DUALIDAD

POLIEDROS DUALESSi en un poliedro unimos entre sí los centros de las caras, obtenemos otro poliedro cuyo número de caras coincide con el número de vértices del primero y viceversa. A estos poliedros se les llama duales. Como ejemplo ahí tienes dibujado el dual del cubo.

La dualidad es una propiedad recíproca. Así:

 

El dual de un poliedro regular es otro poliedro regular. Así:

NOMBRE P. DUALES

Tetraedro con tetraedro

Cubo y octaedro

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Dodecaedro e icosaedro

Otra imagen de la dualidad en los sólidos platónicos:

El dual del tetraedro es el tetraedro

El dual del cubo es el octctàedre El dual del  octaedro  es el cubo

El dual del dodecaedro es el icosaedro El dual del  icosaedro  es el dodecaedro

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La Dualidad en los Sólidos arquimedianos

sólido dual

tetraedro truncado tetraedro triakis

cubo truncado octaedro triakis

octaedro truncado Cubo tetrakis

cuboctàedre dodecaedro rómbico

rombicuboctàedre icositetràedre trapezoidal

cuboctàedre truncado octaedro hexaquis

cubo xato icositetràedre pentagonal

dodecaedro truncado icosaedro triakis

icosaedro truncado dodecaedro pentakis

icosidodecàedre triacontàedre rómbico

rombicosidodecàedre hexacontàedre pentagonal

icosidodecàedre truncado icosaedro hexakis

dodecaedro xato hexacontàedre pentagonal

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La Dualidad en los Poliedros de Kepler-Poinsot

solido dual

pequeño dodecaedro estrellado gran dodecaedro

gran dodecaedro estrellado gran icosaedro

La Dualidad entre cúpulas geodésicas

Cúpula geodésica como triangu-lación

La cúpula dual tiene el aspecto de una colmena

Acoplamientos:

DEFINICIÓN

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No existe una definición unívoca de poliedro dual que funcione para todos los poliedros. Hay dos nociones, una combinatoria y la otra métrica, que en general coinciden en los poliedros más regulares.

Dualidad combinatoria

Desde el punto de vista combinatorio, dos poliedros   y son   duales si existe una correspondencia biunívoca   entre los conjuntos de vértice, aristas y caras de     y que invierte las adjacències. Más precisamente:

1.  asocia respectivamente a un vértice, arista o cara de una   cara, arista o vértice de; 

2. Una cara   de incide   en una arista   si y sólo si la arista   incide en el vértice  ; viceversa, una arista   incide en un vértice   de sí   y sólo si la cara   incide en  .

Esta dualidad se denomina dualidad combinatoria. La dualidad combinatoria no tiene en cuenta las medidas de los poliedros, se a decir su volumen, la longitud de sus aristas, o los ángulos formados por ellas.

Si   es un poliedro convexo, un dual combinatorio se obtiene traicionando un punto interno a cada cara que hará de vértice y tomando el evolvente convexa de estos puntos. Desde el punto de vista métrico el dual depende de la elige de los puntos, pero no desde el punto de vista combinatorio.

Dualidad métrica

Desde el punto de vista métrico, dos poliedros   y son   duales si se obtienen el uno del otro por una inversión circular respecto de una esfera  . En este caso se habla de dualidad métrica.

Muchos sólidos, como los sólidos regulares o los sólidos arquimedianos, tienen un "centro"  . En este caso, el dual del sólido se considera generalmente el dual métrico según cualquier esfera centrada en  . Esferas con radios diversos dan lugar a poliedros parecidos: los poliedros duales quedan completamente definidos desde el punto de vista métrico disparo de una relación de parecido.

Construcción de Dorman Luke

Para todo poliedro uniforme, las caras del poliedro dual métrico se pueden encontrar a partir de los vértice del poliedro original usando la construcción de Dorman Luke. Esta construcción fue descrita por primera vez por Cundy y Rollett (1961) y más tarde generalizada por Wenninger (1983).

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Por ejemplo, aquí se tiene la figura de truncar el vértice (rojo) del cuboctàedre y se usa para obtener una cara (azul) del dodecaedro rombic.

Antes de empezar la construcción, se obtiene la figura del vértice ABCD a base de cortar cada arista incidente (en esta caso) a su punto medio.Entonces se sigue la construcción de Dorman Luke:

1. Dibujar la circunferencia circunscrita (tangente a cada arista).2. Trazar las líneas tangentes a la circunferencia circunscrita a cada

arista A , B, C, D.3. Marcar los puntos E, F, G, H, donde cada línea interseca la línea

adyacente.4. El polígono EFGH es una cara del poliedro dual.

La medida de la figura del vértice' se ha elegido de forma que su circunferencia circunscrita permanezca en la esfera inscrita del cuboctaedro, la cual también acontece la esfera inscrita del dodecaedro rómbico dual.La construcción de Dorman Luke sólo se puede usar en poliedros tales que tienen esfera inscrita y la figura de los vértice es cíclica, es decir en poliedros uniformes.

Actividades 

1. Dibuja los poliedros duales del tetraedro y el octaedro

2. El número de lados de una cara del dual coincide con el número de aristas que concurren en un mismo vértice del poliedro original. Deduce que el poliedro dual del dodecaedro es el icosaedro y viceversa. 

3. Dibuja los duales de los siguientes poliedros:

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 Habrás comprobado que los duales de los poliedros regulares son poliedros regulares. No ocurre así con los arquimedianos, ya que, al tener éstos caras con distinto número de lados, sus duales tendrán vértices de distinto orden y, por tanto, no pueden ser arquimedianos. Además, al tener un arquimediano todos los vértices del mismo orden, las caras de su dual serán iguales. Estos poliedros con todas sus caras iguales pero no regulares y que tienen vértices de distinto orden, se llaman poliedros de Catalán en honor al matemático francés que los descubrió (1.865) y se presentan habitualmente en cristales. Entre ellos merecen especial mención el rombododecaedro (dual del cuboctaedro) y el triacontraedro rómbico (dual del Icosidodecaedro).

Nota: Si en un cubo le añadimos, a cada una de sus caras, la pirámide que tiene por base dicha cara y por vértice el centro del cubo, se obtiene también el rombododecaedro. Si hacemos lo mismo con el dodecaedro, obtenemos el triacontraedro rómbico. Puedes intentar construirlos con el polydron.

Actividad 

4. Un cubo tiene una arista de 10 cm. ¿Cuál será la medida de la arista del octaedro dual?

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena8/3quincena8_contenidos_1c.htm

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