Upload
others
View
11
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
KELILING DAN LUAS LINGKARAN
Theorema 10.5.
Bukti :
Maka C didefinisikan sebagai limit limn→∞pndari parameter pn dari segi - n
yang beraturan yang digambarkan dalam lingkaran (gambar 10.15).
Gambar 10. 15
Ingatlah bagaimana rumus C = 2πr diambil dari Geometri Euclidean. Dari
gambar 10.15 dan Trigonometri Euclidean kita melihat bahwa :
1
Keliling C dari sebuah lingkaran yang jari – jarinya r dinyatakan
dengan
Keliling C dari sebuah lingkaran yang jari – jarinya r dinyatakan
dengan
Keliling C dari sebuah lingkaran yang jari – jarinya r dinyatakan dengan
C = 2π sinh r
Dalam hiperbola, kita menggunakan rumus (10) dari teorema 10.3 untuk
mendapatkan :
Yang dikembangkan menjadi :
(dimana p = pn untuk kesederhanaan tripografi). Pengalian kedua sisi dengan 2n
dan pengambilan limn→∞akan memberikan rumus yang akan dicari (catatan : untuk
lingkaran yang jari – jarinya sangat kecil, rumus hiperbola diturunkan ke rumus
Euclidean)
Teorema ini memungkinkan kita untuk menulis kembali “Aturan Sinus” (14)
dalam bentuk yang valid dalam geometri netral.
2
pn=r2n sin πn=r 2n[ πn− 1
3 ! ( πn )3
+ 15 ! ( πn )
5
−. . .]=2πr−2 r π2
π2 [ π3 !− 15 ! (πn )
3
+ . ..]limn→∞
pn = 2πr
sinh( p2n )=sinh r sin( πn )
p2n [1+ 1
3! ( p2n )
2
+ 15 ! ( p
2n )4
+. . .]= πn
sin r [1− 13 ! ( πn )
2
+ 15 ! ( πn )
4
−. ..]
Akibat (J. Bolyai)
Sinus dari sudut – sudut sebuah segitiga dari satu ke yang lain merupakan
keliling lingkaran yang jari – jarinya sama ke sisi yang berlawanan.
Bolyai menunjukkan bahwa keliling dari sebuah segitiga yang jari – jarinya
r dengan Or yang hasilnya ditulis dalam bentuk :
Anggaplah rumus berikutnya untuk luas. Dengan teorema 10.1 dan kaidah
kita k = 1, luas K dari sebuah segitiga sama dengan defeknya dalam radian,
seperti :
Kita akan menghitung defek ini untuk sebuah segitiga dengan sudut yang
benar di C, sehingga
Teorema 10.6 :
Untuk geometri Euclidean, rumus luas K adalah K=a2. b2
3
Oa : Ob : Oc = sin A : sin B : sin C
K = π−A−B−C
K= π2−( A+B )
tan K2
=tanh p4 n
tanh a2
Bukti :
Langkah – langkah utama dalam pembuktian :
Langkah 2 diperoleh dengan mengsubsitusi rumus (12) ke dalam cosh a dan
cosh b dan menyelesaikan jumlah aljabar dengan menggunakan identitas
trigonometri. Langkah 3 hanya menggunakan identitas cos ( π2 −x) = sin x
Teorema 10.7.
4
tanh2 a2
tanh2 b2 =
(cosh a )−1(cosh a )+1
(coshb )−1(cosh b )+1
= 1−sin ( A+B )1+sin (A+B )
cos ( A−B )cos ( A−B )
= 1−cosK1+cosK
= tan2 K2
Langkah 1 dan 4 hanyalah identiras untuk tanh2( x2 ) dan tanh2( x2 ).
Luas lingkaran dengan jari – jari r adalah 4 r sinh2( r2 )
Bukti :
Di sini kita mendefinisikan luas A dari sebuah lingkaran menjadi limit
limn→∞
Kn dari luas Kn pada segi – n beraturan yang dituliskan. Berdasarkan gambar
10.15. dengan menggunakan teorema sebelumnya dan menulis a, K, p utnuk an ,
Kn , pn, kita memiliki :
Jika kita mengalikan kedua ruas dengan 4n dan menuju ke limit n→∞, kita
peroleh :
Dengan menggunakan limn→∞pn=C, limn→∞
an=r, kontinuitas untuk tan dan tanh,
rumus tersebut menjadi :
Kemudian kita subsitusikan pada rumus (16) untuk C dari teorema 10.5.
dan menggunakan identitas :
5
tan K4 n
=tanh p4 n
tanh a2
A=C tanh r2 . . . .(16)
4 n tan K4n = K + K3 ( K
4n )2
+. . .
