BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pembelajaran Rangkaian Listrik dimaksudkan untuk mendidik

dan melatih mahasiswa dalam mengenal dan memahami tentang hal-hal

yang berkenaan dengan Listrik. Salah satu materi yang dipelajari adakah

“Medan Listrik Oleh Distribusi Muatan Volume Yang Kontinu” yang

merupakan judul dalam makalah ini, Pembuatan makalah ini merupakan

salah satu proses pembelajaran dari Mata Kuliah Medan

Elektromagnetik pada Fakultas Pendidikan Teknik Elektro Universitas

Medan. Dengan pembuatan makalah ini diharapkan mahasiwa dapat

memahami tentang Medan Elektromagnetik khususnya tentang Medan

Listrik Oleh Distribusi Muatan Volume Yang Kontinu, yang proses

pembelajarannya dilakukan dengan penulisan makalah, diskusi secara

berkelompok dan pemaparan dari kelompok kepada seluruh peserta

yang mengikuti perkuliahan Medan Elektromagnetik.

1.2 Tujuan

Adapun tujuan penulisan dalam pembuatan makalah ini adalah

untuk memenuhi tugas dalam mata kuliah Listrik Magnet. Selain itu

juga penulis bertujuan untuk mengetahui lebih jauh tentang Medan

Listrik Oleh Distribusi Muatan Volume Yang Kontinu dalam Hukum

Coulomb dan Intensitas Medan Listrik, serta untuk menambah

wawasan kami sebagai Mahasiswa. Khususnya kelompok kami

(kelompok IX) dalam proses pembelajaran aktif.

1

BAB II

ISI BUKU

BUKU 1 DIKTAT MATEMATIKA TEKNIK 1

BAB 1 SISTIM BILANGAN RIIL

1.BILANGAN BULAT DAN BILANGAN RASIONAL

Sistim bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli yaitu 1,2,3,4,5,6,7,…

Bilangan dapat digunakan untuk membilang (menghitung)berbagai jenis benda.sistim bilangan asli digandengkan dengan nol,maka terbentuk sistim bilangan bulat,yaitu …-3,-2,-1,0,1,2,3,…

Untuk diperlukan hasil bagi (ratio)antara bilangan-bilangan bulat seperti 12

, 23

, 45

, 1011 ,

1611

, −78 .

2.BILANGAN RIIL

Himpunan bilangan-bilangan (rasional dan tak rasional) yang dapat mengukur panjang ,bersama-sama dengan negative dan nol nya dinamakan bilangan riil(real).bilangan ini dapat di pandang sebagai pengenal atau label untuk titik sepanjang sebuah garis mendatar.

3.OPERASI ALJABAR BILANGAN RIIL

Unsure-unsur bilangan rill mempunyai sifat medan yang disebut sebagai berikut:

I. Hokum komutatif : x + y¿ x + ydan xy =yxII. Hokum assosiatif : x +(y+z)=( x + y)+z dan x(yz)=(xy)z

III. Hokum distributive : x(y+z)=xy +xzIV. Unsure-unsur identitas :terdaapt dua unsure bilangan rill yang berbeda

yaitu nol dan 1 yang memenuhi sifat : x + 0 = 0 + x = x dan x.1 = 1.x = xV. Balikan (invers)setiap bilangan rill x mempunyai balikan additive yaitu –

x ,yang memenuhi x+(-x)=0.setiap bilangan riil x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian yaitu x-1 atau 1/x yang memenuhi x.x-1=1Pengurangan dan pembagian didefenisikan sebagai x-y=x+(-y) dan x/y = x.y-1

4.URUTAN BILANGAN RIIL

2

Bilangan-bilangan riil bukan nol,dipisahkan menjadi dua himpunan yang terpisah yaitu biangan riil positif dan negative.dengan demikian dapat digunakan relasi urutan ‘’<’’ yaitu X < y ❑

⇔y−x positif dan relasi ≤ (kurang dari atau sama) X < y

❑⇔

y−x positif atau nol.

Sifat-sifat urutan:

I. Trikotomi : jika x dan y adalah bilangan riil,maka salah satu diantara yang berikut ini pasti benar x <y atau x=y atau x>y

II. Transitifitas x < y dan y < z❑⇒ x < z

III. Penambahan : x < y ❑⇒ x+z< y+z

IV. Perkalian .untuk bilangan z positif , x < y ❑⇒ x . z< y . z

Untuk z bilangan negative , x < y ❑⇒ x . z> y . z

5.KETAKSAMAAN

Untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan menempuh langkah-langkah sebagai berikut :

1) tambahkan bilangan yang sama kepada kedua ruas ketaksamaan.2) Kalikan kedua ruas ketaksamaan dengan suatu bilangan positif3) Kalikan kedua ruas tak ketaksamaan dengan suatu bilangan

negative ,tetapi kemudian harus membalikkan tanda ketaksamaan.

