BAB 2

TINJAUAN KEPUSTAKAAN

2.1 Pelat Lantai

Pelat lantai adalah lantai yang tidak terletak di atas tanah langsung, merupakan

lantai tingkat pembatas antara tingkat yang satu dengan tingkat yang lain. Pelat lantai

didukung oleh balok-balok yang bertumpu pada kolom-kolom bangunan. Ketebalan

pelat lantai ditentukan oleh :

Besar lendutan yang diinginkan.

Lebar bentangan atau jarak antara balok-balok pendukung.

 Bahan material konstruksi dan pelat lantai.

Pelat lantai harus direncanakan kaku, rata, lurus dan waterpass (mempunyai

ketinggian yang sama dan tidak miring), pelat lantai dapat diberi sedikit kemiringan

untuk kepentingan aliran air. Ketebalan pelat lantai ditentukan oleh : beban yang

harus didukung, besar lendutan yang diijinkan, lebar bentangan atau jarak antara

balok-balok pendukung, bahan konstruksi dari pelat lantai.

Pelat lantai merupakan suatu struktur solid tiga dimensi dengan bidang permukaan yang lurus, datar dan tebalnya jauh lebih kecil dibandingkan dengan dimensinya yang lain. Struktur pelat bisa saja dimodelkan dengan elemen 3 dimensi yang mempunyai tebal h, panjang b, dan lebar a. Adapun fungsi dari pelat lantai adalah untuk menerima beban yang akan disalurkan ke struktur lainnya.

Pada pelat lantai merupakan beton bertulang yang diberi tulangan baja dengan

posisi melintang dan memanjang yang diikat menggunakan kawat bendrat, serta

tidak menempel pada permukaan pelat baik bagian bawah maupun atas. Adapun

ukuran diameter, jarak antar tulangan, posisi tulangan tambahan bergantung pada

bentuk pelat, kemampuan yang diinginkan untuk pelat menerima lendutan yang

diijinkan.

2.1.1 Fungsi Pelat Lantai

Adapun fungsi pelat lantai adalah sebagai berikut :

Sebagai pemisah ruang bawah dan ruang atas.

Sebagai tempat berpijak penghuni di lantai atas.

4

5

Untuk menempatkan kabel listrik dan lampu pada ruang bawah.

Meredam suara dari ruang atas maupun dari ruang bawah.

Menambah kekakuan bangunan pada arah horizontal.

2.1.2 Konstruksi Pelat Lantai Berdasarkan Materialnya

Konstruksi untuk pelat lantai dapat dibuat dari berbagai material, contohnya

kayu, beton, baja dan yumen (kayu semen). Dalam penelitian ini material yang

digunakan untuk pelat lantai adalah beton.

Beton didefinisikan sebagai “sebagai campuran antara semen portland atau

semen hidraulik yang lain, agregat kasar, dan air, dengan atau tanpa bahan tambahan

membentuk massa padat” (SK SNI T-15-1991-03). Semen yang diaduk dengan air

akan membentuk pasta semen. Jika semen ditambah dengan pasir akan menjadi

mortar semen. Jika ditambah lagi dengan kerikil atau batu pecah disebut beton.

Beton memiliki kuat tekan yang tinggi namun kuat tarik yang lemah. Untuk kuat

tekan, di Indonesia sering digunakan satuan kg/cm2 dengan symbol K. Contohnya,

K225 adalah kuat tekan karakteristik beton 225 kg/cm2 dengan benda uji kubus sisi

15 cm. Sedangkan fc’ = 22,5 Mpa adalah kuat tekan beton 225 kg/cm2dengan benda

uji silinder diameter 15 cm tinggi 30 cm. faktor konversi nilai K ke fc’ ini dilakukan

dengan mengalikan nilai K dengan 0,083 sehingga didapat nilai fc’.

Pelat lantai dari beton mempunyai keuntungan antara lain :

Mampu mendukung beban besar.

Merupakan isolasi suara yang baik.

Tidak dapat terbakar dan dapat lapis kedap air.

Dapat dipasang tegel untuk keindahan lantai.

Merupakan bahan yang kuat dan awet, tidak perlu perawatan dan dapat

berumur panjang.

Pelat lantai beton bertulang umumnya dicor ditempat, bersama-sama balok

penumpu. Dengan demikian akan diperoleh hubungan yang kuat yang menjadi satu

kesatuan. Pada pelat lantai beton dipasang tulangan baja pada kedua arah, tulangan

silang, untuk menahan momen tarik dan lenturan. Perencanaan dan hitungan pelat

lantai dari beton bertulang harus mengikuti persyaratan yang tercantum dalam buku

SNI Beton 1991. Beberapa persyaratan tersebut antara lain :

Pelat lantai harus mempunyai tebal sekurang - kurangnya 12 cm, sedang untuk

pelat atap sekurang-kurangnya 7 cm.

6

Harus diberi tulangan silang dengan diameter minimum 8 mm dari baja lunak

atau baja sedang.

Pada pelat lantai yang tebalnya lebih dari 25 cm harus dipasang tulangan

rangkap atas bawah.

jarak tulangan pokok yang sejajar tidak kurang dari 2,5 cm dan tidak lebih dari

20 cm atau dua kali tebal pelat, dipilih yang terkecil.

Semua tulangan pelat harus terbungkus lapisan beton setebal minimum 1 cm,

untuk melindungi baja dari karat, korosi, atau kebakaran.

