Wegner F. Classical Electrodynamics - Klassische Elektrodynamik (Lecture Notes, Heidelberg, 2003)

Klassische ElektrodynamikTheoretische Physik II Vorlesungs-Skriptum

Zweisprachige Ausgabe

Classical ElectrodynamicsTheoretical Physics II Manuscript

Bilingual Edition

Franz WegnerInstitut fur Theoretische Physik

Ruprecht-Karls-Universitat Heidelberg2003

2c2003 Franz Wegner Universitat Heidelberg

Kopieren fur den privaten Gebrauch unter Angabe desAutors gestattet. Kommerzielle Verwertung verboten.

Copying for private purposes with reference to the au-thor allowed. Commercial use forbidden.

Hinweise auf Druckfehler nehme ich gerne entgegen. I appreciate being informed of misprints.

Jorg Raufeisen, Andreas Haier, Stephan Frank undBastian Engeser bin ich dankbar, dass sie michauf mehrere Druckfehler in der ersten deutschenAuflage aufmerksam gemacht haben. In gleicherWeise danke ich Bjorn Feuerbacher, Sebastian Diehl,Karsten Freese, Markus Gabrysch und Jan Tomczak,dass sie mich auf Druckfehler der zweiten Auflagehingewiesen haben.

I am grateful to Jorg Raufeisen, Andreas Haier,Stephan Frank, and Bastian Engeser for informing meof a number of misprints in the first German edition.Similarly I thank Bjorn Feuerbacher, Sebastian Diehl,Karsten Frese, Markus Gabrysch, and Jan Tomczakfor informing me of misprints in the second edition.

Cornelia Merkel, Melanie Steiert und Sonja Bartschdanke ich fur das sorgfaltige Lesen und Korrigierendes Textes der zweisprachigen Ausgabe.

I am indebted to Cornelia Merkel, Melanie Steiert,and Sonja Bartsch for carefully reading and correct-ing the text of the bilingual edition.

Bucher: Books:

B, S: Theorie der Elektrizitat IJ, Classical ElectrodynamicsL, L: Lehrbuch der Theoretischen Physik II: Klassische FeldtheorieP, P, Classical Electricity and MagnetismS: Vorlesungen uber Theoretische Physik III: ElektrodynamikS, Electromagnetic TheoryS, S: Elektrodynamik

AGrundgleichungen

Basic Equations

c2003 Franz Wegner Universitat Heidelberg

Vorbemerkungen Introductory Remarks

Ich gehe davon aus, dass der Student bereits et-was mit der klassischen Elektrodynamik aus einereinfuhrenden Vorlesung vertraut ist. Daher setze ichdie vollstandigen Gleichungen an den Anfang undfuhre von diesen ausgehend die jeweiligen Spezial-isierungen ein.

I assume that the student is already somewhat famil-iar with classical electrodynamics from an introduc-tory course. Therefore I start with the complete setof equations and from this set I spezialize to variouscases of interest.

In dieser Ausarbeitung verwende ich das GscheMasystem und nicht das SI-System. Der Zusam-menhang und die Motivation wird im nachsten Ab-schnitt und in Anhang A angegeben.

In this manuscript I will use Gian units instead ofthe SI-units. The connection between both systemsand the motivation for using G units will begiven in the next section and in appendix A.

Im Anhang B sind Formeln zur Vektoralgebra undVektoranalysis angegeben. Der Leser /Die Leserin seijedoch gewarnt, dass er/sie an einigen Stellen (B.11,B.15, B.34-B.50 und Aufgabe nach B.71) die Ergeb-nisse selbst einzutragen hat. Er/Sie ist also aufge-fordert, die Rechnungen selbst durchzufuhren oderzumindest die Ergebnisse, die in dem Skriptum erar-beitet werden, dort einzutragen.

Formulae for vector algebra and vector analysis aregiven in appendix B. A warning to the reader: Some-times (B.11, B.15, B.34-B.50 and exercise afterB.71) he/she should insert the result by him/herself.He/She is requested to perform the calculations byhim/herself or should at least insert the results givenin this script.

1 Grundgleichungen der Elek-trodynamik

1 Basic Equations of Electro-dynamics

Die Elektrodynamik befasst sich mit elektrischen undmagnetischen Feldern, ihrer Erzeugung durch Ladun-gen und Strome, ihrer Ausbreitung (elektromagne-tische Wellen), ihrer Ruckwirkung auf die Materie(Krafte).

Electrodynamics describes electric and magneticfields, their generation by charges and electric cur-rents, their propagation (electromagnetic waves), andtheir reaction on matter (forces).

1.a Ladungen und Strome 1.a Charges and Currents

1.a. Ladungsdichte 1.a. Charge Density

Die Ladungsdichte (r) ist die Ladung q pro Volu-menelement V

The charge density is defined as the charge q pervolume element V

3

4 A Grundgleichungen A Basic Equations

(r) = limV0

qV=

dqdV . (1.1)

Damit ergibt sich die Ladung q im Volumen V zu Therefore the charge q in the volume V is given by

q =

Vd3r(r). (1.2)

Besteht die Ladungsverteilung aus Punktladungen qian den Orten ri, so ist die Ladungsdichte durch dieSumme

If the charge distribution consists of point charges qiat points ri, then the charge density is given by thesum

(r) =

iqi3(ri r), (1.3)

gegeben, wobei die Dsche Delta-Funktion(eigentlich Delta-Distribution) die Eigenschaft

where Ds delta-function (correctly delta-distribution) has the property

V

d3r f (r)3(r r0) =

f (r0) fallsif r0 V0 fallsif r0 < V

(1.4)

hat. .

Ahnlich definiert man die Flachenladungsdichte (r)an Grenz- oder Oberflachen als Ladung pro Flache

Similarly one defines the charge density per area (r)at boundaries and surfaces as charge per area

(r) = dqd f , (1.5)

ahnlich auch die Linienladungsdichte. similarly the charge density on a line.

1.a. Strom und Stromdichte 1.a. Current and Current Density

Der Strom I ist die Ladung dq, die pro Zeiteinheit dtdurch eine Flache F fliet,

The current I is the charge dq that flows through acertain area F per time dt,

I =dqdt . (1.6)

Es sei nun v(r, t) die mittlere Geschwindigkeit derLadungstrager, n die (auf die Lange 1 normierte)Flachennormale. Dann ist vdt der Weg, den dieLadungen in der Zeit dt zurucklegen. Multipliziertmit n ergibt sich die Schichtdicke v ndt, die die in derZeit dt durch die Flache geflossenen Ladungen bilden.

Be v(r, t) the average velocity of the charge carriersand n the unit vector normal to the area element. Thenvdt is the distance vector traversed during time dt.Multiplied by n one obtains the thickness of the layerv ndt of the carriers which passed the surface duringtime dt.

Multipliziert mit dem Flachenelementd f ergibt sich das Volumen der Ladung,die durch d f geflossen ist. WeitereMultiplikation mit der Ladungsdichte ergibt die Ladung dq, die in der Zeit dtdurch die Flache d f tritt

n

v

Multiplied by the surface element d fone obtains the volume of the charge,which flows through the area. Ad-ditional multiplication by yields thecharge dq which passes during time dtthe surface d f

dq =

Fvdt nd f (1.7)

I = dq/dt =

Fv(r, t)(r, t) n(r)d f =

F

j(r, t) df (1.8)

1 Grundgleichungen der Elektrodynamik 1 Basic Equations of Electrodynamics 5

mit der Stromdichte j = v und dem gerichtetenFlachenelement df = nd f .

with the current density j = v and the oriented areaelement df = nd f .

1.a. Ladungserhaltung und Kontinuitatsglei-chung

1.a. Conservation of Charge and Equation ofContinuity

Die Ladung q in einem festen Volumen V The charge q in a fixed volume V

q(t) =

Vd3r(r, t) (1.9)

andert sich pro Zeiteinheit um changes as a function of time by

dq(t)dt =

V

d3r(r, t)t

. (1.10)

Da die Ladung erhalten ist, kann sie sich nur durcheinen Strom durch die Oberflache V des Volumensandern. Wir bezeichnen mit I den nach auen flieen-den Strom. Dann ist

This charge can only change, if some charge flowsthrough the surface V of the volume, since charge isconserved. We denote the current which flows out-ward by I. Then

dq(t)dt = I(t) =

V

j(r, t) df =

Vd3r div j(r, t), (1.11)

wobei wir vom Gschen Satz (B.59) Gebrauchmachten. Da die Beziehungen (1.10) und (1.11) furjedes Volumen und auch jedes Volumenelement gilt,folgt die Gleichheit der Integranden in den beidenVolumenintegralen

where we make use of the divergence theorem (B.59).Since (1.10) and (1.11) hold for any volume and vol-ume element, the integrands in the volume integralshave to be equal

(r, t)t

+ div j(r, t) = 0. (1.12)

Diese Gleichung bezeichnet man als Konti-nuitatsgleichung. Sie druckt in differentiellerForm die Erhaltung der Ladung aus.

This equation is called the equation of continuity.It expresses in differential form the conservation ofcharge.

1.b M-Gleichungen 1.b Ms Equations

Die elektrischen Ladungen und Strome erzeugen daselektrische Feld E(r, t) und die magnetische Induk-tion B(r, t). Diese Beziehung wird durch die vierM-Gleichungen beschrieben

The electric charges and currents generate the electricfield E(r, t) and the magnetic induction B(r, t). Thisrelation is described by the four M Equations

rot B(r, t) E(r, t)ct

=4pic

j(r, t) (1.13)div E(r, t) = 4pi(r, t) (1.14)

rot E(r, t) + B(r, t)ct

= 0 (1.15)div B(r, t) = 0. (1.16)

Die Vektoroperation rot wird im Englischen mit curlbezeichnet. In den zentral gedruckten Gleichungenverwende ich stets rot, innerhalb des Textes die in derjeweiligen Sprache ubliche Form.

The vector operation curl is denoted rot in the Germanlanguage. In the equations printed in the center I userot, within the text the usual form of the correspond-ing language.


Diese M-Gleichungen werden bisweilen alsM-Gleichungen im Vakuum bezeichnet. Siegelten jedoch auch in Materie. Die Ladungsdichteund die Stromdichte enthalten alle Beitrage, alsofreibewegliche und Polarisations-Ladungsdichtenund freibewegliche, Polarisations- und Magnetisie-rungs-stromdichten.

These equations named after M are oftencalled Ms Equations in the vacuum. How-ever, they are also valid in matter. The charge den-sity and the current density contain all contributions,the densities of free charges and polarization charges,and of free currents and polarization- and magnetiza-tion currents.

Vielfach verlangt man als Randbedingung noch, dassdas elektrische und das magnetische Feld im Un-endlichen verschwinden.

Often one requires as a boundary condition that theelectric and the magnetic fields vanish at infinity.

1.c C- und L-Kraft 1.c C and L ForceDas elektrische Feld E und die magnetische InduktionB uben auf eine Ladung q am Ort r, die sich mit derGeschwindigkeit v bewegt, die Kraft

The electric field E and the magnetic induction B ex-ert a force K on a charge q located at r, moving witha velocity v

K = qE(r) + q vc B(r) (1.17)

aus. .

Dabei sind E und B die Beitrage, die nicht von qselbst herruhren. Die von q selbst erzeugten Felderbewirken die Reaktionskraft, die wir jedoch im Wei-teren nicht betrachten.

Here E and B are the contributions which do not comefrom q itself. The fields generated by q itself exert thereaction force which we will not consider further.