6.NILAI MUTLAK,AKAR KUADRAT DAN KUADRAT

Nilai mutlak suatu bilangan riil x, dinyatakan dengan |x| yang di defenisikan sebagai

|x| = x jika x ≥ 0

|x| =-x jika x ≤ 0

Nilai mutlak mempunyai sifat sebagai berikut

1. |ab|=|a||b|

2. |ab |=|

ab |

3. |a+b|≤ |a| + |b|

3

4. |a-b|≥|a|-|b|

Ketaksamaan yang menyangkut nilai mutlak

|a|< a ❑⇔

−a< x<a

|a|>a❑⇔

x<−a atau x>a

AKAR KUADRAT

Setiap bilangan riil positif mempunyai dua akar kuadrat .akar kuadrat dari bilangan riil a ≥ 0 dilambangkan dengan √a disebut dengan akar kuadrat utama dari a,yang menunjukkan akar kuadrat tak negative dari a

KUADRAT

Dari sifat mutlak diperoleh|x|2=x2 selanjutnya |x| < |y|❑⇔

x2 <y2

6.SISTIM KOORDINAT SIKU EMPAT (CARTESIUS)

Koordinat cartesius terdiri atas dua buah garis bilangan riil yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik asal (titik nol)kedua garis tersebut disebut garis koordinat,sedangkan titik perpotongan diberi label nol.sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat daerah yang dinamakan kuadran I,II,III,DAN IV.Setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan rill dinamakan koordinat cartesius

RUMUS JARAK

Misalkan P dan Q adalah dua titik yang masing-masing mempunyai koordinat mempunyai koordinat (x1,y1) dan (x2,y2). Jarak anatra titik p dengan titik Qditentukan dengan persamaan

D(P,Q) =√¿¿

PERSAMAAN LINGKARAN

Lingkaran adalah himpunan titik yang terletak pada suatu jarak tetap atau jari-jari dari suatu titik tetap(pusat).berdasarkan jarak ,lingkaran yang berjari-jati r fdan berpusat di titik (h,k) memiliki persamaan

4

(x-h)2-(y-k)2=r2

GARIS LURUS

Garis luru tersebut memiliki kemiringan atau gradient (slope) yaitu

M= y2− y1x2−x1

Sehingga persamaan garis lurus tersebut adalah

y− y 1x−x1 =

y2− y1x2−x1

GRAFIK PERSAMAAN

Grafik suatu persamaan adalah titik-titik pada bidang yang koordinatnya yaitu titik –titik (x,y) memenuhi persamaan, artinya nilai-nilai x dan y membuat persamaan menjadi benar.grafik suatu persamaan dapat digambar dengan langkah –langkah berikut sebagai berikut

Langkah 1 : dapatkan koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.

Langkah 2 :tanda titik titik tersebut pada bidang

Langkah 3 : hubungkan titik titik tersebut dengan sebuah kurva mulus.

BAB II BILANGAN KOMPLEKS

Jika a dan b adalah bilangan real ,maka pasangan (a,b)disebut bilangan kompleks ,asal saja kesamaan,penjumlahan dan perkalian antar pasangan itu didefenisikan sebagai berikut

a) Kesamaan : (a,b)=(c,d) berarti a =c dan b = db) Penjumlahan : (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)c) Perkalian :(a,b) (c,d) = (ac-bd,ad +bc)

1.OPERASI BILANGAN KOMPLEKS

Teorema : operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan kompleks memenuhi sifat komutatip,assosiatip,dan distributip. Jadi X,Y,Z adalah sebarang bilangan kompleks,berlaku sifat berikut :

HUkum komutatip : X + Y = Y + X Dan XY = YX

5

Hukum assosiatip : X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z Dan X(YZ) = (XY)Z

Hukum distributip : X(Y+Z)=XY +XZ

2.KONGJUGAT (SEKAWAN )BILANGAN KOMPLEKS.

Jika ditulis z = x +iy maka x-iy disebut konjuga (sekawan) dari z yang dilmbangkan dengan Z .

jadi z =x + iy ❑⇒

z=x−iy

penjumlahan dan pengurangan antara bilangan kompleks dengan konjugat nya menghasilkan

z + z =2x dan z – z = 2iy

3.interpertasi geometri bilangan kompleks

Karena bilangan kompleks (x,y) adalah pasangan berurutan bilangan real ,maka (x,y) dapat diwakili.secara geometric oleh sebuah titik pada bidang atau oleh sebuah anak panah (vector geometric) dari titk asal ke titik (x,y).dalam konteks ini bidang (x,y) yang merupakan tempat mempresentasikan bilangan kompleks dinamakan sebagai bidang kompleks atau disebut juga diagram argand .

4.OPERASI ALJABAR DALAM BENTUK KUTUB

Perkalian dan pembagian dalam bentuk kutub

Misalkan z1 =[ r1 (cos θ1 + I sin θ1) ] [r2 (cos θ2 + I sin θ2 )

= r1r2 [θ1+θ2 ) + I sin (θ1 + θ2 )

Z1.z2 = r1.r2 < (θ1 + θ2 ).

PANGKAT BULAT BILANGAN KOMPLEKS

Berdasarkan aturan perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar ,ternyata untuk sudut n bilangan bulat dan z = r(cos θ + I sin θ ) = < θ diperoleh zn = rn

(cos nθ + I sin nθ )

= rn < n θ

AKAR BILANGAN KOMPLEKS

Jika z = w2 (n = 1,2,3,…) maka untuk setiap nilai w terdapat satu nilai untuk z . selanjutkan untuk setiap z ≠ 0 ada tempat n nilai w yang berbeda .masing –masing nilai itu disebut akar ke n dari z yang dilambangkan dengan wn√ z

6

Dalam bentuk kutub untuk z = Rn (cos n∅ + I sin n∅ )=r (cos θ + I sin θ ¿

Dengan menyamakan nilai mutlak ke dua ruas persamaan itu diperoleh : Rn =r sehingga R n√r

5.BENTUK EXPONENSIAL BILANGAN KOMPLEKS

Fungsi-fungsi ex,cos x dan sin x dapat dinyatakan dalam bentuk deret sebagai berikut.

