24
!" # $ % & " # ’ ( β β = + & ( # ) " * =- - + "& # →∞ , , " & - " . /0 & ( 1)( # 2 . , 3, 435& ( % 6 7, 85& " 9, " " 1" % + - " : # & , 4;< ’ " & " & ! "

webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

  • Upload
    others

  • View
    7

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

��������������� ��������������������

����������� ��� �������� �� � ���������� ������ ������������� ������������������� ������� ��� ��������� ���������� ��������� ��� �� ���� ������������������������������������ �� ��!����"�����#�����$� ������ �� ������%����������������������&��

������������������������������������������������������ ����� ������"�����#������� �����

'������������ ��� (����� ����� ���� � ������ ����� �� ��� �β β= + �� �� �������

������ �������� �������� ����� ��� ���� � ��� ����� ��� ���� ������ ��� ��������������� ��� �������� ���������&� (�� ����� ����� ��� ��� #����� �� ��� �������������)������ ����������� ������ ���� ���� ������ �������� ����� ���� ������

��"����������*������������

� � �

� � �

�� � � � �

�= − −∑ ∑ ��������+�������� ���������

����� ���� ������� ��� �������"�&� #�� ���� ������ � →∞ ,� ���������� ������

���������� ������������ ��������������������,������"���������������������� ���������������&���

�������������������������������������'��������������������� �������������������� �-������������������������������������� ����� � ������������������"��

���������������������.�� ��/����0������������������������������� &����� � (�� ����� ����� � 1����)(�������� ������� ��� #����� �� ��� �� � ���2�����������������.�� �����������������,��������3,������435 &������ � (�� ����� � ����� ���� %������� �������� �� ������ ������ ������ ����������������6��7�� ����� ,������85 &����" � 9������,� ��� ��"�� ����� � � ���� ������ ��� "����������� ����� ���� �

������� ����� ���� 1�������"� ���%������ � � � �� � � �≤ + − � ���� ����

"����������� ����� �������� ������:���� ����� ��� ���� ���� ����� ���� � #�����������&���������,������4;< �

���������������������������������������'�������������������"������������������&���������� ��� ���� ���������� �� � ��"������ ����������� ��� ���� ����� �������������� ������� �� � ������&� !��� ����"���� ��� ���� ����� ������� ��������

Page 2: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

������ ���������� �� � �������� �����������&� ��������� ��������������%�����&��=���������������8 ��

���������������������������������������� � ��������� ��� ������ ������� ��� �������� ����� �����:� � ���������������&���� �!���7������������������"�������������� ��&�������������>������7�� ����� ������?< ����� � @���������� ��� ���� �� � ���� ������ ���������� �� � �������������������&����" ������������������������������������������"��������&�!����"��������������������,������� ������������ ������������������� �&��!���� ��������"��������������"��� &��" ��������������������,���������� ������ ��) ���������

�" �=�������������#������� ��>��� � � � � � � � � � � � � � = − �

��� �=����������������>� ��� � � ��� � � � � = − �

�"� � #������������� ��� ������ ����������� �� ��� ���������� #��������������������&��"�� �=���������������������������>�!��� �������������� ������������������� ���� ��� �������������� ���� � �→ �1�� ��� � ��� ��"�� �� �����

� � ��� � � � �� �� � � � � �σ σ= − + > ������ ��� ���"�� ��� ���� �������������� ���

�&� !���� ��������� ���� ��������� ��� ����������� �������:�����&� !��������� ���������������������������������������)������������"�������������������������������������������������������:�����&�!���������������

�������:������ ��� �������������� ����� � ��� �

���� ���� ��

� �→∞→∂= ∂ ������

������� ����������� &�!���� ����������������������� � � � ������������������ ����� ���� *����������� ��� ������ �) ���� ��������� ��� ����������������"�����������������������&� �#�� ����.�� �������,���������������������������������������������� ������������ ���������������������7�� ����� ���������8��� �=������>���������8 ��

�������������������������������������'�����������>� ��������� ��� ����������� ��������� ���������� ��� ���������� ����� ���� A������� ���� ����� ��� ���� ������ ������ �����,� ������"������ ����� ��� �� ����������� �������:� � ����� �"�����&� !���� ������� ����������������������� ����&����������� ��� ��������)��������� �������� �� � ����� ���)�����

������������� ��� ��� ������ ����� � � � � � χ β= ������� ����� ��� 9������

Page 3: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

���������� � ������ � ����������� ������&� �� � χ χ→ = ��� ���� �������

������������������ �"�������������������������&��

(�� ��"�� ������ ��� #����� �� ��� ����� �� ����) ���� ���� ���� � �� ��� �

������������������������������������������&�9��� � > ,��������������� �

�� � ������� ��������,� ��� ���� � � �� �� �

� � � �β∈

= +∑ &� B����� ����

9�������)� ��������� �� � 9������ ���������,� ��� ����� �

� ��

�� �

χξ=

+��

������ξ ������������������������&�(���������������������� �

�ν η= = &�

��������� �������������� ���������

'�����������>���"������������������������������������������ � < &�(��

���������%�������

� � � �� �� �

� � � �β∈

= +∑ �� � ���� ������ �

� �

� � � � �β β∈

= =∑ &� (�� ������ �����

��� ���� ��������� ��� � �� � �δ = − ��� � ����� � � �� �� �

� � �β∈

+∑ �

���� � � �β ��� ����� "���� ����� ���� ,� ��� ����( )��

� � �� �

� �

� � �

βξ β−

− −

∼ �� ��"����

�������� �

�ν η= = &�

�4&�C��������� ��������������������������������� � �α β γ+ + = �������

�� �!������������� �α ν− = ����������� ��������������� ���������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������� �!�������������������� ���� ������ � ����������������� ������������ ������ �������������� ��������>��������������" �!������������������������� �������������"�����&��8&�!���D�� ������� �������������������� ������� ������������� ���������

���� � #����&� 9��� �� ��� � ������,� � � ��

�� � � � � �� � � � �ρ ρ ρ

ρ − = −

� � � �

��� �

( )� � �� �κ β= ∫ �

&� !��� ������� ������ �� � � �� � η− +∝ ∼ ���� � = ��� ��

��� ������� ���������&� ��"������� ��� ����� ���� � → ��������� ����

�"������������������������&�

Page 4: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

�?&��������������� ��������������=����������������������������������� �������������� ��������������������������������������������������������������������������7�� ����� ,���������3 �3&�#���� ��������.�� �)7��:������������&���

���������� �������������� ������������ � '�����������>� .�� �)7��:���� 9���� ������� ��������� ����� �������� ��� ��������� ���"���"��� ������ ��� �������� �� � .������,��������� ?,� A���� ��� �� � ����).�������� �%�����,� ���� 7�� ������� ������������������������������������ ��� ���� �������������������������������������������� ������������A���������������� �������������� ������������������������������������ ����� � 9�������)��������� �������� ������ ��� �������� ���� �������������������������������������������� �������

( )�

� � � �

�� �

�� ��

� �� � �

ξξ= =

+ + +���������

�ν = �� � �η = �

��" �.7���������������������� ���������������� ���������������"������������������� �������������������������������&���.�� �)7��:���>�����������������3,�7�� ����� ���������E �������%�>� �� � $���� ���� � ������� �������� ���������� �� � ����� �"��)�������������������������������&�@�� ������������������������"������������) �����������#�����$� ��&���� � �������� ���������� ���� "���� ��� ���� ���� ��������������� ������� �"����&������ � �������� ���������� ���� �� ���� ���� ��� ��������� �� � ��������������FF����" �=������ �������������������������>���,�*������������ ��)"������� ����������������.7����������������������������&�

�" � !��� ��������� ����������� �������� ( )��

� � � �

�� �

�� ��

� �� � �

ξξ= =

+ + +�

����� ���� ����� ����"���� ��� ���� #����� ��G4 � ���� ������ ���� �����"�����

������������ � �

����� �

� ��

� � � �� � �

⊥ = <=+ +

������ ������ ����� ����

�����"����� ����������� ������� ��� ������� �"������� ���� � < &� !���� ��� ����

����%����������������������������������������������������������� ����G8,�����.�� ���������������������������������������������� �&�!���������

Page 5: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

������� ��� ��������� ���������� ������ ��� 7�� ������ 1�����&� � �9��� �������,������������,���������3��� �7�� ����� ,���������44 &��

���������� �������������� ��������'�����������>� ��������� ��������� ��������,� �����"����� ����������,�7�� ������ $� ��� �� � $�����)(������ �������&� (�� ������� ����� ��������������� � �"�������������������� � → ������������"�������������������

���������������������� �� ������������� ���� �����)������� ��������&� #����������� �,����������������������������������������������������

�� ≤ &� (�� ��� ���� ���� �� ������� ,� ������ ���� ��� �����������

�������:�����������������*����������$� ��������������������������� �� ≤ &��

#����������������������,������������� ��� ������,������"������� ������������� ��� ���������� �� � ����������� �����&� � 9��� �� ��� �� ��,� ���� �� ���

���������� ���� � ��� ��"��������� �������� ��� ( )��� � �� � �θ ������� ��� ����

������ ���� �θ ������������������"������������"�������������&�

����������� ������������� ����������4&� B����� ���� ��� *����������,� ��� ������� ���� ���������� ����� ������ ��� � �����&� (�� ����� ����� ��� ������ ��� ���������,� ���� ��� ��������

���� .7� ��������&� #�� �ϕ �������� ���� ��������� ��� ���� ��������

������ ����� ��� ���� �� ��,� ����� ������ ��� ��� %� ����� ����� � �����

�������� � ����� �ϕ ��� � ����� ���� ����������� ��� �����)���&� � �7�� �����,�

��������44 �8&�(���� �� ���������� ���������������������������������������� ��� ������� ��������.�� �)7��:����*������������������������ ,������ ������

���������"���������������������"�������

��

� � �

� ��

��ρ⊥ =+

&�!���������������

�������������������� ����������������������� ��������������������������

����������� ������� �

���

�� ��

ρξ = ���������,� �������� 5 &� B����� ���� �������

( )� � ��� �� �νρ ξ − −∼ ∼ ��"����������� ��→ ,���� ���"� ����������������������&�

�?&� ���������� ��� ������� ���>� � -� ��� ���������� ��� ���� ���� � ������

��"�)�������� � �� � � ��� � � θψ = ��������������������������������������

�� ��� �� � ��� �� ��θ == ∇ ∇×� ��

&� =������ � ��� ���� ����������� ��� ��

����������� ������� ����� ��� ����� ��� � ��� ���� ��������� �����

����������F� ���,� � ��� �θ π∇ ⋅ =∫ �

� ����

��

��θθ π∇ = �� ��� =∇× �

��"���������

������ ���&� !��� ������� � ������� ��� :���� ��� ���� ������ ��� ��� ��"��

Page 6: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

��������� ������� �� ���� � �� ���� ��� ������� ��� �>� D�����F�

���������� ���

� ���=∫ �

� ����%����:� &�

����������� �������������� ��������(�� ����������� ���� ��������� �������� ���� ��� �� ��� �� � =������ ���� �����"����������������� �&���

(��������������� ����� ���� ������������������� � � ����θ θ &�9��� G8,����

������ ����������������

���

�� � ���

� ��

� βπθ θ −Λ= = �������Λ ��� ���� � �����

�)���� ��� ���� �������&� !��� ����)����� ����������� ������� ��"��� ���

( )� � ���� ��� ηθ θ−

∼ ���������

�η

π= ��������� �� ������ ����7�������������

��� ���� ��� ���������� ������&� ������������� ������� ��� �����)���� ���� ����

� < ,������������������������������ G�G8����������FF�

�*��������������������������������������������������&�!�������������������������������������)�������������������������)��������������������������� ����������� ������ ����� ������������ ����������&� !���� ��� ���� ������������� ���������������FF��#���������)����������������,������������� ����)�������� ��� ������ �����������"����������� �→∞ � ��� ������ �����

����)����������������������������������������������� &��!��� H!� ����������� ��� ��� � ������ � ��� ������ "������ �������������F� !���

������� ��� �� ������� "�������

���

�π−

��� � ��������

����

��

���� ������

������� �� �������������

π= = ����"�� ����� ���� "������ ��������������

�������)����������������"��������� ����������)������������������ ������� &���

����������� ��������������� ��� ���������(�����������������H!����������������8 ������ ��&��

4&� (�� ����� ��� �� .��� � ����� ������>� � � ��

�� � � �ϕ ϕ ϕ= + − ������

�������� ���� �����)�� ��� ������ ����������� �������� ���� ��������� �� �

Page 7: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

������� ����������� ��� ��%� � ������&� $�����:���� ���� ����� ������� ��� ����

��� �!

�� � �!"

� � ��� ��

�ϕ ϕ + −= = > �� ���):����ϕ ���� ���� ������� �����&�

!��� ����)������� ��� ���� ��������� ��� ϕ � �� ��� ���� ��� ����&� !���

����������� ��� ������ � ������������������������� �#������� ������,� ����

���� ������� ����������� � ,� ���� ���� ������� ������&� *���"��� ���� !I � ,�

�ϕ = ��������������������������������������������������������� �ϕ ϕ= �

������������� &�9��� # < ,������"��������������"����� �ϕ = �������������

#�������� ������ ��� ���� ��"�"�FF� =�����

��

ϕϕ =

∂ =∂ ,� ��� ��� ���� ��������

���� #� �� = − ,� ��� # = ,� �� � �����������&������ ����� � ��

ϕ

χϕ

=

∂ =∂ &�

*���� # ��� ���� � ���� ������ ��� �������������� ��� ������&� ���,� � ���� ���

������ � ����� ���� ���������� �� ������ �����

� � � � �� �� ��

�� �

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ∂= = = = =∂ &� !���� ��"��� #� � �

�� � �

��

�ϕ = = − ����

�������������"���� ������������������������� ������������&�=��������� ������ �������� ���� ������� ������ ��� �� ����� ������� �� ��� ��

����������� ## ���"�� ����� ���� ������� ������ ��� ���� ��"�"�&� !���

�"����� ��� �ϕ ϕ= �"�������� �� � ��� ��� ��� � ��� ��� �������

��

��� �

� �

ϕϕϕ ϕ ∂ ∂= = ∂ ∂ ������ ��"���

�## ## #

� � ��!

��

�= − = > &� !��� �����������

����"���������������� �������������������������������"������������ ���������������� �������������&��

8&� !�������� �����,� ����� ��� ��� ��������������� �����"� � ��� � �$� $�− �

������,� ��� ��� ������ � �� �

� � !!

�� � � �ϕ ϕ ϕ+= + &� 9��� � �� > ,� !� ����

������"���&� #�� � ��� = ����� ������� ���������� ������ %

�β δ= = &� #�� � �� < ,� �����

����������������� ���������������� � � = ,��������������������FF�-������

��� � # �� � ## ��� ���� �������� ���&� A�����

# �

!

�� �

�� �

��

�= − = ��� �

���

!��

�ϕ

= ± �-��� ��� ��� � ���� � �� = ,� � #� � �� − = �� � ��ϕ = ,� ���� ������

���������������������&�9��� � �� < ,�������������������� ��������������������

Page 8: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

������� �������� � ���� � �� = ������ ������������ %

�β δ= = ������� � ����

� �� > �������������������������������������������� �

�β δ= = &�!����������

� �� = ��� � ���� ��� ���� ���)��������������������� �������� ��� ����������� �����

������������ ��� �������&�!������������������������ �������������������)��������������������"�������������,��"������������������� ���"��,������������������������������� ���� ��������������������� ������&��

?&� 7��:���� ��������>� .��� �� ����� ��� #����� ��G4 � ������� ������ � &� 9���

��������� ���������������������������������"�������������������������

����� �� ��&� !��� �"������ ��������� �"��� �� "����� �!ξ ξ= ��� ��"��� ����

� ��

� � �� � � � � � ��� � ���� � � �� �� � � � � � � � �� �

! !! ξ ξξδϕ δϕ δϕ δϕ= =∫ ∫ ∫ �������

� � � �� �δϕ ϕ ϕ= − ��� � ��� ��"�� �� � ���� �������������� ��"������&� 9���

����� ���� � ������� ������"��� �������� ���"���

�� ���� �

�� �� �

!ξϕ =<∫ &�

� ��� � �� � � � � �

� � � � " ξ− −−

= ,� ��� ���� .*=� G� � �� ��

�# �ξ − − − &� ���� ��� ��� ����

���������� ����������

�� ��� �

� � �� �� �

� ��

� ξ ξ = = − =

"�

!

�∆ = �������

!�∆ ��� ���� ���������� J��� ��� ������� ����� ��� .�� �� ������� ��� � &�

(�� ���� ���� ����� ���� � ������� ��� ��� "��� � ��� ���� � �����

� �

! ���

#ξξ ξ

− > ∆ �!������������������������������������������,���� &�

9���� �,�����.*=�������

��� ��→ ������� � �� �� νξ ν− =∼ �������������� �������,���������� ���������

�������� &�$�������� ������������������������&�-��������������� ,�����.*=�

"������������ ��→ ��� ������%��������������������� &�=����������� ��������

��������������������������������� I3�������"�����������������������#������� ����� �-��������������������#�����$� �� ��������������������������� ������� &�!����������������������� ������&������������ ����� ���������������������������"���������������� �����������"��� &��������������������������������>���������3��� ���������E �����

Page 9: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

����������� �������������� ��� ���������-������ ����������������������� �����7��:��������������� ����� �

�����������7��:���������������������� �ξ ,����

� �

� �

! � ��

#ξξ ξ

− = ∆ ������

�� �� �� � ξ −−∼ �������

��$ν = &�#������ ��������,��"������� �I3,���������� �

�����������"��� ���������������� �� << ���#������������� � �����������

���������� &��������� � � �� = − ,������� ���������������� �������

��������� ����������������������"�����"������ G?����� ��� → &����������

�� �

� ξ∝ &�9�����1�=������� ���,� ��� #ξ = ��������� �������������

����������� ,� �!����−

∼ &�!������������������������������� ��������������

���������� ������������������� ����������������������&����������������������������������������������������������������������

�������������������������� ������������� ��� ��� ���������������

� ������� ����������������������������������������� ��������!��������"�

#�� � ������ ���� ������ ����� ����� �ϕ ϕ− ������$� %��� ��� ���#���������� � ��

����������������"�#����������&���� ���� ���������$�������������������� ������ �����'� ���� ����� ��������� ���������� ��� (� ���� ���� ������������

������%� !ϕ ϕ− '�����$� ����������������������������)�

�*�$��������+���������������$��,���������������������+������

.��� �� �� �� ���� ���) ����������� #����� $� ��� �� ��

� � � � += − ∑ ������ ���

�!��������� ����� � ��������&�(������������������������������������������������������������������������������������������ ���������������8&��#���

���� ����� �� ,� ��� ��������� ������"�� ������������ �� ��������� ���� ������

�� �� � �� ���"������ ( )������ ����� �= &�!�����������������������������������

��������"���������&�9����������������������������������������������,����

������ ( )����� ����%

� �= &�!�������������������������������� ��������HGK��

� = ∞ � �� � � = ∞ ��!GK &� � =���,� � �� ����� << ,� � ��� '7,� ������ �

���������� �������-.������� ����������!������������������#������������������������������������������$���������������� �����

Page 10: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

=������ ��� ���� ����������� ������>� � � � �� �

��

%

ξξ = ,� ��� ������� ����� �= ����

��"�� �� � �� �

� � %� ��

�%

ξξ == �� ����������� ����������� �� �

� ��� �� ����

�� �

ξ = − = − ��

!���� ��� ��� ����� ������ �� ������ ������ �����!GK� ��� ���� ������������&�A�������������� ������ �������������� ���� ������� �!����������� ��������������������������� ��

��������!�� ��������������� ��� ����������������������� � ������ ����"�����������������:� ���������������������������� &�(����� ���"�������������������������� �������������'7�

����� ���������������

�� &− ������������� � ��� �� � & � β− −= = &�!���������������

���� �������� # #�� �� &= = ��#������ ����� ��������������������������������� �# �� ��&�����'� &= = ��������������������� � # #�� �� &= = �!GK,��GK ,��������

�����&�(���������� �������������������������������������� ���������������������������������������� �������������������������������������������������������������� ���� ��� �������������������������&��9��&�E&5&?����������� �.������ ��������������������������������������/������������������������ ��0 ������������� �� 1����!��������� ���� �����������"� ������ ��� � ���$� ��� ������������������������ ��������� ��������������� �������������$2�(���������������������$������������������������������������3��������&����� ���������������������� ���� ����#�������������������#������������������������������� �� ���� ���������$� ���� ����������� ������������� ���������� ��� �����������������������������������������������%�!�������'�(�����������$��������������������������������������������������4 ������ ��� 5���� ���� �� ����� �����!�������� ������ ��� 0 ����������$����������� �������������������������$���� �1����������� ���� ��#� ����������� #����� ������ ���������������������������������������������������6�� ��� ��� ������� ���� �$�����$� ��� ���� ��������� �������� ��������������������������������$�����$�����������������3�������������� ��������������������#���� �$� ������+����"� ���� ��������������������� ��� ����������������$�% ��������#�'��

Page 11: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

�*���+��������+�������������������������������� ��� ������� ��� ���) ��������� ������ �� ���) �������������������� ����������������������� �"����� �� ������� � �4,?,EL ��� ��8,3,5L &�!����� ������ ������������������� �������������������� �����������������&� !���2�� ���� ��� ��� ���������� ���� ��������� ���������&� !������"�� �������� ��� �� ���� ��� ���� ����� ��� ���������:�����&� !���� ��� �������� ��� ���� ��� ������� ���������&� =�� ���� ��������� ��� ���� ����������� � ��� ��� �������� �������&� (�� ����� ������� ����� ����������������� >��#�� ��� ������� ���� ������ ������ ��� �������� �� � .������� 9��>� E&M&8,� �������"����������������������������

� � � � � �� ���� ����� � � ���� ������� ��� � & &� � � �− −= = &� !��� ��� � ��"���� �������

���� ������� ����� ��� �� ������ 8,� ��� ���������� ���������$� ��� �������������:� � ����������FF� 9��� �� ������������� ������������ ������� ����

���"��������� � � � ����� ����� � � ���� ������ ��% %� � & &� % � � %�− −= = &�!����� �������

����������,����������� ������������� �� �% % ��→ = + ��� �������������������

��� ������ �����&�6��������� �������7�3�#�����#�������������������� ����� ��� �����77� (�� ���� J��� ������������ ��������� ��� ����� �����&��7�������:��������� ) ����������� ����������������������,��������"���������

�����"�� � ���% − ��"� ��� �������������������������������������������� �� � � ����� ������� �� ���� ��������� � ��� �% ��� % � �� �− −− − +

== + ,� ����� ���� ���������� �� � ���� � �� �+ = + ��������"���������������������������������������� ��� � �

( )�� � � � � ������ ����� ��������� � �� ���� ��������� � �� � ��� �� �� �� �� � � �� �−− + −= + = + + −

