iwapitup.files.wordpress.com · Web viewMinimizirajte formulu i nacrtajte logički element za . a b c d x y z bazične konjukcije 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1

Copyright 1998. Krunoslav Tomašković (042) 370-714, [email protected]

1.1. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element za .

a b c dx y z bazične konjukcije1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 0 01 0 1 1 1 0 0 01 0 0 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 1 0 00 0 1 1 1 1 1 10 0 0 1 1 1 0 0

Bazične konjukcije prikazujemo u obliku DNF i analitičkim postupkom minimiziramo:

Isto trebamo dobiti i Vejčovim postupkom:

x x

y y

z z

Logički element:

1


a b c d F(x,y,z)x y z bazične konjukcije1 1 1 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1 1 11 0 1 1 0 1 0 01 0 0 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 1 10 1 0 0 1 1 1 10 0 1 1 0 1 1 10 0 0 0 0 0 1 0

Vejčov postupak:

x x

y y

z z

Logički element:

2



a b c d e F(x,y,z)x y z bazične konjukcije1 1 1 0 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 0 1 11 0 1 1 1 1 1 0 01 0 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 0 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 1 1 0 0

Vejčov postupak:

x x

y y

z z

Logički element:

3

1.4. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element .

a b c d F(x,y,z)x y z bazične konjukcije bazične disjunkcije1 1 1 1 1 0 1 11 1 0 0 0 0 0 01 0 1 1 1 1 0 11 0 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0 1 10 1 0 0 1 0 0 10 0 1 1 1 0 1 10 0 0 1 1 0 0 1

Već se iz tablice vidi rješenje (rješenje je negacija onog što nije rješenje):

Prema Vejčovom postupku dobiva se:

x x

y y

z z

daljnjom analitičkom minimizacijom dobiva se:

Logički element:

1.5. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element

a b c d e F(x,y,z)x y z bazične

konjukcijebazične disjunkcije

4


1 1 1 0 0 0 0 1 01 1 0 0 1 1 0 1 11 0 1 1 0 1 1 1 11 0 0 1 0 1 1 0 00 1 1 1 0 1 0 1 10 1 0 1 1 1 0 1 10 0 1 1 0 1 0 1 10 0 0 1 0 1 0 1 1

Prema tablici rješenje je:

Vejčovim postupkom se treba dobiti isti rezultat:

x x

y y

z z

Logički sklop:

1.6. Minimizirajte formulu i nacrtajte logički element ako je .

a b c d e f bazičnex y z konjukcije1 1 1 0 0 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 1 01 0 1 0 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1 1 0 0

5

0 1 1 1 1 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 1 00 0 1 1 1 1 1 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 1 1

Vejčov postupak:

x x

y y

z z

6


2.1. Dane su matrice

.

Odredite matricu X koja ispunjava uvjet -B + AX = A-1.

A A-1

2 3 -2 1 0 0 34 -1 -2 0 1 0 *0 1 0 0 0 1 114 0 -8 1 3 0 -44 -1 -2 0 1 0 -14 0 -2 0 1 1 *-2 0 0 1 -1 -4 *0 -1 0 0 0 -14 0 -2 0 1 1 2-2 0 0 1 -1 -4 /-20 -1 0 0 0 -1 /-10 0 -2 2 -1 -7 /-21 0 0 -1/2 1/2 20 1 0 0 0 10 0 1 -1 1/2 7/2

7

Copyright

1998. Krunoslav Tom

ašković (042) 370-714, ktom

[email protected]

2.2. Za matricu A izračunajte .

2.3. Riješite jednadžbu

.

