Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
Poucevanje: Predmetno poucevanje
NIKA PETELIN
WEIERSTRASSOV IZREK IN
MITTAG-LEFFLERJEV IZREK
MAGISTRSKO DELO
LJUBLJANA, 2015
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
Poucevanje: Predmetno poucevanje
Matematika in racunalnistvo
NIKA PETELIN
WEIERSTRASSOV IZREK IN
MITTAG-LEFFLERJEV IZREK
MAGISTRSKO DELO
Mentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR
Ljubljana, 2015
Zahvala
Zahvaljujem se mentorju dr. Marku Slaparju za strokovno pomoc in
napotke pri izdelavi magistrskega dela.
Hvala mojim starsem in bratoma, ki so me celoten cas studija spodbu-
jali in nudili oporo. Rada bi se zahvalila tudi Alenki za lektoriranje in
vsestransko pomoc, veliko zahvalo pa dolgujem Teji za vso prijateljsko
in studijsko pomoc.
Tebi Matjaz, pa se zahvaljujem za razumevanje, spodbudo in vso pomoc,
ki mi jo nudis. Hvala, ker verjames vame.
Povzetek
V magistrskem delu s pomocjo Weierstrassovega izreka pokazemo, da
lahko vsako celo funkcijo predstavimo kot produkt, iz katerega lahko
razberemo nicle funkcije. Prav tako lahko za poljubno zaporedje brez
stekalisc skonstruiramo holomorfno funkcijo, ki ima nicle vnaprej pred-
pisanih stopenj natanko v tockah iz zaporedja. V nadaljevanju predsta-
vimo Mittag-Lefflerjev izrek, ki nam podobno pove, da lahko skonstru-
iramo meromorfno funkcijo, ki ima v tockah poljubnega zaporedja brez
ponavljanja in brez stekalisc vnaprej predpisane koncne glavne dele La-
urentovega razvoja funkcije. Za konec pa uporabnost dokazanih izrekov
pokazemo se na konkretnih primerih.
Kljucne besede: Weierstrassov izrek, Mittag-Lefflerjev izrek, holo-
morfna funkcija, neskoncni produkt, Rungejev izrek, nicle, konvergen-
tnost, faktorizacija, meromorfna funkcija, cela funkcija.
Abstract
In these thesis we show, using the Weierstrass theorem, that every en-
tire function can be represented as a product of functions, from which
we can easily identify zeros of the function. We also show that for any
given sequence without accumulation points, we can construct a holo-
morphic functions with zeros of prescribed order at exactly the points in
the sequence. Next we present Mittag-Leffler’s theorem, that similarly
shows that, for any sequence without repetitions and without accu-
mulation points, we can construct meromorphic functions that have
prescribed finite principle Laurent parts at exactly the points in the
sequence. In the end, we show the usefulness of proved theorems on
concrete examples.
Key words: Weierstrass theorem, Mittag-Leffler’s theorem, holomor-
phic function, infinite product, Runge’s theorem, zeros, convergence,
factorization, meromorphic function, entire function.
Kazalo
Poglavje 1. Uvod 1
Poglavje 2. Osnovni pojmi kompleksne analize 3
2.1. Topologija kompleksne ravnine 3
2.2. Holomorfne funkcije in Cauchyjeva integralska formula 4
2.3. Laurentova vrsta 8
2.4. Nicle in izolirane singularnosti holomorfnih funkcij 11
Poglavje 3. Weierstrassov izrek 15
3.1. Neskoncni produkt 15
3.2. Weierstrassovi faktorji 22
3.3. Weierstrassov faktorizacijski izrek v C 25
3.4. Weierstrassov izrek na splosnih domenah 26
3.5. Posledice Weierstrassovega izreka 27
3.6. Faktorizacija funkcije sinus 29
Poglavje 4. Mittag-Lefflerjev izrek 33
4.1. Mittag-Lefflerjev izrek v C 34
4.2. Rungejev izrek 35
4.3. Mittag-Lefflerjev izrek za splosna obmocja 39
4.4. Posledice Mittag-Lefflerjevega izreka 40
Poglavje 5. Sklep 43
Literatura 45
POGLAVJE 1
Uvod
V diplomskem delu [4] smo natancno opredelili postopek integrira-
nja racionalnih funkcij v realnem in kompleksnem. Izrek, iz katerega
smo izhajali, je bil Laplacev izrek, ki pravi: ”Nedoloceni integral raci-
onalne funkcije je vedno elementarna funkcija. Le-ta je ali racionalna
funkcija, ali pa vsota racionalne funkcije in logaritmov racionalnih funk-
cij, pomnozenih s konstantami. [4]” Z uvedbo komplesnih stevil v inte-
gracijo racionalnih funkcij pa smo pokazali, da lahko mocno zmanjsamo
nabor funkcij v samem izracunu integrala. Ponazorili smo tudi razp-
cep funkcij na parcialne ulomke tako v realnem kot v kompleksnem, to
poglavje pa je bil tudi neke vrste ”povod” za izbiro teme magistrske
naloge.
Kompleksna analiza je eno izmed podrocij matematicne analize, ki
se vedno ni dobilo zadostne pozornosti. To se kaze ze pri sami kolicini
gradiv, ki so nam na voljo in pa tudi pri samem pouku matematike
tako v srednjih solah kot tudi na fakultetah. Zato zelimo v magistr-
skem delu prikazati nekaj tem, ki jih ne srecujemo tako pogosto, pa
vendar imajo za razumevanje podrocja kompleksne analize velik po-
men. Weierstrassov izrek in Mittag-Lefflerjev izrek sta deli dveh ma-
tematikov, ki ju lahko brez vecjih tezav predstavimo na razumljiv in
uporaben nacin s pomocjo le osnovnega znanja o holomorfnih funkcijah.
V diplomskem delu smo se ukvarjali z razcepom racionalnih funkcije
na parcialne ulomke, v magistrskem delu pa bomo pokazali nekaksen
obrat, da lahko vedno skonstruiramo meromorfne funkcije, ki imajo
predpisano obnasanje (bodisi nicle, bodisi pole) v tockah poljubnega
zaporedja brez stekalisc.
V uvodu magistrskega dela predstavimo osnovne pojme kompleksne
analize, ki jih potrebujem v nadeljavanju, kot so na primer kompleksna
1
ravnina, holomorfna funkcija, Cauchyjeva integralska formula, Lauren-
tova vrsta, izolirane singularnosti ipd. Za sam razcep funkcij moramo
najprej razumeti pojem neskoncnega produkta, ki predstavlja osnovo
za izpeljavo Weierstrassovega in Mittag-Lefflerjevega izreka. Problem,
ki je predstavljen kot Weierstrassov faktorizacijski izrek, je namrec kon-
struiranje analiticne funkcije kot (neskoncen) produkt bolj elementar-
nih funkcij, od katerih ima vsaka niclo v eni sami tocki vnaprej pred-
pisanega zaporedja kompleksnih stevil. V kolikor je to zaporedje za-
poredje nicel vnaprej dane funkcije f , smo tako funkcijo f napisali kot
produkt povsod nenicelne funkcije in faktorjev, iz katerih lahko razbe-
remo nicle funkcije f . Tako dobimo nekaksno posplositev osnovnega iz-
reka algebre. Nas cilj je torej najti nacin, s katerim lahko konstruiramo
funkcijo, ce imamo podane njene nicle, glavni problem pri konstrukciji
pa je ravno problem konvergence nekoncnega produkta. S podobnim
problemom se srecamo pri razlagi Mittag-Lefflerjevega izreka, le da se
pri tem srecamo se z uporabo razvoja funkcije v Laurentovo vrsto. V
celotnem magistrskem delu gre torej za prepletanje ze znanih dejstev
in teorij kompleksne analize, s katerimi nato ponazorimo se ne tako
znane, a vendar uporabne vsebine.
2
POGLAVJE 2
Osnovni pojmi kompleksne analize
V tem poglavju bomo ponovili nekatere osnovne pojme s podrocja
kompleksne analize, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju. Besedilo
v tem poglavju je povzeto iz virov [3] in [8].
2.1. Topologija kompleksne ravnine
Namenimo najprej nekaj besed topologiji kompleksnih stevil. To-
polosko kompleksno ravnino C obravnavamo kot ravnino R2. Razdalja
med dvema tockama z1 = x1 + iy1 in z2 = x2 + iy2 je podana z
d(z1, z2) = |z1 − z2| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2,
ki je pravzaprav obicajna razdalja med dvema tockama v R2. Odprti
disk z radijem r okrog tocke a je
D(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r},
zaprti disk z radijem r okrog tocke a pa
D(a, r) = {z ∈ C; |z − a| ≤ r}.
Naj bo D ⊂ C. Tocka a ∈ D je notranja tocka mnozice D, ce
obstaja tak r > 0, da je D(a, r) ⊂ D. Tocka b ∈ C je robna tocka
za D, ce za vsak r > 0 disk D(b, r) neprazno seka tako mnozico D kot
tudi mnozico C \D. Tocka c je zunanja tocka za D, ko je c notranja
tocka za C \D.
Mnozica D ⊂ C je odprta, ce za vsak a ∈ D obstaja tak r > 0,
da je D(a, r) ⊂ D. Lahko recemo tudi, da je mnozica D odprta, ko
je vsaka tocka iz D notranja tocka. Mnozica E ⊂ C je zaprta, ce je
mnozica C \ E odprta. Mnozica E je torej zaprta, kadar vsebuje vse
svoje robne tocke. Mnozica K ⊂ C pa je kompaktna, ce je zaprta
in omejena. To je natanko tedaj, ko ima vsako zaporedje iz K v K
stekalisce.
3
Mnozica D ⊂ C je povezana, ce ne obstajata disjunktni odprti
mnozici U, V ⊂ C, da je D = (D ∩ U) ∪ (D ∩ V ) in sta oba preseka
neprazna. Torej natanko tedaj, ko D ne moremo napisati kot disjunk-
tno unijo dveh nepraznih relativno odprtih mnozic. Neprazni odprti
povezani mnozici bomo rekli domena.
2.2. Holomorfne funkcije in Cauchyjeva integralska formula
Kompleksna funkcija je preslikava f : D → C, kjer je D podmnozica
kompleksnih stevil. Vsako kompleksno funkcijo f : D → C, lahko
pisemo v obliki
f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y),
kjer je z = x + iy in u, v : D → R realni funkciji na mnozici D ⊂R2. Kompleksne funkcije si torej lahko predstavljamo kot preslikave
f : D → R2, D ⊂ R2. Pojma zveznost in limita pri kompleksnih
funkcijah razumemo kot zveznost in limito preslikav iz podmozic R2 v
R2. Drugace pa je s pojmom odvoda:
Definicija 2.1 (Holomorfna funkcija). Naj bo D odprta mnozica
v C in f : D → C funkcija. Naj bo a ∈ D, za katero obstaja limita
limz→af(z)−f(a)
z−a . To limito imenujemo kompleksni odvod funkcije f v
tocki a, ki ga oznacimo s f ′(a). Ce obstaja kompleksni odvod funkcije
f v vsaki tocki a na odprti mnozici D, potem funkcijo f imenujemo
holomorfna funkcija ali analiticna funkcija na D. V primeru, ko
je D = C recemo, da je f cela funkcija.
