دانشگاه آزاد اسالمیواحد تهران جنوب

دانشکده فنی مهندسی

پایان نامه کارشناسی طراحی جامدات –مهندسی مکانیک

عنوان:

FGM تحلیل تیر خمیده

استاد راهنما:

نام و نام خانوادگی دانشجو:

شماره دانشجویی:

11/1390

ا

فهرست مطالب شماره عنوان مطالب

صفحهب

1چکیده2مقدمه

FGM3فصل اول: آشنایی با مواد

FGM4تاریخچه مواد 1-1 )FGM 5( معرفی مواد تابعی مدرج 1-2

فصل دوم: تحلیل تیرهای خمیده13

( معادالت انحنا-جابجایی در دستگاه مختصات قطبی1-214

( انتخاب تابع شکل2-217

( استخراج رابطه انحناء برحسب انحناهای گرهی2-319

های گرهی( ماتریس انتقال بین انحناهای گرهی و جابجایی2-420

( معادله تعادل المان2-521

( مطالعات عددی2-625

FGMفصل سوم: تحلیل تیرهای خمیده 28

ها و تعاریف( فرضیه3-129

( معادالت سینماتیک،تنش و کرنش3-230

ای در محور خنثی( نیروی محوری و خمشی لحظه3-331

ج

( ضریب برشی3-432

فهرست مطالب شماره عنوان مطالب

صفحه

( معادالت حرکت3-535

( تحلیل عددی و مقایسه3-636

در جهت ضخامتFGM( مدلسازی تیر 3-744

53نتیجه گیری154پیوست 254پیوست

منابع و مراجع56

د

فهرست جداول عنوان مطالب

شماره صفحه 1(- نتایج بررسی مثال1جدول )

25(- خواص مواد فلزی و سرامیکی2جدول )

39های عددی مدلهای مختلف و روش(- مقایسه فرکانس3جدول )

40(- فرکانس انواع مختلف شرایط مرزی با تکیه گاه ساده4جدول )

40

ه

فهرست اشکال شماره عنوان مطالب

صفحهتصویر شماتیک ریزساختاری یک ماده تابعی مدرج متشکل از سرامیک-فلز(- 1شکل )

6

`کل ) ` 2ش توس``طAl/siعکس ب``رداری از مقط``ع ی``ک م``اده ت``ابعی م``درج از جنس (-6میکروسکوپ نوری

تغییر خواص در برش عرضی پوسته یک صدف(- 3شکل )7

ماده تابعی مدرج با تغییر خواص تدریجی(- 4شکل )8

8ایماده تابعی مدرج با تغییر خواص پله(- 5شکل )

توزیع آهن و تنگستن در اثر حرارت(- 6شکل )9

دقیقه3 درجه در زم`ان 950حرارت دادن آهن و فوالد در ماکروویو به اندازه (-` 7شکل )9

ای در ابتدا و انتهامولفه جابجائی گره(- 8شکل )14

ای و بارهای خارجی المان- مولفه های انحنای گره(9شکل )14

المان تیر خمیده با درنظر گرفتن جهات قراردادی(-10شکل )15

α=60°( با 2نتایج بررسی مثال ) –( 11شکل )

27

ی یک تیر خمیدهطرحواره(- 12شکل )29

و

طرحی از قوس کم عمق- 13شکل 40

r=RG با کمان قید شده در c/aتغییرات فرکانس با پارامتر (- 14شکل )

41

r=ri با کمان قید شده در c/aتغییرات فرکانسی با پارامتر (- 15شکل )41

تفاوت درصدی در دو شکل قبل(- 16شکل )42

ز

چکیده: پرداخت`ه ایم س`پس در فص`لFGMدر فصل اول این پروژه به آشنایی ب`ا م`واد

دوم با اس`تفاده از روش اج`زاء مح`دود، فرم`ول بن`دی جهت تحلی`ل غ`یرخطی هندسی تیرهای خمیده ارائه شده اس`ت. در فرم`ول بن`دی اج`زاء مح`دود ت`ابع شکل برای انحناء بجای تغییر مکانها معرفی شده اس`ت. الم`ان ت`یر خمی`ده ب`ا قوسی از دایره معادل سازی شده و روابط ک`رنش-تغی`یر مک`ان غ`یرخطی دردستگاه مختصات قطبی نوشته شده اس`ت. ب`ا دردس`ت داش`تن رواب`ط تنش- کرنش و معادالت تعادل، روابط کرنش-انحناء حاص`ل گردی`ده ک`ه ب`ا جانش`ینی`یر روابط فوق در روابط کرنش-تغییر مکان معادالت دیفرانسیلی که مقادیر تغی

دارد بدست آمده است. با در دست داشتن سهمکان را برحسب انحناء بیان می انحناء گرهی تابع شکلی از درجه دوم برای انحناء تعریف شده و با اس``تفاده از آن مقادیر تغییر شکلها بر حسب انحناهای گرهی بیان گردیده اس`ت، ب`ه دنب`ال آن ماتریس انتقالی ارائه شده، ک`ه انحن`اء گ`رهی را ب`ا تغی`یر ش`کلهای گ`رهی

`انمرتبط می `اء بی سازد. سپس انرژی کل المان خمیده به صورت تابعی از انحن و با کمینه سازی آن رابطه نیرو- تغییر ش`کل حاص`ل ش`ده اس`ت. از آنج`ا ک`ه روش فوق قادر به منظ`ور نم`ودن تغی`یر ش`کلهای ب`زرگ، و همچ`نین ت`اثیرات

باش`د، دیگ`ر رابط`ه ن`یرو-تغی`یرنیروهای غشائی و شعاعی در س`ختی عض`و می`وتن-رافس`ون جهت همگ`راییشکل خطی نمی باشد، بدین سبب روش تکرار نی

جواب اختیار شده، و الگوریتمی بر این اساس ارائه گردیده اس`ت. ب`ا مطالع`ه چند مثال عددی و مقایسه نتایج بدست آمده با س`ایر مراج`ع نش`ان داده ش`ده است ک`ه روش م`ذکور از دقت، س`رعت و ک`ارائی ک`افی برخ`وردار اس`ت.در فصل س`وم تئ`وری کالس`یک مق`اومت مص`الح ب`رای تحلی`ل دین`امیکی تیره`ای

( اس`تنباط ش`ده اس`ت. فرآین`دFGMخمیده ضخیم در زمینه مواد تابعی مدرج ) استخراج شامل ساده سازی دستکاری جبری با استفاده از مفهوم تغییر مک``ان

های طبیعیمحور خنثی مواد است.همچنین مطالعات پارامتری بر روی فرکانس برای نشان دادن تطبیق پذیری از فرمولهای اتخاذ شده ب`ا اس`تفاده از راه ح`ل

دستی سری توانی ارائه شده است.

1

مقدمه: `ا توس`عه موتوره`ای پرق`درت ص`نایع هوافض`ا، اوربین ه`ا ودر س`الهای اخ`یر ب

راکتورها و دیگر ماشین ها نیاز به موادی با مقاومت حرارتی ب`اال و مق`اومتر از لحاظ مکانیکی احساس شده است. در سالهای قبل در صنایع هوافض`ا از م`واد سرامیکی خالص جهت پوشش و روکش قطعات با درجه ک`ارکرد ب`اال اس`تفاده

ش`د. این م`واد عایقه`ای بس`یار خ`وبی بودن`د ولی مق`اومت زی`ادی در براب`رمی`هتنشهای پس ماند نداشتند. تنشهای پسماند در این مواد مشکالت زیادی از جمل

-نمود. بعدها برای رفع این مشکل از مواد ک`امپوزیت الی`هایجاد حفره و ترک می ای استفاده شد. تنشهای حرارتی در این مواد نیز موجب پدیده الیه الی`ه ش`دن

`رارتیگردید. باتوجه به این مشکالت طرح مادهمی ای مرکب که هم مقاومت ح و مکانیکی باال داشته و هم مشکل الیه الیه شدن نداش`ته باش`د، ض`رورت پی`دا`اال کرد. بنابر مشکالتی که در صنایع مختلف برای مواد تحت تنشهای ح`رارتی ب

در منطق`ه س`ندایی ژاپن1984وجود داش`ت، دانش`مندان علم م`واد در س`ال را ب`ه عن`وان م`واد ب`ا تحم`ل ح`رارتی ب`اال پیش`نهادFGMبرای اولین ب`ار م`واد

نمودند. ه`ا ح`اوی المانه`ای منح`نی گ`ونه`ا و لول`هها نظیر قوسها، پ`لبسیاری از سازه

-باش`د. همچ`نین یکی از توان`اییهستند، از برتری این اعضاء صلبیت و زیبایی می ه`ای این ن`وع المانه`ا در مقایس`ه ب`ا تیره`ای مس`تقیم امک`ان ک`اهش تنش`های

باشد. این مزایا بسیاری از طراحان را ترغیب به اس`تفادهفشاری یا کششی می از تیرهای خمیده نموده است. لیکن تحلیل این نوع المانها معم`وال ب`ا پیچی`دگی

مواجه است. ، تیره`ایFGMدر این پروژه سعی شده است تا با توج`ه ب`ه م`زیت ه`ای م`واد

های ک``اربردی در اینخمیده ساخته شده از این مواد را تحلیل کرده و به رابطه زمینه دست یافته و برای نیل به این ه`دف در ابت`دا ب`ه تحلی`ل تیره`ای خمی`ده پرداخته و پس از آشنایی و تحلیل این تیره`ا ب`ه تحلی`ل تیره`ای خمی`ده س`اخته

ایم.شده از مواد تابعی مدرج پرداخته

2

فصل اول: FGMآشنائی با مواد

functionally( تاریخچ==ه م==واد ت==ابعی م==درج )1-== 1 graded materials :)

3

توس`ط گ`روهی از دانش`مندان در دانش`گاه1984 در ابتدا در س`ال FGMمواد (. از آن پس1993 و ک`وزومی 1990سندایی ژاپن مط`رح گردی`د. )یام`انوچی

`واد درFGMروی ها تحقیقات وسیعی انجام شد. بدلیل خاصیت تغییر پیوسته م ه`ا از نظ`رFGMفضایی با مقی`اس ماکروس`کوپیک، گ`اهی اوق`ات اس`تفاده از `وصشود، بهرفتار مکانیکی نسبت به مواد با ساختار فیبری، ترجیح داده می خص

ه`ایتحت بارهای حرارتی چون شکاف درونی یا مرزی در آنها وجود ن`دارد، پی`ک`یرا زمانی که نیروی خارجی به آنها اعمال میFGMتنش در ساختارهای گردند م

شوند و در نتیجه از شکس`ت ب`ه دلی`ل ع`دم پیوس`تگی درونی و تمرک`ز تنشمی`ازنگری ج`امع در م`ورد رویکرده`ای مختل`فجلوگ`یری می `ک ب ش`ود. تانیگاوای

( ب`ر1999ه`ا ارائ`ه داد. ردی )FGMپیشنهادی جهت تحلیل رفتار ترمواالس`تیک `ه اول ) (، خمشFSTمبنای تئوری صفحات تغییر شکل دهنده نیروی برشی مرتب

را مورد مطالعه و ارزیابی ق``رارFGMمحوری متقارن صفحات مسطح و مدور `وری `کل ص`فحاتasymptoticداد. تئ `یر ش `ا تغی `ده ب `ل ش ترمواالس`تیک کوپ (2000( ارائه گردید. چنگ و بارت`ا )2001 توسط ردی و چنگ )FGMمستطیلی

را با اس`تفادهFGMمسائل سه بعدی تغییر شکل ترمواالستیک صفحات بیضوی `ک `د. astmptitocاز تکنی `رار دادن `ابی ق در س`الreddy و Praveen م`ورد ارزی

فل`زی-س`رامیکی را ب`اFGM، رفت`ار ترمواالس`تیک غ`یر خطی ص`فحات 1998 استفاده از روش اجزا محدود مورد مطالعه قرار دادند. آنها نشان دادن`د ک`ه در

بین ورق فلزی و س`رامیکی ق`رارFGMغیاب بار حرارتی، پاسخ دینامیکی ورق گیرد اما هنگامیکه بارگذاری مکانیکی-حرارتی همزمان با هم ب`ه ورق اعم`المی Wooباش`د. های فلزی و سرامیکی نمی ما بین ورقFGMشود تغییر شکل ورق می های تحلیل غیرخطی سه بعدی برای صفحات و پوسته2001 در سال meguidو

تحت نیروهای مکانیکی و ح`رارتی ترکی`بی را ارائ`ه نمودن`د. در اینFGMنازک را تحت ش`رایط ذک`رFGMه`ای های ب`زرگ ورق و پوس`تهتحقیق آنها تغییر شکل

، تغییر شکل بزرگ2003 در سال shen و Yangشده مورد بررسی قرار دادند. تحت شرایط مرزی و بارگ`ذاری مختل`ف را م`ورد بررس`ی ق`رارFGMهای ورق

، عملکرد المان تغییر شکل یافت`ه2007 و همکارانش در سال Djermaneدادند. درجه آزادی در ه`ر گ`ره، را در تحلی`ل خطی و غ`یر خطی6 گرهی با 9پوسته

و همک`ارانشPradyumnaهای نازک مورد بررسی ق`رار دادن`د. دینامیکی پوسته را با استفاده از تئوری فون کارمن و بهFGMای های پوسته، پانل2010در سال

روش اجزا محدود مورد بررسی قرار دادند.

