nguyenduyphuc.files.wordpress.com · Web viewf(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 3) Ph¬ng ph¸p thªm, bít mét h¹ng tö

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8chuyªn ®Ò nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, ®a thøc víi ®a thøc vµ bÈy h»ng

®¼ng thøc ®¸ng nhí.I) Nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc:1. KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A. B + A. C2. Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n:

a) 3x(5x2 - 2x - 1); b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);c) x2y(2x3 - xy2 - 1); d) x(1,4x - 3,5y);

e) xy( x2 - xy + y2); f)(1 + 2x - x2)5x;

g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2; h) x2y(15x - 0,9y + 6);

i) x4(2,1y2 - 0,7x + 35);Bµi 2. §¬n gi¶n biÓu thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cña chóng.

a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) víi a = .b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) víi x = 2,1.c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 víi a = -0,2.d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) víi b =

Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau:a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).

Bµi 4. §¬n gi¶n çc biÓu tøc:a) (3b2)2 - b3(1- 5b); b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;c) (- x)3 - x(1 - 2x - x2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).

Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ çc biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);

Bµi 6. Chøng minh r»ng çc biÓu thøc sau ®©y b»ng 0;a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).

Bµi tËp n©ng caoBµi 7. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:

a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15 víi x = 79.b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 víi x = 9.c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1 víi x = 31.d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x víi x = 14.

Bµi 8. Chøng minh r»ng :a) 356 - 355 chia hÕt cho 34 b) 434 + 435 chia hÕt cho 44.

Bµi 9. Cho a vµ b lµ çc sè nguyªn. Chøng minh r»ng:a) nÕu 2a + b 13 vµ 5a - 4b 13 th× a - 6b 13;b) nÕu 100a + b 7 th× a + 4b 7;c) nÕu 3a + 4b 11 th× a + 5b 11;

II) Nh©n ®a thøc víi ®a thøc.NguyÔn Quang Huy Trêng THCS D¬ng §øc

1

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 81. KiÕn thøc c¬ b¶n: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;2. Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);c) x2y2(2x + y)(2x - y); d) ( x - 1) (2x - 3);

e) (x - 7)(x - 5); f) (x - )(x + )(4x - 1);g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4);h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);

Bµi 2.Chøng minh:a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1; b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;

Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp nh©n:a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4).

Bµi 4. ViÕt çc biÓu thøc sau díi d¹ng ®a thøc:a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);

Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ çc biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn y:a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);

Bµi 6. T×m x, biÕt:a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).

Bµi tËp n©ng caoBµi 7. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).Bµi 8. Cho a + b + c = 0. Chøng minh M = N = P víi :

M = a(a + b)(a + c);N = b(b + c)(b + a);P = c(c + a)(c + b);

Bµi 9. Sè 350 + 1 cã lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng ?HD: Tríc hÕt chøng minh tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia cho 3 th× d 0

hoÆc 2. ThËt vËy nªu trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai sè ®Òu kh«ng chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia cho 3 d 2 ( tù chøng minh). Sè 350 + 1 chia cho 3 d 1 nªn kh«ng thÓ lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp.Bµi 10. Cho A = 29 + 299. Chøng minh r»ng A 100

HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288)

NguyÔn Quang Huy Trêng THCS D¬ng §øc

2

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8III) Çc h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí1) KiÕn thøc c¬ b¶n:

1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2.1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B).1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3.1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).

2) Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. TÝnh

a) (x + 2y)2; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x)2.d) (x - 1)2; e) (3 - y)2 f) (x - )2.

Bµi 2. ViÕt çc biÓu thøc sau díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét tæng:a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + ; c) 2xy2 + x2y4 + 1.

Bµi 3. Rót gän biÓu thøc:a) (x + y)2 + (x - y)2;b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).

Bµi 4. øng dômg çc h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn çc phÐp tÝnh sau;a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2);c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);

Bµi 5. H·y më çc dÊu ngoÆc sau:a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).

Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:a) x2 - y2 t¹i x = 87 víi y = 13;b) x3 - 3x2 + 3x - 1 Víi x = 101;c) x3 + 9x2 + 27x + 27 víi x = 97;d) 25x2 - 30x + 9 víi x = 2;e) 4x2 - 28x + 49 víi x = 4.

Bµi 7. §¬n gi¶n çc biÓu thøc sau vµ tÝnh gi¸ trÞ cña chóng:a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) víi x = - 5, y = -3;b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) víi a = -4, b = 4.

Bµi 8. Sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn çc phÐp tÝnh sau:a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).

Bµi 9. T×m x, biÕt:a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9; b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.

Bµi 10.TÝnh nhÈm theo çc h»ng ®¼ng thøc çc sè sau:a) 192; 282; 812; 912; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562;

Bµi 11. Chøng mih çc h»ng ®¼ng thøc sau:NguyÔn Quang Huy Trêng THCS D¬ng §øc

3

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 -

2a2b2;c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2]; d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2

- a2b2].Çc bµi to¸n n©ng caoBµi 12. Chøng minh çc h»ng ®¼ng thøc sau:

X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;Bµi 13. H·y viÕt çc biÓu thøc díi d¹ng tæng cña ba b×nh phong:

(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.Bµi 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chøng minh r»ng a = b.Bµi 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chøng minh r»ng a = b =c.Bµi 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chøng minh r»ng a = b = c.Bµi 17. Cho a + b + c = 0 (1)

a2 + b2 + c2 = 2 (2)TÝnh a4 + b4 + c4.

