Teori Bilangan

Tentang1.Bilangan Ganjil Dan Bilangan Genap2.Beberapa Sifat Bilangan yang Habis

Terbagi

Di susun oleh : Kelompok 5

BILANGAN GANJIL DAN BILANGAN GENAPAlgoritma atau logika pemrograman berikut akan digunakan untuk menjabarkan, bagaimana memeriksa bahwa sebuah bilangan yang diberikan adalah bilangan genap atau ganjil.

Contoh bilangan genap : 0 2 4 6 8 10 12 dst...Contoh bilangan ganjil : 1 3 5 7 9 11 13 dst...

BILANGAN GANJIL Definisi Bilangan Ganjil Bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 memiliki sisa l. Contohnya jika kita punya bilangan 23 jika dibagi 2 akan menghasilkan 11 sisa 1.

Bilangan ganjil ditambah bilangan genap adalah bilangan ganjil.

Jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k – 1) + (2k). Yang hasilnya adalah 4k – 1 = 2(2k) – 1. Misalkan. 2k = a, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2a – 1. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan ganjil. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan dengan yang satu adalah bilangan ganjil dan yang satunya adalah bilangan genap akan menghasilkan bilangan genap.

Pada aturan yang pertama dikatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap. Berlandaskan ini, kita dapatkan bahwa hasil dari Bilangan Prima ganjil + Bilangan Prima ganjil adalah sebuah bilangan genap. Dan bilangan genap tersebut tidak akan sama dengan 2. Sehingga, pasti bilangan tersebut merupakan bilangan komposit (bukan bilangan prima).

Keajaiban bilangan ganjil

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

Apa kalian sadar bahwa 4,9,16 adalah bilangan kuadrat sempurna dimana. Cobalah bikin deret bilangan dari 1 sampai ke-n bilangan ganjik

maka kita SELALU mendapatkan bilangan kudrat sempurna. Sebagai contoh

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

BILANGAN GENAP Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi oleh bilangan 2, seharusnya yang lengkap adalah {0,2,4,6,...}.

Secara umum bilangan genap ditulis : 2n, dgn n adalah bil bulat {0,1,2,3, ... }

Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

Jumlah dua bilangan ganjil artinya penjumlahan dari (2k – 1) + (2k – 1). Yang hasilnya adalah 4k – 2 = 2(2k – 1). Misalkan. 2k – 1 = m, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2m. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.

Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k) + (2k). Yang hasilnya adalah 4k = 2(2k). Misalkan. 2k = n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n. dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.Cara cepat berhitung penjumlahan bilangan genap.

Contoh:

1. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 =Bilangan yang terbesar adalah 10, maka10 + 2 = 1212 : 2 = 66 kuadrat = 36Akar 36 = 636 - 6 = 30Jadi, hasilnya adalah 30

2. 2 + 4 + 6 + 8.....+ 22 =Bilangan terbesar adalah 22, maka22 + 2 = 2424 : 2 = 1212 kuadrat = 144Akar 144 = 12144 - 12 = 132Jadi, hasilnya adalah 132Dan untuk menguasai rumus ini harus bisa akar pangkat dua, kuadrat dan pembagian.

Jdi,,,,,Misal x adalah bilangan bulat.Jika x dibagi 2 menyisakan 0 , berarti x bilangan genapSebaliknya,jika x di bagi 2 menyisakan 1 maka x adalah bilangan ganjil

Beberapa Sifat Bilangan Yang Habis Terbagi

Definisi

Keterbagian atau divisibility artinya, sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.

Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat sebarang; b pembagi a jika dan hanya jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga a = bc. Jika ba maka b adalah suatu faktor atau suatu pembagi a, dan a adalah suatu kelipatan dari b.

Jangan dikacaukan antara ba dan b/a yang diterjemahkan sebagai b : a. ba merupakan suatu relasi benar atau salah. Sedangkan b/a merupakan suatu operasi yang mempunyai suatu nilai bilangan tertentu. Untuk lebih memantapkan pengertian ini, bandingkan antara 0 : 0 dan 00. Kita tahu bahwa 0 : 0 tidak terdefinisi, tetapi 00 adalah pernyataan yang benar karena 0 = 0 . a untuk setiap bilangan bulat a. Kita menulis 5┼12 untuk menyatakan bahwa 12 tidak dapat dibagi (tidak habis dibagi) oleh 5, atau 5 tidak membagi 12. Penulisan 5┼12 juga untuk menyatakan bahwa 12 adalah bukan kelipatan 5 dan 5 adalah bukan faktor dari 12.

Contoh :

1) 3 │12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3.

2) 3 │-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga –30 = (-10)3.

Sifat-Sifat Keterbagian

Jika a,b,c bilangan bulat maka berlaku:

1) a│ b → a │bc, untuk setiap c bilangan bulat.

Bukti Jika d│a maka ada suatu bilangan bulat k sehingga a = dk. Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan di atas dengan n, kita peroleh a(n) = dk(n). Dengan menggunakan sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan ketertutupan perkalian pada bilangan bulat, kita peroleh n.a = d (nk). Jadi d│na.

2) (a │ b, b │c) → a │ c.