Ex=1 + x +x22 !

+ x 33 !

+ x 44 !

+ x 55 !

…

Cos x = 1-+x22 !

+ x 44 !

− x 66 !

+ x 88 !

−…+…

sin x = x-+x33 !

+ x 55 !

− x 77 !

+ x 99 !

−…+…

apabila x diganti dengan iθ pada ex maka diperoleh bahwa eiθ=cosθ+i sin θ .

Bab lll FUNGSI DAN LIMIT

1.FungsiDEFINISI: Suatu fungsi f ialah suatu aturan padanan yang memasangkan tiap x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari himpunan kedua yang disebut kodomain . Himpunan nilai yang diperoleh dengan cara demikian disenut daerah nilai (range)

untuk menuliskan fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f(atau g atau f). Demikian penulisan f(x) yang dibaca “f dari x “ Atau “f pada x” menunjukan nilai yang diberikan oleh f kepada x . misalnya f(x)=x3 -4memberikan f(2)=23 -4=4atau f(-1)=(-1)3 -4=5. Apabila suatu persamaan diselesaikan terhadap satu variable misalnya y dalam x ,maka dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x . Di sini y disebut sebagai variable terkait dan x variable bebas . sebagai contoh ,daya listrik yang dari l yang di nyatakan dengan P=f(l)=P =kl2

7

Fungsi yang dipelajari dalam matematika digolongkan ke dalam dua kelompok umum yaitu fungi aljabar dan fungsi transenden .

Fungsi Aljabar. fungsi aljabar terdiri atas berbagai jenis teapi yang terutama ada tiga:

1.polinom (suku banyak ).fungsi polinum (suku banyak )adalah fungsi berbentuk P(X)=ao xn +a1 xn-1 +…+an-1 x+an

di mana a adalah konstanta dan n bilangan bulat .Termasuk ke dalam kelompok ini adalah fungsi konstanta ,fungsi linear,fungsi kwadrat dsb. 2.fungsi Rasional

fungsi rasional ialah funsi berbentuk

F(x)=f(x)f (x )g (x)

dimana f(x) dan g(x) masing-masing adalah akar dari fungsi polinom.3.Fungsi irrasional Fungsi irrasional adalah fungsi berbentuk l(x)=n√ f (x) yag pada dasarnya adalah akar dari fungsi rasional kombinasi dari fungsi-fungsi ini juga dimungkinkan terjadi contoh:jika f(x)=2x2 -3 dan g(x)=√ x+2maka g[f(x)]=√¿¿2 -3)+2=√2 x2 -1di sini kita menggantikan x dalam fungsi g(x) dengan f(x).sebaliknya f[g(x)=2(x +.. =2x-7.

Teorema-teorema limit1.teorema A andaikan n bilangan bulat positif ,k konstanta serta f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c berlaku contoh:carilah lim √ x2 +9 x>4

3.Fungsi trigometri sudut standart adalah sudut dengan titik sudut di titik asal (titik 0) dan sisi asal

8

sumbuh x positif .jika diukur berlawanan arah jarum jam maka sudut itu positif sebaliknya jika di ukur berlawanan arah jarum jam maka sudut itu negatif. Keenam fungsi trigometri dinyatakan koordinat (x,y) dari tiik ujung sisi terminal sudut itu yang berjarak r dari titik asal sebagai berikut .

sinθ= yr

tan θ= sin θcosθ=

rx

selanjutnya karena keliling lingkaran adalah 2πrberarti sudut θ=2π+θ sehingga di peroleh bahwa sin θ=sin 2πselanjutnya dapat di peroleh dua kesamaan penting lain nya yaitu 1+tan 2 θ=sec2θ dan 1+cot2

Sudut biasanya duku dengan satuan derajat atau radian.Sudut yang berpandan dengan satu putaran penuh 360° yang sama dengan 2π radian ,demikian pula sudut lurus berukuran 180° atau2π radian .Demikian pula sudut digunakan dengan menggunakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal bahwa selanjutnya di peroleh dua kesamaan penting lainnya yaitu1+tan2 θ=sec2θ dan 1+cot2 θ=csc2θ

BAB IV TURUNAN FUNGSI

A. Defenisiturunan

TurunanatauDerivatifdalamilmukalkulusmerupakanpengukuranterhadapbagaimanafungsiberubahseiringperubahannilai input. Secaraumum, turunanmenyatakanbagaimanasuatubesaranberubahakibatperubahanbesaranlainnya; contohnya, turunandariposisisebuahbendabergerakterhadapwaktuadalahkecepatansesaatobjektersebut.

Proses dalammenemukanturunandisebutdiferensiasi. Kebalikandariturunandisebutdenganantiturunan. Teorema fundamental kalkulusmengatakanbahwaantiturunansamadenganintegrasi. Turunandan integral adalah 2 fungsipentingdalamkalkulus.