4 n tanh p4n = p −p
3 ( p4n )
2
+. . .
Untuk membuktikan teorema 10.7.
Dengan memperluas rumus ini dalam sebuah barisan, kita dapat melihat
berapa besarnya luas lingkaran hiperbola dengan menggunakan lingkaran
Euclidean dengan jari – jari yang sama :
Catatan untuk geometri Eliptik
Rumus keliling dan luas sebuah lingkaran dengan jari – jari r adalah :
Rumus bolyai valid dalam geometri eliptik (jadi benar sebuah teorema dalam
geometri mutlak)
6
tanh r2= sinh r
cosh r+1
sinh2 r=cosh2r−1
2 sinh2 r2=cosh2 r−1
A=π (r2+ r 4
12+. . .)
C=2π sin r
A=4 π sin2( r2 )
SEGI EMPAT SACCHERI DAN LAMBERT
Berikutnya kita akan mengulang segi empat Saccheri dengan alas b, panjang
kaki a dan tinggi c. anda lihat di latihan 1, bab 6, bahwa c ¿ b. sekarang kita
membuatnya lebih tepat.
Teorema 10.8.
(karena cosh2a=1+sinh 2a>1 , hal ini menunjukkan bahwa sin( c2 ) ¿ sin b2 , oleh
karena itu c¿ b)
Bukti :
Teorema 10.8 dibuktikan dengan d = AB' dan θ = (∢ A ' AB' ) dalam gambar
10.16, dengan menggunakan rumus (13) dari teorema 10.4 untuk mendapatkan “
dengan menggunakan (10) dan (11) dari teorema 10.3 untuk mendapatkan :
Dan mengeliminasi d untuk mendapatkan
7
Untuk segi empat Saccheri : sinh c2=cosh a. sinh b
2
cos c = cos a. cos d – sin a. sin d cos θ
cosθ=sin( π2 −θ)= sinh asinh d
cosh c = cosh2acoshb−sinh 2a
= cosh2a¿
A’ c B’
a d a
θ
A b B
Gambar 10.16
Sehingga diperoleh identitas
Akibat :
Dengan diberikannya segi empat Lambert, jika c adalah panjang sebuah sisi
yang berdekatan dengan sudut lancip dan b adalah panjang sisi yang berlawanan,
sehingga
dimana a adalah panjang sisi berdekatan lainnya dengan sudut lancip ) secara
khusus, c¿ b).
8
2sinh2 x2=cosh x−1
sinh c = cosh a sinh b,
Akibat yang ditimbulkan dari sisi empat Lambert adalah setengah dari segi
empat Saccheri (lihat gambar 10.17)
Ada rumus lainnya untuk segi empat Lambert yang akan kita peroleh
selanjutnya. Rumus tersebut didasarkan pada konsep segmen yang saling mengisi.
Inilah konsep segmen dengan panjang x, x* dihubungkan oleh :
Makna geometri dalam persamaan ini ditunjukkan dalam gambar 10.18
dimana titik yang ke – 4 dari segi empat Lambert ideal dengan point Ω.
Jika kita menggunakan rumus (4) ke dalam rumus (7) untuk sudut yang
parallel, kita peroleh :
c
a a
b
gambar 10.17
9
∏ ( x )+∏ ¿¿¿ ……(17)
sinh x* = csch x . . . . .(18)
Ω
x Π (x )
Π ¿\ x*
Gambar 10.18
Contoh :
sinh x* = cot Π ¿ = tan Π (x ) = csch x dengan rumus (7) ; rumus (21) mengikuti
rumus (18), (19) dan identitas :
10
cosh x* = cosh x ….. (19)
tanh x* = sech x …. (20)
tanh x∗¿2
=e− x¿ …...(21)
tanh ( t2 ) = sinh t1+cosh t
Teorema 10.19 (Theorema Engel’s)
Ada segitiga yang tepat dengan parameter yang ditampilkan dalam gambar
10.19 jika dan hanya jika ada segi empat Lambert dengan parameter yang
ditampilkan dalam gambar 10.20. catatan bahwa PQ adalah segmen yang saling
mengisi ke segmen yang sudutnya parallel yaitu ∡.