Holomorfne funkcije zadoscajo Cauchy-Riemannovemu sistemu enacb,
ki ga bomo predstavili v nadaljevanju. Posledica Cauchy-Riemannovih
enacb so Cauchyjeve integralske formule, ki so eno od osnovnih orodij
v teoriji holomorfnih funkcij.
Izrek 2.2. Naj bo funkcija f holomorfna na odprti mnozici D. Naj
bo
f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y)
4
razcep funkcije na njen realni in imaginarni del. Potem imata funkciji
u in v parcialne odvode prvega reda na D in velja
∂u
∂x=∂v
∂y
∂u
∂y= −∂v
∂x
Ta sistem enacb imenujemo Cauchy-Riemannov sistem enacb.
Dokaz. Naj v tocki z0 = x0 + iy0 obstaja odvod funkcije f . Potem
obstaja limita in velja
f ′(x0 + iy0) = limx+iy→x0+iy0
f(x+ iy)− f(x0 + iy0)
(x+ iy)− (x0 + iy0)(1)
Tocki z0 se lahko priblizujemo iz dveh smeri, t.j. ”vodoravne”in ”navpicne”.
Ce se z priblizuje tocki z0 vzporedno z realno osjo je z = z0 + h =
(x0 + h) + iy0, kjer je h ∈ R. Potem je po enacbi (1) odvod enak
limh→0
f(z0 + h)− f(z0)
h=
limh→0
u(x0 + h, y0) + iv(x0 + h), y0)− u(x0, y0)− iv(x0, y0)
h=
limh→0
u(x0 + h, y0)− u(x0, y0)
h+ i lim
h→0
v(x0 + h), y0)− v(x0, y0)
h=
∂u
∂x(x0, y0) + i
∂v
∂x(x0, y0).
Ce pa se z tocki z0 priblizuje vzdolz navpicne smeri je z = z0 + ih =
x0 + i(y0 + h), kjer je h ∈ R. Potem je limita enaka
limh→0
f(z0 + ih)− f(z0)
h=
limh→0
u(x0, y0 + h) + iv(x0, y0 + h)− u(x0, y0)− iv(x0, y0)
ih=
1
ilimh→0
u(x0, y0 + h)− u(x0, y0)
h+ lim
h→0
v(x0, y0 + h)− v(x0, y0)
h=
−i∂u∂y
(x0, y0) +∂v
∂y(x0, y0).
Limiti morata biti enaki, zato sledi
∂u
∂x(x0, y0) + i
∂v
∂x(x0, y0) = −i∂u
∂y(x0, y0) +
∂v
∂y(x0, y0)
5
in od tod dobimo iskane Cauchy-Riemannove enacbe
∂u
∂x(x0, y0) =
∂v
∂y(x0, y0)
∂v
∂x(x0, y0) = −∂u
∂y(x0, y0).
�
Naj bo sedaj D ⊂ C omejena odprta mnozica s kosoma gladkim
robom in f holomorfna na odprti okolici D. Greenova formula, skupaj
z zgornjim izrekom, nam pove:∫∂D
f dz =
∫γ
u dx− v dy + i
∫γ
v dx+ u dy
= −∫D
(∂v
∂x+∂u
∂y
)dxdy + i
∫D
(∂u
∂x− ∂v
∂y
)dxdy = 0.
Tako dobimo izrek:
Izrek 2.3 (Cauchyjev izrek). Naj bo D omejeno obmocje z gladkim
robom in f holomorfna funkcija na okolici zaprtja D. Potem velja∫∂D
f dz = 0.
Kot posledico Cauchyjevega izreka dobimo, da ima holomorfna funk-
cija odvode poljubnega reda in se le-ti izrazajo z vrednostmi funkcije
na robu obmocja.
Izrek 2.4 (Cauchyjeva integralska formula). Naj bo D omejeno
obmocje z gladkim robom, γ pa enostavno sklenjena (kosoma) gladka,
pozitivno orientirana pot, ki je homotopna konstanti D. Naj bo f ho-
lomorfna funkcija na okolici zaprtja D in w ∈ D. Potem za vsak
n ∈ N ∪ {0} velja
f (n)(w) =n!
2πi
∫γ
f(z)
(z − w)n+1dz.
Dokaz. Dokazimo formulo najprej pri n = 0. Naj bo K(w, ε)
pozitivno orientirana kroznica, kjer je ε polmer okrog sredisca w. Iz
Cauchyevega izreka sledi∫∂D
f(z)
z − wdz =
∫K(w,ε)
f(z)
z − wdz,
6
saj je funkcija f(z)z−w holomorfna na okolici obmocja, omejenega z ∂D in
K(w, ε) (orientacija kroznice je v tem primeru negativna). Parametri-
zirajmo z = w + εeit:∫∂D
f(z)
z − wdz =
∫K(w,ε)
f(z)
z − wdz
=
∫ 2π
0
f(w + εeit)
εeitiεeit dt
= i
∫ 2π
0
f(ω + εeit) dt.
Za konec dokaza moramo pokazati, da v primeru, ko gre ε proti 0, gre
zgoraj dobljeni integral proti 2πif(w):
|∫ 2π
0
f(w + εeit) dt−∫ 2π
0
f(w) dt| ≤∫ 2π
0
|f(w + εeit)− f(w)|dt
≤ 2π maxK(w,ε)
|f(w + εeit)− f(w)| ε→ 0−−−→ 0.
Predpostavimo sedaj, da formula velja za n in dokazimo formulo za
n+ 1.
f (n)(w + h)− f (n)(w)
h=
n!
2πih
∫∂D
f(z)
(1
(z − (w + h))n+1− 1
(z − w)n+1
)dz
=n!
2πi
∫∂D
f(z)(z − w)n + (z − w)n−1(z − (w + h)) + · · ·+ (z − (w + h))n
(z − (w + h))n+1(z − w)n+1dz
h→0−→ n!
2πi
∫∂D
f(z)(n+ 1)(z − w)n
(z − w)2n+2dz =
(n+ 1)!
2πi
∫∂D
f(z)
(z − w)n+2dz.
�
V zgornjem dokazu smo videli, da v kolikor kompleksna funkcija
zadosca osnovni Cauchyjevi formuli
f(w) =1
2πi
∫γ
f(z)
(z − w)dz,
je f holomorfna, saj njen kompleksni odvod dobimo kar z odvajajem
pod integralom
f ′(w) =1
2πi
∫γ
f(z)
(z − w)2dz.
Ker je Cauchyjeva formula posledica Cauchy-Riemannovih enacb, s tem
vidimo, da so Cauchy-Riemannove enacbe potreben in zadosten pogoj
za holomorfnost.
7
2.3. Laurentova vrsta
Definicija 2.5. Zaporedje kompleksnih funkcij f1, f2, . . ., definira-
nih na odprti mnozici D ⊂ C, konvergira enakomerno po kompaktih
proti funkciji f : D 7→ C, ce za vsako kompaktno mnozico K ⊂ D in
za vsak ε > 0 obstaja n0, da je |fn(z) − f(z)| < ε za vsak n ≥ n0 in
vsak z ∈ K.
Enakomerna konvergenca zaporedja holomorfnih funkcij f1, f2, . . .
proti funkciji f nam zadosca, da bo limitna funkcija prav tako holo-
morfna. Velja namrec
f(w) = limn→∞
fn(w) = limn→∞
1
2πi
∫γ
fn(z)
(z − w)dz
=1
2πi
∫γ
limn→∞
fn(z)
(z − w)n+1dz =
1
2πi
∫γ
f(z)
(z − w)dz,
in torej funkcija f zadosca Cauchyjevi formuli. Limito lahko nesemo
pod integral, saj funkcije enakomerno konvergirajo na kompaktni mnozici
γ.
Podobno definiramo enakomerno konvergenco po kompaktih funk-
cijskih vrst tako, da predpostavimo enakomerno konvergenco po kom-
paktih za delne vsote. Zopet velja, da je vsota vrste holomorfnih funkcij
holomorfna funkcija, ce vrsta konvergira enakomerno po kompaktih.
Definicija 2.6. Laurentova vrsta okrog tocke z = z0 je dvojno
neskoncna vrsta oblike:∞∑
n=−∞
an(z−z0)n = · · ·+ a−2(z − z0)2
+a−1
(z − z0)+a0+a1(z−z0)+a2(z−z0)2+· · · .
Negativnemu delu vrste, to je
−1∑n=−∞
an(z − z0)n = · · ·+ a−3(z − z0)3
+a−2
(z − z0)2+
a−1(z − z0)
,
recemo glavni del Laurentove vrste.
Nesingularni del Laurentove vrste, to je
∞∑n=0
an(z − z0)n = c0 + c1(z − z0) + c2(z − z0)2 + · · · ,
je obicajna potencna vrsta.
8
Zanima nas, kje Laurentova vrsta konvergira. To si poglejmo v
naslednjem izreku.
Izrek 2.7. Naj bo∑∞
n=−∞ an(z−z0)n Laurentova vrsta okrog tocke
z0. Naj bosta
R2 =1
lim supn→∞n√|an|
, R1 = lim supn→∞
n√|a−n|
in velja R1, R2 ∈ [0,∞]. Ce velja R1 < R2 potem vrsta konvergira proti
holomorfni funkciji za vsak z iz kolobarja
A(z0;R1, R2) = {z ∈ C;R1 < |z − z0| < R2}.
Za vsak R1 < r1 < r2 < R2 pa vrsta konvergira enakomerno in absolu-
tno na {z ∈ C, r1 ≤ |z − z0| ≤ r2}.
Dokaz. Pozitivni del Laurentove vrste konvergira znotraj D(a,R2),
kjer je
R2 =1
lim supn→∞n√|an|
,
saj gre za obicajno potencno vrsto. Vrsta konvergira proti holomorfni
funkciji, za vsak r2 < R2 pa na D(a, r2) konvergira absolutno in ena-
komerno. Ce pri glavnem delu pisemo namesto 1z−z0 kar w, dobimo
obicajno potencno vrsto
· · ·+ a−3(z − z0)3
+a−2
(z − z0)2+
a−1(z − z0)
= · · ·+ a−3w3 + a−2w
2 + a−1w,
ki konvergira znotraj kroga |w| < r, kjer je
R1 =1
r= lim sup
n→∞
n√|a−n|.
Glavni del torej konvergira za | 1z−z0 | < r, kar je |z− z0| > 1
r. Glavni del
konvergira proti holomorfni funkciji, za r1 > R1 pa konvergira enako-
merno in absolutno na |z− z0| ≥ r1. Tako R1 in R2 sta naceloma lahko
kjerkoli iz [0,∞]. �
Naj bosta 0 < r1 < r2 <∞ in naj bo f holomorfna funkcija v neki
okolici zaprtega kolobarja
A(z0, r1, r2) = {z ∈ C; r1 ≤ |z − z0| ≤ r2}.9
Brez izgube za splosnost lahko predpostavimo, da je z0 = 0. Po Cau-
chyjevi formuli dobimo
f(z) =1
2πi
∫K(0,r2)
f(w)
w − zdw − 1
2πi
∫K(0,r1)
f(w)
w − zdw
za vsak z, r1 < |z| < r2. Zato imamo
f(z) =1
2πi
∫K(0,r2)
f(w)
w − zdw − 1
2πi
∫K(0,r1)
f(w)
w − zdw
=1
2πi
∫K(0,r2)
f(w)
w
1
1− z/wdw +
1
2πi
∫K(0,r1)
f(w)
z
1
1− w/zdw
=1
2πi
∫K(0,r2)
f(w)1
w
∞∑n=0
( zw
)ndw
+1
2πi
∫K(0,r1)
f(w)1
z
∞∑n=0
(wz
)ndw
=∞∑n=0
(1
2πi
∫K(0,r2)
f(w)
wn+1dw
)zn
+−1∑
n=−∞
(1
2πi
∫K(0,r1)
f(w)
wn+1dw
)zn.