4

Functionally( مع===رفی م===واد ت===ابعی م===درج )1-2 graded materials :)

ها مواد کامپوزیتی باFGM( یا functionally graded materialsمواد تابعی مدرج ) باشند که خواص مکانیکی آنها بط`ور مالیم و پیوس`ته ازریز ساختار ناهمگنی می

کن`د. این خاص`یت وی`ژه ب`ه وس`یله تغی`یری`ک س`طح ب`ه س`طح دیگ`ر تغی`یر می آی`د. در س`الهاییکنواخت در نسبت حجمی مواد تشکیل دهن`ده آنه`ا بدس`ت می

ه`ا، راکتوره`ا و تجه`یزاتاخیر با توسعه موتوره`ای پرق`درت الک`تریکی، ت`وربین صنایع هوافض`ا و دیگ`ر ماش`ین آالت ص`نعتی، اس`تفاده از م`وادی ب`ا مق`اومت

رود. م`وادحرارتی باال و مقاوم از لحاظ مکانیکی یک نیاز ضروری ب`ه ش`مار میfgایی` یکی از کاربردی ترین مواد در صنعت به ویژه جهت اس`تفاده در محیطه

بی``نیرود و پیشای به شمار میبا درجه حرارت بسیار باال مانند راکتورهای هسته های منحصر به فرد این م`واد، کاربرده`ای ص`نعتی آنه`اگردد با توجه به ویژگیمی

های آتی توس`عه یاب`د. در س`الهای قب`ل در ص`نایع هوافض`ا از م`واددر طی سال سرامیکی خالص جهت پوشش دهی و روکش نم`ودن قطع`ات تحت اث`ر دم`ای

شد. این مواد عایقهای بس`یار خ`وبی بودن`د ولی مق`اومتکاری باال استفاده می زی`ادی در براب`ر تنش`های وارده نداش`تند. ب`ویژه تنش`های پس`ماند در این م`واد

نمود. بعدها برای رفع این مشکلمشکالت زیادی از جمله حفره و ترک ایجاد می ای استفاده شد. تنشهای حرارتی در این مواد نیز م`وجباز مواد کامپوزیت الیه

ای م`رک ک`هگردید. با توجه به این مشکالت، طرح مادهپدیده الیه الیه شدن می هم مقاومت ح`رارتی و مک`انیکی ب`اال داش`ته و هم مش`کل الی`ه الی`ه ش`دن را نداشته باشد ضرورت پیدا کرد. به این ترتیب با توجه به مشکالتی که در ص`نایع مختلف برای م`واد تحت تنش`های ح`رارتی ب`اال وج`ود داش`ت، دانش`مندان علم

ای با تحمل حرارتی ب`اال پیش`نهاد را به عنوان مادهFGمواد برای اولین بار مواد در منطق`ه س`ندایی )1984نمودند و نخس`تین نمون`ه از این م`واد را در س`ال

sendai .ژاپن در آزمایشگاه نینو تولید کردند )`رکیب پیوس`ته `وع رایج این م`واد ت `زات و س`رامیکها مین باش`د ک`ه ازای از فل

آیند به طوریکه تغییر فل`ز و س`رامیک از ی`کمخلوط نمودن پودر آنها بدست می ای که مثال یک سطح از جنسگونهباشد. بهسطح به سطح دیگر کامال پیوسته می

باش`د و بین دو س`طحس`رامیک خ`الص و س`طح دیگ`ر از جنس فل`ز خ`الص می`های از هر دو ماده میترکیب پیوسته باشد. از این رو خواص مکانیکی نیز با توج

`هبه نوع ترکیب، تغییرات پیوسته ای در جهت ضخامت دارد. این مواد با توج`ه ب ش`ان دارای خ`واص مک`انیکی م`وثرتریپیوستگی ترکیب اجزای تشکیل دهن`ده

`ه `ه م`واد ک`امپوزیت الی `رکیب در راس`تایای مینس`بت ب باش`ند. نس`بت این ت ضخامت جسم متغی`یر ب`وده و چگ`الی ذرات فل`ز معل`ق در بس`تر س`رامیک از

5

توان`د خطی، غ`یرسطح فلزی تا سطح سرامیکی توسط ی`ک ت`ابع معین ک`ه مییابد. خطی یا نمایی باشد کاهش یا افزایش می

( مش`اهده1 متشکل از سرامیک-فلز در ش`کلهای )FGتصویر شماتیک یک ماده ( نیز تصاویر عکسبرداری شده توسط میکروسکوپ ن`وری2گردد. در شکل )می

شود. از جنس الماس-آلومینیوم مشاهده میFGMاز مقطع یک

تصویر شماتیک ریزساختاری یک ماده تابعی مدرج متشکل از سرامیک-فلز(-1شکل )

توسطAl/siعکس برداری از مقطع یک ماده تابعی مدرج از جنس (- 2شکل )میکروسکوپ نوری

همانطور که اشاره شد امتیاز اصلی مواد تایعی مدرج مقاومت بسیار باالی آنها-باشد، ب`ه گون`هدر برابر محیطهایی با درجه حرارت باال )تغییرات دمایی باال( می

ای که مولف`ه س`رامیکی م`اده ب`ه دلی`ل ض`ریب ه`دایت ح`رارتی پ`ایین ب`اعث`اعثمقاومت در برابر دماهای بسیار باال می `زی ب گردد. از سوی دیگر مولفه فل

6

-های ح`رارتی ایج`اد ش`ده میجلوگیری از رشد ترک و شکست ماده در اثر تنش`درج `ابعی م گردد. همچنین پیوستگی تغییرات ریز ساختاری باعث امتیاز ماده ت

ای گردیده است. نسبت به انواع مواد مرکب الیه ای در ط`بیعت دارن`د،همانند دیگر مواد ساخته شده ب`ه دس`ت بش`ر ک`ه نمون`ه

FGM( برش عرضی از پوس`ته ی`ک3هایی در طبیعت دارند. شکل ) ها نیز نمونه باشد. تغییر پیوسته ماده در سطح این پوسته ک`امال در ش`کل ظ`اهریصدف می

آن مشخص است. به تنوع ماده و رابطه آن با شکل ظاهری توجه فرمایید.

تغییر خواص در برش عرضی پوسته یک صدف(- 3شکل )

ه`ایی هس`تند از اینک`ه دری`ابیمها، صدفها، استخوانها و درخت`ان ب`امبو مث`الدندان ت`ر درچگونه طبیعت به ساختمان میکروسکوپی مواد با ق`رار دادن عناص`ر ق`وی

ده`د. س`اختارهایباش`د، نظم میجایی که تنش و کرنش در باالترین حد خ`ود می بیولوژیکی برای اینک`ه ق`درت یکس`ان در تم`ام ح`االت را ف`راهم نماین`د، خل`ق

اند تا از تنش زیاد جلوگیری نمایند و بدین سان شانس ب`اقی مان`دن را ب`هشده وسیله ک`اهش دادن امک`ان شکس`ت س`اختاری در ح`الت ش`وک ح`رارتی و ی`ا

ضربه گسترش دهند. توان استفاده در راکتوره``ایاز جمله کاربردهای اصلی این مواد تابعی مدرج می

`نایعهس`ته `تفاده در ص `ور(، اس `واره داخلی راکت `ده دی `واد تش`کیل دهن ای )م شیمیایی )غشاها و کاتالیستها(، استفاده در مهندس`ی پزش`کی )کاش`ت دن`دان

ه`ای مص`نوعی( و س`ایر فناوریه`ای ن`وین مانن`دمصنوعی، اس`تخوانها ی`ا ان`دام موتورهای سرامیکی و پوشش در برار خوردگی و حرارت نام برد. همچنین این

7

`زایمواد در ساخت صفحات و پوسته های مخازن-راکتورها و توربینها و دیگر اج ماشینها کاربرد زیادی دارند. زی`را این قطع`ات آم`ادگی ب`االیی جهت وامان`دگی

نس`بت ب`ه م`وادFGناشی از کمانش حرارتی را دارن`د. از دیگ`ر مزای`ای م`واد باشد، زی`را هم`انطورها میای، عدم گسستگی در محل اتصال الیهکامپوزیت الیه

باش`د. از دیگ`ر ت`رکیب عناص`ر پیوس`ته و ت`دریجی میFGکه گفته ش`د در م`واد `ایتوان به استفاده از آنها در ساخت پوشش عایقمزایای مواد تابعی مدرج می ه

Thermalحرارتی ) barrier coatingنیز اشاره نمود. مواد تابعی م`درج م`وادی ) باش`ند ک`ه از نظ`ر میکروس`کوپی غ`یر همگن ب`وده و خصوص`یاتکامپوزیت می

ساختاری آنها از قبیل نوع توزیع، اندازه فازها، به طور ت`دریجی از س`طحی ب`ه کند و همین تغییر تدریجی منجر به تغییر تدریجی خ`واص درسطح دیگر تغییر می

`ا ترکی`بی از فل`زاتآنها می شود. این مواد عموما از مخلوط سرامیک با فلز و ی شوند. م`اده س`رامیک مق`اومتمختلف )با ضرایب حرارتی متفاوت( ساخته می

باش`د و م`اده فل`زی ب`هدمایی باالیی را به خ`اطر رس`انایی گرم`ایی کم دارا می خواری، از شکستگی یا ترک به علت تنش حرارتی مم`انعتعلت خاصیت چکش

ها دو جزء ماده مختلف به طور پیوس``ته ازFGMترین آورد. در سادهبه عمل می کن`د.( نشان داده شده است تغییر می4یکی به دیگری همانطوری که در شکل )

توانند به صورت غیر پیوسته و مرحله به مرحله ش`کل )همچنین اجزای مواد می- در نظ`ر گرفت`ه میFGM( تغییر کنند. هر دوی این ح`االت از نظ`ر س`اختاری 5

شوند.

ماده تابعی مدرج با تغییر خواص تدریجی(- 4شکل )

ایماده تابعی مدرج با تغییر خواص پله(- 5شکل )8

ه`ا و م`واد پلیم`ری ب`رای ک`امپوزیت1972ایده اصلی این ساختار ابتدا در س`ال های مختلفی برای اجزای ترکیبی در پلیمریزاسیون با کاربردهایارائه شد و مدل

بن`دی ش`ده پیش`نهاد ش`د. ب`ا این وج`ود ت`ا س`الممکن برای ساختارهای طبقه بررسی و تحقیق واقعی پیرامون چگونگی ساخت و ارزیابی ساختارهای1980 ای وجود نداشت. بطور معمول این چنین ساختارهایی ب`ه س`ختی س`اختهطبقه

شوند و حفظ تنوع ترکیب به وسیله روش`های مرس`وم، بس`یار س`خت و ی`کمی ه`ای ط`والنی، ب`اباشد. خصوصیات آنها در دماهای ب`اال و زم`انبر میپروسه زمان

گراید. این پروسه باهای شیمیایی به تنزل مینفوذ داخلی، زمخت شدن و واکنش`واد درآید. نمونهدست میحرارت دادن در ماکروویو به طور موثر به ای از این م

( ب`رای ف`والد نش`ان داده ش`ده5-1( برای کاربی`د تنگس`تن و ش`کل )6شکل ) است. ماکروویو به طور انتخابی پودر فلز را گرم نم`وده و در مواجه`ه ب`ا حجم

( نش`ان داده ش`ده اس`ت ک`ه7ش`ود. در ش`کل )فلز در دمای ات`اق منعکس می الی2چگونه ذرات منظم فوالد و چدن خاکستری در میدان ماکروویو در زم`ان

ان`د. همچانک`ه توس`ط دقیقه با استفاده از یک پودر لحیم به هم متص`ل ش`ده3 آزمایشات، ریز ساختار نمونه مشخص شده است، اتصال تقریب`ا کام`ل اس`ت.

