tetanurita.files.wordpress.com · Web viewLINGKARAN. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA. FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN. UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA. 201. 6. Peta Konsep

LINGKARAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

A. Peta Konsep

Gambar 1. Peta konsep lingkaran

Lingkaran penting dipelajari karena banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Sebelum masuk ke materi siswa diajak untuk memahami materi yang akan disampaikan dalam bab ini melalui peta konsep. Lingkaran merupakan materi kelas VIII, dan materi ini sebelumnya sudah pernah disinggung sedikit pada materi SD, misalnya mencari sebagian luas lingkaran pada sebuah lingkaran penuh.

Adapun kedalaman materi yang harus disampaikan antara lain: Definisi lingkaran, unsur-unsur lingkaran, keliling lingkaran, luas lingkaran, hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring, pengertian garis singgung lingkaran, sifat-sifat garis singgung lingkaran, melukis garis singgung lingkaran melalui suatu titik, melukis garis singgung dua lingkaran, serta panjang garis singgung. Berikut ini akan dibahas cara pembelajarannya.

B. Definisi Lingkaran dan Unsur-Unsur Lingkaran

Cara penyampaian materi dapat dimulai dengan memberikan apersepsi kepada siswa dengan menyebutkan contoh-contoh dalam kehidupan sehari-hari dan menginformasikan sekilas tentang pengertian lingkaran. Kemudian dilanjutkan dengan memberikan motivasi-motivasi kepada siswa untuk lebih bersemangat mempelajari materi lingkaran.

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, dimana titik-titik pada lengkungan tersebut mempunyai jarak yang sama terhadap titik tertentu.

Sebelum masuk pada materi lingkaran yang lebih dalam, sebaiknya guru menyampaikan tujuan pembelajaran tentang penyampaian materi lingkaran dan logistik yang dibutuhkan untuk membahas materi lingkaran.

Tujuan Pembelajaran materi lingkaran, yaitu:

1. Siswa memahami pengertian lingkaran.

2. Siswa memahami unsur-unsur lingkaran.

3. Siswa dapat memahami hubungan antara sudut pusat, keliling lingkaran, dan luas lingkaran.

4. Siswa dapat menerapkan materi lingkaran pada kehidupan sehari-hari.

5. Siswa dapat memahami pengertian garis singgung lingkaran.

6. Siswa dapat memahami sifat-sifat garis singgung lingkaran.

7. Siswa dapat melukis garis singgung lingkaran melalui suatu titik.

8. Siswa dapat melukis garis singgung dua lingkaran.

9. Siswa dapat menghitung panjang garis singgung lingkaran.

Selanjutnya mulai masuk pada materi lingkaran dengan mengajak siswa mendefinisikan unsur-unsur dari lingkaran dengan bantuan bangun lingkaran yang telah disajikan, kemudian siswa diminta untuk menyusun kalimatnya sendiri untuk mendefinisikan unsur-unsur lingkaran didampingi oleh guru.

Gambar 2. Unsur-unsur lingkaran

Definisi :

1. Titik pusat adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran.

2. Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang ditarik dari sembarang titik pada lingkaran ke titik pusat lingkaran.

3. Diameter adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran.

4. Busur adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut.

5. Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran.

6. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh busur dan tali busur.

7. Juring adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur.

8. Apotema adalah garis tegak lurus yang ditarik dari pusat lingkaran ke tali busur.

C. Keliling lingkaran

Sebelum masuk pada materi keliling lingkaran guru dapat menanyakan kepada siswa, “apa yang dimaksud keliling lingkaran?” pertanyaan itu akan memicu siswa untuk berpikir mengenai pelajaran yang telah mereka pelajari dulu sewaktu SD.

Keliling suatu lingkaran adalah panjang jarak mengelilingi lingkaran tersebut.

Dalam membelajarkan keliling guru dapat menggunakan lembar kegiatan 1 untuk menemukan rumus keliling lingkaran. Lembar kegiatan 1 berisi pengamatan yang dapat dilakukan dengan mengukur beberapa lingkaran yang telah disediakan oleh guru sehingga hasil dari kegiatan tersebut diperoleh kesimpulan:

Rumus keliling lingkaran = 2 × × r atau keliling lingkaran = × d

Setelah mengerjakan Lembar Kegiatan 1 tersebut diharapkan siswa mampu menemukan rumus untuk mencari keliling lingkaran.

Lembar kegiatan 1 (terlampir).