Untuk menghindari lenturan yang besar, maka bentangan pelat lantai jangan

dibuat terlalu lebar, untuk ini dapat diberi balok-balok sebagai tumpuan yang juga

berfungsi menambah kekakuan pelat. Bentangan pelat yang besar juga akan

menyebabkan pelat menjadi terlalu tebal dan jumlah tulangan yang dibutuhkan akan

menjadi lebih banyak, berarti berat bangunan akan menjadi besar dan harga

persatuan luas akan menjadi mahal.

2.1.3 Pembebanan Pelat

Berdasarkan “Peraturan Pembebanan Indonesia Untuk Gedung, 1983”,

pembebanan dibagi atas beberapa jenis beban yaitu :

Beban mati, ialah berat dari semua bagian dari suatu gedung yang bersifat

tetap.

Beban hidup, ialah semua beban yang terjadi akibat penghunian atau

penggunaan suatu gedung.

Beban angin, ialah semua beban yang bekerja pada gedung yang disebabkan

oleh selisih tekanan udara.

Beban gempa, ialah gaya-gaya di dalam struktur tersebut yang terjadi oleh

gerakan tanah akibat gempa.

Adapun elemen-elemen pembebanan untuk pelat lantai, yaitu :

Beban hidup (untuk rumah tinggal)  = 200 kg/m2

Beban hidup (untuk pabrik, ruang alat, dll)  = 400 kg/m2

Penutup lantai dari ubin semen portland = 24 kg/m2

Berat dinding pasangan bata tebal ½ batu = 250 kg/m2

Berat jenis beton = 2.400 kg/m3

(elemen pembebanan selengkapnya dapat dilihat pada buku : Peraturan

Pembebanan Indonesia untuk Gedung, 1983).

7

2.1.4 Penggujian Pembebanan di Lapangan Menurut SNI T-15-1991-03

Adapun peraturan uji beban yang digunakan dalam pengujian lendutan pelat

lantai dikutip dari “Tata Cara Penghitungan Struktur Beton Untuk Bangunan Gedung

SNI T-15-1991-03” Pasal 3 Ayat 13 Butir 4.

2.1.4.1 Menentukan BebanDalam menentukan beban dipakai Pasal 3 Ayat 13 Butir 4 sub butir 3 dan 4,

yaitu bagian struktur yang dipilih untuk dibebani harus diberi suatu beban total,

termasuk beban mati yang telah bekerja, yang ekivalen dengan 0,85(1,2D+1,6L).

Beban uji harus dilakukan dalam tidak kurang dari empat tahapan penambahan beban

yang kira-kira sama, tanpa hentakan pada struktur.

Air dipilih sebagai beban uji karena memenuhi kriteria diatas yaitu “tanpa

hentakan” dan “pelengkungan beban-beban supaya dihindarkan”. Besarnya beban

sesuai dengan “Tata Cara Penghitungan Struktur Beton Untuk Bangunan Gedung

SNI T-15-1991-03” Pasal 3 Ayat 13 Butir 4 Sub-Butir 3 yaitu 0.85 (1.2D + 1.6L).

Sehingga perencanaan struktur adalah

Beban mati (D) = 0.15 m x 2400 kg/m3 = 360 kg/m²

Beban hidup (L) = 400 kg/m² (sesuai beban hidup rencana dalam Perhitungan

Struktur)

Beban total berdasarkan SNI T-15-1991-03 adalah 0.85 x (1.2 x 360 + 1.6 x

400) = 911.2 kg/m², beban ini dikurangi dengan berat sendiri plat beton sebesar 0.15

m x 2400 kg/m3 = 360 kg/m² sehingga didapat beban hidup sebesar 911.2 kg/m² -

360 kg/m² = 551.2 kg/m², angka ini dibulatkan keatas menjadi 560 kg/m².

2.1.4.2 Pengukuran Lendutan Pengujian beban dilakukan untuk mengetahui besar lendutan pada pelat akibat

beban yang diberikan. Hal ini terdapat pada Pasal 3 Ayat 13 Butir 4 sub butir 3 dan

8, yaitu “bila bagian struktur yang diuji tidak menunjukkan gejala keruntuhan terlihat

secara nyata, maka kriteria berikut harus digunakan sebagai indikasi perilaku yang

memuaskan, yaitu :

Bila lendutan maksimum terukur a dari suatu balok, lantai atau atap kurang

dari /20.000h;

8

Bila lendutan maksimum terukur a dari suatu balok, lantai atau atap melebihi

/20.000h, maka pemulihan lendutan selama 24 jam setelah beban diangkat

sekurang-kurangnya 75 persen dari lendutan maksimum untuk beton non-

pratekan, atau 80 persen untuk beton pratekan. Dimana lt adalah bentang

terpendek, dan h adalah tebal pelat.

2.1.5 Perletakan Pelat

Untuk merencanakan pelat beton bertulang yang perlu dipertimbangkan tidak

hanya pembebanan saja, tetapi juga jenis perletakan dan jenis penghubung di tempat

tumpuan. Kekakuan hubungan antara pelat dan tumpuan akan menentukan besar

momen lentur yang terjadi pada pelat.

Untuk bangunan gedung, umumnya pelat tersebut ditumpu oleh balok-balok

secara monolit, yaitu pelat dan balok dicor bersama-sama sehingga menjadi satu-

kesatuan, seperti pada gambar (2.1) atau ditumpu oleh dinding-dinding bangunan

seperti pada gambar (2.2). Kemungkinan lainnya, yaitu pelat didukung oleh balok-

balok baja dengan sistem komposit seperti pada gambar (2.3), atau didukung oleh

kolom secara langsung tanpa balok, yang dikenal dengan pelat cendawan, seperti

gambar (2.4).