A
α=Π (l)
c b
Π (m )=β
B a C
Gambar 10.19
R
Q r Π (a)
l¿ m
P b S
Gambar 10.20
11
Makna geometri dari teorema Engel,’s ditampilkan dalam gambar 10.21.
Termasuk konstruksi parallel J. Bolyai (gambar 10.16). Jika B = X adalah titik
antara R dan S, sehingga PX ≅ QR. Teorema Engel’s mengatakan (∢
BAC)r = Π (PQ¿) dan karena (∢QPX)r =
π2−¿ (∢BAC)r , (∢QPX)r = Π (PQ ) dst.
PX adalah garis lintang sejajar ke QR .
Theorema Engel’s yang mengatakan bahwa panah yang berasal dari garis
lintang sejajar R ke SP menbuat sudut dengan RS adalah kongruen ke ∢ ABC dan
panah yang berasal dari garis lintang sejajar dari X ke SP membuat sudut dengan
XS adalah kongruen ke sudut lancip ∢R dari sisi empat Lambert.
Bukti :
Untuk pembuktian dimulai dengan segi empat Lambert yang digambarkan
seperti dalam gambar 10.22.
R
Q
X = B
P = A S = C
Gambar 10.21
12
R z Q ϕ
w d v
θ S u P Gambar 10.22
dari gambar 10.22 kita peroleh :
Misalkan θ = (∢SPR)r , d = PR. Dengan teorema 10.3
sinh w = sin θ sinh d
= cos ( π2 −θ) sinh d
= tanh v cosh d
= tanh v (cosh u cosh w)
sehingga ,
dan simetri dengan
13
sinh w = cosh z sinh v . . . (i)
sinh z = cosh w sinh u . . . (i’)
tanh w = tanh v cosh u . . . (ii)
Misalkan ϕ = (∢R)r. dengan aturan sinus dan teorema 10.3
Sehingga dengan (i’) dan teorema 10.3, kita memiliki
dan simetri dengan :
Sekarang misalkan x adalah titik antara R dan S, sehingga PX=z ,dan
ingatlah segitiga yang tepat ΔPSX (gambar 10.21). Dengan (i’) , (ii’) dan (iii’),
kita peroleh (dengan menggunakan Teorema 10.3)
14
tanh z = tanh u cosh v . . . (ii’)
sin∅sinQS
=sin (∢QSR )r
sinh z= cos (∢PSQ )r
sinh z= tanh u
tanhQS sinh z
sin ϕ = tanh ucoshQSsinh z
=tanh u¿¿¿ ... (iii)
sin ϕ = coshucosh z . . . (iii’)
sin(∢PXS )r=sinh usinh z
=sechw
cos (∢PXS )r= tanh utanh z
=sechv=tanh v¿
cosh XS= cosh zcosh u
=csc∅
Sehingga :
Dengan formula/rumus (5), (6) dan (5). Jika kita menggambarkan P
sebagai A, X sebagai B dan S sebagai C, kita akan mendapatkan segitiga yang
tepat Δ ABC yang sesuai dengan segi empat lambert seperti yang dinyatakan
sebelumnya.
Sebaliknya diberikan segitiga tepat ΔPSX , kita bisa menemukan PQRS
dengan menempatkan R sama denngan titik khusus pada SX sehingga
Π (RS )=(∢PXS )r dan menenpatkan Q sama dengan kaki dari garis tegak lurus R
ke garis melalui garis tegak lurus P ke PS .
