BAB 2

FUNGSI DAN GRAFIK

1. PENGERTIAN FUNGSI

Fungsi merupakan relasi khusus, sering juga disebut “relasi fungsional”. Karena

itu tidak semua relasi merupakan fungsi.

A B

Relasi antara himpunan A dan himpunan B

adalah relasi fungsional , disebut “fungsi dari A

ke B”.

C D

Relasi antara himpunan C dan himpunan D

adalah relasi yang bukan fungsional. Dengan

kata lain hubungan C dan D bukan fungsi.

(Gambar : diagram panah)

Suatu relasi antara A dan B dapat dinyatakan sebagai fungsi apabila setiap unsur

(anggota) dari himpunan A dipasangkan tepat satu unsur (anggota) himpunan B.

Himpunan A disebut “daerah asal” atau “domain” dan himpunan B disebut

“daerah kawan” atau “kodomain” dan himpunan semua peta di B disebut “daerah

hasil” atau range.

Pada relasi fungsional sering terjadi bahwa daerah kawan sama dengan daerah

hasil.

A B A = daerah asal

B = daerah kawan (kodomain) sama dengan

daerah hasil

1

a b c d

p

q

r

p

q

r

abcd

y

Sebaiknya dapat pula terjadi, bahwa daerah kawan tidak sama dengan daerah hasil.

C D C = daerah asal

D = daerah kawan (kodomain) yang tidak sama

dengan daerah hasil (range).

Bagian yang diarsir adalah daerah hasil.

2. GRAFIK FUNGSI

Fungsi dapat juga disajikan dalam bentuk grafik. Grafiknya disebut “grafik

fungsi”.

Contoh : A = [ 1, 2, 3, 4 ] B = [ 5, 6, 7, 8 ]

Jika antara A dan B terdapat suatu relasi fungsional, maka relasi itu

digambarkan sebagai berikut :

A B Relasi ini menunjukkan bahwa setiap anggota

himpunan B 4 lebih banyak dari setiap anggota

himpunan A. Jika setiap anggota A diwakili

oleh x dan setiap anggota B diwakili oleh y,

maka relasi itu ditentukan oleh y = x + 4.

Dengan menggunakan sistem koordinat Cartesius, x diwakili oleh sumbu yang

mendatar, disebut sumbu x dan y diwakili oleh sumbu tegak, yang disebut

sumbu y.

87654321

Garis yang menghubungkan himpunan

titik-titik : 1 dan 5

2 dan 6

3 dan 7

4 dan 8

Disebut garis y = x + 4

Grafiknya disebut grafik fungsi y = x + 4

2

1 234 r

p

q

5678

12344

y y

0 1 2 3 4Melalui grafik dapat pula diketahui apakah suatu relasi merupakan fungsi atau

tidak, seperti contoh berikut ini :

M

0

Contoh : grafik fungsi

0m

Contoh : bukan grafik fungsi

Jika banyaknya titik potong garis m dengan grafik lebih dari satu, maka grafik itu

bukanlah fungsi.

3. PASANGAN BERURUT

Selain menggunakan diagram panah dan grafik, fungsi dapat juga disajikan dalam

bentuk pasangan berurut.

Contoh : { (1,5), (2,6), (3,7), (4,8) } adalah himpunan pasangan berurut yang

merupakan fungsi.

Pasangan seperti (1,5), (2,6) dan seterusnya disebut “pasangan berurut” atau

“pasangan terurut” atau “pasangan urutan”.

Dalam pasngan (1,5), bilangan 1 adalah komponen pertama dan bilangan 5

disebut komponen kedua.

Contoh : { (0,0), (1,1), (2,4), (3,9) } adalah fungsi.

3

x

x

x

{ (0,0), (0,1), (2,3), (2,5) } bukan fungsi, karena ada dua pasangan

yang mempunyai komponen pertama yang sama, yaitu (0,0) dan (0,1).