Bµi 18. cho a + b + c = 0. Chøng minh ®¼ng thøc:a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;

c) a4 + b4 + c4 = ;

Bµi 19. Chøng minh r»ng çc biÓu thøc sau lu«n lu«n cã gi¸ trÞ d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn.

a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + 1.Bµi 20. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña çc biÓu thøc sau:

a) A = x2 - 3x + 5;b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;

Bµi 21. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:a) A = 4 - x2 + 2x;b) B = 4x - x2;

Bµi 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + y3.Bµi 23. Cho x + y = a; xy = b.

TÝnh gi¸ trÞ cña çc biÓu thøc sau theo a vµ b:a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5;

Bµi 24. a) cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x3 + y3 + 3xy. b) cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 - y3 - 3xy.

Bµi 25. Cho a + b = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña çc biÓu thøc sau:M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).

Bµi 26. Rót gän çc biÓu thøc sau:a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a).

Bµi 28. Chøng minh çc ®¼ng thøc sau:a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).

Bµi 29. Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc.Bµi 30. Chøng minh r»ng:

a) nÕu n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.NguyÔn Quang Huy Trêng THCS D¬ng §øc

4

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8b) nÕu 2n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh

ph¬ng.c) nÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× n2 còng lµ tæng cña hai sè

chÝnh ph¬ng.Bµi 31. a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - 1 ch÷ sè 0). Chøng minh r»ng: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.

b) Cho mét d·y sè cã sè h¹ng ®Çu lµ 16, çc sè h¹ng sau lµ çc sè t¹o thµnh b»ng çch viÕt chÌn sè 15 vµo chÝnh gi÷a sè h¹ng liÒn tríc :

16, 1156, 111556, …Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng.

Bµi 32. Chøng minh r»ng ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi a = 11…12(n ch÷ sè 1), b = 11…14(n ch÷ sè 1).Bµi 33. Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + 1 ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè 6. Chøng minh r»ng a + b + c + 8 lµ sè chÝnh ph¬ng.Bµi 34. Chøng minh r»ng çc biÓu thøc sau lµ sè chÝnh ph¬ng:

a) A = b) B = Bµi 35. Çc sè sau lµ b×nh ph¬ng cña sè nµo ?

a) A = ; b) B = ;

c) C = ; d) D = .

chuyªn ®Ò Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n töI) Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: A(B + C ) =A.B +A.C*) Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö*) Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö


5

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8


6


II) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p dung h»ng ®¼ng thøc:1) Ph¬ng ph¸p: BiÕn ®æi çc ®a thøc thµnh d¹ng tÝch nhê sö dông h»ng ®¼ng thøc

1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2

3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3

5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3

6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2)

2)Bµi tËp:Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

a) x2 - 9; b) 4x2 - 25;c) x6 - y6 d) 9x2 + 6xy + y2;e) 6x - 9 - x2; f) x2 + 4y2 + 4xyg) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2

i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + y2 k)(x + y)2 - (x - y)2 l)(3x + 1)2 - (x + 1)2

n) x3 + y3 + z3 - 3xyz.Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.

a) x3 + 8; b) 27x3 -0,001c) x6 - y3; d)125x3 - 1e) x3 -3x2 + 3x -1;f) a3 + 6a2 + 12a + 8

Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;b) M =

Bµi 4 TÝnh nhanh:a) 252 - 152; b) 872 + 732 - 272 - 132

c) 732 -272; d) 372 - 132

e) 20092 - 92

Bµi 5 T×m x, biÕta) x3 - 0,25x = 0; b) x2 - 10x = -25c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1e) x3 + 3x2 = -3x - 1Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a) 2x8 - 12x4 + 18; b) a4b + 6a2b3 + 9b5;c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12.

Bµi 7 Chøng minh r»ng çc ®a thøc sau chØ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©ma) x2 - 2xy + y2 + a2;b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1;c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;

Bµi 8 Chøng minh r»ng çc ®a thøc sau kh«ng ©m víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña çc ch÷:

a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yzc) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yzd) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz


7

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8Bµi 9 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho 8.

III) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhãm çc h¹ng tö.1) KiÕn thøc c¬ b¶n: T×m çch t¸ch ®a thøc ®· cho thµnh nhãm çc h¹ng tö thÝch hîp sao cho khi ph©n tÝch mçi nhãm h¹ng tö thµnh nh©n tö th× xuÊt hiÖn nh©n tö chung.2) Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1 Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

a) x2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x2 -3xy - 5x + 5y.d) x2 + 4x - y2 + 4; e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2;f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2;g) x2 - x - y2 - y; h) x2 - 2xy + y2 - z2; i) 5x - 5y + ax - ay;j) a3 - a2x - ax + xy; k) 7a2 -7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b;

Bµi 2 Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tö;a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy;c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;

Bµi 3 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2; b) a4 + ab3 - a3b - b4;c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2; c) x4 + x3 y - xy3 - y4;

Bµi 4 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.a) 70a - 84b - 20ab - 24b2; b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y;c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b; d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a.

Bµi 5 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3; b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3;c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ; d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2.

Bµi 6 T×m x, biÕt:a) x3 + x2 + x + 1 = 0; b) x3 - x2 - x + 1 = 0;c) x2 - 6x + 8 = 0; d) 9x2 + 6x - 8 = 0.e) x(x - 2) + x - 2 = 0; f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.

Bµi 7 TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña mçi ®a thøc sau;a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45.b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 t¹i x = 0,5

Bµi 8.TÝnh nhanh :a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;b) 452 + 402 - 152 + 80.45.

Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a).

Bµi 10. Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tö:a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2; b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3.

IV) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng çch phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p.1) KiÕn thøc c¬ b¶n:

- §Æt nh©n tö chung.- Dïng h»ng ®¼ng thøc.- Nhãm nhiÒu h¹ng tö vµ çc ph¬ng ph¸p kh¸c.

2) Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

a) x3 - 2x2 + x; b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2; c) 2xy - x2 - y2 + 16;d) a4 + a3 + a3b + a2b e) a3 + 3a2 + 4a + 12; f) a3 + 4a2 + 4a + 3;


8

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz; h) a2 + b2 + 2a -

2b - 2ab;i) 4a2 - 4b2 - 4a + 1; j) a3 + 6a2 + 12a + 8;k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3.

Bµi 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y); b) (x + y)3 - x3 - y3;c) (x - y + 4)2 - (2x + 3y - 1)2; d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2.e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc;g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2; h) x5 - 5x3 + 4x;i) x3 - 11x2 + 30x; j) 4x4 - 21x2y2 + y4;k) x3 + 4x2 - 7x - 10; l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15;o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6.

Bµi 2: T×m x, biÕt.a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0; c) x3 - x = 0;d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0 e) x2(x - 3) +12 - 4x =0.

Bµi 3. TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc:a) x2 + x + t¹i x = 49,75; b) x2 - y2 - 2y - 1 t¹i x = 93 vµ y =

6.

To¸n khã më réng:Bµi 4. a) Sè 717 + 17. 3 - 1 chia hÕt cho 9. Hái sè 718 + 18.3 - 1 cã chia hÕt cho 9 kh«ng?

b) BiÕn ®æi thµnh tÝch çc biÓu thøc:A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2].

Bµi 5. Chøng minh çc h»ng ®¼ng thøc sau:1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1 Víi x2 + y2 = 12) x4 + x2y2 + y4 = a2 - b2 víi x2 + y2 = a, xy = b3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0 víi ab = a + b.4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 víi a + b + c = 2p.

Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - 2 - 1.b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - 1 víi x = 11.

Bµi 7. Rót gän:a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1).b) Më réng: B =

Bµi 8. Chøng minh:a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b

+ c = 0Bµi 9. Chøng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2) víi a + b + c = 0.Bµi 10. Tæng çc sè nguyªn a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng

A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho 3V) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.1) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c. 1.1) §a thøc d¹ng f(x) = ax2 + bx + c.

- Bíc 1: T×m tÝch ac.- Bíc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch cña hai thøa sè nguyªn b»ng mäi çch.


9

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8- Bíc 3: Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b.

Çc bµi tËp ¸p dông d¹ng nµy:Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a) 4x2 - 4x - 3; b) x2 - 4x + 3; c) x2 + 5x + 4;d) x2 - x - 6; e) x2 + 8x + 7; f) x2 - 13 x + 36;g) x2 +3x - 18; h) x2 - 5x - 24; i) 3x2 - 16x + 5;j) 8x2 + 30x + 7; k) 2x2 - 5x - 12; l) 6x2 - 7x - 20.

1.2) §a thøc tõ bËc ba trë lªn ngêi ta dïng ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.a) Chó ý: nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× nã chøa thõa sè x - a.

Trong ®ã a lµ íc sè cña an,, víi f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an.b) VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4.

LÇn lît kiÓm tra víi x = 1, 2, 4, ta thÊy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0. §a thøc cã nghiÖm x =2, do ®ã chøa thõa sè x - 2.Ta t¸ch nh sau:Çch 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4

= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)= ( x - 2)(x2 + x + 2).

Çch 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)= (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2)= (x - 2)(x2 + x + 2).

2) Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: Khi mét ®a thøc phøc t¹p, hoÆc cã bËc cao, ta cã thÓ ®Æt Èn phô nh»m “ gi¶m bËc” cña ®a thøc ®Ó ph©n tÝch.

2.1) VÝ dô. Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tö:a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12. b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.HD: a) §Æt y = x2 + x + 1, khi ®ã ®a thøc f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4)Thay ngîc trë l¹i y = x2 + x + 1 vµo ®a thøc f(x) ta ®îc:f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24

= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x + 4= y2 + 2y - 24= (y - 4)(y + 6)

Thay ngîc trë l¹i y = x2 + 5x + 4 ta ®îcf(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)3) Ph¬ng ph¸p thªm, bít mét h¹ng tö thÝch hîp ®Ó lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph¬ng.*) VÝ dô: Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tö

a) x8 + x4 + 1;b) x4 + 4;

HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1)= [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2]= [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( x)2]= (x2 +1 - x)(x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + x)

*) Bµi tËp ¸p dông : Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

a) f(x) = x4 + 324 b) f(x) = x8 + 1024; c) f(x) = x8 + 3x4+ 4


10


Bµi 2. a) Ph©n tÝch n4 +

b) ¸p dông: Rót gän S =

4) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: Tríc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng cña çc thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n cho çc biÕn çc gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i.

a) VÝ dô: Ph©n tÝch thµnh thõa sè:P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).