Der erste Beitrag in (1.17) ist die C-Kraft, derzweite die L-Kraft. Dabei ist c= 299 792 458m/s. Wir werden spater sehen, dass diese Konstantedie Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. (Man hatsie zu obigem Wert definiert und damit den Umrech-nungsfaktor zwischen Zeit und Lange festgelegt.) DieKraft, die auf ein kleines VolumenV wirkt, lasst sichschreiben als

The first contribution in (1.17) is the C force,the second one the L force. One has c= 299792 458 m/s. Later we will see that this is the veloc-ity of light in vacuum. (It has been defined with thevalue given above in order to introduce a factor be-tween time and length.) The force acting on a smallvolume V can be written as

K = k(r)V (1.18)k(r) = (r)E(r) + 1

cj(r) B(r). (1.19)

Man bezeichnet k als die Kraftdichte. Die auf dasVolumen V wirkende elektromagnetische Kraft ergibtsich dann zu

k is called the density of force. The electromagneticforce acting on the volume V is given by

K =

Vd3rk(r). (1.20)

2 Dimensionen und Einheiten 2 Dimensions and Units 7

2 Dimensionen und Einheiten 2 Dimensions and Units

2.a Gsches Masystem 2.a Gian Units

In dieser Vorlesung verwenden wir das GscheMasystem. Wir betrachten nun die Dimensionen derauftretenden Groen. Aus der Kontinuitatsgleichung(1.12) und den Mgleichungen (1.13) bis (1.16)folgt

In this course we use Gian units. We considerthe dimensions of the various quantities. From theequation of continuity (1.12) and Ms equa-tions (1.13 to 1.16) one obtains

[]/[t] = [ j]/[x] (2.1)[B]/[x] = [E]/([c][t]) = [ j]/[c] (2.2)[E]/[x] = [B]/([c][t]) = []. (2.3)

Daraus folgt From this one obtains

[ j] = [][x]/[t] (2.4)[E] = [][x] (2.5)[B] = [][c][t] = [][x]2/([c][t]), (2.6)

sowie and

[c] = [x]/[t] (2.7)[B] = [][x]. (2.8)

Daraus sieht man, dass c tatsachlich die Dimensioneiner Geschwindigkeit hat. Um die weiteren Groenin ihrer Dimension festzulegen, mussen wir noch denAusdruck (1.19) fur die Kraftdichte k verwenden

From (2.7) one sees that c really has the dimension ofa velocity. In order to determine the dimensions of theother quantities we still have to use expression (1.19)for the force density k

[k] = [][E] = []2[x]. (2.9)Daraus folgt dann From this one obtains

[]2 = [k]/[x] = dyn cm4 (2.10)[] = dyn1/2 cm2 (2.11)

[E] = [B] = dyn1/2 cm1 (2.12)[ j] = dyn1/2 cm1 s1 (2.13)[q] = [][x]3 = dyn1/2 cm (2.14)[I] = [ j][x]2 = dyn1/2 cm s1. (2.15)

2.b Andere Einheitensysteme 2.b Other Systems of Units

Fur jede Groe kann die Einheit in jedem System un-abhangig definiert werden. Glucklicherweise machtman davon nicht vollstandigen Gebrauch.

The unit for each quantity can be defined indepen-dently. Fortunately, this is not used extensively.


Neben dem Gschen Masystem werden noch eineReihe weiterer cgs-Systeme sowie das SI-System (in-ternationales Masystem, G-System) verwendet.Letzteres ist das gesetzliche Masystem in vielenLandern (z.B. in USA seit 1894, in Deutschland seit1898) und wird in der Technik angewandt.

Besides the Gian system of units a number ofother cgs-systems is used as well as the SI-system (in-ternational system of units, G-system). The lastone is the legal system in many countries (e.g. in theUS since 1894, in Germany since 1898) and is usedfor technical purposes.

Wahrend das Gsche Masystem alle elektromag-netischen Groen in cm, g und s ausdruckt, verwen-det das G-System neben den mechanischen Ein-heiten m, kg und s noch zwei weitere Einheiten A(Ampere) und V (Volt), allerdings nicht unabhangigvoneinander, vielmehr gilt fur die Einheit der Energie

Whereas all electromagnetic quantities in theGian system are expressed in cm, g und s, theG-system uses besides the mechanical units m,kg and s two other units, A (ampere) und V (volt).They are not independent, but related by the unit ofenergy

1 kg m2 s2 = 1 J = 1 W s = 1 A V s. (2.16)Die Umrechnung einiger gebrauchlicher Masystemeineinander kann durch drei Umrechnungsfaktoren 0,0 und beschrieben werden. Dabei konnen 0und 0 (im SI-System als Dielektrizitatskonstante undPermeabilitatskonstante des Vakuums bekannt) unddie Verkettungskonstante

The conversion of the conventional systems of unitscan be described by three conversion factors 0, 0and . The factors 0 and 0 (known as the dielectricconstant and permeability constant of the vacuum inthe SI-system) and the interlinking factor

= c00 (2.17)

dimensionsbehaftet sein, wahrend ein dimension-sloser Zahlenfaktor ist. Man unterscheidet zwischenrationalen Masystemen ( = 4pi) und nicht ratio-nalen Masystemen ( = 1). Die Umrechnungsfak-toren einiger gebrauchlicher Masysteme sind

can carry dimensions whereas is a dimensionlessnumber. One distinguishes between rational systems = 4pi) and non-rational systems ( = 1) of units.The conversion factors of some conventional systemsof units are

Masystem / System of Units 0 0 G / Gian 1 1 c 1Elektrostatisch / electrostatic (esu) 1 c2 1 1Elektromagnetisch / electromagnetic (emu) c2 1 1 1H-L 1 1 c 4piG (SI) (c20)1 4pi107 VsAm 1 4pi

Die bisher eingefuhrten Groen drucken sich durchdie Groen der anderen Masysteme (mit einem Sternversehen) folgendermaen aus

The quantities introduced until now are expressed inGian units by those of other systems of units (in-dicated by an asterisk) in the following way

E =0E 1 dyn1/2 cm1=3 104V/m (2.18)

B =/0B 1 dyn1/2 cm1=104Vs/m2 (2.19)

q =10

q 1 dyn1/2 cm=109/3As, ahnlichsimilarly , , I, j. (2.20)

Ein Umrechnungsbeispiel: Die C-L-Kraft lasst sich schreiben

An example of conversion: The C-L-force can be written

K = q(E + 1c

v B) = q

0

(0E +

c0

v B) = q(E + 1c00

v B) = q(E + 1

v B). (2.21)

Die Elementarladung e0 ist in dem von uns verwen-deten Gschen Masystem 4.803 1010 dyn1/2 cmund im SI-System 1.602 1019 As. Das Elektron tragtdie Ladung e0, das Proton e0, ein Kern der Kern-ladungszahl Z die Ladung Ze0, Quarks die Ladungene0/3 oder 2e0/3.

The elementary charge e0 is 4.803 1010 dyn1/2 cm inGian units and 1.602 1019 As in SI-units. Theelectron carries charge e0, the proton e0, a nucleuswith Z protons the charge Ze0, quarks the chargese0/3 and 2e0/3.

2 Dimensionen und Einheiten 2 Dimensions and Units 9

Weitere Angaben werden jeweils bei der Einfuhrungweiterer Groen gegeben und sind im Anhang Azusammengefasst.

The conversion of other quantities is given where theyare introduced. A summary is given in Appendix A.

2.c Motivation fur Gsche Einheiten 2.c Motivation for Gian UnitsIm SI-System sind das elektrische Feld E und diedielektrische Verschiebung D wie auch die magneti-sche Induktion B und das Magnetfeld H mit unter-schiedlichen Dimensionen behaftet. Hierdurch wirdleicht der irrefuhrende Eindruck erweckt, es handelesich um unabhangige Felder. Auf einem mikroskopi-schen Niveau hat man es nur mit zwei Feldern, E undB zu tun, (1.13-1.16) (L 1892).

In the SI-system the electrical field E and the dielec-tric displacement D as well as the magnetic inductionB and the magnetic field H carry different dimensions.This leads easily to the misleading impression thatthese are independent fields. On a microscopic levelone deals only with two fields, E and B, (1.13-1.16)(L 1892).

Tatsachlich wird der zweite Satz Felder nur dadurcheingefuhrt, dass man Polarisations- und Mag-netisierungsanteile der Ladungen und Strome in Ma-terie aus den totalen Ladungen und Stromen her-auszieht und zu den Feldern addiert (Abschnitt 6 und11).

However, the second set of fields is introduced onlyin order to extract the polarization and magnetizationcontributions of charges and currents in matter fromthe total charges and currents, and to add them to thefields. (Section 6 and 11).

Dieser enge Zusammenhang kommt besser in einemcgs-System zum Ausdruck, in dem E und D gleicheDimension haben wie auch B und H.

This close relation is better expressed in cgs-units,where E and D have the same dimension, as well asB and H.

Leider gehort das Gsche Masystem zu den ir-rationalen, wahrend das SI-System ein rationales ist,so dass bei Umrechnungen auch immer Faktoren 4piauftreten. Ich hatte ein rationales Ma-System wiedas von H und L vorgezogen. Lei-der wird aber in gangigen Lehrbuchern nur das SI-System und das Gsche verwendet. Ich mochtedie Studierenden nicht mit einem Masystem kon-frontieren, mit dem praktisch kein Lehrbuch arbeitet.

Unfortunately, the Gian system belongs to the ir-rational ones, whereas the SI-system is a rational one,so that in conversions factors 4pi appear. I would havepreferred to use a rational system like that of H- and L. However, in the usual textbooks onlythe SI-system and the Gian one are used. I do notwish to offer the electrodynamics in a system whichin practice is not used in other textbooks.

BElektrostatik

Electrostatics

c2003 Franz Wegner Universitat Heidelberg

3 Elektrisches Feld, Potential,Energie des Feldes

3 Electric Field, Potential, Ener-gy of the Field

3.a Statik 3.a StaticsIn der Statik behandelt man das zeitunabhangigeProblem. Das heit, die auftretenden Groen hangennur vom Ort ab, = (r), j = j(r), E = E(r),B = B(r). Dann zerfallen die Kontinuitatsgleichung(1.12) und die M-Gleichungen (1.13-1.16) inzwei Gruppen

First we consider the time-independent problem: Stat-ics. This means, the quantities depend only on theirlocation, = (r), j = j(r), E = E(r), B = B(r).Then the equation of continuity (1.12) and Msequations (1.13-1.16) separate into two groups

div j(r) = 0rot B(r) = 4pi

cj(r) div E(r) = 4pi(r)

div B(r) = 0 rot E(r) = 0Magnetostatikmagnetostatics

Elektrostatikelectrostatics

kma = 1c j(r) B(r) kel = (r)E(r)

(3.1)

Die erste Gruppe von Gleichungen enthalt nur diemagnetische Induktion B und die Stromdichte j. Siebeschreibt die Magnetostatik. Die zweite Gruppe vonGleichungen enthalt nur das elektrische Feld E unddie Ladungsdichte . Sie ist Grundlage der Elektro-statik. In der letzten Zeile sind noch die entsprechen-den Anteile der Kraftdichte k hinzugefugt.

The first group of equations contains only the mag-netic induction B and the current density j. It de-scribes magnetostatics. The second group of equa-tions contains only the electric field E and the chargedensity . It is the basis of electrostatics. The expres-sions for the corresponding parts of the force densityk is given in the last line.

3.b Elektrisches Feld und Potential 3.b Electric Field and Potential

3.b. Elektrisches Potential 3.b. Electric Potential

Wir fuhren nun das elektrische Potential (r) ein.Hierzu betrachten wir das Wegintegral von E auf zweiverschiedenen Wegen (1) und (2) von r0 nach r

Now we introduce the electric Potential(r). For thispurpose we consider the path integral over E along todifferent paths (1) and (2) from r0 to r r

r0(1)

dr E(r) = r

r0(2)

dr E(r) +

dr E(r), (3.2)

11

12 B Elektrostatik B Electrostatics

wobei das letztere Integral uber dengeschlossenen Weg von r0 auf (1) nach rund von dort in entgegengesetzter Rich-tung auf (2) nach r0 zu erstrecken ist.

r

r

0

F

(1)

(2)where the last integral has to be per-formed along the closed path from r0along (1) to r and from there in oppositedirection along (2) to r0.