Po Cauchyjevem izreku je integral∫K(0,r)
f(w)wn+1 dw neodvisen od izbire
r1 ≤ r ≤ r2. Oznacimo
an =1
2πi
∫K(0,r)
f(w)
wn+1dw,
in dobimo bolj kompakten zapis
f(z) =∞∑
n=−∞
anzn, r1 < |z| < r2,
oziroma pri splosnem z0
f(z) =∞∑
n=−∞
an(z − z0)n, r1 < |z − z0| < r2
an =1
2πi
∫K(z0,r)
f(w)
(w − z0)n+1dw.
Iz konstrukcije vidimo, da Laurentova vrsta funkcije f okrog z0 kon-
vergira znotraj najvecjega kolobarja A(z0, R1, R2), 0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞,
na katerem je f holomorfna. Dokazali smo torej izrek
10
Izrek 2.8. Naj bo f holomorfna na kolobarju A(a;R1, R2), kjer
je 0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞. Potem lahko f na A(a;R1, R2) razvijemo v
Laurentovo vrsto okrog a
f(z) =∞∑
n=−∞
an(z − a)n.
Velja
an =1
2πi
∫γ
f(z)
(z − a)n+1dz,
kjer je γ poljubna pozitivno orientirana kroznica s srediscem v a, ki lezi
v A(a;R1, R2).
V primeru, ko je funkcija f holomorfna kar na disku D(a,R), 0 <
R ≤ ∞, je razvoj funkcije f v Laurentovo vrsto okrog a kar Taylorjeva
vrsta, saj so vsi cleni an identicno enaki 0 za n < 0. Tako dobimo izrek.
Izrek 2.9. Naj bo f holomorfna v okolici tocke a. Potem lahko f
v okolici a razvijemo v Taylorjevo vrsto.
2.4. Nicle in izolirane singularnosti holomorfnih funkcij
Za holomorfno funkcijo lahko dolocimo stopnjo nicle na podoben
nacin, kot jo dolocimo pri polinomih. Gre za posledico razvoja v po-
tencno vrsto.
Izrek 2.10. Naj bo funkcija f holomorfna na obmocju D in naj bo
z0 ∈ D nicla funkcije f. Potem bodisi obstaja disk D(z0, r) ⊂ D, da
je funkcija f identicno enaka 0 na D(z0, r), bodisi obstaja m ∈ N in
holomorfna funkcija g(z) definiriana na D, g(z0) 6= 0, da velja f(z) =
(z − z0)mg(z).
Dokaz. Naj bo z0 nicla funkcije f in
f(z) = an(z − z0)n + an+1(z − z0)n+1 + an+2(z − z0)n+2 · · ·
Taylorjeva vrsta funkcije f v okolici z0. Funkcijo
g(z) =f(z)
(z − z0)n11
lahko razsirimo do holomorfne funkcije tudi v tocki z0, saj je njen
Laurentov razvoj okrog z0 (potencna) vrsta
an + an+1(z − z0) + an+2(z − z0)2 · · ·
Seveda velja f(z) = (z − z0)ng(z) in g(z0) = an 6= 0. �
Stevilo m v zgornjem izreku imenujemo stopnja nicle funkcije f v
z0. Posledica razvoja v vrsto pa je tudi princip identicnosti.
Izrek 2.11. Naj bosta f in g holomorfni funkciji, definirani na
obmocju D in naj velja f(zn) = g(zn) za vsak clen zaporedja {zn}n∈N,
zaporedje {zn}n∈N pa naj ima v D stekalisce z0, z0 6= zn za vsak n ∈ N.
Potem je f(z) = g(z) za vsak z ∈ D.
Dokaz. Oznacimo h(z) = f(z) − g(z). Zaradi zveznosti velja
h(z0) = 0. Ce h ni identicno enaka 0, je h(z) = (z − z0)ng(z), kjer
g(z0) 6= 0. To pa ni mozno, saj ima f nicle poljubno blizu tocki z0. �
Posledica 2.12. Naj bo f holomorfna funkcija na obmocju D, za
katero velja f 6≡ 0. Potem mnozica nicel
Zf = {z ∈ D, f(z) = 0}
nima stekalisc v D. Nicle so torej izolirane tocke v D.
Funkcija f ima v tocki a izolirano singularnost, ce je holomorfna
na punktiranem disku D(a, r) \ {a} za nek radij r > 0 in ni definirana
v tocki a. Tako funkcijo lahko na D(a, r)\{a} razvijemo v Laurentovo
vrsto
f(z) =∞∑
n=−∞
an(z − a)n.
Locimo tri izklicujoce si moznosti
• ce za vsak n < 0 velja an = 0 recemo, da ima f v a odpravljivo sin-
gularnost. V tem primeru lahko f razsirimo do holomorfne funkcije,
ki je definirana tudi v a.
• ce obstaja tak n ∈ N, da je am = 0 za vsak m < −n in je a−n 6= 0,
recemo, da ima f v a pol stopnje n,
• ce je glavni del Laurentove vrste neskoncen, recemo, da ima f v tocki
a bistveno singularnost.
12
Trditev 2.13. Naj ima holomorfna funkcija f v tocki a izolirano
singularnost.
• Funkcija f ima v tocki a odpravljivo singularnost natanko te-
daj, ko je v neki punktirani okolici tocke a omejena.
• Funkcija f ima v tocki a pol natanko tedaj, ko velja
limz→a|f(z)| =∞.
Dokaz. Edino, kar je zares potrebno pokazati je, da ima f v a pol,
ce velja
limz→a|f(z)| =∞.
Definirajmo
g(z) =1
f(z).
Funkcija g ima v a odpravljivo singularnost, in jo lahko razsirimo z
g(a) = 0 do holomorfne funkcije na okolici a. Tako razsirjena funkcija
ima razvoj
g(z) = an(z − a)n + an+1(z − a)n+1 + · · · = (z − a)nh(z), h(a) 6= 0.
Zato je
f(z) =1
(z − a)n1
h(z)=
1
(z − a)n(b0 + b1(z − a) + b2(z − a)2 + · · · )
=b0
(z − a)n+
b1(z − a)n−1
+b2
(z − a)n−2+ · · ·
Funkcija f ima torej v a pol stopnje n. �
Brez dokaza omenimo se Picardov izrek, ki nam opise obnasanje
funkcije v okolici bistvene singularnosti.
Izrek 2.14 (Picardov izrek). V vsaki okolici bistvene singularnosti
funkcija zavzame vse vredosti, razen morda ene.
Primer 2.15. Poglejmo si nekaj primerov.
• Funkcija sin(z)z
ima odpravljivo singularnost. Ta funkcija je v
okolici tocke 0 omejena, lahko pa jo holomorfno razsirimo tudi
v tocki 0 z vrednostjo 1.
• Fukcija sin zz3
ima v tocki 0 pol reda 2.
13
• Funkcija e1z ima bistveno singularnost, saj je njen Laurentov
razvoj v tocki 0 enak
· · ·+ 1
3!
1
z3+
1
2!
1
z2+
1
z+ 1.
Ce je holomorfna funkcija f definirana v okolici tocke ∞, kar po-
meni, da je definirana in holomorfna za vsa dovolj velika kompleksna
stevila, lahko razumemo tocko ∞ kot izolirano singularnost funkcije f
tako, da si pogledamo tocko 0 za funkcijo g(z) = f(1/z). Tako lahko
razumemo tocko ∞ kot odpravljivo singularost (v primeru, ce obstaja
limita limz→∞ f(z)), kot pol (v primeru, ko je limn→∞ |f(z)| = ∞), v
ostalih primerih pa kot bistveno singularnost. Vzemimo za primer, da
je f cela funkcija, torej definirana na celi kompleksni ravnini in naj bo
f(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·
njen Taylorjev razvoj okrog tocke 0. Ce je f polinom stopnje n, ima
f v tocki ∞ pol stopnje n. Ce je Taylorjev razvoj funkcije f v tocki 0
(in tudi v kateri koli drugi tocki) neskoncna potencna vrsta, ima f v
∞ bistveno singularnost. Odpravljivo singularnost ima f le v primeru,
ce je funkcija f konstantna. S tem smo dokazali naslednji izrek:
Izrek 2.16 (Liouvillov izrek). Edine omejene cele funkcije so kon-
stante.
Posledica 2.17 (Osnovni izrek algebre). Vsak nekonstanten kom-
pleksni polinom ima v C vsak eno niclo.
Dokaz. Naj bo p(z) nekonstanten polinom. Ce p(z) nima nicle
v C, je f(z) = 1/p(z) nekonstantna omejena cela funkcija, saj je
limz→∞ |f(z)| = 0. To pa ni mozno po Liuovillovem izreku. �
Precejsnja izboljsava Liouvillovega izreka sledi direktno iz Picardo-
vega izreka in osnovnega izreka algebre:
Posledica 2.18. Naj bosta a, b ∈ C in a 6= b. Ce je f : C →C\{a, b} holomorfna, potem je f konstantna.
.
14
POGLAVJE 3
Weierstrassov izrek
Naj bo p : C→ C polinom n-te stopnje. Osnovni izrek algebre nam
pove, da ima p natanko n nicel, stetih z veckratnostmi. Oznacimo te
nicle z z1, z2, . . . , zn. Ce je a koeficient pri vodilnem clenu polinoma,
dobimo razcep
p(z) = a(z − z1) · · · (z − z2) · · · (z − zn).
Weierstrassov faktorizacijsi izrek nam pove, da lahko vsako celo funk-
cijo podobno predstavimo kot produkt, iz katerega lahko preberemo
nicle funkcije. V primeru, ko ima funkcija neskoncno mnogo nicel, fak-
torji v razcepu niso preprosti linearni faktorji, kot jih dobimo v primeru
polinomov. Poglejmo si na primer funkcijo f(z) = sin z. Nicle funkcije
sin z so zk = kπ, kjer je k poljubno celo stevilo. Neskoncni produkt
z(z − π)(z + π)(z − 2π)(z + 2π) · · ·
divergira za vsako kompleksno stevilo z, razen v primeru, ce je z ena
od nicel funkcije sin z. Velja pa naslednja enakost
sin z = z(
1− z
π
)(1 +
π
z
)(1− z
2π
)(1 +
z
2π
)· · · .
V splosnem bodo vlogo linearnih faktorjev v razcepu polinomov igrali
tako imenovani Weierstrassovi faktorji, ki jih bomo spoznali v nadalje-
vanju.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass je bil nemski matematik, veckrat
oznacen kot ”oce moderne analize”. Kljub temu, da je zapustil uni-
verzo brez diplome, je studiral matematiko in bil poucen za ucitelja.
Vecinoma je pouceval matematiko, fiziko, botaniko.
3.1. Neskoncni produkt
Besedilo v tem poglavju je povzeto iz virov [1], [2], [7] in [10].
15
Definicija 3.1. Naj bo u1, u2, u3, . . . zaporedje kompleksnih stevil.