D. Luas lingkaran

Langkah yang dapat ditempuh untuk membelajarkan luas lingkaran adalah dengan memberikan lembar kegiatan 2. Sebelum mengerjakan lembar kegiatan 2 siswa diajak untuk memahami luas lingkaran melalui definisinya.

Luas lingkaran adalah area yang terdapat di dalam suatu area.

Hasil dari lembar kegiatan 2 diperoleh kesimpulan:

Rumus luas lingkaran = × r × r atau keliling lingkaran = × r²


E. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

Langkah yang dapat ditempuh untuk membelajarkan hubungan sudut pusat dan panjang busur serta luas juring adalah dengan memberikan lembar kegiatan 3. Pada lembar kegiatan 3, siswa dapat diminta untuk mengamati lingkaran yang ada pada tabel. Garis yang berwarna merah adalah panjang busur lingkaran yang bersesuaian dengan sudut pusatnya masing-masing. Dari lembar kegiatan 3, diperoleh kesimpulan:

Panjang busur = × keliling lingkaran

Luas Juring = × luas lingkaran


F. Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Dalam membelajarkan pengertian garis singgung lingkaran, siswa diminta memperhatikan gambar yang disajikan guru kemudian menentukan contoh dan bukan contoh garis yang bersinggungan dengan lingkaran.

Gambar 1. Contoh dan bukan contoh garis singgung lingkaran

Berdasarkan gambar di atas dapat dilihat bahwa garis k tidak memotong lingkaran O. Garis l menyinggung lingkaran O di titik A sedangkan garis m memotong lingkaran O di titik B dan C.

Setelah guru memberikan beberapa gambar tentang garis singgung lingkaran maka siswa dapat menyebutkan contoh dalam kehidupan sehari-hari, seperti:

Gambar 2. Rantai sepedaGambar 3. Penghubungkan dua katrol

Lingkaran dan garis singgung sering dijumpai di lingkungan sekitar. Rantai sepeda dapat dicontohkan sebagai contoh garis singgung lingkaran, dalam hal ini yang menjadi lingkaran adalah gir sepeda. Selain, rantai pada sepeda contoh lain dari garis singgung lingkaran yaitu cara untuk mengambil air dalam sumur dengan menggunakan tali dan roda. Jika diamati maka tali tersebut menyinggung roda dan roda itu berbentuk lingkaran.

Kemudian dengan adanya beberapa contoh maka siswa dapat menyimpulkan pengertian garis singgung lingkaran.

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.

G. Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran mempunyai sifat-sifat yang dapat ditunjukkan antara lain:

1. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan diameter lingkaran yang melalui titik singgungnya.

Gambar 4. Sifat 1

2. Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran.

Gambar 5. Sifat 2

3. Melalui suatu titik di luar lingkaran dan dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran.

Gambar 6. Sifat 3

4. Apabila dua garis berpotongan pada suatu titik di luar lingkaran, maka jarak antara titik potong tersebut dengan titik-titik singgung kedua garis singgung tersebut sama.

Gambar 7. Sifat 4

H. Melukis Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik

1. Garis singgung di dalam lingkaran

Setelah siswa memahami pengertian dan sifat-sifat garis singgung lingkaran, guru memberikan lembar kegiatan 4 kemudian dengan bersama-sama meminta siswa untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik di dalam lingkaran. Tetapi, sebelum melukis garis singgung lingkaran, siswa diminta untuk mempersiapkan jangka, penggaris, pensil, penghapus sebagai alat bantu untuk melukis garis singgung. Perhatikan langkah-langkah berikut :

a. Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OP yang di perpanjang hingga titik Q.

Gambar 8. Langkah a

b. Buat garis yang memotomg ruas OP dan PQ dengan pusat P dan di beri nama titik A dan titik B.

Gambar 9. Langkah b

c. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik A dan B sehingga saling berpotongan di titik C dan D.

Gambar 10. Langkah c

d. Kemudian hubungkan titik C dan D.

Gambar 11. Langkah d

Setelah menyelesaikan lembar kegiatan 4 diperoleh kesimpulannya diperoleh garis CD yang merupakan garis singgung lingkaran di titik P.

2. Garis singgung di luar lingkaran

Berikut langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran:

a. Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T yang terletak di luar lingkaran.

Gambar 12. Langkah a

b. Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT.

Gambar 13. Langkah b

c. Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.


d. Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT dan BT.


Setelah menyelesaikan lembar kegiatan 4 diperoleh kesimpulannya garis yang dihubungkan dari titik A dengan T dan B dengan T sehingga diperoleh garis AT dan BT merupakan garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik di luar lingkaran.


