2.1. Phương trình lượng giác cơ bản và gần cơ bản.* Phương trình lượng giác cơ bản :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các

phương trình lượng giác dạng này đã có công thức nghiệm chi tiết.Cần nhấn mạnh các phương trình

sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb.* Phương trình lượng giác gần cơ bản.Là những phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a.Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa về phương trình dạng trên.Cần chú ý điều kiện trong phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a.2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0.Bằng cách chia hai vế của phương trình cho và chú ý rằng

,nên ta có thể đặt ,với là

một góc xác định nào đó.

Khi đó phương trình đã cho trở thành : ,đây chính là

phương trình cơ bản.Sử dụng cách giải phương trình này ta có thể áp dụng được cho những

phương trình dạng sau:.

2.3. Lựa chọn phép biến đổi lượng giác.Để nhanh chóng lựa chọn những phép biến đổi lượng giác thích hợp

cho việc đại số hóa phương trình ,giáo viên cần lưu ý học sinh một số nhận xét hữu ích sau:

a. Các biểu thức lượng giác có thể biểu diễn qua một đa thức của cosx gồm:

sin ,cos2x,cos3x.

Các biểu thức biểu diễn được qua một đa thức của sinx gồm:cos,cos2x,sin3x.

b. Các phương trình đối xứng nhau với sinx,cosx có thể đại số hóa bởi phép đặt ẩn số phụ t=sinx+cosx,từ cách đặt ẩn phụ này ta rút ra t và

sinxcosx .Như vậy phương trình đối xứng

f(sinx+cosx,sinxcosx)=0 là đại số hóa được.c. Các phương trình dạng f(cosx-sinx,sinxcosx) =0 cũng đại số hóa như trên.d. Một dạng đặc biệt của phương trình đối xứng đối với cosx và sinx

là phương trình đối xứng với tanx và cotx.Chú ý rằng :tanx.cotx=1,tanx+cotx=2/sin2x.

nên có phép đặt ẩn phụ t= tanx+cotx hoặc t=sin2x.Khi đặt t=tanx+cotx ta có các công thức biến đổi:S2 = .

.

.

e. Qui trình biến đổi phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx như sau: Bước 1.Làm cho tất cả các số hạng đều cùng bậc bằng cách nhân

từng số hạng với biểu thức ,với k lựa chọn thích hợp. Bước 2.Rút lũy thừa bậc cao nhất của cosx có thể làm nhân tử

chung.Nếu các số hạng không nhận cosx làm nhân tử chung thì chia hai vế cho lũy thừa cao nhất của cosx.

Bước 3.Đặt t =tanx và giải phương trình đại số thu được.2.4. Biến đổi phương trình về dạng tích. Muốn biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích trước tiên cần

giúp học sinh thuộc tất cả các công thức biến đổi lượng giác .Trong thực tế đa số học sinh không nhận thức được tầm quan trọng của việc thuộc lòng các phép biến đổi lượng giác ,đã hài lòng và yên tâm với việc hiểu ý nghĩa công thức biến đổi ,có khả năng áp dụng chúng ,nhưng lại không nhớ được có những công thức nào,không hình dung được các công thức đó một cách

tường minh, vì thế không có khả năng so sánh phân tích ,tổng hợp.Vì lẽ đó các em chỉ có thể giải toán một cách thụ động ,hiểu vấn đề một cách lơ mơ và không có khả năng sáng tạo.

Thiết nghĩ rằng nếu tổ chức tốt việc dạy học các công thức biến đổi lượng giác sẽ bảo đảm một kết quả chắc chắn và tiết kiệm thời gian cho học sinh rất nhiều.

Cách tổ chức dạy học biến đổi lượng giác nên dựa vào hai yếu tố :hệ thống hóa các công thức; phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động học tập.

Hệ thống công thức biến đổi có thể tóm tắt trong sơ đồ sau.

Để phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động chúng tôi sắp xếp các công thức theo một trật tự thích hợp để về mặt âm thanh có thể đọc trơn tru, tốt ít hơi và yêu cầu học sinh luyện đồng thời nói - nhìn - nghe - viết.