8


2.4. Riješite sustav2x - y + 2v + 2 = 0

3y + z - 4v - 3 = 0x - 3z + 6v + 4 = 0

3x + y + z = 0

2x - y + 2v = -23y + z - 4v = 3

x - 3z + 6v = -43x + y + z = 0

x y z v B2 -1 0 2 -2 +0 3 1 -4 3 (-3)1 0 -3 6 -43 1 1 0 0 *5 0 1 2 -2 *-9 0 -2 -4 3 21 0 -3 6 -4 33 1 1 0 0 (-1)5 0 1 2 -2 (-5)1 0 0 0 -1 *16 0 0 12 -10 (-16)-2 1 0 -2 2 20 0 1 2 31 0 0 0 -10 0 0 12 6 / :120 1 0 -2 00 0 1 2 3 (-2)1 0 0 0 -10 0 0 1 1/2 *0 1 0 -2 0 20 0 1 0 21 0 0 0 -10 0 0 1 1/20 1 0 0 1

9

2.5. Ispitajte ima li sustav netrivijalno rješenje i, ako ima, nađite opće rješenje tako da t bude parametar.

2x + 3y - z - t = 0x - y - 2z - 4t = 0

3x + y + 3z - 2t = 06x + 3y - 7t = 0

Sustav ima netrivijalno rješenje ako je D = 0.

x y z t B2 3 -1 -1 0 *1 -1 -2 -4 0 -23 1 3 -2 0 36 3 0 -7 02 3 -1 -1 0 -1-3 -7 0 -2 0 7/3

9 10 0 -5 0 -10/3

6 3 0 -7 0 *-4 0 -1 6 011 0 0 -55/3 0 *-11 0 0 55/3 0 16 3 0 -7 0-4 0 -1 6 0 /-111 0 0 -55/3 0 /110 0 0 0 0 nul-jednadžba6 3 0 -7 0 /34 0 1 -5 0 -41 0 0 -5/3 0 *2 1 0 -7/3 0 -20 0 1 -5/3 01 0 0 -5/3 00 1 0 1 01 0 0 -5/3 00 1 0 1 00 0 1 -5/3 0

Rješenje .

10


2.6. Odredite vrijednosti parametra t tako da sustav

ima i netrivijalna rješenja. Za takav jedan t nađite opće rješenje sustava.

x y z B2 0 4 01 -1 3 0 13 1 5 0 *2 0 4 0 /24 0 8 03 1 5 01 0 2 0 *4 0 8 0 -43 1 5 0 -31 0 2 00 0 0 00 1 -1 0

x + 2z = 0y - z = 0

z = p

Rješenje(-2p, p, p)

2.7. Za koje vrijednosti x je matrica

singularna?

11

REGULARNE matrice - imaju inverznu matricu det A 0SINGULARNE matrice - nemaju inverznu matricu det A = 0

12


2.8. Izračunajte realne brojeve a,b,c ako je AT·A = I (A je ortogonalna matrica) i

.

2.9. Riješite sustav

-3x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4 = -12-x1 + 5x2 - 3x3 - 4x4 = -392x1 + x3 + 4x4 = 143x1 - 4x2 + x4 = 33

x1 x2 x3 x4 B-3 2 4 2 -12 (-4)

13

-1 5 -3 -4 -39 32 0 1 4 14 *3 -4 0 1 33

-11 2 0 -14 -68 145 5 0 8 3 (-8)2 0 1 4 14 (-4)3 -4 0 1 33 *31 -54 0 0 394 /31-19 37 0 0 -261-10 16 1 0 -1183 -4 0 1 331 -54/31 0 0 394/31 *

-19 37 0 0 -261 19-10 16 1 0 -118 103 -4 0 1 33 (-3)1 -54/31 0 0 394/31

0 121/31 0 0 -605/31 /121/31

0 -44/31 1 0 282/31

0 38/31 0 1 -159/31

1 -54/31 0 0 394/31 54/31

0 1 0 0 -5 *0 -44/31 1 0 282/31 44/31

0 38/31 0 1 -159/31 -38/31

1 0 0 0 40 1 0 0 -50 0 1 0 20 0 0 1 1

Rješenje(4,-5,2,1)

14



x + y - 2z = 02x + y - 3z = 02x - y - z = 06x - y - 5z = 07x - 3y - 4z = 1

x y z B1 1 -2 0 *2 1 -3 0 (-1)2 -1 -1 0 16 -1 -5 0 17 -3 -4 1 31 1 -2 01 0 -1 03 0 -3 0 /37 0 -7 0 /710 0 -10 11 1 -2 01 0 -1 0 *1 0 -1 0 (-1)1 0 -1 0 (-1)10 0 -10 11 1 -2 01 0 -1 00 0 0 0 nul-jednadžba0 0 0 0 nul-jednadžba10 0 -10 11 1 -2 0 (-1)1 0 -1 0 *10 0 -10 1 (-10)0 1 -1 01 0 -1 00 0 0 1 kontradiktorna jednadžba

sustav je kontradiktoran - nema rješenje

15


x + 2y + 3z - 4u = 112x + y + 5z + u = 3x - y + 2z + 5u = -8

3x + 3y + 8z - 3u = 14

tako da x i z budu bazične varijable.

