· Web viewĐường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều

5CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁCCÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

www.thuvienhoclieu.com

Bài1.

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm và Một điểm di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ đến tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối

Với hai điểm đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu điểm cuối Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là

2. Góc lượng giácTrên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác

Một điểm chuyển động trên đường tròn từ tới

tạo nên cung lượng giác nói trên. Khi đó tia quay xung quanh gốc từ vị trí tới vị trí Ta nói tia tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là tia cuối là

Kí hiệu góc lượng giác đó là 3. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đường tròn định hướng tâm bán kính .

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm

Ta lấy làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc ).

II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC1. Độ và radian

www.thuvienhoclieu.com 1

A+

-

O

C

M

D

O

+

A .B MA B

A .B, A B

,A .B

.ABþ

.CDþ

M C D

.CDþ

OMO OC .OD OM

,OC.OD

( )' 0; 1B -

( )0;1A

( )0;1B

( )' 1;0A -

( ), .OC OD

,OxyO 1R=

( )1;0 ,A ( )' 1;0 ,A - ( )0;1 ,B ( )' 0; 1 .B -( )1;0A

A

http://www.thuvienhoclieu.com/

www.thuvienhoclieu.coma) Đơn vị radianTrên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo

rad.b) Quan hệ giữa độ và radian

và c) Độ dài của một cung tròn

Trên đường tròn bán kính cung nửa đường tròn có số đo là và có độ dài là Vậy cung có số đo của đường tròn bán kính có độ dài

2. Số đo của một cung lượng giác

Số đo của một cung lượng giác ( ) là một số thực âm hay dương.

Kí hiệu số đo của cung là sđ .Ghi nhớSố đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác

nhau một bội của Ta viết

sđ trong đó là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là , điểm cuối

là 3. Số đo của một góc lượng giác

Số đo của góc lượng giác là số đo của cung lượng giác tương ứng.

Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Chọn điểm gốc làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối của cung này. Điểm cuối được

xác định bởi hệ thức sđCÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1. LÝ THUYẾTCâu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về đường tròn định hướng2

1

01 rad180p=

01801rad .p

æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø

,R radp

.Rp a rad R

.Ra=l

AMþ

A M¹

AMþ

AMþ

2 .p

2 , .kM kA a p+= Î ¢þ

a A.M

( ), OA OC ACÐ

( )1;0Aa

M M

.AM a=Ð

''''

www.thuvienhoclieu.com?

A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định

hướng.C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc

đều là một đường tròn định hướng.D. Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều

dương và chiều ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.

Câu 2. Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là:A. Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ.B. Luôn ngược chiều quay kim đồng hồ.C. Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể là ngược chiều

quay kim đồng hồ.D. Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim

đồng hồ.

Câu 3. Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác xác định:A. Một góc lượng giác tia đầu , tia cuối .B. Hai góc lượng giác tia đầu , tia cuối .C. Bốn góc lượng giác tia đầu , tia cuối .D. Vô số góc lượng giác tia đầu , tia cuối .

Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về góc lượng giác ?A. Trên đường tròn tâm bán kính , góc hình học là góc lượng

giác.B. Trên đường tròn tâm bán kính , góc hình học có phân biệt

điểm đầu và điểm cuối là góc lượng giác.C. Trên đường tròn định hướng, góc hình học là góc lượng giác.D. Trên đường tròn định hướng, góc hình học có phân biệt điểm đầu

và điểm cuối là góc lượng giác.Câu 5. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về đường tròn lượng giác

?A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.B. Mỗi đường tròn có bán kính là một đường tròn lượng giác.C. Mỗi đường tròn có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ là một

đường tròn lượng giác.D. Mỗi đường tròn định hướng có bán kính , tâm trùng với gốc tọa độ

là một đường tròn lượng giác.

Vấn đề 2. ĐỔI TỪ ĐỘ SANG RADIAN VÀ NGƯỢC LẠICâu 6. Trên đường tròn cung có số đo 1 rad là?

A. Cung có độ dài bằng 1. B. Cung tương ứng với góc ở tâm .


''

ABþ

OA OBOA OBOA OBOA OB

'' ''O 1R= AOB

O 1R= AOBA B

AOBAOB

A B'' ''

1R=1R=

1R=

060


www.thuvienhoclieu.comC. Cung có độ dài bằng đường kính. D. Cung có độ dài

bằng nửa đường kính.Câu 7. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. B. C. D. Câu 8. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. B. C. D. Câu 9. Nếu một cung tròn có số đo là thì số đo radian của nó là:

A. B. C. D. Câu 10. Nếu một cung tròn có số đo là thì số đo radian của nó là:

A. B. C. D. Câu 11. Đổi số đo của góc sang đơn vị radian.

A. B. C. D. Câu 12. Đổi số đo của góc sang đơn vị radian.

A. B. C. D. Câu 13. Đổi số đo của góc sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần

nghìn.A. B. C. D.

Câu 14. Đổi số đo của góc sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm.A. B. C. D.

Câu 15. Đổi số đo của góc sang đơn vị radian.

A. B. C. D.

Câu 16. Đổi số đo của góc sang đơn vị độ, phút, giây.A. B. C. D.


Câu 18. Đổi số đo của góc sang đơn vị độ, phút, giây.

4

0 rad 1 .p = 0 rad 60 .p = 0 rad 180 .p =0180 rad .p

pæ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø

01 rad 1.= 01 rad 60 .= 01 rad 180 .=01801 rad .

pæ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø

0a

180 .ap180 .ap .180

ap .180ap

03a

.60ap .180

ap 180.ap

60.ap

07070.p

7 .187 .18p 7 .18p

01083 .5p .10

p 3 .2p .4

p

045 32'

0,7947. 0,7948. 0,795. 0,794.040 25'

0,705. 0,70. 0,7054. 0,71.0125 45¢-

503 .720p- 503 .720

p 251 .360p 251 .360

p-

rad12p

015 . 010 . 06 . 05 .3 rad16p-

033 45'. 029 30'.- 033 45'.- 032 55.-5 rad-

www.thuvienhoclieu.comA. B. C. D.



Vấn đề 3. ĐỘ DÀI CUNG TRÒNCâu 21. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Số đo của cung tròn tỉ lệ với độ dài cung đó.B. Độ dài của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.C. Số đo của cung tròn tỉ lệ với bán kính của nó.D. Độ dài của cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo của cung đó.

Câu 22. Tính độ dài của cung trên đường tròn có bán kính bằng và số

đo A. B. C. D.

Câu 23. Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo và bán kính bằng

.A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Một đường tròn có đường kính bằng . Tính độ dài của cung trên đường tròn có số đo (lấy chữ số thập phân).A. . B. . C. . D. .

Câu 25. Tính số đo cung có độ dài của cung bằng trên đường tròn có bán kính .A. . B. . C. . D. .

Câu 26. Một cung tròn có độ dài bằng lần bán kính. Số đo của cung tròn đó làA. . B. . C. . D. .

Câu 27. Trên đường tròn bán kính , cung tròn có độ dài bằng độ dài nửa đường tròn thì có số đo (tính bằng radian) là:A. B. C. D. .

Câu 28. Một cung có độ dài , có số đo bằng radian là thì đường tròn của cung đó có bán kính là:


0286 44'28''.- 0286 28'44''.- 0286 .- 0286 28'44''.3 rad4

042 97 18 .¢ ¢¢ 042 58 .¢ 042 97 .¢ 042 58 18 .¢ ¢¢2 rad-

0114 59 15 .¢ ¢¢- 0114 35 .¢- 0114 35 29 .¢ ¢¢- 0114 59 .¢-

l 20cm

.16p

3,93cm.=l 2,94cm.=l 3,39cm.=l 1,49cm.=l1,5

20 cm30cm 40cm 20cm 60cm

20cm035 2

6,01cm 6,11cm 6,21cm 6,31cm403 cm

20 cm1,5rad 0,67rad 080 088

2 radian

1 2 3 4

R16

/ 2p / 3p / 4p / 6p

10cm 2,5


www.thuvienhoclieu.comA. . B. . C. . D. .

Câu 29. Bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được vòng trong giây. Hỏi trong giây, bánh xe quay được 1 góc bao nhiêu độ.

A. B. C. D. Câu 30. Một bánh xe có răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di

chuyển răng là:A. B. C. D.

Vấn đề 5. GÓC LƯỢNG GIÁC

Câu 31. Cho góc lượng giác Với giá trị bằng bao nhiêu thì góc ? A. B. C. D.

Câu 32. Cho góc lượng giác . Tìm để A. B. C. D.

Câu 33. Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ chỉ số và kim phút chỉ số . Số đo của góc lượng giác là

A. . B.

C. . D. .Câu 34. Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là . Điểm thuộc đường

tròn sao cho cung lượng giác có số đo . Gọi là điểm đối xứng với qua trục , số đo cung lượng giác bằng

A. . B. .C. hoặc . D.

.Câu 35. Trên đường tròn với điểm gốc là . Điểm thuộc đường tròn sao

cho cung lượng giác có số đo . Gọi là điểm đối xứng với điểm qua trục , số đo cung là:A. . B. .

C. hoặc . D. .Câu 36. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là . Điểm thuộc đường

tròn sao cho cung lượng giác có số đo . Gọi là điểm đối xứng với điểm qua gốc tọa độ , số đo cung lượng giác bằng:

6

2,5cm 3,5cm 4cm 4,5cm2 5

285 .p 5

8 .p 35 .p 5

3 .p

7210

030 . 040 . 050 . 060 .

( ) 0 022 30' 3, 60 .OxO ky = + k

( ) 01822 0, 3 'Ox Oy =.k Î Æ 3.k= –5.k= 5.k=

22 kpa p= + k 10 11 .p a p< <4.k= 5.k= 6.k= 7.k=

OG 9 OP

12 ( ),OG OP

2 ,2 k kp p+ Î ¢ 0 0270 360 , .k k- + Î ¢

0 0270 360 ,k k+ Î ¢9 2 ,10 k kp p+ Î ¢

A MAM 045 N

M Ox AN045- 0315

045 03150 045 360 ,k k- + Î Z

A MAM 060 N M

Oy AN

120o 0240-0120- 0240 0 0120 360 ,k k+ Î Z

A MAM 075 N

M O AN

www.thuvienhoclieu.comA. . B. .

C. hoặc . D. .

Câu 37. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): ,

. Các cung nào có điểm cuối trùng nhau:A. và ; và . B. và ; và . C. . D. .

Câu 38. Các cặp góc lượng giác sau ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối. Hãy nêu kết quả SAI trong các kết quả sau đây:

A. và . B. và .

C. và . D. và .Câu 39. Trên đường tròn lượng giác gốc , cung lượng giác nào có các điểm

biểu diễn tạo thành tam giác đều ?

A. . B. . C. . D. .Câu 40. Trên đường tròn lượng giác gốc , cung lượng giác nào có các điểm

biểu diễn tạo thành hình vuông

A. . B. . C. . D. .BAØI

2.GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA

MOÄT CUNGI – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG 1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung có sđ (còn viết )

Tung độ của điểm gọi là sin của và kí hiệu là

Hoành độ của điểm gọi là côsin của và kí hiệu là

Nếu tỉ số gọi là tang của và kí hiệu là (người ta còn dùng kí hiệu )


y

x

M

A

OH

KB

B'

A'

0255 0105-0105- 0255 0 0105 360 ,k k- + Î Z

5 ,6pa =- 3

pb=

25 ,3pg= 19

6pd=

a b g d b g a d, ,a b g , ,b g d

3p 35

3p- 10

p 1525p

3p- 155

3p

7p 281

7p

A

23k p

kp 2kp

3kp

A

2kp

kp23k p

3kp

a

AMþ

AM a=þ

AM a=þ

· y OK= M a sin .a

sin .OKa=· x OH= M a cos .a

a

cos .OHa=

· cos 0,a ¹sincos

aa a

tana tgasintan .cos

aaa

=



Nếu tỉ số gọi là côtang của và kí hiệu là (người ta

còn dùng kí hiệu ) Các giá trị được gọi là các giá trị lượng giác của

cung Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

2. Hệ quả1) và xác định với mọi Hơn nữa, ta có

2) Vì nên ta có

3) Với mọi mà đều tồn tại và sao cho và

4) xác định với mọi 5) xác định với mọi 6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối

của cung trên đường tròn lượng giác.Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tưGiá trị lượng giác I II III IV

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

8

· sin 0,a ¹cossin

aa a cota

cotgacoscot .sin

aaa

=

sin , cos , tan , cota a a a.a

sina cosa .a Î ¡

( )( )

sin 2 sin , ;cos 2 cos , .

k kk k

a p aa p a

+ = " Î+ = " Î

¢¢

1 1; 1 1OK OH- £ £ - £ £

1 sin 11 cos 1.

aa

- £ £- £ £

mÎ ¡ 1 1m- £ £ a b sin ma =cos .mb=

tana ( ) .2 k kpa p¹ + Î ¢

cota ( ) .k ka p¹ Î ¢a

AM a=þ

cosa + - - +sina + + - -tana + - + -cota + - + -

a 0 6p

4p

3p

2p

sina 0 12

22

32

1

cosa 1 32

22

12 0


Không xác định

Không xác định

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG1. Ý nghĩa hình học của

Từ vẽ tiếp tuyến với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại .

Gọi là giao điểm của với trục được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ trên trục Trục

được gọi là trục tang.

2. Ý nghĩa hình học của Từ vẽ tiếp tuyến với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là

một trục số bằng cách chọn gốc tại .Gọi là giao điểm của với trục

được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ trên trục Trục được gọi là trục côtang.

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau


OA

M

T

t'

t

x

y

y

xM

B

O

ss'

S

tana 0 13 1 3

cota 3 1 13 0

tanaA 't At

AT OM ' .t At

tana ATuuur ' .t At

't At

a

cotaB 'sBs

BS OM 'sBs

cota BSuur 'sBs 'sBs

a

2 2sin cos 1a a+ =2

211 tan ,cosaa

+ = , 2 k kpa p¹ + Î ¢



2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1) Cung đối nhau: và

2) Cung bù nhau: và

3) Cung hơn kém : và

4) Cung phụ nhau: và

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆMVấn đề 1. XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1. Cho thuộc góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.A. B. C. D.

10

2211 cot ,sinaa

+ = , k ka p¹ Î ¢

tan .cot 1,a a = , 2k kpa ¹ Î ¢

a a-( )( )( )( )

cos cossin sintan tancot cot

a aa aa aa a

- =- =-- =-- =-

a p a-( )( )( )( )

sin sincos costan tancot cot

p a ap a ap a ap a a

- =- =-- =-- =-

p a ( )a p+

( )( )( )( )

sin sincos costan tancot cot

a p aa p aa p aa p a

+ =-+ =-+ =+ =

a 2p a

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø

sin cos2

cos sin2

tan cot2

cot tan2

p a a

p a a

p a a

p a a

æ ö÷ç - =÷ç ÷çè øæ ö÷ç - =÷ç ÷çè øæ ö÷ç - =÷ç ÷çè øæ ö÷ç - =÷ç ÷çè ø

a

sin 0.a> cos 0.a < tan 0.a < cot 0.a<

www.thuvienhoclieu.comCâu 2. Cho thuộc góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. Hãy chọn

kết quả đúng trong các kết quả sau đây.A. B. C. D.

Câu 3. Cho thuộc góc phần tư thứ ba của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là sai ?A. B. C. D.

Câu 4. Cho thuộc góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. Khẳng định nào sau đây là đúng ?A. B. C. D.

Câu 5. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu cùng dấu? A. Thứ B. Thứ C. Thứ hoặc D. Thứ hoặc

Câu 6. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu trái dấu? A. Thứ B. Thứ hoặc C. Thứ hoặc D. Thứ hoặc

Câu 7. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu

A. Thứ B. Thứ hoặc C. Thứ hoặc D. Thứ hoặc Câu 8. Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu

A. Thứ B. Thứ hoặc C. Thứ hoặc D. Thứ hoặc

Câu 9. Cho Khẳng định nào sau đây đúng?A. B. C. D.

Câu 10. Cho Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.


