Einstein, apoyándose en los exhaustivos desarrollos geométricos de los matemáticos del siglo XIX, consiguió demostrar que, a gran escala, el universo se puede interpretar mejor con estas nuevas geometrías que con el rígido espacio euclidiano.

Desde el punto de vista sintético, la geometría proyectiva es una geometría que parte de los siguientes principios: 

Dos puntos definen una recta.

Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rec

tas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).El quinto postulado de Euclides, de las paralelas, está implícito en estos dos principios ya que, dada una recta y un punto exterior, existirá una única paralela (el punto dado y el del infinito definen la paralela por el primer axioma. Nótese que en proyectiva dos paralelas se cortan por definición y esto no excluye que sean isomorfas con las paralelas euclídeas). 

Como los axiomas de los que se parte son simétricos, si en cualquier teorema proyectivo se intercambian las palabras recta y punto se obtiene otro teorema igualmente válido. A estos teoremas se les llama duales. 

El principio antes expuesto se conoce como Principio de Dualidad y fue enunciado por Poncelet en el siglo XIX. Muchos teoremas anteriores, como los de Pascal y Brianchon, eran duales, aunque ningún matemático lo había notado hasta entonces.

Los teoremas de Pascal y Brianchon, aunque completamente válidos, se demostraron inicialmente en geometría euclidiana, basándose en los teoremas de Pappus y Menelao, que utilizan una métrica y por tanto no son válidos en geometrías de incidencia, como la proyectiva. 

En principio se intentó buscar demostraciones alternativas de estos teoremas sin usar congruencia de segmentos. Hilbert demostró en 1899 que tal cosa es imposible y desde entonces suele incluirse el teorema de Pappus como un axioma de la geometría proyectiva. Ello permite demostrar en proyectiva todo lo demostrable en euclídea sin tener que recurrir a una métrica.Por no usar métricas en sus enunciados, se dice que la geometría proyectiva es una Geometría de incidencia. 

Finalmente, hay que destacar que desde el punto de vista sintético, un espacio proyectivo consiste en un espacio afín al que hemos añadido un conjunto de puntos infinitos, de modo que cada par de rectas paralelas se cortan en uno de estos puntos.

Sistemas de Proyección

 Un sistema de proyección es aquel conjunto de métodos gráficos bidimensionales que permiten presentar un objeto tridimensional. Uno de estos sistemas es la Proyección Diédrica y que consiste en la utilización de dos planos de proyección que reflejan dos “vistas” diferentes de un objeto tridimensional. Estos dos planos de proyección son perpendiculares entre sí, es decir ortogonales, y por lo general son suficientes para representar las dimensiones de un objeto en el espacio. 

Podemos asumir que para representar un objeto tridimensional en una hoja de papel , es necesario que “dividamos” en varias vistas el objeto. Por ejemplo en caso de un edificio dividimos las vistas en varios alzados o fachadas para que podamos apreciar las dimensiones y proporciones del edificio ya terminado. Esta situación es practicada por nosotros de manera natural, sin necesidad de ningún adiestramiento especial. Nuestra primera reacción ante un objeto nuevo, como el caso de un nuevo modelo de automóvil, nuestra primera reacción es caminar alrededor de este para darnos una mejor idea de cómo son sus proporciones y en todos sus lados , ya que consideramos que una sola vista es insuficiente.

  

Sistemas de Proyección Ortogonal.

Es aquel que utiliza la proyección perpendicular1 del punto hacia los planos de proyección. Este sistema permite que podamos utilizar las tres coordenadas x, y , z. Los Planos de proyección son ortogonales, perpendiculares entre sí, y se unen los verticales con el horizontal mediante una línea en común denominada Línea de Tierra (LT).

 Existen muchos sistemas de coordenadas dependiendo de los usos que se les den. Desde el sistema Geodésico2 (Surveyor, en inglés) que utiliza las dimensiones Latitud, Longitud y altura o Cota; este difiere de los otros sistemas porque las superficies de proyección no son ni planas, ni perpendiculares entre sí.

Por convencionalismos la tierra, que es una esfera; ha sido dividida en Longitud Este y Oeste. La tierra se divide el líneas imaginarias que van de los polos Sur y Norte denominados Meridianos. El meridiano de Grenwich es lo que marca la Longitud Cero y de allí se comienza a contar los 180 grados Este y los 180 grados Oeste. La Latitud ha sido dividida en Latitud Norte y Sur. La Tierra se divide en líneas imaginarias que denominamos Latitudes (al igual que los Usos Horarios); en círculos concéntricos de los polos a la línea ecuatorial en dos latitudes, los 90 grados Norte y los 90 grados Sur; 

y por ultimo desde el nivel del mar las Cotas. Por lo tanto cualquier punto del planeta tiene una ubicación geodésica única y absoluta. La unidades de dimensión son arcos medidas en grados, minutos y segundos para la longitud y latitud. Para la cota se utilizan pies o metros seguidos de las letras que indican la unidad utilizada, Vg. : m.s.m. (Metros Sobre el Nivel del Mar) En un sistema diédrico ( Dos Planos de Proyección ) utilizaremos un Plano de Proyección Horizontal (PPH) que nos permita determinar el Alejamiento y el Margen ó Profundidad; y un segundo Plano de Proyección Vertical (PPV, Perpendicular al primero, por lo tanto Ortogonales entre si) donde anotaremos la Cota y el Margen o Profundidad. Notemos que el dato en común a ambos Planos de Proyección es la dimensión de Margen o Profundidad.

 En algunos casos los PPH y PPV son insuficientes para describir un objeto ubicado en un espacio de tres dimensiones, por eso recurrimos a un tercer plano de proyección, auxiliar, llamado Plano de Proyección de Perfil o Fondo (PPF); este tercer plano de proyección ortogonal a los dos primeros, refleja dos dimensiones: la Cota 

y el Alejamiento. Cuando utilizamos el PPF el sistema pasa de ser Diédrico a uno Triédrico.Por ultimo nos referiremos a los valores de las tres dimensiones, donde se aceptan Alejamientos y Cotas negativas, provocando la división del espacio Ortogonal en Cuatro Cuadrantes. Presentamos las siguientes ilustraciones para entender mejor todo lo explicado anteriormente.

 

 

 

Ilustración 1 Figuras Espaciales

La Ilustración anterior muestra tres dibujos, el primero en Isométrico, de ISOS igual, METROS, medida, la representación de los tres planos de proyección, Horizontal (H), Vertical (V) y de Perfil (F); también se indica la Línea de Tierra (LT). La proyección isométrica es un recurso para representar objetos tridimensionales en un medio bidimensional, el papel. La segunda figura presenta el mismo dibujo, desde una Proyección Ortogonal a 45o. La tercera presenta lo mismo que lo anterior desde una proyección Axonométrica, de AXOS ejes, en su variante: a 60o, monoescalar. Se siguen unas reglas sencillas que permiten realizar estas proyecciones, el isométrico a 30 grados, la ortogonal a 45 grados y el axonométrico a 60 grados.

 En el PPV solo puede presentar la Profundidad y la Cota. Si nos detenemos aquí vemos que con el PPH y PPV presentas las tres dimensiones o coordenadas suficientes para ubicar al punto. El PPF es auxiliar y representa solamente al Alejamiento y la Cota. Cuando representamos dimensiones, como la recta y el plano, por medio de varios puntos, debemos saber cuando estas se presentan en "Verdadera Magnitud" (VM). Los PP proyectan verdaderas magnitudes cuando las rectas y los planos son paralelos a estos.

 Observe que en la figura Isométrica los tres planos de proyección están deformados, porque no forman verdaderos ángulos rectos en las esquinas: en cambio en la segunda figura el Plano de Perfil es paralelo a nuestro plano de visión: por lo tanto también las dimensiones de cota y alejamiento se presenta paralelas a nosotros. La proyección axonométrica presenta sin deformación solamente la vista Horizontal ó "vista en Planta".

 Volviendo a las particularidades de los diferentes tipos de anotación los mas utilizados en nuestro medio, para describir las tres dimensiones en el espacio, son:

1. Margen, Alejamiento y Cota:. El primer valor numérico indica la ubicación del punto, medidas de izquierda a derecha sobre la L[nea de Tierra (LT). El segundo valor numérico se refiere a la distancia perpendicular del punto medidas desde un Plano de Proyección Vertical y que se "reflejan" o anotan en el Plano Horizontal desde la LT. El tercer valor indica la Cota o Elevación, se anota en el Plano Vertical medido perpendicularmente desde LT; indica la distancia o altura del punto sobre el Plano Horizontal.