ده`د ت`رکیب آن پیش زین`تر ش`ده اس`ت ک`ه اینزمان کوت`اه پروس`ه نش`ان می تواند ت`ا اتص`ال فل`ز ب`اشود این کار میهای پایانی فرآیند حفظ میترکیب تا بخش

ه`ای س`رامیکی روی فل`زات ی`اسرامیک ادامه یابد و همچنین به توسعه پوششها منجر شود. های فلزی روی سرامیکپوشش

توزیع آهن و تنگستن در اثر حرارت(- 6شکل )

دقیقه3 درجه در زمان 950حرارت دادن آهن و فوالد در ماکروویو به اندازه (- 7شکل )9

توضیح اینکه امواج م`اکروویو بخش`ی از طی`ف الکترومغن`اطیس دارای بس`امد م`تر در ه`وا هس`تند. این001/0 ت`ا 1 مگاهرتز و ط`ول م`وج 300تا 300000

امواج بر خالف اش`عه ایکس و گام`ا ب`ه دلی`ل بس`امد پ`ایین ق`ادر ب`ه شکس`تن ه`ا نیس`تند. ام`واج م`اکروویوپیوندهای ش`یمیایی و آس`یب رس`اندن ب`ه مولک`ول

کند و توسط اجسام مختلف جذب، منتقل یاهمانند نور در خط مستقیم سیر می شوند. شیشه، کاغذ و بعضی از فیلمهای پلیمری، م`اکروویو را عب`ورمنعکس می

شوند. این امواج در اثر برخ`ورد ب`ا آب، پ`ودر فل`زات و م`واددهند و گرم نمیمی-کنند و در برخورد با ت`وده فل`ز منعکس میغذایی جذب شده و تولید حرارت می

برند. شوند که از این خاصیت در رادارهای آشکار ساز بهره می توان`د آلومی`نیوم، مس، ک`روم، نیک`ل و ی`ا س`رب باش`د. میFGجزء فلزی م`واد

sicتواند از جنس سرامیک ب`دون اکس`ید و فل`ز مانن`د قسمت سرامیک نیز می ، si3n4های با اکسید و یا فلز مانند ، یا سرامیکAl2o3 و zro2 .انتخاب شود

ت`وان ب`هبرای تهیه مواد تابعی مدرج چندین روش وجود دارد که از جمله آنها میموارد زیر اشاره نمود:

نشست بخار مواد، توسط روشهای شیمیایی یا فیزیکی -1(plasma spraysاسپری پالسما ) -2متالورژی پودر-3ساخت به کمک لیزر-4

باید مشخص ش`ود ک`ه عناص`ر تش`کیل دهن`ده آن )مثالFGقبل از ساخت ماده فلز و سرامیک( به چه صورتی توزیع شوند، در بعضی از تحقیقات ه`دف ی`افتن یک پروفیل ب`ا توج`ه ب`ه بهین`ه س`ازی ی`ک کمیت دیگ`ر اس`ت. در مواق`ع دیگ`ر

ش`ود و ه`دف بهین`ه نم`ودن پ`ارامترپروفیل توزی`ع فل`ز و س`رامیک انتخ`اب میدیگری از ویژگیهای سیستم است.

یکی از روشهای معمول برای تولید این مواد به این ترتیب اس`ت ک`ه ابت`دا ی`ک های دیگربستر )الیه( سرامیکی ایجاد کرده )الیه اولیه یا الیه تحتانی( سپس الیه

طبق`ه ب`ه ط`وری ک`ه نس`بت حجمی م`واد ب`ه ط`ور مالیم و–به صورت طبقه `انی از پیوسته در آن تغییر نماید ایجاد نموده و در نهایت قرار دادن یک الیه فوق

باشد. جنس فلز بر روی الیه میانی می باش`د. درروش دیگر برای تولید این مواد اس`تفاده از ن`یروی گری`ز از مرک`ز می

این روش با حرارت دادن با فلز آن`را ذوب نم`وده و ذرات س`رامیک ب`ه وس`یله یابن`د. ب`ه عن`وان مث`ال ب`راینیروی گری`ز از مرک`ز در داخ`ل م`ذاب انتش`ار می

پودر اکسید زیرکونیوم با پودر فلز مس مخل`وط و ب`هzro2+cuساخت سرامیک ای شکل را بدهند. سپس نمون`هشود تا تشکیل یک نمونه استوانههم فشرده می

- یا بیشتر قرار میg100در داخل دستگاه گریز از مرکزی با قابلیت ایجاد شتاب 10

گ`رددگیرد. به محض اعمال نیروی گریز از مرکز ، نمونه از یک انتها مشتعل می شود و ب`ا توج`هشود. در این حالت فلز مس ذوب میو یک موج احتراق ایجاد می

به متفاوت بودن جرم مخص`وص م`واد ت`رکیب ش`ده، ذرات اکس`ید زی`ر ک`ونیمzro2شود. با نسبت حجمی خالص در داخل مذاب پراکنده می

میکروم`تر ب`ه100در پاشش توسط تفنگ پالسما ذرات پودر ب`ا قط`ر تقری`بی گیرند. فازهای مقاوم که معموال سرامیکها هستندسرعت گرم شده و شتاب می

-و فلزات به طور مشابه گداخته و با کنترل سرعت و تغذیه مناس`ب ت`رکیب میشوند.

در متالورژی پودر، پودر فلز و سرامیک با نسبتهای معین و کنترل ش`ده توس`ط شمند و با نیرویکامپیوتر از مخازن خود با سرعت باال به مخلوط کن هدایت می

شود. گریز از مرکز متراکم شده و سپس روی آنها عملیات زینترینگ انجام می در روش رسوب گذاری با اسپری حرارتی فواره مذاب فلز تبدیل به پودر شده

ش`ود و ی`ک الی`ه جام`د ب`هو به یک زیر الیه سفت جام`د س`رامیکی فش`رده می شود. این روش بر اساس نفوذ جرم بوده و لذا بیش`تر ب`رایسرعت تشکیل می

مواد نازک کاربرد دارد. `یزر2 بر روی سطح ماده 1در ساخت به کمک لیزر مقداری از ماده به کمک ل

خورد. با تک`رار این عم`ل ی`ک سلس`له از الی`ه ه`ا ب`ا گرادی`ان خ`واصجوش می و1 ساخته میشود. این گرادی`ان ب`ه ض`خامت اولی`ه م`اده 2معینی روی سطح

شود. قدرت لیزر بستگی دارد و با همین اهرمها کنترل می در یک مادهVm و فلز Vcای برای نسبت حجمی سرامیک به منظور بیان رابطه

تابعی مدرج با استفاده از قانون توانی رابطه زیر در دسترس است.

V c=( 2 z+h2h )

k

(1-1)

V m=1−V c (2-1)

`خامت ورقh مختصه واقع در راستای وسط ضخامت ورق و zبه طوری که ض`ز میmو cهای باشند. زیر نویسمی باش`د. به ترتیب معرف خواص سرامیک و فل

`ارتزین اس`تفاده میFGMجهت تحلیل ریاضی ورقهای - چهار گوش از دستگاه ک گیرد و مح`ورگردد به طوری که مبدا مختصات معموال در صفحه میانی قرار می

zباشد. ، محور عمودی )در راستای ضخامت ورق( میKث`ابت ق`انون ت`وانی ی`ا `ار میضریب اندیس توان می `د.باشد. و مقادیر بزرکتر یا مساوی صفر را اختی کن

`رار دادن است خطی میk=1ترکیب سرامیک و فلز وقتی `ا ق kباشد. همچنین ب ورقی از جنس فل`زkبرابر با صفر ورق همگن از جنس سرامیک و با اف`زایش

11

(2-1( و )1-1گردد که البت`ه این موض`وع ب`ه نح`وه نوش`تن رواب`ط )حاصل میدارد.

ب`ا توج`ه ب`ه نس`بت حجمی م`واد تش`کیلFGخواص مکانیکی و ح`رارتی م`واد آید. به عنوان مث`ال ب`ر اس`اسدهنده و مدل تعریف شده برای آنها به دست می

( فرض میگردد خواص مادی ورق غیرهمگن مانند م`دولfougitsقانون فویگت ) االستیسیته و ضریب انبساط ح`رارتی و چگ`الی آن طب`ق رواب`ط زی`ر در جهت ضخامت ورق تغییر نمایند در حالی که ضریب پواس`ون ب`رای آن ث`ابت در نظ`ر

`رشود، در اینصورت کمیتگرفته می های مذکور برای ورق مورد نظر از روابط زیآیند: بدست می

E ( z )=EcV c+Em (1−V c )

α (z )=α cV c+αm (1−V c ) (3-1)

ρ ( z )=ρcV c+ ρm ( 1−V c )

ν ( z )=ν

(2-1( و )1-1های سرامیک و فل`ز از رواب`ط )با جایگذاری نسبت حجمی مولفهشود: از روابط زیر محاسبه میFGM(، خواص ورق 3-1در روابط )

E ( z )=Em+E cm( 2 z+h2h )

k

α (z )=αm+α cm( 2 z+h2h )

k

(4-1)

ρ ( z )=ρm+ ρcm( 2 z+h2h )

k

ν ( z )=ν

شوند: بصورت زیر تعریف میcmکه در روابط فوق ضرایب دارای اندیس Ecm=EC−Em

α cm=α c−αm (5-1)

ρcm=ρc− ρm

12

فصل دوم:تحلیل تیرهای خمیده

معادالت انحناء-جابجایی در دستگاه مختصات قطبی: (2-1 ( نش`ان داده8 در شکل )L و طول قوس Rیک المان تیر خمیده با شعاع انحناء

(، جابج`ائیUه`ای جابج`ائی عبارتن`د از: جابج`ائی ش`عاعی )شده است. مولف`ه (. ب`ا اس`تفاده از دس`تگاه محوره`ای مختص`ات قط`بیθ( و دوران )wمماسی )

( در الم`ان ت`یر خمی`ده ب`هγ( وک`رنش برش`ی )εه`ای ک`رنش مماس`ی )مولف`ه-( قاب`ل محاس`به می2( و )1صورت توابعی از تغییر شکل به ترتیب از رواب`ط )

[ 1باشد.]

13

ε=( dwds − uR )+1

2 ( duds +wR )

2

(1)

γ=duds

+wR

−θ (2)

( دارای دو بخش اس`ت ک`ه پران`تز اولεرابط`ه مرب`وط ب`ه ک`رنش مماس`ی ) باش`د،مربوط به قسمت خطی و پرانتز دوم مرب`وط ب`ه عملک`رد غ`یرخطی می

گردد.( تعریف می3همچنین انحناء توسط رابطه )

k=dθds (3)

( قابل محاسبه است،4(، توسط رابطه )θ(، زاویه دوران )3با توجه به رابطه )گیری است. ثابت انتگرالCθبه طوری که

θ=∫0

s

kds+Cθ (4)

انحنای گره(9شکل )ای در ابتدا و انتهامولفه جابجائی گره(- 8 شکل ) ای- مولفه های و بارهای خارجی المان

`رفتن برای استخراج معادالت تعادل یک تیرخمیده، المانی از تیر را با در نظر گ ( در نظ`ر9نیروهای داخلی با جهات قراردادی مقاومت مصالح مط`ابق ش`کل )

Mگیریم. ممان خمشی با می b نیروی محوری غشایی با ،Nو برش داخلی مقطع نشان داده شده است. اگر ب`رای این الم`ان مع`ادالت تع`ادل را ب`ه ش`کلVبا

( بنویسیم، خواهیم داشت: 6( و )5روابط )

∑ F=0⟹−Wds+V−(V−dV )=0 (5)

14

∑M=0⟹M b+W(ds )2

2−Mb−dMb+(V−dV ) (ds )=0 (6)

المان تیر خمیده با درنظر گرفتن جهات قراردادی(-10شکل )

مقدار بار واحد طول تیر خمیده است. از خالصه کردن دوwکه در روابط فوق `ط ) -( حاص`ل می8( و )7رابطه باال، روابط تعادل المان تیر خمیده مطابق رواب

شود. dVds

+ NR

=0 (7)

dM b

dS+V=0 (8)

اگر در روابط خمش تیر خمیده، مش`ابه خمش معم`ولی تیره`ا در نظ`ر گرفت`ه از هم ق`رارdxشود. بن`ابراین جابج`ایی بین دو مقط`ع مج`اور ت`یر ک`ه بفاص`له