Formalnemu produktu clenov u1, u2, u3, . . . recemo neskoncni produkt
in ga zapisemo kot
u1 · u2 · u3 · · · =∞∏n=1
un.
Mnozimo lahko vsak koncen nabor clenov zaporedja u1, u2, u3, . . .
in tako dobimo zaporedje delnih produktov
p1 = u1
p2 = u1 · u2
· · ·
pn = u1 · u2 · · ·un
· · ·
Podobno, kot pri definiciji vsote vrste zelimo definirati, da je neskoncen
produkt u1 · u2 · u3, · · · konvergenten, ce je konvergentno zaporedje
njegovih delnih produktov p1, p2, p3, . . .. Medtem ko je za konvergenco
vrst potreben pogoj, da se cleni vrste priblizujejo 0, so delni produkti
lahko konvergentni iz vec razlicnih razlogov.Poglejmo si nekaj primerov.
Primer 3.2. Delni produkti neskoncnega produkta
∞∏n=1
n2√e
so enaki
pn = e1/12 · e1/22 · · · e1/n2
= e1/12+1/22+···1/n2
.
Ker je zapredje delnih vsot vrste
1
12+
1
22+
1
32+ · · · = π2
6
narascajoce, je narascajoce tudi zaporedje delnih produktov pn in kon-
vergira proti eπ2
6 . Razlog za konvergenco delnih produktov je v tem
primeru to, da se cleni produkta dovolj hitro priblizujejo stevilu 1. V
tem primeru bomo rekli, da je neskoncni produkt konvergenten in velja
∞∏n=1
n2√e = e
π2
6 .
16
Primer 3.3. Delni produkti neskoncnega produkta
∞∏n=1
1
n
so enaki
pn =1
n!.
Delni produkti seveda konvergirajo proti 0. Razlog za konvergenco
delnih produktov je v tem primeru to, da se vsi cleni po absolutni
vrednosti uniformno manjsi od 1. V takem primeru ne bomo rekli, da
neskoncni produkt konvergira proti 0, temvec bomo rekli, da neskoncni
produkt divergira proti 0.
Se bolj ociten razlog, da moramo biti pri definiciji konvergence ne-
skoncnega produkta nekoliko previdni, najdemo v naslednjem primeru.
Primer 3.4. Delni produkti neskoncnega produkta
∞∏n=0
n
so vsi enaki 0, saj je prvi clen produkta enak 0. Po drugi strani pa so
delni produkti neskoncnega produkta
∞∏n=1
n
enaki n! in zato divergentni. Podobna situacija lahko nastane vedno,
ko je vsaj eden od faktorjev v neskoncnem produktu enak 0.
Definicija 3.5. Naj bo
u1 · u2 · u3 · · · =∞∏n=1
un
neskoncni produkt in naj velja un 6= 0 za vsak n = 1, 2, . . .. Naj bo
pn = u1 · u2 · · ·un zaporedje delnih produktov. Ce velja
limn→∞
pn = p 6= 0
recemo, da je neskoncni produkt konvergenten in velja
∞∏n=1
un = p.
17
Ce vsi faktorji neskoncnega produkta niso razlicni od 0, recemo, da
neskoncni produkt konvergira proti 0, ce obstaja n0, da velja un 6= 0 za
vsak n ≥ n0 in konvergira neskoncni produkt
∞∏n=n0
un.
Pri konvergentnem neskoncnem produktu z nenicelnimi faktorji so
torej absolutne vrednosti delnih produktov |pn| navzdol omejene s stevilom
m > 0. Ce bi bila namrec natancna spodnja meja zaporedja |pn| enaka
0, bi imelo zaporedje limito enako 0, kar pa je v protislovju s predpo-
stavko o konvergentnem produktu.
Ker konvergetno zaporedje delnih produktov p1 · p2 · p3 · · · ustreza
Cauchyjevemu pogoju, pripada vsakemu pozitivnemu stevilu ε tako
stevilo n, da velja
|pn+k − pn| < ε,
za vsak k ∈ N. Ce vstavimo k = 1 dobimo:
|pn+1 − pn| = |pnun+1 − pn| = |pn||un+1 − 1| < ε.
Torej:
|un+1 − 1| < ε
|pn|≤ ε
m.
Od tod lahko trdimo, da v konvergentnem produktu faktorji limitirajo
proti 1, torej je limn→∞ un = 1. Zato lahko produkte pisemo v naslednji
obliki:∞∏n=1
(1 + un).
Naj bo {pn} zaporedje delnih produktov, {sn} pa zaporedje delnih vsot
vrste∑∞
n=1 log(1 + un). Od tod sledi
log(pn) = log(n∏k=1
(1 + un)) =n∑k=1
log(1 + un) = sk.
Izrek 3.6. Naj bo un > 0, potem neskoncni produkt∏∞
n=1(1 + un)
konvergira natanko tedaj, ko konvergira vrsta∑∞
n=1 un.
Dokaz. Naj bo an > 0 za poljuben n ∈ N. Vrsta∑∞
n=1 un naj
bo konvergentna, njeno vsoto pa oznacimo s s. Naj bo {pn} zaporedje
delnih produktov∏∞
n=1(1 + un) in {sn} zaporedje delnih vsot vrste
18
∑∞n=1 un. Vemo, da za x ≥ 0 velja 1 + x ≤ ex, torej je log(1 + x) ≤ x
za x ≥ 0. Dobimo:
logn∏k=1
(1 + uk) =n∑k=1
log(1 + uk) ≤n∑k=1
uk = sn ≤ s,
za vsak n ∈ N. Torej je
n∏k=1
(1 + uk) = pn ≤ es,
za vsak n ∈ N. Zaporedje {pn} je torej navzgor omejeno in narascajoce,
saj je un > 0, zato konvergira k limiti p in velja p ≤ es. Pokazimo se
iz obratne smeri. Produkt∏∞
n=1(1 + un) konvergira proti limiti p. Ker
velja
sn = a1 + a2 + · · ·+ an < (1 + a1)(1 + a2) . . . (1 + an) ≤ p,
je zaporedje {sn} narascajoce in navzgor omejeno, zato konvergira tudi
vrsta∑∞
n=1 un. �
Definicija 3.7. Ce neskoncni produkt∏∞
n=1(1 + |un|) konvergira,
potem neskoncni produkt∏∞
n=1(1+un) konvergira absolutno. Posledicno
po 3.6 velja, da je absolutna konvergenca neskoncnega produkta∏∞
n=1(1+
un) ekvivalentna abosolutni konvergenci neskoncne vrste∑∞
n=1 un.
Trditev 3.8. Ce neskoncni produkt∏∞
n=1(1 + un) konvergira ab-
solutno, potem∏∞
n=1(1 + un) konvergira.
Dokaz. Trditev dokazemo s pomocjo Cauchyjevega kriterija, saj
velja
|(1 + un+1) · · · (1 + un+k)− 1| ≤ (1 + |un+1|) · · · (1 + |un+k|)− 1.
�
Lema 3.9. Naj bo u1, u2, u3, . . . , un zporedje kompleksnih stevil. Naj
bosta pn =∏n
k=1(1 + uk) in rn =∏n
k=1(1 + |uk|). Potem velja
rn ≤ e|u1|+···+|uk| (2)
in
|pn − 1| ≤ rn − 1. (3)
19
Dokaz. Za x ≥ 0, je neenacba 1+x ≤ ex posledica razvoja funkcije
ex. Ce nadomestimo spremenljivko x z |u1|, |u2|, . . . , |un| dobimo
rn =n∏k=1
(1 + |uk|) = (1 + |u1|)(1 + |u2|) · · · (1 + |uk|)
≤ e|u1| · e|u2| · · · e|uk| = e|u1|+···+|uk|.
Neenakost (2) je tako dokazana. Neenakost (3) dokazemo s pomocjo
matematicne indukcije. Za n = 1 je neenakost (3) trivialna. Naredimo
indukcijski korak:
Naj bo m = 1, . . . , n− 1, od tod sledi
pm+1−1 = pm(1+um+1)−1+um+1−um+1 = (1+um+1)(pm−1)+um+1.
Upostevamo indukcijsko predpostavko in dobimo
|pm+1 − 1| ≤ (rm − 1)(1 + |um+1|) + |um+1| = rm+1 − 1.
�
Naj bo sedaj S poljubna mnozica in un : S → C zaporedje komple-
ksnih funkcij na S in u : S → C. Ce za vsak s ∈ S neskoncni produkt
stevil∞∏n=1
un(s)
konvergira proti vrednosti u(s), recemo, da∞∏n=1
un
konvergira proti u : S → C. Konvergenca je enakomerna, ce nadalje
delni produkti pn : S → C,
pn = u1 · u2 · un,
konvergirajo proti u enakomerno.
Izrek 3.10. Naj bo {un} zaporedje omejenih kompleksnih funkcij na
mnozici S, za katero∑∞
n=1 |un(s)| enakomerno konvergira na mnozici
S. Potem produkt
f(s) =∞∏n=1
(1 + un(s)) (4)
enakomerno konvergira na mnozici S in je f(s0) = 0 za nek s0 ∈ S
natanko tedaj, ko je un(s0) = −1 za nek n. Poleg tega velja, da v
20
primeru, ce je mnozica {n1, n2, n3, . . . } katera koli permutacija mnozice
{1, 2, 3, . . . }, velja
f(s) =∞∏k=1
(1 + unk(s)), s ∈ S. (5)
Dokaz. Predpostavka o absolutni konvergenci nam pove, da je∑|un(s)| omejena na mnozici S. Ce s pN oznacimo N -ti delni pro-
dukt neskoncnega produkt (4), lahko s pomocjo Leme 3.9 sklepamo,
da obstaja konstanta c <∞, za katero velja |pN(s)| ≤ c za vse N in s.
Izberimo poljuben ε, 0 < ε < 12. Ker je konvergenca po predpostavki
enakomerna, obstaja N0, da je
∞∑n=N0
|un(s)| < ε (6)
za vsak s ∈ S. Naj bo {n1, n2, n3, . . . } permutacija mnozice {1, 2, 3, . . . }.Ce je N ≥ N0 ter M dovolj velik, da velja
{1, 2, . . . , N} ⊂ {n1, n2, . . . nM}, (7)
in ce z qM(s) oznacimo M -ti delni produkt enakosti (5), dobimo nasle-
dnjo enakost
qM − pN = pN{∏
(1 + unk)− 1}. (8)
Spremenljivke nk iz enacbe (8) so razlicne in vecje od N0. Iz enacbe
(6) in Leme 3.9 sledi
|qM − pN | ≤ |pN |(eε − 1) ≤ 2|pN |ε ≤ 2cε. (9)
Ce je nk = k, (k = 1, 2, 3, . . . ), potem velja qM = pM , iz enacbe (9)
pa vidimo, da {pN} konvergira enakomerno k funkciji f . Od tod sledi
tudi
|pM − pN0| ≤ 2|pN0|ε (10)
za vsak M > N0, torej je |pM | ≥ (1− 2ε)|pN0|. Sledi
|f(s)| ≥ (1− 2ε)|pN0(s)| (s ∈ S), (11)
kar nam pove, da bo f(s) = 0 samo takrat, ko bo pN0 = 0. Neenakost
(9) nam pove, da sta obe zaporedji {qM} in {pN} konvergentni in je
njuna limita enaka. �
21
Trditev 3.11. Naj bo 0 ≤ un ≤ 1. Potem velja∏∞
n=1(1− un) > 0
natanko tedaj, ko je∑∞
n=1 un <∞.