A. B. C. D.

Câu 12. Cho Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương ?


a

sin 0; cos 0.a a> > sin 0; cos 0.a a< <sin 0; cos 0.a a> < sin 0; cos 0.a a< >

a

sin 0.a> cos 0.a < tan 0.a> cot 0.a>a

sin 0.a> cos 0.a> tan 0.a> cot 0.a>a sin , cosa a

II. IV. II IV. I III.a sin , tana a

I. II IV. II III. I IV.a

2cos 1 sin .a a= -II. I II. II III. I IV.

a2sin sin .a a=

III. I III. I II. IIIIV.

52 .2pp a< <

tan 0; cot 0.a a> > tan 0; cot 0.a a< <tan 0; cot 0.a a> < tan cot 0.a a<0; >

0 .2pa< <

( )sin 0.a p- ³ ( )sin 0.a p- £ ( )sin 0.a p- < ( )sin 0.a p- <

0 .2pa< <

cot 0.2pa

æ ö÷ç + >÷ç ÷çè ø cot 0.2pa

æ ö÷ç + ³÷ç ÷çè ø ( )tan 0.a p+ < ( )tan 0.a p+ >

.2p a p< <



A. B. C. D.


A. B.

C. D.

Câu 14. Cho . Xác định dấu của biểu thức A. B. C. D.

Câu 15. Cho . Xác định dấu của biểu thức A. B. C. D.

Vấn đề 2. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 16. Tính giá trị của

A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B.

C. D.


A. B.

C. D.

12

( )sin .p a+ cot .2p a

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø ( )cos .a- ( )tan .p a+3 .2pp a< <

3tan 0.2p a

æ ö÷ç - <÷ç ÷çè ø3tan 0.2p a

æ ö÷ç - >÷ç ÷çè ø3tan 0.2p a

æ ö÷ç - £÷ç ÷çè ø3tan 0.2p a

æ ö÷ç - ³÷ç ÷çè ø

2p a p< < ( )cos .tan .2M p a p a

æ ö÷ç= - + -÷ç ÷çè ø0.M ³ 0.M > 0.M £ 0.M <

32pp a< < ( )sin .cot .2M p a p a

æ ö÷ç= - +÷ç ÷çè ø0.M ³ 0.M > 0.M £ 0.M <

47sin .6p

47 3sin .6 2p = 47 1sin .6 2

p = 47 2sin .6 2p = 47 1sin .6 2

p =-

89cot .6p

89cot 3.6p = 89cot 3.6

p =- 89 3cot .6 3p = 89 3cot .6 3

p =-

( )cos 2 1 .4 kp pé ùê ú+ +ê úë û

( ) 3cos 2 1 .4 2kp pé ùê ú+ + =-ê úë û

( ) 2cos 2 1 .4 2kp pé ùê ú+ + =-ê úë û

( ) 1cos 2 1 .4 2kp pé ùê ú+ + =-ê úë û

( ) 3cos 2 1 .4 2kp pé ùê ú+ + =ê úë û

( )cos 2 1 .3 kp pé ùê ú+ +ê úë û

( ) 3cos 2 1 .3 2kp pé ùê ú+ + =-ê úë û

( ) 1cos 2 1 .3 2kp pé ùê ú+ + =ê úë û

( ) 1cos 2 1 .3 2kp pé ùê ú+ + =-ê úë û

( ) 3cos 2 1 .3 2kp pé ùê ú+ + =ê úë û


Câu 20. Tính giá trị biểu thức

A. B. C. D.

Câu 21. Tính giá trị biểu thức

A. B. C. D.

Câu 22. Tính giá trị biểu thức A. B. C. D.




Vấn đề 3. TÍNH ĐÚNG SAICâu 26. Với góc bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 27. Với góc bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D. Câu 28. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. B.

C. D. Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. B. C. D.


( )0 0 00 0

0cot44 tan226 cos406

cot72 cot18 .cos316P+

= -

–1.P = 1.P =1.2P =- 1.2P =

2

2

14 1 3sin tan .293 4sin 4P p p

pæ ö÷ç= - + -÷ç ÷çè ø

31 .2P = + 31 .2P = - 32 .2P = + 33 .2P = -

2 2 2 23 5 7cos cos cos cos .8 8 8 8P p p p p= + + +

1.P =- 0.P = 1.P = 2.P =2 2 2 2sin 10 sin 20 sin 30 ... sin 80 .O O O OP = + + + +

0.P = 2.P = 4.P = 8.P =tan10 .tan20 .tan30 .....tan80 .P = ° ° ° °

0.P = 1.P = 4.P = 8.P =0 0 0 0tan1 tan2 tan3 ...tan89 .P =

0.P = 1.P = 2.P = 3.P =

asin cos 1.a a+ = 2 2sin cos 1.a a+ =

3 3sin cos 1.a a+ = 4 4sin cos 1.a a+ =a

2 2sin2 cos 2 1.a a+ = ( ) ( )2 2sin cos 1.a a+ =

( )2 2sin cos 180 1.a a+ °- = ( )2 2sin cos 180 1.a a- °- =

1 sin 1; 1 cos 1.a a- £ £ - £ £ ( )sintan cos 0 .cosaa aa

= ¹

( )coscot sin 0 .sinaa aa

= ¹ ( ) ( )2 2sin 2018 cos 2018 2018.a a+ =

2211 tan .sinaa

+ = 22

11 cot .cosaa

+ =

tan cot 2.a a+ = tan .cot 1.a a =


www.thuvienhoclieu.comCâu 30. Để có nghĩa khi

A. B. C. D. Câu 32. Điều kiện trong đẳng thức là

A. B.

C. D.

Câu 33. Điều kiện để biểu thức xác định là

A. B.

C. D. Câu 34. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 35. Mệnh đề nào sau đây đúng?A. B. C. D.

Vấn đề 4. CÁC CUNG LIÊN QUAN ĐẶC BIỆTCâu 36. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. B.

C. D.

Câu 37. Với mọi số thực , ta có bằngA. B. C. D.

Câu 38. Cho . Khi đó bằng

A. B. C. D.

Câu 39. Với mọi thì bằng A. B. C. D.

14

tanx

.2x p=± 0.x= .2x kp p¹ + .x kp¹tan .cot 1a a =

, .2k kpa ¹ Î ¢ , .2 k kpa p¹ + Î ¢

, .k ka p¹ Î ¢ 2 , .2 k kpa p¹ + Î ¢

tan cot3 6P p pa aæ ö æ ö÷ ÷ç ç= + + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

2 , .6 k kpa p¹ + Î ¢ 2 , .3 k kpa p¹ + Î ¢

, .6 k kpa p¹ + Î ¢ 2 , .3 k kpa p¹ - + Î ¢

0 0sin60 sin150 .< 0 0cos30 cos60 .<0 0tan45 tan60 .< 0 0cot60 cot240 .>

tan45 tan46 .°> ° cos142 cos143 .°> °sin90 13 sin90 14 .¢ ¢° < ° cot128 cot126 .°> °

cos sin .2p a a

æ ö÷ç - =÷ç ÷çè ø ( )sin sin .p a a+ =

cos sin .2p a a

æ ö÷ç + =÷ç ÷çè ø ( ) ( )tan 2 cot 2 .p a a+ =

a9sin 2p a

æ ö÷ç + ÷ç ÷çè øsin .a- cos .a sin .a cos .a-

1cos 3a = 3sin 2pa

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø2.3- 1.3- 1.3

2.3

a Î ¡ ( )tan 2017p a+tan .a- cot .a tan .a cot .a-


Câu 40. Đơn giản biểu thức , ta đượcA. B. C. D.

Câu 41. Rút gọn biểu thức ta đượcA. B.C. D.

Câu 42. Cho và Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. B. C. D.

Câu 43. Biểu thức lượng giác

có giá trị bằng ?

A. B. C. D.

Câu 44. Giá trị biểu thức bằng

A. B. C. D.

Câu 45. Biết rằng thì giá trị đúng của là

A. B. C. D.

Câu 46. Nếu thì bằngA. B. C. D. Một giá trị

khác.Câu 47. Biết là các góc của tam giác , mệnh đề nào sau đây

đúng:

A. B.

C. D. Câu 48. Biết là các góc của tam giác khi đó


cos sin( )2A pa a pæ ö÷ç= - + -÷ç ÷çè ø

cos sin .A a a= + 2sin .A a=sin – cos .A a a= 0.A=

( ) ( )cos sin sin cos2 2S x x x xp pp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= - - - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

0.S= 2 2sin cos .S x x= -2sin cos .S x x= 1.S=

( ) ( )sin .cosP p a p a= + - sin .cos .2 2Q p pa aæ ö æ ö÷ ÷ç ç= - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

0.P Q+ = 1.P Q+ =- 1.P Q+ = 2.P Q+ =

( ) ( )2 23sin sin 10 cos cos 82 2x x x xp pp p

é ù é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú ê ú- + + + - + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê ú ê úè ø è øë û ë û

1. 2.1.2

3.4

( )2 217 7 13tan tan cot cot 74 2 4P x xp p p p

é ùæ ö é ù÷çê ú ê ú= + - + + -÷ç ÷çê ú ê úè ø ë ûë û

21 .sin x 2

1 .cos x 22 .sin x 2

2 .cos x

13sin sin sin2 2 2x xp p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- + = +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø cosx

1. 1.-1.2

1.2-

( ) ( )cot1,25.tan 4 1,25 sin .cos 6 02x xpp pæ ö÷ç+ - + - =÷ç ÷çè ø tanx

1. 1.- 0.

, ,A B C ABC

( )sin sin .A C B+ =- ( )cos cos .A C B+ =-

( )tan tan .A C B+ = ( )cot cot .A C B+ =, ,A B C ,ABC



A. B.

C. D. Câu 49. Cho tam giác . Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. B.

C. D. Câu 50. là ba góc của một tam giác. Hãy tìm hệ thức sai:

A. B.

C. D.

Vấn đề 5. TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 51. Cho góc thỏa mãn và . Tính

A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D.

Câu 54. Cho góc thỏa mãn và Tính

A. B. C. D. Câu 55. Cho góc thỏa mãn và Tính

A. B. C. D.

Câu 56. Cho góc thỏa và Khẳng định nào sau đây đúng?

16

( )sin sin .C A B=- + ( )cos cos .C A B= +

( )tan tan .C A B= + ( )cot cot .C A B=- +ABC

sin cos .2 2A C B+ = cos sin .2 2

A C B+ =

( )sin sin .A B C=+ ( )cos cos .A B C=+,A ,B C

( )sin sin 2 .A A B C=- + +3sin cos .2A B CA + +=-

3cos sin .2A B CC + += ( )sin sin 2 .C A B C= + +

a12sin 13a =

2p a p< < cos .a

1cos .13a = 5cos .13a = 5cos .13a =- 1cos .13a =-

a5cos 3a =- 3

2pp a< < tan .a

3tan .5

a =- 2tan .5

a = 4tan .5

a =- 2tan .5

a =-

a4tan 3a =- 2017 2019

2 2p pa< < sin .a

3sin .5a =- 3sin .5a = 4sin .5a =- 4sin .5a =

a12cos 13a =- .2

p a p< < tan .a12tan .5a =- 5tan .12a = 5tan .12a =- 12tan .5a =

a tan 2a = o o180 270 .a< < cos sin .P a a= +3 5.5P =- 1 5.P = -

3 5.2P = 5 1.2P -=

a3sin 5a = 90 180 .O Oa< <


A. B. C. D.

Câu 57. Cho góc thỏa và Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B. C. D.


A. B. C. D.

Câu 59. Cho góc thỏa và . Tính

A. B. C. D.

Câu 60. Cho góc thỏa mãn và . Tính .

A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D.


.

A. B. C. D.

Câu 64. Cho góc thỏa mãn và . Tính giá trị của


4cot .5a =- 4cos .5a = 5tan .4a = 4cos .5a =-

a3cot 4a = 0 90 .O Oa< <

4cos .5a =- 4cos .5a = 4sin .5a = 4sin .5a =-

a3sin 5a =

2p a p< < 2

tan .1 tanP aa

= +

3.P =-3.7P = 12.25P = 12.25P =-

a1sin 3a = 0 090 180a< <

2tan 3cot 1.tan cotP a aa a+ += +

19 2 2.9P += 19 2 2.9P -= 26 2 2.9P -= 26 2 2.9P +=

a( ) 1sin 3p a+ =-

2p a p< < 7tan 2P p a

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

2 2.P = 2 2.P =-2.4P = 2.4P =-

a3cos 5a = 02

p a- < <

5 3tan 6 4cot .P a a= + + -4.P = 4.P =- 6.P = 6.P =-

a3cos 5a =

4 2p pa< <

2tan 2tan 1P a a= - +1.3P =- 1.3P = 7.3P = 7.3P =-

a22

p a p< < tan 14pa

æ ö÷ç + =÷ç ÷çè ø

cos sin6P pa aæ ö÷ç= - +÷ç ÷çè ø

3.2P = 6 3 2.4P += 3.2P =- 6 3 2.4P -=

a22

p a p< < cot 33pa

æ ö÷ç + =-÷ç ÷çè ø



biểu thức .

A. B. C. D.


A. B. C. D.

Câu 66. Cho góc thỏa mãn Tính

A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D. Câu 70. Cho góc thỏa mãn Tính

A. B. C. D.


A. B. C. D.

Câu 72. Cho góc thỏa mãn và Tính

A. B. C. D.

18

sin cos6P pa aæ ö÷ç= + +÷ç ÷çè ø

3.2P = 1.P = 1.P =-3.2P =-

a4tan 3a =-

2p pa< <

2

2sin cos .sin cosP a a

a a-= -

30.11P = 31.11P = 32.11P = 34.11P =

a tan 2.a =3sin 2cos .5cos 7sinP a a

a a-= +

4.9P =- 4.9P = 4 .19P =- 4 .19P =

a1cot .3a = 3sin 4cos .2sin 5cosP a a

a a+= -

15.13P =- 15.13P = 13.P =- 13.P =

a tan 2.a =2 2

2 22sin 3sin .cos 4cos .5sin 6cosP a a a a

a a+ += +

913P = × 9

65P = × 965P =- × 24

29P = ×

a1tan .2a =

2 2

2 22sin 3sin .cos 4cos .5cos sinP a a a a

a a+ -= -

813P =- × 2

19P = × 219P =- × 8

19P =- ×

a tan 5.a = 4 4sin cos .P a a= -913P = × 10

13P = × 1113P = × 12

13P = ×

a5sin cos .4a a+ = sin .cos .P a a=

916P = × 9

32P = × 98P = × 1

8P = ×

a12sin cos 25a a = sin cos 0.a a+ >

3 3sin cos .P a a= +91

125P = × 4925P = × 7

5P = × 19P = ×



A. B. C. D.

Câu 74. Cho góc thỏa mãn . Tính



A. B. C. D.

Câu 77. Cho góc thỏa mãn Tính A. B. C. D.


A. B. C. D. Câu 79. Cho góc thỏa mãn và . Tính

A. B. C. D.


A. B. C. D. Vấn đề 6. RÚT GỌN BIỂU THỨC

Câu 81. Rút gọn biểu thức A. B. C. D.

Câu 82. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. B.

C. D. Câu 83. Mệnh đề nào sau đây là đúng?


a0 4

pa< < 5sin cos 2a a+ =

sin cos .P a a= -3.2P = 1

2P = × 12P =- × 3.2P =-

a sin cos .ma a+ = sin cos .P a a= -

2 .P m= - 22 .P m= - 2 2.P m= - 22 .P m= -a tan cot 2.a a+ = 2 2tan cot .P a a= +

1.P = 2.P = 3.P = 4.P =a tan cot 5.a a+ = 3 3tan cot .P a a= +

100.P = 110.P = 112.P = 115.P =

a2coi .sn s 2a a+ = 2 2tan cot .P a a= +

12.P = 14.P = 16.P = 18.P =

a 2p a p< < tan cot 1a a- =

tan cot .P a a= +1.P = 1.P =- 5.P =- 5.P =

a 3cos 2sin 2a a+ = sin 0a< sin .a5sin .13a =- 7sin .13a =- 9sin .13a =- 12sin .13a =-

a32pp a< < sin 2cos 1a a- =

2tan cot .P a a= -1.2P = 1.4P = 1.6P = 1.8P =

( ) ( )2 2sin cos sin cos .M x x x x= + + -1.M = 2.M = 4.M = 4sin .cos .M x x=

4 4 1 3sin cos cos4 .4 4x x x+ = + 4 4 5 3sin cos cos4 .8 8x x x+ = +

4 4 3 1sin cos cos4 .4 4x x x+ = + 4 4 1 1sin cos cos4 .2 2x x x+ = +


www.thuvienhoclieu.comA. B. C. D.