Kesesuaian dalam teorema 10.9 memberikan barisan untuk teorema yang
ada. Misalnya, dikatakan bahwa dari adanya segitiga tepat dengan parameter
(aΠ (m) , cΠ ( l) , b ) , kita bisa menarik kesimpulan dengan adanya segi empat
Lambert dengan parameter (l *,c , Π (a ),m , b ) , seperti gambar 10.20. Sekarang
bacalah parameter sebelumnya, ini diberikan dalam gambar 10.23, dimana kita
menarik kesimpulan dari adanya segitiga tepat yang kedua dalam gambar 10.24
dengan memiliki parameter ¿¿
15
(∢PXS )r=Π (w)
(∢XPS )r=Π (v¿)
Π (XS )=∅
b
m
a
cm *b
ca
l*
Gambar 10.23 Gambar 10.24
Kita bisa melanjutkan membaca parameter ini , dengan mendapatkan segi
empat Lambert kedua, dan sebagainya. Kemudian kita akhiri dengan adanya segi
empat Lambert kelima dan empat segitiga lainnya, diimplikasikan dengan adanya
segitiga pertama. Hasilnya dirangkum dalam tabel berikut
ABC∢Ckiri Lambert PQR, ∢ R acute
BC ∢B AB ∢ A AC PQ QR ∢R RS SP
a Π (m) c Π ¿¿ b l* c Π (a ) m b
a c m Π ¿¿ l* c* m Π ¿¿ b* a
l* Π (m ) b* Π ¿¿ c* m* b* Π ¿¿ a* l*
c* Π ¿¿ a* Π ( l ) m* b a* Π ¿¿ l c*
m* *a l Π (c ) b a l Π (b ) c m*
Untuk catatan juga bahwa karena Teorema 10.3 memberikan rumus yang
menunjukkan bagaimana segitiga yang tepat dengan khusus ditentukan oleh dua
dari lima parameternya. Teorema 10.9 memberikan kita hasil yang sama untuk
segi empat Lambert (contohnya, dimulai dengan u dan v, w diberikan oleh (ii),
z oleh (ii’) dan φ dengan (iii) dalam pembuktian teorema 10.9
16
l*
KOORDINAT PADA BIDANG HIPERBOLA
Pilihlah garis tegak lurus melalui pangkal O dan aturlah sistem koordinat
dari salah satu diantaranya, sehingga nantinya bisa dinamakan sumbu u dan
sumbu v. Untuk titik P, misalkan U dan V adalah proyeksi garis tegak lurus dari P
pada sumbu-sumbu ini dan misalkan u dan v adalah masing-masing koordinat dari
U dan V . Sehingga kita memperoleh segi empat Lambert UOVP. Kita
menamakan sisi yang tersisa dengan koordinat w, z sehingga
Gambar 10.25
(lihat gambar 10.25). Rumus (ii) dan (ii’) dalam pembuktian teorema 10.9
menunjukkan bahwa jika berada dalam kuadran pertama (misalnya u>0 danv>0)
dan w=PU ,danz=PV . Kita menempatkan:
17
u UO
(22) tanh w = tanh v cosh u
tanh z = tanh u cosh v
w
z P
w
V
Selanjutnya kita namakan ( u, v) koordinat axial, (v,w) koordinat
Lobachevsky, (x,y) koordinat Beltrami dan ( T, X, Y) koordinat Weierstrass dari
titik P.Dua berikutnya adalah sistem koordinat yang paling penting seperti yang
ditunjukkan oleh teorema panjang berikutnya
TEOREMA 10.10 (masih mengasumsikan k = 1)
Penentuan setiap titik P terhadap pasangannya (x,y) dari koordinat Beltrami
akan memberikan isomorpisme bidang hiperbola kedalam model Beltrami-Klein,
secara khusus Ax + By +C = 0 adalah sebuah persamaan sebuah garis koordinat
Beltrami jika dan hanya jika A2 + B2 > C2, dan setipa garis memiliki sebuah
persamaan. Jarak P1 P2 antara dua titik diberikan dalam istilah koordinat Beltrami
dengan
Dimana p1 = (1,xi , yi ), produk inti p1 .p2 didefinisikan dengan
18
x = tanh u, y = tanh v . . . . (23)
T = cosh u cosh w, X = xT, Y = yT. . . . . (24)
cosh P1P2=p1 . p2
‖p1‖‖p2‖,
. . . (25)
p1.p2 = 1 – x1x2 – y1y2 ,
dan ‖pi‖=√ pi . p i . Sama halnya jika Aix +Bix +Ci = 0 adalah persamaan dari 2
garis li , i = 1,2, memotong sebuah sudut yanng tidak tumpul dengan ukuran
radian θ sehingga,
Dimana produk inti yang sekarang didefinisikan oleh
dan ‖li‖=√ li .li (secara khusus, 0 = l1.l2, adalah kondisi yang penting untuk garis-
garis yang tegak lurus)
Penentuan setiap titik P terhadap rangkap tiga (T, X, Y) dari koordinat
Weierstrass memetakan bidang hiperbola kedalam tempat:
Dimana satu dari dua lembar hiperbola berada dalam tiga ruang Cartesius.