I. Melukis Garis Singgung Dua Lingkaran

Pada garis singgung dua lingkaran dapat dibagi menjadi dua yaitu garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Cara membelajarkannya seperti pada melukis garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik di dalam dan luar lingkaran yaitu dengan memberikan lembar kegiatan 5 untuk garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dan lember kegiatan 6 untuk garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Lembar kegiatan 5 dan 6 (terlampir).

Garis singgung persekutuan dua lingkaran adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran.

1. Garis singgung dalam dua lingkaran

Langkah-langkah melukis garis singgung sebagai berikut:

a. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 3 cm beri nama titik pusat P. Dari titik pusat P perpanjang ruas garis sepanjang 8 cm di titik Q. Dari titik pusat Q buat lingkaran dengan jari-jari 2 cm atau lebih kecil dari jari-jari yang pertama.


b. Buatlah busur lingkaran yang berpusat di titik P dan Q sehingga berpotongan di titik M dan N.


c. Hubungkan titik M dan N.


d. Buatlah lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari TP. Lukis lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT.


e. Lukis busur lingkaran yang berpusat di P dan jari-jari R+r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B.

Gambar 20. Langkah e

f. Kemudian hubungkan titik P dengan A dan titik P dengan B. Sehingga, memotong lingkaran yang dengan pusat P di titik C dan D.

Gambar 21. Langkah f

g. Lukis busur lingkaran yang berpusat di Q dan jari-jari R+r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik G dan H. Dan hubungkan QG dan QH sehingga, memotong lingkaran di titik E dan F.

Gambar 22. Langkah g

h. Hubungkan titik C dengan F dan titik D dengan E.

Gambar 23. Langkah h

Setelah menyelesaikan lembar kegiatan 5 diperoleh kesimpulannya garis CF dan DE adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di titik P dan Q.

2. Garis singgung luar dua lingkaran

Berikut langkah-langkah melukis garis singgung luar dua lingkaran:

a. Buatlah lingkaran drngan jari-jari 3 cm beri nama titik pusat P. Dari titik pusat P perpanjang ruas garis sepanjang 8 cm di titik Q. Dari titik pusat Q buat lingkaran dengan jari-jari 2 cm atau lebih kecil dari jari-jari yang pertama. Hubungkan kedua titik pusat P dan Q.


b. Buatlah busur lingkaran yang berpusat di titik P dan Q sehingga berpotongan di titik M dan N.


c. Hubungkan titik M dan N.


d. Buatlah lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari TP. Lukis lingkaran yang berpusan di titik T dengan jari-jari PT.


e. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R-r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di titik T pada titik A dan B.

Gambar 28. Langkah e

f. Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik C dan D.

Gambar 29. Langkah f

g. Kemudian lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik E. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di D dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran berpusat di Q di titik F.

Gambar 30. Langkah g

h. Hubungkan titik C dengan E dan titik D dan F.

Gambar 31. Langkah h

Setelah menyelesaikan lembar kegiatan 6 diperoleh kesimpulannya adalah pada kegiatan diatas garis CE dan DF merupakan garis singgung luar dua lingkaran.

J. Panjang Garis Singgung

Pada materi garis singgung lingkaran, selain siswa dapat menggambar serta mengetahui garis singgung persekutuan dalam dan luar lingkaran juga dapat menentukan persamaan dari garis singgung lingkaran. Menghitung garis singgung lingkaran merupakan salah satu kompetensi dasar yang harus dikuasai dan dipahami oleh siswa. Materi ini sangat diperlukan dalam kehidupan. Selain itu, menerapkan berbagai konsep garis singgung dalam pemecahan masalah nyata.

1. Panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran

Cara membelajarkan panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran sebaiknya guru memberikan apersepsi mengenai theorema phytagoras. Setelah itu guru masuk ke materi.

Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah panjang ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik singgung lingkaran dengan garis singgung persekutuan dalam.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar 32. Panjang garis persekutuan dalam

Lingkaran P dan lingkaran Q yang secara berturut-turut memiliki panjang jari-jari r1 dan r2. Garis RT merupakan garis singgung persekutuan dalam dari lingkaran-lingkaran P dan Q. Apabila ruas garis RT digeser ke atas sejauh PT sedemikian sehingga titik T berimpit dengan P dan menghasilkan ruas garis SP maka SP = RT, dan SR = PT = r1.

Perhatikan bahwa SQ = SR + RQ = PT + RQ = r1 + r2, dan jarak antara titik-titik pusat lingkaran-lingkaran P dan Q adalah sepanjang d. Karena segitiga QSP siku-siku di S, maka berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut:

Kesimpulannya panjang garis persekutuan dalam mempunyai rumus:

Yaitu kuadrat dari panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik-titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari jumlah panjang jari-jarinya.