و سطح مقطع تیر خمیده را باV و همچنین نیروی برشی را با Wاند را با گرفتهA و مدول االستیسیته برشی را با G و ضریب شکل را ب`ا nنش`ان داده خواه`د

شد، خواهیم داشت:

M b=EI d2Wd x2 =EI dθ

ds=EI 1

R(9)

M b=EIk (10)

dW=γdx (11)

γ= VGAn

⇒V=GAnγ (12)

15

( مقادیر ممان داخلی و نیروی برش`ی داخلی ی`ک12( و )10همچنین معادالت ) ن`یروی مح`وری داخلی الم`ان ت`یرNدهد. حال اگر المان تیر خمیده را نتیجه می

خمیده باشد داریم: N=σA (13)

σ=Eε (14)

N=EAε (15)

(، و همچنین با جایگ`ذاری رواب`ط8( در رابطه )12( و )10با جایگذاری روابط )`رنش-17( و )16(، به ترتیب به روابط )7( در رابطه )12( و )9) ( که روابط ک

[2رسیم: ]باشد، میانحناء می

ε=RIAd2 kd s2 (16)

γ=−EIGAn

dkds (17)

باشد، ب`ا ح`ذف ک`رنش ممان اینرسی میI مدول االستیسیته، Eدر روابط فوق، (،17( و )2( و ح`ذف ک`رنش برش`ی در رواب`ط )16( و )1محوری در رواب`ط )

گردد.روابط انحناء-تغییر شکل حاصل میdkds

=−GAnEI ( duds−θ+wR ) (18)

d2kd s2 = A

IR [( dwds − uR )+1

2 ( duds +wR )

2] (19)

( جابجائی مماسی ح`ذف گ`ردد، رابط`ه بین19( و )18در صورتیکه در روابط )گردد. انحناء و تغییر شکل شعاعی به صورت ذیل حاصل می

d2uds

+ uR2=k−d2 k

d s2 ( EIGAn

+ IA )+ 1

2R (θ− EIGAn

dkds )

2

(20)

( تغی`یر ش`کل مماس`ی ب`ر حس`ب تغی`یر ش`کل ش`عاعی قاب`ل18و از رابطه )محاسبه است.

w=R(θ−duds

− EIGAn

dkds ) (21)

16

( دارای سه بخش اس`ت ک`ه بخش س`وم مرتب`ط ب`ه عملک`رد غ`یر20معادله )`ه م`ذکور ش`امل، ج`واب خصوص`ی خطی می و ج`وابupباش`د، ج`واب معادلباشد. میuhعمومی

u=uh+up (22)

uh=Cu1 cos SR

+Cu2sin SR (23)

up=up (k ) (24)

up(، و 20ه`ای حاص`ل از ح`ل معادل`ه ) ث`ابتCu2 و Cu1در رواب`ط ب`اال (K ت`ابعی(باشد. وابسته به انحنا می

( انتخاب تابع شکل: 2-2 در روش اج`زاء مح`دود الم`ان ت`یر خمی`ده ب`ا اس`تفاده از دس`تگاه محوره`ای

-الخط برای هریک از درج`ات آزادی ی`ک ت`ابع ش`کل مع`رفی میمختصات منحنی گردد، که تابع شکل مربوط`ه پیچی`ده ب`وده و ب`ه دنب`ال آن فرم`ول بن`دی را ب`ا

`اءمشکل مواجه می سازد. از آنجاکه در بخش قبل روابط بین تغییر شکل و انحن`ره حاصل گردیده است در اینجا به جای درجات آزادی هر گره، انحناهای سه گ

ای درجه دوم برای انحناءگردد، که با در نظر گرفتن یک تابع چندجملهمنظور میبه صورت زیر:

k=C1+C 2S+C3S (25)

Hو طی یک عملیات ماتریسی منظم توابع ش`کل ) kو همچ`نین ت`ابع انحن`اء در ) گردد. ( حاصل میkها )هر نقطه بر حسب انحناء در گره

k=H kV (26)

k3 ،k( ب`ردار انحناه`ای گ`رهی و همچ`نین Vبه طوریکه در رابطه اخ`یر ) 2 ،k1ب`ه H هس`تند و )1 و 2 و 3های ترتیب انحناهای گره k( ب`ه ت`رتیب مط`ابق رواب`ط )

باشد. ( قابل بیان می28( و )27V= [k1 k2 k3 ]T (27)

H k=⌊h1kh2

kh3k ⌋ (28)

`رهتوابع شکل انحناء در هر گره طوری بدست می `اء در آن گ آیند که مقدار انحن شود کهشود. بدین منظور فرض میهای دیگر المان صفر میواحد و در کلیه گره

در ب`ردار ثابته`ای ن`امعینgتابع انحناء بص`ورت حاصلض`رب م`اتریس هندس`ی باشد.

17

k=gC (29)

آی`د ک`ه رابط`ه ذی`ل برق`رارها بنحوی بدست می در هر یک از گرهgحال اپراتور باشد:

V=hC (30)

H( قابل محاسبه می31 در رابطه فوق مطابق رابطه ) .باشدh={gi } (i=1,2,3 ) (31)

gi نشان دهنده م`اتریس g محاس`به ش`ده در گ`ره iباش`د. ب`ا قب`ول اینک`ه می c( ب`ردار ثابته`ای 30 یک ماتریس مرب`ع غ`یرتکین اس`ت، از رابط`ه )hماتریس آید. بدست می

C=h−1V (32)

( خواهیم داشت: 29( در رابطه )32با قرار دادن رابطه )k=gh−1V (33)

شود ک`ه ت`ابع ش`کل مطل`وب( مشاهده می26با مقایسه رابطه فوق با رابطه )آید: بصورت زیر بدست می

H k=gh−1 (34)

بایست دارای سه ث`ابت مجه`ولهمانطور که توضیح دادیم تابع انحناء فرضی میشود: ای درجه دو به فرم زیر درنظر گرفته میباشد که بصورت یک چندجمله

k=C1+C2S+C3S2 (35)

g= [1 SS2 ] (36)

CT= [C1C2C3 ] (37)

شود: به صورت ذیل میhو ماتریس

h=[11 0 0L L2

1 L2

L2

4] (38)

( تواب`ع ش`کل ب`ه36( و )34پس از محاسبه معکوس ماتریس ف`وق و رابط`ه )شوند: صورت ذیل محاسبه می

18

H k=[1−3SL

+ 2S2

L2 − SL+ 2S2

L2 −4SL

−4 S2

L2 ] (39)

(، زاویه دوران مقطع به صورت زیر قاب`ل4( در رابطه )26با جانشینی رابطه )محاسبه است.

θ=HθV +Cθ (40)

Hبطوریکه θگردد. به صورت زیر بیان می

H θ=[L( SL−3 S2

2 L2 +2S3

3 L3 ) L(−S2

2 L2 + 2S3

3L3 ) L( 2S2

L2 −4 S3

3 L3 )] (41)

( استخراج رابطه انحناء بر حسب انحناهای گرهی: 2-3 های جابج`ائی ش`عاعی( مولفه21( و )20( در معادالت )26با جانشینی رابطه )

گردند. و مماسی به صورت زیر حاصل می

u=H upV +Cu1cos S

R+Cu2

sin SR (42)

w=HwV +RCθ+Cu1sin S

R−Cu2

cos SR (43)

-ه`ای جس`م ص`لب می در معادالت فوق بیان کننده جابجائیCθ و Cu2 و Cu1ثابتهای Hw ، Hباشد و upگردند. توسط روابط زیر معرفی می

H up=[ A1 A2 A3 ]+[B1 B2 B3 ] [k1 0 00 k2 00 0 k3

]+[C1 C2 C3 ] [k2 0 00 k3 00 0 k1

](44)

Hw= [a1 a2 a3 ]+[ b1 b2 b3 ] [k1 0 00 k2 00 0 k 3

]+ [c1 c2 c3 ] [k2 0 00 k3 00 0 k 1

](45)

باش`د، ک`ه دو بخش آخ`ر مرب`وط ب`ه( دارای س`ه بخش می45( و )44رواب`ط ) (44باشد، با فرض انحناء اولیه مساوی ص`فر در رواب`ط )عملکرد غیر خطی می

-[ می2ماند، ک`ه هم`ان رواب`ط خطی مرج`ع]( فقط ماتریس اول باقی می45و ) و خصوص`یات مص`الح و ش`کلR و L و Sباشد، روابط مذکور فق`ط ب`ه انحن`اء

باشد، به عنوان مثال پارامتره`ای مجه`ول رواب`طسطح مقطع المان مرتبط میفوق به علت ساده سازی در این بخش صرف نظر شده است.

19

A1=R2(1− 4L2 [ EI

GAn+ IA

+R2]−3SL

+ 2S2

L2 ) (46)

a1=RL( 3L2 [ EI

GAn+R2]+ 4 S

L3 [ EIGAn

+R2]−3S2

2L2 +2S3

3 L3 ) (47)

ه==ای( ماتریس انتقال بین انحناه==ای گ==رهی و جابج==ائی2-4گرهی:

اکنون در یک المان تیر خمیده ب`ا درنظ`ر گ`رفتن ش`ش ش`رط م`رزی مط`ابق درCθ و Cu2 و Cu1های جابج`ائی ص`لب یع`نی ثابته`ای ( و با حذف مولفه8شکل )

`ط ) `یر ش`کل43( و )42( و )40رواب `ادیر تغی `ه( مق `ا ب `رهی در دو انته `ای گ ه( روابط )2( و )1شوند. با اعمال شرایط برای گره )انحناهای گرهی مرتبط می

گردد.( حاصل می53( تا )48u1=Hup|¿ s=0V +Cu1

(48)

w1=Hw|¿ s=0V +RCθ−Cu2(49)

θ1=H θ|¿ s=0 V+Cθ=Cθ (50)

u2=H up|¿ s=l V +Cu1cos L

R+Cu2

sin LR (51)

w2=Hw|¿ s=l V +RCθ+Cu1sin L

R−Cu2

cos LR (52)

θ2=Hθ|¿ s=l V +Cθ (53)

H(` 53( ت`ا )48در رابطه ) up|¿ s=0 و Hw|¿ s=0 و H θ|¿ s=0ب`ه معن`ای جایگ`ذاری s=0 و H up|¿ s=l و Hw|¿ s=l و H θ|¿ s=l به معن`ای جایگ`ذاری s=lباش`د، اعم`ال می

. 2و 1شرایط مرزی برای گره شماره ( و )52( و )51( به ترتیب در رواب``ط )50( و )49( و )48با جایگذاری روابط )

شود. و مرتب کردن ، روابط زیر حاصل میCθ و Cu2 و Cu1( و حذف ثابتهای 53

u2−(u1 cos LR

−w1 sin LR

+θ1 R sin LR )=(Hup|¿ s=l V−H up|¿ s=l cos L

R+Hw|¿ s=0 sin L

R )V(54)

w2−(u1sin LR

+w1 cos LR

+θ1R(1−cos LR ))=(Hw|¿ s=l V−Hup|¿ s=0 sin L

R+Hw|¿ s=0 cos L

R )V(55)

20

θ2−θ1=H θ|¿ s=l (56)

شوند. روابط اخیر به صورت ماتریسی زیر نمایش داده میT kV=Tu∆ (57)

شوند. به طوریکه در رابطه اخیر پارامترهای مجهول به صورت زیر بیان می∆=[u1 w1 θ1 u2 w2 θ2 ]T (58)

T k=[Hup|¿ s=l V−Hup|¿ s=l cos LR

+Hw|¿ s=0 sin LR

H w|¿ s=l V−H up|¿ s=0 sin LR

+Hw|¿ s=0 cos LR

Hθ|¿ s=l] (59)

T k=[T kA ]+ [TkB ] [k1 0 00 k2 00 0 k3

]+ [T kC ] [k2 0 00 k3 00 0 k1

] (60)

T u=[−cos LR

sin LR

−R sin LR

1 0 0

−sin LR

−cos LR

−R (1−cos LR ) 0 1 0

0 0 −1 0 0 1] (61)

`رفین رابط`ه ) T( در 57در ص`ورتیکه ط k`ط بین1− `اتریس راب `ردد. م ض`رب گ

( حاصل میگردد. 62های گرهی بصورت رابطه )انحناهای گرهی و جابجائیV=T ∆ (63)

( قاب`ل محاس`به64 توس`ط رابط`ه )Tبطوریکه در رابطه اخیر ماتریس انتق`ال است.

