FUNCIONES

1.- TRANSFORMACIONES ELEMENTALES DE FUNCIONES

Veamos cómo se representan, a partir de una función conocida, otras funciones relacionadas con ella:

y=f(x)+k, y=f(x)-k, a partir de y=f(x)

Si k es un número positivo, la gráfica de y la de son como la de desplazadas k unidades hacia arriba o hacia abajo, respectivamente. Ten en

cuenta que k se le suma o se le resta a , es decir, al valor de la función. Por tanto, la ordenada aumenta o disminuye k unidades. Por ejemplo:

y=-f(x), a partir de y=f(x)

La gráfica correspondiente a es la simétrica de la de respecto del eje X. Ten en cuenta que la función cambia de signo. Por tanto, la ordenada cambia de signo: si está por encima del eje X pasa a estar hacia abajo, y viceversa. Por ejemplo:

Ejercicio resuelto 1.1: Representar . A partir de ella representar:a)b)

1

c)

Ejercicio propuesto 1.1: Representar . A partir de ella representa:

a) b)

Ejercicio propuesto 1.2 Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa:

a) b)

y=kf(x), a partir de y=f(x)

La gráfica de se obtiene multiplicando por k las ordenadas de la gráfica de . Si k es positivo y mayor que 1, la gráfica “se estira”. Si 0<k<1, la gráfica se

achata. Ten en cuenta que k se multiplica por , es decir, por el valor de la función. Por tanto, la ordenada de cada punto se multiplica por k. Por ejemplo:

Si k es negativo, se obtiene la gráfica de y después, se halla su simétrica respecto del eje X.Ejercicio resuelto 1.2: Representa:

a)

2

b) , a partir de la gráfica .

c) a partir de

Ejercicio propuesto 1.3: Representar . A partir de ella representa:

a) b) c)

Ejercicio propuesto 1.4: Representa . A partir de ella representa:

a) b) c)

y=f(x-a), y=f(x+a), a partir de y=f(x)

Si a es un número positivo, 1as gráficas de e son como las de desplazadas a unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente.

Por ejemplo:

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y=f(-x), a partir de y=f(x)

La gráfica de es simétrica a la de respecto del eje Y.

Ejercicio resuelto 1.3: Representa . A partir de esta gráfica, representar estas

otras:

a) b) .

Ejercicio resuelto 1.4: Representa . A partir de esta gráfica, representar estas otras: a) b) c)

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Ejercicio propuesto 1.5: Representa . A partir de esta gráfica, representa estas

otras: a) b)

Ejercicio propuesto 1.6: Representa . A partir de esta gráfica, representa estas otras:a) b) c) d)

Ejercicio resuelto 1.5: Representa .

Ejercicio resuelto 1.6: Representa .

En resumen, veamos lo que le pasa a un punto de una función al aplicarle una transformación:

FUNCIÓN UN PUNTO

Ejercicio propuesto 1.7: Si pasa por , di un punto de:

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, , , , , ,

Ejercicio propuesto 1.8: Representa:

a) b)

2.- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones, y , se llama función compuesta de y , y se designa por , a la función que transforma en :

La expresión se lee compuesta con . Se nombra en primer lugar la función de la derecha porque es la primera en actuar sobre la .

En general, la función es distinta de .

Ejercicio propuesto 2.1: Si y , obtén las expresiones de y . Halla y .

Ejercicio propuesto 2.2: Si y , halla , , y . Halla el valor de estas funciones en y .

3.- FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA

Se llama función inversa o recíproca de a otra función (se designa por ) que cumple la siguiente condición:

Si , entonces

Como consecuencia, se dan las relaciones siguientes:

La función inversa de es, a su vez, . Por eso se dice, simplemente, que las funciones y son inversas o recíprocas.

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Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la recta .

Para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva, es decir, cada valor de ha de corresponder a un único valor de . Si no es así, ha de descomponerse en tramos en que sea inyectiva, cada uno de los cuales tendrá su función inversa.

Por ejemplo, como no es inyectiva, para hallar su inversa procedemos así:

Cómo obtener f -1 : Para hallar la inversa de , se intercambian la y la , , y se despeja la en la última expresión.

Por ejemplo: . Se ha obtenido que

Ejercicio propuesto 3.1: Representa y comprueba que son inversas.