Gambar 2.2 Pelat Ditumpu Balok

(Monolit)

Gambar 2.1 Pelat Ditumpu

Dinding Tembok

Gambar 2.3 Pelat Ditumpu Balok

Baja Dengan Sistem Komposit

Gambar 2.4 Pelat Ditumpu

Kolom Secara Langsung

9

Kekakuan hubungan antara pelat dan konstruksi pendukungnya (balok) menjadi satu bagian dari perencanaan pelat. Ada 3 jenis perletakan pelat pada balok, yaitu :

a) Terletak bebas

Keadaan ini terjadi jika pelat diletakan begitu saja diatas balok, atau antara

pelat dan balok tidak dicor bersama-sama, sehingga pelat dapat berotasi bebas

pada tumpuan tersebut.

b) Terjepit elastis

Keadaan ini terjadi jika pelat dan balok dicor bersama-sama secara monolit,

tetapi ukuran balok cukup kecil, sehingga balok tidak cukup kuat untuk

mencegah terjadinya rotasi pelat. Tepi yang bertumpuan sederhana menghasilkan

kondisi tepi campuran. Karena lendutan dan momen lentur di sepanjang tepi ini

melibatkan persamaan yang berkaitan dengan perpindahan dan gaya. Jadi,

Gambar 2.5 Pelat Terletak Bebas

Gambar 2.6 Pelat Terjepit Elastis

10

c)

d) Terjepit penuh

Keadaan ini terjadi jika pelat dan balok dicor bersama-sama secara monolit,

dan ukuran balok cukup besar, sehingga mampu untuk mencegah terjadinya

rotasi pelat. Kondisi geometris tertentu yang diperoleh berdasarkan besarnya

perpindahan (translasi dan rotasi) dapat digunakan untuk merumuskan kondisi

tepi dalan bentuk matematis. Misalnya, lendutan dan kemiringan permukaan

pelat yang melendut di tepi jepit sama dengan nol, jadi dapat dituliskan :

Gambar 2.8 Pelat Terjepit Penuh

Gambar 2.7 Lambang Pelat Dengan Perletakan Sederhana

11

2.1.6 Sistem Pelat Lantai

Secara umum sistem pelat lantai dapat dibedakan menjadi dua, keduanya

dibedakan dari nilai rasio perbandingan sisi panjang (b) dan sisi pendek (a) dari

pelat.

Sistem pelat satu arah (one way slab), apabila b/a > 2,0. Analisis dan disain

dari pelat satu arah, dilakukan dalam 1 arah (arah sisi pendek)

Sistem pelat dua arah (two way slab), apabila 1,0 ≤ b/a ≤ 2,0. Analisis pelat

dua arah dilakukan dalam 2 arah (arah x dan arah y).

2.2 Perencanaan Pelat Lantai

Dalam merencanakan sebuah pelat, ada tiga metode yang dapat digunakan

yaitu

Metode Marcus, Metode marcus didasarkan pada pendekatan momen dengan

menggunakan koefisien-koefisien yang disederhanakan dimana koefisien ini

telah dicantumkan dalam sebuah tabel sesuai dengan kondisi perletakan ujung-

ujung pelat.

Metode perencanaan langsung

Gambar 2.9 Lambang Pelat Dengan Perletakan Jepit

12

Metode Perencanaan langsung yaitu metode dimana yang diperoleh adalah

pendekatan momen dengan menggunakan koefisien-koefisien yang telah

disederhanakan.

Metode portal ekivalen. Metode portal ekivalen digunakan untuk memperoleh

variasi longitudinal dari momen dan geser, maka kekakuan relatif dari kolom-

kolom berikut sistem lantai dimisalkan dalam analisis pendekatan dan

kemudian diperiksa.

2.3 Analisa Struktur Pelat Lantai

Analisa Struktur merupakan ilmu untuk menentukan respons suatu struktur

terhadap suatu pembebanan. Respons struktur dinyatakan dengan deformasi struktur,

kekuatan internal, tekanan, reaksi tumpuan, percepatan, dan stabilitas. Pada

umumnya terdapat 3 teori pelat yaitu teori Kirchoff - Love, Teori Mindlin - Reissner,

Teori Reissner - Stein. Dan juga Terdapat banyak metode yang dapat digunakan

untuk menganalisa pelat lantai beberapanya yaitu, metode elemen hingga, metode

bayangan, metode Hirzfeld, metode M. Levy dan lainnya. Dalam penelitian ini

digunakan Teori pelat Kirchoff – Love untuk menganalisa pelat lantai menggunakan

metode M. Levy.

Teori Kirchoff – Love digunakan untuk kasus pelat tipis (L/h > 20). Teori ini

mengatakan bahwa titik-titik material, yang sebelum deformasi terletak pada garis

lurus dan tegak lurus terhadap permukaan tengah, setelah deformasi akan tetap

berada pada garis lurus dan harus tetap tegak lurus pada permukaan tengah.

2.3.1 Sistem Koordinat dan Perjanjian Tanda.

Bentuk pelat cukup ditentukan dengan menunjukkan geometri bidang

pusatnya (middle surface), yang merupakan bidang /permukaan yang membagi dua

tebal pelat (h) setiap titik (Gambar 2.10). Berdasarkan buku Szilard (1989) yang

mengatakan teori pelat dengan lendutan kecil. Yang sering kali disebut teori

Kirchhoff dan Love, didasarkan pada anggapan berikut:

Bahan pelat bersifat elastis, homogen, dan isotropis

Pelat pada mulanya datar

Tebal pelat relatif kecil dibandingkan dengan dimensi lainnya. Dimensi

lateral terkecil pada pelat paling sedikit sepuluh kali lebih besar daripada

ketebalannya

13

Lendutan sangat kecil dibandingkan dengan pelat. Lendutan maksimum

sebesar sepersepuluh sampai seperlima tebal pelat dianggap sebagai batasan

untuk teori lendutan yang kecil. Batasan ini juga dapat dinyatakan dalam

panjang pelat; misalnya, lendutan maksimum lebih kecil dari satu perlima

puluh panjang bentang yang terkecil.