Câu 84. Rút gọn biểu thức A. B.

C. D.







Câu 91. Đơn giản biểu thức

A. B. C. D.

Câu 92. Đơn giản biểu thức A. B. C. D.


A. B. C. D.


20

4 4 2sin cos 1 2cos .x x x- = - 4 4 2 2sin cos 1 2sin cos .x x x x- = -4 4 2sin cos 1 2sin .x x x- = - 4 4 2sin cos 2cos 1.x x x- = -

6 6sin cos .M x x= +2 21 3sin cos .M x x= + 21 3sin .M x= -231 sin 2 .2M x= - 231 sin 2 .4M x= -

( ) ( )24 4 2 2 8 82 sin cos cos sin sin cos .M x x x x x x= + + - +

1.M = 1.M =- 2.M = 2.M =-2 2tan sin .M x x= -

2tan .M x= 2sin .M x= 2 2tan .sin .M x x= 1.M =2 2cot cos .M x x= -

2cot .M x= 2cos .M x= 1.M = 2 2cot .cos .M x x=( ) ( )2 2 21– sin cot 1– co .tx xM x+=

2sin .M x= 2cos .M x= 2–sin .M x= 2–cos .M x=2 2 2 2 2sin tan 4sin tan 3cos .M a a a a a= + - +

21 sin .M a= + n .siM a= 2sin .M a= 3.M =( )( )4 4 2 2sin cos 1 tan cot 2 .M x x x x= + - + +

4.M =- .2M =- 2.M = 4.M =4 2 2sin sin cos .P a a a= +

sin .P a= sin .P a= cos .P a= cos .P a=2

21 sin .1 sinP a

a+= -

21 2tan .P a= + 21 2tan .P a= -21 2tan .P a=- + 21 2tan .P a=- -

21 cos 1 .1 cossinP a

aa-= - +

22cos .sinP a

a=- 2

2 .sinPa

= 2 .1 cosPa

= + 0.P =2 2

22

1 sin cos cos .cosP a a aa

-= -

2tan .P a= 1.P = 2cos .P a=- 2cot .P a=




A. B. C. D.


A. B. C. D.



A. B. C. D. Câu 100. Hệ thức nào sau đây là sai?

A.

B.

C.

D.

BAØI3. COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC

I – CÔNG THỨC CỘNG


22cos 1 .sin cosxP

x x-= +

cos sin .P x x= + cos sin .P x x= -cos2 sin2 .P x x= - cos2 sin2 .P x x= +

( )2sin cos 1.cot sin cosPa aa a a

+ -= -

22tan .P a= 3sin .cosP a

a= 22cot .P a= 2

2 .cosPa

=

2sin tan 1.cos 1P a aa

æ ö+ ÷ç= +÷ç ÷çè ø+

2.P = 1 tan .P a= + 21 .cosPa

= 21 .sinPa

=

21 costan sin .sinP aa aa

æ ö+ ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø2.P = 2cos .P a= 2tan .P a= 2sin .P a=

2 2

2cot cos sin cos .cotcot

x x x xPxx

-= +

1.P = 1.P =-1.2P = 1.2P =-

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2sin 1 1 cos 1 tan cot .

2 1 sin 2 1 cosa a a a

a a+ ++ + = +

- -2 2 4 2

2 2 21 4sin .cos 1 tan 2tan .4sin .cos 4tan

x x x xx x x

- + -=

sin tan 1 sin cot .tanx x x x

x+ = + +

cos 1tan .1 sin cosxxx x

+ =+



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

III – CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH

1. Công thức biến đổi tích thành tổng

2. Công thức biến đổi tổng thành tích

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆMVấn đề 1. TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1. Rút gọn biểu thức

A. B. C. D. Câu 2. Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D. 22

( )( )( )( )( )

( )

cos cos cos sin sincos cos cos sin sinsin sin cos cos sinsin sin cos cos sin

tan tantan 1 tan tantan tantan .1 tan tan

a b a b a ba b a b a ba b a b a ba b a b a b

a ba ba b

a ba ba b

- = ++ = -- = -+ = +

-- = +++ = -

2 2 2 2

2

sin2 2sin coscos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

2tantan2 .1 tan

a a aa a a a a

aaa

== - = - = -

= -

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1cos cos cos cos21sin sin cos cos21sin cos sin sin .2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

é ù= - + +ë ûé ù= - - +ë ûé ù= - + +ë û

cos cos 2cos cos2 2cos cos 2sin sin2 2

u v u vu v

u v u vu v

+ -+ =+ -- =-

sin sin 2sin cos2 2sin sin 2cos sin .2 2

u v u vu v

u v u vu v

+ -+ =+ -- =

4 o 4 ocos 15 sin 15 .M = -

1.M =3.2M = 1.4M = 0.M =

4 0 4 0 2 0 2 0cos 15 sin 15 cos 15 sin 15 .M = - + -

3.M =1.2M = 1.4M = 0.M =

www.thuvienhoclieu.comCâu 3. Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

Câu 4. Giá trị của biểu thức là

A. B. C. D.


A. . B. C. D.

Câu 6. Giá trị đúng của biểu thức bằng

A. B. C. D.

Câu 7. Giá trị của biểu thức bằng

A. B. C. D.


A. B. C. D. Câu 9. Tính giá trị của biểu thức

A. . B. .

C. . D. .

Câu 10. Tính giá trị của biểu thức

A. . B. . C. . D. .Vấn đề 2. TÍNH ĐÚNG SAI

Câu 11. Công thức nào sau đây sai?


6 o 6 ocos 15 sin 15 .M = -

1.M =1.2M = 1.4M = 15 3.32M =

cos cos sin sin30 5 30 5p p p p+

3.23.2- 3.4

1.25 5sin cos sin cos18 9 9 18

cos cos sin sin4 12 4 12P

p p p p

p p p p

-=

-

11.2

2.23.2

0 0 0

0 0tan225 cot81.cot69

cot261 tan201-

+1 .3

1 .3

-3. 3.-

5 7 11sin sin sin sin24 24 24 24M p p p p=

1.21.4

1.81 .16

sin .cos .cos .cos .cos48 48 24 12 6A p p p p p=

1 .323.8

3.163.32

0 0 0 0cos10 cos20 cos40 cos80 .M =01 cos1016M = 01cos102M =

01cos104M = 01cos108M =

2 4 6cos cos cos .7 7 7M p p p= + +

0M =12M =- 1M = 2M =



A. B.

C. D. Câu 12. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D. Câu 13. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. B. C. D.

Câu 14. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. B.

C. D. Câu 15. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. B.

C. D. Câu 16. Có bao nhiêu đẳng thức dưới đây là đồng nhất thức?

1) 2)

3) 4) A. B. C. D.

Câu 17. Công thức nào sau đây đúng?A. B. C. D.

Câu 18. Công thức nào sau đây đúng?A. B. C. D.

Câu 19. Nếu thì khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 20. Nếu thì khẳng định nào sau đây đúng?

24

( )cos sin sin cos cos .a b a b a b- = + ( )cos sin sin cos cos .a b a b a b+ = -

( )sin sin cos cos sin .a b a b a b- = - ( )sin sin cos cos sin .a b a b a b+ = +

( )sin 2018 2018sin .cos .a a a= ( ) ( ) ( )sin 2018 2018sin 1009 .cos 1009 .a a a=

( )sin 2018 2sin cos .a a a= ( ) ( ) ( )sin 2018 2sin 1009 .cos 1009 .a a a=

2 2cos6 cos 3 sin 3 .a a a= - 2cos6 1 2sin 3 .a a= -2cos6 1 6sin .a a= - 2cos6 2cos 3 1.a a= -

2 1 cos2sin .2xx -= 2 1 cos2cos .2

xx +=

sin 2sin cos .2 2x xx= 3 3cos3 cos sin .x x x= -

sin cos 2sin .4a a a pæ ö÷ç+ = - ÷ç ÷çè ø sin cos 2sin .4a a a pæ ö÷ç+ = + ÷ç ÷çè ø

sin cos 2sin .4a a a pæ ö÷ç+ =- - ÷ç ÷çè ø sin cos 2sin .4a a a pæ ö÷ç+ =- + ÷ç ÷çè ø

cos sin 2sin .4x x x pæ ö÷ç- = + ÷ç ÷çè ø cos sin 2cos .4x x x pæ ö÷ç- = + ÷ç ÷çè ø

cos sin 2sin .4x x x pæ ö÷ç- = - ÷ç ÷çè ø cos sin 2sin .4x x xpæ ö÷ç- = - ÷ç ÷çè ø1. 2. 3. 4.

3cos3 3cos 4cos .a a a= - 3cos3 4cos 3cos .a a a= -3cos3 3cos 4cos .a a a= - 3cos3 4cos 3cos .a a a= -

3sin3 3sin 4sin .a a a= - 3sin3 4sin 3sin .a a a= -3sin3 3sin 4sin .a a a= - 3sin3 4sin 3sin .a a a= -( )cos 0a b+ =

( )sin 2 sin .a b a+ = ( )sin 2 sin .a b b+ =

( )sin 2 cos .a b a+ = ( )sin 2 cos .a b b+ =

( )sin 0a b+ =


A. B.

C. D. Vấn đề 3. VẬN DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 21. Rút gọn A. B. C. D.



Câu 24. Giá trị nào sau đây của thỏa mãn ?A. B. C. D.

Câu 25. Đẳng thức nào sau đây đúng:

A. B.

C. D. Câu 26. Chọn công thức đúng trong các công thức sau:

A.

B.

C. D.


Câu 28. Tam giác có và . Khi đó bằng

A. B. C. D.


( )cos 2 sin .a b a+ = ( )cos 2 sin .a b b+ =

( )cos 2 cos .a b a+ = ( )cos 2 cos .a b b+ =

( ) ( )sin cos cos sin .M x y y x y y= - + -

cos .M x= sin .M x= sin cos 2 .M x y= cos cos 2 .M x y=( ) ( ) ( ) ( )cos cos sin sin .M a b a b a b a b= + - - + -

21 2cos .M a= - 21 2sin .M a= -cos4 .M a= sin4 .M a=

( ) ( ) ( ) ( )cos cos sin sin .M a b a b a b a b= + - + + -21 2sin .M b= - 21 2sin .M b= +

cos4 .M b= sin4 .M b=x sin2 .sin3 cos2 .cos3x x x x=

18 .° 30 .° 36 .° 45 .°

( )sincot cot .sin .sinb a

a ba b

-+ = ( )2 1cos 1 cos2 .2a a= +

( ) ( )1sin sin2 .2a b a b+ = + ( ) ( )sintan .cos .cosa b

a ba b

++ =

( ) ( )1sin .sin cos cos .2a b a b a bé ù=- + - -ë û

sin sin 2sin .cos .2 2a b a ba b + -- =

2tantan2 .1 tanaaa

= -2 2cos2 sin cos .a a a= -

cos cos .4 4M x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= + - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øn .2siM x= si .2 nxM =- s .2coM x= co .2 sxM =-

ABC4cos 5A= 5cos 13B= cosC

56.6556.65- 16.65

33.65



Câu 29. Cho là ba góc nhọn thỏa mãn . Tổng bằng

A. B. C. D. Câu 30. Cho là các góc của tam giác . Khi đó

tương đương với:

A. B.

C. D. Câu 31. Cho là các góc của tam giác . Khi đó

tương đương với:A. B. C. D.

Câu 32. Cho là các góc của tam giác (không phải tam giác vuông). Khi đó tương đương với :

A. B. C. D.

Câu 33. Cho là các góc của tam giác .

Khi đó tương đương với:A. B.

C. D. Đáp án khác.

Câu 34. Trong , nếu thì là tam giác có tính chất nào sau đây?A. Cân taïi B. Cân taïi C. Cân taïi D. Vuông taïi

Câu 35. Trong , nếu thì là tam giác gì?A. Tam giác vuông. B. Tam giác cân.C. Tam giác đều. D. Tam giác vuông

hoặc cân.

Vấn đề 4. TÍNH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

26

, ,A B C tan ta1 n tan1 1, ,2 5 8A B C= = =

A B C+ +

.6p .5

p .4p .3

p

, ,A B C ABCsin sin sinP A B C= + +

4cos cos cos .2 2 2A B CP = 4sin sin sin .2 2 2

A B CP =

2cos cos cos .2 2 2A B CP = 2cos cos cos .2 2 2

A B CP =

, ,A B C ABCsin2 sin2 sin2P A B C= + +

4cos .cos .cos .P A B C= 4sin .sin .sin .P A B C=4cos .cos .cos .P A B C=- 4sin .sin .sin .P A B C=-

, ,A B C ABCtan tan tanP A B C= + +

tan .tan .tan .2 2 2A B CP = tan .tan .tan .2 2 2

A B CP =-

tan .tan .tan .P A B C=- tan .tan .tan .P A B C=, ,A B C ABC

tan .tan tan .tan tan .tan2 2 2 2 2 2A B B C C AP = + +

1.P = 1.P =-2

tan .tan .tan .2 2 2A B CP

æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø

ABCDsin 2cossin

B AC

=ABCD

.B .A .C .B

ABCD2

2tan sintan sin

A AC C

=ABCD



A. B. C. D.


A. B. C. D.

Câu 38. Biết và . Tính

A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D.

Câu 42. Cho góc thỏa mãn . Tính .

A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D. www.thuvienhoclieu.com 27

a 2p a p< < 4sin 5a = ( )sin2 .P a p= +

24.25P =- 24.25P = 12.25P =- 12.25P =

a0 2

pa< < 2sin 3a = 1 sin2 cos2sin cosP a a

a a+ += +

2 5.3P =- 3.2P = 3.2P =- 2 5.3P =

( ) 3sin 5p a- =- 32pp a< < sin .6P pa

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø

3.5P =- 3.5P = 4 3 3.10P - -= 4 3 3.10P -=

a3sin .5a = sin sin .6 6P p pa a

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø11 .100P = 11 .100P =- 7 .25P = 10.11P =

a4sin .5a = cos4 .P a=

527.625P = 527.625P =- 524.625P = 524.625P =-

a4sin2 5a =- 3

4p a p< < sin cosP a a= -

3 .5

P = 3 .5

P =- 5.3P = 5.3P =-

a2sin2 3a = 4 4sin cosP a a= +

1.P =17.81P = 7.9P = 9.7P =

a5cos 13a = 3 22

p a p< < tan2P a=120.119P =- 119.120P =- 120.119P = 119.120P =

a2cos2 3a =- ( )( )2 21 3sin 1 4cosP a a= + -

12.P =21.2P = 6.P = 21.P =




A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D.



A. B. C. D.

Câu 51. Cho góc thỏa mãn và Tính A. B. C. D.