( Inx)' 1x

¿

(cosx )'=−sinx❑

9

¿¿

yy’ adalahsimboluntukturunanpertama. y” adalahsimboluntukturunankedua. y’’’adalahsimboluntukturunanketiga.

simbollainnyaselainy’dany”adalahdydx

dan d 2 y(dx )2

Artikelbertopikmatematikainiadalahsebuahrintisan

B. Aturanpencarianturunan

(Aturanfungsikonstanta). Jika dengan suatukonstanta, makauntuksebarang , yakni,

Teorema B

(Aturanfungsiidentitas). Jika , maka yakni

Teorema C

(Aturanpangkat). Jika , dengan bilangan-bilanganbulatpositif, makayakni,

Teorema D

(AturanKelipatKonstanta). Jika suatukonstantadan suatufungsi yang terdifferensialkan, maka yakni,

Teorema E

(AturanJumlah). Jika dan g fungsi-fungsi yang trdifferensialkan, makayakni,

10

Teorema F

(AturanSelisih). Jika dan fungsi-fungsi yang terdifferensialkan, makayakni,

Teorema G

(AturanHasilkali). Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapatdidifferensialkan, maka yakni,

TrigonometriDenganFungsi ,Rumus Dan PembahasanContohSoal

A. PerbandinganTrigonometri

Perhatikanlingkarandenganpusat O (0, 0) danjari-jari (r), sedangkantitik A (x, y) padalingkarandansudutdibentukoleh OA terhadapsumbu X. Padaberlaku r2 = x2 + y2sehinggadiperolehperbandingantrigonometrisebagaiberikut.

  

1. RumusJumlahdanSelisihduaSudut

a. RumusuntukCosinusjumlahselisihduasudut

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos

11

(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumusuntuk Sinus JumlahdanSelisihDuaSudut

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin

(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

c. RumusuntukTangenJumlahdanSelisihDuaSudut

Rumus Trigonometri untuk sudu trangkap

a. Denganmenggunakanrumus sin (A+ B) untuk A = B, makadiperoleh:

sin2A=sin(A+B)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosAJadi,sin2A =2 sin A cos A

b. Denganmenggunakanrumus cos (A + B) untuk A = B,makadiperoleh:

cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA = cos2A-sin2A ……………(1)

Atau

Cos2A=cos2A-sin2A=cos2A-(1–cos2A)=cos2A–1+cos2A= 2 cos2 A – 1     ……….(2)

Atau

Cos2A=cos2A-sin2A=(1-sin2A)-sin2A= 1 – 2 sin2A  ………. (3)

Dari persamaan (1) (2) (3) didapatkanrumussebagaiberikut.

12

Cos2A=cos2A–sin2A=2cos2A-1= 1 – 2 sin2 A

c. Denganmenggunakanrumus tan (A+B) untuk A=B,diperoleh

>.  Perkalian, Penjumlahan, danPengurangan Sinus danKosinus

a. RumusPerkalian Sinus danKosinus

2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B) 2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B) ½

RumusPenjumlahandanPengurangan Sinus danKosinus

sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B) sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B) cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B) cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

tan A + tan B = 

tan A – tan B =

IdentitasTrigonometri

Rumusrumusdasaridentitastrigonometrisebagaiberikut.

13

Untukmembuktikansuatupersamaanmempakanidentitasataubukanmakapersamaanitudiubahdengansalahsatudaricara-caraberikut.

Mengubahbentukruaskirisehinggamenjadibentukruaskanan. Mengubahbentukruaskanan, sehinggamenjadibentukruaskiri. Mengubahbentukruaskirimaupunruaskanansehinggamenjadibentuk yang

sama.

BAB V PENGGUNAAN TURUNAN

1.TANGENDAN NORMAL

Untuk menentukan persamaan garis singgung (tangent) suatu kurva pada

sebuah titik, pertama-tama ditentukan turunan fungsi dititik tersebut . Ini

memberikan koefisien arah (gradient) dari garis singgung. Selanjutnya ditentukan

persamaan garis singgung melalui tittik itu dengan menggunakan persamaan garis

melalui satu titik.

Untuk menentukan persamaan garis normal ( garis tegak lurus ) terhadap tangent,

ingat bahwa gradient garis tegak lurus adalah kebalikan negative. Jadi gradien

garis normal di titik P (x,y) adalah – 1

dydx

diP ( x , y ) .

2. GERAK KURVILINEAR.

Gerak kurvilinear berkaitan dengan gerakan suatu objek pada bidang.

Untuk membicarakan hal ini diperlukan suatu konsep penting yaitu Vektor. Secara

14

sederhana vektor di definisikan sebagai suatu besaran yang memiliki besar dan

arah. Sebagai contoh besaran vektor adalah kecepatan, percepatan, gaya, momentu,

dan sebagainya.

Rumus umum untuk suatu vektor Adengan sudut arah ɵ dengan besar A adalah

AX = cos ɵ A y=A sin ɵ,A=√ A x2+ A y ²

tanɵ=A y

A X

3.Laju yang Berkaitan

Setiap dua variabel yang berubah terhadap waktu dan diantara keduanya

terdapat suatu hubungan, bisa mempunyai laju terhadap waktu dari yang satu

dinyatakan dalam laju terhadap waktundari yang lainnya. Ini dapat dikerjakan

dengan megambil turunan terhadap waktu dari persamaan yang menghubungkan

kedua variabel itu. Karena laju perubahan dalam masalah seperti ini salin

berkaitan, masalah ini disebut masalah laju yang berkaitan.