Kemiringan bidang pusat yang melendut jauh lebih kecil dari satu.

Perubahan bentuk pelat bersifat sedemikian rupa sehingga garis lurus yang

semula tegak lurus bidang pusat pelat, tetap berupa garis lurus dan tetap tegak

lurus bidang (perubahan bentuk gaya geser transversal akan diabaikan).

Lendutan pelat diakibatkan oleh perpindahan titik-titik bidang pusat yang

tegak lurus awalnya.

Besarnya tegangan yang lurus bidang pusat sangat kecil sehingga bias

diabaikan. Banyak dari anggapan ini terkenal karena sama seperti balok

dasar. Pengujian dengan skala kecil dan besar telah membuktikan berlakunya

anggapan-anggapan tersebut.

Pada kasus pelat yang memiliki daya tahan lentur, anggapan penyerdehanaan

tambahan dapat juga dibuat: regangan pada bidang pusat akibat gaya-gaya

sebidang biasanya dapat diabaikan jika dibandingkan dengan regangan akibat

lentur.

Untuk pelat segiempat (persegi), pemakaian system koordinat kartesius

merupakan cara yang paling mudah (Gambar 2.10). Gaya luar dan dalam serta

komponen lendutan u, v, dan w dianggap positif bila searah dengan arah

positif sumbu koordinat X, Y, dan Z. Dalam praktik bidang teknik, momen positif

menimbulkan tarikan pada serat yang terletak dibagian bawah struktur. Perjanjian

tanda seperti ini juga berlaku untuk pelat.

Gambar 2.10 Pelat Segiempat Yang Memikul Beban Lateral

14

Kita tinjau suatu kotak kecil yang dipotong dari sebuah pelat pada (Gambar

2.10). Kemudian kita berikan gaya dalam dan momen positif pada bidang-bidang

dekat. Agar elemen tersebut seimbang, gaya dalam momen negatif harus bekerja

pada bidang jauhnya. Subskrip (huruf bawah) pertama pada gaya dalam

menunjukkan arah garis normal (garis tegak lurus) permukaan penampang tempat

momen atau gaya dalam tersebut bekerja.

Gambar 2.11 Gaya Dalam dan Luar

15

2.3.2 Keseimbangan Elemen Pelat

Dengan menganggap pelat hanya memikul beban lateral, diantara keenam

persamaan keseimbangan dasar hanya tiga persamaan berikut yang digunakan:

Jadi beban luar Pz dipikul oleh gaya transversal Qx dan Qy serta oleh momen

lentur Mx dan My. Umumnya gaya dalam dan momen dinyatakan persatuan

panjang bidang pusat (Gambar 2.11b). Sebagai contoh penurunan persamaan

diferensial keseimbangan dengan menjumlah semua momen gaya dalam terhadap

sumbu Y dengan nol (gambar 2.11b), sehingga diperoleh

Setelah disederhanakan, kita abaikan suku yang mengandung besaran

, karena merupakan suku berorde tinggi yang sangat kecil. Dengan

demikian, persamaan (2.2) menjadi

16

Dan setelah dibagi dengan dy dx, diperoleh

Dengan cara yang sama, penjumlahan momen-momen terhadap sumbu X

menghasilkan

Penjumlahan semu gaya dalam arah Z menghasilkan persamaan keseimbangan ketiga:

Dan setelah dibagi dengan dy dx, diperoleh

Dengan memasukkan persamaan (2.4) dan (2.5) ke persamaan (2.7) serta

memperhatikan bahwa Mxy = Myx, diperoleh

Momen lentur dan puntir dalam persamaan (2.31) tergntung pada regangan,

sedang regangan merupkan fungsi dari komponen perpindahan. Oleh karena itu,

langkah selanjutnya ialah mencari hubungan antara momen dalam dan komponen

perpindahan.

2.3.3 Hubungan Antara Tegangan, Regangan, dan Perpindahan

Anggapan bahwa bahan bersifat elastis memungkinkan pemakaian hokum

Hooke dua dimensi,

17

Dimana

= Tegangan Normal

= Regangan Normal

E = Modulus Elastisitas

= Poisson Ratio

Kedua persamaan diatas menghubungkan tegangan dan regangan pada suatu

elemen pelat, substitusi persamaan (2.14) ke persamaan (2.13)

Dengan cara yang sama

Momen puntir Mxy dan Myx menimbulkan tegangan geser sebidang τxy dan τyx,

yang berhubungan dengan regangan geser γ melalui persamaan yang sejenis dengan

hokum hooke, yaitu

Dimana

= Tegangan Geser

= Regangan Geser

= Modulus Geser

Gambar 2.12 TeganganPada Suatu Elemen Pelat

Gambar 2.13 Penampang Sebelum dan Sesudah Berubah Bentuk

18

Selanjutnya, ditinjau geometri pelat yang melendut untuk menyatakan

regangan dalam koefesien perpindahan. Dengan mengambil sutu irisan pada nilai y

yang konstan, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.11, kita bandingkan

penampang (irisan) sebelum dan sesudah melendut.