Persamaan sebuah garis dalam koordinat Weierstrass adalah homogen linear
( misalnya bentuk AX +BY+CT = 0)
Sebelum memberikan bukti, untuk catatan bahwa gambaran Weierstrass
memberikan satu interpretasi dari bidang hiperbola sebagai sebuah “ bidang jari-
jari imajiner I “. Maksudnya jika kita menggantikan bentuk kuadrat positif biasa
tertentu X2 + Y2 + T2 (yang mengukur jarak yang dikuadratkan dengan asalnya)
dengan bentuk kuadrat yang tidak tertentu X2 + Y2 - T2 , sehingga bidang jari-jari
I kejarak ini, memiliki persamaan
19
cosθ=
l1. l2‖l1‖‖l2‖ , . . . . (26)
l1. l2 = A1A2 + B1B2 – C1C2
T2 – X2 – Y2 = 1, T¿1 ,
X2 + Y2 - T2 = i2 = -1,
yang merupakan persamaan sebuah hiperbola. Metrik tidak tertentu ini
adalah analog 3 dimensi dari metrik yang ditentukan oleh X2 + Y2 + Z2- T2 dalam
ruang 4 dimensi yang digunakan untuk relativitas tertentu ( lihat Taylor dan
Wheeler, 1992) Catatan bahwa ” garis-garis” dalam model Weierstrass adalah titik
potong dengan lembar hiperbola pada bidang euclidean melalui pangkalnya.
Untuk menggambarkan model ini, bayangkan saja satu cabang hiperbola T2 - X2
= 1 dalam bidan (T, X) mengelilingi sumbu T. Lihat gambar 7. 19
Bukti :
Bukti teorema 10.10 didasarkan pada trigonometri sisi empat Lambert yang
diperoleh dari teorema sebelumnya.
Seperti grafik dalam gambar 10.13 menunjukkan, u → tanh u adalah
pemetaan satu- satu dari keseluruhan garis ril kedalam interval terbuka ( -1, 1).
Pasangan (x, y) dari koordinat Beltrami, yakninya x + y2 < 1, berasal dari
kenyataan bahwa garis-garis tegak lurus terhadap sumbu U dan V memotong jika
dan hanya jika |u| < |v|* (lihat gambar 10.18) yaitu :
(gunakan rumus (20))
Untuk memperoleh rumus jarak, perkenalkan koordinat polar (r, θ ) untuk
titik P dalam gambar 10.25 yang didefinisikan denngan
20
tanh2u < tanh2 |v|* = sech 2 v = 1 – tanh 2 v
r=OP
θ=∢(XOP)r , jikav ≧0−∢ (XOP )r , jika v≦ 0
Hubungan denngan koordinat sumbu adalah:
dengan rumus (10) untuk cosin sebuah sudut dalam segitiga dan identitas
sinθ=cos (π /2−θ ) oleh karena itu
dari identitas sech 2 r = 1 – tanh 2 r, kita dapatkan
jika p ( 1, x, y ) dimana rumus jarak ketika P1 = P dan P2 = 0 . Secara umum P1 dan
P2 (27) memberikan
Anggaplah O, P1, P2 yang pertama adalah kolinear, sehingga
21
tanh r cos θ = tanh u = x . . . (27)
tanh r sin θ = tanh v = y
tanh 2 r = tanh 2 u + tanh 2 v = x2 + y2
cosh r =( 1 – x2 – y2) -1/2 = || p || -1
cos (θ2−θ1 )=cosθ1 cosθ2+sin θ1 sin θ2
¿x1 x2+ y1 y2
tanh r1 . tanh r2
cosh P1P2=cosh (r1± r2 ) karena cos (θ2−θ1 )=±1 ,
cosh P1P2=cosh r1 cosh r 2−sinh r1sinh r 2cosh (θ2−θ1)
¿cosh r1cosh r2 [1− tanh r1 tanhr 2cos (θ2−θ1) ]
Tetapi rumus ini juga bertahan ketika O, P1 ,P2 tidak kolinear dengan hukum
kosinus (13). Penggantian dua rumus sebelumnya akan memberikan rumus yang
diinginkan (25)
Pemetaan P (x,y) yang mengantarkan panjang hiperbola kedalam
panjang klein merupakan rumus yang serasi (25) dengan rumus dilatihan K-14,
Bab 7. Ini berasal dari kalkulasi menurut rumus:
dan identitas
Rumus (28) diperoleh dari (25) dimana identitas tanh 2t = 1 – cosh-2t.( Istilah
dalam kurung disisi kanan (28) dapat ditulis dengan (p1.p2)2 - ||p1||2||p2||2. Sepintas
lalu, ½ yang terdapat dalam rumus (29) menjelaskan kenapa faktor ½ muncul
dalam rumus untuk panjang klein dalam teorema 7.4 halaman 268).