15

4.Masalah Maksimum dan Minimum

Pada grafik f(x)seperti dalam gambar kita melihat bahwa pada saat x naik

(dari kiri ke kanan ) nilai y naik sampai titik M. Dari Mke m nilai y turun. Di

sebelah kanan mnilai y kembali naik. Juga terlihat bahwa setiap garis singgung di

sebelah kiri M dan itu sebelah kanan m mempunyai gradien positif sedangkan

diantara keduanya mepunyai gradien negatif. Karena turunan fungsi menentukan

gradien garis singgung, dapat disimpulkan bahwa: x naik mengakibatkan y naik

jika turunan fungsi itu [ositif dan sebaliknya bahwa x naik mengakibatkan y turun

jika fungsi itu negative. Kesimpulan ini bisa dinyatakan sbb:

f(x)naik jika f’(x)>0

dan

f(x)turunjika f’(x)<0 ,Titik M dan m pada gambar di atas masing masing disebut

sebagai titik maksimum relatif dan titik minimum relatif. Itu berarti bahwa M

mempunyai nilai y yang lebih besar dari setiap titik disekitarnya, sedangkan m

mempunyai nilai y yang lebih kecil dari setiap titik di sekitarnya. Karakteristik dari

M dan m ialah bahwa turunan fungsi pada kedua titik itu adalah nol (ini dapat

dilihat karena gradien garis singgung pada setiap titik itu adalah nol). Dari

kenyataan ini dapat dilihat bahwa turunan fungsi berubah tanda dari positif ke

negarif ketika melewati titik maksimum relatif, demikian juga berubah tanda dari

ke negatif ke positif ketika melewati titik.

16

BAB VI INTEGRAL

1.DIFFERENSIAL

Suatu fungsi y = f(x) di defenisikan sebagai dy = f”(x)dx

Dy adalah dari y,sedangkan dx adalah diferensial dari x .differensial dx

didefenisikan..

Sebagai sama dengan ∆ x yaitu perubahan kecil pada x.ini didefenisikan demikian

sehingga f(x)=dy/dx.

2.INTEGRAL TENTU (ANTI TURUNAN

Defenisi :F disebut suatu anti turunan (integral tak tentu ) dari f pada selang I jika

F(x)=f(x) atau dF(x) untuk setiap x dalam selang I ,yang di tulis dengan

∫ f ( x )=F ( x )+c

Beberapa aturan yang berlaku dalam integral tak tentu dapat disebutkan sebagai

berikut

a. aturan pangkat

b. sifat kelinieran tak tentu

c. aturan pangkat yang diperumun

Sifat-Sifat Integral Tertentu

A. Sifat penambahan selang

Jika f adalah fungsi yang terintegralkan dalam interval tertutup yang memuat titik-titik a , b dan c.

Maka : ₐᵇf(x)dx = ₐ ͨ f(x)dx + ⨜ ⨜ ⨜c ᵇ f(x)dx tanpa memandang urutan a, b dan c.

B. Sifat pembandingan

Jika f dan g adalah fungsi yang terintegralkan pada silang tutup ( a,b ) dan jika f (x) ≤ g (x) untuk setiap x dalam (a,b)

maka : ₐᵇf(x)dx ≤ ₐᵇg(x)dx⨜ ⨜

17

C. Nilai rata-rata integral tentu

jika f terintegralkan pada (a,b) maka nilai rata-rata f pada (a,b)

didefinisikan sebagai :

fₐᵥ e = ⨜ 1b−a ₐᵇf(x)dx

D. Nilai rooth mean square { r.m.s}

Jika fungsi y = f ( x ) suatu fungsi periodik dengan T maka nilai akar rata-

rata kwadrat dari y adalah yrms =√ 1T⨜0

T { f {x}}2dx

BAB VII PENGGUNAAN INTEGRAL

penggunaan integral tentu dan tidak tentu dan integral tentu

1.Penggunaan Integral tentu

1.a Menghitung Luas

18

      

     

contoh :

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 dan y = x2

   

Jawab : Titik potong kedua kurva

              

                     

b. Daerah antara 2 Kurva

19

Perhatikan kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) f(x) pada selang [a,b], sebagai gambar berikut :

2. Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi trigonometri integral tentu fungsi trigonometri dapat diaplikasikan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva atau kurva-kurva fungsi trigonometri

3.Menghitung volume benda putarbenda putar adalah suatu benda padat yang diperoleh dengan

memutar suatu daerah di bidang mengeliling suatu garis dibidang itu.garis itu dinamakan benda putar.

4.Menghitung volume benda putar yang dibatasi kurva fungsi trigonometriintegral fungsi trigonometri dapat diaplikasikan untuk menghitung

volume benda putar ,jika daerah yang dibatasi oleh kurva tau kurva-kurva fungsi trigonometri diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu X.

2.Penggunaan Integral tak tentu

1.Menentukan funsi F(x) jika F’(x) dan F(a) diketahui F(x dan F(a) , aϵ R,maka konstanta integrasi C pada hasil pengintegralan memilki nilai tertentu .akibatnya funsi f(x) yang tertentu yang diketahui nilai x=a dinamakan syarat batas untuk F(x)

2.Menentukan persamaan kurva jika gradient garis singgung di titik P(x,y) yang terletak pada suatu kurva fungsi F

adalah m=dydx

F ' ( x ) ,maka persamaan kurva fungsi itu dapat ditentukan dengan

menggunakan operasi pengintegralan sebagai berikut

m=dydx

F ' ( x )

dy=m dx= dydx

F ' ( x )

20

y=∫ dy=∫m dx=∫ dydx

F' ( x )

Persamaan y=∫ dydx

F ' ( x ) ,merupakan himpunan persamaan kurva dengan gradient

garis singgung dydx

F ' ( x ) . maka kita akan mengetahui persamaan kurva y = F(x) .