Ví dụ 1: Công thức biến tích thành tổng dưới dạng viết cho bởi:

Ba hệ thứccơ bản

Quy gọn góc Cộng cung

Góc nhân đôi nhân ba

Hạ bậc

Tích thành tổng

Tổng thành tích

Đột biến cơ bản

Hữu tỉ hoá

Các em có thể nhận xét quy luật viết khai triển ở vế phải (góc trừ trước, góc cộng sau) rồi luyện đọc thành lời:

Cos nhân cos bằng một phần hai cos trừ cộng cos cộng…Bằng cách cho cả lớp đọc đồng thanh, đọc đuổi nhau… học sinh rất

nhanh chóng thuộc tất cả các công thức nói trên. Sau đây là một số kỹ năng biến đổi thường dùng:

a. Phương trình asinx + bsin2x + csin3x = 0 tương đương với

.đôi khi trước khi đến với dạng phương trình đã cho, học sinh cần có

khả năng quy gọn góc.Ví dụ 2: Tìm a để phương trình

có nghiệm Ta có

phương trình trở thành

b. Sử dụng công thức biến tổng thành tích: Học sinh cần biết nhóm các số hạng một cách thích hợp, thường là phải chú ý đến tổng, hiệu các góc có mặt trong các số hạng cần ghép, đôi khi phải hạ bậc trước khi biến tổng thành tích: Ví dụ 3.Giải phương trình: .

H2: Hai vế phương trình là những tổng lượng giác, không có số hạng đồng dạng để đơn giản, vì vậy ta nên nghĩ đến việc biến tổng thành tích nhằm mục đích làm xuất hiện nhân tử chung để đưa phương trình về dạng tích. Chú ý đến các góc nửa tổng và nửa hiệu ta thấy nên nhóm sinx+3sinx ở

vế trái, cosx + 3cosx ở vế phải, còn góc nửa tổng sẽ là .

Vậy ta biến đổi

Ví dụ 4: sin3x+sin6x=sin9xH2: Chú ý đến các cung chứa ẩn (3x+6x =9x) ta thấy ngay nên biến

đổi.

Cũng có thể biến đổi theo cách khác, chẳng hạn đặt t=3x và dùng công thức góc bội ta biến đổi phương trình thành

sint+sin2t = sin3t (dạng asinx+bsin2x + csin3x = 0)

Ví dụ 5:

H2: Tất cả các số hạng đều là bậc 2 với cos hoặc sin do đó ta dùng công thức hạ bậc, phương trình được biến đổi thành:

chỳ ý rằng nên có thể nhóm cosx + cos3x, cosx +

cos8x, phương trình tương đương với:

Trong nhiều trường hợp, 2 vế phương trình là tổng nhiều tích những hàm số lượng giác mà không có thừa số chung, khi đó nên tìm cách biến tích thành tổng để rút gọn các số hạng đồng dạng rồi mới biến tích thành tổng.

Ví dụ 6: cos3xcos6x= cos4xcos7xH2: Hai vế là hai tích không có nhân tử chung, nếu biến tích thành

tổng thì phương trình tương đương với

c. Sử dụng đồng nhất thức đối xứng từ hệ thức cơ bản này ta rút ra các biến đổi thành tích sau:

Ví dụ 7: H2: Vế phải là biểu thức x2cos43 có nhân tử chung 2sinx-1 với vế

trái, phương trình dược biến đổi thành:

Ví dụ 8: Giải phương trình:

H2: Có

Phương trình được biến đổi thành:

d. Sử dụng công thức nhân đôi:Từ công thức , bằng cách áp

dụng đồng nhất công thức cos2x+sin2x=1 một cách khéo léo ta có: cos4x -cos2x = cos4x - (cos2x - sin2x)

= cos2x(cos2x-1)+sin2 x = -sin2xcos2x+sin2x

hoặc cos4x-cos2x=cos4x-(2cos2x-1)=(1-cos2x)2=sin4x

hoặc cos2x = cos2x - sin2x=cos2x - sin4x - sin4x

cos4x-cos2x = sin4x

Ví dụ 9:Giải phương trình: Cos4x-cos2x+2sin6x=0

H2: Trong phương trình có mặt hai loại hàm số lượng giác (cos và

sin), với bậc khác nhau (bậc 3 và bậc1) và các công chứa ẩn khác nhau (x và

2x). Để làm cho các số hạng bớt khác biệt có thể chú ý đến bậc hoặc cung

chứa ẩn. Nếu muốn làm cho các số hạng đồng bậc thì phải dùng công thức

hạ bậc nhưng như vậy sẽ xuất hiện thêm cung 3x. Nếu

muốn làm cho các cung chứa ẩn giống nhau thì phải biến đổi 2cos2x. Nếu

dùng cos2x-sin2x thì phương trình được biến đổi thành.