Trditev 3.12. Naj bodo f1, f2, . . . holomorfne funkcije na obmocju
ω ⊂ C. Ce vsota∑∞
n=1 |1− fn| enakomerno konvergira na vsaki kom-
paktni podmnozici ω, potem f(z) =∏∞
n=1 fn(z) definira funkcijo f , ki
je holomorfna na ω. Poleg tega velja, da za nek z ∈ ω velja f(z) = 0
natanko tedaj, ce je fn(z) = 0 za nek n.
Dokaz. Po izreku 3.10 produkt∏∞
n=1 fn(z) enakomerno konvergira
na vsaki kompaktni podmnozici ω. Ker je enakomerna limita holo-
morfnih funkcij holomorfna funkcija, je s tem prvi del trditve dokazan.
Prav tako je drugi del trditve posledica Izreka 3.10. �
3.2. Weierstrassovi faktorji
Na zacetku si poglejmo formulacijo elementarnih faktorjev, ki jih je
definiral Weierstrass. Ti faktorji so osnova za nadaljnjo predstavitev
Weierstrassovega faktorizacijskega izreka.
Besedilo v tem poglavju je povzeto iz virov [1], [7] in [11].
Cele funkcije
E0(z) := 1− z
in
Ep(z) := (1− z) exp
(z +
z2
2+ · · ·+ zp
p
), p ≥ 1
imenujemo Weierstrassovi faktorji.
Izrek 3.13. Naj bodo Ep(z) Weierstrassovi faktorji. Za vsak p ≥ 1
velja
E ′p(z) = −zn exp
(z +
z2
2+ · · ·+ zp
p
)(12)
in
Ep(z) = 1 +∑m>p
amzm, kjer je
∑m>p
|am| = 1 in |am| = −am za m > p.
(13)
22
Dokaz. Naj bo tp(z) = z + z2
2+ · · ·+ zp
p. Potem velja
t′p(z) = 1 + z + z2 + · · ·+ zp−1
(1− z)t′p(z) = (1− z)(1 + z + z2 + · · ·+ zp−1)
(1− z)t′p(z) = 1− z + z − z2 + z2 − · · · − zp)
(1− z)t′p(z) = 1− zp.
Odvajajmo funkcijo Ep in dokazimo enakost (12):
E ′p(z) = − exp(tp(z)) + (1− z)t′p(z) exp(tp(z)) =
= − exp(tp(z)) + (1− zp) exp(tp(z)) =
= exp(tp(z))(−1 + 1− zp) =
= −zp exp(tp(z)) = −zp exp
(z +
z2
2+ · · ·+ zp
p
).
Enakost (13) dokazimo s pomocjo Taylorjeve vrste. Naj bo∑akz
k
razvoj funkcije Ep okrog 0 v Taylorjevo vrsto. V primeru, da je p = 0
je enakost trivialna. Za p ≥ 1, pa dobimo po enacbi (12) naslednjo
enakost:∞∑k=1
kakzk−1 = −zp exp
(z +
z2
2+ · · ·+ zp
p
)=
= −zp(
1 +
(z + · · ·+ zp
p
)+
1
2
(z + · · ·+ zp
p
)2
+ · · ·
).
Ker ima funkcija na desni torej niclo stopnje p v tocki 0, vsi koeficienti
Taylorjevega razvoja eksponentne funkcije okrog 0 pa so pozitivni, po
primerjavi Taylorjevih koeficientov vidimo, da velja:
a1 = a2 = · · · = ap = 0
in
|ak| = −ak, za k > p.
Enakost (13) sledi, ker a0 = Ep(0) = 1 in 0 = Ep(1) = 1 +∑
k>p ak. �
Lema 3.14.
|Ep(z)− 1| ≤ |z|p+1 za vsak |z| ≤ 1, p ∈ N0.
23
Dokaz. Pokazimo enakost za p = 0:
E0 = 1− z,
|E0(z)− 1| = | − z| = |z| = |z|0+1, torej je res p = 0.
Pokazimo se za p > 0:
Ep(0) = 1
Ep(z) = 1 +∑∞
k=j akzk = (1− z) exp(z + z2
2+ · · ·+ zp
p)
|Ep(z)− 1| = |∞∑k=1
akzk| = |
∞∑k=p+1
akzk| =
= |zp+1||∞∑
k=p+1
akzk−p−1| ≤ |z|p+1
∞∑k=p+1
|ak||z|k−p−1 ≤ |z|p+1
∞∑k=p+1
|ak|.
Upostevamo se enakost (13), kjer je∑∞
k=p+1 |ak| = 1 in dobimo
|Ep(z)− 1| ≤ |z|p+1.
�
Weierstrassove elementarne faktorje bomo uporabljali za konstruiranje
funkcij s predpisanimi niclami. V nadaljevanju bomo zaceli s konstru-
iranjem cele funkcije z danimi niclami.
Izrek 3.15. Naj bo {zn} zaporedje nenicelnih kompleksnih stevil,
kjer zn 6= 0 in za katero velja |zn| → ∞. Ce je {pn} zaporedje nenega-
tivnih celih stevil, tako da velja
∞∑n=1
(r
rn
)1+pn
<∞, (14)
za vsak r > 0, kjer je rn = |zn|, potem produkt
∞∏n=1
Epn
(z
zn
)definira celo funkcijo f , ki ima niclo v vsaki tocki zn (f(z) = 0, ce
je z = zn za nek n). Bolj natancno, ce se a v zaporedju {zn} pojavi
p-krat, potem ima funkcija f niclo stopnje p v tocki a. Torej lahko
konstruiramo celo funkcijo, ce imamo natancno dolocene nicle v tockah
zn s pripadajocimi stopnjami. Pogoj (14) je izpolnjen, ce je pn = n−1.
24
Dokaz. Za vsak r > 0 velja rrn< 1
2za vse razen za koncno mnogo
n, zato je za pn = n− 1 pogoj (14) izpolnjen. Ce je |z| ≤ r, potem po
lemi 3.14 velja∣∣∣∣1− Epn ( z
zn
)∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ zzn∣∣∣∣1+pn ≤ ( r
rn
)1+pn
.
Iz enakosti (14) sledi, da vsota
∞∑n=1
∣∣∣∣1− Epn ( z
zn
)∣∣∣∣enkomerno konvergira na kompaktni mnozici, zakljucek dokaza pa sledi
neposredno iz ze dokazanega izreka 3.12. �
3.3. Weierstrassov faktorizacijski izrek v C
V tem razdelku bomo dokazali Weierstrassov faktorizacijski izrek za
cele funkcije. Opiramo se na ze navedene izreke in definicije iz prejsnjih
poglavij.
Izrek 3.16. Naj bo f cela funkcija, f(0) 6= 0 in naj bo k ≥ 0
stopnja nicle funkcije f v tocki 0. Naj bodo z1, z2, . . . nicle funkcije f
s pripadajocimi stopnjami. Potem je
f(z) = eg(z)zk∞∏n=1
Epn
(z
zn
),
kjer je g cela funkcija in pn nenegativno celo stevilo.
Dokaz. Ce ima funkcija f koncno stevilo nicel, je rezultat ociten.
Oglejmo si torej primer, ko ima funkcija f neskoncno mnogo nicel zn.
Ce je f(0) 6= 0, potem velja |zn| → ∞. Po izreku 3.15 obstaja zaporedje
{pn} za katero ima
h(z) =f(z)
zk∏∞
n=1Epn( zzn
)
le odpravljive singularnosti, zato jo lahko razsirimo v celo funkcijo.
Funkcija h(z) nima nicel v C, zato je h(z) = eg(z), kjer je g(z) cela
funkcija. �
25
3.4. Weierstrassov izrek na splosnih domenah
Posplosimo sedaj izrek 3.15, saj ga lahko enostavno prilagodimo na
katerokoli odprto mnozico.
Izrek 3.17. Naj bo D odprta podmnozica v C. Naj bo A = {an :
n = 1, 2, . . . } zaporedje brez ponavljanja in brez stekalisc v D in {mn}zaporedje pozitivnih celih stevil. Potem obstaja holomorfna funkcija f
na D, ki ima nicle natanko v tockah iz A, stopnja nicle pa je v vsakem
an natanko mn.
Dokaz. Najprej si poglejmo poseben primer, ko je A koncna
mnozica {a1, . . . , an}. Enostavno lahko vzamemo polinom
f(z) = (z − a1)m1 · · · (z − an)mn .
Predpostavimo, da je sedaj mnozica A = {a1, a2, . . . } neskoncna.
Naj bo {zn} zaporedje, katerega cleni so znotraj mnozice A in v katerem
za vsak j velja zn = aj za natanko mj vrednosti n. Ce je C\D neprazna
mnozica iz C, potem za vsak n ≥ 1 obstaja tocka wn v C\D, za katero
velja |wn− zn| = d(zn,C \D). Vemo, da |wn− zn| → 0, ce n→∞, saj
zaporedje {zn} nima stekalisc v D. Naj bo {fn} zaporedje funkcij v D
definiranih kot
fn(z) = En
(zn − wnz − wn
),
kjer je fn(∞) = En(0) = 1. Potem ima funkcija fn edino enostavno
niclo v zn. Se vec,∑|fn− 1| enakomerno konvergira po kompaktih na
D. Naj bo rn = 2|zn−wn| in K kompaktna podmnozica iz D. Ce velja
rn → 0, potem obstaja N za katerega je |z −wn| > rn za vse z ∈ K in
vse n ≥ N . Zato je ∣∣∣∣zn − wnz − wn
∣∣∣∣ ≤ 1
2.
Torej po lemi 3.14 sledi
|fn(z)− 1| =∣∣∣∣1− En(zn − wnz − wn
)∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣zn − wnz − wn
∣∣∣∣n+1
≤(
1
2
)n+1
za vsak z ∈ K in n ≥ N . Zakljucek dokaza pa sledi iz izreka 3.12. �
26
3.5. Posledice Weierstrassovega izreka
Dejstvo, da lahko konstruiramo analiticno funkcijo s predpisanimi
niclami, ima pomembno posledico, s katero pridobimo nov pogled na
karakterizacijo meromorfne funkcije. Poglavje je povzeto iz vira [6].
Definicija 3.18. Funkcija je meromorfna funkcija na obmocju D,
ce je holomorfna na celotnem obmocju D, razen v mnozici izoliranih
singularnosti, kjer ima pole.
Zgled meromorfnih funkcij na obmocju D so vse racionalne funkcije
na D. Spomnimo se, da je funkcija racionalna na D, ce je oblike f/g,
kjer sta f in g holomorfni na D in g ni identicno enaka 0. S pomocjo
Weierstrassovega izreka lahko pokazemo, da so meromorfne funkcije
natanko racionalne funkcije.
Izrek 3.19. Naj bo h meromorfna funkcija iz mnozice D ⊂ C.
Potem je h = fg
kjer sta f in g holomorfni na D.