3.Menentukan persamaan gerak benda misalkan s=f(t) merupakan persamaan gerak dari sebuah benda pada lintasannya,dengan s menyatakan jarak yang ditempuh dan t menyatakan waktu.Laju v dan percepatan a adi benda ditentukan oleh:

v=dsdt

=f ' (t ) dan a=dvdt

=d2 sdt 2 =f ' ' (t )

a.jika laju benda pada saat t dan posisi benda pada saat t1 diberikan,maka posisi benda pada saat t dirumuskan sebagai berikut s= ∫ v dt

b.jika percepatan benda pada saat t dan laju benda t1 diberikan,maka laju benda pada saat t dirumuskan dengan : v = ∫ a dt

BAB VIII FUNGSI TRANSENDEN

FungsiLogaritmaAsli/Natural FungsiEksponenAsli Fungsi-fungsi balikan Trigonometri Balikan sinus dan Kosinus FunsiHiperbol Dan Turunannya Fungsi Invers danTurunannya FungsiEksponenUmumdanLogaritmaUmum

21

1. Fungsi logaritma asliDefinisi:

Fungsi logaritma asli yang ditulis in didefinisikan sebagai

In x =∫1

x 1t

dt ;x>0

Daerah definisinya adalah himpunan bilangan rill positifTurunan logaritma asliJika y = f(x) = ln x, maka turunan adalah

ddx

(ln x ) 1x

; x≠ 0

2. Fungsi balikan (invers) dan turunannya

Sudah diketahui bahwa suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya D dengan tepat satu nilai y dalam daerah nilainya R. untuk fungsi tertentu f dapat dibalik, yaitu untuk suatu nilai y dalam R, diperoleh kembali nilai x dalam D yang oleh f dipasangkan dengan y. fungsi baru yang memadankan y dengan x dinamakan fungsi balikan (invers) yang dilambangkan dengan f-1 daerahasal dari f-1 adalah R dan daerah hasilnya adalah D. salah satu jenis fungsi yang memiliki balikan adalah fungsi yang monoton murni.

Untuk mendapatkan balikan dari suatu fungsi yang memiliki balikan, dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut

a. Nyatakan x dengan y dari persamaan y = f(x)b. Nyatakan bentuk dalam y yang telah ditentukan itu, sebagai f-1(y) yaitu x

= f-1(x)c. Ganti y dengan x dan x dengan y dalam bentuk x = f-1(y), sehingga

diperoleh y = f-1 (x)

Turunan fungsi invers

Andaikan f fungsi yang dapat diturnkan dan monoton murni dalam selang i. apabila f(x) ≠ 0 pada semua x imempunyai balikan (invers) maka f-1 dapat diturunkan dititik y = f(x) pada daerah nilai f dan berlakunya

(f-1)’(y) = 1

f ' (x )

Rumus tersebut dapat juga ditulis sebagai dxdy

= 1dy /dx

3. Fungsi eksponen asliDefines : balikan dari ln disebut sebagai fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp. Yaitu

x = exp. Y ↔ y = in x dari definisi ini tampak bahwa

a. Exp (ln x) = x x >0

22

b. Ln (exp y) =y untuk semua y

Sifat fungsi eksponen

Didalam fungsi eksponen diperlukan suatu bilangan rill yang diberikan lambing e, biasa disebut sebagai bilangan alam atau bilangan natural. Bilangan e adalah bilagan rill positif yang bersifat ln e = 1.

er = exp (ln er) = exp (r ln e) exp r.

selanjutnya disimpulkan bahwa untuk sebarang bilangan rill x, berlaku

ex = exp x

dari hasil terakhir ini dan pernyataan awal tentang fungsi eksponen, didapat

a. eln x = x, x>0b. ln(ey) = y, untuk semua y

untuk sebarang a dan b bilangan rasional, berlaku

ea eb = ea=b dan ea

eb=ea−b

turunan fungsi eksponen

y = ex → x = ln y

dengan pendefinisian implitsit diperoleh 1= 1y

. dydx , sehingga

dydx

= y atau dydx

=ex

jadi

d (e¿¿ x)dx

=ex ¿

Integral fungsi eksponen

Karena turunan fungsi eksponen asli adalah dirinya sendiri, berarti integralnya juga adalah dirinya sendiri, yaitu

∫ eu du=eu+C

4. fungsi eksponen umum dan fungsi logaritma umum.

23

a. Fungsi eksponen umum

suatu fungsi ekponen umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = ax dengan a adalah bilangan rill positif yang tidak sama dengan e.

untuk a>0 dan x sebarang bilangan rill, berlaku ax =exln a

dari definisi tersebut didapatkan

ln(ax) = ln(exlna) = x ln a

turunan dan integral fungsi eksponen umum (y = ax) adalah

ddx

(ax )=ax ln a ∫ ax dx= 1lna

ax+C ; a ≠ 1

b. Fungsi logaritma umumFungsi logaritma umum ialah fungsi logaritma dengan bilangan pokok a yaitu bilangan positif yang tidak sama deagan 1.fungsi logaritma umum biasa ditulis y = f(x) = loga x yang didefinisikan sebagai berikut.Jika a bilangan positif dan a ≠ 1, maka

y = loga x ↔ x = ay

berdasarkan definisi tersebut juga diperoleh

loga x = ln xln a

5. Pertumbuhan dan peluluhan eksponensialBentuk persamaan differensial yang berkaitan langsung dengan fungsi eksponensial ialah

dydx

=ky

Dengan pemisahan variable persamaan ini menjadi dyy

=k dt sehingga dengan

pengintegralan menghasilkanIn y = kt + C

Apabila terdapat syarat awal bahwa y = y0 untuk t = 0, diperolehy = y0 ekt

24

Bab IX

Teknik teknik pengintegralan

1. Pengintegralan dengan penggantian (substitusi)Dalam teknik pengintegrlaan dengan substitusi diperlukan rumus integral baku sebanyak mungkin. Namun hal itu tidak mungkin untuk diingat, karena terlalu panjangUntuk menentukan ∫ f ( x )dx , dapat dilakukan substitusi u = g(x)dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi ini mengubah f(x)dx menjadi h(u)dud an apabila H adalah anti turunan dari h, maka