Gi¶i: Thö thay x bëi y th× P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Nh vËy P chøa thõa sè x = ynÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P kh«ng ®æi. Do ®ã P chøa thõa sè cã d¹ng (x - y), (y - z), (z - x). vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x).V× ®¨ngt thøc x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) ®óng víi mäi x, y, z, Nªn ta g¸n x = 2, y = 1, z = 0 vµo ®¼ng thøc ta ®îc:

4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k k = -1vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x)

Çc bµi tËp ¸p dông cña çc d¹ng trªn.Bµi 1: Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè

a) 6x2 - 11x + 3; b) 2x2 + 3x - 27;c) 2x2 - 5xy + 3y2; d) 2x2 -5xy - 3y2.

Bµi 2. Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè:a) x3 + 2x - 3; b) x3 - 7x + 6;c) x3 + 5x2 + 8x + 4; d) x3 - 9x2 + 6x + 16;e) x3 - x2 - 4; f) x3 - x2 - x - 2;g) x3 + x2 - x + 2; h) x3 - 6x2 - x + 30.

Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (b»ng nhiÒu çch).x3 - 7x - 6.

Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4; b) 2x3 - x2 + 5x + 3.

Bµi 5. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15; b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12; d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) -

24;e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4

f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2;g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.

Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn - §Æt Èn phô)

a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abcHD: §Æt x = a + b, y = a - b.

Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:a) 4x4 - 32x2 + 1; b) x6 + 27;c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2; d) (2x2 - 4)2 + 9;e) 4x4 + 1; f) 64x4 + y4;g) x4 + 324; h) x8 + x + 1;


11

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8i) x7 + x5 + 1; j) x8 + x4 + 1;k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 - 1.

Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnha) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +

10c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63.

Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:x8 + 98x2 + 1.

Bµi 10. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ( Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ d¬ng).a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c

+ a - b).b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c

chuyªn ®Ò chia ®a thøc cho ®a thøcI) Chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc (trêng hîp ®¬n thøc A chia hÕt cho ®¬n thøc B).1) Ph¬ng ph¸p:

- Chia hÖ sè cña ®¬n thøc A cho hÖ sè cña ®¬n thøc B.- Chia tõng luü thõa cña tõng biÕn trong A cho luü thõa cña biÕn ®ã cã

trong B.- Nh©n çc kÕt qu¶ t×m ®îc víi nhau.

1) VÝ dô vµ bµi tËp:Bµi 1. Lµm phÐp tÝnh chia:

a) 10015 : 10012; b) (-79)33 : (- 79)32;

c) ; d) .

Bµi 2. Chia çc ®¬n thøc:a) -21xy5z3 : 7xy2z3; b) ( a3b4c5) : a2bc5;c) x2yz : xyz; d) x3y4 : x3y;e) 18x2y2z : 6xyz; f) 5a3b : (-2a2b);g) 27x4y2z : 9x4y; h) 9x2y3 : (-3xy2);i) ( m2n4) : m2n2; j) 5x4y3z2 : 3xyz2;

k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2); l) (a - b)5 : (b - a)2;n) (x + y)2 : (x + y); m)(x - y)5 : (y - x)4;o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3; ¬) 0,5ambnc3 : ( a2bc);p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c).

Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:(-x2y5)2 : (-x2y5) t¹i x = vµ y = -1.

Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp chia:a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy; b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( x);

c) ( a3b6c2 + a4b3c - a5b2c3) : a3bc;d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2

e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2).


12

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8Bµi 5. Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× thùc hiÖn ®îc çc phÐp chia ®¬n thøc sau? Víi ®iÒu kiÖn t×m ®îc h·y thùc hiÖn phÐp chia ®ã .

a)x2n : xn + 3; b) 3xny2 : 4x2y;c) 6x3y5 : 5xny2; d) xnyn+2 : 3x3y4.

II) Chia ®a thøc cho ®¬n thøc.1) Ph¬ng ph¸p: Chia ®a thøc A cho ®¬n thøc B.

- Chia mçi h¹ng tö cña ®a thøc A cho ®¬n thøc B.- Céng çc kÕt qu¶ l¹i víi nhau.

2) Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

a) (7. 35 - 34 + 36) : 34; b) (163 - 642) : 83;Bµi 2. Lµm tÝnh chia:

a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2; b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2; d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2);

e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + a4);f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2.g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2; h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b);i) (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (2x + 2y).

Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 + a2mnbn-1cp+2x) : (-3a3-mb5c4);b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy.d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N).

Bµi 4. Lµm tÝnh chia:a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2 b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y);c) (x3 - 8y3) : (x + 2y);d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3

e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3.Bµi 5. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = -2.

A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3.III) Chia ®a thøc mét biÕn ®· s¾p xÕp:1) Ph¬ng ph¸p chung:- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc bÞ chia cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia th× ®îc h¹ng tö cao nhÊt cña th¬ng.- Nh©n h¹ng tö cao nhÊt cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy ®a thøc bÞ chia trõ ®i tÝch võa t×m ®îc, ta ®îc d thø nhÊt.- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc d thø nhÊt cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia ta ®îc h¹ng tö thø hai cña th¬ng.- Nh©n h¹ng tö thø hai cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy d thø nhÊt trõ ®i tÝch võa t×m ®îc, ta ®îc d thø hai.- LÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn cho ®Õn khi:

+) nÕu d cuèi cïng b»ng 0 th× phÐp chia cã d b»ng 0 vµ ®îc gäi lµ phÐp chia hÕt.