Ejercicio propuesto 3.2: Comprueba que hay que descomponer en dos ramas para hallar sus inversas respecto de la recta . Averigua cuáles son.

Ejercicio propuesto 3.3: Si y , comprueba que . ¿Son y funciones inversas? Comprueba que el punto está en la gráfica de

y que el punto está en la gráfica de . Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta .

4.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones lineales y=ax+b.

Son ecuaciones de primer grado en y en . Funciones cuadráticas

y=ax2+bx+c.

Se representan mediante parábolas. Para representar una parábola:

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se localiza el vértice. La del vértice se calcula . Se sustituye en la

ecuación de la parábola y se calcula la del vértice, . Si a>0, el vértice es un mínimo. Si a>0, el vértice es un máximo. Se dan algunos valores a la izquierda y a la

derecha del vértice (es simétrica). Si es necesario se calculan puntos de corte con los

ejes…

Ejemplo:

___ Funciones raiz y=√kx.

Se representan mediante parábolas con el eje paralelo al eje X. Para que sea una función sólo podemos considerar uno de los dos valores de la

raíz:

Funciones de proporcionalidad inversa y=k/x.

Su representación gráfica son hipérbolas con las asíntotas paralelas a los ejes coordenados.

Ejercicio propuesto 4.1: Representa la siguiente hipérbola.

La gráfica es como la de desplazada tres unidades a la derecha. Sus asíntotas son

el eje X y la recta x=3.

Ejercicio propuesto 4.2: Representa la siguiente hipérbola .

Vamos a escribir la función utilizando la relación:

Efectuamos la división: . Es como la de desplazada dos

unidades a la derecha y 3 arriba.

Ejercicio propuesto 4.3: Representa la siguiente hipérbola .

Realizamos la división: . La gráfica es simétrica de respecto al

eje X, desplazada dos unidades hacia la izquierda.

Funciones definidas “a trozos”.8

Son funciones que están definidas de distintas formas según los valores de . Las expresiones analíticas son peculiares:

Hay que representar cada uno de los tramos en el intervalo indicado:

Función Parte entera y=Ent(x).

Se llama parte entera de un número al mayor número entero menor o igual a . A partir de esto, definimos la función parte entera de , , que hace corresponder a cada número su parte entera.

Ejemplos:

Función Parte decimal y=Mant(x).

La parte decimal o mantisa de un número es .

Por ejemplo:

A partir de esto, definimos la función parte decimal de , , que hace corresponder a cada número su parte decimal.

Ejercicio propuesto 4.4: Representa las siguientes funciones relacionadas con la función parte entera:

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a) b) c) d)

Ejercicio propuesto 4.5: Representa:

a) b) c) Comprueba que esta última significa la distancia de cada número al entero más próximo. Su gráfica tiene forma de sierra.

Valor absoluto de una función y=|f(x)|.

Recordemos que el valor absoluto de un número coincide con si es positivo o nulo,

o con su opuesto, si es negativo: .

La función se define, en consecuencia, así:

.

En general, el valor absoluto de una función se define así:

Ejercicio resuelto 4.1: Representa la siguiente función .

Hallamos los puntos de corte de la función con el eje X:

. Por tanto, entre 1 y 4 la

gráfica sube sobre el eje X.

Ejercicio resuelto 4.2: Representa la siguiente función .

Funciones exponenciales y=ax.

Se trata de funciones definidas para todo número real, continuas, crecientes si a>1, y decrecientes si a<1. Todas ellas pasan por y por .

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La gráfica de la función es simétrica, respecto

del eje Y, de la de . La razón de esto es la siguiente:

En matemáticas superiores la función es extraordinariamente importante. Tanto es así que cuando se habla de la función exponencial, sin mencionar cuál es su base, se está haciendo referencia a ella.

Crecen más deprisa que cualquier función potencial. Por ejemplo, aunque la función al principio es mayor que , ésta “la supera” para valores suficientemente grandes de .

Funciones logarítmicas y=logax (a≥0 y a≠1).

La función inversa de es , por lo tanto ambas gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer-tercer cuadrantes (y=x)

Su crecimiento es más lento que el de cualquier función raíz. Por ejemplo, para valores muy grandes de , es menor que . Todas ellas son continuas en

y pasan por los puntos y . Si , son crecientes. Su crecimiento es muy lento, tanto más cuanto mayor sea . Si , son decrecientes.