A. B. C. D.


A. B. C. D.


28

a3cos 4a = 3 22

p a p< < cos .3P p aæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

3 21.8P += 3 21.8P -= 3 3 7.8P += 3 3 7.8P -=

a4cos 5a =- 3

2pp a< < tan 4P pa

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø1.7P =- 1.7P = 7.P =- 7.P =

a4cos2 5a =-

4 2p pa< < cos 2 4P pa

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

2.10P = 2.10P =- 1.5P =- 1.5P =

a4cos 5a =- 3

2pp a< < 3sin .cos2 2P a a=

39.50P =- 49.50P = 49.50P =- 39.50P =

a5cot 22p a

æ ö÷ç - =÷ç ÷çè ø tan 4P paæ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø

1.2P = 1.2P =- 3.P = 4.P =a cot 15.a = sin2 .P a=

11 .113P = 13 .113P = 15 .113P = 17 .113P =

a cot 3 2a =- .2p a p< < tan cot2 2.P a a= +

2 19.P = 2 19.P =- 19.P = 19.P =-

a4tan 3a =- 3 ;22

pa pæ ùç úÎ çç úè û sin cos2 2P a a= +

5.P = 5.P =-5.5P =- 5.5P =

a tan 2a =-sin2

cos4 1P aa

= +10.9P = 9 .10P = 10.9P =- 9 .10P =-

a tan cot 0a a+ <1sin 5a = sin2P a=


A. B. C. D.


A. B. C. D.

Câu 56. Biết Hãy tính

A. B. C. D. 0.

Câu 57. Nếu biết rằng thì giá trị đúng của biểu thức là

A. B. C. D.

Câu 58. Cho hai góc nhọn và biết rằng Tính giá trị của biểu thức

A. B. C. D.

Câu 59. Nếu là hai góc nhọn và thì có giá trị bằng

A. B. C. D.

Câu 60. Cho và thỏa mãn , . Góc có giá trị bằng

A. B. C. D.

Câu 61. Cho là các góc nhọn và dương thỏa mãn Tổng bằng

A. B. C. D.

Câu 62. Nếu là ba góc nhọn thỏa mãn thì


4 6.25P = 4 6.25P =- 2 6.25P = 2 6.25P =-

a 2p a p< < sin 2cos 1a a+ =- sin2P a=

24.25P = 2 6.5P = 24.25P =- 2 6.5P =-

5 3sin ; cos ; ; 0 .13 5 2 2a b a bp pp= = < < < < ( )sin .a b+56.65

63.6533.65-

5 3sin , cos 013 2 5 2p pa a p b b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= < < = < <÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø( )cos a b-

16.6516.65- 18.65

18.65-

a ; b1 1cos ; cos .3 4a b= =

( ) ( )cos .cos .P a b a b= + -113.144- 115.144- 117.144- 119.144-

,a b1 1sin ; sin3 2a b= = ( )cos2 a b+

7 2 6.18- 7 2 6.18

+ 7 4 6.18+ 7 4 6.18

-

0 , 2pa b< < tan 1

7a = tan 34b= a b+

.3p .4

p .6p .2

p

, x y3 1cot , cot .4 7x y= =

x y+

.4p 3 .4

p .3p

.p, ,a b g ( )tan .sin cosa b g g+ =



A. B. C. D.

Câu 63. Biết rằng và thì biểu thức có giá trị bằng

A. B. C. D.

Câu 64. Nếu thì giá trị của biểu thức bằng

A. B. C. D.

Câu 65. Nếu thì giá trị đúng của là

A. B. C. D.

Câu 66. Nếu với thì

A. B.

C. D.

Câu 67. Nếu và thì bằng

A. B. C. D. Câu 68. Nếu và là hai nghiệm của phương trình

thì bằng

A. B. C. D. Câu 69. Nếu ; là hai nghiệm của phương trình

. Và ; là hai nghiệm của phương trình thì tích bằng

A. B. C. D. Câu 70. Nếu và là hai nghiệm của phương trình

thì giá trị biểu thức bằng:

30

.4pa b g+ + = .3

pa b g+ + = .2pa b g+ + = 3 .4

pa b g+ + =

( )01tan 0 902a a= < < ( )0 01tan 90 1803b b=- < <

( )cos 2a b-

10.10- 10.105.5- 5.5

( )0 01sin cos 135 1805a a a- = < < tan2a

20.7- 20.724.7

24.7-

( ) ( )tan 7, tan 4a b a b+ = - = tan2a11.27- 11.27

13.27- 13.27

( )sin .cos sina a b b+ = ( ), , ,2 2k l k lp pa b p a p+ ¹ + ¹ + Î ¢

( )tan 2cot .a b a+ = ( )tan 2cot .a b b+ =

( )tan 2tan .a b b+ = ( )tan 2tan .a b a+ =

2pa b g+ + = cot cot 2cota g b+ = cot .cota g

3. 3.- 3. 3.-tana tanb

( )2 0 1x px q q+ + = ¹ ( )tan a b+

.1p

q- .1p

q- -

2 .1pq-

2 .1pq

- -tana tanb

( )2 0 . 0x px q pq- + = ¹ cota cotb2 0x rx s- + = P rs=

.pq 2 .pq

1 .pq 2 .q

p

tana tanb( )2 0 0x px q q- + = ¹

( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sin .cos sinP p qa b a b a b a b= + + + + + +


A. B. C. D.

Vấn đề 5. RÚT GỌN BIỂU THỨC

Câu 71. Rút gọn biểu thức .

A. B.

C. D.


Câu 73. Chọn đẳng thức đúng.

A. B.

C. D.

Câu 74. Gọi thìA. B.

C. D. Câu 75. Gọi thì

A. B.

C. D.

Câu 76. Rút gọn biểu thức . A. B. C. D.

Câu 77. Rút gọn biểu thức .A. B. C. D.

Câu 78. Rút gọn biểu thức . A. B. C. D.


.p .q 1..p

q

tan tanM x y= -

( )tan .M x y= -( )sin .cos .cosx y

Mx y

+=

( )sin .cos .cosx y

Mx y

-= tan tan .1 tan .tanx yMx y

-= +

2 2cos cos .4 4M p pa aæ ö æ ö÷ ÷ç ç= + - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

sin2 .M a= cos2 .M a= cos2 .M a=- sin2 .M a=-

pæ ö -÷ç + =÷ç ÷çè ø2 1 sincos .4 2 2

a a pæ ö +÷ç + =÷ç ÷çè ø2 1 sincos .4 2 2

a a

pæ ö -÷ç + =÷ç ÷çè ø2 1 coscos .4 2 2

a a pæ ö +÷ç + =÷ç ÷çè ø2 1 coscos .4 2 2

a a

( )sinsin .sin

y xM

x y-=

-= tan tan .M x y -=cot cotxM y

-=cot cot .M y x = -1 1 .sin sinMx y

cos cos2 cos3M x x x= + +

( )2cos2 cos 1 .M x x= +14cos2 . cos .2M x x

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø( )cos2 2cos 1 .M x x= - ( )cos2 2cos 1 .M x x= +

-= -2sin3 sin2cos 1

x xMx

tan 2x sin .x 2 tan .x 2sin .x

2

1 cos cos 2 cos32cos cos 1x x xAx x

+ + += + -cos .x 2cos 1.x - 2cos .x cos 1.x -

tan cot cos2tan cotA a a aa a

-= ++0. 22cos .x 2. cos 2 .x



Câu 79. Rút gọn biểu thức .A. . B. . C. . D. .

Câu 80. Biểu thức có kết quả rút gọn bằng:

A. B. C. D.

Câu 81. Khi thì biểu thức có giá trị bằng:

A. . B. . C. . D.

.

Câu 82. Rút gọn biểu thức .A. B. C. D.

Câu 83. Rút gọn biểu thức .

A. B. C. D.

Câu 84. Rút gọn biểu thức được:

A. B. C. D. Câu 85. Rút gọn biểu thức .

A. B. C. D.

Vấn đề 6. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Câu 86. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A. B. C. D.

Câu 87. Cho biểu thức . Mệnh đề nào sau đây là đúng?A. B.

32

1 sin 4 cos 41 sin 4 cos 4

A a aa a

+ -= + +sin2a cos2a tan2a cot2a

a aa a

- += + +3 4cos2 cos43 4cos2 cos4A

a- 4tan . a4tan . a- 4cot . a4cot .

6pa = a a a a

a a+ -= - -

2 4 2 2

2 2sin 2 4sin 4sin .cos

4 sin 2 4sinA

13

16

19

112

a aa a+= + +

21 2

sin sincos cosA

tan .a 2 tan .a tan 2 tan .a a+ tan 2 .a

- -= -1 sin cos2

sin2 cosa aAa a

1. tan .a5 .2 2 tan .a

+=

+ +

sin sin 21 cos cos2

xxA xx

tan .2x

cot .xpæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø

2tan .4 xsin .x

a a a a= -5 5sin .cos sin .cosA

a1sin2 .2 a- 1sin4 .2 a3sin4 .4 a1sin4 .4

M m 3sin 2.P x= -1, 5.M m= =- 3, 1.M m= =2, 2.M m= =- 0, 2.M m= =-

2sin 23P x pæ ö÷ç=- + +÷ç ÷çè ø4, .P x³ - " Î ¡ 4, .P x³ " Î ¡

5CUNG VAØ GOÙC LÖÔÏNG GIAÙCCOÂNG THÖÙC LÖÔÏNG

www.thuvienhoclieu.comC. D.

Câu 88. Biểu thức có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?A. B. C. D.

Câu 89. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A. B. C. D. Câu 90. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. Tính A. B. C. D.

Câu 91. Cho biểu thức . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. B. C. D. Câu 92. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A. B.

C. D. Câu 93. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A. B. C. D.

Câu 94. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A. B. C. D.

Câu 95. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. B. C. D.

BAØI1. CUNG VAØ GOÙC LÖÔÏNG GIAÙC

Câu 1. Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 2, ta chọn D.Câu 2. Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 6, ta chọn B.


0, .P x³ " Î ¡ 2, .P x³ " Î ¡

sin sin3P x xpæ ö÷ç= + -÷ç ÷çè ø1. 2. 3. 4.

M m2 2sin 2cos .P x x= +3, 0.M m= = 2, 0.M m= = 2, 1.M m= = 3, 1.M m= =

, M m28sin 3cos2P x x= + 22 .T M m= -

1.T = 2.T = 112.T = 130.T =4 4cos sinP x x= +

2, .P x£ " Î ¡ 1, .P x£ " Î ¡ 2, .P x£ " Î ¡2, .2P x£ " Î ¡

M m4 4sin cos .P x x= -2, 2.M m= =- 2, 2.M m= =-

1, 1.M m= =-11, .2M m= =

M m6 6sin cos .P x x= +

2, 0.M m= =11, .2M m= = 11, .4M m= = 1, 0.4M m= =

M m 1 2 cos3 .P x= -3, 1.M m= =- 1, 1.M m= =- 2, 2.M m= =- 0, 2.M m= =-

M24sin 2sin 2 .4P x x pæ ö÷ç= + + ÷ç ÷çè ø

2.M = 2 1.M = - 2 1.M = + 2 2.M = +


www.thuvienhoclieu.comCâu 3. Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng cuối, ta chọn D.Câu 4. Theo SGK cơ bản trang 135, mục 2, ta chọn D.Câu 5. Theo SGK cơ bản trang 135, mục 3, ta chọn D.Câu 6. Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad.

Chọn D.Câu 7. tướng ứng với . Chọn C.Câu 8. Ta có tướng ứng với .

Suy ra tương ứng với . Vậy . Chọn D.

Câu 9. Áp dụng công thức với tính bằng radian, tính bằng độ. Chọn C.

Câu 10. Áp dụng công thức với tính bằng radian, tính bằng độ.

Trong trường hợp này là . Chọn A.

Câu 11. Cách 1. Áp dụng công thức với tính bằng radian, tính bằng độ.

Ta có . Chọn C.Cách 2. Bấm máy tính:Bước 1. Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian.Bước 2. Bấm 70 x = q B 1 = . Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.

Câu 12. Tương tự như câu trên. Chọn A.

Câu 13. Áp dụng công thức với tính bằng radian, tính bằng độ.

Trước tiên ta đổi .

Áp dụng công thức, ta được Chọn C.Cách 2. Bấm máy tính:Bước 1. Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian.Bước 2. Bấm 45 x 32 x = q B 1 = . Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.

Câu 14. Cách 1. Áp dụng công thức với tính bằng radian, tính bằng độ.

34

radp 0180 radp 0180

1 rad 0x180.1xp

=

.180apa =

a a

.180apa =

a a

3 .3 180 60a aa p pa¾¾® = =

.180apa =

a a

. 70 7180 180 18ap p pa = = =

.180apa =

a a0

0 3245 32' 45 60æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø

3245 .60 0,7947065861.180

pa

æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø= =

.180apa =

a a


Trước tiên ta đổi .

Áp dụng công thức, ta được Chọn D.Cách 2. Bấm máy tính:Bước 1. Bấm q w 4 để chuyển về chế độ radian.Bước 2. Bấm 40 x 25 x = q B 1 = n. Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.

Câu 15. Tương tự như câu trên. Chọn A.

Câu 16. Cách 1. Từ công thức với tính bằng radian, tính bằng độ.

Ta có . Chọn A.Cách 2. Bấm máy tính:Bước 1. Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.Bước 2. Bấm (qLP12)qB2= .Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.

Câu 17. Ta có Chọn C.Cách 2. Bấm máy tính:Bước 1. Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.Bước 2. Bấm (z3qLP16)qB2=nx.

Câu 18. Ta có Chọn B.Cách 2. Bấm máy tính:Bước 1. Bấm qw3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.Bước 2. Bấm z 5 qB2=x.

Câu 19. Tương tự như câu trên. Chọn D.Câu 20. Tương tự như câu trên. Chọn C.Câu 21. Từ công thức là tỷ lệ nhau. Chọn A.

Câu 22. Áp dụng công thức Chọn A.Câu 23. Ta có cm. Chọn A.

Câu 24. Cung có số đo thì có số đó radian là .


00 2540 25' 40 60

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø2540 . 9760 0,705403906.180 432

ppa

æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø= = =

0. .180180a ap aa

pæ ö÷ç= ¾¾® = ÷ç ÷çè ø a

a0

00

.180.180 12 15a

pap p

æ ö÷ç ÷çæ ö ÷ç ÷÷ç ç ÷= = =÷ç ç ÷ç÷ç è øè ø

00 0

0

3 .180.180 13516 33 45'.4a

pap p

æ ö÷ç- ÷ç ÷æ ö æ öç ÷÷ ÷ç çç ÷= = = - =-÷ ÷ç çç ÷ç÷ ÷ç çè øè ø è ø

0 00.180 5.180 286 28'44''.a a

p pæ ö æ ö-÷ ÷ç ç= = =-÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Ra= ¾¾®l l a

20.16 3,93cm.R pa= = »l

1,5.20 30Ra= = =l

03535 7

180 180 36ap p pa == =



Bán kính đường tròn cm.

Suy ra cm. Chọn B.

Câu 25. Ta có rad. Chọn B.

Câu 26. rad. Chọn B.

Câu 27. Ta có . Chọn D.

Câu 28. Ta có . Chọn C.

Câu 29. Trong giây bánh xe đạp quay được vòng tức là quay được

cung có độ dài là .

Ta có Chọn A. Câu 30. răng có chiều dài là nên răng có chiều dài

Theo công thức mà .Chọn C.Cách khác: răng tương ứng với nên răng tương ứng với

.

Câu 31. Theo đề Chọn D.

Câu 32. Ta có Chọn B.

Câu 33. Góc lượng giác chiếm đường tròn. Số đo là , .

Chọn A.36

20 102R= =

7 .10 6,1136R pa= = »l

4023 0,6720 3R

Ra a= Û = = = »ll

2 2RRR R

a a= Û = = =ll

16

6R

RR R

p pa a= Û = = =ll

aa

= Û = = =10 42,5ll R R

22.2 45 5=

4. 5582 Rl Rp p==

85 .8

5ll

RR

R R

ppa a= Û = = =

72 2 Rp 1010.2 5

72 18Rl Rp p= =

551818

Rll RR R

ap

a p= Û = = = 0

5180.180 18 50apa

p p= = =

72 0360 10010.360 5072 =

( ) 0 0 0 01822 30' 22 30' .36, 0 1822 30' 5.OxOy k k= ¾¾® + = ¾¾® =

19 212 5.2 210 11 k kp a p ppp < < ¾¾® ®¾¾ =< <

( ),OG OP14

1.2 24 kp p+

k Î ¢

www.thuvienhoclieu.comCâu 34. Vì số đo cung bằng nên , là điểm đối xứng với

qua trục nên . Do đó số đo cung bằng nên số đo cung lượng giác có số đo là .Chọn D.

Câu 35. Ta có , Nên . Khi đó số đo cung bằng .Chọn A.

Câu 36. Ta có , Nên cung lượng giác có số đo bằng

. Chọn D.

Câu 37. Cách 1. Ta có hai cung và có điểm cuối trùng nhau. Và hai cung và có điểm cuối trùng nhau. Cách 2. Gọi là điểm cuối của các cung Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có Chọn B.

Câu 38. Cặp góc lượng giác và ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng

tia đầu và tia cuối. Khi đó , hay .

Dễ thấy, ở đáp án B vì . Chọn B.Câu 39. Tam giác đều có góc ở đỉnh là nên góc ở tâm là tương ứng

. Chọn A.

Câu 40. Hình vẽ tham khảo (hình vẽ bên).Hình vuông có góc là

nên góc ở tâm là tương ứng Chọn A.