T=T k−1T u (64)

( معادله تعادل المان: 2-5 ( ب`ا درنظ`ر گ`رفتن اث`رات8انرژی کل یک الم`ان ت`یر خمی`ده مط`ابق ش`کل )

-نیروهای مماسی، نیروهای شعاعی و گش`تاور خمش`ی مط`ابق رابط`ه زی`ر میباشد:

21

π=12EI∫

0

L

k 2ds+12GAn∫

0

L

γ 2ds+12EA∫

0

L

ε2ds−(∫0

L

mθds+∫0

L

ruds+∫0

L

twds)(65)

( به ترتیب براب`ر مم`ان گس`ترده، باره`ای9 مطابق شکل )t وr و mکه مقادیر شعاعی و بارهای مماسی است. با استفاده از اصل ح`داقل ان`رژی پتانس`یل و

-( رابطه نیرو-جابجائی به صورت مراحل ذیل حاص``ل میδπ=0کمینه سازی آن )گردد:

(28( و )27(، با جایگ`ذاری رواب`ط )65برای محاسبه اولین انتگرال در رابطه )( داریم: 26در رابطه )

k=H kV=[h1 h2 h3 ][ k1

k2

k 3]=h1k1+h2k2+h3k3 (66)

حال اگر رابطه فوق را به توان دو برسانیم خواهیم داشت: k 2=h1

2 k12+h2

2 k22+h3

2 k32+2h1 k1h2k2+2h1 k1h3 k3+2h2k 2h3k3 (67)

با استفاده از روابط ماتریسها خواهیم داشت:

k 2=[k1 k2 k3 ][ h12 h1h2 h1h3

h1h2 h22 h2h3

h1h3 h2h3 h32 ][k1

k 2

k3] (68)

k 2=[k1 k2 k3 ] [h1

h2

h3] [ h1 h2 h3 ] [k1

k2

k3]=V T H k

T H kV (69)

`ایی63با جایگذاری رابطه ) ( در رابطه اخیر، رابطه انحناء با تغییر مکانهای انتهگردد. حاصل می

k 2=∆T T T H kT H k T ∆ (70)

( در66(، ب`ا جایگ`ذاری رواب`ط )65ب`رای محاس`به دومین انتگ`رال در رابط`ه ) ( و انجام عملی`ات ماتریس`ی ب`ه ت`رتیب ذی`ل، در نه`ایت رابط`ه بین17رابطه )

شود. کرنش برشی و انحناهای گرهی حاصل می

22

γ=−EIGAn

d H K

dsV=−EI

GAn [d h1

dsdh2

dsd h3

ds ] [k1

k2

k3]=−EIGAn ( d h1

dsk 1+

d h2

dsk 2+

d h3

dsk 3)

(71)

حال اگر رابطه فوق را به توان دو برسانیم خواهیم داشت:

γ2=( EIGAn )

2(( dh1

ds )2

k1+( dh2

ds )2

k2+( dh3

ds )2

k3)+( EIGAn )

2(2 d h1

dsd h2

dsk1k2+2

dh1

dsd h3

dsk1 k3+2

dh2

dsd h3

dsk2 k3)

(72)

با استفاده از رابطه ماتریسها روابط زیر حاصل شده:

γ2=( EIGAn )

2

[k1 k 2 k3 ] [ ( dh1

ds )2 d h1

dsdh2

dsd h1

dsdh3

dsdh1

dsd h2

ds ( d h2

ds )2 d h2

dsd h3

dsdh1

dsd h3

dsd h2

dsdh3

ds ( d h3

ds )2 ] [k1

k2

k3] (73)

γ2=( EIGAn )

2

[k1 k 2 k3 ] [d h1

dsdh2

dsdh3

ds] [ d h1

dsd h2

dsd h3

ds ] [k1

k2

k3]=( EI

GAn )2

V T d H kT H kV

(74)

( در رابطه اخیر خواهیم داشت: 63با جایگذاری رابطه )

γ2=( EIGAn )

2

(∆TTT d H kT d H kT ∆ ) (75)

( که بیان کننده مش`تق16برای محاسبه سومین انتگرال نیز با توجه به رابطه )( خواهیم داشت: 16( در رابطه )66دوم انحناء است، با جایگذاری رابطه )

ε=RIAd2H k

dsV=RI

A [d2h1

d s2

d2h2

d s2

d2h3

d s2 ][k 1

k 2

k 3] (76)

23

( مش`تق76( است، فقط با فرق اینک`ه رابط`ه )71رابطه اخیر همانند رابطه ) (75دوم ت`ابع ش`کل اس`ت، اگ`ر ب`ه هم`ان روش ادام`ه دهیم همانن`د رابط`ه )

خواهیم داشت:

ε 2=( RIA )2(∆T T T( d

2 H k

ds )T d2H k

dsT ∆) (77)

( و ایس`تا ک`ردن65( در رابط`ه )77( و )75( و )70حال با جایگ`ذاری رواب`ط ) گ`ردد ک`ه ب`ا ح`ل همزم`ان(، شش معادله حاصل میδπ=0انرژی پتانسیل کل )

شش معادله به صورت ماتریسی رابطه زیر حاصل شده:

12EI∫

0

L

2T T H kT H k T ∆+1

2GAn∫

0

L

2( EIGAn )

2

T T (d H k )T H k T ∆+12EA∫

0

L

2(RIA )2

T T ( d2 H k

ds )T d2H k

dsT ∆−∫

0

L

suT rds−∫

0

L

swT tds−∫

0

L

SθTmds=0

(78)

شود. نویسی می( به صورت زیر خالصه78رابطه )Γ ∆=P (79)

( بردار بارهای معادل گ`رهی اس`ت ک`ه از رابط`هPبه طوریکه در رابطه اخیر )باشد. زیر قابل محاسبه می

P=∫0

L

suT rds−∫

0

L

swT tds−∫

0

L

SθT mds (80)

Γباش`د ک`ه ماتریس مرتبط کننده نیروه`ای گ`رهی و تغی`یر ش`کلهای گ`رهی می باشد. نیز وابسته به انحناهای گرهی میT است، و همچنین Tوابسته به

Γ=TT [EI (∫0L

H kT H kds+α∫

0

L

BkT Bk ds+β∫

0

L

QkTQk ds)]T (81)

گردد: بطوریکه پارامترهای بکار رفته در روابط اخیر به شرح زیر معرفی می

su=(H up−Hup|¿ s=l cos SR

+H w|¿ s=0sin SR )T +H u0

(82)

sw=(Hw−Hup|¿ s=l sin SR

+H w|¿ s=0 cos SR )T +Hw0

(83)

Sθ=H θT +Hθ0 (84)

H θ0= [0 0 1 0 0 0 ] (85)

24

H u0=[cos S

R−sin S

RR sin S

R0 0 0 ] (86)

Hw0=[sin S

Rcos S

RR (1−cos S

R ) 0 0 0 ] (87)

α= EIGAn β= I R2

A(88)

BK=ddsH k (89)

Qk=d2

d s2 H k (90)

( مطالعات عددی: 2-6 گاهی یکس`ر گ`یردار و یکس`ر و با شرایط تکیهαکمانی از یک رینگ تحت زاویه

( و مشخصات مربوطه آنالیز ش`ده4 و مطابق شکل )Pغلتک تحت بار متمرکز (1[ مط`ابق ج`دول ش`ماره )4و نتایج حاصله ب`ا روش ارائ`ه ش`ده در مرج`ع ]

مقایسه شده. مطابق جدول مذکور سازه مورد نظر با تعداد المانه`ای مختل`ف [ مدل سازی و آنالیز ش`ده ولی ب`ا روش ارائ`ه ش`ده س`ازه م`ورد4در مرجع ]

نظر فقط با یک المان مدل شده، هرچ`ه تع`داد المانه`ا در مرج`ع ف`وق بیش`تر شده است نتیجه حاصله به سمت نتایج این روش نزدیکتر شده ب`ه ط`وری ک`ه

[ هشت المان انتخاب شود دو روش نتایج تقریبا یکس`انی4اگر با روش مرجع ]دهد. می

P(lb) مرجع[4] مرجع[4] مرجع[4] روش ارائه25

المان 2 المان 4 المان 8 شدهالمان 1

100 25/0 25/0 25/0 25/0200 50/0 50/0 50/0 50/0300 82/0 83/0 83/0 83/0400 25/1 26/1 26/1 26/1500 74/1 75/1 75/1 75/1600 26/2 25/2 25/2 25/2700 01/3 00/3 00/3 00/3800 25/4 26/4 26/4 26/4900 01/6 00/6 00/6 00/6

(1(- نتایج بررسی مثال )1جدول ) گ`اهی دو س`ر ب`ا ش`رایط تکی`هα=60° و α=28°کمانی از ی`ک رین`گ تحت زاوی`ه

آن`الیز ش`ده وP( و مشخصات ذیل تحت ب`ار متمرک`ز 5گیردار، مطابق شکل ) (7( و )6نتایج حاص`له ب`ا روش ارائ`ه ش`ده در مراج`ع دیگ`ر مط`ابق اش`کال )

مقایسه شده است.

سازه مورد نظر با دو المان توسط روش ارائ`ه ش`ده آن`الیز گردی`ده و مط`ابق ( با سایر روش`ها مقایس`ه ش`ده پس از آن`الیز نت`ایج حاص`ل از7( و )6اشکال )

مراج`ع ذی`لP با نتایج تغییر مک`ان ق`ائم زی`ر ب`ار Pتغییر مکان شعاعی زیر بار [ ب`ا چه`ار الم`ان و3[ و ]4بررسی شده است. س`ازه م`ذکور توس`ط مراج`ع ]

-شانزده المان آنالیز گردیده، با افزایش تعداد المانها دقت نت`ایج ن`یز بیش`تر می شود و همچنین همانطور که مشهود است هرچه تعداد المانها بیشتر شده نتایج حاصل به نتایج از روش مورد مطالعه با انتخاب دو المان نزدیکتر ش`ده اس`ت. یکی از دالیل این مطلب بررسی روابط پایه روش مذکور در دستگاه مختص`ات

[ با تعداد المان باال با نتایج روش ارائه ش`ده براب`ر4قطبی است. نتایج مرجع ]-الخط برای هر دو روش میاست. یکی از دالیل این دقت انتخاب دستگاه منحنی

26

باشد، ولی با توجه به این مطلب ک`ه ت`ابع ش`کل روش ارائ`ه ش`ده ب`ر اس`اس الم`ان( در این روش2انحناء بوده، دقت ب`اال در آن`الیز ب`ا تع`داد الم`ان کم`تر )

باشد. موثر می

α=60°( با 2نتایج بررسی مثال ) –( 11شکل )

27

فصل سوم:FGMتحلیل تیرهای خمیده

28

ها و تعاریف: ( فرضیه3-1 ای از تحلی`ل الم`ان س`ازه در این روش نش`ان داده( طرح`واره12در ش`کل )

کنید ، دو نقطه در سطح مقطع وجود داردشده است. همانطور که مشاهده می`ثیD مربوط به مرکز جسم، همینطور نقطه G: نقطه که متعلق به مح`ور خن

[5باشد. در این مدل خواص مواد به صورت زیر در نظر گرفته شده است: ]میE=Eoφ (r ) G=G oμ (r ) ρ=ρo f (r ) (1)

φ (r )=μ (r )=f (r )=[k j+(1−k j )( 12−1n+ rh )] k1=

E i

Eo, k2=

Gi

Go, k3=

ρiρo

(2)

=n ، 2در فرمول hRG

k3 و k2و kو φ متناظر با 1 (r μ و ( (r f و ( (r بدست آمده است.(

خواص مادهρo و Go و Eo هستند و r=ri خواص ماده در ρi و Gi و Eiدر حالی که ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````تند.r=roدر هس

ی یک تیر خمیدهطرحواره(- 12شکل )

شود: های زیر در نظر گرفته میبه منظور استخراج معادالت حاکم، فرضیه های مقاومت مصالح محدود شده است.مطالعه حاصل در چارچوب تئوری-1 ده`د گرچ`ه تح`والت زی`ر ب`رای ی`ک مقط`عش`کل مقط`ع تغی`یر ف`رم نمی-2

توان آن را به هر مقطع متقارن دیگ`ر ک`همستطیلی انجام گرفته ولی می باشد تعمیم داد. D و Gحاوی نقاط

29

شود: تغییر مکانها به صورت زیر تعریف می-3u=u (α , t ) ,w=w (α , t ) , θ=θ (α , t ) (3)

زاویه ان`دازه گ`یری ش`دهθ جابجایی مماسی و w جابجایی عرضی، uکه در آن زمان است. سپس: t و Dخم با توجه به نقطه

up=u

w p=w+θy y=R−r (4)

d Ω=bdy=−bdr

sp=rα (5)

s=Rα

مختصات جانبی از ق`وس ش`املsp و s المانی از سطح است و dΩدر فرمول هستند. Pی وابسته به نقطهa و Dنقطه

( معادالت سینماتیک، تنش و کرنش: 3-2با توجه به فرضیات روابط سینماتیک در مختصات قطبی محاسبه شده است:

ε α=ε=wp'

r−ur

(6)

γrα=γ αr=γ¿=u'

r+∂w p

∂ y+w p

r

خواهیم داشت: 6 در معادله 4حال با جایگذاری معادله

ε=1r

(w '−u+θ' y )

γ¿=1r

(w+u '+Rθ ) (7)

، قانون ساختار خطی کالسیک ب`ه ص`ورت زی`ر نوش`تهFGMبرای مواد هدفمند شود: می

σ=Eoφ (r )r

(w'−u+θ ' y ) (8a)

30

{τ=Goμ (r )r

(w+u'+Rθ )} (8b)

( در ق`الب تئ`وری مق`اومت مص`الح ب`ه ک`ارb8توجه داشته باشید که فرم`ول )گرفته نشده است.