Dokaz. Naj bo A ⊂ D mnozica polov funkcije h. Potem A ustreza
predpostavkam izreka 3.17. Naj bo funkcija g holomorfna funkcija na
D, katere mnozica nicel je natanko mnozica A in naj dodatno velja,
da je za vsak a ∈ A stopnja nicle funkcije g v tocki a enaka stopnji
pola funkcije h v tocki a. Potem ima produkt funkcij gh le odpravljive
singularnosti v D, torej jo lahko razsirimo v analiticno do funkcije
f : D → C. �
Ce je D obmocje v D, lahko enostavno skonstruiramo zvezno funk-
cijo, ki je ne moremo razsiriti na nobeno vecje obmocje, ki vsebuje
D, saj lahko vzamemo kar z 7→ 1/dist(z, ∂D). Pokazimo sedaj, da
lahko s pomocjo Weierstrassovega izreka dobimo analogen rezultat za
holomorfne funkcije.
Trditev 3.20. Naj bo D obmocje v C in naj velja D ⊂ C. Potem
obstaja holomorfna funkcija f : D → C, tako da dane funkcije f ne
moremo razsiriti na nobeno vecje obmocje D′, za katero velja D ( D′.
Bolj natancno, naj bo a ∈ ∂D poljubna tocka iz roba D in U poljubna
odprta okolica tocke a v C. Potem f ne moremo razsiriti do holomorfne
funkcije na D ∪ U .
27
Dokaz. Najprej pokazimo, da na robu obmocja D obstaja stevno
gosta podmnozica {z1, z2, . . . } ⊂ ∂D. Naj bo
A = {D(a, r); a ∈ Q + iQ, r ∈ Q+}
mnozica vseh odprtih diskov v C z racionalnim radijem in racionalnim
srediscem. Mnozica A pa je stevno neskoncna mnozica. Za vsak disk
D(a, r) ∈ A, za katerega velja D(a, r) ∩ ∂D 6= 0, izberimo poljubno
tocko b ∈ D(a, r) ∩ ∂D. Mnozico vseh tako izbranih tock oznacimo z
B. Velja B ⊂ ∂D in iz konstrukcije vidimo, da je mnozica B stevna in
gosta v ∂D.
Za vsako tocko zk ∈ B, k = 1, 2, 3, . . . , naj bo {zkn}∞n=1 zaporedje
v D, za katerega velja |zk − zkn| < 1n. Zaporedje {zkn}∞n=1 konvergira
proti zk, ko gre n proti neskoncno. Mnozica Z = {zkn; k = 1, 2, . . . , n =
1, 2, . . . } je brez stekalisc v D, vendar pa je po konstrukciji vsaka tocka,
ki je vsebovana na robu obmocja ∂D, stekalisce mnozice Z. Po iz-
reku 3.17 obstaja funkcija f : D → C, tako da ima f (enostavne)
nicle natanko v tockah iz mnozice Z. Ker je vsaka tocka iz ∂D ste-
kalisce mnozice Z, funkcije f zato ne moremo razsiriti na nobeno vecje
obmocje. �
Poglejmo si sedaj se, kako lahko Weierstrassov izrek bolj elegantno
zapisemo z jezikom divizorjev.
Definicija 3.21. Divizor na D je funkcija δ : D → Z, za katero
velja, da mnozica S = {z ∈ D : δ(z) 6= 0} nima stekalisc v D. Divizor
je pozitiven, ce je δ : D → Z+.
Vsaki holomorfni funkciji f : D → C lahko priredimo divizor
(f) : D → Z in je (f)(z) stopnja nicle funkcije f v tocki z. Tak divizor
je pozitiven, saj je stopnja nicle vedno pozitivno stevilo. Vsaki mero-
morfni funkciji f na D lahko priredimo divizor (f), in sicer: Naj bo
f = hg
in definirajmo (f)(z) = (h)(z)− (g)(z). Divizorje meromorfnih
funkcij imenujemo glavni divizorji.
Weierstrassov izrek nam pove, da za vsak pozitiven divizor δ : D →C obstaja holomorfna funkcija f : D → C, tako da je (f) = δ. Prav
tako lahko za vsak divizor δ najdemo meromorfno funkcijo f na D, da
bo (f) = δ. Torej je vsak divizor na D glavni divizor.
28
3.6. Faktorizacija funkcije sinus
Po izreku 3.16 lahko vsako celo funkcijo f : C → C napisemo kot
produkt
f(z) = eg(z)zk∞∏n=1
Epn
(z
zn
),
kjer so zn 6= 0 nicle funkcije f , k stopnja nicle pri z = 0, stevila pn pa
primerno izbrana, da velja∞∑n=1
(r
rn
)1+pn
<∞, (15)
za vsak r > 0, kjer je rn = |zn| (izrek 3.15).
V tem razdelku si poglejmo faktorizacijo funkcije f(z) = sin(πz).
Funkcija sin(πz) ima nicle v tockah 0,±1,±2,±3, . . . . Ker velja
∞∑n=1
(1
n
)2
<∞,
lahko torej izberemo mn = 1 in dobimo
sin(πz) = z · eg(z) · E1
(z1
)· E1
(z
−1
)· E1
(z2
)· E1
(z
−2
)· · ·
Ker je E1(z) = (1− z)ez sledi
sin(πz) = z · eg(z) · (1− z)ez(1 + z)e−z(
1− z
2
)ez2
(1 +
z
2
)e−
z2 · · ·
= z · eg(z) · (1− z)(1 + z)(
1− z
2
)(1 +
z
2
)· · ·
= z · eg(z) · (1− z2)(
1− z2
22
)(1− z3
33
)· · · (16)
V nadaljevanju pokazimo, da mora dejansko veljati eg(z) = π. Tako
dobimo Eulerjev produkt funkcije sinus
sin(πz)
πz= (1− z2)
(1− z2
4
)(1− z3
9
)· · ·
Izpeljava tega produkta je dokaj elementarna in je bila znana precej
pred Weierstrassovim izrekom. (Celotna izpeljava Eulerjevega pro-
dukta povzeta iz vira [2] in [9]).
Za vsak z ∈ C definirajmo
In(z) =
∫ π2
0
cos(zx) cosn xdx. (17)
29
Integrirajmo integral In z metodo per-partes:
u = cosn x, dv = cos(zx)dx,
dobimo
du = −n cosn−1 x sinxdx, v =1
zsin(zx).
Ker je∫udv = uv −
∫vdu, sledi
In(z) =
(1
zcosn(x) sin(zx)
) ∣∣∣∣π20
+n
z
∫ π2
0
sin(zx) cosn−1 x sinxdx.
Enacbo mnozimo z z in dobimo
zIn(z) = n
∫ π2
0
sin(zx) cosn−1 x sinxdx.
Se enkrat bomo uporabili metodo per-partes:
u = cosn−1 x sinx, dv = sin(zx)dx
du = (cosn x− (n− 1) cosn−2 x(1− cos2 x))dx, v = −1
zcos(zx)
in dobimo rekurzivno relacijo
n(n− 1)In−2(z) = (n2 − z2)In(z). (18)
Ker za vsak n ≥ 0 velja In(0) > 0, sledi da za vsak n ≥ 2 velja enakost
In−2(z)
In−2(0)=
(n2 − z2)In(z)
n(n− 1)In(0).
Iz enakosti (18) sledi
In−2(0) =n2
n(n− 1)In(0),
zato je
In−2(z)
In−2(0)=
(1− z2
n2
)In(z)
In(0), n ≥ 2. (19)
Ce vstavimo n = 0 v enakost (17) dobimo
I0(0) =
∫ π2
0
dx =1
2π,
I0(z) =
∫ π2
0
cos(zx)dx =1
zsin
πz
2.
30
V tocki 2z za vsak n ≥ 1 veckrat uporabimo rekurzijo (19), od tod
sledi
I0(2z)
I0(0)=
sin(πz)
πz=
(1− z2
12
)(1− z2
22
)· · ·(
1− z2
n2
)I2n(2z)
I2n(0). (20)
Sedaj moramo se pokazati, da velja
limn→∞
In(z)
In(0)= 1.
|In(0)− In(z)| =∫ π
2
0
cosn xdx−∫ π
2
0
cos(zx) cosn xdx
=
∫ π2
0
(1− cos(zx)) cosn xdx =
∫ π2
0
2 sin2 zx
2cosn xdx
≤∫ π
2
0
1
2|zx|2 cosn xdx =
1
2|z|2
∫ π2
0
x2 cosn xdx.
Velja x ≤ tanx za vsak x ∈ [0, π2], zato sledi
|In(0)− In(z)| ≤ 1
2|z|2
∫ π2
0
x2 cosn xdx
≤ 1
2|z|2
∫ π2
0
x cosn x tanxdx
=1
2|z|2
∫ π2
0
x cosn−1 x sinxdx
=1
2|z|2
((−xn
cosn x) ∣∣∣∣π2
0
+1
n
∫ π2
0
cosn xdx
)
=|z|2
2nI0(z).
Od tod sledi ∣∣∣∣In(0)− In(z)
In(0)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣1− In(z)
I0(z)
∣∣∣∣ ≤ |z|22n
n→∞−−−→ 0.
Ce torej upostevamo zgoraj dokazano limito, dobimo iz (20) naslednjo
enakost
I0(2z)
I0(0)=
sin(πz)
πz=
(1− z2
12
)(1− z2
22
)· · ·(
1− z2
n2
)· · ·
31
S tem smo pokazali, da za funkcijo eg(z) v enacbi (16) velja eg(z) = π.
Faktorizacija funkcije sinus s pomocjo Weierstrassovega izreka je torej
sin(πz) = zπ
(1− z2
12
)(1− z2
22
)· · ·
32
POGLAVJE 4
Mittag-Lefflerjev izrek
Celotno poglavje Mittag-Lefflerjevega izreka je povzeto iz virov [1]
in [7].
Vsebina Weierstrassovega izreka je, da za vsako obmocje D ⊂ C in
vsako zaporedje a1, a2, . . . v D brez stekalisc lahko skonstruiramo tako
holomorfno funkcijo v D, ki ima nicle vnaprej predpisanih stopenj na-
tanko v tockah tega zaporedja. Podobno se lahko vprasamo, ali obstaja
meromorfna (racionalna) funkcija na D, ki bo imela v tockah iz zapo-
redja predpisane pole, kar pomeni, da v teh tockah predpisemo (koncne)
glavne dele v Laurentovem razvoju. Bolj natancno, predpostavimo, da
zaporedje a1, a2, . . . vsebuje le med seboj razlicne si tocke in naj bo za
vsak k = 1, 2, . . .
qk(z) =
nk∑j=1
ck,j(z − ak)−j
predpisan glavni del. Ali obstaja meromorfna funkcija f na D, ki
ima singularnosti le v tockah ak, k = 1, 2, . . ., in ima funkcija f − qkodpravljivo singularnost v ak za vsak k?
V kolikor je zaporedje {ak} koncno, lahko tako meromorfno funkcijo
enostavno skonstruiramo kar kot
f(z) =∑k
qk(z).
Problem nastane, ko je teh tock neskoncno in moramo paziti na kon-
vergenco vrste. V tem primeru bo strategija naslednja. Poiskali bomo
holomorfne funkcije gk na D, tako da bo vrsta
f =∑k
(qk − gk)
enakomerno konvergentna po kompaktih naD\{a1, a2, . . .}. Tako bomo
dobili meromorfno funkcijo f na D z zeljenimi lastnostmi.