Das letztere Integral lasst sich mit dem SschenSatz (B.56) in das Integral uber die von (1) und(2) berandete Flache

df rot E(r) uberfuhren, das

wegen der Mgleichung rot E(r) = 0 (3.1)verschwindet.

This later integral can be transformed by meansof S theorem (B.56) into the integral

df

curl E(r) over the open surface bounded by (1)and (2), which vanishes due to Ms equationcurl E(r) = 0 (3.1).

Daher ist das Integral (3.2) vom Weg unabhangig undman definiert das elektrische Potential

Therefore the integral (3.2) is independent of the pathand one defines the electric potential

(r) = r

r0

dr E(r) + (r0). (3.3)

Dabei sind r0 und (r0) willkurlich, aber fest. (r)ist daher bis auf eine willkurliche additive Konstantebestimmt. Wir haben auf Grund der Definition (3.3)

The choice of r0 and of (r0) is arbitrary, but fixed.Therefore (r) is defined apart from an arbitrary ad-ditive constant. From the definition (3.3) we have

d(r) = dr E(r), E(r) = grad(r). (3.4)

3.b. Elektrischer Fluss und Ladung 3.b. Electric Flux and Charge

Aus div E(r) = 4pi(r), (3.1) folgt From div E(r) = 4pi(r), (3.1) one obtainsV

d3r div E(r) = 4pi

Vd3r(r) (3.5)

und damit mit dem Gschen Satz (B.59) and therefore with the divergence theorem (B.59)V

df E(r) = 4piq(V), (3.6)

das heit der elektrische Flu des Feldes E durch dieOberflache ist das 4pi-fache der Ladung q im VolumenV.

id est the electric flux of the field E through the sur-face equals 4pi times the charge q in the volume V.

Eine einfache Anwendung hat dies fur das elek-trische Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsver-teilung (r) = (r) mit r = |r|. Aus Symme-triegrunden weist das elektrische Feld in Normalen-richtung E = E(r)r/r

This has a simple application for the electric field ofa rotational invariant charge distribution (r) = (r)with r = |r|. For reasons of symmetry the electricfield points in radial direction, E = E(r)r/r

4pir2E(r) = 4pi r

0(r)r2drd = (4pi)2

r0(r)r2dr, (3.7)

so dass man fur das Feld so that one obtains

E(r) = 4pir2

r0(r)r2dr (3.8)

erhalt. for the field.

Als Spezialfall betrachten wir jetzt noch eine Punkt-ladung q im Ursprung. Dann gilt

As a special case we consider a point charge in theorigin. Then one has

4pir2E(r) = 4piq, E(r) = qr2, E(r) = r

r3q. (3.9)

3 Elektrisches Feld, Potential, Energie 3 Electric Field, Potential, Energy 13

Das Potential hangt aus Symmetriegrunden nur von rab. Dann gilt

The potential depends only on r for reasons of sym-metry. Then one obtains

grad(r) = rr

d(r)dr = E(r), (3.10)

woraus durch Integration which after integration yields

(r) = qr+ const. (3.11)

folgt.

3.b. Potential einer Ladungsverteilung 3.b. Potential of a Charge Distribution

Wir gehen aus von Punktladungen qi an Orten ri. Daszugehorige Potential und die Feldstarke erhalt manaus (3.11) und (3.10) durch Verschieben von r um rizu

We start out from point charges qi at locations ri. Thecorresponding potential and the field is obtained from(3.11) und (3.10) by shifting r by ri

(r) =

i

qi|r ri| (3.12)

E(r) = grad(r) =

i

qi(r ri)|r ri|3

. (3.13)

Wir gehen nun von den Punktladungen zu einerLadungsdichte (r) uber. Wir fuhren dabeiden Ubergang i qi f (ri) = i V(ri) f (ri) nach

d3r(r) f (r) durch, was

We change now from point charges to the chargedensity (r). To do this we perform the transitionfrom

i qi f (ri) =

i V(ri) f (ri) to

d3r(r) f (r),

which yields

(r) =

d3r (r)

|r r| (3.14)

ergibt. Aus E = grad und div E = 4pi folgt dieP-Gleichung

From E = grad and div E = 4pi one obtainsPs equation

4(r) = 4pi(r). (3.15)Man unterscheide 4 = und =Delta. Wirmachen auf (3.15) die Probe. Zunachst bilden wir

Please distinguish 4 = and =Delta. We checkeq. (3.15). First we determine

(r) =

d3r(r) r r|r r|3 =

d3a (r + a) a

a3(3.16)

und and

4(r) =

d3a((r + a)) aa3=

0

da

da(r + a)

a=

da((r +ea) (r)) = 4pi(r), (3.17)

wenn im Unendlichen verschwindet. Dabei habenwir das dreidimensionale Integral uber a zerlegt in dasIntegral uber den Radius a und den Raumwinkel a,d3a = a2dada (vergleiche Abschnitt 5).

assuming that vanishes at infinity. The three-dimensional integral over a has been separated bythe integral over the radius a and the solid angle a,d3a = a2dad (compare section 5).

Aus der P-Gleichung folgt From Ps equation one obtains

4(r) =

d3r(r)4 1|r r| = 4pi(r) = 4pi

d3r(r)3(r r) (3.18)

und aus der Gleichheit der Integranden and from the equality of the integrands

4 1|r r| = 4pi3(r r). (3.19)


3.c Ckraft und Feldenergie 3.c C Force and Field Energy

Auf die Ladung qi am Ort ri wirkt die Kraft The force acting on the charge qi at ri is

Ki = qiEi(ri). (3.20)Dabei ist Ei das elektrische Feld ohne das von derLadung qi selbst erzeugte. Damit folgt die C-Kraft

Here Ei is the electric field without that generated bythe charge qi itself. Then one obtains the Cforce

Ki = qij,i

q j(ri r j)|ri r j|3

. (3.21)

Aus dieser Formel erkennt man auch die Definitionder Ladungseinheit im Gschen Masystem: 1dyn1/2 cm ist die Ladung, die auf eine gleiche Ladungin 1 cm Entfernung die Kraft 1 dyn ausubt.

From this equation one realizes the definition of theunit of charge in Gs units, 1 dyn1/2 cm is thecharge, which exerts on the same amount of chargein the distance of 1 cm the force 1 dyn.

Die potentielle Energie ist The potential energy is

U =12

i

j,i

qiq j|ri r j| =

12

i

qii(ri). (3.22)

Der Faktor 1/2 ruhrt daher, dass jedes Paar vonLadungen in der Summe zweimal auftritt. So istdie Wechselwirkungsenergie zwischen Ladung 1 undLadung 2 sowohl in i = 1, j = 2 wie auch in i = 2, j =1 enthalten. Daher ist durch 2 zu dividieren. Dabeiist ini ebenfalls der von qi herruhrende Beitrag zumPotential nicht enthalten. Die Kraft folgt daraus wieublich zu

The factor 1/2 is introduced since each pair of chargesappears twice in the sum. E.g., the interaction energybetween charge 1 and charge 2 is contained both ini = 1, j = 2 and i = 2, j = 1. Thus we have to divideby 2. The contribution from qi is excluded from thepotential i. The force is then as usually

Ki = grad riU. (3.23)Im Kontinuum erhalt man unter Verwendung von(B.62)

In the continuum one obtains by use of (B.62)

U =12

d3r(r)(r) = 18pi

d3r div E(r)(r) = 18pi

F

df E(r)(r) 18pi

d3rE(r) grad(r), (3.24)wobei jetzt der Beitrag der Ladungsdichte zu amgleichen Ort nicht mehr auszunehmen ist, da er fureine kontinuierliche Verteilung vernachlassigbar ist.F schliee alle Ladungen ein und sei etwa eine Kugelvom Radius R. Im Limes R geht 1/R,E 1/R2,

F 1/R 0. Man erhalt dann die

elektrostatische Energie

where no longer the contribution from the charge den-sity at the same location has to be excluded from ,since it is negligible for a continuous distribution. Fshould include all charges and may be a sphere of ra-dius R. In the limit R one obtains 1/R,E 1/R2,

F 1/R 0. Then one obtains the

electrostatic energy

U =1

8pi

d3rE2(r) =

d3r u(r) (3.25)

mit der Energiedichte with the energy density

u(r) = 18piE2(r). (3.26)

Klassischer Elektronenradius Als Beispiel betrach-ten wir den klassischen Elektronenradius R0: Mannimmt an, die Ladung sei auf einer Kugelschalevom Radius R0 gleichmaig verteilt. Die elektrischeFeldenergie stimme mit der Energie m0c2 uberein,wobei m0 die Elektronenmasse ist.

Classical Radius of the Electron As an example weconsider the classical radius of an electron R0: Oneassumes that the charge is homogeneously distributedon the surface of the sphere of radius R. The electricfield energy should equal the energy m0c2, where m0is the mass of the electron.

3 Elektrisches Feld, Potential, Energie 3 Electric Field, Potential, Energy 15

18pi

R0

(e0

r2

)2r2drd =

e202R0= m0c

2 (3.27)

ergibt R0 = 1.4 1013 cm. Die Annahme einer ho-mogenen Ladungsverteilung in der Kugel ergibt einetwas anderes Ergebnis.

yields R0 = 1.41013 cm. The assumption of a homo-geneous distribution of the charge inside the sphereyields a slightly different result.

Aus hochenergetischen Streuprozessen wei manallerdings, dass die Ausdehnung des Elektrons ummindestens einen Faktor 100 kleiner sein muss, obigeAnnahme also unzutreffend ist.

From scattering experiments at high energies oneknows that the extension of the electron is at leastsmaller by a factor of 100, thus the assumption madeabove does not apply.


4 Elektrischer Dipol und Qua-drupol

4 Electric Dipole and Quadru-pole

Gegeben sei eine Ladungs-verteilung (r) innerhalbeiner Kugel vom Radius Rum den Ursprung. Auer-halb sei (r) = 0.

R

r

A charge distribution (r)inside a sphere of radius Raround the origin is given.We assume (r) = 0 outsidethe sphere.

4.a Das Feld fur r > R 4.a The Field for r > RDas Potential der Ladungsverteilung ist The potential of the charge distribution is

(r) =

d3r (r)

|r r| . (4.1)

Wir fuhren nun eine T-Entwicklung nach r, dasheit nach den drei Variabeln x1, x2 und x3 durch

We perform a T-expansion in r, i.e. in the threevariables x1, x2 und x3

1|r r| =

l=0

(r)ll!

1r=

1r (r)1

r+

12

(r)(r)1r ... (4.2)

Als erstes mussen wir den Gradienten von 1/rberechnen

At first we have to calculate the gradient of 1/r

1r= r

r3,

dasince f (r) =

r

rf (r), (4.3)

lose (B.39, B.42). Daraus folgt dann solve (B.39, B.42). Then one obtains

(r)1r= r

rr3

. (4.4)

Als nachstes berechnen wir (B.47) Next we calculate (B.47)

c rr3=

1r3

grad (c r) + (c r) grad(

1r3

)=

c

r3 3(c r)r

r5(4.5)

unter Verwendung von (B.27) und Losung von (B.37,B.39). Damit erhalten wir die T-Entwicklung

using (B.27) and the solutions of (B.37, B.39). Thenwe obtain the T-expansion

1|r r| =

1r+

r rr3+

3(r r)2 r2r22r5

+ ... (4.6)

Wir formen zunachst noch 3(r r)2 r2r2 um At first we transform 3(r r)2 r2r2

3(r r)2 r2r2 = xx(3xx r2,) = (xx 13 r2,)(3xx r2,) (4.7)

4 Elektrischer Dipol und Quadrupol 4 Electric Dipole and Quadrupole 17

wegen ,(3xx ,r2) = 3xx r2, = 0.Hier und auch im Folgenden verwenden wir die Sum-mationskonvention: Uber alle Indices (von Kompo-nenten), die zweimal in einem Produkt auftreten, wirdsummiert, in (4.7) also uber und .

because of ,(3xx ,r2) = 3xx r2, = 0.Here and in the following we use the summation con-vention, i.e. we sum over all indices (of components),which appear twice in a product in (4.7), that is over and .