Bukti a│b dan b│k maka menurut definisi, terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga k = bg = (af)g = a(fg). Jadi, k = a(fg). Akibatnya menurut definisi, a│k.

3) (a │ b, b │a) → a = ± b.

4) (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).

Bukti d│a mengakibatkan a = md, m suatu bilangan bulat. d│b mengakibatkan b = nd, n suatu bilangan bulat a + b = md + nd = (m + n)d Karena m dan n bilangan bulat, m + n juga bilangan bulat, d│ (a + b). Dengan demikian, d membagi a + b, atau ditulis d│ (a + b).

5) (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap x,y bilangan bulat.

Bukti j│a dan j│b maka terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga dan b =jg sehingga, ka + lb = kjf + ljg = j(kf+lg). Akibatnya, j│(ka+lb).

Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c

6) ( a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.

7) a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m bilangan bulat dan m ≠ 0

8) ( a│b dan a │ b+c ) → a │c.

Ciri Ciri Bilangan yang Habis Dibagi

Waktu kita membagi kadang bingung, dengan angka yang banyak misalnya, bisa dibagi apa tidak ya. Sebenarnya ada cara yang mudah untuk mengetahuinya dan ga perlu menghitung dan mikir terlalu lama. Mau tahu, Nah, Caranya sebagai berikut:

BILANGAN HABIS DIBAGI 2Suatu bilangan habis dibagi 2, ciri-cirinya adalah bilangan yang berakhiran (berangka satuan) 0, 2, 4, 6, 8. Dengan kata lain bilangan itu adalah bilangan genap.

Contoh: apakah 74 habis dibagi 2? Karena 74 merupakan bilangan genap (Ingat rumus untuk bilangan genap. Rumus untuk bilangan genap adalah 2k untuk sebarang k bilangan bulat. Sedangkan untuk bilangan ganjil yaitu 2k-1 untuk sebarang k bilangan bulat). Karena 74 memenuhi rumus bilangan genap, maka 74 habis dibagi 2. 74 : 2 = 37

BILANGAN HABIS DIBAGI 3Jumlah digit-digitnya habis dibagi 3Contoh: Apakah 213 habis dibagi 3? Akan kita jumlahkan digit-digit pada bilangan 213. Didapatkan, 2 + 1 + 3 = 6. Karena 6 (hasil dari penjumlahan digit-digitnya) habis dibagi 3. Maka bilangan itu (213) habis dibagi 3. Apakah -345 habis dibagi 3? Langkahnya sama. Kita jumlahkan digit-digitnya dan menghiraukan tanda negative. Jangan tertipu oleh tanda negatif.

BILANGAN HABIS DIBAGI 4Dua digit terakhir habis dibagi 4. Lebih mudahnya yaitu puluhan dari bilangan itu habis dibagi 4.Contoh: Apakah 324 habis dibagi 4? Dua digit terakhir yaitu 24. Dan 24 habis dibagi 4. Sehingga 326 habis dibagi 4. Apakah 2006 habis dibagi 4? Tidak. Karena dua angka terahirnya yaitu 06. Sedangkan 06 tidak habis dibagi 4. Sehingga 2006 tidak habis dibagi 4.

BILANGAN HABIS DIBAGI 5Bilangan tersebut berakhiran 0 atau 5.

Contoh: Apakah 3255 habis dibagi 5? Digit terakhir adalah 5. Sehingga 3255 habis dibagi 5. Apakah 2005 habis dibagi 5? Sangatlah mudah menentukan ciri bilangan habis dibagi 5

BILANGAN HABIS DI BAGI 6Ciri Bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan genap yang jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Atau bilangan yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 2.Contoh: apakah 234 habis dibagi 6? Sekarang kita perhatikan jumlah angka-angkanya. 2 + 3 + 4 = 9. Dan 9 habis dibagi 3. Karena jumlah angka-angkanya habis dibagi 3 dan bilangan itu genap.Maka 234 habis dibagi 6.

BILANGAN HABIS DI BAGI 7Bila bagian satuannya dikalikan 2, dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa. Jika hasilnya habis dibagi 7,maka bilangan itu habis dibagi 7.

Contoh: apakah 5236 habis dibagi 7? Kita pisahkan 6 (satuannya), kemudian 523 – (6 x 2) = 511. Apakah 511 habis dibagi 7? 51 – (1 x 2) = 49. Karena 49 habis dibagi 7maka 5236 habis dibagi 7.

BILANGAN HABIS DI BAGI 8Tiga digit terakhir habis dibagi 8.Contoh: apakah 3125 habis dibagi 8? Tiga digit terakhir yaitu 125. Dan 125 habis dibagi 8. Sehingga 3125 habis dibagi 8. Bagaimana dengan 56? Tidak jadi masalah karena 56 = 056.Sehingga tiga digit terakhirnya yaitu 056. dan 56 habis dibagi 8.Sehingga 56 habis dibagi 8.

BILANGAN HABIS DI BAGI 9Jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.Contoh: apakah 819 habis dibagi 9?Jumlah digit-digitnya yaitu 8 + 1 + 9 = 18. Dan 18 habis dibagi 9.Sehingga 819 habis dibagi 9.