2. Panjang garis singgung persekutuan luar.

Perhatikan gambar 33 berikut.

Gambar 33. Panjang garis persekutuan luar

Dari gambar tersebut garis DC merupakan garis singgung persekutuan luar dari lingkaran A dan lingkaran B. Apabila Ruas garis DC digeser ke bawah sejauh DA sedemikian sehingga titik Dberimpit dengan titik A, maka DC = AE dan DA = CE. Perhatikan bahwa EB = CB –CE, dan misalkan AB = d.

Karena segitiga AEB siku-siku di E, maka berlaku teorema Pythagoras seperti berikut:

Karena AE = DC, AB = d, dan EB = CB – CE = CB – CE = r2 – r1 maka

Kesimpulan dari panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran adalah kuadrat dari panjang ruas garis singgung persekutuan luar dua lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari selisih jari-jarinya.

K. Masalah yang Sering Dialami Siswa dan Solusinya

1. Siswa sering mengalami kebingungan dalam membedakan bagian-bagian lingkaran.

Solusinya: siswa diajak berkegiatan untuk mendefinisikan bagian-bagian lingkaran.

2. Siswa sering lupa dengan rumus untuk mencari luas dan keliliing lingkaran.

Solusinya: siswa diajak untuk berkegiatan menemukan rumus luas dan keliling lingkaran.

3. Siswa sering bingung dalam memahami hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur serta hubungan sudut pusat dengan luas juring.

Solusinya: siswa diajak berkegiatan untuk menemukan hubungan antara sudut pusat dengan keliling lingkaran dan hubungan sudut pusat dengan luas juring.

DAFTAR PUSTAKA

Ahsanul In’am. 2003. Pengantar Geometri. Malang: Bayumedia Publishing.

Al. Krismanto dan Sumardyono.2009.Kapita Selekta Pembelajaran Geometri Datar Kelas VII dan IX di SMP.Sleman: Departemen Pendidikan Nasional Direktorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga Kependidikan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika.

Lisnawaty Simanjuntak, Poltak Manurung, dan Domi C. Matutina. 1993. Metode Mengajar Matematika (Jilid II). Jakarta: PT Rineka Cipta.

P. Abbot B.A. 1986. Geometry. Great Britain: Hodder and Stoughton Limited.

P.Abbot B.A. 1970. Geometry. Bungay: Hodder and Stoughton.

Untung TS dan Joto Wiyoto. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Geometri Dasar Kelas VII di SMP. Sleman: Pusat Pendidikan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika.

.

1

LINGKARAN




201

6

A.

Peta Konsep

Gambar

1. Peta konsep lingkaran

Lingkaran penting dipelajari karena

banyak ditemukan dalam kehidupan

sehari

-

hari

.

Sebelum masuk ke materi siswa diajak untuk memahami materi

yang akan disampaikan dal

am bab ini melalui peta konsep.

Lingkaran

merupakan materi kelas

VIII, dan materi ini sebelumnya sudah pernah

disinggung sedikit pada materi SD, misalnya mencari sebagian luas ling

karan

pada sebuah lingkaran penuh

.

Adapun kedalaman mate

ri yan

g harus disampaikan antara lain

:

Definisi

lingkaran

,

unsur

-

unsur

lingkaran

, k

eliling lingkaran

, l

uas lingkaran

, h

ubungan

sudut pusat, panjang busur, luas juring

,

pengertian garis singgung lingkaran

,

LINGKARAN




2016

A. Peta Konsep

Gambar 1. Peta konsep lingkaran

Lingkaran penting dipelajari karena banyak ditemukan dalam kehidupan

sehari-hari. Sebelum masuk ke materi siswa diajak untuk memahami materi

yang akan disampaikan dalam bab ini melalui peta konsep. Lingkaran

merupakan materi kelas VIII, dan materi ini sebelumnya sudah pernah

disinggung sedikit pada materi SD, misalnya mencari sebagian luas lingkaran

pada sebuah lingkaran penuh.

Adapun kedalaman materi yang harus disampaikan antara lain: Definisi

lingkaran, unsur-unsur lingkaran, keliling lingkaran, luas lingkaran, hubungan

sudut pusat, panjang busur, luas juring, pengertian garis singgung lingkaran,

Documents

tetanurita.files.wordpress.com · Web viewLINGKARAN. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA. FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN. UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA. 201. 6. Peta Konsep