+) nÕu d cuèi cïng kh¸c 0 vµ bËc cña ®a thøc d thÊp h¬n bËc cña ®a thøc chia th× phÐp chia ®ã ®îc gäi lµ phÐp chia cã d.2) Ký hiÖu:

A(x) lµ ®a thøc bÞ chia;B(x) lµ ®a thøc chia;Q(x) lµ ®a thøc th¬ng;


13

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8R(x) lµ ®a thøc d;

Ta lu«n cã: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);- NÕu R(x) = 0 th× A(x) = B(x) . Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt.- NÕu R(x) 0 th× A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña B(x)) gäi lµ phÐp chia cã d.3) Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Lµm tÝnh chia:

a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5); b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3);c) (2x4 + x3 - 5x2 - 3x - 3) : (x2 - 3);

Bµi 2. S¾p sÕp çc ®a thøc sau theo luü gi¶m dÇn thõa cña biÕn:a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2);b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x);c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1);d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3);e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2);f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5);h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2);j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2);k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2);l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1);n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5);m) (x4 - x - 14) : (x - 2).

Bµi 3. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt;

a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5).

HD:a) KÝ hiÖu sè d lµ r, ta cã thÓ biÕt:x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + rTrong ®¼ng thøc trªn ®Æt x = -3, ta ®îc:

r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9vËy d trong phÐp chia lµ 9.b) Ta thÊy ngay th¬ng trong bíc thø nhÊt cña phÐp chia lµ 3x vµ do ®ã ®a

thøc d thø nhÊt lµ 2x - 1. V× 2x - 1 cã bËc nhá h¬n 3x2 - 2x + 5 nªn kh«ng thÓ thùc hiÖn tiÕp phÐp chia ®îc n÷a. Do ®ã phÐp chia kh«ng lµ phÐp chia hÕt vµ ®a thøc d lµ 2x - 1.Bµi 4 . Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, xÐt xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt.

a) (8x2 - 6x + 5) : (x - ); b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1);c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1);d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1).

Bµi 5. TÝnh nhanh:a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a);b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a);c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1);d) (64a3 - b3) : (16a2 + ab + b2).

4) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó t×m ®a thøc th¬ng vµ ®a thøc d:4.1) Ph¬ng ph¸p ®Æt phÐp chia:NguyÔn Quang Huy Trêng THCS D¬ng §øc

14

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8VÝ dô: X¸c ®Þnh çc sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

+ x + 2.Gi¶i

Thùc hiÖn phÐp chia x3 + ax + b x2 + x - 2x3 + x2 - 2x -x2 + (a +2)x + b x - 1

-x2 - x + 2 (a + 3)x + (b -2)

§Ó chia hÕt, ®a thøc d ph¶i ®ång nhÊt b¨ng 0, nªn :

vËy víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 2.4.2) Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.- NÕu hai ®a thøc f(x) vµ g(x) b»ng nhau víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn sè x th× ngêi ta goi lµ hai ®a thøc h»ng ®¼ng hoÆc hai ®a thøc ®ång nhÊt. KÝ hiÖu f(x) g(x).- Hai ®a thøc (®· viÕt díi d¹ng thu gän) ®îc gäi lµ ®ång nhÊt (h»ng ®¼ng) khi vµ chØ khi çc hÖ sè cña çc ®¬n thøc ®ång d¹ng chøa trong hai ®a thøc ®ã lµ b»ng nhau.*) VÝ dô: X¸c ®Þnh çc sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

+ x + 2.Gi¶i

§a thøc bÞ chia cã bËc lµ ba, ®a thøc chia cã bËc hai, nªn th¬ng lµ mét nhÞ thøc bËc nhÊt, h¹ng tö bËc nhÊt lµ x3 : x2 = x.Gäi th¬ng cña phÐp chia lµ x + c, ta cã:

x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c.

Hai ®a thøc trªn ®ång nhÊt nªn :

VËy víi a = -3, b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2, th¬ng lµ x - 1.4.3) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng.*) VÝ dô: X¸c ®Þnh çc sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

+ x + 2.Gi¶i

Gäi th¬ng cña phÐp chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 lµ Q(x), ta cã:x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)

V× ®¼ng thøc ®óng víi mäi x, nªn lÇn lît cho x = 1, x = -2 ta ®îc :

Víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2 vµ th¬ng lµ x - 1.4.4) Ph¬ng ph¸p vËn dông vµo ®Þnh lý B¬du

a) §Þnh lý: Sè d trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x = a.(NghÜa lµ r = f(a)).

b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a khi vµ chØ khi f(a) = 0Çc bµi tËp ¸p dông cho çc ph ¬ng ph¸p trªn.


15

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8Bµi 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cña mét ®a thøc.

HD: sö dông ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh, ta cã ha ®¸p sè.x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2

x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2

Bµi 2. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2

- x - 2.HD: sö dông ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng, ta ®îc kÕt qu¶ a = 2; b = - 4.

Bµi 3. X¸c ®Þnh çc hÖ sè a vµ b sao cho:a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1;b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d -6, chia cho x - 1 d 21.

HD: ta cã kÕt qu¶a) a = 1; b = 1;b) a = 3; b = -1.

Bµi 4. T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc

x + 1;b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2x2 + x - 7 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x - 2.

HDa) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d lµ -3

Suy ra -3 (x + 1) x {0; -2; 2; -4}.b) x {3; 1; 5; -1}.

Bµi 5. Cho ®a thøc A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuéc Q). X¸c ®Þnh a sao cho A(x) chia hÕt cho x + 1.

HD*) Çch 1. (§Æt phÐp chia ®a thøc).