BAØI GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA www.thuvienhoclieu.com 37

AM 045 · 045AOM = N

M Ox · 045AON = AN 45o

AN 45 360 ,o ok k- + Î Z

· 060AOM = · 060MON =· 0120AON =

AN 0120

· 075AOM = · 0180MON =AN

0 0105 360 ,k k- + Î Z

4d a p- = Þ a d8g b p- = Þ b g

, , ,A B C D , , ,a b g d

, .B C A Dº ºa b

2a b k p= + k Î ¢ 2a bkp

-=

15230310 5

2 20k

p p

p

-= =- Ï ¢

60o 120o

23k p

CDEF ·DCE 45o

90o .2kp


www.thuvienhoclieu.com2. MOÄT CUNG

Câu 1. thuộc góc phần tư thứ nhất Chọn A.

Câu 2. thuộc góc phần tư thứ hai Chọn C.

Câu 3. thuộc góc phần tư thứ hai Chọn A.

Câu 4. thuộc góc phần tư thứ hai Chọn B.Câu 5. Chọn D.Câu 6. Chọn C.

Câu 7. Ta có

Đẳng thức điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ hoặc Chọn D.

Câu 8. Ta có

Đẳng thức điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ hoặc Chọn C.

Câu 9. Ta có điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ

Chọn A.

Câu 10. Ta có điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ Chọn D.

Câu 11. Ta có Chọn D.Câu 12. Ta có

38

a

sin 0cos 0tan 0cot 0

aaaa

ì >ïïïï >ïï® ¾¾®íï >ïïï >ïïî

a

sin 0cos 0

aa

ì >ïï® ¾¾®íï <ïî

a


aaaa

ì <ïïïï <ïï® ¾¾®íï >ïïï >ïïî

a


aaaa

ì <ïïïï >ïï® ¾¾®íï <ïïï <ïïî

2 2cos 1 sin cos cos cos cos cos .a a a a a a a= - Û = Û = Ûcos cos cos 0a a aÛ ¾¾® ³ ¾¾® a

I IV.2sin sin sin sin .a a a aÛ Û =

sin sin sin 0a a a= ¾¾® ³ ¾¾® aI II.

52 2pp a< < ¾¾®

a p- Itan 0.cot 0

aa

ì >ïï¾¾®íï >ïî

0 2 2p pa p a p< < ® - < - <- ¾¾®

a p-( )III sin 0.a p¾¾® - <

( )

0 cot 02 2 2 2 .30 tan 02 2

p p p pa a p a

p pa p a p a p

ì æ öï ÷ï ç< < ® < + < ¾¾® + <÷ï ç ÷çï è øïíïïï < < ® < + < ¾¾® + >ïïî


Do Chọn B.Câu 13. Ta có

Chọn B.


Câu 15. Ta có . Chọn D.

Câu 16. Ta có Chọn D.

Câu 17. Cách 1. Ta có Cách 2. Hướng dẫn bấm máy tính.

Bấm lên màn hình và bấm dấu =. Màn hình hiện ra kết quả.

Câu 18. Ta có

Chọn B.

Câu 19. Ta có Chọn C.

Câu 20. Sử dụng mối quan hệ của các cung có liên quan đặc biệt, ta có


( )sin sin ;p a a+ =- cot sin ;2p a a

æ ö÷ç - =÷ç ÷çè ø ( )cos cos ;a a- = ( )tan tan .p a a+ =sin 0cos 02 tan 0

ap a p a

a

ì >ïïïï< < ® < ¾¾®íïïï <ïî

3sin 023 3 30 tan 0.2 2 2 23cos 02

p ap p p pp a a a

p a

ì æ öï ÷ï ç - >÷ï ç ÷çï è ø æ öïï ÷ç< < ® < - < ¾¾® ¾¾® - >÷í ç ÷çï è øæ öï ÷ç - >ï ÷ç ÷ï çè øïïî

( )

0 cos 02 2 2 20 tan 02 2

p p p pa p a a

p pa p p a p a

ì æ öï ÷ï ç< < ® <- + < ¾¾® - + >÷ï ç ÷çï è øïíïïï < < ® < - < ¾¾® - >ïïî0.M¾¾® >

( )

3 3 sin 02 2 2 2 23 52 cot 02 2

p p p p pp a a p p a a

p pp a p p a p a

ì æ öï ÷ï ç< < ® - <- <- ® - < - <- ¾¾® - <÷ï ç ÷çï è øïíïïï < < ® < + < ¾¾® + >ïïî0M¾¾® <

47 1sin sin 8 sin sin .6 6 6 6 2p p p pp

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = - =- =-÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø89 5 5cot cot 14 cot 3.6 6 6p p pp

æ ö÷ç= + = =-÷ç ÷çè ø

189tan 6pæ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

( ) 5 5cos 2 1 cos 2 cos4 4 4k kp p pp pé ù æ ö÷çê ú+ + = + =÷ç ÷çê ú è øë û

2cos cos .4 4 2p pp

æ ö÷ç= + =- =-÷ç ÷çè ø

( ) 1cos 2 1 cos 2 cos cos .3 3 3 3 2k kp p p pp p p pé ù æ ö æ ö÷ ÷ç çê ú+ + = + + = + =- =-÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê ú è ø è øë û



Chọn B.

Câu 21. Ta có

Chọn B.

Câu 22. Ta có

.

Vì

Do đó Chọn D. Câu 23. Do nên các cung

lượng giác tương ứng đôi một phụ nhau. Áp dụng công thức

, ta được

Chọn C.

Câu 24. Áp dụng công thức Do đó Chọn B.

Câu 25. Áp dụng công thức Do đó Chọn B.

Câu 26. Chọn B.

Câu 27. Ta có

Do đó Chọn C.

Câu 28. Chọn D. Vì Câu 29. Chọn C.Câu 30. Chọn C.

40

( )0 0 0 0 0

0 0cot44 tan46 cos46 2tan46 cos461 1 2 1 1.cos44 sin46P

+= - = - = - =

2

2

2 1sin 4 tan3 4sin 6 4

P p pp ppp p

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - - + - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çæ öè ø è ø÷ç + + ÷ç ÷çè ø

( )222

2

2 1 3 1 3sin tan 1 1 .3 4 2 22sin 4 2

p ppp

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - + - - =- + - - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çæ öè ø è ø æ ö÷ç ÷+ ç÷ç ÷ç-÷ç ÷è ø ç ÷÷çè ø

2 2

2 2

7 7 7cos cos cos cos8 8 8 8 8 83 5 3 5 3 5cos cos cos cos8 8 8 8 8 8

p p p p p pp

p p p p p pp

ìïï + = ¾¾® =- ¾¾® =ïïïíïï + = ¾¾® =- ¾¾® =ïïïî2 2 32 cos cos8 8P p pæ ö÷ç¾¾® = + ÷ç ÷çè ø

2 23 3 3cos sin cos sin .8 8 2 8 8 8 8p p p p p p p+ = ¾¾® = ¾¾® =

2 23 32 sin cos 2.1 2.8 8P p pæ ö÷ç¾¾® = + = =÷ç ÷çè ø10 80 20 70 30 60 40 50 90O O O O O O O O O+ = + = + = + =

( )sin 90 cosO x x- =

( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

sin 10 cos 10 sin 20 cos 20sin 30 cos 30 sin 40 cos 40

O O O O

O O O O

P = + + ++ + + +

1 1 1 1 4.= + + + =( )tan .tan 90 tan .cot 1.x x x x°- = =

1.P =( )tan .tan 90 tan .cot 1.x x x x°- = =

1.P =

( ) ( )2 2cos 180 cos cos 180 cos .a a a a°- =- ¾¾® °- =

( )2 2 2 2sin cos 180 sin cos 1.a a a a+ °- = + =

( ) ( )2 2sin 2018 cos 2018 1.a a+ =


Câu 31. có nghĩa khi Chọn D.

Câu 32. Ta có .

Đẳng thức xác định khi Chọn A.

Câu 33. Biểu thức xác định khi Chọn C.Câu 34. Dùng MTCT kiểm tra từng đáp án. Chọn C.Câu 35. Chọn B. Trong khoảng giá trị từ đến , khi giá trị góc tăng thì

giá trị cos của góc tương ứng giảm. Câu 36. Chọn A.






Câu 42. Ta có

Và Khi đó Chọn A.

Câu 43. Ta có

Và

Khi đó


cot 2018x pæ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø .2018 2018x k x kp pp p- ¹ ¬¾® ¹ +

sin costan .cot 1 . 1cos sina aa aa a

= Û =

( )cos 0 , .2sin 0 2k k k

k

pa a p paa a p

ìïïì ¹ ¹ +ï ïï Û Û ¹ Îí íï ï¹ïî ï ¹ïî¢

( )3 2 .66

kk k

k

p pa p pa ppa p

ìïï + ¹ +ïïï Û ¹ + Îíïï - ¹ïïïî

¢

90° 180°

9sin sin 4 sin cos .2 2 2p p pa p a a a

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ = + + = + =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø3 1sin sin 2 sin cos .2 2 2 3p p pa a p a a

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç- = + - = + = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø( )tan 2017 tan .p a a+ =

( ) ( )cos sin cos sin sin sin 0.2 2A p pa a p a p a a aæ ö æ ö÷ ÷ç ç= - + - = - - - = - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( ) ( )cos .sin sin .cos2 2S x x x xp pp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= - - - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( ) 2 2sin .sin cos . cos sin cos 1.x x x x x x= - - = + =

( ) ( ) ( )sin .cos sin . cos sin .cos .P p a p a a a a a= + - =- - =

( )sin .cos cos . sin sin .cos .2 2Q p pa a a a a aæ ö æ ö÷ ÷ç ç= - + = - =-÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

sin .cos sin .cos 0.P Q a a a a+ = - =

sin cos ;2 x xpæ ö÷ç - =÷ç ÷çè ø ( )sin 10 sin .x xp+ =3cos cos 2 cos sin ;2 2 2x x x xp p pp

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç- = - - = + =-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø ( )cos 8 cos .x xp- =

( ) ( )2 23sin sin 10 cos cos 82 2x x x xp pp p

é ù é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú ê ú- + + + - + -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê ú ê úè ø è øë û ë û



Chọn B.

Câu 44. Ta có và

Và

Suy ra Chọn C.

Câu 45. Ta có và

Kết hợp với giá trị

Suy ra Chọn C.

Câu 46. Ta có suy ra

Và

Khi đó

Mặt khác Chọn C. Câu 47. Vì là ba góc của một tam giác suy ra

Khi đó

Chọn B.

Câu 48. Vì là các góc của tam giác nên

Do đó và là 2 góc bù nhau

Và Câu 49. Ta có

Do đó Chọn D.Câu 50. là ba góc của một tam giác

Ta có Chọn D.

42

( ) ( )2 2cos sin cos sinx x x x= + + -2 2 2 2cos 2.sin .cos sin cos 2.sin .cos sin 2.x x x x x x x x= + + + - + =

17tan tan 4 tan 14 4 4p p pp

æ ö÷ç= + = =÷ç ÷çè ø7tan cot .2 x xpæ ö÷ç - =÷ç ÷çè ø

( )13cot cot 3 cot 1; cot 7 cot .4 4 4 x xp p pp pæ ö÷ç= + = = - =-÷ç ÷çè ø

( ) ( )2 2 22

21 cot 1 cot 2 2cot .sinP x x xx

= + + - = + =

sin sin cos2 2x x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- =- - =-÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø sin cos .2x xpæ ö÷ç + =÷ç ÷çè ø13sin sin 6 sin 1.2 2 2p p pp

æ ö÷ç= + = =÷ç ÷çè ø13 1sin sin sin cos 1 cos cos .2 2 2 2x x x x xp p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- + = + Û - + = Û =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( )tan 4 1,25 tan1,25p+ = cot1,25.tan1,25 1=

( ) ( )sin cos ; cos 6 cos 6 cos .2x x x x xp p pæ ö÷ç + = - = - =÷ç ÷çè ø

( ) ( ) 2cot1,25.tan 4 1,25 sin .cos 6 1 cos 0 sin 0.2x x x xpp pæ ö÷ç+ - + - = - = Û =÷ç ÷çè ø

sintan tan 0.cosxx xx

= ¾¾® =

, ,A B C .A C Bp+ = -( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin ; cos cos cos .A C B B A C B Bp p+ = - = + = - =-

( ) ( ) ( ) ( )tan tan tan ; cot cot cot .A C B B A C B Bp p+ = - =- + = - =-

, ,A B C ABC ( )180 .oC A B= - +

C A B+ ( ) ( )sin sin ; cos cos .C A B C A BÞ = + =- +

( ) ( )tan tan ; cot cot .C A B C A B=- + = +A B C A B Cp p+ + = Û + = -

( ) ( )cos cos cos .A B C Cp+ = - =-, ,A B C Þ0 0180 180 .A B C A B C+ + = Û + = -

( ) ( ) ( )0 0sin 2 sin 180 2 sin 180 sin .A B C C C C C+ + = - + = + =-




Câu 53. Ta có

. Mà . Chọn D.


Câu 55. Ta có

. Do đó, Chọn A.



Câu 58. Ta có .

Thay vào , ta được . Chọn D.


2 5cos 1 sin 513 cos .132

a aa

p a p

ìïï =± - =±ïïï ¾¾® =-íïï < <ïïïî2 2sin 1 cos 2 sin 23 sin tan .3 3 cos 5

2

a a aa ap ap a

ìïï =± - =±ïïï ¾¾® =- ¾¾® = =íïï < <ïïïî

22

2 21 4 11 tan 1cos 3 cos

2017 2019 3504.2 504.22 2 2 2

aa a

p p p pa p a p

ìïì æ öï ï ÷çï + = ï + - =÷çï ï ÷çï è øïï ¬¾®í íï ïï ï< <ï ï + < < +ï ïïî ïî

3cos 5a¾¾® =-sin 4 sin 4tan sin3cos 3 5

5

a aa aa

= ¬¾®- = ¾¾® =-

2 5sin 1 cos 5 sin 513 sin tan .13 cos 12.2

a a aa ap aa p

ìïï =± - =±ïïï ¾¾® = ¾¾® = =-íïï < <ïïïî

22

o o

1 1 1cos cos 151 tan cos5 5180 270

a aa a

a

ìïï = = ® =±ïï + ¾¾® =-íïïï < <ïî2sin tan .cos5

a a a¾¾® = =- 3 3 5sin cos .55a a+ =- =-

2 4cos 1 sin 4cos .5 590 180a a aa

ìïï =± - =±ï ¾¾® =-íïï °< < °ïî2

221 3 251 cot 1 4sin .4 16sin 50 90

a aaa

ìï æöï ÷çï = + = + =÷çï ÷ç ¾¾® =è øíïïï °< < °ïî2 4cos 1 sin 4 35 cos tan5 4

2

a aa a

p a p

ìïï =± - =±ïïï ¾¾® =- ¾¾® =-íïï < <ïïïî3tan 4a =-

P1225P =-



Câu 59. Ta có .

Thay vào , ta được . Chọn C.

Câu 60. Ta có .

Theo giả thiết: .

Ta có Chọn B.

Câu 61. Ta có .

Thay vào , ta được . Chọn A.

Câu 62. Ta có .

Vì Theo giả thiết:

Chọn B.

Câu 63. Ta có

Thay vào , ta được . Chọn C.

44

2

0 0

22 2 tancos 1 sin 2 2cos 43 390 180 cot 2 2

aa a aa a

ìì ïï ïï =-=± - =± ïïï ï¾¾® =- ¾¾®í íï ïï ïï ï< < =-ïî ïî2tan 4

cot 2 2

a

a

ìïï =-ïïíïïï =-ïî P26 2 2

9P -=

7 costan tan 3 tan cot2 2 2 sinP p p p aa p a a aa

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= - = + - = - = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

( ) 1 1 1sin sin sin3 3 3p a a a+ =- Û - =- Û =

2 2 2cos 1 sin 2 23 cos 2 2.32

Pa a

ap a p

ìïï =± - =±ïïï ¾¾® =- ¾¾® =-íïïï < <ïïî2 4 4sin 1 cos tan45 3sin 350 cot2 4

a a aa

p a a

ì ìï ïï ï=± - =± =-ï ïï ïï ï¾¾® =- ¾¾®í íï ïï ï- < < =-ï ïï ïï ïî î4tan 33cot 4

a

a

ìïï =-ïïïíïï =-ïïïî P 4P =( )2tan 1 tan 1P a a= - = -

tan 1 tan 1.4 2 Pp pa a a< < ¾¾® > ¾¾® = -

2 4sin 1 cos 4 4 15 sin tan .5 3 34 2

Pa a

a ap pa

ìïï =± - =±ïïï ¾¾® = ¾¾® = ¾¾® =íïï < <ïïïî

3 92 52 4 4 4 .4 4tan 14

p p p pa p ap pa a p

pa

ìïï < < ¬¾® < + <ïïï ¾¾® + = ¾¾® =í æ öï ÷ï ç + =÷ï ç ÷çï è øïî

a p= P32P =-


Câu 64. Ta có


Câu 65. Ta có

.