Wir fuhren nun die Groen We now introduce the quantities

q =

d3r(r) Ladungcharge (4.8)

p =

d3rr(r) Dipolmomentdipolar moment (4.9)

Q, =

d3r(xx 13,r

2)(r) Komponenten des Quadrupolmomentscomponents of the quadrupolar moment (4.10)

ein und erhalten damit die Entwicklung fur das Poten-tial und die elektrische Feldstarke

and obtain the expansion for the potential and theelectric field

(r) = qr+

p rr3+ Q,

3xx r2,2r5

+ O( 1r4

) (4.11)

E(r) = grad(r) = qrr3+

3(p r)r pr2r5

+ O( 1r4

) (4.12)

4.b Transformationseigenschaften 4.b Transformation Properties

Die Multipolmomente sind definiert bezuglich einesvorgegebenen Punktes, zum Beispiel des Ursprungs.Verschiebt man den Bezugspunkt um a, das heit r1 =r a, so findet man mit 1(r1) = (r)

The multipole moments are defined with respect to agiven point, for example with respect to the origin. Ifone shifts the point of reference by a, i.e. r1 = r a,then one finds with 1(r1) = (r)

q1 =

d3r11(r1) =

d3r(r) = q (4.13)

p1 =

d3r1r11(r1) =

d3r(r a)(r) = p aq. (4.14)

Die Gesamtladung ist unabhangig vom Bezugspunkt.Das Dipolmoment ist unabhangig vom Bezugspunkt,falls q = 0 (reiner Dipol), sonst hangt es vomBezugspunkt ab. Ahnlich findet man, dass dasQuadrupolmoment unabhangig vom Bezugspunkt ist,falls q = 0 und p = 0 (reiner Quadrupol).

The total charge is independent of the point of ref-erence. The dipolar moment is independent of thepoint of reference if q = 0 (pure dipol), otherwiseit depends on the point of reference. Similarly onefinds that the quadrupolar moment is independent ofthe point of reference, if q = 0 and p = 0 (purequadrupole).

Unter Drehung x1, = D,x ist q invariant (Skalar),

wobei D eine Drehmatrix sei, also eine orthogonaleTransformation beschreibe. Der Dipol p transformiertsich wie ein Vektor

The charge q is invariant under rotation (scalar) x1, =D,x, where D is a rotation matrix, which describesan orthogonal transformation. The dipole p trans-forms like a vector

p1, =

d3rD,x(r) = D,p (4.15)und der Quadrupol Q wie ein Tensor zweiter Stufe and the quadrupole Q like a tensor of rank 2

Q1,, =

d3r(D,xD,x 13,r

2)(r). (4.16)Beachtet man, dass auf Grund der Orthogonalitat vonD

Taking into account that due to the orthogonality of D

, = D,D, = D,,D,, (4.17)


so folgt it follows that

Q1,, = D,D,Q,, (4.18)also das Transformationsgesetz fur Tensoren zweiterStufe.

that is the transformation law for tensors of secondrank.

4.c Dipol 4.c Dipole

Der Prototyp eines Dipols besteht aus einer Ladung qam Ort r0+a und einer entgegengesetzten Ladung qam Ort r0. Das Dipolmoment betragt dann

The prototype of a dipole consists of two charges ofopposite sign, q at r0 + a and q at r0.

p = qa. (4.19)Als Ladungsverteilung ergibt sich dann Therefore the corresponding charge distribution is

(r) = q(3(r r0 a) 3(r r0)). (4.20)Wir fuhren nun eine Tentwicklung nach a durch We perform now the T expansion in a

(r) = q3(r r0) qa 3(r r0) + q2(a )23(r r0) + ... q3(r r0), (4.21)

wobei sich der erste mit dem letzten Term weghebt.Wir fuhren nun den Limes a 0 durch, wobeiwir das Produkt qa = p festhalten. Dann bleibt alsLadungsverteilung eines Dipols p am Ort r0

where the first and the last term cancel. We considernow the limit a 0, where the product qa = p iskept fixed. Then we obtain the charge distribution ofa dipole p at location r0

(r) = p 3(r r0) (4.22)und sein Potential and its potential

(r) =

d3r (r)

|r r| = p

d3r 1|r r| grad3(r r0) = p

d3r grad 1|r r|

3(r r0)

= p

d3r r r

|r r|3 3(r r0) = p (r r0)|r r0|3 , (4.23)

wobei die Gleichungen (B.61) verwendet und (B.50)gelost wurden.

where equation (B.61) is used and (B.50) has to besolved.

4.d Quadrupol 4.d QuadrupoleDer Quadrupol wird durch die zweiten Momente derLadungsverteilung beschrieben.

The quadrupole is described by the second moment ofthe charge distribution.

4.d. Symmetrien 4.d. Symmetries

Q ist ein symmetrischer Tensor Q is a symmetric tensor

Q, = Q,. (4.24)Er lasst sich daher ahnlich wie der Tragheitstensordurch eine orthogonale Transformation auf Diago-nalform bringen. Weiterhin folgt aus der Definition(4.10)

It can be diagonalized by an orthogonal transforma-tion similarly as the tensor of inertia. Further fromdefinition (4.10) it follows that

Q, = 0, (4.25)

4 Elektrischer Dipol und Quadrupol 4 Electric Dipole and Quadrupole 19

das heit die Spur des Quadrupol-Tensors ver-schwindet. Daher hat der Tensor nicht sechs, sondernnur funf unabhangige Komponenten.

that is the trace of the quadrupole tensor vanishes.Thus the tensor does not have six, but only five in-dependent components.

4.d. Symmetrischer Quadrupol 4.d. Symmetric Quadrupole

Ein Spezialfall ist der symmetrische Quadrupol.Seine Ladungsverteilung hangt nur von z und demAbstand von der z-Achse ab, = (z,

x2 + y2). Fur

ihn gilt

A special case is the symmetric quadrupole. Itscharge distribution depends only on z and on the dis-tance from the z-axis, = (z,

x2 + y2). It obeys

Qx,y = Qx,z = Qy,z = 0, (4.26)weil (x, y, z) = (x, y, z) = (x,y, z). Weiter ist because (x, y, z) = (x, y, z) = (x,y, z). Further-

more one has

Qx,x = Qy,y = 12 Qz,z =: 13

Q. (4.27)

Die erste Gleichung folgt aus(x, y, z)=(y, x, z), die zweite da-raus, dass die Spur von Q ver-schwindet. Das letzte Gleichheits-zeichen gibt die Definition von Qan.

z

r

The first equality follows from(x, y, z) = (y, x, z), the second onefrom the vanishing of the trace ofQ. The last equality-sign gives thedefinition of Q.

Man findet One finds

Q = 32

Qz,z =

d3r(32

z2 12

r2)(r) =

d3rr2P2(cos )(r) (4.28)

mit dem L-Polynom P2() = 322 12 . Aufdie L-Polynome werden wir im nachsten Ab-schnitt und im Anhang C noch zuruckkommen.

with the L polynomial P2() = 322 12 . Wewill return to the L polynomials in the nextsection and in appendix C.

Als Beispiel betrachten wir noch den gestrecktenQuadrupol mit zwei Ladungen q an den Orten aezund einer Ladung 2q am Ursprung. Wir findenQ = 2qa2. Die einzelnen Ladungen tragen zum

Quadrupolpotential

As an example we consider the stretched quadrupolewith two charges q at aez and a charge2q in the ori-gin. Then we obtain Q = 2qa2. The different chargescontribute to the potential of the quadrupole

(r) = 13Q3x

2 r22r5

13Q 3y

2 r22r5

+23

Q3z2 r22r5

=QP2(cos )

r3(4.29)

bei. .

4.e Energie, Kraft und Drehmoment aufeinen Multipol im aueren Feld

4.e Energy, Force and Torque on a Mul-tipole in an external Field

Eine Ladungsverteilung (r), die um den Ursprunglokalisiert sei, sei in einem aueren elektrischenPotential a(r), das etwa von einer entferntenLadungsverteilung a erzeugt sei. Die Wechselwir-kungsenergie betragt dann

A charge distribution (r) localized around the originis considered in an external electric potential a(r),which may be generated by an external charge distri-bution a. The interaction energy is then given by

U =

d3r(r)a(r). (4.30)


Hier tritt kein Faktor 1/2 vor dem Integral auf, wieman es wegen (3.24) annehmen konnte, da zum In-tegral uber (r)a(r) noch ein zweiter Beitrag mitdem Integral uber a(r)(r) hinzutritt, der nocheinmal den gleichen Beitrag liefert. Wir entwi-ckeln nun das auere Potential und erhalten fur dieWechselwirkungsenergie

No factor 1/2 appears in front of the integral, whichmight be expected in view of this factor in (3.24),since besides the integral over (r)a(r) there is a sec-ond one over a(r)(r), which yields the same con-tribution. We now expand the external potential andobtain for the interaction energy

U =

d3r(r){a(0) + ra|r=0 + 12 xx a

r=0 + ...

}

= qa(0) + p a|r=0 + 12(Q, + 13,

d3r(r)r2

)a

r=0 + ... (4.31)

Der Beitrag proportional zum Integral uber (r)r2 ver-schwindet, da a = 4a = 4pia(r) = 0, dasich am Ursprung keine Ladungen befinden, die aerzeugen. Damit bleibt fur das Wechselwirkungs-Po-tential

The contribution proportional to the integral over(r)r2 vanishes, since a = 4a = 4pia(r) =0, since there are no charges at the origin, which gen-erate a. Therefore we are left with the potential ofinteraction

U = qa(0) p Ea(0) + 12 Q,a + ... (4.32)Wir konnen daraus zum Beispiel die potentielle En-ergie zweier Dipole, pb im Ursprung und pa bei r0bestimmen. Der Dipol pa erzeugt das Potential

For example we can now determine the potential en-ergy between two dipoles, pb in the origin and pa atr0. The dipole pa generates the potential

a(r) = pa (r r0)|r r0|3 . (4.33)

Die Wechselwirkungsenergie ergibt sich dann zu (vgl.B.47)

Then the interaction energy yields (compare B.47)

Ua,b = pb a|r=0 = pa pbr30

3(pa r0)(pb r0)r50

. (4.34)

Die Kraft auf einen Dipol im Ursprung ergibt sich zu The force on the dipole in the origin is then given by

K =

d3r(r)Ea(r) =

d3r(r)(Ea(0) + xEa|r=0 + ...) = qEa(0) + (p grad )Ea(0) + ... (4.35)

Das Drehmoment auf einen Dipol im Ursprung ergibtsich zu

The torque on a dipole in the origin is given by

Mmech =

d3r(r)r Ea(r) = p Ea(0) + ... (4.36)

5 Multipol-Entwicklung in Kugelkoordinaten 5 Multipole Expansion in Spherical Coordinates 21

5 Multipol-Entwicklung in Ku-gelkoordinaten

5 Multipole Expansion in Spher-ical Coordinates

5.a P-Gleichung in Kugelkoordi-naten

5.a P Equation in Spherical Coor-dinates

Wir leiten zunachst den Ausdruck fur den L-Operator in Kugelkoordinaten

We first derive the expression for the Laplacian oper-ator in spherical coordinates

x = r sin cos (5.1)y = r sin sin (5.2)z = r cos (5.3)

her. Dabei benutzenwir zunachst nur,dass es sich dabei umkrummlinige Koordi-naten handelt, die sichunter rechtem Winkelschneiden, so dass wir

z

r

desinr

er d r

r e d

dr

. Initially we use onlythat we deal withcurvilinear coordinateswhich intersect at rightangles, so that we maywrite

dr = grerdr + ged + ged (5.4)schreiben konnen, wobei die er, e und e eine or-thonormierte ortsabhangige Basis bilden. Man findetleicht, dass

where the er, e and e constitute an orthonormalspace dependent basis. Easily one finds

gr = 1, g = r, g = r sin . (5.5)Das Volumenelement ist gegeben durch The volume element is given by

d3r = grdrgdgd = r2dr sin dd = r2drd (5.6)mit dem Raumwinkelelement with the element of the solid angle

d = sin dd. (5.7)

5.a. Der Gradient 5.a. The Gradient

Zur Berechnung des Gradienten betrachten wir dasDifferential einer Funktion (r)

In order to determine the gradient we consider the dif-ferential of the function(r)

d(r) = r

dr +

d +

d, (5.8)


die mit ( grad) dr ubereinstimmen muss. Aus derEntwicklung des Vektorfeldes in seine Komponenten

which coincides with ( grad) dr. From the expan-sion of the vector field in its components

grad = ( grad)rer + ( grad)e + ( grad)e (5.9)und (5.4) folgt dann and (5.4) it follows that

d(r) = ( grad)rgrdr + ( grad)gd + ( grad)gd, (5.10)woraus wir from which we obtain

( grad)r = 1gr

r, ( grad) = 1g

, ( grad) = 1g

(5.11)

fur die Komponenten des Gradienten erhalten. for the components of the gradient.