Setelah berubah bentuk,panjang suatu serat yang terletak pada jarak z dari bidang

pusat menjadi (gambar 2.11).dengan memakai defenisi regangan dapat

dituliskan

19

Sehingga

Dan didapat regangan geser γxy

2.3.4 Persamaan Diferensial Pelat

Komponen tegangan σx dan σy dan (gambar 2.12) menimbulkan momen lentur

pada elemen pelat dengan cara yang sama seperti pada teori balok dasar. Jadi, dengan

mengintegrasikan komponen tegangan normal, kita peroleh momen lentur yang

bekerja pada elemen pelat

Nyatakan tegangan normal dalam lendutan (w) dengan menggunakan persamaan

(2.19) dan (2.20) ke dalam persamaan (2.15) dan (2.16).

20

Integrasi persamaan (2.22), (2.23), dan (2.24) setelah substitusi persamaan diatas,

didapat

Dimana rumus

menyatakan ketegaran lentur pelat dengan simbol D, substitusikan persamaan (2.28),

(2.29), da (2.30) ke dalam persamaan (2.12), sehingga didapat persamaan diferensial

pelat yang dibebani merata.

2.3.5 Deret Fourier

Deret Fourier merupakan alat yang ampuh untuk mendapatkan penyelesaian

analitis dari banyak masalah dalam bidang mekanika terapan, seperti penyelesaian

persamaan differensial parsial pada teori elastisitas, getaran, aliran panas, transmisi

listrik, dan gelombang elektromagnetik. Begitu pula analisa pelat yang akan dibahas

kemudian, yaitu metode M. Levy. Perluasan deret Fourier menghasilkan integral

Fourier dan transformasi Fourier. Walaupun metode terahkir dianggap alat yang

21

canggih untuk analisis tingkat tinggi, kita tidak akan menggunakannya disini untuk

menyelesaikan masalah pelat agar tidak melampaui tujuan tulisan ini sebagai

pengenalan.

Untuk penyelesaian persamaan differensial dari persamaan yang digunakan

dalam penurunan rumus untuk metode M. Levy, disini hanya digunakan deret

Fourier tunggal untuk mendapatkan penyelesaian analitisnya.

Dalil fourier menyatakan bahwa suatu fungsi sembarang y = f(x) dapat

dinyatakan dengan deret tak-hingga yang terdiri dari suku sinus dan kosinus.jadi,

fungsi semula dapat diganti dengan superposisi sejumlah gelombang sinus dan

kosinus. Jika f(x) adalah fungsi periodik, dalil Fourier menyatakan bahwa

Atau dalam bentuk yang ringkas

Dimana dan adalah koefesien ekspansi Fourier

adalah

Serta T adalah periode fungsi yang ditinjau :

Gambar 2.14 Fungsi Periodik Sembarang

22

Persamaan (2.34) berlaku untuk sembarang fungsi periodik beraturan yang

terdiri dari sejumlah segmen, yang boleh memiliki diskontinuitas. persamaan ini

menyatakan fungsi periodik sembarang f(x) dalam seluruh jangkauan dari

sampai , sehingga disebut ekspansi dengan jangkauan penuh (full-range

expansion). Koefisien dan dihitung sebagai,

2.3.6 Penyelesaian Pelat Dengan Deret Fourier Tunggal (Metode Levy)

Penyelesaian masalah pelat dengan deret trigonometri tunggal bisa dianggap

sebagai penerapan khusus dari penyelesaian eksak. Metode ini dikemukakan oleh

Levy. Menyelesaikan persamaan (2.32) dalam dua langkah terpisah yang berlainan

dimana adalah persamaan homogen dan persamaan diferensial pelat tak

homogen, yaitu persamaan (2.32). untuk menyelesaikan persamaan diferensial pelat,

ekdua tepi yang berhadapan harus bertumpu sederhana. Dan metode ini

mengharuskan beban lateral memiliki distribusi yang sama pada semua penampang

pelat.

Gambar 2.16 Pelat Akibat Momen

Gambar 2.15 Geometri Pelat

23

Dari anggapan bahwa panjang belat adalah tak hingga maka, persamaan diferensial

pelat menjadi

Levy menggunakan deret fourier sinus setengah jangkauan untuk penyelesaian

persamaan diatas

Dan dengan menyatakan beban dengan persamaan yang sejenis diperoleh

Koefisien ekspansi deret fourier tunggal diperoleh dari ekspansi deret sinus

setengah jangkauan. Koefisien ini tergantung dari jenis dan besarnya beban yang

diterima pelat tersebut. dapat ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan (2.41) ke

dalam persamaan (2.39).

2.3.7 Lenturan Pelat Persegi Panjang yang Timbul Akibat Momen

24

Tinjau suatu pelat seperti gambar diatas. Dimana pelat tersebut dilenturkan

oleh momen-momen yang dibagi sepanjang tepi y = b/2. Lendutan harus

memenuhi persamaan differensial pelat homogen :

Lendutan (w) ditentukan dalam bentuk

Substitusikan persamaan (2.44) ke dalam persamaan (2.34) sehingga menghasilkan

Dengan menyatakan dengan deret trigonometri tunggal, diperoleh

Serta kondisi batas :

Substitusikan persamaan (2.45) ke persamaan (2.42) menghasilkan

Untuk nilai m tertentu

Persamaan (2.48) merupakan persamaan diferensial homogen linear berordde empat

dengan koefisien konstan maka penyelesaiannya dapat berbentuk fungsi hiperbolik

berikut

25

Konstanta integrasi dan dapat ditentukan dari kondisi tepi

dikeempat tepi pelat. Penyelesaian levy ini bisa disederhanakan dengan

memanfaatkan sifat simetris dari fungsi lendutan. Jika kondisi tepi pelat simetri

terhadap sumbu x. permukaan lendutan harus merupakan suatu fungsi genap dari y.