A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho ®a thøc (x + 1) ®îc th¬ng lµ a2x2 + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) vµ ®a thøc d lµ -a2 + a + 6- §Ó ®a thøc A(x) chia hÕt cho ®a thøc x + 1 th× ®a thøc d ph¶i b»ng 0, tøc lµ

-a2 + a + 6 = 0, gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc a = -2; a = 3.*) Çch 2. (Dïng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh).

+) T×m h¹ng tö bËc cao nhÊt a2x3 : x = a2x2, h¹ng tö bËc thÊp nhÊt -2a : 1 = -2a

+) BiÓu diÔn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau ®ã dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt ®Ó t×m ra a = -2; a = 3 vµ kÕt luËn.*) Çch 3. (Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng).Bµi 6. X¸c ®Þnh h»ng sè a sao cho:

a) 10x2 - 7x + a chia hÕt cho2x - 3;b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4;c) ax5 + 5x4 - 9 chia hÕt cho x - 1.

Bµi 7. X¸c ®Þnh çc h»ng sè a vµ b sao cho:a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 - x + 1;b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10;c) ax4 + bx3 + 1 chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2;d) x4 + 4 chia hÕt cho x2 + ax + b.

Bµi 8. T×m çc h»ng sè a vµ b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 th× d 7, chia cho x - 3 th× d - 5.

Chuyªn ®Ò ph©n thøc ®¹i sèI) Ph©n thøc ®¹i sè:1) KiÕn thøc c¬ b¶n:


16

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8a) §Þnh nghÜa: Mét ph©n thøc ®¹i sè (hay nãi gän lµ ph©n thøc) lµ mét

biÓu thøc cã d¹ng , trong ®ã A, B lµ nh÷ng ®a thøc, B lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0

A lµ tö thøc (tö).B lµ mÉu thøc

Mçi mét ®a thøc còng ®îc coi lµ mét ®a thøc cã mÉu lµ 1.b) Hai ph©n tøc b¼ng nhau:

Víi hai ph©n thøc vµ , ta nãi = nÕu A.D = B.C 2) Bµi tËp:Bµi 1. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau chøng minh çc ®¼ng thøc sau:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) .Bài 2. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau, h·y t×m ®a thøc A trong mçi ®¼ng thøc sau.

a) ; b) ;

c) ; d) .Bµi 3. B¹n Lan viÕt çc ®¼ng thøc sau vµ ®è çc b¹n trong nhãm häc tËp t×m ra chç sai. Em h·y söa sai cho ®óng.

a) ; b) ;

c) ; d) .Bµi 5. Ba ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng?

.Bµi 6. T×m tËp x¸c ®Þnh cña çc ph©n thøc sau:

a) ; b) ;

c) ; d) .Bµi 7. t×m çc gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó çc biÓu thøc sau b»ng 0.

a) ; b) ;


17


c) ; d) ;

e) ; f) .Bµi 8. T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó çc ph©n thøc sau nhËn gi¸ trÞ nguyªn:

a) ; b) ; c) ;II) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè:1) KiÕn thøc c¬ b¶n: a) TÝnh chÊt: - TÝnh chÊt 1: (M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0).

- TÝnh chÊt 2: (M lµ nh©n tö chung kh¸c 0).

b) Quy t¾c ®æi dÊu: .2) Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc, h·y ®iÒn mét ®a thøc thÝch hîp vµo chç trèng trong çc ®¼ng thøc sau:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) .Bµi 2. BiÕn ®æi mçi ph©n thøc sau thµnh mét ph©n thøc b»ng nã vµ cã tö thøc lµ ®a thøc A cho tríc.

a) ; b) ;

Bµi 3. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng tö thøc.

a) vµ ; b) vµ ;Bµi 4. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc hoÆc quy t¾c ®æi dÊu ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng mÉu thøc:

a) vµ ; b) vµ ;

c) vµ ; d) vµ ;Bµi 5. Çc ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng?

a) vµ ; b) vµ ;

c) vµ ; d) vµ ;


18

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8Bµi 6. H·y viÕt çc ph©n thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc cã mÉu thøc lµ 1 - x3;

a) ; b) ; c) .Bµi 7. ¸p dông quy t¾c ®æi dÊu ®Ó viÕt çc ph¬ng tr×nh b»ng çc ph©n thøc sau:

a) ; b) ;

c) ; d) .Bµi 8. ViÕt çc ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng mÉu thøc:

a) vµ ; b) vµ ;

c) vµ ; d) vµ .Bµi 9. ViÕt çc ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng tö thøc:

a) vµ ; b) vµ ;

c) vµ ; d) vµ ;III) Rót gän ph©n thøc1) Ph¬ng ph¸p:- Ph©n tÝch c¶ tö vµ mÉu thµnh nh©n tö (nÕu cÇn) ®Ó t×m nh©n tö chung.- Chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung ®ã.2) Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Rót gän çc ph©n thøc sau:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) . J) ;

k) ; l) ;

n) ; m) ;

o) ; ¬) ;

p) ; q) ;

v) ; u) ;


19


) ; x) ;

y) ; z) .Bµi 2. Chøng minh çc ®¼ng thøc sau:

a) ; b) .Bµi 3. §æi dÊu ë tö hoÆc ë mÉu råi rót gän ph©n thøc:

a) ; b) .Bµi 4. TÝnh gi¸ trÞ cña çc biÓu thøc sau:

a) víi a = 3, x = ; b) víi x = 98

c) víi x = ; d) víi x = ;

e) víi a = , b = ; f) víi a = 0,1;

g) víi x + 2y = 5; h) víi 3x - 9y = 1.