33
Primer 4.1. V prejsnjem poglavju smo videli, da velja
sin(πz) = zπ
(1− z2
12
)(1− z2
22
)· · ·
in zato
log sin(πz) = log zπ + log
(1− z2
12
)+ log
(1− z2
22
)+ · · · .
Ce enakost odvajamo, dobimo
π cot(πz) =1
z+
2z
z2 − 12+
2z
z2 − 22+ · · · ,
oziroma
π cot(πz) =1
z+∞∑k=1
(1
z − k+
1
z + k
).
Funkcija π cot(πz) je torej na nek nacin najbolj enostavna funkcija, ki
ima pole prve stopnje natanko v vseh celih stevilih.
Gosta Mittag-Leffler je bil svedski matematik, ki je se je ukvarjal s
teorijo funkcij. Bil je clan razlicnih kraljevih druzb in akademij. Svoje
znanje pa je podkrepil z vecimi doktorati, med drugim tudi na univerzi
v Oxfordu.
4.1. Mittag-Lefflerjev izrek v C
Pokazimo najprej Mittag-Lefflerjev izrek v C. Kot bomo videli, je
ta primer precej lazji kot primer splosnih obmocij. Dokaz izreka bomo
povzeli po [6].
Izrek 4.2. Naj bo a1, a2, . . . zaporedje brez stekalisc v C in brez
ponavljajocih se tock. Naj bo za vsak k = 1, 2, . . .
qk =
nk∑j=1
ck,j(z − ak)−j.
Potem obstaja meromorfna funkcija f na C, holomorfna na C\{a1, a2, . . .},tako da ima f za vsak k = 1, 2, . . . glavni del Laurentovega razvoja okrog
ak enak qk.
Dokaz. V kolikor je 0 ena izmed tock zaporedja {ak} predposta-
vimo, da je a1 = 0. Naj bo za k > 1 pk,m Taylorjev polinom stopnje
m razvoja funkcije qk okrog 0. Ker pk,m konvergirajo po kompaktih na
34
odprtem disku D(0, |ak|) proti qk, ko gre m proti neskoncno, obstaja
tak mk, da je
|pk,mk − qk| <1
2k
na D(0, |ak|/2). Naj bo sedaj K poljubna kompaktna mnozica v C in
naj bo R tak, da je K ⊂ D(0, R). Ker je zaporedje {ak} brez stekalisc
v C, obstaja tako stevilo N , da je |an| > 2R za vsak n ≥ N . Za vsak
z ∈ K zato velja∞∑k=N
|qk(z)− pk,mk(z)| <∞∑k=N
1
2k<∞.
Vrsta
q1 +∞∑k=1
(qk − pk,mk)
torej konvergira enakomerno po kompaktih na C\{a1, a2, . . .} proti ho-
lomorfni funkciji f , katere glavni deli Laurentovega razvoja okrog ak
so ravno qk. �
4.2. Rungejev izrek
Preden nadaljujemo z dokazom Mittag-Lefflerjevega izreka za splosna
obmocja, si poglejmo Rungejev izrek. Rungejev izrek bomo dokazali
za odprte mnozice v razsirjeni kompleksni ravnini C = C ∪ {∞}, zato
si najprej poglejmo nekaj lastnosti razsirjene kompleksne ravnine. Od-
prte mnozice v C so obicajne odprte mnozice v C, skupaj z odprtimi
mnozicami, ki vsebujejo tocko neskoncno. Odprte okolice tocke ∞ so
komplementi kompaktnih mnozic iz C, torej C\K, kjer je K ⊂ C kom-
paktna. Za funkcijo f , definirano v neki okolici tocke ∞ recemo, da
je holomorfna v ∞, ce je f(1/z) holomorfna v tocki 0. Tako lahko go-
vorimo o holomorfnih funkcijah na odprtih mnozicah v C. Preslikava
f : D → C je holomorfna, ce je holomorfna v vsaki tocki f−1(C) ⊂ D
in ima v vsaki tocki w ∈ C, za katero velja f(w) = ∞, preslikava
1/f(z) odpravljivo singularnost v w. S to terminologijo so holomorfne
preslikave v C ravno meromorfne funkcije, poli pa natanko tocke, ki se
slikajo v ∞.
Naj bo K kompaktna podmnozica v C in S podmnozica C \K, ki
vsebuje vsaj eno tocko v vsaki povezani komponenti mnozice C \ K.
Oznacimo z O(K) prostor zveznih funkcij na K, ki so zozitve funkcij,
35
holomorfnih na neki okolici K. Bolj natancno, f ∈ O(K), ce obstaja U
odprta okolica K in holomorfna funkcija f : U → C, da je f |K ≡ f . Naj
bo B(S) ⊂ O(K) podmnozica O(K), ki so limite racionalnih funkcij s
poli v mnozici S.
Izrek 4.3 (Rungejev izrek). Naj bo K kompaktna podmnozica v Cin S podmnozica C\K, ki vsebuje vsaj eno tocko v vsaki povezani kom-
ponenti mnozice C \ K. Potem velja O(K) = B(S). Torej za vsako
funkcijo f , ki je holomorfna na okolici K, obstaja zaporedje {rn}n∈N ra-
cionalnih funkcij s poli v S, ki enakomerno konvergirajo k f na mnozici
K.
Poglejmo si se poseben primer: Ko je mnozica C \ K povezana,
lahko vzamemo S = {∞} in dobimo naslednjo pomembno posledico
Rungejevega izreka.
Posledica 4.4. Naj bo K kompaktna podmnozica v C, tako da je
C\K povezana. Potem za vsako funkcijo f , ki je holomorfna na okolici
K in za vsak ε > 0, obstaja polinom p(z), da je |f(z) − p(z)| < ε za
vsak z ∈ K.
Dokaz Rungejevega izreka temelji na naslednjih dveh lemah.
Lema 4.5. Naj bo K kompaktna podmnozica odprte mnozice D ⊂ C.
Ce je funkcija f holomorfna na D, potem je f na K enakomerna limita
racionalnih funkcij na C, katerih poli so vsebovani v D \K.
Dokaz. Naj bo D odprta mnozica in K ⊂ D. Po izreku 2.4 obstaja
pot γ ∈ D \ K, tako da za vsako holomorfno funkcijo na D in vsak
z ∈ K velja
f(z) =1
2πi
∫γ
f(w)
w − zdw.
Naj bo ε > 0. Oznacimo z γ∗ tir poti γ in naj velja δ = d(γ∗, K) > 0,
saj sta γ∗ in K disjunktni kompaktni mnozici. Naj bo γ definirana na
intervalu [0, 1] in s, t ∈ [0, 1], z ∈ K. Potem velja
36
∣∣∣∣ f(γ(t))
γ(t)− z− f(γ(s))
γ(s)− z
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣f(γ(t))(γ(s)− z)− f(γ(s))(γ(t)− z)
(γ(t)− z)(γ(s)− z)
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣f(γ(t))γ(s)− f(γ(t))z − f(γ(s))γ(t) + f(γ(s))z−(γ(t)− z)(γ(s)− z)
−f(γ(s))z − f(γ(t))γ(t) + γ(t)f(γ(t))
(γ(t)− z)(γ(s)− z)
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣f(γ(t))(γ(s)− γ(t)) + γ(t)(f(γ(t))− f(γ(s)))−(γ(t)− z)(γ(s)− z)
−z(f(γ(t))− f(γ(s)))
(γ(t)− z)(γ(s)− z)
∣∣∣∣ ≤≤ 1
δ2(|f(γ(t))||γ(s)− γ(t)|+ |γ(t)||f(γ(t))− f(γ(s))|
−|z||f(γ(t))− f(γ(s))|). (21)
Ker sta γ in f(γ) omejeni funkciji in je mnozica K kompaktna,
obstaja konstanta C > 0 tako da je za s, t ∈ [0, 1] in z ∈ K izraz (21)
manjsi ali enak
C
δ2(|γ(s)− γ(t)|+ |f(γ(t))− f(γ(s))|).
Ker sta funkciji γ in f(γ) enakomerno zvezni na intervalu [0, 1], obstaja
particija 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1, tako da za t ∈ [tj−1, tj] in z ∈ Kvelja ∣∣∣∣ f(γ(t))
γ(t)− z− f(γ(tj))
γ(tj)− z
∣∣∣∣ < ε.
Definirajmo funkcijo
R(z) =n∑j=1
f(γ(tj))
γ(tj)− z(γ(tj)− γ(tj−1)), z 6= γ(tj).
Funkcija R(z) je racionalna funkcija s poli iz mnozice {γ(t1), . . . , γ(tn)}in velja {γ(t1), . . . , γ(tn)} ⊂ D \K. Za vse z ∈ K velja
|2πif(z)−R(z)| =
∣∣∣∣∣∫γ
f(w)
w − zdw −
n∑j=1
f(γ(tj))
γ(tj)− z(γ(tj)− γ(tj−1))
∣∣∣∣∣ =
= |n∑j=1
∫ tj
tj−1
(f(γ(t))
γ(t)− z− f(γ(tj))
γ(tj)− z)γ′(t)dt| ≤
≤ ε
∫ 1
0
|γ′(t)|dt = ε · (dolzina od γ).
37
Ker je dolzina od γ neodvisna od ε je lema dokazana. �
Lema 4.6. Naj bo K kompaktna podmnozica v C in λ ∈ C \ K,
potem je 1z−λ ∈ B(S), kjer je S podmnozica C \K, ki vsebuje vsaj eno
tocko v vsaki povezani komponenti mnozice C \K.
Dokaz. Naj bo ∞ ∈ S, potem za nek dovolj velik |λ0| iz neome-
jene komponente C \ K, Taylorjeva vrsta za (z − λ0)−1 enakomerno
konvergira na K. Torej (z − λ0)−1 ∈ B(S) in velja
B((S \ {∞}) ∪ {λ0}) ⊆ B(S).
Ce velja f ∈ B((S \ {∞}) ∪ {λ0}) in je r racionalna funkcija s poli v
(S \{∞})∪{λ0}), ki aproksimira funkcijo f , potem pisemo r = r1 +r0,
kjer so vsi poli funkcije r1 iz S \{∞}, pol funkcije r0 pa v tocki λ0. Ker
polinom p0 aproksimira funkcijo r0, sledi, da je aproksimacija funkcije
f kar funkcija r1 + p0 s poli v S, torej je f ∈ B(S). Torej lahko lemo
pokazemo le za mnozice S ⊆ C. Naj bo G = C \K in
H = {λ ∈ G : (z − λ)−1 ∈ B(S)}.
Preden nadaljujemo, se spomnimo, da je S ⊆ G in zato S ⊆ H ⊆ G.
Sedaj moramo pokazati, da je H odprta mnozica. Naj bosta λ ∈ H
in α tak, da velja 0 < |λ − α| < d(λ,K). Potem je α ∈ C \ K in za
poljuben z ∈ K velja
1
z − α=
1
(z − λ)[1− α−λz−λ ]
.
Ker je (z − λ)−1 ∈ B(S) sledi (z − α)−1 ∈ B(S). Zato α ∈ H in je
mnozica H odprta.
