Upload
dangthien
View
280
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
TRANSFORMASI GEOMETRI
Transformasi digunakan untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah
bidang dari suatu tempat ke tempat yang lain. Transfomasi T pada suatu bidang
memetakan titik P pada bidang menjadi P ' di tempat lain pada bidang tersebut. Titik
P ' disebut bayangan titik P sebagai hasil transformasi T.
Jenis-jenis transformasi geometri :
1. Translasi
2. Rotasi
3. Refleksi
4. Dilatasi
Translasi
Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan
jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu dapat diwakili oleh ruas garis berarah
(misal A⃗B ) atau oleh suatu bilangan terurut [ab] Jika translasi T = [ab] memetakan titik P ( x1 , y1 ) ke titik P' ( x1
' , y1' ) maka berlaku
hubungan :
x1' =¿ x1+a
y1' =¿ y1+b
Atau P' ( x1' +a , y1
' +b ).Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk
T = [ab] : P ( x1 , y1 ) P' ( x1' +a , y1
' +b )
Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia
berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas
sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari.
Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.
1
Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini,
Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis
sebagai (−2
2 ) Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah
ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang
ditulis sebagai (−2
1 ) Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat
Cartesius. Dengan translasi (−2
2 ), diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik
N ’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut
N (a , b )⃗(−22 )N ' ( a−2 , b+2 )
Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan T 1=(ab )
maka
diperoleh bayangannya P' ( x+a , y+b ) . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.
P ( x , y ) T⃗ 1(ab ) P' ( x+a , y+b )
2
Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh denganT 2=(cd)
Didapat, P' ( x+a , y+b ) T⃗2(c
d) P '' ( x+a+c , y+b+d ) Perhatikan bahwa
P'' ( x+a+c , y+b+d )=P '' ( x+(a+c ) , y+( b+d ) )
Ini berarti P'' ( x+a+c , y+b+d ) diperoleh dengan mentranslasikan P ( x , y ) dengan
T=(a+cb+d)
Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang
ditulis sebagai T 1∘T 2
Oleh karena T 1=(ab )
dan T 2=(cd)
maka T 1∘T 2=(a+c
b+d)Akibatnya, titik P ( x , y ) ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2
menghasilkan bayangan P'' sebagai berikut
P ( x , y )⃗T 1∘T2(a+cb+d ) P'' ( x+a+c , y+b+d )
Sifat:
Dua buah translasi berturut-turut (ab )
diteruskan dengan(cd )
dapat
digantikan dengan translasi tunggal (a+cb+d )
Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.
Contoh :
1. Translasi T 1=( p
q )memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)
a. Tentukan translasi tersebut !
b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan
C(5, 6) oleh translasi tersebut.
3
c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan
T 2=(−1−1)
Tentukan bayangannya!
d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya
dengan jawaban c?
Jawab:
a. A (1,2 ) T⃗ 1( p
q ) A ' (1+ p , 2+q )=A1 ( 4,6 )
Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3
2+q = 6 sehingga q = 4
Jadi translasi tersebut adalah T 1=(34)
b. translasi T 1=(34)
artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan
4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC
dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut
A (1,2 ) T⃗ 1(34 ) A ' (1+3,2+4 )=A ' (4,6 )
B (3,4 ) T⃗ 1(34 ) B' (3+3,4+4 )=B ' (6,8 )
C (−5,6 ) T⃗ 1(34 )C ' (−5+3,6+4 )=C ' (−2 , 10 )
Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan
C'(-2,10)
c. A ' (4,6 ) T⃗2(−1
−1) A '' (4+(−1 ) , 6+(−1 ) )=A '' (3,5 )
A ' (6,8 ) T⃗2(−1−1 ) A '' (6+(−1 ) , 8+(−1 ))=B '' (5,7 )
A ' (4,6 ) T⃗2(−1−1 ) A '' ( (−2 )+ (−1 ) ,10+(−1 ))=A '' (−3,9 )
4
Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7)
dan C''(-3,9)
d. translasi titik T 1∘T 2=(3+(−1 )
4+(−1 ))=(23)A (1,2 )⃗(23) A ' (1+2,2+3 )=A ' (3,5 )
B (3,4 )⃗(23) B ' (3+2,4+3 )=B ' (5,7 )
C (−5,6 )⃗(23)C ' (−5+2,6+3 )=C ' (−3,9 )
Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan
C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang diperoleh pada jawaban c sama dengan
segitiga yang diperoleh pada jawaban d.
Tentukan bayangan lingkaran ( x−3 )2+( y+1 )2=4 jika ditranslasikan oleh T=(−52 ).