Bµi 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = .Bµi 6. Chøng minh çc biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.

a) ; b) ;Bµi tËp n©ng cao.Bµi 7. Rót gän çc biÓu thøc.

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) ; j) ;

k) ; l) .

n) ; m) ;

o) ; ¬) ;

p) ; q) ;


20


u) ; ) .Bµi 8. T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó çc ph©n thøc sau b»ng 0.

a) ; b) .Bµi 9. ViÕt gän biÓu thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc.

A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1). HD: Nh©n biÓu thøc A víi x2 + x + 1, tõ ®ã xuÊt hiÖn nh÷ng biÓu thøc liªn hîp nhauBµi 10. Rót gän biÕt r»ng x + y + z = 0.

Bµi 11. TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc A = , biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x <0.

HDTa cã A2 =

Do 2y < 3x < 0 . vËy A = .

Bµi 12. Rót gän biÓu thøc: P = .HD

XÐt n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]Do ®ã P =

Bµi 13. Cho ph©n sè A = (mÉu cã 99 ch÷ sè 0). TÝnh gi¸ trÞ cña A víi 200 ch÷ sè thËp ph©n.

HDTa cã A = . Nh©n tö vµ mÉu víi 10100 - 1, ta ®îc:

A=

(Theo quy t¾c ®æi sè thËp ph©n tuÇn hoµn ®¬n ra ph©n sè).Bµi 14. Cho ph©n thøc: M =

a) T×m çc gi¸ trÞ cña a, b, c ®Ó ph©n thøc cã nghÜa.b) Rót gän biÓu thøc M.

HD:a) §iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ mÉu thøc k¸c 0.

XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0 a + b = b + c = c + a a = b = c.


21

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8vËy ®iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng 0, tøc lµ a2 + b2 c2 0.

b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do ®ã dÆt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y. Khi ®ã (a + b + c)2 = x + 2y.Ta cã M = (§iÒu kiÖn lµ a2 + b2 c2 0)IV) Quy ®ång mÉu thøc.1) T×m mÉu thøc chung cña nhiÒu ph©n thøc:- Ph©n tÝch çc mÉu thµnh nh© tö (nÕu cÇn).- LËp tÝch çc nh©n tö b»ng sè vµ ch÷:

+) Nh©n tö b»ng sè lµ BCNN cña çc sè ë mÉu.+) Nh©n tö b»ng ch÷ lµ luü thõa víi sè mò lín nhÊt.

2) Bµi tËp ¸p dông Çc bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao.Bµi 1. Quy ®ång mÉu thøc çc ph©n thøc sau:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f)

g) ; h) .Bµi 2. Quy ®«ng mÉu thøc çc ph©n thøc sau.

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) ;

j) ; k) ;

l) .Bµi 3. Quy ®ång mÉu thøc çc ph©n thøc:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) .


22

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8Bµi 4. Quy ®ång mÉu thøc çc ph©n thøc (cã thÓ ®æi dÊu ®Ó t×m MTC cho thuËn tiÖn).

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) .Bµi 5. Rót gän råi quy ®ång mÉu thøc çc ph©n thøc sau.

a) ; b) ;

c) ;

d) .Bµi 6. Cho biÓu thøc B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 vµ hai ph©n thøc

a) Chia ®a thøc B lÇn lît cho çc mÉu cña hai ph©n thøc ®· cho.b) Quy ®ång mÉu thøc cña hai ph©n thøc ®· cho.

Bµi 7. Cho hai ph©n thøc: . Chøng tá r»ng cã thÓ chän ®a thøc x3 - 7x2 + 7x + 15 lµm mÉu thøc cung ®Ó quy ®ång mÉu thøc hai ph©n thøc ®· cho. H·y quy ®ång mÉu thøc.V) PhÐp céng çc ph©n thøc ®ai sè.1) Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Céng tö víi tö vµ gi÷ nguyªn mÉu2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau:- Quy ®ång mÉu thøc çc ph©n thøc.- Céng hai ph©n thøc cïng mÉu (sau khi ®· quy ®ång).3) Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Céng çc ph©n thøc cïng mÉu thøc:

a) ; b) ;

c) ; d) .Bµi 2. Céng çc ph©n thøc kh¸c mÉu thøc:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;Bµi 3. Dïng quy t¾c ®æi dÊu ®Ó t×m mÉu thøc chung råi thùc hiÖn phÐp céng.

a) ; b) ;


23


c) ; d) ;

e) .Bµi 4. Céng çc ph©n thøc:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .Bµi 5. Lµm tÝnh céng çc ph©n thøc.

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) ;Bµi 6. Cho hai biÓu thøc:

A = , B = Chøng tá r»ng A = B.Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :

a) A = víi x = 10;

b) B = víi x = -99Çc bµi tËp n©ng cao

Bµi 8. T×m çc sè a vµ b sao cho ph©n thøc viÕt ®îc thµnh HD: Dïng mét trong hai ph¬ng ph¸p (hÖ sè bÊt ®Þnh hoÆc xÐt gi¸ trÞ riªng)

®Ó t×m a vµ b sau khi quy ®ång.Bµi 9. Chøng minh çc biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo x

a) ; b) .Bµi 10. Céng çc ph©n thøc :

.


24

Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8(§Ò thi häc sinh giái líp 8 toµn quèc 1980)

Bµi 11. Rót gän biÓu thøc :A = .

Bµi 12. T×m çc sè A, B, C ®Ó cã :.

Bµi 13. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc :.