 

2. Alejamiento, Cota y Profundidad: donde el Alejamiento y la Cota se miden igual que el anterior, siendo respectivamente el primero y segundos valores numéricos. El tercer valor numérico es la profundidad, que refleja la distancia del punto, medidas perpendicularmente, hacia o desde un tercer plano de proyección ( Sist. Triédrico) denominado Plano de Fondo ó Perfil. Por lo tanto esta medición se efectúa sobre la LT de derecha a izquierda. Este sistema de anotada acepta como origen el punto de conjunción de los tres planos de proyección como el Origen (0,0,0).

 

3 X; Y, Z: (Coordenadas matemáticas que utilizan los actuales sistemas CAD* donde X es la dimensión que vemos en planta como ancho o Alejamiento; donde Y es la Profundidad; y Z es la Altura o Cota.

 

Las proyecciones Isométricas y Axométricas se verán mas adelante y todas son muy utilizadas en diferentes representaciones, el isométrico en dibujo mecánico y el axonométrico en arquitectura y topografía.

 Como las dimensiones mas afectadas positiva o negativamente son la cota y el alejamiento la proyección Ortogonal es mas utilizada. Se debe a que con las escuadras.Podemos trazar las dimensiones de Cota y Alejamiento. Sin embargo es muy importante que nos vayamos acostumbrando a la representación de objetos tridimensionales por medio de la Figura descriptiva. La figura descriptiva o "montea" nos facilita realizar dibujos de precisión, es decir con absoluto control de las dimensiones y escalas, que requiere la ingeniería.

 

Cada punto tiene Alejamiento, Cota y Profundidad o Margen y por lo tanto resulta "proyectado” en cada Plano de Proyección (PP). Como cada PP es bidimensional solo puede presentarse dos dimensiones del punto a la vez. En el Plano de Proyección Horizontal (PPH) cada punto presenta Profundidad o Margen y el los ejes de coordenadas como acostumbramos a realizarlos en Matemáticas, ó en la pantalla del monitor según sea el caso, el eje Z seria perpendicular del papel o monitor hacia nosotros.

  En otra palabras cuando usamos el sistema bidimensional" X-Y' nos encontramos trabajando en el plano horizontal y la "Línea de Tierra" es este caso el eje Y.

 De antemano sabíamos que un punto es una entidad sin dimensiones, solamente expresa posición, por otra parte una línea es una entidad compuesta por una sucesión de puntos en una dirección. Es por eso que la línea es unidimensional, solamente representa dirección, un solo valor.

 Un plano es bidimensional, es decir presenta dos direcciones o dimensiones; se compone de mover un punto en dos direcciones. El punto, la línea y el plano son referentes conceptuales teóricos, y no existen en la realidad. Todo objeto físico de la realidad tiene volumen que puede ser definido por una posición, una dirección, etc.

 Veamos ahora el concepto de Cuadrantes que explicaremos con el grafico siguiente (Fig. 2) que representa al división del espacio que hacen los planos Horizontal y Vertical. Como puede observarse se muestran cuatro zonas, por ello llamadas "cuadrantes", y se numeran (en romanos):

 

 

 

Ilustración 2 Cuadrantes

La Montea.

Se denomina figura descriptiva o montea a aquella representación bidimensional que representa los planos de proyección. En realidad no presenta una verdadera figura espacial, sino mas bien se trata de un "desplegado" de los Planos de Proyección. Es un recurso para representar en papel, dibujo bidimensional, la figura volumétrica o espacial.

Las proyecciones isométricas, ortogonales a 45 ó axonométricas (o incluso perspectivas) no son más que simulaciones de lo que vemos en realidad, y difícilmente podemos controlar en estos dibujos la escala, la proporción y verdaderas magnitudes de los objetos alli representados. En cambio la figura descriptiva si puede ser utilizada para obtener información con suficiente precisión que requiere la Ingeniería, y solamente puede ser sustituido en precisión y recursos de manipulación del dibujo por medio del uso de computadoras y poderosos programas ó "software" tipo CAD 3D.

 

La Figura Descriptiva, como lo expresamos anteriormente, es un desplegado de varios planos ortogonales. Imaginemos que desarmamos una caja de cartón, desdoblando las diversas caras que la componen, a tal punto de que llegamos a obtener todas las caras en un solo plano. Si regresamos a la figura 2 vemos que el plano vertical y horizontal son perpendiculares entre si, que se encuentran unidos o interceptados por LT. Si ocupamos LT como eje y giramos hasta alcanzar la horizontalidad, el Vertical se confundirá con el plano Horizontal.

 

 

Ilustración 3 Desplegado de la Figura Descriptiva

 Por lo tanto todos aquellos elementos que se encuentren reflejados o no en el plano Vertical son "arrastrados" en este giro y se confundirán con el plano Horizontal. De esta manera tenemos PPH y PPV dibujados como un mismo plano. Si tomamos en cuenta también el plano PPF ó PPP este primero giraría, como lo hace una puerta, hasta ponerse a la par de PPV, y luego ambos se pliegan hacia PPH

 

Ilustración 4 Montea

 Este tipo de desplegado crea cierta confusión, y no se entiende sin antes conocer los conceptos de proyección de un punto, una recta o un plano, pues la razón de todo esto no es el de confundir, sino mas bien el que podamos trabajar mas cómodamente las tres dimensiones mediante el uso de instrumentos simples. Lo primero que debemos tomar en cuenta es que una hoja de papel difícilmente podría ayudarnos a representar un objeto volumétrico, por ejemplo una pieza mecánica, si solo contarnos con los instrumentos comunes y corrientes de dibujo.

 La otra manera de manipular un volumen es creándolo como un modelo de arcilla y así poder controlar su ancho, largo y altura. Adicionalmente podemos ampliar que el abatimiento o giro de los PP con cuatro cuadrantes se explican el siguiente grafico (Fig. 5):

 

 

Ilustración 5 Desplegado con 4 Cuadrantes

Primero se gira el PPF hasta quedar en el mismo plano (Coplanar) con el PPV. El segundo giro se realiza cuando PPV ( y PPF) se abaten o giran contra el PPH; de esta manera todos los PP resultan coplanares. Recuerde que los PP representan proyecciones de objetos en el espacio termina resultando, después de estos giros en la figura siguiente (Fig. 7) denominada Figura descriptiva ó Montea:

Ilustración 6 Montea de 4 Cuadrantes

 

Las proyecciones del punto son como se indican en el dibujo de la Fig. 10, son determinadas a cada Plano de Proyección por medio de rayos o rectas proyectantes perpendiculares o normales al PP. Cada punto genera proyecciones a cada PP y se utiliza la nomenclatura siguiente: 

PH = del PPH (Plano de Proyección Horizontal

Pv = del PPV (Plano de Proyección Vertical)

Pp: del PPP (Plano de Proyección de Fondo ó Perfil)

 La letra subíndice H, V ó P indicará a que proyección pertenece el punto. Esta nomenclatura facilita la identificación de la proyección especialmente cuando utilizamos la Figura Descriptiva ó Montea porque se sobreponen todos las PP. Para determinar una recta hacen falta dos puntos, y cada uno de ellos proyecta su respectiva proyección a cada PP.

  

Ilustración 7 Proyecciones del Punto Fig. Espacial y Montea

INTRODUCCIÓN

Esta aplicación pretende acercar al alumnado de ESO y Bachillerato los sistemas de representación más utilizados: Sistema Diédrico e Isométrica (utilizado en este caso para facilitar la comprensión del SD), de forma interactiva y experimental, a modo de laboratorio virtual, en la que el alumno podrá adquirir conocimientos y familiarizarse con herramientas que usará en su vida laboral.

El soporte informático en el dibujo técnico nos ayuda a desarrollar la visión espacial y la capacidad de abstracción. Permite al alumno marcar su propio ritmo y favorece la retroalimentación del proceso de aprendizaje.

 

GENERALIDADES:

     El Diédrico es un sistema de proyección cilíndrico ortogonal, cuyos elementos fundamentales son los dos planos de proyección H y V, perpendiculares entre sí, que se suponen colocados en posición horizontal y vertical, respectivamente, por lo que reciben el nombre de plano horizontal y plano vertical de proyección.