ای در محور خنثی: ( نیروی محوری و خمش لحظه3-3 ان`د در ش`رایط تنش ک`ه مش`خص ش`دهMای و خمش لحظ`هNنیروی محوری

اند: نرمال به وسیله عبارت زیر تعریف شدهN=∬σd Ω

MD=M=∬σyd Ω (9)

آید: سپس با به کارگیری تعاریف قبلی بدست می

N=b Eo [α o (w'−u )+α 1θ' ]

M=b Eo [α1 (w '−u )+α2θ' ] (10)

است: m=0,1,2، که αm ضریب 10در معادله

αm=∫ri

ro

ym φ (r )r

dr (11)

Nبه منظور بدست آوردن عبارتی برای محور خنثی )برای ( و با نظرM≠0 و 0≠( : a8 ، سپس از معادله )σ=ε=0به اینکه

(w'−u+θ' a )=0 (12)

است یعنی محل تار خنثی:y=aجایی که

a=−w'−uθ'

(13)

شود: محاسبه می10یا با توجه به معادله

a=α2 N−α1 Mα1 N−α0 M

(14)

ش`ود، ممکن اس`ت مج`ددا تنظیموقتی محور خنثی به ص`ورت کلی تعری`ف می ای ب`ا دس`تگاه ج`بری( ب`ا مح`دوده قاب`ل مالحض`هDشود با محل مب`دا )نقط`ه

کاهش یابد، تحت شرایط زیر: 31

a=0 وقتی N=0 (15)

شود به: منجر می15 و شرایط داده شده در معادله 14سپس بر طبق معادله α 1=0 (16)

شود: شعاع محور خنثی استنتاج می11 و معادله 16سپس از معادله

R=q0h+q1RG

q0 ln [ro/r i ]+q1(17)

هستند: q1 و q0جایی که

q0=k 1+(1−k1 )( 12−1n )

q1=(1−k1 ) (18)

(، پس: q1=0نکته: اگر مواد همگن باشند )

R= hln [r o/ri ] (19)

که شعاع خنثی استغاده شده در تئوری مقاومت مصالح برای تیر خمیده ضخیماست.

α، ضرایب 16در نهایت، با معادله α و 0 شود: به صورت خودکار تعریف می2α 0=q0 ln [ro/r i ]+q1

α 2=−R2α 0+q0h RG+q1 (r o3−ri3 )

3h(19)

را معرفی کرد: J و Aتوان با این تعاریف میA=bRα 0

J=bRα2 (20)

های سکون مواد به ترتیب در م`ورد م`واد همگنکه متوسط ناحیه مواد و لحظه . یعنی ناحیه و مرکز لحظه سکون. J=JG و A=Ωو تیرهای مستقیم،

( ضریب برشی: 3-4αبر اساس این فرض توانیم بنویسیم: ، می10 با اعمال در معادله 0=1

32

N=b E0α0 (w'−u )=E0 AR

(w '−u )

M=b E0α2θ'=E0 JR

θ'

شود بر حسب جابجایی سخت تر هس``ت بیان میQگیری از نیروی برشی مشتق . به منظور استنباط نیروی برشی مراح`ل زی`ر بای`د21گیری از رابطه از مشتق

انجام شود: a- :از بیان تعادل داخلی در مختصات قطبی

r ∂ τ∂ r

+2 τ−σ '=0 (22)

τ= Br2 +

Cr

+β0

2+β1

3r (23)

هستند: βJ و C ثابت دلخواه ، در حالی که Bکه در آن،

C=QR2

J (R+α2

α 0R )q0

β0=QR2

J [(R+α 2

α0 R )q1−q0] (24)

β1=−QR2

Jq1

اس`ت،colignon-jouravsky تعمیم فرم`ول کالس`یک 23توج`ه کنی`د ک`ه معادل`ه گرچه برای تیرهای خمیده و مواد غیرهمگن و مواد مدرج است.

با استفاده از دو شرط معادل:Bبرای مشخص کردن

Q=∬Ωτd Ω

τ (r e)=τ (r i )=0 (25)

شوند به: هر دو منجر می

hB=r i( β0r e2

2+β1 re

3

3 )−re( β0 r i2

2+β1r i

3

3 )(26)

33

b-کن`د ان`رژی تغی`یر ش`کل گیری از نیروی برش`ی بی`ان میبا مشتقUرا ب`ر حسب تنش:

2U=∭V [ σ2

E0φ (r )+ τ2

G 0μ (r ) ]dV (27)

بدست آم`ده ازτ( و a8 بدست آمده از معادله )σ، با 27سپس با ادغام معادله آوریم: ، بدست می23معادله

2U= RE0

∫α(M 2

J+N

2

A )dα+mRG0

∫α(Q2

A )dα (28)

شود: جایی که ضریب برشی تعریف می

m= bA R3

J2 ∫ri

r e (B¿+C¿r+ β0¿ r2/2+β1

¿r3/3 )2

r3 μ (r )dr (29)

اند: های ذیل شده به کار گرفته شده ثابت29در معادله

B¿=B JQR2 , C ¿=C J

Q R2 , β0¿=β0

JQ R2 , β1

¿=β1J

QR2 (30)

φنکته: اگر (r )=μ (r A=Ω=bh ،J=AR سپس 1=( (RG−R و(

m=h R3

J 2 ∫ri

re SG2

r3 dr به طوری که ،SG≡b2 [ h2

4−(RG−r )2]

m=6 و J=JGآید: در حالت تیر مستقیم بدست می∞→RGاگر /5 . c- :نیروی برشی

برای بدست آوردن عبارت نیروی برشی بر حس`ب جابج`ایی ک`ه ب`اعث ان`رژیتواند نوشته شود به صورت: تغییر شکل سرتاسری ناشی از تاثیر برش، می

2U S=∭V [ τ2

G 0μ (r ) ]dV=mRG0

∫α(Q2

A )dα=∭Vτ γ ¿dV (31)

`هآخرین تعریف مربوط به تعریف کالسیک انرژی تغییر شکل است،و می `د ب توانصورت زیر بیان شود:

∭Vτ γ¿ dV=∫

αγ ¿dα∬

Ωτd Ω=∫

αQγ ¿dα (32)

34

و ب`ا توج`ه ب`ه محاس`بات31 ب`ا عب`ارت دوم از معادل`ه 32با مقایس`ه معادل`ه ، در نهایت داریم: 7معادله

Q=G0 AmR

(w+u'+Rθ ) (33)

کنند. معادالت سازنده یک هواپیما را برآورده می21 و 33معادالت

( معادالت حرکت: 3-5 ش`ود.( استفاده میHAMILTONبرای استنتاج معادالت حرکت از اصل همیلتون )

( عبارت است از: 4 )با استفاده از معادله Kپس، انرژی جنبشی

2K=ρ0∭V

⌊u2+ (w+θy )2 ⌋ f (r )dΩdα (34)

که در آن هدف مشتق گیری با احتساب زمان نشان داده شده است. اکنون معرفی:

γm=∫ri

r e

ymrf (r )dr (35)

توان نوشت: می34سپس از معادله

2K=ρ0b∫α

[ γ0 (u2+ w2 )+2 γ1 θ w+γ 2 θ2 ]dα (36)

تحت اثر بارهای خارجی به صورت زی`ر نوش`تهPاز سوی دیگر، انرژی پتانسیل شود: می

P=−R∫α

[Pru+Pt w+μθθ ]dα (37)

، به ترتیب ن`یروی ش`عاعی توزی`ع ش`ده ب`ر روی مح`ورμθ و Pt و Prکه در آن، ای اعم`ال ش`دهخنثی، نیروی مماسی توزیع شده بر روی محور خنثی و لحظ`ه

بر روی محور خنثی است. ، و ب`ه ی`ادآوردن عب`ارت س`ازنده28انرژی تغییر شکل گرفته ش`ده از معادل`ه

توان آن را از نظر جابج`ایی ب`ه ص`ورت زی`ر، می33 و 21داده شده در معادله بازنویسی کرد:

35

2U=b E0∫α

[α2θ'2+α 0 (w'−u )2] dα+

bG0α0

m ∫α

(w+u'+Rθ )2dα

(38)

متع`ارف در اص`ل همیلت`ون مع`ادالت زی`ر ب`رایvaritionalدر نه`ایت ب`ا انج`ام آید: حرکت بر حسب جابجایی بدست می

C33U} + left ({C} rsub {11} + {C} rsub {33} right ) {w} ^ {'} +R {C} rsub {33} {θ} ^ {'} - {C} rsub {11} u- {D} rsub {11} ddot {u} =- {P} rsub {r} ¿

C11w} - left ({C} rsub {11} + {C} rsub {33} right ) {u} ^ {'} - {C} rsub {33} w-R {C} rsub {33} θ- left ({D} rsub {11} ddot {w} + {D} rsub {22} ddot {θ} right ) =- {P} rsub {t} ¿

(39)

C22θ} -R {C} rsub {33} left ({u} ^ {'} +w+Rθ right ) - left ({D} rsub {22} ddot {w} + {D} rsub {33} ddot {θ} right ) =- {μ} rsub {θ} ¿

C11=b E0α0 , C22=b E0α2 , C33=bGα0/m

D11=b ρ0 γ 0 , D22=b ρ0 γ1 , D33=b ρ0 γ2 (40)

تعمیم روش تیر مس`تقیم تیموش`نکو در زمین`ه39جالب توجه است که معادله ص`ریحا39 برای تیرخمی`ده اس`ت. عالوه ب`ر فرم`ول FGMمواد هدفمند مدرج

است.filipichهمان مسئله مربوط به حالت توسعه یافته همگن بوسیله `امال از39توجه داشته باشید که مسئله دیفرانسیل داده شده بوسیله معادله ک

`د، مدل کاهش می∞→RGسیستم کوپل است، اما اگر ساختار چنان است که یاب به حالتی از تیر مستقیم جایی که حرکت طولی جدا از حرکت برشی و خمشی

هست.