Bazične varijable su one po kojima je sustav rješen.

x y z u B1 2 3 -4 11 *2 1 5 1 3 (-2)1 -1 2 5 -8 (-1)3 3 8 -3 14 (-3)1 2 3 -4 110 -3 -1 9 -190 -3 -1 9 -19 /-10 -3 -1 9 -191 2 3 -4 11 (-3)0 -3 -1 9 -19 10 3 1 -9 19 *0 -3 -1 9 -19 11 -7 0 23 -460 0 0 0 0 nul-jednadžba0 3 1 -9 190 0 0 0 0 nul-jednadžba1 -7 0 23 -460 3 1 -9 19

x -7y + 23u = -463y + z - 9u = 19

y = p1 , u = p2

x = 7p1 - 23p2 -46z = -3p1 + 9p2 +19

Rješenje(7p1 - 23p2 -46, p1, -3p1 + 9p2 +19, p2 )

16


3.1. Izračunajte derivaciju funkcije primjenom logaritamske derivacije.

3.2. Izračunajte derivaciju funkcije primjenom logaritamske derivacije.

3.3. Izračunajte derivaciju implicitne funkcije .

17

3.4. Izračunajte derivaciju implicitne funkcije .

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

18


3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

19

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

20


3.21.

3.22.

3.23.

21

3.24.

3.25.

3.26.

3.27. Odredite područje definicije, asimptote, ekstreme, područja rasta i pada te nacrtajte graf funkcije

.

Simetrija f(-x) = -f(x) neparna - simetrična s obzirom na ishodištef(-x) = f(x) parna - simetrična s obzirom na os y

Nema simetrije

Područje definicijex + 1 0x = -1 točka prekida, to je ujedno i vertikalna saimptotaD = x R \ {-1}

Asimptote

Vertikalna asimptota x = -1

Horizontalna asimptota y = 1

Kosa asimptota - ne postoji

Ekstremi

22


Funkcija nema lokalnih ekstrema, jer prva derivacija nikad neće biti jednaka nuli.

Područje rasta i pada

Ovaj će izraz uvijek biti veći od nule, što znači da funkcija raste na cijelom području definicije, što prikazuje i sljedeća slika.

23

3.28. Ispitajte tok funkcije i nacrtajte graf funkcije .

Simetrija

Funkcija je neparna ( f(-x) = - f(x) ), pa je simetrična s obzirom na ishodište.

Područje definicije x 0 D = x R \0

Funkcija nije definirana u točki x = 0, to je ujedno i vertikalna asimptota.

Asimptote

Vertikalna asimptota x = 0

Horizontalna asimptota - ne postoji

Kosa asimptota y = kx - l = x

Ekstremi

Gornji izraz nikad nije jednak nuli, pa funkcija nema ekstreme.


Gornji izraz je uvijek veći od 0, pa funkcija raste na cijelom području definicije.

24


Slika od prethodnog zadatka:

3.29. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije .

Područje definicije x - 1 0x = 1 točka prekida i vertikalna asimptotaD = x R \1

Asimptote

Vertikalna asimptota x = 1

Horizontalna asimptota - ne postoji

Kosa asimptota y = x + 2

25

Ekstremi


Područje rasta -, , Područje pada ,

3.30. Nađite asimptote i ekstreme funkcije , te skicirajte njezin graf.

Ekstremi

26


U točki T(0,1) funkcija ima minimum jer je f’’(0) veće od nule.

Vertikalna asimptota - x = 1

Horizontalna asimptota - y = 0


Područje rasta i pada funkcije

Područje rasta x 0, a područje pada x 0.