Karena P (x,y) adalah sebuah isometri, dia adalah kolineasi, sehingga
garis-garis pada bidang hiperbola dipetakan kedalam penghubung antara dua titik
mutlak pada model klein, yang memiliki persamaan linear seperti yang
digambarkan dalam teorema.
Rumus (26) untuk cosθ merupakan pernyataan yang tegas tentang ukuran
sudut dalam model klein. Kita lalui model itu dimana isomorpis P (x,y).
Anggaplah dua garis bertemu dititik Po dengan koordinat (xo , yo ) dan anggaplah
kita menulis garis ke-i dengan ´P0 Pi, dimana Pi memiliki koordinat (xi , yi ), i =
1,2. Kemudian koefisien dalam persamaan garis ke-i diberikan oleh Ai = yi – yo ,
22
tanhP1 P2=[ (x1−x2 )2+ ( y1− y2 )2−(x1 y2−x2 y1 )2 ]1 /2
p1 p2
. . . .
arctanh t=12
ln 1+t1−t . . . . (29)
Bi = xo –xi , Ci = xi yo- yixo. Anggaplah P0 = 0, pusat mutlak. Kemudian rumus (26)
diturunkan ke:
yang merupakan rumus Euclidean untuk cosin dari sudut ∢P1 O P2. Tetapi model
klein sesuai dengan titik khusus O, sehingga kita telah memverifikasi (26) dalam
hal ini.
Jika Po ≠ 0 , mari kita cari mosi hiperbola T, sehingga T(0) = Po, dan
Misalkan Qi = T-1(Pi). Karena T mempertahankan ukuran sudut, yang kita
lakkukan selanjutnnya adalah menunjukkan bahwa rumus (26) sama dengan ∢ Q1
O Q2
Kita perlu 2 lemma (yang dijabarkan dalam latihan 9)
Lemma 10.1
Bukti
Misalkan r = OP dan kita ketahui bahwa cosh r = ‖p‖−1, x = tanh r cos θ, y = tanh r sin θ.
Koordinat M (x’,y’) diberikan dengan x’ = tanh (r/2) cos θ, y’ = tanh (r/2) sin θ
sehingga x’ = x tanh (r/2) / tanh r, y’ = y tanh (r/2) / tanh r. Tetapi
23
cosθ=x1 x2+ y1 y2
(x12+ y1
2 )1 /2 ( x22+ y2
2 )1/2
Koordinat titik tengah Klei M dari O dan P adalah
( x1+‖p‖
, y1+‖p‖)
Dimana ‖p‖=√1−x2− y2 dan titik P merupakan koordinat (x,y)
Lemma 10.2
Bisektor garis tegak lurus dari OP0 yang melewati titik tengah dan memiliki
kecondongan – x0/y0 (karena garis tegak lurus klein sama dengan garis tegak
lurus Euclidean pada saat satu garis antara dua titik di lingkaran merupakan
diameter mutlak.
Jika kita menerapkan rumus umum untuk refleksi pada model klein yang
anda periksa di latihan K-16, bab 7, lemma 10.2 mengimplikasikan bahwa refleksi
melalui bisektor garis tegak lurus oP0 diberikan dengan :
Dengan menggunakan rumus ini, perhitungan yang sudah dilakukan
menunjukkan bahwa rumus (26) sama dengan cosin ∢Q1OQ2.