5.a. Die Divergenz 5.a. The Divergence

Zur Berechnung der Divergenz verwenden wir denGschen Satz (B.59). Wir integrieren die Diver-genz von A(r) uber ein Volumen begrenzt durch dieKoordinaten r, r+r, , +, , +. Wir erhalten

In order to calculate the divergence we use the diver-gence theorem (B.59). We integrate the divergence ofA(r) in a volume limited by the coordinates r, r + r,, + , , + . We obtain

d3r div A =

grgg div A drdd

=

A df =

gdgdAr

r+rr+

grdrgdA

++

grdrgdA

+

=

[

r

(ggAr

)+

(grgA

)+

(grgA

)]drdd (5.12)

Da die Identitat fur beliebig kleine Volumina zutrifft,mussen die Integranden auf der rechten Seite der ers-ten Zeile und auf der dritten Zeile ubereinstimmen.Daraus folgt

Since the identity holds for arbitrarily small voluminathe integrands on the right-hand side of the first lineand on the third line have to agree which yields

div A(r) = 1grgg

[

r

(ggAr

)+

(grgA

)+

(grgA

)]. (5.13)

5.a. Der L-Operator 5.a. The Laplacian

Durch Bildung von 4 = div grad erhalten wirschlielich

Using 4 = div grad we obtain finally

4(r) = 1grgg

[

r

(gggr

r

)+

(grgg

)+

(grgg

)]. (5.14)

Diese Formel gilt noch generell fur orthogonalekrummlinige Koordinaten (wenn wir sie mit r, , bezeichnen). Setzen wir nun die Werte fur g ein, sofolgt fur spharische Koordinaten

This equation holds generally for curvilinear orthog-onal coordinates (if we denote them by r, , ). Sub-stituting the values for g we obtain for sphericalcoordinates

4 = 1r

2

r2(r) + 1

r24, (5.15)

4 = 1sin

(sin

) + 1

sin2 2

2. (5.16)

Der Operator 4 wirkt nur auf die beiden Winkel und , aber nicht auf den Abstand r. Er wird auchL-Operator auf der Kugel genannt.

The operator 4 acts only on the two angels and ,but not on the distance r. Therefore it is also calledLaplacian on the sphere.


5.b Kugelflachenfunktionen 5.b Spherical Harmonics

Wie wir im Anhang C naher ausfuhren, gibt eseinen vollstandigen Satz orthonormierter FunktionenYl,m(, ), l = 0, 1, 2, ..., m = l,l + 1, ...l, die derGleichung

As will be explained in more detail in appendixC there is a complete set of orthonormal functionsYl,m(, ), l = 0, 1, 2, ..., m = l,l + 1, ...l, whichobey the equation

4Yl,m(, ) = l(l + 1)Yl,m(, ) (5.17)genugen. Diese heien Kugelflachenfunktionen.Vollstandigkeit heit: Ist f (, ) auf der Kugel dif-ferenzierbar und sind die Ableitungen beschrankt, solasst sich f (, ) darstellen als konvergente Summe

. They are called spherical harmonics. Completenessmeans: If f (, ) is differentiable on the sphere andits derivatives are bounded, then f (, ) can be repre-sented as a convergent sum

f (, ) =l,m

fl,mYl,m(, ). (5.18)

Daher fuhren wir jetzt die entsprechende Entwicklungfur (r) und (r) durch

Therefore we perform the corresponding expansionfor (r) and (r)

(r) =l,m

l,m(r)Yl,m(, ), (5.19)

(r) =l,m

l,m(r)Yl,m(, ). (5.20)

Die Kugelflachenfunktionen sind orthonormal, dasheit, das Integral uber den Raumwinkel ergibt

The spherical harmonics are orthonormal, i.e. the in-tegral over the solid angle yields

dYl,m(, )Yl,m(, ) =

d sin dYl,m(, )Yl,m(, ) = l,lm,m . (5.21)

Diese Orthogonalitatsbeziehung konnen wir zurBerechnung der und verwenden

This orthogonality relation can be used for the calcu-lation of and

d sin dYl,m(, )(r) =

l ,m

l ,m(r)

d sin dYl,m(, )Yl,m(, )

=l,m

l ,m (r)l,lm,m = l,m(r). (5.22)

Wir geben hier einige der Kugelflachenfunktionen an We list some of the spherical harmonics

Y0,0(, ) =

14pi

(5.23)

Y1,0(, ) =

34pi

cos (5.24)

Y1,1(, ) =

38pi sin e

i (5.25)

Y2,0(, ) =

54pi

(32

cos2 12

)(5.26)

Y2,1(, ) =

158pi sin cos e

i (5.27)

Y2,2(, ) = 14

152pi

sin2 e2i. (5.28)


Allgemein ist In general one has

Yl,m(, ) =

2l + 14pi

(l m)!(l + m)! P

ml (cos )eim (5.29)

mit den zugeordneten L-Funktionen with the associated L functions

Pml () =()m2ll!

(1 2)m/2 dl+m

dl+m(2 1)l. (5.30)

Generell ist Yl,m das Produkt aus (sin )|m|eim undeinem Polynom der Ordnung l |m| in cos . Je nach-dem, ob l |m| gerade oder ungerade ist, handelt essich dabei um ein gerades oder ungerades Polynom incos . Es gilt die Symmetrie-Beziehung

Generally Yl,m is a product of (sin )|m|eim and a poly-nomial of order l |m| in cos . If l |m| is even (odd),then this polynomial is even (odd) in cos . There isthe symmetry relation

Yl,m(, ) = ()mYl,m(, ). (5.31)

5.c Radialgleichung und Multipol-Momente

5.c Radial Equation and Multipole Mo-ments

Unter Verwendung der Entwicklung von und nach den Kugelflachenfunktionen lautet die P-Gleichung nun

Using the expansion of and in spherical harmon-ics the P equation reads

4(r) =l,m

(1r

d2

dr2(r l,m(r)) l(l + 1)

r2l,m(r)

)Yl,m(, ) = 4pi

l,m

l,m(r)Yl,m(, ). (5.32)

Durch Gleichsetzen der Koeffizienten von Yl,m erhal-ten wir die Radialgleichungen

Equating the coefficients of Yl,m we obtain the radialequations

l,m(r) +2r

l,m(r) l(l + 1)

r2l,m(r) = 4pil,m(r). (5.33)

Die Losung der homogenen Gleichung lautet The solution of the homogeneous equation reads

l,m(r) = al,mrl + bl,mrl1. (5.34)Fur die inhomogene Gleichung macht man nun wieublich den Ansatz (ich lasse im Moment die Indices lund m weg.)

For the inhomogeneous equation we introduce theconventional ansatz (at present I suppress the indicesl and m.)

= a(r)rl + b(r)rl1. (5.35)Dann folgt Then one obtains

= a(r)rl + b(r)rl1 + la(r)rl1 (l + 1)b(r)rl2. (5.36)Wir fordern nun wie ublich As usual we require

a(r)rl + b(r)rl1 = 0 (5.37)und erhalten dann fur die zweite Ableitung and obtain for the second derivative

= la(r)rl1 (l + 1)b(r)rl2 + l(l 1)a(r)rl2 + (l + 1)(l + 2)b(r)rl3. (5.38)Setzen wir diese Ausdrucke in die Radialgleichungein, so heben sich die Anteile, die a und b ohneAbleitung enthalten, weg. Es bleibt

After substitution into the radial equation the contri-butions which contain a and b without derivative can-cel. We are left with

la(r)rl1 (l + 1)b(r)rl2 = 4pi, (5.39)


Aus den Gleichungen (5.37) und (5.39) folgt danndurch Auflosen nach a und b

From the equations (5.37) and (5.39) one obtains bysolving for a and b

dal,m(r)dr =

4pi2l + 1r

1ll,m(r), (5.40)dbl,m(r)

dr =4pi

2l + 1rl+2l,m(r). (5.41)

Wir integrieren nun die Gleichungen Now we integrate these equations

al,m(r) = 4pi2l + 1

r

drr1ll,m(r) (5.42)

bl,m(r) = 4pi2l + 1 r

0drrl+2l,m(r). (5.43)

Addieren wir eine Konstante zu al,m(r), so istdies auch eine Losung der P-Gleichung, darlYl,m(, ) homogene Losung der P-Gleichungist. Wir wunschen aber eine Losung, die fur groesr abfallt. Daher wahlen wir al,m() = 0. Addierenwir eine Konstante zu bl,m, so ist das eine Losung furr , 0. Fur r = 0 hingegen erhalt man eine Singu-laritat, die die P-Gleichung nicht erfullt. Dahermuss man bl,m(0) = 0 setzen.

If we add a constant to al,m(r), then this is a solution ofthe P equation too, since rlYl,m(, ) is a homo-geneous solution of the P equation. We requesta solution, which decays for large r. Therefore wechoose al,m() = 0. If we add a constant to bl,m, thenthis is a solution for r , 0. For r = 0 however, oneobtains a singularity, which does not fulfil the Pequation. Therefore bl,m(0) = 0 is required.