∫ f ( x )dx=∫ h (u )du=H (u )+C=H (g (x ) )+C

2. Integral trigonometriUntuk mengintegralkan fungsi trigognometri digunakan metode penggantian dan memakai kesamaan trigonometri yang tepat. Berikut ini adalah teknik peintegralan fungsi trigonometri dalam berbagai jenis

- Jenis 1 :¿Apabila n bilangan bulat ganjil positif, keluarkan factor sin x atau cos x kemudian gunakan kesamaan sin2 x + cos2 x = 1

Sin 2x = 1−cos2 x

2 cos2 x = 1+cos2 x

2

- Jenis 2 :(∫sinm x cosn xdx ,)Apabila m atau n ganjil positif sedangakan eksponen lainnya sebarang, keluarkan sin x atau cos x dan gunakan kesamaan sin2 x + cos2 x = 1.

- Jenis 3 : ¿Dalam kasus tangen, keluarkan factor tan2 x = sec2 x – 1; dalam kasus kotangen ;keluarkan factor cot2 x = csc2 x -1

3. Penggantian yang merasionalkan.- Integran yang memuat n√ax+b.- Integran muatan √a2−x2 √aw+x2

4. Penintegralan parsialDalam rumus turunan hasil kali fungsi, berlaku hal sebagai berikutMisalnya u = f(x) dan v = g(x).

25

d (u . v )dx

=u dvdx

+v dudx

atau d(u.v) = u.dv + v.du

Jadi ∫u .dv=u . v−¿∫ v . du¿

BAB X

BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR

1. Bentuk-bentuk Tak Tentu

(a) Bentuk tak tentu jenis 0/0

Andaikan limit diartikan untuk salah satu lambang ini: lim ¿x a , lim ¿x a¿¿

−¿¿,

lim ¿x a¿

¿¿¿+¿

¿ , lim ¿x ∞ , lim ¿x−∞ dan andaikan lim f(x) = 0 dan lim g(x)= 0. Jika

lim [ f '( x)/ g' (x)] ada, baik terhingga maupun tak terhingga (jadi bilangan terhingga L, ∞ atau -∞ maka

Lim f (x )g (x) = Lim

f ' (x)g '( x)

(b). Bentuk tak tentu jenis ∞ /∞

Andaikan limit diartikan untuk salah satu lambang ini: lim ¿x a , lim ¿x a¿¿

−¿¿,

lim ¿x a¿

¿¿¿+¿

¿ , lim ¿x ∞ , lim ¿x−∞dan andaikan pula lim |f (x)|=∞ dan lim

|g(x )|=∞. Jika lim [ f '( x)/ g' (x)] ada (terhingga atau tak terhingga) maka

Lim f (x )g (x) = Lim

f ' (x)g '( x)

2. Integral Tak Wajar, Batas Tak Terhingga.

(a). satu batas integral tak terhingga.

Defenisi:

∫−α

b

f ( x ) dx=¿ lim ¿a−∞∫a

b

f ( x ) dx¿

∫a

α

f ( x )dx=¿ lim ¿b ∞∫a

b

f ( x ) dx¿

26

Apabila limit pada ruas kana nada dan bernilai terhingga, dikatakan bahwa integral tak wajar tersebut konvergen dan memiliki nilai yang terhingga itu. Jika tidak, integral itu disebut divergen.

(b). Kedua batas tak terhingga

Apabila ∫−∞

b

f ( x ) dxdan ∫0

∞

f ( x )dxkonvergen, maka dikatakan ∫∞

∞

f ( x )dxkonvergen

dengan nilai

∫−∞

∞

f ( x ) dx = ∫−∞

0

f ( x ) dx+¿∫0

∞

f ( x ) dx¿

Dalam hal ini dikatakan bahwa ∫−∞

∞

f ( x ) dxdivergen.

3. Integral Tak Wajar, Integral Tak Terhingga

(a). integral yang tak terhingga pada titik ujung satu selang.

Defenisi:

Andaikan f kontinu pada selang setengah buka (a,b) dan andaikan lim ¿x b−¿|f (x)|¿

= ∞ . maka

∫a

b

f ( x )dx=lim ¿ t b−¿∫a

t

f ( x ) dx

¿

Asalkan limit itu ada dan terhingga. Dlam hal ini dikatakan bahwa integral tersebut konvergen. Dalam hal ini, integral itu disebut divergen.

(b). Integral yang tak terhingga pada sebuah titik dalam.

Defenisi:

Andaikan f kontinu pada [ a . b ] kecuali di c dengan a < c < b dan andaikan lim ¿x c|f ( x)|= ∞ didefenisikan

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f ( x ) dx

Asalkan kedua integral di ruas kanan konvergen. Apabila tidak, ∫a

b

f ( x )dxdisebut

divergen.