24
tanh( r2 )tanh r
= sinh rcosh r+1
. cosh rsinh r
¿(1+ 1cosh r )
−1
¿ (1+‖p‖)−1
x '=[‖p0‖
2−‖p0‖]−x0 ( x0 x+ y0 y+‖p0‖−1 )‖p0‖
2−‖p0‖+ [‖p0‖−1 ] (x0 x+ y0 y+‖p0‖−1 )
Untuk memeriksa rumus, perlu dicatat bahwa cos θ = 0 jika dan hanya jika
A1A2 + B1B2 + C1 (-C2) = 0, dimana persamaan ini menyatakan bahwa garis l1
melewati kutub(A2, B2, -C2) dari garis l2.
PUTARAN TERBATAS SEBUAH SEGITIGA
Anda telah mempelajari di latihan 9, Bab 5 bahwa beberadaan lingkaran
terbatas untuk setiap segitiga ekivalen dengan hukum / postulat paralel Euclidean.
Lingkaran terbatas ada jika dan hanya jika bisektor garis tegak lurus dari sisi-sisi
berjalan bersama-sama di sebuah titik biasa (latihan 12 bab 6). Di latihan 13, bab
6 dan latihan utama7, Bab 6, anda melihat bahwa bisektor garis tegak lurus selalu
berjalan bersama-samadi sebuah titik ideal atau titik ultra ideal jika lingkaran
terbatas tidak ada.
Dalam hal ultra ideal, anda melihat (lihat gambar 6.26) bahwa puncak A, B,
C dari segitiga yang diberikan semuanya adalah sama jauh dari garis tegak lurus
biasa t ke bisektor garis tegak lurus. Ini mengimplikasikan bahwa mereka terletak
pada kurva yang sama jauh yang memiliki t sebagai sebuah sumbu. Menurut
defenisi kita tentang “kurva sama jauh/kurva equidistant” bahwa A, B, C
terletak di sisi yang sama dari t.
Beberapa penulis (seperti Coxeter, Sommerville) mendefenisikan “kurva
sama jauh” dengan cara yang berbeda, misalnya mereka mendefenisikannya
sebagai temapat semua titik di jarak yang sama dari sumbu t, tidak
dipermasalahkan sisi t yang mana. Penulis-penulis ini akan menandakan “kurva
equidistant kita” dengan satu dari dua cabang mereka. Kita sebut saja kurva
25
equidistant Coxeter dan Sommerville sebagai “sebuah kurva equidistant yang
double”, yang mengindikasikan perpaduan 2 kurva equidistant yang memiliki
sumbu yang sama, yang satu merupakan refleksi dari yang satu lagi yang
berseberangan dengan sumbu. Di latihan II (a), Bab 6, anda melihat bahwa setiap
segitiga dibatasi oleh kurva equidistant yang double yang sumbu-sumbunya
merupakan garis-garis yang menggabungkan pasangan titik-titik tengah dari sisi-
sisi. (Gambar 6.24).................
Gambar 10.26
26
Mengacu pada model bidang setengah atas Poincare : lingkaran Euclidean
melalui A, B, C adalah sebuah lingkaran hiperbola jika semuanya terletak di
bidang setengah atas (bandingkan latihan P-5, Bab 7, dan latihan 48, Bab 9).
Gambar 10.26 menunjukkan 3 kurva equidistant yang double dan sebuah
lingkaran hiperbola yang membatasi segitiga ABC pada model ini.
Teorema berikutnya memberikan kriteria trigonometri untuk memutuskan
manakah tipe dari segitiga yang membatasi segtiga ABC.
Teorema 10. 11
Dengan angka-angka baku untuk segitiga ABC, misalkan a adalah panjang
sebuah sisi yang terpanjang sehingga ∢ A adalah sebuah sudut yang terbesar.