Dengan demikian, koefisien dan harus diambil sama dengan nol,

sehingga bentuk sederhana dari persamaan (2.49) adalah,

Jadi pada kasus kondisi tepi yang sama di y = ± b/2, penyelesaian diferensial pelat

dengan metode levy dapat dinyatakan sebagai,

2.3.8 Menentukan Momen yang Bekerja Dalam Pelat

Adapun momen-momen lentur yang bekerja dalam pelat dapat dihitung dengan

cara mensubstitusikan persamaan (2.52) ke dalam persamaan (2.28) dan (2.29).

26

Maka diperoleh persamaan momen untuk masing-masing arah gaya.

Dimana :

= Bentang terpendek pelat

x, y = Kordinat titik yang ingin ditinjau

v = Poisson ratio

2.3.9 Pelat Persegi Panjang yang Semua Tepinya Terjepit

Dalam persoalan ini, kita menggunakan metode yang sama seperti kasus yang

telah dibahas pada persoalan pelat persegi panjang yang ditumpu secara sederhana,

dan mengadakan superposisi pada lendutan pelat semacam ini, lendutan pelat oleh

momen yang didistribusikan sepanjang tepi-tepinya. Momen ini diatu sedemikian

rupa agar memenuhi kondisi pada batas pelat terjepit.

Dalam hal ini beban terbagi merata diseluruh permukaan pelat. Lendutan dan

momen pada kasus ini akan simetris terhadap sumbu-sumbu koordinat seperti yang

diperlihatkan pada gambar dibawah.

Gambar 2.17 Pelat Terjepit

27

Lendutan pelat yang ditumpu secara sederhana, diambil dari persamaan

lendutan akibat beban merata dan tepi-tepinya ditumpu sederhana, dan dibuat dalam

bentuk :

Dimana : ditulis dengan , Rotasi pada tepi y = b/2 dari pelat adalah turunan

pertama dari persamaan lendutan diatas, yaitu :

Penyederhanaan :

Selanjutnya lendutan pelat yang ditimbulkan oleh momen yan didistribusikan

sepanjang tepi y = b/2. Dengan memperhatikan sifat simetrisnya, dapatlah kita

ismpulkan bahwa momen-momen itu dapat kitanyatakan menurut deret berikut ini :

28

Lendutan w1 yang berhubungan dengan hal ini diperoleh dari persamaan lendutan

akibat momen ditepi-tepinya yang telah dibahas di poin sebelumnya :

Rotasi pada tepi y=b/2, yang berkaitan dengan lendutan ini adalah :

Pada pembahasan yang selanjutnya, kita perlukan juga rotasi pada tepi-tepi

yang sejajar terhadap sumbu y.Dengan membentuk turunan persamaan terhadap x

dan dengan mengambil x= a/2, didapatkan :

Disederhanakan :

Persamaan dalam tanda kurung merupakan fungsi genap y yang hilang pada

tepi y = b/2. Fungsi ini dinyatakan dengan deret :b

Dimana koefisien dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

29

Dengan mensubstitusikan persamaan ke persamaan sebelumnya maka akan

didapat:

Dengan cara yang sama maka, persamaan- persamaan lendutan akan dapat

diperoleh, dan juga diperoleh rotasi pada tepi-tepi untuk kasus dimana momen

didistribusikan sepanjang tepi x = a/2, dengan mengasumsikan bahwa distribusi

momen ini adalah simetris dan persamaannya dinyatakan dengan :

Dan dengan cara yang sama didapatkan rotasi pada tepi-tepi x = a/2

Dimana :

Dan rotasi tepi y=b/2, yaitu :

30

Jika momen yang didistribusi sepanjang tepi x = a/2, dan y = b/2 bekerja

secara simultan maka rotasi pada tepi-tepi pelat diperoleh dengan metode

superposisi, ambil salah satu tepi misalkan, y = b/2 maka akan kita peroleh :

Setelah kita dapatkan persamaan dan , maka

sekarang dapat dijabarkan persamaan untuk menghitung konstanta-konstanta Em dan

Fm yang terdapat pada persamaan momen-momen yang bekerja sepanjang tepi dari

pelat yang terjepit. Tetapi bila tepi-tepi pelat tersebut maka tepi tersebut tidak

mengalami rotasi, sehingga diperoleh :

Setelah disubstitusikan ke dalam persamaan yang pertama diatas dan

mengelompokan suku yang mengandung yang sama sebagai suatu faktor,

maka dapat disimpulkan bahwa koefisien dengan mana dikalikan harus sama

dengan nol untuk setiap nilai i, sehingga dioeroleh suatu system yang terdiri atas

sejumlah oersamaan linear yang jumlahnya tak terhingga untuk menghitung

koefisien Ei dan Fi seperti berikut ini :

31

Selanjutnya untuk mendapatkan nilai konstanta E dan F digunakan metode

pendekatan yang berurutan. Untuk menggambarkan metode ini diambil contoh pelat

bujur sangkar dimana a=b, dalam keadaan pelat seperti ini distribusi momen lentur

sepanjang semua sisi pelat bujur sangkar ini ternyata sama, sehingga Ei = Fi,

sehingga bentuk persamaan menjadi :

Dengan mensubtitusikan harga bilangan koefisien ke dalam persamaan-

persamaan ini, dan hanya mengambil empat koefisiem pertama, maka akan diperoleh

system empat persamaan berikut ini dengan empat persamaan yang belum diketahui,

yaitu :

i=1;m=1,3,5,7; 1,8033 +0,0764 +0,0188 +0,0071 = 0,6677K

i=3;m=1,3,5,7; 0,0764 +0,4045 +0,0330 +0,0159 = 0,01232K

i=5;m=1,3,5,7; 0,0188 +0,0330 +0,2255 +0,0163 = 0,0016K

i=7;m=1,3,5,7; 0,0071 +0,0159 +0,0163 +0,1558 = 0,00042K

dimana K=-4qa2/ 3.