Jawab :
Ambil sebarang titik P(a,b) pada ( x−3 )2+( y+1 )2=4, sehingga diperoleh
(a−3 )2+(b+1 )2=4…(*)
Titik P (a , b ) P' ( a+(−5 ) , b+2 )=P ' (a−5 , b+2 )
Jadi diperoleh a '=a−5 atau a=a'+5 dan b '=b+2 atau b=b'−2
Dengan mensubtitusi a dan b ke persamaan (*) diperoleh
(a '+5−3 )2+( b'−2+1 )2=4
(a '+2 )2+( b'−1 )2=4
Jadi bayangan lingkaran ( x−3 )2+( y+1 )2=4 jika ditranslasikan oleh T=(−52 )adalah
( x+2 )2+ ( y−1 )2=4
Rotasi
Rotasi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar
titik-titik sejauh αdengan pusat titik P.
5
(−52 )
Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh :
1) Titik pusat rotasi
2) Besar sudut rotasi
3) Arah sudut rotasi
a b c
Gambar 1 a dan b menunjukkan suatu rotasi pada titik A pada roda terhadap pusat
roda P.
Arah rotasi dapat berlawanan dengan arah putar jarum jam ataupun searah. Jika sudut
rotasi bernilai (+) maka arah sudut rotasi berlawanan dengan arah putar jam. Jika
sudut rotasi bernilai (–) maka arah sudut rotasi searah dengan arah putar jam. Besar
sudut rotasi adalah sudut yang terbentuk dari besarnya rotasi yang terjadi. Suatu rotasi
terhadap pusat rotasi P dan sudut rotasi dinamakan dengan R [ P , ].
Contoh :
Untuk membahas hasil pemasaran suatu produk selama 1 tahun yang dilakukan oleh
7 kantor cabang maka diadakan rapat yang dilakukan menggunakan meja bundar
seperti pada gambar di bawah ini.
6
jika kursi A ditempati oleh direktur pemasaran kantor pusat, kemudian kursi B, C, D,
E, F, G dan H ditempati oleh direktur peamsaran kantor cabang daerah B, C,D,E, F,
G, dan H. selanjutnya, jika meja tersebut diputar (dirotasikan) dengan rotasi , R=
[O ,−90o ] tentukanlah pasangan nomor ada meja dengan huruf pada kursi yang terjadi
sebagai hasil rotasi.
Jawab :
Rotasi yang dinyatakan oleh R=[O ,−90o ] berarti terhadap titik 0 sebesar 90o searah
putaran jarum jam. Perhatikan gambar berikut
Gambar 3.
Setelah meja diputar sejauh 90o searah jarum jam maka seluruh titik berputar bersama
meja, pada gambar 3, diperlihatkan titik 1 yang mula-mula berpasangan dengan kursi
A berputas sejauh 90o dan menyebabkan titik 1 berpasangan dengan kursi C,
demikian juga titik 5 yang mula-mula berpasangan dengan kursi E berputar sejauh
90o dan menyebabkan titik 5 berpasangan kursi G. Demikian untuk yang lain yang
7
dapat dilihat hasilnya pada gambar 4 setelah dilakukan rotasi sebesar 90o searah
dengan jarum jam.
Gambar 4.
Dari gambar di atas dapa dilihat pasangan dari titik 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 adalah C, D,
E, F, G, H, A, B.
Rotasi Rumus Matriks
Rotasi
dengan pusat
(0,0) dan
sudut putar α
A ( x , y ) R⃗ (0 , α ) A ' ( x ', y ' )dengan x '=x cosα− y sin α
y '=x sin α+ y cosα(x '
y ')=(cos α −sin αsin α cosα )(x
y )
Rotasi
dengan pusat
P(a,b) dan
sudut putar α
A ( x , y ) R⃗ ( P , α ) A ' ( x ', y ' )dengan x '−a=( x−a ) cosα−( y−b ) sin α
y '−b=( x−a )sin α+( y−b ) cosα(x '
y ')=(cos α −sin αsin α cosα )(x−a
y−b)+(ab )
Sifat-sifat
Rotasi yang dilakukan sebanyak dua kali berturut-turut dengan sudut putar yang sama
akan sama hasilnya dengan melakukan rotasi sebesar jumlah sudut putar dari dua kali
rotasi tersebut.
Pada rotasi bentuk bangun tidak berubah.