27

3.31. Nađite ekstreme i asimptote funkcije

te skicirajte graf.

Domena

D = R \ -3,

Ekstremi

28


Vertikalne asimptote

Horizontalna asimptota


Područje rasta

Područje rasta

Područje pada

29

3.32. Odredi ekstreme i asimptote i nacrtaj graf funkcije .

Domena

Ekstremi

AsimptoteVertikalne – točke prekida

Horizontalne

Kosa asimptota – nema


Ako uzmemo u obzir i točke prekida preciznije bi bilo napisati

30


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

31

3.33. Izračunajte površinu koju zatvaraju krivulje y = x2 i x = y2.

3.34. Izračunajte površinu koju zatvaraju krivulje y = lnx i y = ln2x.

32


3.35. Izračunajte površinu koju omeđuje krivulja i pravci y = 0, x = 1 i x = 2.

3.36. Izračunajte površinu unutar kružnice X2 + Y2 = 16 i parabole X2 = 12(Y - 1) (za Y 0 ).

33

Sjecište kružnice i parabole

3.37. Izračunajte površinu koju omeđuje krivulja y = x log2 x i pravci x = 2 i y = 0.

34


4.1. Koji bi iznos trebalo ulagati u banku početkom svakog mjeseca kroz godinu dana da bi se na kraju druge godine moglo podići 120 000? p = 12,5%

+R +R +R +R +R +R +R +R +R +R +R +R

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121.g. 2.g. S24

4.2. Koliko treba ulagati početkom svakog polugodišta kroz 3 godine, da bi se od kraja 5. godine mogla isplačivati mjesečna renta visine 350 kroz 4 godine, ako je kamatna stopa u prve 4 godine 6%, a nakon toga 8%?

+x +x +x +x +x +x S3 A' A -350 ukupno 4*12 = 48 renti12 1 ...

1.g. 2.g. 3.g. 4.g. 5.g. 6.g. 7.g. 8.g. 9.g.

Prvo računamo iznos A koji trebamo imati na kraju 11. mjeseca u 5. godini da bi mogli isplatiti rente:

A svodimo na kraj 4. godine A':

a zatim na kraj 3. godine S3:

Sad računamo iznos uplate x:

Copyright

1998. Krunoslav Tom

ašković (042) 370-714, ktom

[email protected]

35

4.3. Zadnja otplatna kvota zajma je 10 000. Zajam je odobren na 15 godina uz p = 10% godišnje. Izračunajte anuitet, visinu zajma i ukupno plaćene kamate.

4.4. Zajam od 100 000 odobren je na 6 godina uz p = 6%. Koliko iznosi treća, a koliko šesta otplatna kvota i kolike su ukupne kamate?

4.5. Netko uloži 8 puta, u razmaku po 3 mjeseca, po 40 000. Na kraju prve godine podigne 60 000. Preostali iznos podigne u dva jednaka dijela u razmaku od pola godine, s tim da prvi dio podigne 3 godine nakon prve uplate. Koja je visina tih dviju isplata? p=22%

+40 +40 +40 +40 +40 +40 +40 +403 6 9 12 15 18 21 24 6mj.

1.g. 2.g. 3.g.-60 S2 A2 -R -R

IS0

A0

36


4.6. Zajam od 18 000 odobren je na 18 mjeseci uz otplatu mjesečnim anuitetima. Nakon 5 mjeseci podigne se dopunski zajam od 10 000, s tim da se otplaćuje zajedno s preostalim dijelom starog zajma u dogovoreno vrijeme. Izračunajte oba anuiteta! p=22%

O5 je ostatak duga nakon 5 mjeseci. Sad se taj dug poveća za novi zajam od 10 000 pa je novi K = 23 535,92. Sad računamo novi anuitet.

4.7. Netko uplati nepoznati iznos. Nakon 5 mjeseci uplati još toliko. Na osnovi tih uplata od kraja 3. godine isplati se 5 mjesečnih renti visine 13 000. Kolika je bila visina nepoznatih uloga? p=22%

+x +x S2 A5 -13 -13 -13 -13 -135 10 ukupno 2+12+11 = 25 mjeseci 12 1 2 3 4 5

1.g. 2.g. 3.g.A0

4.8. Koliki iznos treba uložiti da bi se kroz 5 godina, krajem godine podizalo po 50 000, ako je kamatna stopa prve dvije godine 7%, a preostale tri godine 6%?