Thay và vào , ta được Chọn B.Câu 66. Chia cả tử và mẫu của cho ta được

Chọn D.Câu 67. Chia cả tử và mẫu của cho ta được

. Chọn D.

Câu 68. Chia cả tử và mẫu của cho ta được

Chọn A. Câu 69. Chia cả tử và mẫu của cho ta được

. Chọn D.

Câu 70. Ta có

Chia hai vế của cho ta được

Chọn D.


5 722 6 3 3 11 3 .3 6 2cot 33

p p p pa p ap p pa a

pa

ìïï < < ¬¾® < + <ïïï ¾¾® + = ¾¾® =í æ öï ÷ï ç + =-÷ï ç ÷çï è øïî32pa =

P32P =-

22

1 9 3cos cos 325 51 tan cos 52

a aa a

p pa

ìïï = = ® =±ïï +ï ¾¾® =-íïï < <ïïïî4sin tan .cos 5a a a¾¾® = =

4sin 5a = 3cos 5a =-P

31.11P =

P cosa3tan 2 3.2 2 4 .5 7tan 5 7.2 19P a

a- -= = =+ +

P sina13 4.3 4cot 3 1312 5cot 2 5.3

P aa

++= = =- -

P 2cos a2 2

2 22tan 3tan 4 2.2 3.2 4 9 .135tan 6 5.2 6P a a

a+ + + += = =+ +

P 2cos a2

2

2 2

1 12. 3. 42tan 3tan 4 82 2195 tan 15 2

P a aa

æö÷ç + -÷ç ÷çè ø+ -= = =-- æö÷ç- ÷ç ÷çè ø

( ) ( )2 2 2 2 2 2sin cos . sin cos sin cos .P a a a a a a= - + = - ( )*

( )* 2cos a

2

2 2sin 1cos cos

P aa a

= -

( ) 2 22

22

2tan 1 5 1 121 tan tan 1 .131 tan 1 5P P aa a

a- -Û + = - Û = = =+ +



Câu 71. Từ giả thiết, ta có

Chọn B.

Câu 72. Áp dụng , ta có

Ta có .

Vì nên ta chọn .

Thay vào , ta được Chọn A.

Câu 73. Ta có .

Suy ra .

Do suy ra nên . Vậy Chọn D.

Câu 74. Ta có .

Suy ra

Chọn D.


Câu 76. Ta có . Chọn B.

Câu 77. Ta có

Khi đó

Chọn B.Câu 78. Ta có

46

( )2 25 25sin cos 1 2sin .cos16 16a a a a+ = Û + =

9sin .cos .32P a a¾¾® = =

( ) ( )33 3 3a b a b ab a b+ = + - +

( ) ( )33 3sin cos sin cos 3sin cos sin cos .P a a a a a a a a= + = + - +

( )2 2 2 24 49sin cos sin 2sin cos cos 1 25 25a a a a a a+ = + + = + =

sin cos 0a a+ >7sin cos 5a a+ =

7sin cos 512sin cos 25

a a

a a

ìïï + =ïïïíïï =ïïïî P

37 12 7 913. . .5 25 5 125Pæö÷ç= - =÷ç ÷çè ø

( ) ( ) ( )2 2 2 2sin cos sin cos 2 sin cos 2a a a a a a- + + = + =

( ) ( )2 2 5 3sin cos 2 sin cos 2 4 4a a a a- = - + = - =

0 4pa< < sin cosa a< sin cos 0a a- <

3.2P =-

( ) ( ) ( )2 2 2 2sin cos sin cos 2 sin cos 2a a a a a a- + + = + =

( ) ( )2 2 2sin cos 2 sin cos 2 ma a a a- = - + = -2sin cos 2 .P ma a¾¾® = - = -

( )22 2 2tan cot tan cot 2tan .cot 2 2.1 2.P a a a a a a= + = + - = - =

( ) ( )33 3tan cot tan cot 3tan cot tan cotP a a a a a a a a= + + - +=3 3. 15 5 10-= =

( )22 1 1cos cos cos .2 2sin sin sin 4a a a a a a+ = ® + = Û =-2 2

2 2 2 2

4 4sin cos sin coscos sin sin .cosP a a a a

a a a a= + = +

( ) ( )( )

22 2

2 2 2

22 2sin cos sin .cos 1 2 sin cos 14.sin .cos sin s2

coa a a a

a a a

a a

a

+ - -= = =


Do suy ra nên

Thay và vào , ta được Chọn C.

Câu 79. Ta có

: loại (vì ). , ta có hệ phương trình

Chọn A.

Câu 80. Với suy ra .

Ta có

.

Từ hệ thức , suy ra (do )

và

Thay và vào , ta được Chọn C.

Câu 81. Ta có Suy ra Chọn B.

Câu 82. Ta có


1tan cot 1 tan 1tana a aa

- = Û - = 2 1 5tan tan 1 0 tan .2a a a ±Û - - = Û =

2p a p< < tan 0a<

1 5 1 2tan cot .2 tan 1 5a a

a-= ¾¾® = =

-1 5tan 2a -= 2cot

1 5a =

- P1 5 2 5.2 1 5

P -= + =--

( )23cos 2sin 2 3cos 2sin 4a a a a+ = Û + =

( )

2 2 29cos 12cos .sin 4sin 4 5cos 12cos .sin 0cos 0cos 5cos 12sin 0 .5cos 12sin 0

a a a a a a aa

a a aa a

Û + + = Û + =é =êÛ + = Û ê + =ë

· cos 0a = sin 1aÞ = sin 0a<· 5cos 12sin 0a a+ =

5sin5cos 12sin 0 13.3cos 2sin 2 12cos 13

aa aa a a

ìïï =-ïì + =ï ïï ïÛí íï ï+ =ïî ï =ïïïî

32pp a< <

sin 0cos 0

aa

ì <ïïíï <ïî

( )2 22 2

sin 2cos 1 1 2cos cos 1sin cos 1a a

a aa a

ì - =ïï Þ + + =íï + =ïî( )

2cos 0

5cos 4cos 0 4cos 5

aa a

a

é =êêÛ + = Û ê =-êë

loaïi

2 2sin cos 1a a+ =3sin 5a =- sin 0a<

sin 3tan cos 4aaa

¾¾® = = cos 4cot .sin 3aaa

= =

3tan 4a = 4cot 3a =P

1.6P =

( )( )

2 2 2

2 2 2

sin cos sin cos 2sin .cos 1 2sin .cossin cos sin cos 2sin .cos 1 2sin .cos

x x x x x x x x

x x x x x x x x

ìï + = + + = +ïïíï - = + - = -ïïî2.M =

( ) ( )2 24 4 2 2 2 2 2 2sin cos sin 2.sin .cos cos 2.sin .cosx x x x x x x x+ = + + -



Chọn C.

Câu 83. Ta có

Chọn A.

Câu 84. Ta có

Chọn D.Câu 85. Ta có

Suy ra

Chọn A.



Câu 88. Ta biến đổi: Chọn A.

Câu 89. Ta có

Chọn D.

Câu 90. Ta có

Chọn D.

48

( ) ( )2 22 2 21 1 1 1 cos4 3 1sin cos 2.sin .cos 1 sin 2 1 . cos4 .2 2 2 2 4 4xx x x x x x-= + - = - = - = +

( ) ( ) ( )( )2 24 4 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos sin cosx x x x x x x x- = - = - +

( )2 2 2 2 2sin cos 1 cos cos 1 2cos .x x x x x= - = - - = -

( ) ( )3 36 6 2 2sin cos sin cosM x x x x= + = +

( ) ( )32 2 2 2 2 2 2 2 23sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cos 1 sin 2 .4x x x x x x x x x= + - + = - = -

( )24 4 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos sin sin cos cos sin 1 cos sin .x x x x x x x x x x+ + = + - = -

( ) ( )22 2 8 82 1 sin cos sin cosM x x x x= - - +

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 4 4 8 8

2 2 4 4 8 8

2 22 2 4 4 2 2 2 2

2 2 4 4

2 1 2sin cos sin cos sin cos2 4sin cos 2sin cos sin cos

2 4sin cos sin cos 2 4sin .cos sin cos2 2sin .cos sin cos

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

= - + - += - + - +

= - - - = - - -= - - -

( )22 22 sin cos 2 1 1.x x= - + = - =2

2 2 2 2 2 22 2

sin 1tan sin sin sin 1 sin .tan .cos cosxM x x x x x xx x

æ ö÷ç= - = - = - =÷ç ÷çè ø

22 2 2 2 2 2

2 2cos 1cot cos cos cos 1 cos .cot .sin sin

xM x x x x x xx x

æ ö÷ç= - = - = - =÷ç ÷çè ø

( ) ( )2 2 2 2 2cot cos 1 cot 1 cos sin .x x x xM x= - + - = - =

( )2 2 2 2tan sin 1 4sin 3cosM a a a a= - + +

( )2 2 2 2tan cos 4sin 3cosa a a a= - + +

( )2 2 2 2 2sin 4sin 3cos 3 sin cos 3.a a a a a=- + + = + =

( ) 2 22 2

2 2sin cos1 2sin .cos 1 2cos sin

x xM x xx x

æ ö÷ç ÷= - - + +ç ÷ç ÷çè ø

( ) ( ) ( )2 2 22 22 2

4 42 2sin cos 2sin .cos2sin .cos 2 . sin cos 2.sin cos

x x x xx x x xx x

æ ö+ + ÷ç ÷= - = - + =-ç ÷ç ÷çè ø


Câu 91. Ta có Chọn A.


Câu 93. Ta có

Chọn D.

Câu 94. Ta có

Chọn A.


Câu 96. Ta có

Chọn A.

Câu 97. Ta có .

Suy ra Chọn C.

Câu 98. Ta có

Chọn B.

Câu 99. Ta có

Và .Suy ra Chọn A.


( )4 2 2 2 2 2 2sin sin cos sin sin cos sin sin .P a a a a a a a a= + = + = =

2 22 2

2 2 21 sin 1 sin 1 tan 1 2tan .1 sin cos cosP a a a a

a a a+ += = = + = +-

2 21 cos 1 1 cos 1 .1 cos 1 cossin 1 cosP a a

a aa a- -= - = -+ +-

( )( )1 cos 1 1 1 0.1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos

aa a a a a-= - = - =- + + + +

( )2 2 22 2 4

2 21 cos sin cos1 sin cos cos

cos cosPa a aa a a

a a- +- -= =

2 22

2 21 cos sin tan .cos cos

a a aa a

-= = =

( )2 2 2 2 22cos sin cos cos sin cos sin .sin cos sin cosx x x x xP x x

x x x x- + -= = = -+ +

( )2 2 2sin cos 1 sin 2sin .cos cos 1.1cot sin cos cos . sinsin

Pa a a a a aa a a a a

a

+ - + + -= = æ ö- ÷ç - ÷ç ÷çè ø2

22 3 2

1 2sin .cos 1 2sin .cos 2sin 2tan .1 sin cos coscos . sin sin

a a a a a aa a aa

a a

+ -= = = =-

1 cos 1sin 1 sinsin tan sincos cos tan .cos 1 cos 1 cos 1 cos

aa aa a aa a aa a a a

æ ö æ ö+÷ ÷ç ç+ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø+ = = = =+ + +2

21tan 1 .cosP aa

= + =

2 21 cos sin 1 costan sin sin .sin cos sin sinP a a aa a aa a a a

æ ö æ ö+ ÷ ÷ç ç÷ ÷= - = + -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( )2 22 2 2 21 sin cos1 sin 1 cos sin 2coscos 2cos .cos cos cos cos cosa aa a a aa a

a a a a a- ++ -= + - = = = =

2 2 2 22 2

2 2 2cot cos cos sin1 1 cos . 1 sin .cot cot cos

x x x xx xx x x

- = - = - = -

2sin .cos sinsin .cos . sincot cosx x xx x xx x

= =

2 21 sin sin 1.P x x= - + =




BAØI3. COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC

Câu 1. Ta có

Chọn B.Câu 2. Áp dụng công thức nhân đôi .

Ta có .

.

Chọn A.Câu 3. Ta có

Vậy Chọn D.


Câu 5. Áp dụng công thức

Khi đó

Và Vậy Chọn A.

Câu 6. Ta có .

50

sin tan sin cos1 sin . 1 1 cos 1 sin cot .tan tan sinx x x xx x x x

x x x+ = + = + = + ¹ + +

( ) ( )2 24 o 4 o 2 o 2 ocos 15 sin 15 cos 15 sin 15M = - = -

( )( )2 o 2 o 2 o 2 ocos 15 sin 15 cos 15 sin 15= - +

( )2 o 2 o o o 3cos 15 sin 15 cos 2.15 cos30 .2= - = = =2 2cos sin cos2a a a- =

( ) ( )4 o 4 o 2 o 2 ocos 15 sin 15 cos 15 sin 15M = - + -

( )( ) ( )2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 ocos 15 sin 15 cos 15 sin 15 cos 15 sin 15= - + + -

( ) ( )2 o 2 o 2 o 2 o o ocos 15 sin 15 cos 15 sin 15 cos30 cos30 3.= - + - = + =

( )( )( )

6 6 2 2 4 2 2 4

22 2 2 2

2

cos sin cos sin cos cos .sin sin

cos2 . cos sin cos .sin1cos2 . 1 sin 2 .4

a a a a a a a a

a a a a a

a a

- = - + +é ù= + -ê úë ûæ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø

o 2 o1 3 1 1 15 3cos30 . 1 sin 30 . 1 . .4 2 4 4 32Mæ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

3cos cos sin sin cos cos .30 5 30 5 30 5 6 2p p p p p p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç+ = - = - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( )( )

sin .cos cos .sin sin .cos .cos sin .sin cosa b a b a ba b a b a b

ìï - = -ïíï - = +ïî5 5 5 1sin cos sin cos sin sin .18 9 9 18 18 9 6 2p p p p p p pæ ö÷ç- = - = =÷ç ÷çè ø

1cos cos sin sin cos cos .4 12 4 12 4 12 3 2p p p p p p pæ ö÷ç- = + = =÷ç ÷çè ø

1 1: 1.2 2P = =

( )( ) ( )

0 0 0 00 0 0

0 0 0 0 0 0

tan 180 45 tan9 .cot69tan225 cot81.cot69cot261 tan201 cot 180 81 tan 180 21

+ -- =+ + + +


Chọn C.

Câu 7. Ta có và .

Do đó

Chọn D.Câu 8. Áp dụng công thức ta có

Chọn D.Câu 9. Vì nên suy ra

.

. Chọn D.

Câu 10. Áp dụng công thức

Ta có

Vậy giá trị biểu thức . Chọn B.

Câu 11. Chọn B. Ta có .Câu 12. Áp dụng công thức ta được

. Chọn D.Câu 13. Áp dụng công thức , ta

được. Chọn C.

Câu 14. Chọn D. Ta có .Câu 15. Chọn B.