Wir konnen nun die Entwicklungs-Koeffizienten l,meinsetzen und erhalten

We may now insert the expansion coefficients l,m andobtain

al,m(r) = 4pi2l + 1

r>rd3rr1lYl,m(, )(r) (5.44)

bl,m(r) = 4pi2l + 1

r r aus dem b-Term zu rl/rl+1.Dies fasst man zusammen, indem man mit r> dengroeren, mit r< den kleineren der beiden Radien rund r bezeichnet. Dann folgt

We may now insert the expressions for al,m und bl,minto (5.19) and (5.35). The r- und r-dependence isobtained for r < r from the a-term as rl/rl+1 andfor r > r from the b-term as rl/rl+1. This can beput together, if we denote by r> the larger, by r< thesmaller of both radii r and r. Then one has

(r) =

l=0

4pi2l + 1

lm=l

d3r

rl(r)Yl,m(, )Yl,m(, ). (5.46)

Ist (r) = 0 fur r > R, dann folgt fur r > R If (r) = 0 for r > R, then one obtains for r > R

(r) =l,m

4pi

2l + 1ql,mYl,m(, )

rl+1(5.47)

mit den Multipolmomenten with the multipole moments

ql,m =

4pi2l + 1

d3rrlYl,m(, )(r). (5.48)

Fur l = 0 erhalten wir das MonopolmomentLadung, fur l = 1 haben wir die Komponenten desDipol-Moments, fur l = 2 die Komponenten desQuadrupolmoments. Speziell fur m = 0 hat man

For l = 0 one obtains the monopole moment charge,for l = 1 the components of the dipole moment, forl = 2 the components of the quadrupole moment. Inparticular for m = 0 one has


q0,0 =

4pi

d3r

14pi(r) = q (5.49)

q1,0 =

4pi3

d3r

3

4pir cos (r) =

d3rz(r) = pz (5.50)

q2,0 =

4pi5

d3r

5

4pir2(3

2cos2 1

2)(r) =

d3r(3

2z2 1

2r2)(r) = 3

2Qzz. (5.51)

5.d Punktladung am Ort r, zylinder-symmetrische Ladungsverteilung

5.d Point Charge at r, CylindricCharge Distribution

Wir betrachten jetzt noch den Fall einer Punktladungq am Ort r. Wir konnen ausgehen von dem bekann-ten Potential

Finally we consider the case of a point charge q lo-cated at r. We start from the potential

(r) = q|r r| =q

r2 + r2 2rr cos. (5.52)

Dabei ist der Winkel zwischen r und r. Wir entwi-ckeln nun nach r

Here is the angle between r and r. We expand inr

(r) = qr>

1 + ( r)2 2 rcos

= q

l=0

rlPl(cos). (5.53)

Dabei bezeichnet man Pl() als L-Polynome.Fur cos = 1 sieht man sofort aus der Entwicklungvon 1/(r> r r

4pi2l + 1

lm=l

Yl,m(, )Yl,m(, ). (5.54)

Durch Vergleich findet man das Additionstheorem furKugelflachenfunktionen

By comparison we obtain the addition theorem forspherical harmonics

Pl(cos) = 4pi2l + 1l

m=lYl,m(, )Yl,m(, ), (5.55)

wobei sich der Winkel zwischen r und rausdrucken lasst durch r r = rr cos und unterVerwendung von (5.1-5.3)

where the angle between r and r can be expressedby r r = rr cos and by use of (5.1-5.3)

cos = cos cos + sin sin cos( ). (5.56)Wir betrachten jetzt noch den Spezialfall = 0, dasheit = . Dann verschwinden alle Yl,m(, ) we-gen der Faktoren sin auer denen fur m = 0 und dasAdditions-Theorem reduziert sich auf

We consider now the special case = 0, i.e. =. Then all Yl,m(, ) vanish because of the factorssin with the exception of the term for m = 0 and theaddition theorem is reduced to

Pl(cos ) = 4pi2l + 1Yl,0()Yl,0(0) = P0l (cos )P0l (1). (5.57)

Aus der Darstellung (5.30) P0l () = 1/(2ll!)dl(2 1)l/dl folgt fur = 1 und Zerlegen (2 1)l = ( +1)l(1)l das Ergebnis P0l (1) = [(+1)l/2l]=1[dl(1)l/dl/l!]=1 = 1. Damit haben wir gefunden, dass

From the representation (5.30) P0l () = 1/(2ll!)dl(21)l/dl one obtains for = 1 and the decomposition(2 1)l = ( + 1)l( 1)l the result P0l (1) = [( +1)l/2l]=1[dl( 1)l/dl/l!]=1 = 1. Thus we have

P0l () = Pl() (5.58)


gilt. .

Speziell fur zylindersymmetrische Verteilungen (r),die also nur von r und , aber nicht von abhangen,gilt dann

In particular for a cylinder symmetric charge distribu-tion (r), which therefore depends only on r and ,but not on , one has

(r) =

l

Pl(cos )rl+1

ql,0 (5.59)

mit den Momenten with the moments

ql,0 =

d3rrlPl(cos )(r). (5.60)

Alle Momente mit m , 0 verschwinden fur die zylin-dersymmetrische Verteilung.

All moments with m , 0 vanish for a cylinder sym-metric distribution.

Aufgabe Berechnen Sie aus (5.1) bis (5.5) die Vek-toren er, e und e und prufen Sie nach, dass diese einOrthonormalsystem bilden.

Exercise Calculate the vectors er, e and e from (5.1)to (5.5) and check that they constitute an orthonormalbasis.

Aufgabe Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes vonS (B.56) die Rotation in Kugelkoordinaten.

Exercise Calculate by means of S theorem(B.56) the curl in spherical coordinates.

Aufgabe Berechnen Sie fur Zylinderkoordinaten x = cos , y = sin und z die metrischen Faktoreng, g und gz, das Volumenelement und Gradient undDivergenz.

Exercise Calculate for cylindric coordinates x = cos , y = sin and z the metric factors g, g andgz, the volume element and gradient and divergence.


6 Elektrisches Feld in Materie 6 Electric Field in Matter

6.a Polarisation und dielektrische Ver-schiebung

6.a Polarization and Dielectric Dis-placement

Die bisher aufgestellten Feldgleichungen gelten auchin Materie. Auf ein aueres elektrisches Feld reagiertdie Materie im allgemeinen durch Polarisation. DieElektronen verschieben sich gegenuber den Kernen,wodurch Dipole entstehen, oder bereits existierendeDipole von Molekulen oder Molekulgruppen richtensich gegen die thermische Bewegung aus. Einelektrisches Feld bewirkt also die Verschiebung vonLadungen qi vom Ort ri zum Ort ri + ai, das heitDipole pi = qiai werden induziert. Man erhalt dieLadungsverteilung der Polarisationsladungen (4.22)

The field equations given by now are also valid inmatter. In general matter reacts in an external elec-tric field by polarization. The electrons move withrespect to the positively charged nuclei, thus generat-ing dipoles, or already existing dipoles of moleculesor groups of molecules order against thermal disor-der. Thus an electric field displaces the charges qifrom ri to ri + ai, i.e. dipoles pi = qiai are induced.One obtains the charge distribution of the polarizationcharges (4.22)

P(r) =

ipi grad 3(r ri). (6.1)

Fuhren wir eine Dipolmomentdichte P ein, die manals Polarisation bezeichnet,

Introducing a density of dipole moments P calledpolarization

P(r) =

piV

, (6.2)

wobei pi die Summe der Dipolmomente in eineminfinitesimalen Volumen V ist, so folgt

where

pi is the sum of the dipole moments in aninfinitesimal volume V, one obtains

P(r) =

d3rP(r) grad 3(r r) = div(

d3rP(r)3(r r))= div P(r). (6.3)

Wir veranschaulichen diese Gleichung. Wir gehenaus von einem Festkorper, in dem sich (auf einerSkala gro gegen den Atomabstand) die Ladun-gen der Ionen und Elektronen kompensieren (obersteFigur).

Let us visualize this equation. We start out from asolid body, in which the charges of the ions and elec-trons (on a scale large in comparison to the distancebetween the atoms) compensate (upper figure).

Legt man ein Feld E an, soverschieben sich die Elek-tronen gegenuber den Ionen(zweite Figur). Im Innerenhat man Ladungskompensa-tion. Nur am Rand bleibenNetto-Ladungen ubrig. Imdritten Bild ist die Polarisa-tion P = ela aufgezeichnet,wobei diese am Rand stetigausgeschmiert wurde.

P=el a

P

P

ddx

-

x

x

x

E el

6 Elektrisches Feld in Materie 6 Electric Field in Matter 29

Damit setzt sich die Ladungsdichte zusammenaus einer freibeweglichen Ladungsdichte f und derPolarisations-Ladungsdichte P (erstere kann zumBeispiel die Ladungsdichte sein, die auf eine Konden-satorplatte aufgebracht wird)

Thus the charge density consists of the freely mov-ing charge density f and the charge density of thepolarization P (the first one may be the charge den-sity on the plates of a condensator)

(r) = f(r) + P(r) = f(r) div P(r). (6.4)Damit fuhrt man in der Mgleichung Thus one introduces in Ms equation

div E(r) = 4pi(r) = 4pif(r) 4pi div P(r) (6.5)die dielektrische Verschiebung D ein the dielectric displacement D

D(r) = E(r) + 4piP(r), (6.6)so dass so that

div D(r) = 4pif(r) (6.7)gilt. Fur den Fluss der dielektrischen Verschiebungdurch die Oberflache eines Volumens erhalt man danndie freibewegliche Ladung qf(V) in diesem Volumen

holds. The flux of the dielectric displacement throughthe surface of a volume yields the free charge qf insidethis volume

Vdf D(r) = 4piqf(V). (6.8)

Fur viele Substanzen sind bei nicht zu groerFeldstarke P und E in guter Naherung proportional

For many substances P and E are within good approx-imation proportional as long as the field intensity E isnot too large

P(r) = eE(r) e elektrische Suszeptibilitatelectric susceptibility (6.9)

D(r) = E(r) (relative) Dielektrizitatskonstanterelative dielectric constant (6.10)

= 1 + 4pie. (6.11)

e und sind Tensoren fur anisotrope Materialien,sonst Skalare. Bei Ferroelektrika ist P bereits furE = 0 von 0 verschieden. Allerdings ist die Polarisa-tionsladung meist durch Oberflachenladungen kom-pensiert. Doch wird sie offensichtlich, wenn die Po-larisation durch auere Anderungen verandert wird,zum Beispiel durch Druck beim Quarz (Piezoelek-trizitat) oder Temperaturveranderung.

e and are tensors for anisotropic matter, otherwisescalars. For ferroelectrica P is different from 0 alreadyfor E = 0. However, in most cases it is compensatedby surface charges. But it is observed, when the polar-ization is varied by external changes like pressure inthe case of quartz (piezo-electricity) or under changeof temperature.

Im Gschen System sind die Dimensionen vonD, E und P ubereinstimmend dyn1/2 cm1. Im SI-System wird aber E in V/m, D und P in As/m2gemessen. Da das SI-System ein rationales Masys-tem ist, das Gsche ein irrationales, unterscheidensich die Umrechnungsfaktor fur D und P um 4pi.

In Gian units the dimensions of D, E und P agreeto dyn1/2 cm1. In the SI-system E is measured inV/m, D and P in As/m2. Since the SI-system is a ra-tional system of units, the Gian an irrational one,the conversion factors for D and P differ by a factor4pi.

Dementsprechend unterscheiden sich auch die e inbeiden Systemen um einen Faktor 4pi. Dagegensind die relativen Dielektrizitatskonstanten iden-tisch. Genaueres findet sich im Anhang A.

Consequently the e differ in both systems by a factor4pi. However, the relative dielectric constants areidentical. For more details see appendix A.


6.b Grenzflachen zwischen Dielektrika 6.b Boundaries between Dielectric Me-dia

Wir betrachten nun die Grenzflache zwischen zweiDielektrika oder Dielektrikum und Vakuum. Aus derMgleichung rot E = 0 folgt, dass die Kompo-nenten des elektrischen Feldes tangential zur Grenz-flache in beiden Dielektrika ubereinstimmen

We now consider the boundary between two dielec-tric media or a dielectric material and vacuum. FromMs equation curl E = 0 it follows that thecomponents of the electric field parallel to the bound-ary coincides in both dielectric media

E1,t = E2,t. (6.12)

Um dies zu sehen, muss man nur ein Linienintegraldr E(r), das parallel zur Grenzflache in einem

Dielektrikum hin, im anderen zuruckfuhrt, ausfuhrenund in das Flachenintegral

df rot E(r) = 0

uberfuhren. Man sieht dann, dass das Linienintegralverschwindet. Sind die Integrationswege in den bei-den Dielektrika infinitesimal benachbart, so folgt, dadas fur beliebige Wege gilt, dass Et in beiden Dielek-trika ubereinstimmen muss.

In order to see this one considers the line integraldr E(r) along the closed contour which runs tan-

gential to the boundary in one dielectric and returnsin the other one, and transforms it into the integral

df curl E(r) = 0 over the enclosed area. One seesthat the integral over the contour vanishes. If the pathsof integration in both dielectrica are infinitesimallyclose to each other, then Et vanishes, since the inte-gral over the contour vanishes for arbitrary paths.