����� ��"��� [ ]� �� �� ���� � ������� �

� � ��� � � �

�� ��

−= = − + ��/������ ����8� �����

��� �� &�!������������������������ �������� ��� �= = ∞ &�.�����������������

������ ����������� �����,� ��� ���� ��

��ε= − + ������ ������� ������

�������� ��������� ��� # � �� �� �ε= = = − &� 9��� # > ,� ����� ��� ����� ��

= ∞ �� � # < ,�������������� �� � = &�!�������� ���������������&� # < ,�

����'7������������������������������������������ ��� ���������������� ��

���� # > ,� ����� ��� ����� �� ���� ���� ��� � ������ ��� = ∞ &� !���� ������

����� # ���� ���� ������� �����&� 9��� ��� #����� �� ��� ��� ( )� ε+ �����������

# �� ε= = �� � �� = ��������&�5���� ���� �� ����� �����!�������� ������

0 ����������$� �������� ��� ���#����� ��� ������� ���������� ������ �����$�

#����������������������� � ��������������������������������������6��

������������#�������� �������������������!�����������������

Page 12: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

�6����9 ����������������������%�'�1�� � ��"���� ���� � ��� ������ ��� ���� ������� ��� �� "����������� ����� &�!���� ������������������������������� ��������������������"������������������ ���� ����� ��� ���� ������� ������ ���� ����������� ������� �"����� � ���������������������������������"� &��(�������������������������������������� � ���������'7�������66�.���

�� ����� �� ���������� ������� � � (� ' !( � λλ += ������ � � ��� �� ���������

*����������� �� � � � ��� ��� ����)��������� �����������,� λ ���� ���� �����

���������� ����� ��� �� ��� ��� ������ ���� ���� ������������ ������� ���

��"����&� 9���� 1��������� ���%������ ��� ����� ����� � � ���( (λ ≥ &� ���,�� ��

�! ! !

!� �

λλλ

+ −

= �����������"����������"������������������������������

(&�=�������������������� ��� �λ &����,��������� �������D��� �λ ���������

���"�� ������� ��� ��� )��"���6� #�� ���,� �,�� 1��� ������ #�� ���� ��������������������������������������8��������������2������!������������� ����� ��� ���� ������� ��� �������������"� ���������$� ��� ������ ������������������������������������������1�������$��������������������������������� �!������� ��� ��� ����������� ���� ����� ���� ������ ���� ����������!�������2��#�� ���� �������������� ����������,� ������� ��������������������&�(���������� ����� ��� )��"���� ��� ��������� � �� �≈ &� 1�� ����� ����� ���)����������66�6����������� �������������������#������� ��������������������������������������� ��������������������������&�: ����$����4��� 4����������� /�$������ 4������"� :$������� ���� ;�������������"�����������

����������� ���������������� ��� ���������/���������������������������������� �������������������+���������������� �������������%����������'��9��� ���� ����� ��� �� ���������� ������,� ��� ������ ������ �� ���� ������

"�������� )µ ������� �� ������ ���� �)��� ��������������&�!�������"���������

����� ���������������������������������������������������������������'7,��������������������������������������!. ���������������� ���������������

� &�9�������"�����������,���� ����������"��������������������J���������,��

Page 13: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

���� � �������� ( )� � �

�) ) ) )� � �µ = + + � �)� ���� ���� �)��� ����� ��� �)��� ��������&�

�������� ���� ���� "�������� � )µ ���� N4� ����� ����� ����� ���� ������ ��� ����

����������������� � ��� )4����������&�!����������� ����� �������������:� ������"������������������#�����"������������) ��� ��������������$�����$�����������������3��������������������������

#�� ��� ����� ����� )µ G4� �������� �� ��� ���� 3� ����� �������������

� � � �↑↑↓ ↑↓↑ ↓↑↑ ↑↑↑ ���� ���� ������ ��� ���� �)��� ��������&� =��������,�

)µ G)4,� �������������3������������������������������������������� ���&��

-����������������� � � �� � �

���$��� �����

� � µ=∑ �������������������

� � �� µ�������

�����������#������� ����������"���������� )µ �����������������:� ��������

H2�&����

&��� �� ������ ��������� � �� ���������� ��� ���� ����� )µ -�&� !��� �������

*����������������������� �� !+ �������� �� �������������)����������������

A� � D� ��� ���� ����������� �������� ������ ��� � J����� ���������&� ����� �������� J������������������� ��,���

� � � � � �� �� ) ) ) ) ) )

)

� � � � � � � �= + +∑ ��� � )�) �

! !≠

=∑ �� ���� ���� � J����� ����������

� � �� �)� � ) )! �� � �= + &��

(�� ��� � ��� ������,�

� !!

� ! ���$��� �����

����$��� �����

���$��� �����

� � ��

(�

+= =

∑∑ ∑ �� ������

��������������� ������������ )µ -�����#����������� �� ������� ���������

���������8"������������ �( ������������

� � � � � �� � �

�)

) ) ) ) ) )� � � � � � �) � ��

���$��� �����

( � � �µ

+ + −

=

= = +∑ ���� ���� ������� ��µ �

( )� ��

���

! !� !

�)���$��� ������

� ��

( (

+=∑ � ����� ���� ������ �� ��� ��� ������

��������� ��������O?����������������������&���

(�� ���� ������� �� ��������� ���� ��� ��� ���� ��

!!� �= &� !��� ������

��������������������������������D����������������������&�3�#�����#��

Page 14: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

����������������������������������������������������������77������������ �����������������!�������22���

���,���

�� � �� � �� � � )�)� � ) )

��! � � � � �== + �

<��� )µ -�"�

� � � � � �

�� �

� ���

�) ) ) ) ) )

� �� � � � � � �

)) � ����$��� ������

)

� �� �

( � ��

−+ +

+= =

+∑ �

4�������$� )µ -���

��� �

� �

� �)

� �

� ��

+= −

+"���������������������

���� �

�) )

� �

� �)�

� �

� �� ϕµ µ

−=

+=

+�

=��������, � �� � � ��� �ϕ µ= �� ��� ���� ���� ���������:� � ����� ���

� �� � �)� ) �! � �ϕ µ µ= &�=������������������� ������D,������������������������

�������

�� � �

) �

)�

� �

( ����� �ϕ µ µ∑= &� (�� ���� ���� �������� ���������

� �� � �� � �ϕ= &�

#���������������� ������� �������������������������������� �������������

����������������� ������ # �� = ��� ��������� ���� � ����������"����� �����)

�������������&�

� � � �� �� � �� � � � � �

� � ) ) ) ) )) ) )� � � � � � � �� � � �

�� � � ϕ µ+ ++ += = = ��A����� ���� ��������

���� ����"��������� &��

!���������������������������������

� �

� � �

� �

� � �

� � �

ϕϕ==

������������)���"�������� �

������������ # # �% ��� � � �= == = &�(�������������:������ ���������� ������,�

�������

# #

# #

�� # �

� �

�� �

� �

&

� �

&

� �

�� � � � % �

�� � � % �

δ δ δ

δ

=

=

∂− = = =∂

∂= = =∂

!��� ����� �&% ������ ����� ���� ����� ��������� ��� ���� ���������:������

������&��

(�������� � �� �& & ,������������������������������ � �% = ,���������� �

����� �� �& & &�1��������������"���������������������� � ��� � �δ∼ ��������������

����������#��������#� ����� ���������������� �#�����������������������

Page 15: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

�������� ����������� ��� ������ �����"� #�� ���� ��������� �������� ��������������������������������$�������������������������� ������ �����������������������������%$=����������������������"������������$'��

$����"��,���������������

�&ν = &�*���������������,� ��������������������

��� ���� ����������� ������� ��� :���� �������� ���� � � &�

� �� � �� � � �� � � � ��&

�� % � % � �%

%

ξξ ξ ξ ξ− −= = = ������ ��������

( ) ( ) ( )� �&� % � % �%νννδ δ δ−−−

∼ ∼ ������ ���� ������� ��"����

�&ν = &� 9��� 8 �

#������� �������������������������,������� ��

�&ν = G4&4?������������������

��������������� �ν = ������������������� ����P&�

��������������� ��������������� ��������������������������������

������������4�������;�����������(����"���������������������������������������� ������� ���� ������� "��������� �� � ����� ���� ����"���&� ���,� ��� ����� �������������� ��� ����������$�� !��� ���� ���� ����� ��� ���� ����� �������������$������������������������������� ��&����,��������������������������"�������� ������������������������������������������������� �������

��� ���FF� ��� � �

��

� �$ $ $%

! ! %= = = &� ����� ��� ���� � ��� ���� ��� ����

��������������������������������� ������������������������&���(����������� ��������������������������������������� �������������������( ) ( )� �� �� � � � � � �&&$ � $ �%� �%$ � � % %− −

== &� ���,� ��� ������ ������ ���� �������

����� �,� ������� �&�&%� % �−= = &� ������� �����

��& ν= ,� ��� ���� ����� ��� ����

�������� � �� ��� ���� ����������� ������&� � (�� ���������� ����

� � � � �

� �& &

&

&

� �$ $

��

$ � � � � ∆

== � � ,� ������ �

&

&∆ = ��� ���� ���� ��������&� !���

������������ ���������������� �� α− ,�������α ����������������������������&�

A������� $� ���� �� �������� ��� ���� ������ ��→ &� (�� ���� ������� ��� �

Page 16: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

��

��

&α ν− = = &�!����������� �������������������������&����������� ������

����������

�ν = &�1������ GE������

�ν = ,������ ����������� FFF���������� GE,�

$�������� ������������ ����"��� ���� �������7��:�������������FF�6����������������77������ ����� ����� ���"�� ����,� ��� ��� ������� ��� � ���� ������� ���

�������:�����,� $

�&$ �

� � � �

−∆

∆ ∂= ∂ ∼ &� #�� ���� ������ ��→ ,� ��� ��� � ����

����������� �������:�����,� ���� ����� ��� � ������ ��� �β ������� ���� ����

������ ��� �

�&�−∆

�� ��� ��� ����"�� ��� �������� ������� ���������

��

&β ν= −∆ = −∆ &� A����� ���� �������� ����,� �����

�&

���

χ− ∆

∂= ∂ ∼ &�

��������������.������� ��� ����������� � γ− &��������������� �������������

������� ��������� � ��

��

&γ ν− = − ∆ = − ∆ &�B����� ���� ������ ���������� �������

������� � �α β γ+ + = &�

�!�� ������� ���� ��������� η ,� ���� �� ������ ���� ��������)���������

�������>� ��

�� �� � �

�� � �� �

�� �

� � �

� � � � �� � �

�η

ξη ξχ β π π

− += = = =∫ ∫ ∼ �� ���� �����

��� ��������� �γ

γ νχ ξ−∼ ∼ &�(������������������������������� ( )�γ η ν= − &�

�!�� ������� ���� ���������δ ,� ��� ��� � ��� ������ ���� ������� ��� ���� �����

�������� ( )�� � � � � �&&$ �%�%$ � � %−= &�δ ���� ����� �������,������������ ��&%� = �

��� ���� �����������FF�6�� ������$� 8��#� ����� ������������� ������ ����� ��

�������������FF������������� ��&

%� = &�=������������������������������

� � � �

�&

&&

�$$ � � �

= � ,� ��� ����� ��� ���� ������� ������ ���,� � �

�&

$ �∼ ��� �

��

�&

� �−

∼ &�B��������� �������������δ ,���������

�� �

��

&

& � &

δ δ =−

= − &��

Page 17: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

(�� ��� � ����� ���� ���� ������� ���������� ���� ��"��� ��� ������ ��� �& ��� � �& �

�� ���������������������������������������&�,��$��#���!������������������� ��� ��!� �!�������� ���� ������������� �� ���$"� ���� �������������!�������� ���� ������� ��� ��� ν ���� η �%���� ��� ν ��������� ����

����������� ��� ���� ������������ ������� � �� � #�$� �η 77� 4����� ���� �����������>��������� 4&� !��� ������� �������:������ ����� ��� ���� ������� ������

� �

��β ± ∆

= �������NO)������ �� ������ ����� ����������� ���������� �����

�������������������"�������������������F�#������������������������ �����

���� �� �������

�∆

�� ��� ���� �������� ���� �������&� <���� ?�@���

>���8����

8&�=��������������������������>� ( )� � � �� �&& �

�� � %$ % � % � � νξ −

= ∼ �

��������"�� ����!����������� ��� ��������(����"�������������������#�����$� ������������������������,�����������

��������"����"������������� ��&�!�������������� ������������"������ �� �= = &�

!�����������������������"������������ �& �� � �& �������������������������"��

�� ���������� �����������������(������ ������#������� �����������������������������������>��������������������������1�� )��"���,������������"�������� �������������%������������������������������������������%���������������������

�����������������"������ �% = ,����� ��������������������� � � �� � � � �� �� � � � �= + = &�.������:�������� ��������)���"�������� ���,���������

�� �

���

� �� �

� � � �

� �

��

δ δδδ

= ������������������� �����!������!���"#�

$#�� "����#%�� � �δ∼ ����&���"%'�������((�(����� ���� ��������:������

�����������������������"�����4&M88��� �)K&?;K��� ��������� ����

�����"������ �� ��� � �� ��������������������,� � � �� �= = &����,� �� ������

����"����"����������������������������������H2� &�

��

���� )���� )�� � !%�

��� ��

&% & ν= ⇒ = ⇒ = &������ ���������������� ����������

�����������"���,�������� ������� �� ���������"���&�

Page 18: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

�>���������4&�(����� ���� ��������:������������������������������������������������"������ �������"�����������"��������&�8&�(�������������������"����"�������&�

?&�#����������������������������� � �� �− �����,��������������������������

���� ����������������������� �� ���� ����������������������"���� �������� �� &�

4���<����A�(����������������

���������� ����"����������� ��� ���������!������"����������������� ������������������������������'7>�.�����

���� �����������������������������"�����������,� � �� � � �� � � ��� �����

�������������������������"������ � �� � � � �� ���� ���� $ � � � � �= = &�

.������:�������� ��������)���"�������� ������� ( )# # #� �� � � �� � � ,����������

# #� �

� �

� � �

� � �� �� �

�� � �δ δ δ

=

∂ ∂ = =∑ ∑ &����������� �� ������������������������

������&�

(�� ����������������"�����>� � � � �� �

%ϕ λ ϕ=∑ ,���������������������"����

�� ����� ���������������������)����&��#���������"������������ �� ��� � �� �

�������������"����� &��#������������������� �������>�

#

� � �

& � � � �� � � �

�� �� ���

�� � % � % �

�ϕ ϕ δ λ ϕ δ

∂= = = =∂∑ ∑ ∑ �

=��������� � �� � �� � � �����"�����������"��������&�

��� ��& > "� �� �������������B���� ��& < "� �� ��������������B���� ��& = "� �� ����

�����������>���������4&�>��������� �����>�-���������������������"����"��������������:������8&������������!�����������������������#������������������������������������������������������2��?�������������!�������������������%����������'������������������ ������� �� ����������������������������������������@��>���������!������������������������$��������������������������

Page 19: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

?��� ���������������������������-�� ������������������������������!���������%<�������������$�����"�#��������#����������������������������"��������#������������������������!����������)�������������������������������$�

� �� � � �� � � � � � � � ��

& & &�� �$ � � � % $ � % � % � %−= ����� � ��� � �������������"� �& ����� �& �

��������������������!�������B�#�������������������������������������������������������2������������������������������������ ��→ "�#��

���������� ���������������2��>������������(������������������������������������������������ ������)��������������������"���&�(����"�������������������������"����"����������&�&,�� ,��������������������������"��������������������������)�����������"��� &��������"��� ��������������������� >��$����������� ������"��������:������ �����������"����"�������������������� ���'7F�9������):���������������� � �����������������������"���F��

=��������������������:�����>�� �

$��β ∆

= ��#�� ���"�����������������������,�

�����"���� ��������� �� � �� $ � �����→ → &�(�������������������������

*�→∞ �B����������������������� �����,��������������� � �$ � �λ→ &�A��

����������������� ��� � δ∼ ���� �������

��λ β λ δ∆ = = &�9���������������

���������������:�����,������������� ��

�∆<< ,�����������������������

����"�������������� ��

�∆>> ,���������������� ���� ����������"��,���� ������

�����"���������������������"���FF�#������� �− ������,������������� ����

��"������ ��

�∆= ����������������������������� ������������� � ������� �

�������F�!��������"���������������∆ &��

����������� ���������������� ��� ���������������� �������������>��<�������������������6����#�$������ ������$��������������������#������� ������������������������!����������$��������������$�������$������

� �� � � � � � � �� �&&�$ � � � % $ �% �% %�− − −= B���������� ��− ����������"����"�������������

Page 20: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

����:�����������������������������%�������$�������$����'�&���

=����GK,��� � ��&�% = ,�������� ( )�� $ � �γ νχ − − −∼ &�=��������,������������"�����

�������������������� ��

� $�

γνχ ξ∞

∼ &��������������������������������

�����&��������������������"������� ��������������� �� � �� $ � �����→ = ���������

������������ � � �� $ � �λ→∞ = ������γλ ν= − ���������������"��������������

� γχ −∼ �����������������������&�9������������������,����������������� ,����

�����"�������8�����������������������������"����������������������"���

��� �� �������� � � � ���� � �� � � �νξ −

∞ = ⇒ − ∼ &�=�����������������:��������,�

����������������"���������������������

� � � �� � � #� ν−

= ∞ ± ��������������

�������������������������������������������� �����6�������

� � � �� � � > ∞ �������� ���� ������������� ������ �����&��

�9��������:��������������������������� �������������� �������������������������� �����������������&��

=��������������������������>� ( )�� � �� � �$ ��νξ −

= &��

�&��8����������� �����A��.�����A��������������������

����������� ������#������ ��� ������������������� �����#������ ��� �������� �����������9���������� ���������,�����������'7������������ ����������������������� ��������,�������� )��"������� ���� ������������� ������ &�(����� �����������.�� �)Q�����*������������� ������������������������������������ �������&�(������������������������:�����������1���$�����������&���� ��������+�������.������������� �������.�� �)7��:�����*����������,�

( )�� �� �� � � � � � � � ����� � � ��

� ��� � � � � � � � * � � �(ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + ∇ + −=∫ ∫ �

*����������������"�������� ������������������������������ �������

������� ����������������������"������� �������� ( ) ( ) �� � � � �ϕ∫ �

Page 21: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

� �� ��� � �� � �

� ��� � � � � � �ϕ

+ −− −− −− ∼ ∼ ∼ ∼ �

�(�� �����������������������������������������������������������>�

��#�# % #= &�9�������������������� ��������,�������� ������������

� �� � � � � �� �� � �

� ��� % � � % � � % � %ϕ

+ −−= = = = �

������������A�����������������������������>��4&��������� ����������������"��������&�8&� �����������������C@��?&�!��������������������� �"��������ϕ � ����������� ������η �����&�

3&�!������ �% ��= + ,�������� ���

���= �

��E&�!�������������������������������������������������������������)�������� ������������������� ���� ������+�������9��� R3,� ����������"���&�(������ ���� ������������7�������*����������FF���

( )��� �� � � �

� ��

�� � � � � �ϕ ϕ = + ∇∫ �!������ ���������) ����� ����� � < &�1��

����� "��������������������� �������!����$���������&�!�����������������������J�����7�������#������������������� ���&�* ��#�������������� -.���8���������

9�������� �������������������>�

� �� � � �� �� �

� �

� % � � % � %ϕ+ −

= = = �

!���7����������� ������� �� �� �� � � �= = = = &�9��� I3,�������������,�������

����������"��������7����������� �������������������� ����������� �����3������������!����������!��� ������������������������ ���������"���������������������������

7��������� ����

���

� �� �

�& &

+= = ��������� �����������������������

�����������������7�������$� ����������������������� ���"� ����"�����&���

� � �� �� �� � � �

� � � �

� � �

�ν γ η α β δ− += = = = − = =

−�

Page 22: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

>���������4&�!���7������������������������������ �������������� G3�������������������������� �������� &�-��������,���������� ��������&�8&�9��� I3,�������������"������������� ��������!���������������6���������������������� �������3������������!����������1����7�������������������� ����������������������&��6�����������������D@7��� ��������>��������������������#����� ������������������

�!����������� ,����������������"����������������"��� �������!����������$����

�!����������6�������������������7��#�����,���������������GK�������������&�1��������� R3,�����������"�������������������� ��$��������������

�����������������.�� ��������,����������������� ��������

$�

∼ ,�����

�������:�������

��

∼ &�1����������%��������� �"����,����������� ��&�

3����"������������� ��$�����������"������������� �����;���������������������������������$�������������������������&�(������������� -.��������� ����2��(����������� �������������������:����������������������� &�

( )� � � � � � � � � � � � � �� �� � � � �& � & && && &�

� � � �$ � � � % $ �% �% � % � � � � % �% �% � %− +−

== ⇒�#���"���������� ������� ���7,���������������2������7���������������&�

��������� ��&�% = ,��� �������GK���������

( )� ��� � � �� � � �

� � � �

� & � && &

& & & &� � � � �� �� � � � �

− −− −

= = ���������������� ��� = �&�A����

���������� ��

� &

&β −= &�(�����������������������:��������������

��

�∼ ����

����.�� ����������!������������ ���� � ���� �$ � � �− →∼ ���������� �������

��"������ ��� �

� � � ��

� �+����� � � �

��

� �

� & && & �

� & &� � � &

−+ +

= − = ==∼ &�#��������������

���������������:������ ,����������������� �����������

�β = &�

Page 23: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

=��������,��������������������� ���������������������������������������,�����

�������:���������������� �

�� �� �

� �

��

� �

& � && &

& � �

& �� � � � �

δ

−− − − −

= − =+

�∼ &�A����,�

����������GK,���������������������.�� ������������

��

�∼ ��������

��������������������������������������� ���� �� � �−∼ ����������������

�� ���

� & &� �& &� �� � �

−+

=∼ &�!������������ �δ = ���������������������� �"���&�

�4�"�#������� ���������������-@"�#����������������������!�����������#����������$���8������������� ������������������������������� ���-���������������������������������������������������������������>��

� � � � � ���& &�� �$ � � % $ �% � %−= ������"�������GK&���������� ��&�% = �

� � � � ��

� �

&�

& &

� ��$ � � � $ �−

= ����� ��

$�

∼ �����

� � ���� �$ � ��→∼ ��������"��

� �

&�& &$ �+

∼ ����������� ������������ �α ν− = &�

�A��"������������������ ��������� G3��%�'�6����������������������!�����������#����������$���8����������� �������������� ����������������� ������D@��

%��'�3$������������������������ �α ν− = �

�����B��������

������������ ����� ���

��� ������ ���� ���� � �������� ����������� ���� ����������� ��� ���������������������������� ��������������������� ���������

Page 24: webnote - IITKhome.iitk.ac.in/~dutta/webnote.pdf˘ ˇˆ ˙ ˝ ˛ ˚˜ ! " # ˆ $ % & ˘ ˚ ˜ " # ˆ ’ ( = + β β ˆˆ ˘ ˘ ˆ ˘ & ( ˇ # ˆ ˝ ) ˆ ˝ ˝ ˆ"˘ * =− −∑

����������������� � ���������� � ��� �������� ���� ��� �������

��

� �� � ��

�� � �

� σ+= −∑ !�

������"��� ������������������� � ������������������� �σ ≥ #��� �� < #�

�$��%������������ ���������������������&�������� �'���(�������������������������������������)����&�� ��'�������������