Contoh :
Tentukan bayangan dari titik P (2,1) jika dirotasikan terhadap :
a. R=[O ,30o ]b. R=[O ,−30o ]
8
Jawab :
a.
x '=2 cos30o−1sin 30o=2 . 12 √3−1. 1
2=√3−1
2
y '=2sin 30o+1cos30o=2. 12−1. 1
2 √3=1+ 12 √3
Jadi bayangan titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R=[O ,30o ] adalah
P' (√3−12
, 1+ 12 √3)
b.
x '=2cos (−30o )−1sin (−30o )=2 . 12 √3+1. 1
2=√3+ 1
2
y '=2sin(−30o¿)+1cos (−30¿¿o¿)=−2 . 12−1. 1
2 √3=−1+12 √3¿¿¿
Jadi bayangan dari titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R=[O ,−30o ] adalah
P' (√3+ 12
,−1+ 12 √3)
Tentukan bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat M (1,1)
sejauh 90o.
Jawab :
Karena ( x , y )=(3,3 )dan (a , b )=(1,1 ) maka
x '−1=(3−1 ) cos90o−(3−1 ) sin 90o=2 .0−2. 1=0−2=−2
x '=−2+1=−1
y '−1=(3−1)sin 90o+(3−1)cos90o=2.1−0=2
y '=2+1=3
Jadi bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat M (1,1) adalah
P' (−1,3 )
Tentukan peta dari garis y = -x + 2 jika dirotasi seperempat putaran.
Persamaan rotasi seperempat putaran x' = -y dan y' = x. Maka dari persamaan didapat
x = y' dan y = -x' yang selanjutnya disubstitusikan pada persamaan y' = -x' +2 atau –x'
9
= -y' + 2 dengan menghilangkan tanda " aksen" diperoleh -x = -y + 2 atau y = x + 2
yang merupakan peta dari garis y = -x + 2
Refleksi
Kita pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri sendiri. Apakah memiliki
bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak kita ke cermin. Samakah dengan
jarak bayangan kita ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-
pertanyaan tersebut, kita akan menemukan beberapa sifat pencerminan.
Gambar 5.
Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:
Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’
Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik
bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.
Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke
bayangannya adalah sudut siku-siku.
Refleksi atau pencerminan merupakan suatu transformasi yang mencerminkan suatu
objek.
Refleksi Rumus Matriks
Refleksi
terhadap
sumbu-x
A ( x , y ) s⃗b . x A ' ( x ,− y ) (x 'y ' )=(1 0
0 −1 )(xy)
10
Refleksi
terhadap
sumbu-y
A ( x , y ) s⃗b . y A ' (−x , y ) (x 'y ' )=(−1 0
0 1 )(xy)
Refleksi
terhadap
garis y=x
A ( x , y ) y⃗=x A ' ( y , x ) (x 'y ')=(0 1
1 0 )(xy)
Refleksi
terhadap
garis y=-x
A ( x , y ) y⃗=−x A ' ( y ,−x ) (x 'y ')=( 0 −1
−1 0 )(xy )
Refleksi
terhadap
garis x=k
A ( x , y ) x⃗=k A ' (2 k−x , y )
Refleksi
terhadap
garis y=k
A ( x , y ) y⃗=k A ' ( x ,2 k− y )
Refleksi
terhadap
titik (p,q)
A ( x , y ) (⃗ p, q ) A ' ( x ', y ' )Sama dengan rotasi pusat (p,q)
sejauh 180˚
(x '−py '−q )=(cos180 ° −sin 180 °
sin 180° cos180 ° )(x−py−q)
Refleksi
terhadap
titik pusat
(0,0)
A ( x , y ) (⃗ 0,0 ) A ' (−x ,− y ) (x 'y ')=(−1 0
0 −1 )(xy )
Refleksi
terhadap
garis y=mx,
m= tan α
A ( x , y ) y⃗=mx A ' ( x ', y ' )dengan x '=x cos2 α+ y sin 2α
y '=x sin2α− y cos2α(x '
y ')=(cos 2α sin 2 αsin 2 α −cos 2 α )( x
y )
Refleksi
terhadap
garis y=x+k
A ( x , y ) y⃗=x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '= y−k
y '=x+k(x '
y ')=(0 11 0 )( x
y−k )+(0k )
11
Refleksi
terhadap
garis y=-
x+k
A ( x , y )⃗ y=−x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '=− y+k
y '=−x+k(x '
y ')=( 0 −1−1 0 )( x
y−k)+(0k )
Sifat-sifat refleksi
a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas,
artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi
(pergeseran) dengan sifat:
Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua
sumbu pencerminan.
Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke
sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif.
c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus,
menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari
kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus
bersifat komutatif.
d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan
menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu
pencerminan.
Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
Contoh :
Tentukan bayangan lingkaran x2+ y2−4 x+6 y=10jika dicerminkan terhadap garis
y=−x .