V naslednjem koraku bomo pokazali, da velja ∂H ∩ G = ∅. Naj bo
x ∈ ∂H in {λn} zaporedje v mnozici H, kjer za clene tega zaporedja
velja λn → x. Kot smo videli, velja x ∈ H, ce je |λn − x| < d(λn, K),
zato sedaj obravnavajmo se primer, ko velja |λn−x| ≥ d(λn, K) za vse
n. Ce je |λn − x| → 0, potem je razdalja med x in K zagotovo enaka
0, kar pomeni, da je x ∈ K. Torej velja x 6∈ G, s cimer smo dokazali,
da velja ∂H ∩G = ∅.Naj bo U poljubna komponenta mnozice G. Po definiciji mnozice S
obstaja s ∈ S za katerega velja s ∈ U . Potem velja tudi s ∈ H, saj
38
je S ⊆ H, zato je U ∩H 6= ∅, kar pomeni da je U ⊆ H. Ker je vsaka
komponenta mnozice G podmnozica mnozice H, sledi G ⊆ H. Vemo
pa tudi, da je H ⊆ G, zato morata biti mnozici med seboj enaki, kar
pomeni G = H. Dokaz je s tem koncan.
�
4.3. Mittag-Lefflerjev izrek za splosna obmocja
Preden dokazemo Mittag-Lefflerjev izrek za splosna obmocja v C,
si brez dokaza poglejmo naslednjo tehnicno lemo.
Lema 4.7. Naj bo D odprta mnozica v C in naj bodo za n = 1, 2, . . .
mnozice
Kn = D(0, n) ∩ {z : |z − w| ≥ 1
nza vse w ∈ C \D}.
Za mnozice {Kn} veljajo naslednje lastnosti:
• Kn je kompaktna,
• Kn ⊆ K0n+1 (notranjost od Kn+1),
• Ce je K ⊆ D kompaktna, potem je K ⊆ Kn za nek dovolj velik
n.
Izrek 4.8 (Mittag-Lefflerjev izrek). Naj bo D odprta podmnozica
v C in {an} poljubno zaporedje brez ponavljajocih tock v D in brez
stekalisc v D. Naj bo za vsak k = 1, 2, . . .
qk(z) =cj,1
z − ak+
cj,2(z − ak)2
+ · · ·+ cj,nk(z − ak)nj
.
Potem obstaja meromorfna funkcija f na D, tako da ima funkcija f
pole natanko v tockah aj in je glavni del Laurentovega razvoja funkcije
f v tockah ak enak qk.
Dokaz. Naj bo {Kn} zaporedje kompaktnih mnozic iz zgornje
leme. Velja Kn ⊆ K0n+1 in
⋃Kn = D. Velja tudi, da ce neka povezana
komponenta C \ D seka neko povezano komponento mnozice C \ Kn,
potem je cela vsebovana v njej. Naj bo K0 = ∅, in za n = 1, 2, . . .
definirajmo mnozice
Jn = {k ∈ N : ak ∈ Kn \Kn−1}.39
Mnozice Jn so paroma disjunktne, vsaka Jn je koncna mnozica in⋃Jn = N. Za vsak n definirajmo Qn kot
Qn(z) =∑k∈Jn
qk(z),
kjer je Qn ≡ 0, kadar je Jn prazna. Funkcija Qn je racionalna funkcija
s poli v Kn\Kn−1. Prav tako je Qn holomorfna v okolici mnozice Kn−1.
Ce sedaj upostevamo Rungejev izrek, kjer vzamemo S = C \D, potem
obstaja racionalna funkcija Rn s poli v C \D, za katero velja
|Qn(z)−Rn(z)| ≤ 1
2n, z ∈ Kn−1.
Za vsak fiksen m ≥ 1 vrsta∑∞
n=m+1(Qn −Rn) konvergira enakomerno
na Km proti funkciji, ki je holomorfna na Km−1 ⊆ K0m. Definirajmo
torej funkcijo f : D → C
f(z) = Q1(z) +∞∑n=2
(Qn(z)−Rn(z)).
Za vsak fiksenm je funkcija f vsota racionalne funkcijeQ1+∑m
n=2(Qn−Rn) in vsote
∑∞n=m+1(Qn − Rn), ki je holomorfna na K0
m. Zato je
funkcija f meromorfna na D in holomorfna na D \ {a1, a2, . . .}. Iz
konstukcije vidimo, da ima funkcija f pol v tocki ak s pripadajocim
glavnim delom qk. �
4.4. Posledice Mittag-Lefflerjevega izreka
Naj bo g analiticna funkcija in naj ima v g niclo reda m ≥ 1 v
b. Naj bodo c1, c2, . . . , cm dana kompleksna stevila in R racionalna
funkcija oblike
R(z) =c1
z − b+ · · ·+ cm
(z − b)m.
Potem ima produkt gR odpravljivo singularnost v b. Torej obstajajo
taka kompleksna stevila a0, a1, a2, . . . , da v okolici b velja
g(z)R(z) = a0 + a1(z − b) + · · ·+ am−1(z − b)m−1 + · · · .
Ce zapisemo Taylorjev razvoj funkcije g
g(z) = b0(z − b)m + b1(z − b)m+1 + · · ·+ bm−1(z − b)2m−1 + · · · ,40
potem lahko enacimo koeficiente:
a0 = b0cm
a1 = b0cm−1 + b1cm...
am−1 = b0c1 + b1c2 + · · ·+ bm−1cm.
Torej, ce imamo podane c1, c2, . . . , cm, potem lahko iz zgornjih enacb
izracunamo koeficiente a0, a1, . . . , am−1. V primeru, da je podana funk-
cija g in kompleksna stevila a0, a1, . . . , am−1, potem pod pogojem da je
b0 6= 0, lahko zaporedoma izracunamo tudi cm, cm−1, . . . , c1.
V nadaljevanju bomo pokazali, da lahko poleg konstruiranja ana-
liticne funkcije s predpisanimi niclami in njihovimi pripadajocimi sto-
pnjami predpisemo tudi koncno mnogo njenih odvodov v vsaki tocki
izbrane mnozice.
Izrek 4.9. Naj bo D odprta podmnozica v C in B = {bj : j ∈ J}podmnozica v D brez stekalisc v D. Naj bo za vsak j ∈ J izbrano ne-
negativno celo stevilo nj in kompleksna stevila a0j, a1j, . . . , anj. Potem
obstaja holomorfna funkcija f na D, tako da za vsak j ∈ J velja
f (k)(bj)
k!= akj; 0 ≤ k ≤ nj.
Dokaz. Po izreku 3.17 obstaja funkcija g, holomorfna na D, katerih
nicle so natanko v tockah iz B in so stopnje teh nicel enake nj + 1. Za
vsak j ∈ J lahko predpisemo funcijo
Fj(z) =
nj+1∑k=1
ckj(z − bj)k
,
za katero ima produkt gFj naslednjo razsiritev
g(z)Fj(z) = a0j + a1j(z − bj) + · · ·+ anjj(z − bj)nj + · · ·
v okolici tocke bj. Koeficiente ckj dobimo iz argumenta v zacetku
razdelka. Po Mittag-Lefflerjevem izreku pa sedaj dobimo meromorfno
funkcijo h na D, katere glavni deli v bj so natanko funkcije Fj in za
katero ima za vsak j funkcija
h−nj+1∑k=1
ckj(z − bj)k
41
odpravljivo singularnost v bj. Ce pa je f = gh vidimo, da je ta
razsiritev prav iskana funkcija s potrebnimi lastnostmi.
�
42
POGLAVJE 5
Sklep
Holomorfne funkcije so precej bolj rigidni objekti kot so odvedljive
realne funkcije v realni analizi. Medtem, ko je pogosto zelo preprosto
konstruirati realne funkcije z vnaprej danimi lastnostmi, je to precej
tezje izvedljivo pri holomorfnih funkcijah. V magistrskem delu smo
predstavili Weierstrassov in Mittag-Lefflerjev izrek, ki nam omogocata
konstrukcijo holomorfnih funkcij z vnaprej predpisanimi niclami ozi-
roma poli. Pri konstrukciji je zelo pomembno dobro razumevanje ne-
skoncnega produkta. Neskoncni produkt se za razliko od neskoncnih
vsot obicajno ne obravnava v casu studija.
Magistrsko delo je povsem teoreticne narave, v poglavjih je zajetih
veliko izrekov, definicij in razlag, s katerimi se srecamo med studijem
in prebiranjem tekstov s podrocja kompleksne in tudi splosne mate-
maticne analize. Nas cilj je bil, da pripravimo magistrsko delo, ki bo
pripravljeno v taki obliki, da lahko sluzi tudi kot dodatna pomoc in vir
studentom, ki bi svoje znanje na tem podrocju radi poglobili. Kot smo
ze omenili, je literature za podrocje kompleksne analize na razpolago
precej manj v primerjavi z drugimi podrocji matematike. Zato pred-
stavlja taksna tema za nas se vecji izziv, da pripravimo bralcu korekten
in razumljiv zapis.
Matematika je obsezna veda in ponuja se veliko neraziskanih dej-
stev. Vsak lahko najde podrocje zase in mu posveti svoje raziskova-
nje na svoj nacin, zato lahko recemo, da je matematika je neke vrste
umetnost, s cimer se je v eni izmed svojih izjav strinjal tudi Gosta
Mittag-Leffler: ”Najboljse delo matematika je umetnina, visoka po-
polna umetnost, drzna kot najbolj tihe sanje domisljije, popolnoma
jasna. Matematicni in umetniski genij se v neki tocki dotikata. [5]”
43
Literatura
[1] Ash, R.B. (2004). Factorization of Analytic Functions. Dostopno na spletnem
naslovu http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV6.pdf
[2] Bohinc, S. (2014). Neskoncne vrste in neskoncni produkti. Diplomsko delo.
Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoska fakulteta. Dostopno na spletnem
naslovu http://pefprints.pef.uni-lj.si/2565/1/Diploma.pdf
[3] Globevnik, J. (2010). Analiza II. Dostopno na spletnem naslovu http://www.
fmf.uni-lj.si/~globevnik/skriptaII.pdf
[4] Hren, N. (2013). Integrali racionalnih funkcij. Diplomsko delo. Ljubljana: Uni-
verza v Ljubljani, Pedagoska fakulteta.
[5] Citati Gosta Mittag-Lefflerja. Dostopno na spletnem naslovu http://
www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Quotations/Mittag-Leffler.html
[6] Remmert, R. (1998). Classical Topics in Complex Function Theory. Berlin:
Springer-Verlag.
[7] Rudin, W. (1987). Real and Complex Analysis. Third Edi-
tion. Singapore: McGraw-Hill. Dostopno na spletnem na-
slovu http://ruangbacafmipa.staff.ub.ac.id/files/2012/02/
Real-and-Complex-Analysis-by-Walter-Rudin.pdf
[8] Slapar, M. (2012). Osnove kompleksne analize. Ljubljana, Pedagoska fakulteta.
Dostopno na spletnem naslovu http://hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma/
KompleksnaAnaliza.pdf
[9] Venkatachaliengar, K., Elementary Proofs of the Infinite Product for Sin Z
and Allied Formulae, The American Mathematical Monthly, Vol. 69, No. 6
(Jun.–Jul., 1962), pp. 541–545.
[10] Vidav, I. (1987). Visja matematika I, deveta nespremenjena izdaja. Ljubljana:
Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, str. 382 - 386.
[11] Zapiski s predavanj. Kompleksna analiza (nosilec predmeta: Franc
Forstneric). Fakulteta za matematiko in fiziko, 2012/2013. Dostopno
na spletnem naslovuhttp://ucilnica1213.fmf.uni-lj.si/mod/resource/
view.php?id=6880
45