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     Como los planos de proyección se consideran indefinidos, dividen al espacio en cuatro regiones, que se denominan primero, segundo, tercero y cuarto cuadrante. De este modo, cualquier punto del espacio puede tener su representación en este sistema.

     La intersección LT de los planos de proyección se llama línea de tierra y divide a éstos dos semiplanos que se denominan horizontal anterior y posterior y vertical superior e inferior. Como el observador se supone siempre colocado en el primer cuadrante, consideraremos como horizontal anterior y vertical superior los semiplanos que determinan el primer cuadrante.

     El objetivo de la Geometría Descriptiva es representar sobre el plano las figuras del espacio, para conseguir esta representación sobre un solo plano, se emplea el siguiente artificio:

     Primeramente, se proyecta la figura dada sobre cada uno de los planos de proyección y, una vez realizado esto, se gira el plano vertical V alrededor de la línea de tierra, en el sentido contrario a las agujas del reloj hasta hacerlo coincidir sobre el horizontal. Así se obtiene un solo plano, sobre el que se señalará como única línea de referencia la línea de tierra. Esta recta se designa con sus iniciales L y T, colocando una en cada extremo. Los trazos que aparecen dibujados en sus extremos, sirven para indicar el sentido en que se abatido el plano vertical. Lo representado por debajo de la línea de tierra pertenece al plano horizontal, y lo colocado por encima de esta, pertenece al vertical.

     En este sistema, se utilizan también a menudo los planos bisectores de los cuatro diédros determinados por los planos de proyección, pero como estos diédros son, dos a dos, opuestos por la arista, no existirán más que dos que se denominan primero y segundo bisector.

     El primer bisector "alfa" atraviesa el primero y tercer cuadrante, y el segundo "beta", el segundo y cuarto.     Entre los planos de proyección y los bisectores el espacio queda dividido en ocho octantes.

6.1.- Rectas paralelas entre sí.

6.2.- Rectas paralelas a un plano.

6.3.- Rectas paralelas.

Perpendicularidad

7.1.- Recta perpendicular a un plano.

7.2.- Recta perpendicular a un plano que está definido por dos rectas cualesquiera.

7.3.- Plano perpendicular a una recta.

7.4.- Rectas perpendiculares entre sí.,

7.5.- Planos perpendiculares entre sí.

Distancias

8.1.- Distancia entre dos puntos.

8.1.1.- Distancia entre dos puntos si estos están en distintos diedros.

8.2.- Distancia de un punto a una recta.

8.3.- Distancia de un punto a un plano.

8.4.- Distancia entre dos rectas paralelas.

8.5.- Distancia entre dos planos paralelos.

9.- Abatimientos

9.1.- Abatimiento de un punto.

9.1.1.- Abatimiento de un punto sobre el horizontal

9.1.2.- Abatimiento de un punto sobre el vertical.

9.1.3.- Abatimiento de un punto sobre un plano paralelo a uno de los de proyección.

9.2.- Abatimiento de una recta

9.2.1.- Abatimiento de una recta en diedrico

9.3.- Abatimiento de un plano

9.3.1.-Abatimiento de planos proyectantes

9.4.- Abatimiento de una figura plana

10.- Principios generales de representación

10.1.- Vistas necesarias de una pieza

10.2.- Denominación de las vistas

10.3.- Posiciones relativas de las vistas

10.4.- Elección de las vistas

10.4.1.- Vistas particulares

10.4.2.- Vistas auxiliares simples

10.4.3.- Vistas auxiliares dobles

10.4.4.- Vistas locales

SISTEMA DIEDRICO.

I.-FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIEDRICO.

El sistema diédrico de representación surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel, formato de dos dimensiones.

En el sistema diédrico el espacio queda dividido en cuatro partes iguales, por medio de dos planos perpendiculares entre sí, llamados plano de proyección VERTICAL y plano de proyección HORIZONTAL. Estos dos, como cualquier par de planos que no presenten la particularidad de ser paralelos entre sí, se cortarán en una recta, recta conocida por LINEA DE TIERRA (LT).

De modo que el espacio debido ha estos dos planos queda dividido en cuatro partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de DIEDRO ó CUADRANTE.

Además de estos dos planos existen otros dos, no menos importantes, que dividen los diedros mencionados en dos partes iguales. Estos planos forman 45º con los planos de proyección y se cortan entre ellos y a los planos de proyección en la LT. De este modo nuestro sistema queda dividido en ocho partes iguales a las que llamaremos OCTANTES, y a los dos nuevos planos causantes de esta segunda división planos BISECTORES.

Lo expuesto hasta el momento nos da una visión del sistema de representación en el espacio. Pasemos, pues a continuación a representarlo al plano, para ello tendremos que abatir el plano de proyección horizontal sobre el plano de proyección vertical utilizando como eje de giro la propia LT. De este modo, quedará como único elemento de referencia la LT.

En ocasiones, es necesario realizar una tercera vista o proyección del elemento que estamos representando para su total definición y comprensión, esta proyección se realiza sobre un tercer plano de proyección denominado plano de PERFIL.

1.1.- CODIGOS HABITUALES DE NOTACIÓN.

La LT se representará en el presente trabajo mediante una línea llena fina con dos segmentos bajo sus extremos.

La nomenclatura del punto a través de letras mayúsculas, diferenciando si se trata de una proyección horizontal (mediante el subíndice 1 ó(`)), de una proyección vertical( mediante el subíndice 2 ó(`')) o de una tercera proyección, la de perfil( mediante el subíndice 3 ó(`'')).

La nomenclatura de las rectas mediante letras minúsculas, diferenciando como en el caso del punto si se trata de una proyección horizontal, vertical o de perfil mediante los subíndices 1, 2 y 3 respectivamente.

Para la nomenclatura del plano utilizaremos el alfabeto griego en minúscula, diferenciando como en los dos casos anteriores las tres proyecciones mediante los subíndices 1, 2 y 3.

2.-REPRESENTACIÓN DEL PUNTO.

El sistema diédrico de representación consiste en obtener las distintas proyecciones de un elemento, en este caso un punto, mediante la proyección de haces proyectantes perpendiculares a los planos de proyección. De modo que proyectando perpendicularmente el punto A sobre el plano de proyección Horizontal obtendremos la proyección horizontal del punto A (A1). Repitiendo la misma operación sobre el plano de proyección vertical obtenemos la proyección vertical del punto A, que es A2 y lo mismo con la tercera proyección o de perfil A3.

El punto A se puede definir mediante las distancias hasta los tres planos de proyección: A(d,a,c). La primera coordenada nos indica la distancia al plano de proyección de perfil (denominada como distancia), la segunda coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyección vertical( denominada alejamiento) y la tercera coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyección horizontal (denominada cota).

2.1- ALFABETO DEL PUNTO.

Obtendremos ahora en proyección las distintas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio.

Características de los puntos según los distintos diedros que ocupan:

Los puntos situados en el 1er diedro tienen la característica de tener su proyección horizontal por debajo de la L.T. o en ella y su proyección vertical por encima de la L.T. o en ella.

Los puntos situados en el 2º diedro tienen la característica de tener tanto su proyección vertical como la horizontal por encima de la L.T. o en ella.

Los puntos situados en el 3er diedro tienen la característica de tener su proyección horizontal por encima de la L.T. o en ella y su proyección vertical por debajo de la L.T. o en ella.

Los puntos situados en el 4º diedro tienen la característica de tener tanto su proyección horizontal como la vertical por debajo de la L.T. o en ella.

3.- LA RECTA

La proyección de una recta sobre un plano, es otra recta. Esta recta está formada por la proyección de todos los puntos de la recta que se quiere proyectar. Una recta está definida cuando se conocen sus dos proyecciones, horizontal y vertical. Donde la recta corta a los planos de proyección, tenemos sus trazas H ( traza horizontal) y V (traza vertical).H1 es la proyección horizontal dela traza horizontal, se la conoce con el nombre de traza horizontal, y la proyección vertical de la traza horizontal H2 se encuentra sobre la L.T. Del mismo modo V2 es la proyección vertical de la traza vertical de la recta, se le denomina traza vertical y la proyección horizontal de la traza vertical V1 está sobre la L.T. De esta forma la proyección vertical de la recta r2 queda definida al unir V2 con H2 y la proyección horizontal r1 al unir H1 con V1.

3.1- TIPOS DE RECTAS

Recta horizontal: recta paralela al P.H. todos sus puntos deben de tener la misma cota.

Recta frontal: recta paralela al P.V. todos sus puntos deben de tener el mismo alejamiento.