Persamaan dari pencerminan terhadap garis y=−x adalah x '=− ydan y '=−x
Subtitusikan −x '= ydan − y '=x ke persamaan x2+ y2−4 x+6 y=10maka
diperoleh
12
(− y ' )2+(−x ' )2−4 (− y ' )+6 (−x ' )=10
( y ' )2+( x ' )2+4 ( y ' )−6 ( x ' )=10
Jadi bayangan dari persamaan lingkaran x2+ y2−4 x+6 y=10 adalah
( y )2+( x )2+4 ( y )−6 ( x )=10
Koordinat titik A dan B berturut-turut adalah (-2, 2) dan (1, 4). Garis yang
menghubungkan A dan B direfleksikan terhadap sumbu x untuk mendapatkan A’
dan B’. Kemudian A’B’ direfleksikan terhadap garis x= 3 untuk memperoleh A”
dan B”. Tentukan koordinat A’, B’, A’, dan B’.
Jawab :
A (−2,2 ) A ' (−2 ,−2 ) A' ' (2.3−(−2) ,−2 )
B (1,4 ) B' (1 ,−4 ) B' ' (2.3−1 ,−4 )
A' ' (2.3−(−2) ,−2 )=A' ' (6+2,−2 )=A ' ' (8 ,−2 )
B' ' (2.3−1 ,−4 )=B' ' (6−1,−4 )=B' ' (5 ,−4 )
Dilatasi
Adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala
(pengali) tertentu dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun akan mengubah
ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut.
Gambar 6.
Perhatikan lingkaran pada Gambar dibawah yang berpusat di titik P(4, 2) dan
melalui titik Q(4, 4) berikut yang didilatasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala
13
x = 3
x = 3
Sb. x
Sb. x
12 . Bayangan yang diperoleh adalah lingkaran yang berpusat di titik P'(2, 1) dan
melalui titik Q' (2, 2). Lingkaran ini sebangun dengan lingkaran P dengan ukuran
diperkecil.
Gambar 7.
Atau kita dapat menentukan lingkaran hasil dilatasi ini dengan menggunakan matriks
seperti berikut
[ x1' x2
'
y1' y2
' ]=[ 12
0
0 12 ][4 4
2 4]=[2 21 2]
Dengan dilatasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala 12 , diperoleh lingkaran
dengan titik pusat P'(2, 1) dan melalui titik Q'(2, 2).
Transformasi dilatasi dengan faktor skala sebesar k adalah suatu pemetaan yang
didefinisikan sebagai berikut :
T : R2 R2
( x , y )(kx ,ky ) dimana k adalah bilangan real.
14
Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis : P ,k
Jika P , k :A( x , y ) → A '(x ' , y' ) dengan P (a,b) maka terdapat hubungan :
x '=a+k (x−a )
y '=b+k ( y−b )
Jika dengan pusat O (0,0) terdapat hubungan :
x '=kx
y '=ky
dengan matriks yang sesuai [k 00 k ]
Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangannya.
1) Jika k >1, maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap pusat dan
bangun semula.
2) Jika 0 < k < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan searah terhadap pusat dan
bangun semula.
3) Jika -1< k < 0 , maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah dengan pusat
dan bangun semula.
4) Jika k < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah terhadap
pusat dan bangun semula
Dilatasi Rumus Matriks
Dilatasi dengan pusat
(0,0) dan faktor dilatasi
k
A ( x , y ) [⃗0 , k ] A ' (kx , ky ) (x 'y ')=(k 0
0 k )( xy )
Dilatasi dengan pusat
P(a,b) dan faktor dilatasi
k
A ( x , y ) [⃗ P ,k ] A ' ( x ', y ' )dengan x '−a=k (x−a )
y '−b=k ( y−b )(x '
y ' )=(k 00 k )( x−a
y−b )+(ab )
Contoh :
Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh dilatasi tsb tentukan
bayangan dari :
a. titik A(3,2) dan B(9-4,3)
b. garis y-2x+5=0
15
Jawab :
a. A' [ x '
y ' ]=[3 00 3 ][3−2
2−1]+[21]=[54 ]B' [ x '
y' ]=[3 00 3] [−4−2
3−1 ]+[21]=[−167 ]
b. [ x '
y ']=[3 00 3] [ x−2
y−1]+[21]=[3 x−6+23 y−3+1]=[3 x−4
3 y−2]x '=3 x−4→ x= x '+4
3
y '=3 y−2→ y= y '+23
Subtitusi x dan y tersebut ke y-2x+5=0 sehingga diperoleh
y '+23
−2. x'+43
+5=0
y '+2−2. (x '+4¿+15=0
y '+2−2 x '−8+15=0
y '−2 x '+9=0
Jadi bayangan dari garis y-2x+5 = 0 adalah y-2x+9=0.