( تحلیل عددی و مقایسه: 3-6های طبیعی: روش سری توانی برای مسئله فرکانس

ها، معادالت حرکت با راهبه منظور مطالعه الگوهای ارتعاشی در این نوع سازهی مق`دار مشخص`ه )ش`وند. ح`ل دقی`ق مس`ئلهه`ای س`ری ت`وانی ح`ل میح`ل

eigenvalveه توس`ط` `وانی توس`عه یافت ( بوس`یله تعمیم ط`رح اص`لی س`ری تfilipich(2003) .و همکارانش Rosales و filipich (2006)های ساختاری برای مسئله

مربوط به مواد ایزوتروپیک انجام شد. این روش به ی`ک تعری`ف مج`دد بی بع`دx=Rαدهد، معادالت دیفرانسیل پیشین نیاز دارد، که نشان می /L∈ [ 0,1 ]∀α∈ [0 , ∆α ]

زاویه تیر خمیده است. α∆ طول جنبی محور خنثی تیر خمیده، و L، که متغیرهای جابجایی حرکت هارمونیک عمومی:

36

{u ,w ,θ }={u ,w ,θ }eiwt (41)

،i=√−1 و rad/segگیری شده در ای تیرخمیده اندازه فرکانس دایرهωکه در آن u}و ,w ,θ های مقید مرب`وط هس`تند. در ح`ال حاض`ر ب`دون حض`ور باره`ای شکل{

`یله(، سیستم41خارجی و برطبق معادله ) معادالت دیفرانسیل داده شده بوستوان به صورت زیر مجددا نوشت: ( را می39معادله )

u}} + {L} over {Φ R} left (Φ +m right ) overline {{w} ^ {+Lθ '−mL2

ΦR2 u+mα2 γ 0

L2ΦR2α 02 λ

2u=0

w}} - {L} over {mR} left (Φ +m right ) overline {{u} ^ {'}} - {Φ {L} ^ {2}} over {m {R} ^ {2}} left (overline {w} +R overline {θ} right ) + {{α} rsub {2}} over {{L} ^ {2} {R} ^ {2} {α} rsub {0} rsup {2}} {λ} ^ {2} left ({γ} rsub {0} overline {w} + {γ} rsub {1} overline {θ} right ) = ¿¿

(42)

θ}} - {L Φ {α} rsub {0}} over {m {α} rsub {2}} overline {{u} ^ {'}} - {{L} ^ {2} Φ {α} rsub {0}} over {m {α} rsub {2} R} left (overline {w} +R overline {θ} right ) + {{λ} ^ {2}} over {{L} ^ {2} {R} ^ {2} {α} rsub {0}} left ({γ} rsub {1} overline {w} + {γ} rsub {2} overline {θ} right ) = ¿¿

که:

λ2=ρ0 AE0 J

ω2 L4 , Φ=G0

E0(43)

گرفته شده است. X( مشتق اول نسبت به 42در معادله )اند: ها با سریهای توانی زیر گسترش یافتهجابجایی

{u ,w ,θ }=∑k=0

z

{U k ,W k ,Θk } xk (44)

ممکن است یک عدد صحیحz ، اگرچه برای مقاصد عملی ∞→zاز لحاظ تئوری بزرگ دلخواه شود.

`ه2با اعمال شرایط مرزی )نگاه کنید به پیوست ( در فرم بی بعد و با رج`وع بfilipich(2003)طرح قبلی سری ت`وانی ) , piovan ح`ل در ( سیس`تم راه(2008)

شود: فرم زیر نمایش داده می

[ε11 ( λ ) ε12 ( λ ) ε13 ( λ )ε21 ( λ ) ε22 ( λ ) ε23 ( λ )ε31 ( λ ) ε32 ( λ ) ε33 ( λ )]{U

¿

W ¿

Θ¿ }={000 } (45)

توان`د( می42بایدتوجه داشته باشید، سیستم دیفرانسیل داده ش`ده در معادل`ه ) به صورت یک معادله دیفرانسیل مرتبه ششم بازنویس`ی ش`ود. بن`ابراین دارای

شش ثابت دلخواه یکپارچه است. `ادینسه تا از آنها در پابان اعمال می شوند و سه تا باقی مانده که به صورت نم

{U ¿ ,W ¿ ,Θ¿ ( منظ``ور س``ه ض``ریب آزاد پس از45ش``وند در معادل``ه ) بی``ان می{37

, Piovan (2008)جانشینی سری توانی در مسئله است. )برای توضیحات بیشتر filipich (2003) ,rosales and filipich (2006)( بنابراین از معادله .)ببینید (45 را

ه`ای مق`دار مشخص`ه از طری`ق معادل`ه زی`رهای برای مس`ئلهحلتواند راهکه میفراهم کند:

Det [ε ( λ ) ]=0 (46)

های جبری( به کوچک شدن مسئلهfilipich 2003 , piovan 2008طرح فوق الذکر) ض`ریب مجه`ول ک`ه باتوج`ه ب`ه ش`رایط م`رزی3 مجهول به فق`ط 3(m+1از )

انتخاب شده است منجر میشود. ( ب`ه ی`ک مق`دار ب`ا46باید تاکید کرد که راه حل معادله بیان ش`ده در معادل`ه )

ه`ای ت`وانی از س`ریzدقت دلخواه برای فرکانس با انتخ`اب دس`تی مح`دود ب`ه منجر می شود. ش`رایط عم`ودی سراس`ری ب`رای ش`کل معین مس`ئله حاض`ر

ارائه گردیده است. 1درپیوست λیک مرتبه مقدار ویژه j با j=1,2,3( معادل`ه46 محاسبه شده توس`ط معادل`ه ،)

λمشخصه مربوطه داده شده از مقدار مشخصه jانطور` باید محاسبه شود. هم μ ک`ه Aq−μIq=0( دی`د، ف`رم اس`تاندارد نیس`ت از )45ت`وان از معادل`ه )ک`ه می

توان`د ب`ا تواب`ع م`اتریس واح`د اس`ت.(، درنتیج`ه نمیIمقدار مشخصه هست، و حل شود.MATLAB, MAPLE, MATHEMATICAها نظیر معمولی بسیاری از برنامه

A=εت`وان م`اتریس ای از مقادیر ویژه شناخته شده، میبه عنوان مجموعه (λ i)را Det و بخاطر آوردن Aq−μIq=0معرفی کرد. حال، از حل [A ]=μ1μ2μ3ه` ، از معادل

μشویم که حداقل یک ( متوجه می46) j=0توان محاس`به ک`رد است. بنابراین، می ,matlab)با maple , mathematica مق`دار مشخص`ه )q j ب`رای μ j=0و برطب`ق

U}آید ( بدست می45معادله ) ¿ ,W ¿ ,Θ¿ }T= {q j1, q j2 ,q j3 }Tبا دانس`تن آخ`رین روش و . -( شکل44با توسل به طرح قبلی در روش سری توانی ، با استفاده از معادله )

λهای معین برای مقدار مشخصه jآید. بدست می

تحلیل عددی: های خ`اص ازدر این بخش برخی از مطالعات عددی در جهت نشان دادن ویژگی

دینامیک تیرهای خمیده در ارتباط با اعمال ش`رایط م`رزی انج`ام ش`ده اس`ت. خ`واص م`واد فل`زی و س`رامیکی نش`ان2(. در ج`دول 2)نگاه کنید به پیوست

داده شده است.همه مثالهای زیر از س`رامیک-فل`ز اس`ت. در واق`ع خ`واص ب`ر`ه ) `ق معادل `زی داخلی در )2طب `ک س`طح فل `یرونیr=ri( از ی `ه س`طح ب ( ب

( مدرج هستند. r=roسرامیک )خواص موادفوالد(Al2o3آلومینا )

E(GPA)مدول یانگ 00/39000/21438

G(GPA)مدول برشی 00/13720/82ρ(Kgدانسیته مواد 00/320000/7800 /m3¿

خواص مواد فلزی و سرامیکی(- 2جدول )

های دیگ`ر اس`ت. ش`یوهمثال اول مربوط به یک مقایسه از مدل حاضر با روش مقاومت مصالح حاضر برای مقایسه کردن تیرهای خمی`ده ب`ا پاس`خ ح`ل س`ه

( از معادالت دیفرانسیل با مشتقاتflexpdeبعدی عمومی انعطاف پذیر )به نام توان`د غلب`هجزئی در چارچوب روش اجزاء محدود است. این حل ب`ه راح`تی می

ه`ای س`اختاری همچ`ون م`دل خ`ودش.کند با قوانین پیچی`ده م`واد ش`امل م`دل ه`ای گوی`ا از و نمون`هwww.pdesolutions.com) ب`رای توض`یحات بیش`تر ببینی`د

(. همچنین مدل یک بعدی ازbackstrom 1998برنامه، همچنین نگاه کنید به کتاب `ده FGMتیره`ای خمی (Piovan ,2008a)ق اص`ل` `ر طب مش`تق گ`یری ش`ده ب

hellinger-reissnerکه برای اهداف مقایسه به کار میرود. شرایط مرزی تیرهای تواند دو سر گیر دار باشد و یا ی`ک س`ر گ`یردار و ی`ک س`ر آزاد ب`رایخمیده می

وb=20mmه`ای هندس`ی ت`یر خمی`ده ب`ه ص`ورت زی`ر هس`تند: ح`رکت. وی`ژگیh=50mm و ∆ α=1 rad و RG=500mm ض`````ریب برش`````ی ،m=1/1619و نس`````بت

R/RG=1/004046توجه داشته باشید که برعکس روش کالس`یک هم`وژن، مح`ور . زی`ر مقایس`ه س`ه م`دل و روش3 اس`ت. در ج`دول RGخنثی بزرگتر از ش`عاع

ب`رای اس`تفاده ازPSMعددی برای چهار فرکانس از قوس ارائ`ه ش`ده اس`ت. (Z=50 ) ی`ا PMSک`ار م`یرود. محاس`بات ب`ا پنج`اه ت`رم در روش سری توانی به

عنص`ر850 م`دل( و ح`دود HRشود، الم`ان ت`یر خمی`ده ربعی ) ب`رای انجام می. FLEXPDEچهار ضلعی در

شود، تفاوت بین روشها قابل اغماض است، با دیده می3همانطور که در جدول دقیق`ه وقت20 خواس`تار بیش از D3این حال الزم به ذک`ر اس`ت ک`ه رویک`رد

7/3 ب`ا پردازش`گر 4برای رسیدن به دقت مورد نظ`ر در ی`ک ک`امپیوتر پن`تیوم به کار رفته برای مواد غیرهمگنquite fine meshگیگاهرتز است )این ناشی از

ثانیه است.3 یا 2 خواستار فقط D1است(. از سوی دیگر هر دو روش عددی

شرایطمدل )روش((Hzفرکانس )مرزی چهارمی

ناولیندومینسومین

81/7657

37/6417

57/3388

97/2364

D1( مدل حاضر PSM)گیرگیر

81/7657

37/6417

57/3388

97/2364

D1 مدل HR (FEM)

20/7702

00/6497

47/3431

59/2366

D3 (FEM)

86/4378/3325/1228/24D1( مدل حاضر PSM)گیر39

آزاد979437086/43

9778/33

9424/12

3728/24

0D1 مدل HR (FEM)

93/4396

79/3418

95/1244

39/241

D3 (FEM)

های عددیهای مختلف و روشمقایسه فرکانس مدل- 3جدول

مثال دوم مربوط به مطالعه رفتار ارتعاشی برای تعمیم س`اده ش`رایط م`رزی ،RG=500mm نگ`اه کنی`د(. ت`یر خمی`ده ب`ه ص`ورت: 2تکیه گاه است )به پیوست

∆، زاوی`ه b=20mmارتف`اع مقط`ع انتخ`اب ش`ده α=1 radعم`ق س`طح مقط`ع ، h=150mmقوس شرایط مرزی تکیه گاه در دو انتها دارد، با این حال محدودیت .-

اس`تفاده ک`رد.re و r ی`ا RG و Rتوان در نکات مربوط ب`ه های اعمال شده را می پنج فرکانس ارتعاشی اولیه برای ارقام ذک`ر ش`ده در ش`رایط م`رزی4جدول

دهد. مالحضه کنید تفاوت مقداری فرکانس وقتی کهتکیه گاه ساده را نشان میrتکیه گاه تعیین شده در i و مقایسه کنید با زمانی که تکیه گاه تعیین شده در R

. R/RG=0/995 و نسبت m=1/1601. ضریب برشی RGو

محل تکیه گاه(Hzفرکانس )اولیندومینسومینچهارمینپنجمین367592705223609140015972ri3611929473237372041911950R3626429268237342062711833RG

329693186823579123868388reفرکانس انواع مختلف از شرایط مرزی با تکیه گاه ساده- 4جدول

پ`ارامتر را نش`ان می ده`د:2 ی`ک تیرخمی`ده تعری`ف ش`ده بوس`یله 13ش`کل ( ک`هc( و ارتف`اع ق`وس پ`ارامتر )aفاصله افقی بین نقاط مرکز ثقل دو انته`ا )

( از وسط مقطع عرضی. درGاندازه بین سطح افقی و نقطه مرکز ثقل )یعنی در کن`ارهم ب`ا م`وقعیت تکی`ه گ`اه در انته`اc/aمثال زیر تاثیر نسبت کم عمقی

ای. مقط`ع ب`ه گون`هa=1000mmتحلیل شده است. فاصله افقی ثابت ش`ده در . h=80mm و b=20mmاست که

تغییرات فرکانسی ) مربوط به شکل ی`ک ح`الت خ`اص( ب`ا توج`ه ب`ه14شکل دهد، که در آن تیر در دو انتها در نقطه مربوط به نشان میc/aنسبت کم عمقی

RG تغییرات فرکانس`ی مرب`وط ب`ه 15 گیر شده است. شکل c/aرا نش`ان می rدهد اما برای موردی که تکیه گاه در i .گیر شده است

40

طرحی از قوس کم عمق- 13شکل

r=RG با کمان قید شده در c/aتغییرات فرکانس با پارامتر (- 14شکل )

41

r=ri با کمان قید شده در c/aتغییرات فرکانسی با پارامتر (- 15شکل )

معنیfluw برای اولین حالت خمشی برجسته معنی میدهد fluدر دو شکل قبل f3uw وf2wuاولین حالت خمش`ی ب`ا پوس`ته جفت ش`ده میده`د، در ح`الی ک`ه

دومین و سومین حالت خمشی برجسته کوپل شده هستند. مشاهده کرد اما فقط برای دو16توان در شکل تفاوت بین این دو شکل را می

حالت اول. توجه داشته باشید که اعداد تغییر فرکانس با تغییر نقط`ه تکی`ه گ`اه ش`وند، دره`ای کوپ`ل ش`ده محس`وس میدر طول مقطع عرضی در م`ورد م`دل

% در ط`ول نس`بت10حالی که حالت خمشی یک تغییرات تقریبا پایدار فراگیر کم عمقی دارد.