Recta de punta al P.H. es una recta perpendicular al P.H. y sólo tiene traza horizontal.

Recta de punta al P.V. es una recta perpendicular al P.V. y sólo tiene traza vertical.

Recta paralela a L.T. ésta recta es paralela a los dos planos de proyección P.H. y P.V.

Recta de perfil es una recta paralela al plano de perfil ( plano auxiliar).

4.- EL PLANO

Las trazas de un plano son los vértices en los que dicho plano corta a P.H y P.V. Un plano tiene dos trazas: vertical (2) y horizontal (1). Como se indica el figura las dos trazas del plano siempre se han de cortar en un punto y en la linea de tierra.

Para que una recta pertenezca a un plano, es decir esté contenida en él, es necesario que la traza vertical de la recta v2 esté sobre la traza vertical del plano 2 y del mismo modo la traza horizontal de la recta h1 deberá estar sobre la traza horizontal del plano 1.

4.1.-FORMAS DE DEFINIR UN PLANO

En la geometría del espacio un plano lo podemos definir de cuatro formas diferentes:

Mediante dos rectas que se cortan.

Mediante tres puntos no alineados.

Mediante una recta y un punto que no se pertenezcan.

En realidad lostres casos anteriores son el mismo. En todos ellos debemos conseguir dos rectas que se corten un un punto, puesto que éstas siempre formarán un plano. Partiendo de tres puntos no alineados, bastará con unir los puntos de dos en dos y así obtendremos dos rectas que se cortan en un punto. Partiendo de una recta y un punto que no esté contenido en dicha recta, batará con hacer pasar otra recta por el punto dado y por un punto perteciente a la recta dada, obteniendo así el primer caso. Una vez reducidos los casos b) y c) al caso a) bastará con obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales y las verticales de las rectas, para unir entre sí las proyecciones horizontales de la traza horizontal de las rectas(H1) y obtener así la traza horizontal del plano 1, para obtener la traza vertical 2 del plano deberemos proceder del mismo modo con las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas.

Mediante dos rectas paralelas.

Obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales de las rectas y unirlas entre sí para obtener la traza horizontal del plano.

Obtener las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas y unirlas entre sí para obtener la traza vertical del plano.

mediante la linea de máxima pendiente ó de máxima inclinación.

En el sistema diédrico tenemos para cada plano dos tipos de líneas de máxima pendiente. Una con respecto al plano horizontal y otra con respecto al plano vertical (denominada también LINEA DE MÁXIMA INCLINACIÓN). En la figura se muestra un plano y contenida en él una recta m perpendicular a la traza 1. Al proyectar dicha recta sobre el plano horizontal, la proyección m1 será perpendicular a 1. Esta recta será l.m.p. del plano con respecto al plano horizontal y cualquier otra recta contenida en el plano formará con el plano horizontal un ángulo menor que ésta.

En la siguiente figura se muestran las proyecciones de la l.m.p. m (con respecto al plano horizontal) de un plano . La única condición que debe cumplir es que la proyección m1 sea perpendicular a la traza 1. Cualquier recta

paralela a m1 y contenida en el plano será también l.m.p del plano con respecto al plano horizontal.

En la figura de la derecha se muestra el caso de la l.m.p. con respecto al plano vertical. En este caso m2 es perpendicular a la traza 2.

4.2.-ALFABETO DEL PLANO

1. El plano es un plano oblicuo cualquiera.

1. El plano es un plano proyectante horizontal: la proyección horizontal de todos los puntos y rectas que contiene coincide con su traza horizontal.

1. El plano es un plano proyectante vertical: las proyecciones verticales de todos sus puntos y rectas que contiene coinciden con su traza vertical.

1. El plano es un plano de perfil.

1. El plano es un plano paralelo a la L.T: las trazas que contiene también son paralelas a la L.T. Si la cota y alejamiento es diferente existen diversas posiciones. Si la cota y el alejamiento es la misma entonces estaremos ante un plano perpendicular a su bisector.

1. El plano es un plano paralelo al P.V: las rectas y puntos, sus proyecciones horizontales, coinciden con su traza horizontal. Las rectas y puntos en su proyección vertical va ha estar en verdadera magnitud.

1. El plano es un plano paralelo al P.H: no existe traza horizontal. La proyección vertical coincide con la traza vertical. Las rectas y puntos en su proyección horizontal las vemos en verdadera magnitud.

1. El plano es un plano que contiene a la L.T: si la cota y alejamiento del punto es igual pertenece al 1er bisector, en caso de que sea diferente estamos ante un plano que contiene a la línea de tierra.

5.- INTERSECCIONES

5.1.-INTERSECCION DE DOS PLANOS

Sean dos planos 1-2 y 1-2 cuya intersección I vamos a determinar.

Elijamos como plano auxiliar el horizontal de proyección PH, que al contener las trazas horizontales 11 nos da el punto H1H2, de la intersección, eligiendo así mismo el plano vertical de proyección PV, con las trazas verticales 2-2, obtenemos el punto V1-V2, con lo cual queda definida la intersección I, cuyas proyecciones i1-i2 serán las rectas de unión de las proyecciones homónimas H1V1 y H2V2 respectivamente.

5.1.1.- METODO PARA HALLAR PUNTOS DE LA INTERSECCION DE DOS PLANOS Y .

Trazo un plano auxiliar (el más sencillo posible, paralelo al horizontal o al vertical etc…).

& = r ø

ø r & s " o " I

& = s ø

5.1.2.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PROYECTANTES

Uno es un plano proyectante horizontal 1 - 2 y el otro proyectante vertical 1- 2.

Es indudable que utilizando los planos de proyección como planos auxiliares, obtenemos dos puntos de la intersección buscada, que son sus trazas H1-H2 y V1-V2, pudiendo por tanto anotar la intersección i1-i2.

Como se observa, las proyecciones de esta intersección se confunden con las trazas de los planos; lo cual concuerda con las características de los planos en cuestión, que al ser proyectantes tienen la propiedad de que “ todo elemento que contengan se proyecta según su traza”.

5.1.3.- INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA 1- 2 CON OTRO PARALELO A LA LINEA DE TIERRA 1-2.

Hallamos las trazas de la recta de intersección: H1-H2 y V1-V2 que nos determinan i1-i2.

5.1.4.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA (1er. Método).

El primer método consiste en apoyarnos en el plano de perfil. Calcular u obtener las trazas de los planos y en el plano de perfil y obtener su intersección I3. A continuación deshabatirlo y obtener las rectas I1 e I2.puesto

que ya sabemos de antemano que la intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra va ha dar una recta I también paralela a la L.T.

5.1.5.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA (2º Método).

El 2º método consiste en utilizar el procedimiento general. Trazamos un plano cualquiera que corta a los planos y . A continuación trazamos la recta de intersección del plano con que será r.

Después trazamos la recta de intersección del plano con que es s. Estas dos rectas r y s se cortarán en un punto porque pasará la recta I intersección de los planos y . Sabiendo que dicha recta I debe ser paralela a L.T. la trazamos.

5.1.6.- INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA 1-2 CON OTRO PERPENDICULAR AL SEGUNDO PLANO BISECTOR 1-2.

5.1.7.- INTERSECCION DE LOS PLANOS 1-2 Y 1- 2 PERPENDICULARES AL 2º PLANO BISECTOR.

Al utilizar el plano horizontal de proyección, como plano auxiliar, obtenemos el punto H1-H2 y empleando el vertical, el V1-V2, resultando así determinadas las proyecciones de la recta de intersección I1-I2, recta de perfil que podemos manejar pues conocemos sus puntos.

5.2.- INTERSECCION DE UNA RECTA CUALQUIERA CON UN PLANO

El plano dado lo está por sus trazas P1-P2, y la recta r por sus proyecciones r1-r2. De todos los planos que pudiéramos elegir pasando por la recta r, uno de los que nos dan solución sencilla es el proyectante. Hemos elegido, en este caso, el proyectante vertical 1-2 que tendrá por intersección con el dado P la recta i1-i2 determinada por los puntos h1-h2 y v1-v2. (i2 confundida con 2 y, por tanto, con r2).

Por hallarse en el mismo 1-2, las rectas r1-r2 e i1-i2 nos dan el punto solución a1-a2.

6.- PARALELISMO

6.1.- RECTAS PARALELAS ENTRE SÍ

Si dos rectas r y s son paralelas en el espacio, sus proyecciones homónimas r1,s1 y r2,s2 también son paralelas. Recíprocamente cuando dos rectas tienen sus proyecciones tanto horizontales como verticales paralelas, éstas son paralelas en el espacio.

&Pasar por un punto una recta paralela a otra dada.

Basta con trazar por P2 una recta s2 paralela a r2, y por P1 una recta s1 paralela a r1.

&Pasar por un punto P1-P2 una recta s1-s2 paralela a otra dada r1-r2, ambas de perfil.

No basta con el paralelismo de sus proyecciones verticales y horizontales. Sabemos que la recta s1-s2 paralela a la de perfil r1-r2 será una recta perpendicular a la L.T. y que pasa por P1-P2, es decir otra recta de perfil, pero no basta con esto, sino que hay que comprobar que ambas rectas tienen la misma inclinación, y para ello nos vamos a basar en la tercera proyección o de perfil.

En primer lugar trazamos r3. A continuación P3. El siguiente paso es trazar por P3 una recta s3 paralela a r3. A continuación llevamos las trazas V3s y

h3s a la recta s1-s2. Quedando así totalmente definida la recta s1s2 paralela a r1r2.

6.2.- RECTA PARALELA A UN PLANO

Una recta es paralela a un plano cuando es paralela al menos a una recta contenida en dicho plano. Si la recta no cumple otra condición hay infinitas soluciones.

&Trazar por un punto dado P1-P2 la recta paralela a un plano dado (1-2).

Se dibuja una recta r1-r2 cualquiera contenida en el plano . Para que una recta esté contenida en un plano las trazas de r1(h1) y la de r2(v2) deben estar en las trazas del plano 1-2 respectivamente.

Una vez hecho esto se traza por P2 una recta s2 paralela a r2 y por P1 una recta s1 paralela a r1.

&Si hay que trazar por un punto P una recta paralela a un plano definido por dos rectas s y t que se cortan, basta con trazar por el punto dado otra recta r paralela a cualquiera de las dos anteriores.

&Si queremos pasar por un punto P un plano (1-2) paralelo a una recta r1-r2 dada, hacemos pasar por el punto una recta s1-s2 paralela a la anterior. Todo plano cuyas trazas pasen por las correspondientes de la recta s1-s2 será paralelo a r1-r2 hay por tanto infinitas soluciones.

6.3.-PLANOS PARALELOS

Al ser cortados dos planos paralelos por un tercer plano, las rectas de intersección son necesariamente paralelas entre sí.

Condición necesaria y suficiente para que dos planos sean paralelos, es que sus trazas diedricas sean paralelas respectivamente.

& Trazar por un punto P un plano (1-2) paralelo a otro dado .

Hay que recordar que las horizontales de plano tienen su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano. Según esto, se pasa por el punto dado P1-P2 la horizontal r1-r2, siendo r1 paralela a 1, la traza vertical de la recta r es el punto v2 y por éste pasa la traza 2, paralela a 2. La traza horizontal paralela a 1 pasa por el punto donde 2 corta a la L.T.

Si los planos son paralelos a la L.T., no basta con el paralelismo de sus trazas homónimas, por lo que para saber si son realmente paralelas en el espacio, es necesario hallar la tercera proyección y comprobar en ella si sus trazas mantienen el paralelismo.

&Trazar un plano (1-2) paralelo a otro dado (1-2) (que es paralelo a su vez a la L.T.) por el punto P (P1-P2).

Hay que obtener la tercera proyección del plano dado y del punto. En esta proyección dibujaremos el plano pedido, paralelo a y pasando por P; por último se vuelve a las proyecciones horizontal y vertical.

Si el plano está definido por dos rectas que se cortan r y s, y queremos pasar por un punto P un plano paralelo al anterior, se traza por el punto dado dos rectas m y n, paralelas respectivamente a las anteriores.

7.- PERPENDICULARIDAD

7.1.-RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

Para trazar por un punto dado una recta perpendicular a un plano: por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza homónima del plano. Así siendo el punto P y el plano , por P1 perpendicular a 1, y por P2 perpendicular a 2. La recta así obtenida es la solución única. Si el punto pertenece al plano, deberá estar contenido en una horizontal o frontal de dicho plano, de ser exterior a dicho plano se resuelve de forma idéntica. Trazando por sus proyecciones las perpendiculares a las trazas, aunque el punto dado ya no sería el de intersección de la recta y el plano.

7.2.- RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO QUE ESTA DEFINIDO POR DOS RECTAS CUALESQUIERA

El plano dado está definido por las rectas r (r1-r2) y s (s1-s2); el plano 2, paralelo al horizontal de proyección, corta al anterior según la horizontal h1-h2, que pasa por los puntos 1 (1'-1'') y 2 (2'-2''). La proyección horizontal de la recta buscada es t1, perpendicular por P1 a h1.

El plano 1 paralelo al vertical de proyección corta al dado según la frontal f1-f2 que pasa por los puntos 3(3'-3'') y 4(4'-4''). La proyección vertical t2 es perpendicular a f2 trazada pro P2. La recta t(t1-t2) es la pedida.

7.3.- PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA

Tenemos la recta r(r1-r2) y hay que trazar el plano (1-2) perpendicular a ella. Para resolverlo, basta recordar que las trazas serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. Por ello, se hace pasar por un punto P1-P2 una recta del plano que se busca y de la cual sabemos la dirección; ésta recta es la horizontal h1-h2, su proyección vertical h2 pasa por P2 y es paralela a L.T: y h1 pasa por P1 y es perpendicular a r1; se halla su traza vertical v2 y por este punto pasa la traza 2 perpendicular a r2; la traza 1 pasa por el punto N y es perpendicular a r1.

Igualmente se puede operar con una recta frontal f1-f2, siendo f2 perpendicular a r2.

7.4.- RECTAS PERPENDICULARES ENTRE SI

La perpendicularidad entre rectas no se manifiesta en sus proyecciones, salvo posiciones paralelas a los planos de proyección, debido a la deformación angular que se experimenta en toda proyección por lo que hay que recordar que toda recta f o s contenida en un plano perpendicular a la recta r dada, lo es también a ella, pase o no por su intersección.

Para resolver el problema, basta con trazar un plano que sea perpendicular a r y cualquier recta contenida en él es directamente perpendicular a r sin más condiciones.

La propia recta m(m1-m2) frontal utilizada para obtener el plano perpendicular a la recta r(r1-r2) serviría por estar contenida en (1-2).

7.5.- PLANOS PERPENDICULARES ENTRE SI

Este problema también admite infinitas soluciones, puesto que dos planos son perpendiculares cuando uno de ellos contiene, al menos, una recta que es perpendicular al otro. Dicho de otra forma: si una recta r es perpendicular a un plano , todo plano que pase por r, o sea, paralelo a ella, será perpendicular al .

Dado el plano 1-2 y el punto P1-P2, se traza la recta r1-r2, perpendicular por P al plano ; las trazas de esta recta son los puntos h1 y v2 y para trazar un plano cualquiera que pasa por la recta r, basta tomar un punto M en la L.T: y unirla con h1 y v2. Un plano solución es el 1-2.

8.- DISTANCIAS

8.1.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos A y B es el segmento rectilíneo AB que los une. La proyección ortogonal de los puntos A1,B1 sobre el plano H determinan la proyección horizontal d1 y se forma el triángulo rectángulo B-A1-A, cuyos catetos son la proyección horizontal d1 del segmento AB y la diferencia de cotas h = A-A1 de los puntos A,B respecto al plano H. La hipotenusa de este triángulo es la distancia buscada.

Para determinar la distancia entre dos puntos de proyecciones ortogonales conocidas, basta con determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son, respectivamente, el segmento de proyección d1 y la diferencia de distancias de cada uno de los puntos al plano de proyección, o lo que es igual, la diferencia de cotas de los puntos dados.

En el sistema diédrico, para determinar la distancia se puede operar con la proyección horizontal d1, en cuyo caso las proyecciones de los puntos son A1-A2 y B1-B2, la distancia d1-d2. Por B1 se traza la perpendicular a d1 y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h=B1N. El segmento A1N es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

Igualmente se puede operar con la proyección vertical d2, en cuyo caso h sería la diferencia de los alejamientos. En ambos casos el resultado es idéntico.

8.1.1.-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, SI ESTOS ESTAN EN DISTINTOS DIEDROS.

Hay que considerar las cotas y los alejamientos con los dos signos. El punto B1-B2 es del primer diedro y el punto A1-A2 es del tercer diedro. La cota de B es positiva y la cota de A es negativa, por lo que la diferencia de cotas se transforma en una suma, es decir, en el segmento h. En este caso la distancia es el segmento D=B1N.

8.2.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Según el procedimiento general dado un punto P y la recta r por el punto se traza el plano perpendicular a r a la que corta en el punto I. El segmento IP es la distancia D, en verdadera magnitud, del punto a la recta.

En diedrico se resuelven siguiendo el mismo orden: por (P1-P2), perpendicular a r (r1-r2), por medio de la horizontal h1-h2, siendo h1 perpendicular a r1. El plano corta a la recta en I (I1-I2), que se obtiene empleando el proyectante vertical de la recta, 1-2, siendo i1-i2 la intersección de ambos planos y ésta corta a r en el punto I1-I2. La distancia IP tiene por proyecciones d1-d2 y la verdadera magnitud es D.

8.3.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

La distancia D de un punto P a un plano , se determina trazando la perpendicular r por el punto P al plano;se halla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento PI es la distancia pedida.

Según ello,si se trata de hallar la distancia de un punto del espacio P a un plano , se procede en primer lugar a trazar una perpendicular desde P al plano determinando su intersección I por medio de un plano auxiliar que contenga a la recta perpendicular trazada por P y que puede ser, para mayor facilidad, un proyectante. La recta de intersección de ambos planos al cortar a la perpendicular en I, nos determina el extremo de intersección.

En diedrico, sea el punto P (P1-P2) y el plano 1-2.Apoyándonos en un plano proyectante vertical que contenga a la recta perpendicular r trazada por P, obtenemos los puntos de corte de las trazas de los planos y de este modo la recta intersección i1-i2 (que pertenece a y a ).

De este modo se observa que las rectas i y r se cortan en un punto I (intersección entre r y el plano ).La distancia PI tiene por proyecciones d1-d2 y la verdadera magnitud es el segmento P1-I0 = D obtenido como en anteriores ocasiones.

8.4.- DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

La distancia D entre dos rectas paralelas se determina trazando un plano perpendicular a ellas y hallando los puntos I e I1 de intersección de ambas con el plano.

En diedrico tenemos dos rectas r (r1-r2) y s (s1-s2) paralelas.Trazamos el plano (1-2) perpendicular a ellas (por cualquier punto). Tenemos ahora que calcular el punto de corte del plano con r y s y uniendo esos puntos obtendremos la distancia D. Para ello utilizamos el procedimiento del caso anterior. Para la recta r trazo un plano proyectante auxiliar (1-2) que contenga a la recta r. Por la característica de este plano sabemos que r1 estará contenido en 1 y que 2 es perpendicular a L.T. Por tanto obtenemos la recta intersección i1-i2 entre los planos y . Como la recta i pertenece tanto a como a el punto donde i y r se corten será el punto I de intersección entre r y .

Utilizamos el mismo procedimiento para la recta s, pero en esta ocasión nos ayudamos del plano proyectante w1-w2. Obteniendo en este caso los puntos I2s-I1s. Uniendo I2r con I2s obtengo la proyección vertical d2 de la distancia D y uniendo I1r con I1s obtengo d1. La verdadera magnitud D se obtiene como en casos anteriores.

Para obtener en el plano horizontal la distancia h, se procede del siguiente modo. Se obtiene la diferencia de cotas I2r I2s y se lleva esa distancia sobre la perpendicular que pasa por I1r obteniendo el punto N. N I1s será la distancia D en verdadera magnitud (en el esquema está mal trazado).

8.5.- DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS

El procedimiento general es trazar una recta r perpendicular a los planos y se hallan los puntos de intersección de ella con los planos dados. La distancia es el segmento I-I1.

En diedrico los planos son (1-2) y (1-2). Se traza la recta r (r1-r2) perpendicular a ambos (por cualquier punto). Empleando un plano auxiliar, proyectante vertical (w1-w2) que contenga a r y por tanto, por las características de dicho plano la proyección r2 estará sobre w2 y w1 será perpendicular a L.T. El plano w cortará al y obtenemos como se indica en la figura la recta intersección i (i1-i2), donde r corta a i tendré el punto I de intersección. El procedimiento es el mismo para obtener el otro punto I pero con los planos w y . Por tanto uniendo I2 con I2 obtengo b2 y uniendo I1 con I1 obtengo d1 de forma que la verdadera magnitud D se obtiene como hemos indicado en el caso anterior y como se representa en la figura.

9.- ABATIMIENTOS

Abatir un plano es hacer coincidir éste con otro que se considera de proyección, girándose alrededor de la recta intersección de ambos. Esta traza alrededor de la cual se abate el plano recibe el nombre de charnela.

Todos los elementos, puntos, segmentos, polígonos, etc., contenidos sobre el plano abatido, se sitúan, tras el abatimiento, sobre el plano de proyección, por lo que se proyectan sin deformación alguna, con lo cual se obtienen sus verdaderas magnitudes, tanto lineales como angulares. Siendo éste el motivo principal para el empleo del abatimiento. Siempre se abate un plano sobre otro y sólo pueden abatirse planos. Las expresiones de abatir un punto o una recta carecen de exactitud, no obstante se emplean por sencillez de la expresión, entendiéndose por tal que el abatimiento se realiza con un plano que contenga a estos elementos.

El triángulo ABC situado en el plano P se proyecta según abc.

Si abatimos el plano P sobre el horizontal, tendremos el triángulo (a),(B),(C), que es la verdadera magnitud del triángulo citado.

Se dice que un plano se abate sobre otro Q cuando hace coincidir el primero sobre el segundo, haciéndole girar alrededor de su recta de intersección, la cual recibe el nombre de charnela.

Generalmente se tomará como plano de abatimiento uno de los planos de representación o del dibujo, con lo cual se conseguirá que venga sobre éste y su verdadera magnitud todo lo que contenga el plano abatido.

9.1.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO

Supongamos que es el plano de abatimiento o plano de representación, y que un punto A cuya proyección ortogonal sobre él es a, va a ser abatido; mejor dicho, se va a batir el plano (s) que pasa por el punto A tomando como eje de giro su traza s, que también llamaremos ch, por ser la charnela.

Sabemos que el punto A describe en el espacio una circunferencia cuyo plano es perpendicular a la charnela, siendo su radio r la distancia del punto de referencia a dicho eje de giro y su centro el punto t.

Este artificio del abatimiento va a consistir en determinar las posiciones Aa-1 y Aa-2, que puede ocupar el punto A cuando se abate dicho plano (s), en función de los elementos determinativos del punto y del plano.

Como el plano de la circunferencia que describe el punto tiene por traza la recta Aa-1 y Aa-2, perpendicular a la charnela, y la proyectante A-a es perpendicular también al plano , resulta que las rectas A-t y A-a se hallan también en el de la circunferencia ya citada; o lo que es lo mismo, los puntos a y t pertenecen a la traza Aa-1 - Aa-2.

Conocida, por tanto, la situación de la recta sobre la cual se van a encontrar las posiciones abatidas Aa-1 y Aa-2, nos será preciso además, conocer el radio de la circunferencia descrita. Este radio es la hipotenusa del triángulo A-t-a, rectángulo en A, que siempre podemos determinar cuando conozcamos la proyección ortogonal del punto A y su cota A-a=hA sobre el plano del abatimiento. El triángulo de referencia, hecho coincidir con el plano del dibujo, ocupa la posición t-a-u y su hipotenusa será el radio r que nos permitirá situar los puntos Aa-1 y Aa-2, pudiéndose establecer la regla general siguiente:

“Para obtener el abatimiento de un punto se trazarán desde su proyección ortogonal sobre el plano del abatimiento la perpendicular y la paralela a la charnela; en la paralela se tomará la altura del punto sobre dicho plano de abatimiento para determinar el radio, y haciendo en el punto de intersección de la charnela con su perpendicular se obtendrán en estas dos posiciones el punto abatido”.

9.1.1.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE EL HORIZONTAL

Se traza por a1 una paralela y una perpendicular a la charnela, sobre la paralela llevaremos la cota del punto obteniendo M. Con centro en O y abertura de compás OM se traza un arco que corta en (A) a la perpendicular inicial. El abatimiento puede realizarse también sobre el vertical.

9.1.2.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE EL VERTICAL

El abatimiento puede realizarse también sobre el vertical tomando como charnela la traza vertical del plano que le contiene. El procedimiento es idéntico al anterior sin más variación que en este caso, ha de operarse con la proyección vertical del punto y ha de tomarse el alejamiento en sustitución de la cota.

9.1.3.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO PARALELO A UNO DE LOS DE PROYECCION

Puede ser útil a veces, el artificio de tomar como plano de abatimiento, no ya uno de los de proyección, sino otro que sea paralelo, por ejemplo, un horizontal o un vertical, lo cual, a parte de la ventaja que trae consigo el simplificar las construcciones o de darnos puntos situados dentro de los limites del dibujo, tiene la propiedad de que el abatimiento viene proyectado en verdadera magnitud sobre el plano de proyección a que es paralelo, lo que equivale, en definitiva, a haber operado sobre él como plano de abatimiento.

Así, por ejemplo, en el caso de la figura, utilizamos como plano de abatimiento el horizontal (2), y entonces la regla sigue aplicándose; es decir, que la charnela en este caso es la ch (i1-i2), pero la altura del punto se medirá desde la proyección vertical a2 a la traza vertical 2 del plano de abatimiento.

9.2.- ABATIMIENTO DE UNA RECTA

La recta tampoco se puede abatir, como ya hemos aclarado. Se entenderá que se abate un plano (s), que la contiene sobre el de representación .

Como la recta está integrada por dos puntos, bastará conocer el abatimiento de dos de ellos para así tener el de la recta; pero si tenemos presente que todos los puntos del eje de giro, o sea de la charnela, permanecen invariables, la traza B de la recta R con la charnela será punto que pertenecerá a las posiciones abatidas Ra-1 o Ra-2, que se conseguirán conociendo el abatimiento de uno sólo de sus puntos A que ocupa las posiciones Aa-1 o Aa-2, según sea el sentido del giro del plano abatido.

9.2.1.- ABATIMIENTO DE UNA RECTA EN DIEDRICO

La recta r está situada en el plano y vamos a abatirla sobre el plano horizontal considerándola que está en el citado plano abatir. La charnela de abatimiento es la traza horizontal 1.

Se abaten dos puntos de la recta. El punto H, traza horizontal de la recta coincide con su abatido por pertenecer a la charnela.

Tomamos otro punto cualquiera de la recta, el a1-a2 y lo abatimos sabiendo su cota sobre el horizontal; obtenemos (A) que unido con (H) nos da la recta ( r), abatimiento de r.

Si la traza horizontal H de la recta queda fuera del papel se abate otro punto de ella y se unen los abatimientos de los puntos para obtener la recta abatida.

9.3.- ABATIMIENTO DE UN PLANO

Dado el plano vamos a batirlo sobre el horizontal. Tomamos un punto A(a1-a2) de la traza vertical. La charnela es la intersección de los dos planos, es decir, la traza horizontal 1. El punto N, de corte de las trazas, por ser de la charnela, coincide con su abatido; se abate el punto A, para lo cual por la proyección a1, se traza una paralela y una perpendicular con radio M-A0 se traza el arco que corta a la perpendicular en el punto (A), abatimiento del punto A sobre el plano H.

La recta N(A) es (1) abatimiento de la traza vertical 1 del plano. El ángulo es la amplitud del plano, es decir, el ángulo de las trazas en el espacio.

En la figura se observa que el triángulo Na2M, rectángulo en M1 y el triángulo NM(A) son iguales, por tener el cateto a2M=M(A) y el cateto NM común; luego las hipotenusas también son iguales; es decir Na1 = N(A). Según esto, se puede obtener el punto (A) haciendo centro en N y con abertura de compás Na2, cortan en (A) a la perpendicular a la charnela a1M.

Como se ve en la figura adjunta también podemos abatir el plano sobre el vertical de proyección. El proceso seguido es el mismo. La charnela es la traza vertical 2; el punto N es doble. Se toma un punto B(B1-B2) de la traza horizontal y se abate sobre el vertical. Unimos N con (B) y tenemos (2).

9.3.1.- ABATIMIENTOS DE PLANOS PROYECTANTES

En diedrico, la operación de abatir un plano proyectante horizontal tomando como charnela su traza 2 se reduce a situar la traza 1 coincidente con L.T.

Se ha realizado abatimiento del mismo plano horizontal. La charnela es la traza horizontal 1 del plano. La traza 2 quedará, después del abatimiento perpendicular a la charnela.

9.4.- ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANA

Se desea hallar la verdadera magnitud del triángulo dado para lo cual se abate el plano 1-2 sobre el horizontal. Abatímos el punto A obteniendo (A).

Nos basamos en la afinidad existente entre la proyección horizontal de la figura plana y su abatida. El eje será la traza 1 y la pareja de puntos afines A1 y (A). Hallando la afín del triángulo dado, se tiene el abatido, para lo cual se ha unido A1 con B1 mediante una recta que corta al eje (traza 1) en un punto que se une con (A) mediante una recta que corta a la paralela a A1(A) trazada por B1 en (B). Obtenemos el triángulo buscado.

10.- PRINCIPIOS GENERALES DE REPRESENTACIÓN

Vamos a representar un cuerpo sobre un plano empleando proyecciones ortogonales sobre los tres planos del sistema diédrico. Cada una de las proyecciones, en lo sucesivo, recibirá el nombre de “vista”.

Tenemos el plano horizontal PH y el plano vertical PV, que son perpendiculares y se cortan según la línea de tierra, L.T. Se considera un tercer plano, perpendicular a los anteriores, llamado plano de perfil, y designado por PP.

Vamos a representar un cuerpo muy sencillo, como el de la figura. A cada vértice se le puede nombrar con una letra o con un número.

· Proyección vertical o alzado: para hallar esta proyección se mira la pieza desde el infinito en la dirección F1, perpendicular al plano V; como ejemplo, los vértices 1,2,3 y 4 se proyectan según 1”,2”,3” y 4”. El alzado es la vista principal de la pieza y es la que tiene que dar mejor idea de la forma de dicha pieza. Esta debe colocarse en la posición de uso o montaje.

1. Proyección horizontal o planta: para hallar esta proyección se mira la pieza desde el infinito en la dirección F2, perpendicular al plano H, es decir, según la dirección vertical, como ejemplo, los vértices 1,2,3 y 4 se proyectan según los puntos 1´,2´,3´ y 4´. Como el alzado y la planta esta pieza no queda definida ya que no se conoce la forma de sus caras de perfil; por ello, hay que hacer una tercera proyección.

1. Proyección de perfil o perfil: para hallar esta proyección se mira la pieza desde el infinito en la dirección F3, perpendicular al plano de perfil PP; los puntos 1,2,3, y 4 se proyectan según 1''',2''',3''' y 4'''. Esta es la tercera proyección o perfil o vista de perfil de la pieza.

Se han empleado tres proyecciones perpendiculares una a cada uno de los planos de proyección. Veamos la forma de hacer coincidir estos tres planos PH,PV y PP en uno solo, precisamente el plano horizontal PH, que es el plano del dibujo.

1º Se supone mentalmente, que el plano de perfil PP gira alrededor de la recta OA hasta coincidir con el plano vertical. Según esto, el rectángulo OARB gira alrededor de OA, que hace de bisagra o charnela, y viene a confundirse con el OAGC. En este giro, la proyección tercera o perfil pasa a estar situada en el plano vertical.

2º Ahora sólo quedan el plano H y el plano V. Se supone de nuevo que el plano gira alrededor de L.T:, como charnela, hasta confundirse con el horizontal. Según lo anterior, las tres vistas o proyecciones ya están en un solo plano, el plano H, como se muestra en la figura.

Es muy importante observar a la vez estas dos figuras hasta comprenderlas perfectamente.

Esta pieza queda representada o definida con estas tres vistas y el conjunto de ellas es lo que forma el plano o dibujo de taller de la pieza.

1. El alzado y la planta se han de corresponder en la dirección perpendicular a la línea de tierra L.T.

1. El alzado y el perfil se han de corresponder en la dirección paralela a la línea de tierra L.T.

1. La planta y el perfil se han de corresponder también, lo que se comprueba con los arcos de 90º de la figura o bien con rectas a 45º con la L.T.

Si a estas vistas se agregan las “cotas” o “medidas” necesarias tendremos el plano completo. Cuando la pieza o el cuerpo a representar sea más complicado, habrá necesidad de dibujar más vistas, ayudarse de símbolos, dar alguna sección o corte, agregar leyendas explicativas, etc. El estudio de todos estos convencionalismos, normalizados internacionalmente, es lo que realmente constituye el dibujo Industrial y, paso a paso, se irán estudiando, a fin de familiarizarse con ellos.

10.1.- VISTAS NECESARIAS DE UNA PIEZA

Hay que hacer el plano de una pieza. El proceso es el siguiente:

1. Estudio lo más detallado posible de la misma.

1. Decidir en qué posición se va a dibujar, eligiendo para ello como “alzado” la vista que manifieste el mayor número de detalles y la mejor idea de la forma de la pieza. Se dibuja el alzado.

1. Deducir el número de vistas necesarias para la determinación completa de la pieza. Se dibujará la planta, debajo el alzado y correspondiéndose con él; luego, si es preciso, un perfil y si la complejidad de la pieza lo requiere, se dibujarán hasta un total de seis vistas. Todo cuerpo se puede proyectar sobre las seis caras de un paralelepípedo rectángulo que lo envuelva. Se tienen así, el alzado, la planta, el perfil, un segundo perfil, la vista desde abajo y la vista por detrás.

10.2.- DENOMINACIÓN DE LAS VISTAS

Las vistas reciben los nombres siguientes:

1. Vista según A = Vista de frente o alzado.

1. Vista según B = Vista por encima o planta superior.

1. Vista según C = Vista desde la izquierda o perfil izquierdo.

1. Vista según D = Vista desde la derecha o perfil derecho.

1. Vista según E = Vista desde abajo o planta inferior.

1. Vista según F = Vista por detrás o alzado posterior.

10.3.- POSICIONES RELATIVAS DE LAS VISTAS

Pueden utilizarse dos variantes de proyección ortogonal de la misma importancia.

1. El método de proyección del primer diedro (antiguamente método E:Europeo).

1. El método de proyección del tercer diedro (antiguamente método A:Americano).

1. Método de proyección del primer diedro: la pieza se supone situada en el primer diedro. Se dibuja la vista de frente o alzado (Vista A). A partir de ésta, las demás vistas se colocan como indica la figura.

1. La vista por encima o planta superior, vista B, se coloca debajo de A y correspondiéndose con ella.

1. La vista desde la izquierda o perfil izquierdo, vista C, se coloca a la derecha del alzado A.

1. La vista desde la derecha o perfil derecho, vista D, se dibuja a la izquierda del alzado A.

1. La vista desde abajo o planta inferior, vista E, se dibuja encima del alzado A.

1. La vista por detrás o alzado posterior, vista F, se puede colocar indistintamente a la izquierda del perfil D o a la derecha del perfil C.

Para indicar que un plano está situado en este sistema, se dibuja el símbolo que se indica en la figura, que son las vistas de un tronco de cono, dibujado en este sistema. Este símbolo se coloca en la casilla de “escala” y después de ella.

1. Método de proyección del tercer diedro: se dibuja la vista de frente o alzado (vista A). A partir de ésta, las demás vistas se colocan como indica la figura.

1. La vista por encima o planta superior, vista B, se dibuja en cima del alzado A.

1. La vista desde la izquierda o perfil izquierdo, vista C, se coloca a la izquierda del alzado A.

1. La vista desde la derecha o perfil derecho, vista D, se coloca a la derecha del alzado A.

1. La vista desde abajo o planta inferior, vista E, se dibuja debajo del alzado A.

1. La vista por detrás o alzado posterior, vista F, se puede poner indistintamente a la izquierda de C o a la derecha de D.

Si un plano está dibujado en este sistema, se puede indicar con el simbolo de la siguiente figura. Es el mismo tronco de cono, pero obsérvese que la vista desde la izquierda se pone a la izquierda, al contrario que en el sistema anterior.

10.4.- ELECCIÓN DE LAS VISTAS

La vista más característica del objeto debe elegirse como vista de frente o vista principal.

Generalmente, esta vista representa al objeto en su posición de utilización.

Las piezas utilizables en cualquier posición se representan preferentemente en su posición principal de mecanización o de montaje.

Cuando sean necesarias otras vistas (incluidas las secciones), deben elegirse de manera que:

1. Se limite el número de vistas y de secciones al mínimo necesario, pero suficiente para definir el objeto sin ambigüedad.

1. Se evite la representación de numerosos contornos o aristas ocultas.

1. Se evite la repetición inútil de detalles.

10.4.1.-VISTAS PARTICULARES

Cuando una vista no se puede hacer en una de las seis direcciones indicadas, o si la posición no está de acuerdo con los sistemas estudiados, se debe indicar la dirección de observación con una flecha y una letra.

En la figura se puede observar que el perfil está visto desde la derecha y tendría que ir dibujado a la izquierda del alzado. La excepción está en dibujarlo a la derecha del alzado y por ello se indica con la flecha y la letra A y debajo del perfil se pone la leyenda “vista en dirección A”.

Cualquiera que sea la dirección de observación de las vistas, las letras mayúsculas de identificación de vistas deben colocarse siempre en la posición normal de lectura del dibujo.

Las vistas particulares, también llamadas “vistas auxiliares” se emplean sobre todo cuando la pieza tiene partes oblicuas a los planos de proyección. Se obtiene así, por medio de un cambio de plano, una nueva proyección ortogonal que permite una mayor claridad y rapidez en el dibujo.

10.4.2.- VISTAS AUXILIARES SIMPLES

1.- Las vistas auxiliares simples se utilizan para definir con claridad la verdadera forma de superficies o caras de las piezas contenidas en planos inclinados, es decir; planos perpendiculares a una de los principales de proyección y formando ángulo cualquiera con los otros dos.

2.- Una vista auxiliar simple se dibuja proyectando la superficie o cara cuya forma se desea definir sobre un plano auxiliar paralelo a ella y abatiendo la proyección sobre el plano del dibujo.

3.- En las vistas auxiliares las superficies inclinadas definidas por ellas aparecerán en su verdadera forma, pero el resto de la pieza quedará deformado por la proyección. Por ello, las vistas auxiliares se limitarán a las zonas interesadas, prescindiendo del resto.

Por la misma razón en alguna de las vistas normales podrá prescindirse de las superficies o zonas ya definidas en las vistas auxiliares o en otra vista normal.

Se deduce de esto que las vistas auxiliares y alguna de las normales son parciales. En cualquier caso es totalmente necesario dibujar una vista normal completa de la pieza.

10.4.3.- VISTAS AUXILIARES DOBLES

1.- Las vistas auxiliares dobles se utilizan para definir con claridad la verdadera forma de superficies o caras exteriores de las piezas contenidas en planos oblicuos, es decir, planos formando ángulos cualesquiera con los tres escogidos como principales de proyección.

2.- Se llaman vistas auxiliares dobles porque para llegar a la vista que define la verdadera forma de la zona interesada, vista auxiliar segunda, es necesario el dibujo previo de una auxiliar primera.

3.- Las vistas auxiliares dobles se dibujan realizando las siguientes operaciones:

1. Operación A: Elegidos los planos principales de proyección se dibujan las vistas normales correspondientes.

1. Operación B: Se proyecta la pieza sobre un plano auxiliar, perpendicular a la superficie a definir y a uno de los principales. En esta proyección la superficie aparecerá como una línea.

1. Operación C: Se abate dicha proyección sobre el plano principal, tomado como el del dibujo. Esta proyección abatida será la vista auxiliar primera y en ella la superficie a definir seguirá apareciendo como una recta.

1. Operación D: Con la ayuda de esta auxiliar primera y de las otras vistas normales se dibuja la auxiliar segunda, en la que se aprecia la verdadera forma de la superficie o cara oblicua a definir.

4.- En las vistas auxiliares primera y segunda, no será preciso dibujar más que aquellas zonas no definidas ya en las normales. Por idéntica razón podrá prescindirse en las vistas normales de aquellas zonas ya definidas en las auxiliares.

Se ve por tanto que, en ocasiones, las vistas normales o auxiliares son vistas parciales. De todas formas deberá dibujarse siempre una vista completa, por lo menos, de la pieza.

10.4.5.- VISTAS LOCALES

En los elementos simétricos se permite dar una vista local en lugar de una vista completa, con la condición de que la representación no sea ambigua.

Las vistas locales deben realizarse según el método elegido para la ejecución del dibujo.

Las vistas locales se dibujan con línea llena gruesa y deben estar unidas a la vista principal por medio de una línea fina de trazos y puntos.