BILANGAN HABIS DI BAGI 10Angka satuannya adalah 0.Contoh: apakah 8190 habis dibagi 10? Angka satuan=0, maka 8190 habis dibagi 10.

BILANGAN YANG HABIS DI BAGI 11Bilangan yang habis dibagi 11 yaitu jika bilangan tersebut merupakan kelipatan 11. Ciri bilangan habis dibagi 11 yaitu jika jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi 11.

contohnya:#Apakah 1234 habis dibagi 11?Maka yang kita lakukan adalah menjumlahkan dengan tanda berselang seling dari digit satuan. Tanda dimulai dari positif. Maka mengechecknya 4 – 3 + 2 – 1 = 2. Karena 2 tidak habis dibagi 11, maka 1234 juga tidak habis dibagi 11.

#Apakah 803 habis dibagi 11?3 – 0 + 8 = 11. Maka 803 habis dibagi 11.

BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 13Ciri bilangan habis dibagi 13 adalah bilangan asal dipisahkan satuannya. Kemudian dikalikan 9 (multiplier dari 13). Dan bilangan yang setelah dipisahkan tadi dikurangi dengan 9 kali bilangan satuannya.Misalnya bilangan awal kita adalah abcdefg, maka ciri bilangan habis dibagi 13 adalah (abcdef) – 9g. Jika hasilnya habis dibagi 13, maka bilangan semula juga habis dibagi 13.

Contoh: Apakah 3419 habis dibagi 13 ? Kita pisahkan 341 – 9(9) = 341 – 81 = 260.Karena 260 habis dibagi 13, maka 3419 habis dibagi 13.

Kita coba angka yangg lebih besar. Misal Apakah 12818 habis dibagi 13?1281 – 9(8) = 1281 – 72 = 1209120 – 9(9) = 120 – 81 = 39.39 habis dibagi 13, maka 12818 habis dibagi 13.

BILANGAN HABIS DI BAGI 15Angka satuannya adalah 0 atau 5. Jumlah angkanya habis dibagi 3.Contoh: apakah 8190 habis dibagi 15? Angka satuan=0, Jumlah angkanya = 8+1+9+0=18 (habis dibagi 3), maka 8190 habis dibagi 15.

BILANGAN YANG HABIS DIBAGI 17Ciri bilangan habis dibagi 17 adalah jika bilangan tersebut dipisahkan antara satuannya dan sisa angkanya kemudian jika sisa angkanya dikurangi dengan 5 kali satuannya dan hasilnya habis dibagi 17. Maka bilangan semula habis dibagi 17.

contohnya: apakah 153 habis dibagi 17?Langkah pertama yaitu memisahkan bilangan tersebut dengan satuannya. 153 menjadi 15 dan 3. Kemudian kita lakukan langkah pada syarat tersebut.15 – 3(5) = 0.Karena 0 habis dibagi 17, maka 153 juga habis dibagi 17.

Contoh lain yang lebih panjang yaitu apakah 5338 habis dibagi 17?Kita lakukan langkah-langkah yang telah diberikan sebelumnya.533 – 8(5) = 49349 – 3(5) = 34Karena 34 habis dibagi 17, maka 5338 habis dibagi 17.

CIRI BILANGAN HABIS DIBAGI 19Ciri bilangan habis dibagi 19 yaitu jika satuannya dikalikan dua dan ditambahkan pada angka sisa (angka semula yang dibuang satuannya) dan hasilnya habis dibagi 19 maka bilangan itu habis dibagi 19.

Contoh: Apakah 209 habis dibagi 19?Secara perhitungan biasa, 209 habis dibagi 19. Karena 19 x 11 adalah 209. Sekarang bagaimana jika kita menggunakan ciri bilangan habis dibagi 19 menggunakan cara yang telah disebutkan di atas. Sekarang kita perhatikan angka 209. Angka tersebut satuannya kita pisah.Diperoleh angka-angka baru yaitu 20 dan 9.Kemudian langkah selanjutnya yaitu angka satuan kita kalikan dua dan kita jumlahkan dengan angka yang lain yang telah dipisah tadi. Diperoleh, 20 + 9(2) = 28. Dan karena 38 habis dibagi 19, maka bilangan asal tadi juga habis dibagi 19. Sehingga, 209 habis dibagi 19.

Sekarang kita lanjutkan untuk contoh dengan angka yang lebih besar.Apakah 9937 habis dibagi 19?Kita lakukan langkah-langkah yang telah diberikan tadi. 933 + 7(2) = 1007. Tentunya sekarang kita dapatkan angka yang lebih kecil. Untuk mengecheck apakah 1007 habis dibagi 19, maka kita lakukan langkah yang sama. Dengan cara yang sama. 100 + 7(2) = 144. Kita lanjutkan dengan mengecheck apakah 114 habis dibagi 19. Kita peroleh, 11 + 4(2) = 19.Dan karena 19 habis dibagi 19, maka 114 habis dibagi 19. Dan diperoleh 1007 habis dibagi 19. Dan akhirnya 9937 juga habis dibagi 19.