( )0 0

0 0 00 01 tan9 .tan21 1 1 3.tan9 tan21 tan30tan 9 21-= = = =+ +

7 5sin cos24 24p p= 11sin cos24 24

p p=

5 5 1 5 5sin sin cos cos . 2.sin .cos . 2.sin .cos24 24 24 24 4 24 24 24 24M p p p p p p p pæ öæ ö÷ ÷ç ç= = ÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø1 5 1 1 6 1 1 1.sin .sin . cos cos . 0 .4 12 12 4 2 12 3 8 2 16

p p p pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= = + = + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øsin2 2.sin .cos ,a a a=

1sin .cos .cos .cos .cos .sin .cos .cos .cos48 48 24 12 6 2 24 24 12 6A p p p p p p p p p= =

1 1 1 3.sin .cos .cos .sin .cos .sin .4 12 12 6 8 6 6 16 3 32p p p p p p= = = =

0sin10 0¹

M =0 0 0 0 0

016sin10 cos10 cos20 cos40 cos80

16sin10 =0 0 0 0

08sin20 cos20 cos40 cos80

16sin10

Þ M =0 0 0

04sin40 cos40 cos80

16sin10 =0 0

02sin80 cos80

16sin10 =0

0sin160

16sin10

Þ M =0

0sin20

16sin10 =0 0

02sin10 cos10

16sin10 =01cos108

sin sin 2.cos .sin .2 2a b a ba b + -- =

2 4 62sin . 2.cos .sin 2.cos .sin 2.cos .sin7 7 7 7 7 7 7Mp p p p p p p= + +

3 5 3 7 5sin sin sin sin sin sin7 7 7 7 7 7p p p p p p= - + - + - sin sin sin .7 7

p pp=- + =-

12M =-

( )cos cos cos sin sina b a b a b+ = -sin2 2sin .cosa a a=

( ) ( ) ( )sin 2018 2sin 1009 .cos 1009a a a=2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= - = - = -

2 2 2 2cos6 cos 3 sin 3 2cos 3 1 1 2sin 3a a a a a= - = - = -3cos3 4cos 3cosx x x= -



Câu 16. Ta có .Chọn B.

Câu 17. Chọn B. Câu 18. Chọn A.

Câu 19. Ta có .

. Chọn D.

Câu 20. Ta có .

. Chọn D.

Câu 21. Áp dụng công thức , ta được

Chọn A.


Chọn B.


Chọn A.


Chọn A.Câu 25. Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có .

Đáp án B. Ta có . Chọn B.Câu 26. Chọn B.


Chọn B.

52

cos sin 2cos 2cos 2sin4 2 4 4x x x x xp p p pé ùæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç çê ú- = + = - - = -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çê úè ø è ø è øë û

( )cos 0 2 2a b a b k a b kp pp p+ = Û + = + ¾¾® =- + +

( ) ( )sin 2 sin 2 cos cos2a b b b k b k bp p pæ ö÷ç¾¾® + = - + + + = + =÷ç ÷çè ø

( )sin 0a b a b k a b kp p+ = Û + = ¾¾® =- +

( ) ( ) ( )cos 2 cos 2 cos cosa b b b k b k bp p¾¾® + = - + + = + =

( )sin sin cos sin cosa b a b b a+ = +

( ) ( ) ( )sin cos cos sin sin sin .M x y y x y y x y y xé ù= - + - = - + =ë û( )cos cos sin sin cosx y x y x y- = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cos cos sin sin cos cos2 1 2sin .M a b a b a b a b a b a b a a= + - - + - = + + - = = -

( )cos cos sin sin cosx y x y x y+ = -

( ) ( ) ( ) ( )cos cos sin sinM a b a b a b a b= + - + + -( ) 2cos ( ) cos2 1 2sin .a b a b b b= + - - = = -

( )cos .cos sin .sin cosa b a b a b- = +sin2 .sin3 cos2 .cos3 cos2 .cos3 sin2 .sin3 0x x x x x x x x= Û - =

cos5 0 5 .2 10 5x x k x kp p ppÛ = Û = + Û = +

( )sincos cos cos .sin sin .coscot cot sin sin sin .sin sin .sina ba b a b a ba b

a b a b a b+++ = + = =

( )2 2 1cos2 2cos 1 cos 1 cos22a a a a= - Û = +

cos cos 2sin .sin2 2a b a ba b + -- =-

cos cos 4 4 4 4sin .sin4 24 2 2x x x x

M x x

p p p pp p

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ + - + - +÷ ÷ç çæ ö æ ö ÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷= + - -÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç è ø è øè -è ø ø=

sin .sin sin .2 4 2x xp=- =-


Câu 28. Ta có . Mà , do đó

Chọn C.

Câu 29. Ta có

. Chọn C.

Câu 30. Do .Áp dụng, ta được

Chọn A.

Câu 31. Do Áp dụng, ta được

.

Chọn B.

Câu 32. Ta có . www.thuvienhoclieu.com 53

4 3cos sin5 55 12cos sin13 13

A A

B B

ì ìï ïï ï= =ï ïï ïï ïÞí íï ïï ï= =ï ïï ïï ïî î 180A B C+ + = °( ) ( )

( )cos cos180 cos

4 5 3 12 16cos .cos sin .sin . . .5 13 5 13 65

C A B A B

A B A B

é ù= °- + =- +ë ûæ ö÷ç=- - =- - =÷ç ÷çè ø

( )1 1

tan tan 72 5tan 1 11 tan .tan 91 .2 5

A BA BA B

+++ = = =- -

( ) ( )( )

7 1tan tan 9 8tan 17 11 tan .tan 41 .9 8

A B CA B C A B C

A B Cp++ +¾¾® + + = = = ¾¾® + + =- + -

sin cos2 2 2 2 2sin cos2 2 2 2 2

A B C A B C

C A B C A B

p

p

ì ì+ +ï ïï ï= - =ï ïï ïï ï¾¾®í íï ï+ +ï ï= - =ï ïï ïï ïî î

( )sin sin sin 2sin cos 2sin cos2 2 2 2A B A B C CP A B C + -= + + = +

2cos cos 2cos cos2 2 2 2C A B A B C- += +

2cos cos cos 4cos cos cos .2 2 2 2 2 2C A B A B C A Bæ ö- + ÷ç= + =÷ç ÷çè ø

( )sin sin .A B C A B Cp+ = - ¾¾® + =

( ) ( ) ( )sin2 sin2 sin2 2sin .cos 2sin .cosP A B C A B A B C C= + + = + - +( ) ( )2sin .cos 2sin .cos 2sin cos cosC A B C C C A B Cé ù= - + = - +ë û

( ) ( )4sin .cos .cos2 2

2 24sin .cos .cos2 2

A B C A B CC

A B C B A B C AC

- + - -=

+ + - - - - +=

4sin .cos .cos 4sin .sin .sin 4sin .sin .sin .2 2C B A C B A A B Cp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç= - - + = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

( ) ( )sin sintan tan tan tan tan tan cos .cos cosA B CP A B C A B CA B C

+= + + = + + = +



Mà . Khi đó, ta được

Chọn D.

Câu 33. Do

. Chọn A.

Câu 34. Ta có

Mặt khác . Do đó, ta được

. Chọn A.

Câu 35. Ta có

. Chọn D.

Câu 36. Ta có .

Từ hệ thức , suy ra .

Do nên ta chọn .

Thay và vào , ta được . Chọn A.

Câu 37. Ta có .

54

( )( )

sin sincos cosA B C

A B CA B C

pìï + =ï+ = - ¾¾®íï - + =ïî

( )cos cos .cossin sin cos cos .cossin sin .cos .cos cos cos .cos .cos cos .cos .coscos .cos sin .sin cos .cos sin .sin .sinsin . tancos .cos .cos cos .cos .cos

A B A BC C C A BP C CA B C A B C A B C

A B A B A B A B CCA B C A B C

æ ö- + +æ ö+ ÷ç÷ç ÷= + = = ç÷ç ÷ç÷ç ÷÷çè ø è ø- + += = = .tan .tanA B C

2 2 2C B AA B C pp ++ + = ¾¾® = -

tan tantan tan 12 2

2 2 cot 21 tan tan ta2 2 22 n

C BB A

C BA

AC pæ ö æ ö+ ÷ ÷ç ç¾¾® = - ¾¾®÷ ÷ç ç÷

+=÷è =ø -ç çè ø

tan tan tan tan .tan 12 2 2 2 2A C B C Bæ ö÷ç¾¾® + + =÷ç ÷çè ø

tan .tan tan .tan tan .tan 12 2 2 2 2 2A B B C C A¾¾® + + =

( ) ( )sin 2cos sin 2sin .cos . sin sinsinB A B C A C A C AC

= ¾¾® = = + + -

( ) ( )sin sinA B C B A C B A Cp p+ + = ¾¾® = - + ¾¾® = +

( )sin 0C A A C- = ¾¾® =2 2

2 2tan sin sin cos sin sin2 sin2tan cos sinsin sin

A A A C A C AC A CC C

= ¬¾® = ¬¾® =

2 22 2 2

C AC AC A A C pp

é =é = êê ê¾¾® ¾¾®ê ê= - + =ë êë( ) ( )sin2 sin 2 2 sin2 2sin cosP a p a p a a a= + = + = =

2 2sin cos 1a a+ =2 3cos 1 sin 5a a=± - =±

2p a p< < 3cos 5a =-

4sin 5a = 3cos 5a =-P

4 3 242. .5 5 25Pæ ö÷ç= - =-÷ç ÷çè ø

( )2 2cos sin cos2sin cos 2cos 2cossin cos sin cosPa a aa a a a

a a a a++= = =+ +



Do nên ta chọn Chọn D.

Câu 38. Ta có .


Do nên ta chọn .

Suy ra . Chọn C.


Ta có

Thay vào , ta được Chọn A.

Câu 40. Ta có

Suy ra Chọn B.

Câu 41. Vì suy ra nên .

Ta có . Suy ra .

Do nên . Vậy Chọn A.

Câu 42. Áp dụng .

Ta có . Chọn C.



0 2pa< < 5 2 5cos .3 3Pa = ¾¾® =

( )3 sin sin5 p a a- = - =


32pp a< < 4cos 5a =-

3 1 3 3 1 4 4 3 3sin sin cos6 2 2 2 5 2 5 10P pa a aæ ö æ ö æ ö - -÷ ÷ ÷ç ç ç= + = + = - + - =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

( ) ( )1sin .sin cos cos2a b a b a bé ù= - - +ë û1sin sin cos cos2 .6 6 2 3P p p pa a a

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= + - = -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø2

2 3 7cos2 1 2sin 1 2. .5 25a aæö÷ç= - = - =÷ç ÷çè ø

P1 1 7 11 .2 2 25 100P

æ ö÷ç= - =÷ç ÷çè ø2

2 4 7cos2 1 2sin 1 2. .5 25a aæö÷ç= - = - =-÷ç ÷çè ø

2 49 527cos4 2cos 2 1 2. 1 .625 625P a a= = - = - =-

34p a p< <

sin 0cos 0

aa

ì >ïïíï <ïî sin cos 0a a- >

( )2 4 9sin cos 1 sin2 1 5 5a a a- = - = + = 3sin cos5

a a- =±

sin cos 0a a- >3sin cos5

a a- = 3 .5

P =

( )24 4 2 2 2 22a b a b a b+ = + -

( )4 22 224 22 1sin c 7os os 1 sios sin c 2sin n 2.c 2 9P aa a aa a a= + = + - = - =



Câu 43. Ta có .


Do nên ta chọn .

Thay và vào , ta được . Chọn C.

Câu 44. Ta có .


Câu 45. Ta có .


Do nên ta chọn .

Thay và vào , ta được .Chọn B.

Câu 46. Ta có .


Do nên ta chọn . Suy ra .

Thay vào , ta được . Chọn A.

Câu 47. Ta có .


Do nên ta chọn .

56

2sin2 2sin .costan2 cos2 2cos 1P a a aa

a a= = = -

2 2sin cos 1a a+ =2 12sin 1 cos 13a a=± - =±

3 22p a p< < 12sin 13a =-

12sin 13a =- 5cos 13a =P

120119P =

( )1 cos2 1 cos2 5 31 3. 1 4. cos2 1 2cos22 2 2 2P a a a aæ öæ ö æ ö- +÷ ÷ ÷ç ç ç= + - = - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø

2cos2 3a =-P

5 4 71 12 3 6Pæ öæ ö÷ ÷ç ç= + - + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø

1 3cos cos cos sin sin cos sin3 3 3 2 2P p p pa a a a aæ ö÷ç= - = + = +÷ç ÷çè ø


3 22p a p< < 7sin 4a =-

7sin 4a =- 3cos 4a =P

1 3 3 7 3 21. .2 4 2 4 8Pæ ö -÷ç ÷ç= + - =÷ç ÷÷çè ø

tan 1tan 4 1 tanP p aaa

æ ö -÷ç= - =÷ç ÷çè ø +


32pp a< < 3sin 5a =- sin 3tan cos 4

aaa

= =

3tan 4a =P

17P =-

( )2cos 2 cos2 sin24 2P pa a aæ ö÷ç= - = +÷ç ÷çè ø

2 2sin 2 cos 2 1a a+ =2 3sin2 1 cos 2 5a a=± - =±

24 2 2p p pa a p< < Û < < 3sin2 5a =


Thay và vào , ta được . Chọn B.

Câu 48. Ta có .


Do nên ta chọn .

Thay và vào , ta được Chọn D.

Câu 49. Ta có .

Từ giả thiết .Thay vào , ta được Chọn C.

Câu 50. Ta có

Suy ra Chọn C.

Câu 51. Ta có

Từ hệ thức .

Do nên ta chọn Chọn A.

Câu 52. Ta có Với .

Khi đó , suy ra .


3sin2 5a = 4cos2 5a =-P

210P =-

( ) ( )3 1 1sin .cos sin2 sin sin 2cos 12 2 2 2P a a a a a a= = - = -


32pp a< < 3sin 5a =-

3sin 5a =- 4cos 5a =-P

39.50P =

tan tan tan 14tan 4 1 tan1 tan .tan 4P

pap aa p aa

+æ ö +÷ç= + = =÷ç ÷çè ø --

5cot 2 cot 2 2 cot 2 tan 22 2 2p p pa p a a a

æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç- = Û + - = Û - = Û =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øtan 2a = P 3.P =-

coscot 15 15 cos 15sin .sinaa a aa

= Û = Û =

22 2

2

30 30 30 15sin2 2sin .cos 30sin .1 1131 cot 1 15sin

P a a a aa

a

= = = = = = =+ +

2 2sin cos sin cos 22 2 2 2tan cot .2 2 sincos sin sin cos2 2 2 2P

a a a aa a

a a a a a

+= + = + = =

221 11 cot sinsin 19

a aa

+ = ¾¾® =±

sin 02p a p a< < ¾¾® > 1sin 2 19.

19Pa = ¾¾® =

2 1 sin .P a= +3 3;2 ;2 2 4p a pa p p

æ ù æ ùç çú úÎ Þ Îç çç çú úè èû û20 sin 2 2

21 cos2 2

a

a

ìïï £ <ïïïíïïï - £ <-ïïî sin cos 02 2P a a= + <




Vì nên ta chọn .

Thay vào , ta được . Suy ra . Chọn C.

Câu 53. Ta có .

Nhắc lại công thức: Nếu đặt thì và .

Do đó , .

Thay và vào , ta được . Chọn C.Câu 54. Ta có .

Từ hệ thức .Vì , cùng dấu và nên .

Do đó ta chọn . Suy ra .

Thay và vào , ta được

Chọn B.

Câu 55. Với suy ra .

Ta có

.

Từ hệ thức , suy ra (do ).

Vậy . Chọn C.

58

2 2sin cos 1a a+ =2 2

21 16sin 1 cos 1 251 tana a

a= - = - =+

3 ;22pa p

æ ùç úÎ çç úè û4sin 5a =-

4sin 5a =- 2P2 1

5P = 55P =-

2sin2 sin2

cos4 1 2cos 2P a aa a

= =+

tant a= 22sin2 1tt

a = +2

21cos2 1

tt

a -= +

22tan 4sin2 51 tan

aaa

= =-+2

21 tan 3cos2 51 tan

aaa

-= =-+4sin2 5a =- 3cos2 5a =-

P109P =-

sin2 2sin cosA a a a= =2 2

21cot 1 25 cot 24 cot 2 6sina a aa

+ = = Û = Þ =±

tana cota tan cot 0a a+ < tan 0, cot 0a a< <

cot 2 6a =-2 6cos cot .sin 5a a a= =-

1sin 5a = 2 6cos 5a =-P

1 2 6 4 62. . .5 5 25Pæ ö÷ç ÷ç= - =-÷ç ÷÷çè ø

2p a p< <

sin 0cos 0

aa

ì >ïïíï <ïî

( )2 22 2

sin 2cos 1 1 2cos cos 1sin cos 1a a

a aa a

ì + =-ïï Þ - - + =íï + =ïî( )loaïi

2cos 0

5cos 4cos 0 4cos 5

aa a

a

é =êêÛ + = Û ê =-êë

2 2sin cos 1a a+ =3sin 5a = sin 0a>

3 4 24sin2 2sin .cos 2. .5 5 25P a a aæ ö÷ç= = = - =-÷ç ÷çè ø


Câu 56. Ta có mà

Tương tự, ta có mà

Khi đó Chọn C.