Andererseits konnen wir ein Gsche Doseeinfuhren, deren Deckflache infinitesimal von derGrenzflache entfernt in einem Dielektrikum undderen Grundflache ebenfalls infinitesimal von derGrenzflache im anderen Dielektrikum verlauft. Sindauf der Grenzflache keine freibeweglichen Ladungen,so gilt

V d

3r div D = 0, was dazu fuhrt, dass manauf der Oberflache

df D = 0 hat. Ruckt man die

Oberflache nun an die Grenzflache heran, so folgt dieStetigkeit der Normalkomponenten von D

On the other hand we may introduce a pill boxwhose covering surface is in one medium, the basalsurface in the other one, both infinitesimally separatedfrom the boundary. If there are no free charges at theboundary, then

V d

3r div D = 0, so that the integraldf D = 0 over the surface vanishes. If the sur-

face approaches the boundary, then it follows that thenormal component of D is continuous

D1,n = D2,n. (6.13)

Schliet das elektrische Feld(in isotropen Dielektrika)mit der Flachennormalen dieWinkel 1 und 2 ein, so gilt

D D

E EE E

DD

1 2

t t

n n

1 21

2

1 2

If the angle between theelectric field (in an isotropicmedium) and the normal tothe boundary are 1 and 2then one has

E1 sin1 = E2 sin2 (6.14)D1 cos1 = D2 cos2 (6.15)

tan11

=tan22

. (6.16)


Wir betrachten jetzt einen Hohlraum im Dielek-trikum. Ist der Hohlraum sehr dunn in Richtung desFeldes (a) und in beiden dazu senkrechten Richtun-gen vergleichsweise sehr ausgedehnt, dann stimmt diedielektrische Verschiebung D im Hohlraum und imDielektrikum uberein.

We now consider a cavity in a dielectric medium. Ifthe cavity is very thin in the direction of the field (a)and large in perpendicular direction like a pill boxthen the displacement D agrees in the medium andthe cavity.

Handelt es sich dabei umeinen sehr langgestrecktenHohlraum in Richtung desFeldes (b), so muss der Ab-fall des Potentials in dieserlanggestreckten Richtung u-bereinstimmen, so dass imInneren und im Aueren desHohlraums das elektrischeFeld E ubereinstimmt.

a

b

ED

If on the other hand the cav-ity has the shape of a slotvery long in the direction ofthe field (b), then the vari-ation of the potential alongthis direction has to agree,so that inside and outside thecavity E coincides.

Daneben treten vor allem an den Randern auchStreufelder auf. Es ist fur Ellipsoide moglich, dasFeld im Innern eines Hohlraums exakt zu berechnen.Siehe zum Beispiel im Buch von B und S.Das Feld im Inneren des Ellipsoids ist homogen. Furdie Kugel fuhren wir die Berechnung anschlieenddurch.

At the edges of the cavities will be scattered fields.It is possible to calculate the field exactly for ellip-soidal cavities. See for example the book by Band S. The field is homogeneous inside the el-lipsoid. The calculation for a sphere is given below.

6.c Dielektrische Kugel im homogenenelektrischen Feld

6.c Dielectric Sphere in a HomogeneousElectric Field

Wir betrachten eine dielektrischeKugel mit Radius R und Dielek-trizitatskonstante 2, die in einanderes Dielektrikum mit Dielek-trizitatskonstante 1 eingebettet ist. ImDielektrikum 1 herrsche in sehr groerEntfernung ein homogenes Feld

R

2 1

We consider a dielectric sphere withradius R and dielectric constant 2 in-side a medium with dielectric constant1. The electric field in the medium 1be homogeneous at large distances

E(r) = E1 = E1ez r R. (6.17)Daraus folgt das Potential Thus one obtains for the potential

(r) = E1 r = E1r cos r R. (6.18)

Da cos das L-Polynom P1(cos ) ist, fuhrtder Ansatz

Since cos is the L polynomial P1(cos ), theansatz

(r) = f (r) cos (6.19)zum Erfolg. Die Losung der homogenen P-Gleichung 4( f (r) cos ) = 0 ist eine Linearkombi-nation (5.34) aus f (r) = r (homogenes Feld) undf (r) = 1/r2 (Dipolfeld). Da am Ursprung kein ma-kroskopischer Dipol sitzt, konnen wir ansetzen

is successful. The solution of the homogeneous P- equation 4( f (r) cos ) = 0 is a linear combi-nation (5.34) of f (r) = r (homogeneous field) andf (r) = 1/r2 (dipolar field). Since there is no dipole atthe origin we may assume

(r) = cos { E2r r RE1r + p/r2 r R . (6.20)


An der Grenzflache gilt (R + 0) = (R 0), wasidentisch ist mit E1,t = E2,t und auf

At the boundary one has (R + 0) = (R 0), whichis identical to E1,t = E2,t and leads to

E1R + pR2 = E2R (6.21)

fuhrt. Die Bedingung D1,n = D2,n fuhrt mit Dn =

rauf

. The condition D1,n = D2,n together with Dn = ryields

1(E1 + 2pR3 ) = 2E2. (6.22)

Aus diesen beiden Gleichungen erhalt man From these two equations one obtains

E2 =31

2 + 21E1 (6.23)

p =2 12 + 21

R3E1. (6.24)

Speziell fur die dielektrische Kugel (2 = ) imVakuum (1 = 1) folgt

. One obtains in particular for the dielectric sphere(2 = ) in the vacuum (1 = 1)

E2 =3

2 + E1, p =

1 + 2

R3E1. (6.25)

Die Polarisation im Inneren der Kugel bewirkt eineVeranderung des mittleren elektrischen Felds um

The polarization inside the sphere changes the aver-age field by

E2 E1 = 1 2 + E1ez = 4pi3 P. (6.26)

Fur eine Hohlkugel (2 = 1) im Dielektrikum (1 = )erhalt man dagegen

However, for a spherical cavity (2 = 1) in a dielectricmedium (1 = ) one obtains

E2 =3

1 + 2E1. (6.27)

6.d Dielektrizitatskonstante nach C- und M

6.d Dielectric Constant according toC and M

C und M leiten die Dielektrizitats-konstante aus der Polarisierbarkeit der Molekule(Atome) wie folgt her: Im Feld Eeff ist das mittlereDipolmoment

C and M derive the dielectric constantfrom the polarizability of molecules (atoms) as fol-lows: The average dipole moment in the field Eeff is

p = Eeff . (6.28)Bei einer Dichte der Dipole (Atome) n ergibt sich diePolarisation

The density n of the dipoles (atoms) yields thepolarization

P = np = nEeff . (6.29)Wir mussen daher das effektive Feld Eeff bestimmen,das auf den Dipol wirkt.

Therefore we have to determine the effective fieldEeff , which acts on the dipole.

Dazu schneiden wir eine Kugel vom Radius R aus derMaterie um den Dipol heraus. Diese Dipole erzeu-gen, wie wir am Beispiel der dielektrischen Kugel imVakuum aus (6.26) sehen, ein mittleres Feld

For this purpose we cut a sphere of radius R out of thematter around the dipole. These dipoles generate, aswe have seen in the example of the dielectric spherein the vacuum (6.26) an average field

EP = E2 E1 = 4pi3 P. (6.30)


Dieses Feld fehlt nach dem Herausschneiden derKugel. Dafur ist das schnell veranderliche Feld dereinzelnen Dipole innerhalb der Kugel zu addieren(mit Ausnahme des Dipols, an dessen Stelle das Feldbestimmt werden soll)

This field is missing after we have cut out the sphere.Instead the rapidly varying field of the dipoles insidethe sphere has to be added (with the exception of thefield of the dipole at the location, where the field hasto be determined)

Eeff = E EP +

i

pir2i + 3(piri)rir5i

. (6.31)

Die Summe hangt von der Anordnung der Dipole(Kristallstruktur) ab. Falls die Dipole auf einem ku-bischen Gitter sitzen, verschwindet die Summe, denndie Beitrage aus

The sum depends on the location of the dipoles (crys-tal structure). If the dipoles are located on a cubiclattice, then the sum vanishes, since the contributionsfrom

,

ep

i

,r2i + 3xi,xi,r5i

(6.32)

heben sich fur , weg, wenn man die Beitragejeweils fur x und x zusammenfasst, die fur = ,wenn man die drei Beitrage, die man durch zyklischesPermutieren der drei Komponenten erhalt, zusam-menfasst. Damit bleibt fur ein kubisches Gitter

cancel for , , if one adds the contributions for xand x, those for = , if one adds the three con-tributions obtained by cyclic permutation of the threecomponents. Thus one obtains for the cubic lattice

eE = P = nEeff = n(E + 4pi3 P) = n(1 +4pi3 e)E, (6.33)

woraus die Beziehung von C (1850) undM (1879)

from which the relation of C (1850) andM (1879)

e =n

1 4pin3oderor

4pi3 n =

1 + 2

(6.34)

folgt. follows.


7 Elektrizitat auf Leitern 7 Electricity on Conductors

7.a Elektrische Leiter 7.a Electric ConductorsInnerhalb eines Leiters ist das elektrische Feld E = 0,da ein von Null verschiedenes Feld sofort die Ladun-gen verschieben wurde. Das Potential ist daher injedem Leiter konstant. Fur den Leiter #i gilt daher(r) = i.

The electric field vanishes within a conductor, E = 0,since a nonvanishing field would move the charges.Thus the potential within a conductor is constant. Forthe conductor #i one has (r) = i.

Auerhalb der Leiter ist der Potentialverlauf durch dieP-Gleichung gegeben

Outside the conductor the potential is given by P-s equation

4(r) = 4pi(r) oderor div ((r) grad(r)) = 4pif(r). (7.1)

7.a. Randbedingungen an der Leiteroberfl ache 7.a. Boundary Conditions at the Surface of theConductor

An der Leiteroberflache hat man ein konstantes Po-tential (auch auf der Seite des Dielektrikums). Daherverschwinden die Komponenten von E tangential zurOberflache

On the surface of the conductor one has a constantpotential (on the side of the dielectric medium, too).Thus the components of E tangential to the surfacevanish

Et(r) = 0, (7.2)

Auf der Leiteroberflache befinden sichin der Regel Influenzladungen. Wirbezeichnen die Oberflachenladungsdich-te mit (r). Leiter

n

Conductor

In general there are charges at the surfaceof the conductor. We denote its densityby (r).

Bei Integration uber ein Stuck der Oberflache folgtdann

Integration over a small piece of the surface yields

df Ea(r) = 4piq = 4pi

d f (r). (7.3)

Daher gilt fur die Feldstarke Ea an der Oberflache imAuenraum

Therefore the field Ea obeys at the surface in the out-side region

Ea(r) = 4pi(r)n, n= 4pi(r). (7.4)

Im allgemeinen wird sich die Ladungsdichte ander Oberflache zusammensetzen aus der freibeweg-lichen f auf der Leiteroberflache und der Polarisa-tionsladungsdichte P auf dem Dielektrikum (r) =f(r) + P(r) mit

In general the charge density at the surface consistsof the free charge density f at the surface of the con-ductor and the polarization charge density P on thedielectric medium (r) = f(r) + P(r) with

Da(r) = 4pif(r)n, (7.5)woraus dann mit D = E from which one obtains

f = (f + P), P = (1 1)f (7.6)

7 Elektrizit at auf Leitern 7 Electricity on Conductors 35

folgt. .

7.a. Kraft auf Leiter (im Vakuum) 7.a. Force acting on the Conductor (in Vacuo)

Zunachst konnte man vermuten, die Kraft sei gegebendurch

d f Ea(r). Dies ist aber falsch. Denn genau

so konnte man argumentieren, man musse das Feldim Leiter Ei = 0 einsetzen. Die Wahrheit liegt inder Mitte. Dies erkennt man, wenn man davon aus-geht, dass die Ladung nicht exakt auf der Oberflachesitzt, sondern uber eine Schichtdicke l verschmiert ist.Nehmen wir an innerhalb einer Schicht der Dicke abefindet sich die Ladung s(a)(r)d f mit s(0) = 0 unds(l) = 1, dann wirkt in der Tiefe a die FeldstarkeEi(r an) = (1 s(a))Ea(r), da der Bruchteil s(a)bereits abgeschirmt ist. Mit (r an) = s(a)(r)folgt dann

Initially one might guess that the force on the conduc-tor is given by

d f Ea(r). This, however, is wrong.