Transformasi Gusuran
Gambar 8.
Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik menurut
arah sumbu X atau sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran, yaitu:
1. Transformasi gusuran arah sumbu X
16
Matriks transformasi yang bersesuaian adalah [1 q0 1]dengan q= 1
tg∝=¿ faktor skala
Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :
x' = x + qy
y' = y
2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y
Matriks transformasi yang bersesuaian adalah [1 0p 1]dengan p=
1tg∝=¿ faktor skala.
Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan
x' = x
y' = y + p
Contoh :
Diketahui titik (2 , -3 ) . Tentukan bayangan titik itu oleh
a. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala – 3
b. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4
Jawab :
a. [ x '
y ']=[ 1 0−3 1] [ x
y ]=[ 1 0−3 1 ][ 2
−3]=[ 2−9]
b. [ x '
y ']=[1 40 1] [ x
y ]=[1 40 1 ][ 2
−3]=[−10−3 ]
Regangan
Merupakan suatu transformasi yang memetakan himpunan titik pada bidang ke
himpunan titik lainnya dengan cara memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke
garis tertentu (invariant) . Perbandingan antara jarak titik peta ke garis invariant
dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut factor regangan. Arah garis yang
tegak lurus dengan garis invariant disebut arah regangan.
17
Gambar 9.
a. Regangan searah sumbu X
Artinya garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan faktor regangan k
Matriks transformasi yang bersesuaian [k 00 1]
Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :
x' = kx
y' = y
b. Regangan searah sumbu Y
Artinya garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan faktor regangan k
Matriks transformasi yang bersesuaian [1 00 k ]
Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :
x' = x
y' = k y
Contoh :
Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan [−2 00 1 ]
Jawab :
[−2 00 1 ][ x
y ]=[ x '
y ']
18
[−2 00 1 ]
−1
[−2 00 1 ][ x
y ]=12 [1 0
0 −2] [ x '
y '][1 00 1][ x
y ]=[−12
0
0 1][ x'
y ' ]Maka [ x
y ]=[12
x'
y' ] sehingga diperoleh
3 x+ y=9
3(−12
x ')+ y '=9
3 x ' – 2 y '=−18
Jadi bayangan dari 3 x '+ y '=9adalah 3 x – 2 y=−18
Komposisi transformasi
1. Komposisi dua translasi berurutan
Diketahui dua translasi T 1=(ab )
dan T 2=(cd)
. Jika translasi T 1 dilanjutkan
translasi T 2 maka dinotasikan ”T 1∘T 2 ” dan translasi tunggalnya adalah
T=T1+T2=T2+T1 (sifat komutatif).
2. Komposisi dua refleksi berurutan
a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b.
Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:
x' = 2(b-a) + x
y' = y
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y = a dilanjutkan terhadap garis y =
b. Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:
x' = x
y'=2(b-a)+y
19
b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x = a dilanjutkan terhadap garis y=b
(dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan
sudut putar 180˚
c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan
Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka
bayangan akhirnya adalah A ' ( x ', y ' ) dengan pusat perpotongan garis g dan h dan
sudut putar 2 α (α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.
Catatan
tan α=mk−ml
1+mk⋅mlml=gradien garis lmk=gradien garis k
d. sifat komposisi refleksi
Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali
komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu
yang saling tegak lurus).
3. Rotasi berurutan yang sepusat
a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari
komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β)
b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1
4. Komposisi transformasi
Diketahui transformasi T 1=(a b
c d ) dan T 2=( p qr s )
maka transformasi tunggal
dari transformasi:
a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1
b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2
Catatan T1 . T2 = T2 . T1
5. Bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih
20
Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x
dilanjutkan translasi (32 )
!
Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5
P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)
P'(y,x) ditranslasi (32 )
. Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')
Jadi x'' = y +3 → y = x''-3
y'' = x +2 → x = y'' -2
persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5
-4y'' + 8 + x'' – 3 = 5
x'' - 4y''= 0
jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0
6. Luas bangun hasil tranformasi
Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:
a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi,
dan rotasi.
b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika
luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas
bangun bayangannya adalah L' = k2 +L
c. Jika luas bangun semula = L, kemudian bangun itu ditransformasikan
dengan matriks [a bc d ] maka luas bangun bayangannya adalah
L'=|ad−bc|x L
21