Disini terlihat bahwa suku-suku diagonal tersebut memiliki nilai koefisien yang

terbesar. Oleh karena itu kita dapatkan pendekatan yang pertama dari konstanta

dengan cara memperhitungkan ruas kiri dari persamaan diatas dan

hanya memperhitungkan suku-suku sebelah kiri diagonal, dengan demikian diperoleh

dari bagian pertama persamaan itu, . Dengan memsubstitusikan ini ke

32

dalam persamaan yang kedua akan diperoleh , lalu dengan cara yang

sama maka akan didapat dan . Dengan

mensubstitusikan pendekatan yang pertama ke dalam persamaan disebelah kanan

diagonal maka akan didapat nilai pendekatan yang kedua, dan seterusnya.

2.3.10 Program SAP 2000

SAP 2000 adalah salah satu software analisa struktur yang cukup dikenal di

kalangan teknik sipil. Software ini mencakup analisa model struktur secara

menyeluruh untuk dapat melakukan perancangan, analisa, permodelan bahkan

simulasi suatu kondisi bangunan.

Sebagai salah satu software teknik sipil yang banyak digunakan oleh Civil

Engineer, SAP 2000 dapat membantu dalam melakukan pekerjaan perencanaan

struktur bangunan yang diantaranya adalah

Menghitung momen mekanika teknik pada struktur bangunan.

Menghitung konstruksi beton bertulang ( kolom, balok , plat lantai )

Menghitung konstruksi baja

Penentuan model struktur

Penetapan penampang struktur

Adapun pemakaian program sap dalam penelitian ini adalah untuk

memodelkan struktur pelat lantai dengan dimensi yang sesuai dengan di lapangan,

sehingga didapat nilai lendutan yang mendekati nilai lapangan. Terdapat elemen

pelat yang dapat digunakan dalam program ini, yaitu shell, plane, dan asolid.

Biasanya digunakan elemen shell dalam pemodelan pelat

33

Gambar 2.18 Sketsa Pelat Lantai

Adapun tahap-tahap yang dilakukan dalam pemodelan struktur adalah :

Buka program SAP 2000

Sebelum membuka file baru, sesuaikan dahulu satuan yang akan digunakan

yang dapat diatur di bagian bawah kanan layar. Dalam kasus ini satuan yang

digunakan adalah kgf, mm, C.

Pilih menu “File” lalu “new”, setelah itu pilih “3D frame”

Setelah itu akan muncul gambar seperti dibawah ini

Lalu masukkan angka pada kolom bagian kanan yang ada sesuai dengan

dimensi pelat yang telah dibagi dengan jumlah elemen yang diinginkan. Lalu

untuk sebelah kiri adalah jumlah pembagian elemen untuk pelat tersebut. Atau

bisa juga dipilih edit grid untuk memasukkan angka secara manual. Setelah itu

akan muncul gambar dibawah ini.

Gambar 2.19 Pemodelan Struktur

Gambar 2.21 Input Data

34

Gambar diatas akan muncul setelah kita menghilangkan frame yang ada,

sehingga yang terlihat hanyalah grid. Dalam penjelasan ini jumlah pembagian

elemen yang diambil adalah 50 x 50 elemen.

Selanjutnya adalah menentukan jenis material yang akan digunkan, yaitu

beton. Caranya adalah dengan memilih menu “define”-“material”, lalu “add

new material”. lalu masukkan nama material, tipe,berat jenis, poisson ratio, dan

fc’.

Masukkan juga material baja dengan pilihan steel. Karena dalam pengujian

pembebanan ini balok yang digunakan adalah WF 750 x 200 x 10 x 16.

Setelah itu masukkan untuk material besi tulangan dengan cara yang sama.

Tetapi concrete diganti dengan rebar.

Gambar 2.20 Grid

35

Langkah selanjutnya adalah menentukan properti struktur yang akan

digunakan. Karena kita meninjau pelat maka akan dimasukkan area section

dan frame section untuk balok penopangnya.

Caranya adalah dengan menu “define”, “section properties”, “area section”,

dan ”add new section”. Lalu masukkan data-datanya.

Masukkan WF 750 x 200 x 10 x 16 dengan cara yang sama.

Setelah itu gambar balok dan pelat yang telah dibuat, dengan cara menu draw,

lalu draw frame/cable/tendon. Pastikan pada pilihan section adalah WF 750

Lakukan hal yang sama untuk menggambar pelat. Dengan pilihan draw

rectangular area.

Buat perletakan dengan cara memilih semua join yang ada di tepi pelat lalu

menu assign, joint, restraints, pilih perletakan yang diinginkan.

Buat load patterns untuk membedakan beban mati dan hidup, dengan cara pilih

define, load patterns.

Gambar 2.22 Input Data

36

Masukkan beban merata pada pelat sesuai dengan kasus yang ada. Dengan cara

assign, area load, pilih gravity (all) untuk menambahkan beban akibat berat

struktur sendiri. Dan uniform (shell) untuk beban merata akibat air.

Periksa kembali satuan saat memasukkan besar beban merata.

Lakukan pembagian pelat yang disebut mesh dengan cara pilih menu assign,

area, automatic area mesh. Lalu pilih mesh area into this number of object,

masukkan angka yang diinginkan.

Lalu run program dengan cara analyze, run analysis. Atau juga tekan F5.