By the same token one could argue that one has toinsert the field inside the conductor Ei = 0 into the in-tegral. The truth lies halfway. This becomes clear, ifone assumes that the charge is not exactly at the sur-face but smeared out over a layer of thickness l. If weassume that inside a layer of thickness a one has thecharge s(a)(r)d f with s(0) = 0 and s(l) = 1, then thefield acting at depth a is Ei(r an) = (1 s(a))Ea(r),since the fraction s(a) is already screened. With(r an) = s(a)(r) one obtains

K =

d f da(r an)E(r an) =

d f(r)Ea(r) l

0das(a)(1 s(a)). (7.7)

Das Integral uber a ergibt (s(a) s2(a)/2)|l0 = 1/2, sodass wir schlielich die Kraft

The integral over a yields (s(a) s2(a)/2)|l0 = 1/2, sothat finally we obtain the force

K = 12

d f(r)Ea(r) (7.8)

erhalten. .

7.b Kapazitaten 7.b Capacities

Wir betrachten jetzt mehrere Leiter eingebettet indas Vakuum oder in Dielektrika. Auerhalb derLeiter seien keine freibeweglichen Ladungsdichten,f = 0. Die elektrischen Potentiale i der Leiter #iseien vorgegeben. Gesucht sind die freibeweglichenLadungen qi auf den Leitern. Da die M-Gleichungen linear sind (und wir annehmen, dasslineare Beziehungen D = E bestehen), konnenwir das Potential als Superposition von Losungen ischreiben

We now consider several conductors imbedded in thevacuum or in dielectric media. Outside the conduc-tors there should be no free moving charge densities,f = 0. The electric potentials i of the conductors#i should be given. We look for the free charges qi atthe conductors. Since Ms equations are linear(and we assume that there is a linear relation D = E)we may write the potential as a superposition of solu-tions i

(r) =

iii(r). (7.9)

Dabei ist i die Losung, die auf dem Leiter #i denWert 1, auf den anderen den Wert 0 annimmt

i is the solution which assumes the value 1 at theconductor #i, and 0 at all others

i(r) = i, j r Leiterconductor j. (7.10)Die Ladung auf dem Leiter #i ist dann gegeben durch The charge on conductor #i is then given by

qi = 14pi

Fid f

n

a=

j

Ci, j j (7.11)

mit den Kapazitatskoeffizienten with the capacity coefficients

Ci, j = 14pi

Fid f j

n

a

. (7.12)


Im Gschen Masystem hat die Kapazitat die Di-mension Ladung/Spannung = Lange. Die Umrech-nung in das SI-System geschieht mit dem Faktor4pi0, so dass 1 cm = 1/9 1011 As/V = 10/9 pF(Picofarad).

The capacity has the dimension charge/(electric po-tential), which in Gian units is a length. The con-version into the SI-system is by the factor 4pi0, sothat 1 cm = 1/9 1011 As/V = 10/9 pF (picofarad).

Die elektrostatische Energie ergibt sich aus The electrostatic energy is obtained from

dU =

iidqi =

i, jiCi, jd j, (7.13)

das heit that is

U j=

i

Ci, ji, (7.14)

2Ui j

= Ci, j =2U

ji= C j,i, (7.15)

U =12

i, j

Ci, ji j =12

iiqi (7.16)

Als Beispiel betrachten wirden Kugelkondensator. Zweikonzentrische leitende Kugelnmit Radien r1, r2, wobei r1 < r2,seien mit den Ladungen q1 undq2 belegt. Der Auenraum seiVakuum. Zwischen den beidenKugeln sei ein Dielektrikum mitDielektrizitatskonstante . ImAuenraum gilt dann

r

r

1

2

As an example we consider aspherical capacitor. Two con-centric conducting spheres withradii r1, r2 with r1 < r2 carry thecharges q1 and q2, resp. Out-side be vacuum. Between thetwo spheres is a medium withdielectric constant . Then out-side the spheres one has

(r) = q1 + q2r

r r2. (7.17)

Im Raum zwischen den beiden Kugeln hat man einenAbfall des Potentials der Form q1/(r). Da das Poten-tial bei r = r2 stetig sein muss, folgt

The potential decays in the space between the twospheres like q1/(r). Since the potential is continu-ous at r = r2, it follows that

(r) = q1r q1r2+

q1 + q2r2

r1 r r2. (7.18)

In der kleineren Kugel ist das Potential konstant. Inside the smaller sphere the potential is constant.

(r) = q1r1 q1r2+

q1 + q2r2

r r1. (7.19)

Daraus errechnen sich dann die Ladungen als Funk-tion der Potentiale i = (ri)

From this one calculates the charges as a function ofthe potentials i = (ri)

q1 =r1r2

r2 r1 (1 2) (7.20)

q2 =r1r2

r2 r1 (2 1) + r22, (7.21)


aus denen man die Kapazitatskoeffizienten unmittel-bar ablesen kann. Falls das System neutral ist q =q1 = q2, kann man q durch die Potentialdifferenzausdrucken

from which the capacitor coefficients can be read offimmediately. If the system is neutral, q = q1 = q2,then q can be expressed by the difference of thepotential

q = C(1 2) (7.22)und bezeichnet C als die Kapazitat. Fur denKugelkondensator finden wir 2 = 0 und 1 =q1

( 1r1 1

r2), woraus die Kapazitat

and one calls C the capacity. For the spherical capac-itor one obtains 2 = 0 and 1 = q1 ( 1r1 1r2 ), fromwhich the capacity

C = r1r2r2 r1 (7.23)

folgt. is obtained.

Fur eine einzelne Kugel konnen wir r2 gegen gehenlassen und finden C = r1.

For a single sphere r2 can go to and one finds C =r1.

Den Plattenkondensator mit Plattenabstand d erhaltenwir, indem wir r2 = r1 + d setzen und dann groes r1betrachten. Wir finden

We obtain the plate capacitor with a distance d be-tween the plates, by putting r2 = r1 + d in the limit oflarge r1

C =(r21 + r1d)

d =4pir21

d( 14pi+

d4pir1

), (7.24)

was fur groe r1 gegen F4pid mit der Flache F geht.Daher erhalt man fur den Plattenkondensator

which approaches F4pid for large r1 with the area F.Therefore one obtains for the plate capacitor

C = F4pid . (7.25)

Eine andere Uberlegung ist die Folgende:Die Ladung q erzeugt einen Fluss DF =4piq. Daher ist die Potentialdifferenz zwi-schen den beiden Platten = D

d = 4pid

F q,woraus C = q/ = F4pid folgt. Man beachte,dass wir hier mit q die freibeweglicheLadung bezeichnet haben.

d

A different consideration is the following:The charge q generates the flux DF = 4piq.Therefore the potential difference betweenthe two plates is = D

d = 4pid

F q, fromwhich C = q/ = F4pid follows. Be awarethat here we have denoted the free chargeby q.

7.c Influenzladungen 7.c Influence Charges

Halten wir die Potentiale der Leiter auf 0, i = 0 undhaben wir eine freibewegliche Ladung q am Ort r,so beschreiben wir das Potential

If we fix the potentials of all conductors to 0, i = 0in the presence of a free charge q at r, then we writethe potential

(r) = G(r, r)q (7.26)mit der Gschen Funktion G. Offensichtlichgenugt diese der Gleichung

with the Gs function G. Apparently this functionobeys the equation

((r)G(r, r)) = 4pi3(r r) (7.27)fur r auerhalb der Leiter. Fur r auf den Leiterober-flachen ist G(r, r) = 0. Fur eine Ladungsvertei-lung f(r) auerhalb der Leiter gilt dann nach demSuperpositionsprinzip

for r outside the conductor. For r at the surface ofthe conductors we have G(r, r) = 0. The superposi-tion principle yields for a charge density f(r) locatedoutside the conductors

(r) =

d3rG(r, r)f(r) +

iii(r), (7.28)


wobei wir jetzt angenommen haben, dass die Leiterauf den Potentialen i liegen.

where now we have assumed that the conductors havethe potential i.

Wir zeigen nun, dass die Gsche Funktion sym-metrisch ist, G(r, r) = G(r, r). Zum Beweis gehenwir aus vom Integral uber die Leiteroberflachen

We now show that the Gs function is symmetric,G(r, r) = G(r, r). In order to show this we start fromthe integral over the surfaces of the conductors

df {G(r, r)(r)G(r, r) (r)[G(r, r)]G(r, r)} = 0, (7.29)

da G auf den Leiteroberflachen verschwindet. DasFlachenelement df weise in die Leiter. Wir er-strecken das Integral auch uber eine Kugel vomRadius R, die alle Leiter einschliet. WegenG 1/R und G 1/R2 verschwindet dasOberflachenintegral fur R . Die Anwendung desGschen Satzes liefert

since G vanishes at the surface of the conductors. Thearea element df is directed into the conductors. Weperform the integral also over a sphere of radius R,which includes all conductors. Since G 1/R andsince G 1/R2 the surface integral vanishes forR . Application of the divergence theorem yields

d3r{G(r, r)[(r)G(r, r)] [(r)G(r, r)]G(r, r)} (7.30)

= 4pi

d3r{G(r, r)3(r r) 3(r r)G(r, r)} (7.31)= 4pi(G(r, r) G(r, r)) = 0. (7.32)

Wir betrachten nun einige Beispiele: We consider now a few examples:

7.c. Leiterfreier Raum 7.c. Space free of Conductors

Im leiterfreien Raum mit konstanter Dielek-trizitatskonstante gilt

In a space with constant dielectric constant andwithout conductors one has

G(r, r) = 1|r r| . (7.33)

7.c. Leitende Ebene 7.c. Conducting Plane

Fur eine leitende Ebene z = 0( = 1) lost man das Problem durcheine Spiegelladung. Befindet sich diegegebene Ladung q am Ort r =(x, y, z), so denke man sich einezweite Ladung q am Ort r =(x, y,z). Diese kompensiert geradedas Potential an der Leiteroberflache.Es folgt

q

-q

For a conducting plane z = 0 ( =1) one solves the problem by mirrorcharges. If the given charge q is lo-cated at r = (x, y, z), then one shouldimagine a second charge q at r =(x, y,z). This mirror charge com-pensates the potential at the surface ofthe conductor. One obtains

G(r, r) =

1|rr| 1|rr |

furfor sign z = sign z

0 furfor sign z = sign z.

(7.34)

Als nachstes betrachten wir die Kraft, die auf dieLadung q wirkt. Das Potential ist (r) = G(r, r)q.Dabei ist der Anteil q/|r r| das Potential von qselbst, das auf q keine Kraft ausubt. Der zweiteBeitrag q/|r r| ruhrt dagegen von den Influenz-Ladungen auf der Metallebene her und bewirkt dieKraft

Next we consider the force which acts on the chargeq. The potential is (r) = G(r, r)q. The con-tribution q/|r r| is the potential of q itself thatdoes not exert a force on q . The second contribu-tion q/|r r| comes, however, from the influencecharges on the metal surface and exerts the force


K = q grad q

|r r| = q2ez4z2

sign z. (7.35)

Weiter bestimmen wir die Influenz-Ladung auf derPlatte. Bei z = 0 haben wir 4pi sign zez(r) =E(r) = q rr|rr |3 q rr

|rr |3 . Daraus ergibt sich die

Oberflachenladungsdichte

Further one determines the influence charge on theplate. At z = 0 one has 4pi sign zez(r) = E(r) =q rr

|rr |3 q rr

|rr |3 . From this one obtains the density

of the surface charge per area

(r) = q

2pi|z|

(x x)2 + (y y)2 + z23(7.36)

Mit d f =

Documents

Wegner F. Classical Electrodynamics - Klassische Elektrodynamik (Lecture Notes, Heidelberg, 2003)