Nếu dựng công thức cos2x=2cos2x -1 thì phương trình được biến đổi thành

e. Đặt thừa số chung: Sử dụng bảng 1 học sinh có thể tiến hành đặt thừa số chung một cách thuận lợi trong nhiều trường hợp.

Ví dụ 10: Giải phương trình:

H2: Có phương trình tương đương

với:

f. Chú ý đến đặc điểm các hệ số: trong nhiều phương trình lượng giác, những mối liên hệ số học giữa các hệ số lại chứa đựng chìa khoá giải bài toán. Ta sẽ thấy từ điều này qua các ví dụ sau:

Ví dụ 11: Giải phương trình:3sinx+2cosx=2+3tanx

H2: nhóm các số hạng cùng hệ số ta được 3sinx-3tanx = 2-cosx

Ví dụ 12: 2(tanx-sinx)+3(cotx-cosx)+5=0H2: chú ý đến mối liên hệ giữa các hệ số 5=2+3 ta biến đổi vế trái

phương trình thành2(tanx-sinx+1)+3(cotx-cosx+1)

2.5. Các phép toán chia, khai căn, logarit không phải luôn xác định, vì thế khi có hàm số lượng giác chứa ẩn có mặt ở mẫu số hay dưới dấu căn thức, hoặc trong biểu thức logarit thì tập xác định của phương trình nói chung chỉ là một tập con thực sự của tập số thực. Mặt khác, hầu như các phép biến đổi đồng nhất liên quan đến các phép toán nói trên đều làm thay đổi miền xác định của phương trình nên đứng trước mỗi phép biến đổi phương trình chúng ta phải luôn tự đặt câu hỏi các phép biến đổi đó có ảnh hưởng như thế nào đến tập hợp nghiệm của phương trình. Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây:

a. Các định lý về biến đổi tương đương phương trình- Nếu nhân hai vế một phương trình với một biểu thức có nghĩa và, ta được

phương trình tương đương (giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức). - Nếu hai vế một phương trình có nghĩa và cùng dấu thì nâng hai vế

của phương trình ấy lên cùng một lũy thừa ta được phương trình tương đương. (giải phương trình vô tỉ).

- Nếu hai vế một phương trình cùng có nghĩa thì mũ hoá phương trình ấy ta được một phương trình tương đương (giải phương trình lôgarit)

b. Các phép biến đổi đồng nhất và điều kiện kèm theo:

Đối với dạng phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn, ngoài các kỹ năng biến đổi cần thiết như các dạng phương trình lượng giác khác, học sinh cần phải thành thạo kỹ năng xử lý các điều kiện khéo léo. Các ví dụ tôi sẽ trình bày sau đây sẽ chỉ trừ những trường hợp nào cần và nên đặt điều kiện bổ xung, đồng thời nên xử lý các điều kiện như thế nào.

Ví dụ 13: xx

xsin

1cos

3sin8

H2: để khử mẫu số, cần nhân 2 vế phương trình với cosx.sinx; để bảo đảm không xuất hiện nghiệm ngoại lai khi áp dụng phép biến đổi đó cần có điều kiện cosxsinx ≠0. Mặt khác việc đặt điều kiện bổ xung này không làm thu hẹp tập các giá trị cần xem xét của x và tập xác định của phương trình là tập tất cả các x thoả mãn điều kiện cosx.sinx≠0. Vậy phương trình đó cho tương đương với hệ:

Chú ý rằng, nếu x là một nghiệm của (1) và không thoả mãn điều kiện (a) thì ta có đồng thời 2 đẳng thức.

.

=> hoặc vô lý. Do đó mọi nghiệm của (1) đều thoả món điều kiện (a), vì vậy phương trình đó cho tương đương với (1).

Phương trình (1) là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx, cosx nên có thể giải theo phương pháp giải phương trình đẳng cấp:

(1)

Rút cos làm thừa số nên cosx =0 là nghiệm phương trình, do đó chia phương trình cho cos3x và đặt t=tanx ta được:

Kết quả dẫn đến việc giải một phương trình bậc 3 không nhẩm được nghiệm và rất khó giải.

Trở lại phương trình (1), ta nhận thấy 2 vế là những hàm lượng giác của cung x nhưng có bậc khác nhau. Để giảm sự khác biệt về bậc, có thể thực hiện các phép biến đổi tích thành tổng hoặc hạ bậc, chẳng hạn biến đổi.

Xem phương trình được như phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx ta

viết:

Qua ví dụ trên, giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh nhận thức được những lập luận căn bản sau đây:

- Thực hiện phép nhân hai vế một phương trình với một biểu thức, cần có điều kiện biểu thức đó phải khác không.

- Bổ sung điều kiện biểu thức khác không, không làm thu hẹp tập nghiệm và không làm thay đổi tập xác định của phương trình.

- Không cần thiết và không nên giải điều kiện bổ sung vừa đặt ra, đối với các nghiệm của phương trình thu được cần tìm cách thử trực tiếp hoặc gián tiếp các điều kiện đó.

Ví dụ 14: 3tan3x + cot2x=2tanx+

H2: Chú ý đến đặc điểm các hệ số có thể biến đổi phương trình thành

tan3x+tan2x+2(tan3x-tanx)=

Điều kiện có nghĩa của phương trình là cos3xsin2x.cos2x≠0 và với điều kiện đó phương trình tương đương với:

Để thử điều kiện cos3xsin2xcos2x≠0 ta biểu diễn điều kiện này thông qua cos2x:

sin2x≠0 cos2x≠±1

03)2cos1(203cos4

02

2cos10cos0cos

2

2

xx

xxx

Có nghĩa là 21,1,02cos x và nghiệm 4

12cos x thoả mãn điều kiện đã

nêu.Ví dụ 15: tan(1200+3x)-tan(1400-x)=2sin(800+2x)H2: có thể thực hiện phép biến đổi tổng thành tích cho vế trái nhưng học

sinh không tìm thấy thừa số chung để đưa phương trình về dạng tích. Tuy nhiên, chú ý rằng 800 +2x=2(400+x), 1400-x=1800-(400+x), 1200+3x=3(400+x) do đó nếu đặt t= 400+x và sử dụng quy gọn góc ta biến đổi phương trình thành.

tan3t+tant=2sin2t

Để khử mẫu số, cần có điều kiện 2cos22t+cos2t-1≠0 cos2t≠-1, với

điều kiện này phương trình tương đương với: 4sin2tcos2t=2sin2t(2cos22t+cos2t-1)

Đối chiếu với điều kiện đặt ra, phương trình trở thành

Ví dụ 16:

H2: Để khử mẫu số, trước hết cần đặt điều kiện cosx≠0, phương trình

tương đương với

Nếu khử căn bằng cách sử dụng công thức góp nhân đôi thì lại xuất

hiện giá trị tuyệt đối.

Để phá dấu giá trị tuyệt đối lại phải xét dấu và bài toán

không đơn giản.

Muốn khử căn bằng cách bình phương 2 vế xét dấu 2 vế, cũng phức

tạp. Mặt khác lượng liên hợp của vế trái là tổng hai căn số học, nhận giá trị

dương, do đó ta biến đổi phương trình thành.

(loại)

(thoả mãn điều kiện cosx≠0 sinx≠±1 và sin x<(0)

Ví dụ 17: Giải phương trình: .

H2: Áp dụng công thức đối cơ số, phương trình được biến đổi thành

Thử trực tiếp điều kiện:

- Với thì sinx=1, điều kiện trở thành không thể

được thực hiện.

- Với thì điều kiện

luôn đúng vì

- Với thì điều kiện tương đương với

chú ý rằng do đó nghiệm chỉ thoả

mãn điều kiện đặt ra khi k =2n (k chẵn) Vậy phương trình có nghiệm

2.6. Phương trình với điều kiện ràng buộcGiải một phương trình lượng giác với điều kiện hạn chế đối với x,

chẳng hạn với yêu cầu ẩn x phải thuộc một khoảng đó cho thường khó hơn việc tìm nghiệm của phương trình đó trên toàn trục số. Khó khăn phát sinh từ chỗ số không thể cho bởi một số thập phân đúng và chúng ta chỉ có thể đánh giá thông qua những giá trị gần đúng của nó và điều kiện này là đòi hỏi học sinh phải nhận thức được trường hợp nào cần sử dụng giá trị gần đúng thừa, trường hợp nào phải sử dụng giá trị gần đúng thiếu. Xét ví dụ đơn giản sau:

Ví dụ 18:Giải phương trình: với 0<x< .

H2: Giải phương trình đó cho ta tìm được tất cả các nghiệm là:

và

Cần chọn k và n nguyên để nghiệm tìm được thuộc khoảng (0, ), dẫn đến việc giải 2 bất phương trình nghiệm sau đây:

Nếu k chẵn

Nếu k lẻ

Nếu k chẵn

Nếu k lẻNếu k chẵn

Nếu k lẻ

(1)

(2)

Nếu giải các hệ bất phương trình trên theo phương pháp thông thường

sẽ dẫn đến tập nghiệm của (1) là

Để tìm k nguyên, cần xác định phần nguyên của các số và

Chú ý rằng

Tương tự

Do đó nghiệm duy nhất của (1) là k=1 => nghiệm

Tượng tự tìm được n=0 => nghiệm

Cũng có thể lập luận theo cách khác như sau:

Khi k thay đổi, là một hàm số đồng biến

Khi 0k thì

Khi 2k thì đều bị

loại. với k=1 thì

2.7. Phương trình không mẫu mựcNhiều phương trình lượng giác không thể đưa được về dạng cơ bản

nếu chỉ áp dụng các phép biến đổi thông thường. Những phương trình như thế được gọi là các phương trình không mẫu mực, cách giải chúng không theo những qui trình mẫu mực, thụng thường mà lại đòi hỏi học sinh phải có khả năng quan sát, so sánh, đối chiếu các biểu thức chứa ẩn có mặt trong

phương trình để đề ra cách giải thích hợp. Về cơ bản có hai cách giải phương trình không mẫu mực: đánh giá, ước lượng các biểu thức trong phương trình (phương pháp sử dụng bất đẳng thức) hoặc sử dụng tính chất hàm số hoặc đồ thị để giải phương trình.

Việc giải các phương trình không mẫu mực bằng phương pháp đánh giá thường dựa vào các mệnh đề tương đương sau đây:

i) Nếu f(x) ≥A và g(x) ≤A (A là hằng số) x tập xác định thì f(x) =g(x) ii)iii) Nếu thì af2(x)+bf(x)+c=0 Ví dụ 19: Giải phương trình:Sin10x + cos8x=1 H2: có thể biến đổi phương trình về dạng đẳng cấp bậc 10 nhưng hệ số

rất cồng kềnh. Mặc dù, chú ý rằng 1=sin2x +cos2x và sin 10x ≤sin2x, cos8x≤cos2x do đó ta viết phương trình dưới dạng

≥0 ≤0 ≥0 ≤0

.

Ví dụ 20:Giải phương trình:H2: Để khử căn chứa ẩn, nếu bình phương 2 vế phương trình sẽ trở

nên đặc biệt cồng kềnh, tuy nhiên nếu bình phương từng bộ phận chứa căn thức và ước lượng thì ta thấy

Mặt khác:

do đó phương trình tương đương với:

Khi đó sin x và là nghiệm của phương trình:

Ví dụ 21: Giải phương trình:sinx=x2+x+1H2: Rõ ràng không thể sử dụng phép biến đổi nào làm phương trình có

thể đơn giản hơn. Tuy nhiên y =sinx và y =x2+x+1 là hai hàm số đơn giản, có đồ thị rất quen thuộc và học sinh dễ dàng vẽ đồ thị của chúng trên cùng một hệ toạ độ và có thể thấy ngay phương trình vô nghiệm. Hình ảnh của đồ thị cũng gợi ý cho thấy trong khoảng mà y =x2 +x+1 nhận giá trị nhỏ hơn 1 thì hàm số y=sinx nhận giá trị âm, y =x2+x+1 nhận giá trị dương, vì vậy có thể tiến hành biến đổi bài toán đẹp hơn như sau:

Nếu sinx = x2+x+1 thì x2+x+1 ≤1

=>

=> Phương trình vô nghiệm