Lingkaran yang membatasi segitiga ABC adalah
A
C’ B’
A’
27
lingkaranHorocycle
kurva equidistant⇔ sinh a2 ¿¿¿sinh b
2+sinh c
2
⇔
¿
B C
Ω
Gambar 10.27
Bukti
Anggaplah pertama kali tempat dimana bisektor garis tegak lurus adalah
paralel dengan asimtot melalui titik ideal Ω. Menurut lemma 6.3 hal 215, gambar
10.27, dimana A’, B’, C’ adalah titik-titik tengah. Ini menunjukkan bahwa (∢
A)r = (∢ C’A Ω)r + (∢B’ A Ω)r = ∏ ( c2 )+∏ ( b2 )Di saat bisektor garis tegak lurus memiliki sebuah garis tegak lurus t, Gambar
10.28 menyatakan :
Karena ∢C ' AΩ>∢C' A Λdan∢B' AΩ>∢B ' A Σ terlihat bahwa
(∢ A )r> (∢C ' A Λ )r+(∢B ' A Σ )r=Π (c /2 )+Π (b/2 )
Disaat bisector garis tegak lurus bertemu kita memiliki :
Karna inilah satu-satunya kemungkinan yang lain. Oleh karena itu , criteria yang
kedua dibuat.
28
(∢ A )r<Π (c /2 )+Π (b/2 ) ,
Pengambilan criteria yang pertama dalam istilah sinus hiperbola dari criteria yang
kedua melibatkan sebuah kalkulasi dengan menggunakan rumus awal. Pertama
dengan hukum kosinus hiperbola (13)
Kedua, dengan identitas untuk cos (x + y) dan rumus 5 dan 6 maka :
Kriteria pertama mengikuti persamaan ini setelah beberapa tahap aljabar.
29
cos A= coshbcosh c−coshasinh b sinh c
¿(2 sinh2 b
2+1)(2sinh2 c
2+1)−(2 sinh2 a
2+1)
4 sinh b2
cosh b2
sinh c2
cosh c2
¿2sinh 2 b
2sinh 2 c
2+sinh 2 b
2+sinh2 c
2−sinh2 a
2
2 sinh b2
sinh c2
cosh b2
cosh c2
cos [∏ ( b2 )+∏ ( c2 )] ¿cos∏ ( b2 )cos∏ ( c2 )−sin∏ ( b2 )sin∏ ( c2 )
¿ tanh b
2tanh c
2− 1
cosh b2
cosh c2
¿sinh b
2sinh c
2−1
cosh b2
cosh c2
Akibat Teorema.
Sebuah segitiga sama kaki yang panjang alasnya lebih pendek dari sisi-
sisinya (khususnya segitiga sama sisi) memiliki sebuah lingkaran terbatas.
A
C’ B’
A’
B C
t
A Ω Σ
Gambar 10.28
Jika alas lebih panjang dari sisi-sisinya, lingkaran terbatas berupa :
dimana a adalah panjang alas dan b adalah panjang sebuah sisi. Kita tinggalkan
bukti untuk latihan 10.
30
lingkaranHorocycle
kurva equidistant⇔ cosh a¿¿¿4 coshb−3
Teorema yang terakhir kita memberikan rumus yang menarik yang
menghubungkan jari-jari lingkaran terbatas dengan luas sebuah segitiga.
Teorema 10.12
Jika segitiga ABC memiliki sebuah lingkaran terbatas dengan jari-jari R,
sehingga daerah K dari segitiga ABC dinyatakan dengan
Catatan
Jika kita hanya melihat istilah dalam rangkaian perluasan sin dan tan
(misalnya kita hanya melihat pada segitiga hiperbola yang sangat kecil, maka
rumus ini diturunkan ke rumus euclidean yaitu :
31
(30) sin k2=
tanh a2
tanh b2
tanh c2
tanhR
K=ab c4 R
Dalam geometri Euclidean, kita bisa menggantikan K dengan 1/2bc sin A
dan menyelesaikan R dalam geometri hiperbola. Latihan 28 memberikan sebuah
rumus untuk R dalam istilah sisi-sisi segitiga.
Inilah sebuah bukti dari rumus Euclidean. Pilihlah B sebagai sebuah puncak,
sehingga diameter BD dari lingkaran terbatas K memotong sisi AC. Kemudian
∢ D dari segitiga ABC dan ∢ A adalah BC dari K, sehingga sin A = sin D =
a /2 R (karena ∢ BCD benar, maka ditulis dalam setengah lingkaran. Subsitusikan
sin A dalam K = 1/2bcsin A untuk mendapatkan rumus. Bukti dari teorema 10.12
akan ditunjukkan pada latihan-latihan 20 – 28.
32