Gambar 2.23 Load Patterns

Gambar 2.24 Beban Mati

Gambar 2.25 Beban Hidup

37

Nilai lendutan dapat diketahui dengan cara mengarahkan kursor pada titik yang

ingin ditinjau, dalam hal ini adalah pada titik tengah pelat, lalu klik kanan.

Gambar 2.26 Run Program

Gambar 2.27 Lendutan

Gambar 2.28 Contoh Nilai Lendutan

Gambar 2.29 Contoh Pembagian

38

Nilai lendutan dapat dilihat pada kolom ketiga baris trans yang artinya translasi

sedangkan rotn adalah rotasi, sedangkan kolom 1, 2, 3 adalah arah gaya x, y, z

nilai ini ditampilkan dalam satuan yang telah ditentukan diawal tadi yaitu

millimeter.

Setelah itu dilakukan pemodelan ulang yang berbeda dengan mengganti-ganti

jumlah mesh area yang membagi pelat tersebut. Pemodelan ini dilakukan

hingga nilai lendutan yang muncul mendekati nilai lendutan dilapangan.

Gambar 2.30 Contoh Pembagian

Gambar 2.31 Tampak Atas

39

2.4 Uji Beban Pada Pelat LantaiPada pengujian ini digunakan air sebagai beban yang akan diterima oleh pelat

lantai. Pembebanan dilakukan bertahap dengan tahapan yaitu dari tinggi air 14 cm,

28 cm, 42 cm, 56 cm. setelah air mencapai tinggi 56 cm maka plat didiamkan

sehingga lendutan pada pelat semakin bertambah.

Untuk menampung air sebagai beban uji digunakan bak sementara yang terbuat

dari plat zincalume berukuran lebar 600 cm, panjang 900 cm dan ketinggian 60 cm.

Sisi-sisi vertikalnya diperkuat dengan kayu kaso 4/6 besi beton Ø 8mm melilit kayu

kaso 4/6 dan segitiga baja siku 30.30.3. Sebelum beban diberikan, balok baja yang

menumpu pelat tersebut ditahan dengan scaffolding dibawahnya, sehingga elemen

yang menerima beban hanya pelat saja.

40

Uji beban dilakukan dalam empat tahapan penambahan beban yang kira-kira

sama. Sesuai dengan perhitungan adalah 560 kg/m² atau setara dengan air setinggi 56

cm. Dengan demikian setiap tahapan terdiri dari beban setara dengan air setinggi 14

cm. Setelah semua peralatan siap, Dial Gauge dipasang dan penunjukan jarumnya di-

set ke angka nol. Pembacaan ini disaksikan oleh personil-personil, baik dari pihak

pemilik bangunan maupun kontraktor.

Tahap loading dimulai dengan mengalirkan air kedalam bak, setelah air

mencapai ketinggian 14 cm posisi Dial Gauge dicatat demikian pula dengan

penunjukan waktunya. Langkah yang sama dilakukan untuk ketinggian air 28 cm, 42

cm dan 56 cm. Sesudah pencatatan waktu dan Dial Gauge pada ketinngian 56 cm

selesai, pemonitoran defleksi dilanjutkan selama 24 jam berikutnya. Pencatatan

dilakukan setiap satu jam. Sesudah pencatatan pada jam ke 24 selesai, tahap

unloading dimulai dengan membuang air beban uji. Pencatatan dimulai pada posisi

56 cm, kemudian 42 cm, 28 cm, 14 cm dan terakhir pada posisi 0 cm. Pada posisi

tinggi air 0 cm ternyata penunjukan Dial Gauge kembali ke angka nol. Dengan

demikian proses uji beban dihentikan

Gambar 2.32 Tampak Samping

Gambar 2.33 Dial Gauge

41

2.5 Pengukuran Lendutan di Lapangan

Untuk memonitor defleksi plat beton digunakan Dial Gauge atau dial indikator,

yaitu alat ukur yang dipergunakan untuk memeriksa penyimpangan yang sangat kecil

dari bidang datar, bidang silinder atau permukaan bulat dan kesejajaran. Konstruksi

sebuah alat dial indikator, terdiri atas jam ukur (dial gauge) yang di lengkapi dengan

alat penopang seperti blok alas magnet, batang penyangga, penjepit, dan baut

penjepit. Saat akan digunakan dial indikator tidak dapat digunakan sendiri, tapi

memerlukan kelengkapan seperti di atas yang harus diatur sedemikian rupa pada saat

pengukuran. Posisi dial gauge harus tegak lurus terhadap benda kerja yang akan

diukur.

Pada dial indikator terdapat 2 skala. Yang pertama skala yang besar (terdiri

dari 100 strip) dan skala yang lebih kecil. Pada skala yang besar tiap stripnya bernilai

0,01 mm. Jadi ketika jarum panjang berputar 1 kali penuh maka menunjukkan

pengukuran tersebut sejauh 1 mm. Sedangkan skala yang kecil merupakan

penghitung putaran dari jarum panjang pada skala yang besar

Sebagai contoh, jika jarum panjang pada skala besar bergerak sejauh 6 strip

dibaca 0,06 mm dan jarum pendek bergerak pada skala 3 maka dibaca 3 mm, artinya

hasil pengukurannya adalah 0,06 mm + 3 mm = 3,06 mm.

Dial Gauge yang digunakan yaitu kapasitas 50 mm dengan ketelitian 0.05

mm. Alat ini diikat pada sebuah alat penjepit yang terbuat dari baja siku 30.30.3 yang

dilas pada sebuah Join Pin. Join Pin ini kemudian dimasukkan ke pipa scaffolding

yang berfungsi sebagai landasan / platform dari alat Dial Gauge ini.