Kesimpulan :

Bila dalam himpunan pasangan berurut itu tidak terdapat pasangan yang

mempunyai komponen pertama yang sama, maka himpunan itu disebut fungsi.

Sebaliknya bila terdapat pasangan yang mempunyai komponen pertama yang

sama, maka himpunan itu bukan fungsi.

4. FUNGSI SEBAGAI PEMETAAN

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan. Pemetaan himpunan A ke himpunan B

merupakan relasi yang memasangkan setiap anggota A tepat satu anggota B.

A B Relasi A ke B adalah pemetaan, yang disebut juga

fungsi A ke B.

Jika nama fungsi itu “ɡ”, maka disebut ɡ fungsi A

ke B. Yaitu pemetaan dari A ke B ditentukan oleh

ɡ. Ditulis ɡ : A → B

Pemetaan A ke B disebut pemetaan into atau fungsi into.

Jika A dan B himpunan-himpunan, maka pemetaan A ke B adalah relasi yang

memasngkan setiap anggota A kepada anggota B, dimana anggota B merupakan

peta (bayangan) dari sedikitnya satu anggota A.

B

A Pemetaan A ke B atau fungsi onto. Disini tampak

bahwa Q Є A dipasangkan lebih dari satu anggota B.

C D

Relasi C dan d adalah pemetaan C kepada D atau

fungsi onto.

4

pqrs

12344

123Q

P

Q

123

Korespondensi satu-satu :

Pemetaan satu-satu atau korespondensi satu-satu dari himpunan A kepada

himpunan B adalah pemasangan setiap anggota A satu-satu kepada setiap anggota

B.

Contoh 1 :

A B

Gambar disamping merupakan relasi pemetaan

satu-satu.

Contoh 2 : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 6, 7, 8}.

Himpunan pasangan berurut = {(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)} adalah fungsi

satu-satu atau pemetaan satu-satu atau korespondensi satu-satu.

Fungsi sebagai pemetaan banyak dipergunakan dalam perhitungan-perhitungan

kalkulus, misalnya pada limit, turunan, dan integral.

5. VARIABEL BEBAS DAN TAK BEBAS

Biasanya suatu relasi dinyatakan dengan kalimat terbuka dalam bentuk

persamaan. Setiap persamaan didalamnya terdapat variabel atau peubah.

Pada fungsi variabel dibedakan dalam variabel bebas ( untuk daerah asal ) dan

variabel tidak bebas ( untuk daerah hasil ).

Contoh : y = x + 2

x adalah variabel bebas dan y adalah variabel tidak bebas. Artinya

nilai x yang dapat ditentukan sembarang, tetapi nilai y terikat

(tergantung) pada nilai x.

Bila x = 1, maka y = 1+2 = 3. Dan

Bila x = 2, maka y = 2+2 = 4. Dan seterusnya.

6. NOTASI UNTUK FUNGSI

Ada bermacam-macam cara untuk menuliskan fungsi, diantaranya adalah :

a. Fungsi f memetakan A ke B, ditulis f = A→ B

5

pqr

abc

Fungsi ɡ memetakan x ke y, ditulis ɡ = x → y

Huruf-huruf f dan ɡ adalah nama yang diberikan pada fungsi. Selain huruf f

dan ɡ, huruf h dan r biasanya digunakan juga untuk menamai fungsi.

Contoh : fungsi f = x → x2 dengan x Є A

Berarti setiap x Є A bayangannya (petanya) adalah x2. Jika x = 2,

maka bayangan x oleh fungsi f adalah 22 atau 4 dan seterusnya.

b. Fungsi f memetakan x ke y, dapat ditulis f = x → f(x). f(x) disini sama dengan

y, dan f(x) disebut nilai dari f di x, atau bayangan x oleh f.

Persamaan y = x – 3, untuk x Є B dapat ditulis menjadi f(x) = x – 3. Ini berarti

untuk setiap x Є B petanya (bayangannya) adalah f(x) = x – 3.

Jika x = 1, maka f (x) = x – 3 menjadi f (1) = 1 – 3 = - 2

x = 2, maka f (2) = 2 – 3 = - 1, dan seterusnya.

c. Penulisan fungsi dengan notasi himpunan.

Contoh : {(x,y) ǀ y = x – 3, x, y Є B }.

Ini menyatakan bahwa relasi antara x dan y anggota himpunan bilangan bulat

ditentukan oleh : y = x – 3.

SOAL-SOAL LATIHAN :

1. Diagram panah berikut ini merupakan relasi himpunan-himpinan. Tunjukkan

mana dari relasi itu yang merupakan fungsi.

2. Apakah diagram panah dibawah ini menunjukkan relasi dari A ke B itu

merupakan fungsi ?

6

.

y

x

y

00

A B Tunjukan himpunan manakah yang merupakan daerah :

Definisi

Kawan

Hasil

3. Diketahui A = {a, b, c, d} B = {p, q, r}

Jika antara A dan B terdapat suatu relasi fungsional, perlihatkan relasi itu dengan

diagram panah dan grafik fungsi.

4. Apakah grafik-grafik berikut ini merupakan fungsi ?

5. Dari relasi berikut ini, yang manakah merupakan fungsi ?

a. { (1,1), (1,2), (1,3), (2,4), (2,5) }

b. { (-4,1), (-3,2), (-2,1), (-1,1), (0,1) }

c. { (0,0), (1,0), (2,1), (3,1) }

6. Tunjukkan : daerah asal dan daerah hasil dari relasi berikut :

{ (0,0), (1,0), (2,1), (3,1) }

{ (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) }

7. Buatlah grafik dari pasangan berurut berikut ini :

{ (-5, 25), (-4, 16), (-3, 9), (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) }

8. Tentukanlah daerah hasil, daerah asal dan daerah kawan dari relasi berikut :

a. f(x) = 2x – 1, untuk x Є A

b. { (x, y) ǀ y = x – 3, x, y Є Q }

c. { (x, y) ǀ y = 2, x, y Є R }

7

x

y

0

y

FUNGSI LINEAR

1. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS

Adalah dasar ukuran suatu grafik fungsi. Nama Cartesius berasal dari nama

seorang ahli filsafat bangsa Prancis RENE DESCARTES ( 1956 – 1650 ) yang

telah menemukan sistem koordinat itu.

Sistem ini menggunakan dua garis bilangan yang

berpotongan tegak lurus di titik nol.

Titik nol disebut juga titik asal atau titik pangkal,

titik pusat atau pusat koordinat. Garis bilangan

yang mendatar diberi nama x, dan disebut sebagai

sumbu x. dan garis bilangan yang vertikal dinamai

y dan disebut sumbu y.

Titik-titik di kanan 0 dari sumbu x mewakili bilangan-bilangan positif, dan di

kirinya mewakili bilangan-bilangan negatif.

Titik-titk di atas 0 dari sumbu y mewakili bilangan-bilangan positif, dan

dibawahnya mewakili bilangan-bilangan negatif.

2

1

A (1,2)

0 1 2

Dalam sistem koordinat ini, letak suatu titik

ditentukan oleh pasangan berurut, dimana

komponen pertama diwakili oleh sumbu x dan

komponen kedua dari pasangan berurut itu diwakili

oleh sumbu y.

8

x

x

Letak titik A ditentukan oleh pasangan berurut (1,2). Ini berarti titik A berada

pada 1 satuan di sumbu x dan 2 satuan di sumbu y.

Satuan-satuan di sumbu x di sebut absis dan satuan-satuan di sumbu y di sebut

ordinat. Absis dan ordinat, keduanya disebut: koordinat.

2. FUNGSI LINEAR

Adalah fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Misalnya,

bila diketahui fungsi f = x → 2x – 5 dengan x Є A, maka ini berarti fungsi f pada

himpunan R ditentukan oleh f (x) = 2x – 5, disebut fungsi linear, karena x sebagai

variabel bebas berpangkat paling tinggi satu.

Bila x Є A maka bayangannya adalah f (x) yang menjadi anggota B.

A B

f

Misalkan anggota B itu kita sebut y, maka

diperoleh y = f (x).

Nilai y atau f (x) dari fungsi linear di tentukan oleh

rumus :

f (x) = ax + b

Dengan notasi himpunan ditulis :

f = { (x,y) ǀ y = ax + b, a, b, Є R dan a ≠ 0 }

Contoh : gambarlah suatu grafik fungsi linear f yang ditentukan oleh :

f (x) = 2x -3 yang daerah asalnya { x ǀ 1 ≤ x ≤ 4, x Є R }.

Jawab :x 1 2 3 4

f (x) -1 1 3 5

Keterangan : Nilai-nilai dalam tabel diatas ditentukan oleh daerah asalnya yaitu

1 ≤ x ≤ 3 dan ditentukan oleh f (x) = 2x – 3.

Untuk : x = 1, maka f (1) = 2 (1) -3 = -1

x = 2, maka f (2) = 2 (2) -3 = 1

9

x f(x)

x = 3, maka f (3) = 2 (3) -3 = 3

x = 4, maka f (4) = 2 (4) -3 = 5

Untuk membuat grafiknya cukup dengan mengambil dua titik saja. Dari dua titik

tersebut ditarik garis lurus. Misalnya titik A (1, -1) dan B (4, 5).

Titik yang memotong sumbu y, diperoleh dengan mengambil

x = 0, maka f (0) = 2 (0) -3 = -3 → (0, -3)

Titik yang memotong sumbu x, diperoleh dengan mengambil

y = 0, maka 0 = 2x – 3

2x = 3

x =

32 = 1

12 . → (1

12 , 0).

y

5

4

3

2

1

B(4,5)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1 A(1, -1)

-2

-3

Titik potong dengan sumbu y

10

x

Titik potong dengan sumbu x

(4,4)

Koefisien arah (gradien) garis lurus biasanya dilambangkan dengan huruf “a” dan

di definisikan sebagai :

a =

y2 - y1

x2 - x1

Arah fungsi membentuk sudut α dengan sumbu x, maka koefisien arah garis

y = 2x – 3 sama dengan tg sudut α , yaitu :

a = tg α =

yx

Arah suatu grafik fungsi tergantung pada tanda yang menyertai a dalam

persamaan

Kalau a positif, arah fungsi dari kiri ke kanan NAIK.

Kalau a negatif, arah fungsi dari kiri ke kanan TURUN.

Titik potong kurva dengan sumbu y, jika x = 0.

Maka y = a . (0) + b = b

Jadi b merupakan titik potong kurva dengan sumbu y.

Contoh : Carilah persamaan/fungsi linear dari kurva dibawah ini :

1.

(0,4)

2.

11

y = ax +b

yy

0 (4,0)

(0,2)

0 4

Penyelesaian :

1) a =

y2 - y1

x2 - x1 =

4 - 00 - 4 =

4-4 = - 1

y = ax +b → y = -x + b

titik potong kurva dengan sumbu y terjadi jika x = 0, maka :

a = - (0) + b → b = 4. Jadi, persamaannya :

2) a =

y2 - y1

x2 - x1 =

4 - 24 - 0 =

24 =

12 → y =

12 x + b

titik potong kurva dengan sumbu y terjadi jika x = 0, maka :

2 =

12 (0) + b → b = 2

Jadi persamaan linearnya adalah :

SOAL LATIHAN

1) Gambarkan kurva linear dari persamaan berikut ini :

a. y = -2x + 6 c. y = -

12 x + 3

b. y = 3x – 4 d. y =

32 x – 5

jika daerah asal x adalah : -2 ≤ x ≤ 4

2) Carilah persamaan/fungsi linear dari grafik dibawah ini :

12

x x

y = -x + 4

y =

12 x + 2

y

y

y

y

a)

0

-4

-3

c)

0 3

-3

b)

5

-3 0

d)

(2,4)

0 6

FUNGSI KUADRAT

Adalah fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat dua. Bentuk yang

paling sederhana dari fungsi kuadrat adalah fungsi yang ditentukan oleh f (x) = x2.

Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah :

f (x) = ax2 + bx + c

Suatu parabola mempunyai nilai minimum atau maksimum ditentukan oleh tanda

yang menyertai koefisien x2 dalam persamaan di atas. Koefisien itu dinyatakan

dengan huruf a.

Jika ada a positif,

Jika ada a negatif,

a > 0, maka parabola terbuka ke atas, yang berarti mempunyai

nilai minimum.

a < 0, maka parabola terbuka kebawah, yang berarti mempunyai

nilai maksimum.

Banyaknya titik potong suatu parabola dengan sumbu x ditentukan oleh deskriminan

dari persamaan kuadratnya.

13

x

x

x

x

Deskriminan disingkat dengan “D”

D = b2 – 4 a . c

Jika D < 0, parabolanya tidak mempunyai titik potong dengan sumbu x.

Jika D > 0, parabolanya mempunyai dua titik potong dengan sumbu x.

Jika D = 0, parabolanya mempunyai satu titik potong dengan sumbu x.

Titik potong kurva dengan sumbu x terjadi jika y = 0.

Berarti : ax2 + bx + c = 0

Penyelesaian persamaan tersebut dilakukan dengan menggunakan rumus :

- b ±√b2 - 4 . a . c2 . a

KOORDINAT TITIK PUNCAK

Untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat digunakan suatu

Rumus : x =

- b ±√b2 - 4 . a . c2 . a

Dari rumus itu diperoleh dua nilai x, yaitu :

x =

- b +√b2 - 4 . a . c2 . a x =

− b −√b2 - 4 . a . c2 . a

Kedua nilai x ini sama-sama bila b2 – 4 . a . c = 0 , yaitu :

− b +√02 . a =

− b −√02 . a =

- b2 . a

Jadi diperoleh nilai x =

- b2 . a yang merupakan absis titik puncak.

y = ax2 + bx + c atau y = a (−b2.a )

2

+ b (−b2.a )

2

+ c

y =

a . b2

4 . a2 - b2

2 . a + c

14

y = b2−2 b2+ 4 . a .c4 . a =

−b2+ 4 . a .c4 . a

y =

−(b2− 4 . a .c )4 . a =

− D4 . a

Dengan demikian didapat koordinat titik puncak :

( -b 2 . a

, - D4 . a

)

Contoh : Diketahui sebuah persamaan kuadrat y = x – 2x – 8, carilah titik

potong kurva tersebut dengan sumbu x dan y. Dan carilah titik

puncaknya, serta gambarkan kurva tersebut.

Penyelesaian :

Dari persamaan y = x2 – 2x -8, diketahui bahwa a = 1, b = 2, c = -8. Tanda di depan

koefisien a adalah positif, maka kurva membuka ke arah atas .

D = b2 – 4 . a .c = (-2)2 – 4 . 1 (-8) = 4 + 32 = 36 > 0, maka kurva mempunyai 2 titik

potong dengan sumbu x.

X =

− b ±√D2 . a =

−(−2)±√D2 . 1 =

2 ± 62

X1 =

2 ± 62 =

82 = 4 X2 =

2 - 62 =

42 = - 2

Jadi titik potong kurva dengan sumbu x berada di titik : (-2, 0) dan (4, 0).

Titik potong kurva dengan sumbu y terjadi jika x = 0, maka y = (0)2 – 2 . (0) – 8 = -8.

Jadi titik potong kurva dengan sumbu y berada di titik (0, -8).

15

y

Koordinat titik puncak kurva terletak pada titik.

X =

− b 2 . a =

−(−2)2 . 1 =

2 2 = 1 dan

X =

− D4 . a =

− 364 . 1 =

− 364 . 1 = 9

Jadi koordinat titik puncak berada di (1, -9)

Gambar kurva y = x2 – 2x – 8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

16

x

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

LATIHAN SOAL :

1) Buatlah sketsa parabola y = 2x2 - 2x -12

Tentukan : a. Titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y.

b. Titik puncak maksimum/minimum.

2) Gambarkan sketsa parabola y = -3x2 – 6x + 24.

Lengkapi dengan titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y serta titik

puncaknya.

17

FUNGSI GONIOMETI

Y sin θ= yr

cosθ= xr

Tgθ= yx

18

θr

x

y

X

Cosec θ =

ry sec θ =

rx ctg θ =

xy

limθ → 0

sin θθ

=1 limθ → 0

cos θ - 1θ

=0

limθ → 0

sin θ=0 limθ → 0

cos θ=1

Sin (-θ ) = - sin (θ )

Cos (-θ ) = cos θ

1. Sin (A+B) = sin A . cos B + cos A . sin B

2. Sin (A–B) = sin A . cos B – cos A . sin B

3. Cos (A+B) = cos A . cos B – sin A . sin B

4. Cos (A–B) = cos A . cos B + sin A . sin B

Dari rumus-rumus di atas didapatkan rumus-rumus baru :

1. sin2a + cos2a = 1

2. cos 2A = cos2A – sin2A , atau

= 2 cos2A – 1 , atau

= 1 – 2 sin2A

3. tg (A+B) =

tg A + tg B1− tg A . tg B

4. tg2a = sec2A – 1

5. sin A – sin B = 2 cos

A + B2 . sin

A − B2

6. cos ( π2 −A )

= sin A

7. cos (A+ π

2 )= – sin A

8. sin ( π2 −A )

= cos A

19

9. tg ( π2 −A )

= ctg A

Grafik

1) y = sin x . Periode sinus adalah 2π

sin (x + 2nπ ) = sin x , π = 0, ±1, ±2 .....

y

1

−π2 0 π 2π

- 2π −3π

2 -π π

2 3π

2

-1

x adalah besar sudut

y nilai sinus dari x

2) y = cos x . Periode cosinus adalah 2π

cos (x + 2nπ ) = cos x, n = 0, ±1, ±2 .....

y

1

-π π 2π

- 2π −3π

2 −π

2 0 π

2 3π

2

-1

3) y = tg x . Periode tangen adalah 2π

cos (x + π . n ) = tg x, n = 0, ±1, ±2 .....

y

-π −π

2 0 π

2 π 3π

2

20

x

x

x

Sudut-sudut Istimewa

Fungsi Besar Sudut (θ)

0° 30° 45° 60° 90°

Sin θ 0 12

12 √2 1

2 √3 1

Cos θ 1 12 √3 1

2 √2 12

0

Tg θ 0 13 √3 1 √3 ~

Kwadran I, II, III dan IV

Besar sudut untuk masing-masing kwadran adalah sebagai berikut :

1. Kwadran I : 0≤θ≤90°

Sin θ=Sin α , Cos θ=Cos α , Tg θ=Tg α

2. Kwadran II : 90≤θ≤180°

Sin θ=Sin (180 °−θ)

Cos θ= −cos (180 °−θ)

3. Kwadran III : 180°≤θ≤270°

Sin θ= −sin(θ−180 °)

Cos θ= −cos (θ−180° )

4. Kwadran IV : 270≤θ≤360°

Sin θ= −sin(360°−θ)

Cos θ= cos (360 °−θ)

21

22