27

BAB XI

PENGINTEGRALAN NUMMERIK DAN HAMPIRAN

1. Aturan Trapesium

Dari pokok bahasan sebelumnya(tentang integral tentu ) dapat diinterpentasikan bahwa integral tentu adalah luas bidang di bawah kurva. Jika titik-titik pada kurva dihubungkan dengan segmen garis, maka luas bidang di bawah kurva akan didekati dengan menentukan luas trapezium-trapesium yang berbentuk. Jika titik titik pada kurva itu dibuat sangat dekat, maka hasil pendekatan adalah sangat baik. Dari geometri diketahui bahwa luas trapezium adalah setengah hasil kali antara jumlas alas dan bubung dengan tinggi. Alas bubung trapezium-trapesium adalah koordinat y sedangkan tinggi adalah Δx. Dengan menjumlahkan luas semua trapezium di dapat luas bidang di bawah adalah:

AT = 12(y0 + y1) Δx +

12(y1 + y2) Δx +

12(y2 + y3) Δx + …

12(yn−2 + yn−1) Δx +

12(

yn−1 + yn) Δx

Hasil penjumlahan adalah

AT=¿ + y1+ y2 + y3 + … +yn−1 + yn) Δx

Nilai-nilai y yang digunakan diperoleh dari fungsi y = f(x) atau koordinat y dari sekumpulan data. Karena AT menghampiri luar bidang di bawah kurva, maka AT juga menghampiri nilai integral tentu yaitu

∫a

b

f ( x )dx≈ (12

y0 + y1+ y2 + y3 + … + yn−1 + yn) Δx

Dengan Δx = b−a

n

Persamaan inilah yang disebut dengan aturan trapezium.

2. Aturan Parabola (Aturan Simpson)

28

Aturan simpson adalah metode pengintegralan nummerik yang pendekatannya sama dengan aturan trapezium, tetapi menggunakan kurva dengan sekumpulan busur busur parabolic sehingga disebut juga sebagai aturan parabola.

Metode Simpson dapat diturunkan dengan substitusi fungsi Lagrange orde-2 sebagai f(x) yaitu sebagai berikut:

I=∫a

b

f ( x )dx=∫x0

x2

p2 ( x ) dx+R s

Dimana Rs adalah suku yang mengandung error komputasi O(h3). Sehingga kita mendapatkan rumus integral Simpson yaitu:

I=∫a

b

f ( x )dx=h3( f 0+4 ∑

i=1,3,5 ,

n−1

f i+2 ∑i=2,4

n−2

f 1+ f n)

Atau

Diberikan fungsi f(x) dan misalkan x j=x0+h j dan F j=f(x j),j=0,1,2,...n

Maka :

I=∫x0

X n

F(x)dx=h3 (F0+4F1+2F2 +4F3+...+4FN −3 + 2FN −2+ 4FN −1+ Fn

Dimana n=2,4,6,...bila n=2 maka aturannya disebut aturan simpson dan bila n=4,6,8,... disebut aturan simpson multiple.

3. Deret Mc Laurin

Suatu fungsi aljabar dapat dinyatakan dengan suatu fungsi berbentuk

F(x) = a0 + a1 x+ a2 x2 + … an xn + ….

Persamaan ini disebut sebagai ekspansi deret pangakat dari f(x). masalahnya apakah setiap fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk seperti itu.

4. Deret Taylor

Asumsi dasar dalam memformulasikan ekspansi deret taylor ialah bahwa suatu fungsi dapat diekspansi ke dalam sebuah polinominal berbentuk

29

F(x) = c0 + c1( x−¿ x ¿) + c2 x ¿x-a¿ 2 + …

Dengan cara yang sama seperti dalam penurunan rumus ekspansi deret MacLaurin dapat ditentukan konstanta-kontanta c0 , c1 ,c2 ,… dst. Selanjutnya didapat bahwa

F(x) = f(a) + f’ (a)(x-a) + f (a)} over {2! ¿(x-a¿2+ f' ' '(a)3 !

(x-a¿3+ …

Persamaan terakhir ini disebut sebagai ekspansi deret Taylor dari fungsi f(x)

30

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Setelah membuat makalah ini, mendiskusikannya secara

kelompok serta melakukan pemaparan berupa presentase, maka

mahasiwa memahami tentang Medan Listrik oleh Distribusi

Muatan Volume yang Kontinu, termasuk mahasiswa yang

membaca makalah ini dan yang mendengarkan presentase dari

makalah yang berjudul “Medan Listrik oleh Distribusi Muatan

Volume yang Kontinu”.

Seluruh mahasiswa mampu menghitung Kuat Medan

Listrik yang terjadi akibat distribusi Muatan Volume yang

kontinu sesuai dengan persamaan dari turunan dan integral

rumusan yang sudah dipelajarinya

3.2. Saran

Mengingat pentingnya Mata Kuliah Medan

Elektromagnetik, maka agar mahasiswa lebih dapat memahami

serta menguasai materi pembelajaran mata kuliah ini, maka

penulis memberikan beberapa saran, antara lain :

1. Perlunya membuat metode pembelajaran pembuatan makalah

dari setiap Bab dan Subbab setiap materi pembelajaran.

2. Perlunya diskusi, saran dan masukan dari mahasiswa lainnya

dan juga Dosen Pengajar Mata Kuliah terkait serta

31

pembahasan soal-soal yang berkenaan dengan materi yang

disajikan.

32