VI) PhÐp trõ çc ph©n thøc ®¹i sè.1) Ph©n thøc ®èi:- Hai ph©n thøc ®îc gäi lµ ®èi nhau nÕu tæng cña chóng b»ng 0.- C«ng thøc: vµ .2) PhÐp trõ:- Quy t¾c: Muèn trõ ph©n thøc cho ph©n thøc , ta céng víi ph©n thøc

®èi cña

- C«ng thøc: 3) Bµi tËp ¸p dông:Bµi 1. Lµm tÝnh trõ çc ph©n thøc:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) ;

i) ; j) ;

k) ; l) ;

n) ; m) .Bµi 2. Theo ®Þnh nghÜa cña phÐp trõ, khi viÕt

.¸p dông ®iÒu nµy ®Ó lµm çc phÐp tÝnh sau:

a) ; b) .Bµi 3. rót gän çc biÓu thøc :

a) ; b) ;


25


c) .Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

a) ;

b) .Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ cña çc biÓu thøc:

a) A = víi x = 99;

b) B = víi x = .Çc bµi to¸n n©ng caoBµi 6. Rót gän çc biÓu thøc :

a) A = ;

b) B = ;HD: Thùc hiÖn nh©n hai vÕ víi 3 ta ®îc 3.B =

Tõ ®ã ta cã

XÐt tõng sè h¹ng cô thÓ :

…..

=

Hay 3.B =

c) C = .HD : Thùc hiÖn nh phÇn trªn

Bµi 7. Chøng minh çc biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo çc biÕn x, y, z..

Bµi 8. Thùc hiÖn phÐp tÝnh :a) ;

b) ;


26


c) ;

d) ;Bµi 9. X¸c ®Þnh çc sè h÷u tû a, b, c sao cho:

a) ;

§¸p sè: Dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt ta ®îc a = , c = , b = .

b) ; (§S : )

c) . (§S: a = -1; b = 1; c = 1)Bµi 10. Cho abc = 1 (1)

(2)Chøng minh trong 3 sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng 1.

HDTõ (2) :Do abc = 1 nªn a + b + c = ab + bc + ca (3)§Ó chøng minh trong 3 sè a, b, c cã mét sè b»ng 1 ta chóng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0XÐt (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)

= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)Tõ (1) vµ (3) suy ra biÓu thøc trªn b»ng 0, tån t¹i mét trong ba thõa sè a - 1, b - 1, c - 1 b»ng 0, do ®ã tån t¹i mét trong ba sè a, b, c b»ng 1.Bµi 11. Cho 3y - x = 6. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = .

HD : A = .

Bµi 12. T×m x, y, z biÕt : .HD:

Tõ suy ra :

Bµi 13. T×m x, y biÕt: .HD

Ta cã


27


Cã bèn ®¸p sè nh sau:

x 1 1 -1 -1y 1 -1 1 -1

Bµi 14. Cho biÕt : (1), (2). Chøng minh r»ng a + b + c = abc.

HDTõ (1) suy ra :

Do (2) nªn :

Bµi 15. Cho (1) (2). TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: .HD

Tõ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3)Tõ (2) suy ra :

Do ®ã :

Bµi 16. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 vµ a, b, c kh¸c 0. CMR: .HD

Tõ gi¶ thiÕt suy ra : ab + bc + ca = 0.Do ®ã : Sau ®ã chøng minh r»ng nÕu x + y + z = 0 th× x3 + y3 + z3 = 3xyz.Bµi 17. Cho . Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nhau.

HDTõ gi¶ thiÕt suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b

Tãm l¹i mét trong çc thõa sè c- b, a - b, a - c b»ng 0. Do ®ã trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nhau.Bµi 18. T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó ph©n thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn :

a) ; (§S : )

b) ; (§S : )

c) . (§S :


28


Bµi 19. Rót gän biÓu thøc :HD

Rót gän b»ng çch quy ®ång tõng ®«i mét :

=Chó ý: Khi tr×nh bµy ph¶i viÕt thªm ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa.Bµi 20. Rót gän biÓu thøc :

B =

HD Ta t¸ch tõng ph©n thøc thµnh hiÖu cña ph©n thøc råi dïng ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp, ta ®îc :

Do ®ã B = VII) PhÐp nh©n çc ph©n thøc ®¹i sè.1) KiÕn thøc c¬ b¶n: .2) TÝnh chÊt c¬ b¶n: - Giao ho¸n:

- KÕt hîp:

- Ph©n phèi ®èi víi phÐp céng: .3) Bµi tËp c¬ b¶n: Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n ph©n thøc :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) . h) ;

i) ; j) ;

k) ; l) .Bµi 2. Rót gän biÓu thøc (chó ý thay ®æi dÊu ®Ó thÊy ®îc nh©n tö chung).

a) ; b) ;


29


c) .Bµi 3. Ph©n tÝch çc tö thøc vµ mÉu thøc (nÕu cÇn th× dïng ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö hoÆc t¸ch mét sè thµnh hai sè h¹ng) råi rót gän biÓu thøc :

a) ; b) ;

c) .Bµi 4. ¸p dông tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng ®Ó rót gän biÓu thøc:

a) ;

b) .

c) ;Bµi 5. Rót gän biÓu thøc :

a) ; b) .

c) ;Bµi 6. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc :

víi x = 15, y = 5.

Bµi 7. Chøng minh r»ng :.


30

Documents

nguyenduyphuc.files.wordpress.com · Web viewf(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) 3) Ph¬ng ph¸p thªm, bít mét h¹ng tö