+x -50000 -50000 -50000 -50000 -500001 2 3 4 5

7% 6%A0 A3

A3POC

Svodimo A3 na početnu godinu:

37

4.9. Zajam do 400 000 odobren je na 20 godina uz otplatu polugodišnjim anuitetima i p=5%. Poslije 25 otplaćenih auiteta kamatna stopa p se smanji za 1%, a rok otplate produži za 2 godine. Izračunajte novi anuitet.

Prvo računamo prvi anuitet a1 za početne uvjete zajma:

Zatim računamo ostatak duga nakom 25 otplaćenih anuiteta:

Dobiveni iznos je sad novi zajam, kamata je 4% a otplačuje se na 19 polugodišta:

4.10. Zajam je otplaćen za 5 godina polugodišnjim anuitetima visine 76 638,35. Koliki je bio zajam? Izradite otplatnu osnovu za petu godinu otplate. p=18%

Iznos zajma je 500 000.

n anuitet kamate otplatna kvota ostatak duga4.g. 2.polugodište - n=8 ... ... ... 135 499,625.g. 1.polugodište - n=9 76 638,66 11 690,64 64 948,02 70 551,605.g. 2.polugodište - n=10 76 638,66 6 087,06 70 551,61 0

Sljedi postupak izračunavanja:

4.11. Šesta otplatna kvota zajma je 11 200, a treća 9 324. Zajam je otplaćen polugodišnjim anuitetima kroz šest i pol godina. Kolika je visina zajma i koliko je ukupno plaćeno kamata?

38


Zajam je visine 159 952,29.

Ukupan iznos kamata je 78 544,61.

4.12. Netko uplaćuje kroz 3 godine početkom svakog mjeseca nepoznati iznos X tako da bi od kraja 5 godine mogao primati kvartalnu rentu visine 2 000 kroz idućih 5 godina. Izračunajte X ako je prve 4 godine p = 6%, a idućih 6 godina p = 8%.

Kroz 3 godine ukupno uplati 36 uplata visine X i na kraju treće godine ima iznos S3. Na kraju pete godine ima iznos S5 = S3 * r2. Taj S5 je ukupan iznos A svih renti koje treba isplatiti sjedećih 5 godina - po 4 rente godišnje, dakle ukupno 20 renti. Sljedi račun.

4.13. Zajam se otplaćuje mjesečno kroz 10 godina anuitetima visine 950 kn uz p = 12% godišnje. Nakon 3 godine prijeđe se na otplatu kvartalno uz godišnju kamatnu stopu p = 10%. Izradite otplatnu osnovu za zadnji mjesec u trećoj godini i prvi kvartal u četvrtoj godini.

n anuitet kamate otplatna kvota ostatak duga3.g. 11.mjesec ... ... ... 55 255,453.g. 12.mjesec 950 5,24 944,76 54 310,694.g. 1.kvartal 2 690,05 13,10 2 676,95 51 633,74

Ostatak duga je sad novi zajam. Računamo novi anuitet.39

4.14. Zajam se otplaćuje godišnjim anuitetima kroz 5 godina. Znamo da su kamate plaćene u prvoj godini jednake 4 000. Izradite otplatnu osnovu za otplatu zajma i izračunajte ukupne kamate. p = 4%

U daljnjem postupku izračunavanja primjenjuju se sljedeće formule:

n - godina anuitet kamate otplatna kvota ostatak duga0 - - - 100 000,001 22 462,71 4 000,00 18 462,71 81 537,292 22 462,71 3 261,49 19 201,22 62 336,073 22 462,71 2 493,44 19 969,27 42 366,804 22 462,71 1 694,67 20 768,04 21 598,765 22 462,71 863,95 21 598,76 0

40

Documents

iwapitup.files.wordpress.com · Web viewMinimizirajte formulu i nacrtajte logički element za . a b c d x y z bazične konjukcije 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1