42

تفاوت درصدی در دو شکل قبل(- 16شکل )

تحلیل نرم افزاری:43

در جهت ضخامت: FGM( مدلسازی تیر 3-7 باش`د ب`رای تعری`ف در نرم افزارهای تحلیلی موج`ود نمیFGMاز آنجا که جنس

تقسیمsectionاین نوع جنس در نرم افزار، تیر را در راستای عرضی به چندین ب`ا توج`ه ب`هsection خواص مکانیکی مربوط ب`ه آن sectionکنیم که برای هر می

ه`ایzش`ویم و ب`رای نزدی`ک میceramicهای مثبت به خواص z که برای zمحور ه`ا در مقط`عsection نزدیک خ`واهیم ش`د. هرچ`ه تع`داد metalمنفی به خواص

شویم. در واقعیت نزدیک میFGMبیشتر باشد بیشتر به جنس

Analysis1

MESH:

Entity Size

Nodes 243

Elements 615

ELEMENT TYPE:

Connectivity Statistics

TE4 615 ( 100.00% )

ELEMENT QUALITY:

Criterion Good Poor Bad Worst Average

Stretch 615 ( 100.00% ) 0 ( 0.00% ) 0 ( 0.00% ) 0.444 0.621

Aspect Ratio 615 ( 100.00% ) 0 ( 0.00% ) 0 ( 0.00% ) 3.155 1.921

Materials.144

Material Aluminium

Young's modulus 7e+010N_m2

Poisson's ratio 0.346

Density 2710kg_m3

Coefficient of thermal expansion 2.36e-005_Kdeg

Yield strength 9.5e+007N_m2

Static Case

Boundary Conditions

Figure 1

STRUCTURE ComputationNumber of nodes : 243Number of elements : 615

45

Number of D.O.F. : 729Number of Contact relations : 0Number of Kinematic relations : 0

Linear tetrahedron : 615

RESTRAINT ComputationName: Restraints.1

Number of S.P.C : 54

LOAD Computation

Name: Loads.1

Applied load resultant :

Fx = 1 . 735e-010  NFy = 3 . 602e-010  NFz = -1 . 000e+001  NMx = -7 . 000e-001  NxmMy = 1 . 000e-001  NxmMz = -1 . 448e-011  Nxm

STIFFNESS ComputationNumber of lines : 729Number of coefficients : 11133Number of blocks : 1Maximum number of coefficients per bloc : 11133Total matrix size : 0 . 13  Mb

SINGULARITY ComputationRestraint: Restraints.1

Number of local singularities : 0Number of singularities in translation : 0

46

Number of singularities in rotation : 0Generated constraint type : MPC

CONSTRAINT ComputationRestraint: Restraints.1

Number of constraints : 54Number of coefficients : 0Number of factorized constraints : 54Number of coefficients : 0Number of deferred constraints : 0

FACTORIZED ComputationMethod :  SPARSENumber of factorized degrees : 675Number of supernodes : 141Number of overhead indices : 3333Number of coefficients : 19125Maximum front width : 48Maximum front size : 1176Size of the factorized matrix (Mb) : 0 . 145912Number of blocks : 1Number of Mflops for factorization : 7 . 018e-001Number of Mflops for solve : 7 . 987e-002Minimum relative pivot : 6 . 268e-003

Minimum and maximum pivot

Value Dof Node x (mm) y (mm) z (mm)

1.8309e+007 Tx 243 7.3359e+000 1.2423e+002 2.7007e+001

3.8826e+009 Tz 92 2.0000e+001 1.2047e+002 1.8781e+001

Minimum pivot

Value Dof Node x (mm) y (mm) z (mm)

1.0724e+008 Ty 243 7.3359e+000 1.2423e+002 2.7007e+001

1.1431e+008 Tz 243 7.3359e+000 1.2423e+002 2.7007e+001

1.6687e+008 Tz 242 9.8080e+000 1.1998e+002 3.6449e+001

1.6832e+008 Tx 242 9.8080e+000 1.1998e+002 3.6449e+001

47

2.6007e+008 Tz 233 1.1596e+001 1.7104e+001 2.7824e+001

2.7210e+008 Tx 210 4.9066e+000 1.2061e+001 3.9283e+001

2.9586e+008 Tx 235 1.2741e+001 1.2861e+002 3.8270e+001

3.0029e+008 Ty 192 0.0000e+000 9.6904e+001 6.0272e+001

3.0088e+008 Tz 171 0.0000e+000 1.3021e+002 2.5965e+001

Translational pivot distribution

Value Percentage

10.E7 --> 10.E8 1.4815e-001

10.E8 --> 10.E9 7.2889e+001

10.E9 --> 10.E10 2.6963e+001

DIRECT METHOD ComputationName: Static Case Solution.1

Restraint: Restraints.1

Load: Loads.1

Strain Energy : 4.501e-008 J

Equilibrium

Components AppliedForces Reactions Residual

RelativeMagnitude

Error

Fx (N) 1.7349e-010 -1.7348e-010 9.5757e-015 8.7525e-015

Fy (N) 3.6016e-010 -3.6017e-010 -6.8556e-015 6.2663e-015

Fz (N) -1.0000e+001 1.0000e+001 -7.1054e-015 6.4946e-015

Mx (Nxm) -7.0000e-001 7.0000e-001 1.4433e-015 9.4230e-015

My (Nxm) 1.0000e-001 -1.0000e-001 7.9103e-016 5.1645e-015

48

Mz (Nxm) -1.4478e-011 1.4477e-011 -1.0356e-015 6.7613e-015

Static Case Solution.1 - Deformed mesh.2

Figure 2

On deformed mesh ---- On boundary ---- Over all the model

Static Case Solution.1 - Von Mises stress

(nodal values).2

49

Figure 3

3D elements: : Components: : All

On deformed mesh ---- On boundary ---- Over all the model

Global Sensors

Sensor Name Sensor Value

Energy 4.501e-008J

50

تنش های اصلی

von missesتنش های

51

محل های که ممکن است در محاسبه دقیق نباشد

گیری: نتیجه با توجه ب`ه دو مث`ال انته`اییدر فصل دوم به تحلیل تیرهای خمیده پرداختیم که

( المان، با16 یا 8[ با تعداد المان باال )4فصل دوم، مشخص شد روش مرجع ] ( الم`ان، دقت خ`وبی ب`رای2 یا 1نتایج روش ارائه شده با تعداد المان حداقل )

الع`اده زی`ادی وآنالیز سازه داشته، ولی روش ارائ`ه ش`ده دارای س`رعت ف`وق باش`د، ک`ه خ`ود ب`اعث کم ش`دن خط`ایهمچنین ماتریس سختی کوچک`تری می

ده`د. ب`ا توج`ه ب`هالعاده باالیی را در آنالیز ارائه میمحاسباتی شده، و دقت فوق [ و روش ارائ`ه ش`ده تقریب`ا4( نتایج بررسی شده توسط دو مرجع ]11شکل )

باشد، هرچه تعداد المانه``ایبرابر بوده که در واقع منطقه جواب دقیق سازه می بیشتری انتخاب شود دقت آنالیز نیز بیشتر شده ولی س`رعت محاس`بات کم`تر

شود.می در فصل سوم یک مدل ب`رای تیرخمی`ده ض`خیم غ`یر هم`وژن در زمین`ه تئ`وری

ی غ`یرهمگن در زمین`ه م`وادمقاومت مصالح پیشرفته حل و فصل ش`د. س`ازه تابعی مدرج محدود شده بود. فرآیند استخراج شامل: به کارگیری مفهوم تغی`یر محور خنثی، امکان ساده شدن محاسبات جبری، ک`ه منج`ر ب`ه پی`دا ک`ردن راه حلهای تحلیلی سیستم دیفرانسیل حاکم حتی در صورتی که سیستم دیفرانسیل

52

`وانی ح`ل دارای ضرایب متغییر باشد. معادالت حرکت با شیوه ی سری ه`ای ت ده`د. ی`ک تحلی`ل وی`ژه ب`ا ش`رایطشد که دقت دلخواه را با اعداد فرک`انس می

گاهی به سادگی انجام ش`د. این تحلی`ل همبس`تگی محکمی از وض`عیت درتکیه گاه ی که به سادگی قی`د ش`ده در اولین فرک`انس در هواپیم`ا ب`رایانتهای تکیه

مواد مدرج مخصوصا اگر حرکات خمشی و محوری باهم باشند را نشان داد.

: 1پیوست برای پیدا کردن راه ح`ل مس`ئله نیروه`ای ارتعاش`ی مج`زاء، الگ`وریتم انطب`اق

رود. در نتیج```ه بای```د ش```رایط( معم```وال ب```ه ک```ار میsuperpositionقی```دی )orthogonality( به منظور دیاگونالیز diagonalizمسئله در ش`رایط آن زم`ان را )

دانست. با استفاده از روش های مناس`ب و انتخ`ابی سیس`تم دیفرانس`یل داده 6 مس`ئله غ`یر کالس`یک orthogonality( ک`ه ب`ه ش`رایط 42ش`ده در معادل`ه )

شود: ترتیبی میرسد به صورت زیر بیان می

N ij=∫0

1 [u i ( x )u j ( x )+wi ( x )w j ( x )+γ2 Rh RG

θi (x ) θ j ( x )+γ1

hRG(θ i ( x )w j+θ j ( x )wi )]dx

(I.1)

`ه ukک` ( x ) ،w k (x θk و ( ( x `ه ( `کال معین مربوط` `بیعی k-th اش` `انس ط` ازωk فرک`,...(.k=1,2,3,4مجموعه قابل شمارش )

سپس:

N ij={ 0when i≠ jN i

2wheni= j (I.2)

53

Nاگر یک تقسیم شود هر شکل بر i شرایط ،orthonormalityآید. بدست می

: 2پیوست `اa.1در شکل میتوان طرحی برای توصیف یک تکیه گاه ساده عمومی که لزوم

در محور خنثی ثابت شده را دید.

طرحی از انتها گیردار(- a.1شکل )

هستند: α=0شرایط مرزی در uo=0wo=0mo=0

(II.1)

( به صورت: 4( و )3( نوشته میشود بر طبق معادله )II.1در نتیجه، معادله )u=0

w−θδ=0M +Nδ=0

(II.2)

توان ترم جابجایی را به صورت( میII.2(، سپس معادله )21بر طبق معادله )زیر نوشت:

u=0w−θδ=0J θ'+A w'=0

(II.3)

از طرف دیگر، شرایط مرزی مربوط به گیر در انتها به صورت زیر است: u=0w=0θ=0

(II.4)

شرایط مرزی مربوط به انتها آزاد عبارتند از:

54

N=0M=0Q=0

(II.5)

شود به( نوشته میII.5(، معادله )33( و معادله )21سپس، بر طبق معادله )صورت:

w '−u=0θ '=0

w+u'+Rθ=0(II.6)

ی درنظر گرفته شدهبدیهی است شرایط مرزی در انتهای دیگر به همان شیوهاست.

منابع و مراجع: [1]- timoshenko, and gerel (1990),”theory of elasticity” , McGraw-Hill, new york.

[2]- lee,P.G, and H.G sin, H.C (1994), “locking-free curved beam element based on curvature”, international jornal for numerical methods in engineering.

55

[3]- calhouml P.R, and Dadeppo D.A (1983),”nonlinear finite element analysis of clamped arches”, jornal of structural engineering.

[4]-wen, R.K (1991),”nonlinear curved-beam element for arch structures”,journal of structural engineering.

[5]- carlos P.Filipich and marcelo T.Piovan,”the classic dynamic theory of thick curved beams in the context of functionally graded materials”.

56