En matemáticas superiores la función es muy importante. Es la función inversa de la exponencial de base .

Funciones seno, coseno y tangente y=sen x, y=cos x e y=tag x.

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Dos ángulos y relacionados así: se sitúan en la misma posición, tienen las mis- mas razones trígonométri- cas. Eso quiere decir que las funciones ,

e son funciones periódicas, repi- ten sus valores periódica- mente en cada intervalo de longitud .

Hacemos una tabla de valores con ángulos cono-cidos y representamos las funciones:

Función arco seno y=arc sen x.

La función es la inversa (recíproca) de la función .

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Su gráfica es simétrica de la de respecto de la recta . Sin embargo, dicha gráfica no corresponde a una función, pues a cada valor de le corresponden muchos (infinitos) valores de .

Por ejemplo, para , puede valer:

Para que sea una función, hemos de quedarnos con un trozo de gráfica que sea inyectiva, es decir, que a cada valor de le corresponda un único valor de . Cualquiera de los infinitos tramos podría servir, pero se acostumbra a seleccionar el que aparece dibujado en trazo continuo en la gráfica anterior. En definitiva, definimos la función del siguiente modo:

arc sen es una función definida en y que toma valores en , tal que:

Es una función creciente. Verifica que:

Función arco coseno y=arc cos x.

De forma análoga a como hemos hecho con la función , la función se define como función recíproca de la función coseno.

Hemos de quedarnos con uno de los tramos para que sea una función. Se suele elegir el que en la gráfica aparece en trazo continuo.

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Se define, pues, del siguiente modo:

arc cos es una función definida en y que toma valores en , tal que:

Es una función decreciente. Verifica que:

Función arco tangente y=arc tag x.

La función arco tangente ( ) se define análogamente:

arc tag es una función definida en que toma valores en , tal que:

Es una función decreciente. Verifica que:

5.- EJERCICIOS

1.- Representa las siguientes funciones:

a) b)

2.- Los costes de producción (en euros) de una empresa vienen dados por:

(q: unidades producidas). El precio de venta de cada unidad es de 520 euros.a) Expresa en función de q el beneficio de la empresa y represéntalo gráficamente.b) B) ¿Cuántas unidades hay que producir para que el beneficio sea máximo?

3.- La dosis de un fármaco comienza con 10 mg y cada día debe aumentar 2 mg hasta llegar a 20 mg. Debe seguir 15 días con esa cantidad y a partir de entonces ir disminuyendo 4 mg cada día.

a) Representa la función que describe este enunciado y determina su expresión analítica.

b) Di cuál es su dominio y su recorrido.

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4.- Representa gráficamente las siguientes funciones y defínelas como funciones a trozos.

a) b)

5.- Representa la función . A partir de ella representa también:a) b) c) d)

6.- Dadas las funciones ; , halla:

a) b) c) d)

7.- Halla la función inversa de

8.- Una taza de café recién hecho está a 75º. Después de 3 minutos en una habitación a 21ºC, la temperatura del café ha descendido a 64ºC. Si la temperatura, T, del café en cada instante t viene dada por la expresión , calcula A y k y representa la función.¿Cuánto tendremos que esperar para que la temperatura del café sea 45ºC?

9.- Representa la función . A partir de ella dibujar:

a) b) c)

d) e) f)

10.- Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) b)

11.- Representa gráficamente las siguientes funciones:a) b) c) d)

12.- Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) b) c) d)

13.- Haz una tabla de valores de la función . A partir de ella, representa su función inversa .

14.- Considera las funciones y definidas por las expresiones y .

Calcula:a) b) c) d)

15.- Halla la función inversa de estas funciones:a) b) c)

15

16.- A partir de la gráfica de , representa:a) b) c) d)

17.- Representa estas funciones:a) b) c) d)

18.- Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

19.- Con las funciones , ,

Hemos obtenido, por composición, estas otras:

; ;

Explica cómo, a partir de , y , se pueden obtener p, q y r.

20.- Halla la función inversa de las siguientes funciones:a) b)

21.- Representa y define como funciones a trozos:

a) b)

c) d)

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