Câu 57. Ta có với suy ra

Tương tự, có với suy ra

Vậy Chọn B.Câu 58. Ta có

Chọn D.

Câu 59. Vì nên suy ra

Khi đó

Vậy Chọn D.

Câu 60. Ta có suy ra Chọn B.

Câu 61. Ta có

Mặt khác suy ra Do đó Chọn B.


22 2 5 144cos 1 sin 1 13 169a a

æ ö÷ç= - = - =÷ç ÷çè ø12; cos .2 13a ap p

æ ö÷çÎ Þ =-÷ç ÷çè ø2

2 2 3 16sin 1 cos 1 5 25b bæö÷ç= - = - =÷ç ÷çè ø

40; sin .2 5b bpæ ö÷çÎ Þ =÷ç ÷çè ø

( ) 5 3 12 4 33sin sin .cos sin .cos . . .13 5 13 5 65a b a b b a+ = + = - =-

5sin 13a =2p a p< < 25 12cos 1 .169 13a =- - =-

3cos 5b= 0 2pb< < 9 4sin 1 .25 5b= - =

( ) 12 3 5 4 16cos cos .cos sin .sin . . .13 5 13 5 65a b a b a b- = + =- + =-

( ) ( ) ( )( )cos .cos cos .cos sin .sin cos .cos sin .sinP a b a b a b a b a b a b= + - = + -

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2cos .cos sin .sin cos .cos 1 cos . 1 cos .a b a b a b a b= - = - - -1 1 1 1 119. 1 . 1 .9 16 9 16 144

æ öæ ö÷ ÷ç ç= - - - =-÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø

, 0;2a b pæ ö÷çÎ ÷ç ÷çè ø

22

22

1 2 2cos 1 sin 1 3 3 .1 3cos 1 sin 1 2 2

a a

b b

ìï æöï ÷ï ç= - = - =÷çï ÷çï è øïïíïï æöï ÷ç= - = - =ï ÷ç ÷ï çè øïïî

( ) 2 2 3 1 1 1 2 6cos cos .cos sin .sin . . .3 2 3 2 6a b a b a b - ++ = - = - =

( ) ( )2

2 1 2 6 7 4 6cos2 2cos 1 2. 1 .6 18a b a bæ ö- + -÷ç ÷ç+ = + - = - =÷ç ÷÷çè ø

( )1 3

tan tan 7 4tan 11 31 tan .tan 1 .7 4

a ba ba b

+++ = = =- - .4a b p+ =

( )3 1. 1cot .cot 1 4 7cot 1.3 1cot cot4 7

x yx yx y

--+ = = =-+ +

0 , 2x y p< < 0 .x y p< + <3 .4x y p+ =



Câu 62. Ta có

Vậy tổng ba góc (vì là ba góc nhọn). Chọn C.

Câu 63. Ta có suy ra

Lại có vì

Mặt khác

Khi đó Chọn A.

Câu 64. Ta có

Khi đó vì

Vậy giá trị của biểu thức Chọn C.


Câu 66. Ta có

Chọn D.

Câu 67. Từ giả thiết, ta có

Suy ra

60

( ) ( ) ( )tan .sin cos sin .sin cos .cos .a b g g a b g a b g+ = Þ + = +

( ) ( ) ( )cos .cos sin .sin 0 cos 0.a b g a b g a b gÞ + - + = Þ + + =

2pa b g+ + = , ,a b g

2

2

2 2

111 tan 32cos2 51 tan 11 2

aaa

æö÷ç- ÷ç ÷çè ø-= = =+ æö÷ç+ ÷ç ÷çè ø2 4sin2 1 cos 2 .5a a= - =

22 2

1 1 31 tan coscos 101 tanb b

b b+ = Þ =- =-

+ 0 090 180b< <1 3 1sin tan .cos .3 10 10

b b bæ öæ ö ÷÷çç ÷= = - - =÷çç ÷÷ç ç ÷çè øè ø

( ) 3 3 4 1 1cos 2 cos2 .cos sin2 .sin . . .5 510 10 10a b a b a b

æ ö÷ç ÷- = + = - + =-ç ÷ç ÷çè ø

( )21 1 1 24sin cos sin cos 1 sin2 sin2 .5 25 25 25a a a a a a- = Þ - = Û - = Û =

22 24 7cos2 1 sin 2 1 25 25a a

æ ö÷ç= - = - =÷ç ÷çè ø 0 0270 2 360 .a< <sin2 24tan2 .cos2 7

aaa

= =

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

tan tan 7 4 11tan2 tan .1 tan .tan 1 7.4 27a b a b

a a b a ba b a b

+ + - +é ù= + + - = = =-ë û + + - -

( ) ( )sin .cos sin sin .a a b b a b aé ù+ = = + -ë û( ) ( ) ( )sin .cos sin .cos cos .sin .a a b a b a a b aÛ + = + - +

( ) ( ) ( )( )

sin sin2sin .cos sin .cos 2. 2tan .cos cosa b aa a b a b a aa b a

+Û + = + Þ = =+

( ).2 2p pa b g b a g+ + = Þ = - +

( ) ( ) tan tancot cot 2cot 2.cot 2.tan 2.2 1 tan .tanp a ga g b a g a g

a gé ù +ê ú+ = = - + = + =ê ú -ë û


Mặt khác nên suy ra

Chọn C.

Câu 68. Vì là hai nghiệm của phương trình nên theo

định lí Viet, ta có Khi đó Chọn A.

Câu 69. Theo định lí Viet, ta có và

Khi đó

Vậy Chọn B.

Câu 70. Vì là hai nghiệm của phương trình nên theo

định lí Viet, ta có

Khi đó

Chọn C.

Câu 71. Ta cóChọn C.

Câu 72. Vì hai góc và phụ nhau nên

Suy ra

Chọn D.


1 1tan tan cot cotcot cot

1 11 tan .tan cot .cot 11 .cot cot

a g a ga ga g a g

a g

++ += =- --

cot cotcot cot 2. cot .cot 1 2 cot .cot 3.cot .cot 1a ga g a g a ga g

++ = Û - = Û =-tan , tana b 2 0x px q+ + =

tan tan .tan .tanp

qa ba b

ì + =-ïïíï =ïî( ) tan tantan .1 tan tan 1

pq

a ba ba b

++ = =- -

tan tantan .tan

pq

a ba b

ì + =ïïíï =ïîcot cot .cot .cot

rs

a ba b

ì + =ïïíï =ïî

( ) 1 1 1 1. cot cot .cot .cot . .tan tan tan tanP r s a b a ba b a b

æ ö÷ç= = + = + ÷ç ÷ç ÷è ø

( )2 2tan tan .tan .tan

pq

a ba b

+= =2. .pP r sq

= =

tan , tana b 2 0x px q- + =

( )tan tan tan tantan .tan .tan 1 tan .tan 1p p

q qa b a ba ba b a b

ì + =ï +ï ¾¾® + = =íï = - -ïî( ) ( ) ( )2 2cos . 1 .tan .tan .P p qa b a b a bé ù= + + + + +ê úë û

( ) ( )( )

2

2

2 2

1 . .1 .tan .tan 1 11 tan

1 1

p pp qp q q qpq

a b a ba b

æ ö÷ç+ + ÷ç ÷ç ÷+ + + + - -è ø= =+ + æ ö÷ç+ ÷ç ÷ç ÷-è ø( ) ( )

( )( )

( )2 22 2 2 2 2

2 22 2

1 1 . 1 . . 1.1 1

q p q qp q p p q qpq p q p

- + - + - + - += = =- + - +

( )sinsin sin sin cos cos sintan tan .cos cos cos cos cos cosx yx y x y x yM x y

x y x y x y--= - = - = =

4p a

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø 4p a

æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø cos sin .4 4p pa a

æ ö æ ö÷ ÷ç ç- = +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

2 2 2 2cos cos cos sin4 4 4 4M p p p pa a a aæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç= + - - = + - +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø

cos 2 sin2 .2p a a

æ ö÷ç= + =-÷ç ÷çè ø



Câu 73. . Chọn A.Câu 74. Ta có

.Chọn B.

Câu 75. Ta có:

.Chọn D.

Câu 76. Ta có: . Chọn D.

Câu 77. Ta có:

Chọn C.Câu 78. Ta có

.Do đó Chọn A.

Câu 79. Ta có

.Chọn C.

Câu 80. Ta có . Do đó:

.Chọn B.

Câu 81. Ta có

62

( )p

pæ ö÷ç+ + ÷ç ÷ç + -æ ö è ø -÷ç + = = =÷ç ÷çè ø

21 1 12cos sin sincos 4 2 2 2 2

a a aa

= = - = - =- -sin .cos cos .sin sin .cos cos .sin cos cos cot cotsin .sin sin .sin sin .sin sin siny x y x y x y x x y x y

x y x y x y x yM

( )cos cos2 cos3 cos cos3 cos2M x x x x x x= + + = + +

( )2cos2 .cos cos2 cos2 2cos 1x x x x x= + = +

2sin3 sin 2cos2 sin 2sincos22cos 1

x x x x xxx

- = =-( ) ( )

( )2

2

1 cos 2 cos cos3 2cos 2cos 2 coscos cos 22cos 1 cos

+ + + += = +- +x x x x x xA

x xx x

( )2cos cos cos 22cos .

cos cos 2+= =+

x x xx

x x

2 2

2 22 2

2 2 2 2

sin cos sin cossin coscos sin sin .cos sin cos cos 2

sin cos sin cos sin coscos sin sin .cos

a a a aa aa a a a a a aa a a a a a

a a a a

-- -= = = - =-+ ++

cos 2 cos 2 0.a a+= =-A

( )( )

2

2

1 2sin 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 (sin 2 cos 2 ) tan 21 2cos 2 (sin 2 cos 2 )2cos 2 2

cos 4 sin 4cos 4 sin 2 cos 2sin 4

A a a a a a a aa a aa

a aa a a a

- + + += = = =+ + ++

( )22 2 2cos 2 1 2sin ;cos 4 2cos 1 2 12 12sina a a a a= - = - = - -

( ) ( )( ) ( )

a a a a aa aa a

- - + - - - += = =- ++ - + - -

22 2 2 2 44

2 2 2 42 2

3 4 1 2sin 2 1 2sin 1 8sin 8sin 8sin tan8cos 8cos 8cos3 4 2cos 1 2 2cos 1 1aAa

2 4 2 2 4

2 2 2 2 2

4 44

2 2 4

sin 2 4sin 4sin .cos 4sin4 sin 2 4sin 4(1 sin ) 4sin .cos

sin sin tan .cos (1 sin ) cos

A

a

a a a a aa a a a a

a aa a a

+ -= =- - - -

= = =-


Do đó giá trị của biểu thức tại là . Chọn C.



Câu 84. Ta có

Do đó . Chọn A.

Câu 85. Ta có

Chọn D.Câu 86. Ta có

Chọn A.

Câu 87. Ta có

Chọn C.

Câu 88. Áp dụng công thức , ta có

Ta có Chọn C.

Câu 89. Ta có


A 6pa =

44 1t

31

6 9an p æ öæ ö ÷÷ çç ÷= =÷ çç ÷÷ç ç ÷çè ø è ø

( ) ( )( )2

sin 2 os 1 sin 2 os 1sin2 sin = tan1 os2 os os 2 os 12 os osc c

Ac c c cc c

a a a aa a aa a a aa a

+ ++= = =+ + ++

( )( )

-- + -= = = =- -2 sin 2sin 11 sin 2sin 1 sin tan .2sin .cos cos cos 2sin 1 cos

a aa a aA aa a a a a a

2

2 ,sin sin 2. sin cos

cos 1 cos 2. cos

2 2 2

1 22 2

=

æ ö÷ç+ =÷ç ÷ç

æ ö÷ç= ÷ç ÷çè

ø

ø

= è+

x x xx

x x x

æ ö÷ç + ÷+ ç ÷çè ø= = =æ ö÷ç+ + ÷ç ÷çè ø2

sin 2cos 12sin cos sin 2 22 2 2 tan 22cos cos cos 2cos 12 2 2 2

x xx x xxA x x x x

( )5 5 4 4sin .cos sin .cos sin .cos cos sina a a a a a a a- = -

( )( )2 2 2 21sin2 cos sin cos sin2 a a a a a= - +

( )2 21 1 1sin2 cos sin sin2 cos2 sin4 .2 2 4a a a a a a= - = =

1 sin 1 3 3sin 3 5 3sin 2 1x x x- £ £ ¾¾®- £ £ ¾¾®- £ - £15 1 .5

MP

mì =ïï¾¾®- £ £ ¾¾®íï =-ïî

1 sin 1 2 2sin 23 3x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- £ + £ ¾¾® ³ - + ³ -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

4 2sin 2 0 4 0.3x Ppæ ö÷ç¾¾® ³ - + + ³ ¾¾® ³ ³÷ç ÷çè ø

sin sin 2cos sin2 2a b a ba b + -- =

sin sin 2cos sin cos .3 6 6 6x x x xp p p pæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç+ - = + = +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø

{ }1 cos 1 1 1 1;0;1 .6Px P Pp Îæ ö÷ç- £ + £ ¾¾®- £ £ ¾¾¾® Î -÷ç ÷çè ø

¢

( )2 2 2 2 2 2sin 2cos sin cos cos 1 cosP x x x x x x= + = + + = +



Do Chọn C.

Câu 90. Ta có Mà

Chọn A.

Câu 91. Ta có

Mà Chọn B.

Câu 92. Ta có

Mà Chọn C.

Câu 93. Ta có

Mà Chọn C.

Câu 94. Ta có

Chọn B.

Câu 95. Ta có

Mà .Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Chọn D.

64

2 2 21 cos 1 0 cos 1 1 1 cos 2 .1M

x x xm

ì =ïï- £ £ ¾¾® £ £ ¾¾® £ + £ ¾¾®íï =ïî( )2 2 2 28sin 3cos2 8sin 3 1 2sin 2sin 3.P x x x x x= + = + - = +

2 21 sin 1 0 sin 1 3 2sin 3 5x x x- £ £ ¾¾® £ £ ¾¾® £ + £

253 5 2 1.3M

P T M mm

ì =ïï¾¾® £ £ ¾¾® ¾¾® = - =íï =ïî

( )24 4 2 2 2 2 21cos sin sin cos 2sin cos 1 sin 22P x x x x x x x= + = + - = -

1 1 cos4 3 11 . cos4 .2 2 4 4x x-= - = +

1 3 1 11 cos4 1 cos4 1 1.2 4 4 2x x P- £ £ ¾¾® £ + £ ¾¾® £ £

( )( )4 4 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos cos2 .P x x x x x x x= - = + - =-

11 cos2 1 1 cos2 1 1 1 .1M

x x Pm

ì =ïï- £ £ ¾¾®- ³ - ³ ¾¾®- £ £ ¾¾®íï =-ïî

( ) ( )26 6 2 2 2 2 2 2sin cos sin cos 3sin cos sin cosP x x x x x x x x= + = + - +

2 2 23 3 1 cos4 5 31 3sin cos 1 sin 2 1 . cos4 .4 4 2 8 8xx x x x-= - = - = - = +

11 5 3 11 cos4 1 cos4 1 1 .14 8 8 4 4

Mx x P

m

ì =ïïï- £ £ ¾¾® £ + £ ¾¾® £ £ ¾¾®íï =ïïî1 cos3 1 0 cos3 1 0 2 cos3 2x x x- £ £ ¾¾® £ £ ¾¾® ³ - ³ -

11 1 2 cos3 1 1 1 .1M

x Pm

ì =ïï¾¾® ³ - ³ - ¾¾® ³ ³ - ¾¾®íï =-ïî2 1 cos24sin 2sin 2 4 sin2 cos24 2

xP x x x xpæ ö æ ö-÷ ÷ç ç= + + = + +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

sin2 cos2 2 2sin 2 2.4x x x pæ ö÷ç= - + = - +÷ç ÷çè ø

1 sin 2 1 2 2 2sin 2 2 2 24 4x xp pæ ö æ ö÷ ÷ç ç- £ - £ ¾¾®- + £ - + £ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø2 2.+

Documents

· Web viewĐường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều