Embed Size (px)
Citation preview
Folder voor leerlingen in klas
3 vwo
WELKE WISKUNDE MOET IK KIEZEN VOOR HET EXAMEN -PROGRAMMA 2015?
WELK PROFIEL EN WELKE WISKUNDE KIES JIJ?
Bij wiskunde A gaat het om onder
werpen die je later misschien weer nodig
hebt bij een vervolgopleiding. Bij studies
zoals psychologie en pedagogiek krijg je
veel te maken met statistiek. In wiskunde
A zit daarom een flink stuk statistiek
en kansrekening. Ook moet je met
functies en grafieken kunnen werken. Bij
economische studies is wiskunde ook
belangrijk. Bij die studie krijg je ook
differentiëren. Je moet dan kunnen
bepalen hoe steil een grafiek loopt. Het
onderdeel meetkunde zit niet in wiskunde
A. Als je verder wilt studeren in de
richting van “Gedrag en Maatschappij” of
“Economie” is wiskunde A onmisbaar.
Let op: bij sommige economische studies
op de universiteit moet je wiskunde B
hebben. Als wiskunde je goed af gaat
en je wilt economie studeren op de
universiteit, dan heeft wiskunde B de
voorkeur boven wiskunde A.
Wiskunde C is alleen bestemd voor
leerlingen met het profiel CM. Die gaan
over het algemeen geen sterk wiskundige
studies doen. Wiskunde C komt deels
overeen met wiskunde A. Er zit wel
statistiek en kansrekening in en ook
functies en grafieken. Logisch redeneren
speelt een grote rol, maar ook een deel
van ruimtemeetkunde zit in wiskunde C.
Met wiskunde C in je bagage kun je dus
de kant van “Gedrag en Maatschappij”
op. Voor de richting “Economie” kun
je beter wiskunde A of B kiezen. Bij
sommige studies komt op het eerste
gezicht geen wiskunde aan de orde.
Denk maar aan rechten, daar gebruik
je het onderdeel logisch redeneren
Er zijn vier soorten wiskunde, waarvan er
drie als verplicht profielvak in aanmerking
komen. In de onderstaande tabel is te
zien welke mogelijkheden er zijn:
PROFIEL WELKE WISKUNDE?
CM C, A* of B*
EM A of B*
NG A of B*
NT B
*Informeer of deze keuze ook wordt aangeboden.De school is niet verplicht om deze keuzes aan te bieden.
WELKE WISKUNDE MOET IK KIEZEN?Dit jaar moet je kiezen welke wiskunde je wilt gaan volgen in de
bovenbouw. Hieronder kun je lezen wat wiskunde A, B, C en D inhouden.
Wiskunde is een verplicht vak in de bovenbouw vwo en is altijd één
van je vier profielvakken.
weer. Maar bij een aantal onderdelen
die op economisch of fiscaal terrein
(belastingwetten) terrein liggen, is inzicht
in getallen en grafieken toch wel erg
handig. Daarom krijgen ook CMleerlingen
op het vwo verplicht wiskunde.
Bij wiskunde B krijg je onderwerpen
die belangrijk zijn voor opleidingen
in de exacte hoek, bijvoorbeeld aan
een technische universiteit. Ook voor
universitaire studies zoals natuur kunde
en scheikunde is wiskunde B verplicht.
Daar zitten onderwerpen in zoals functies,
differentiëren en integreren, dat heb je
nodig als je oppervlaktes wilt uitrekenen.
Maar ook meetkunde en goniometrische
functies, daar krijg je te maken met de
termen sinus, cosinus en tangens. Deze
komen van pas als je moet rekenen
aan golven en trillingen. Wiskunde B is
abstracter dan wiskunde A en de meeste
leerlingen vinden wiskunde B moeilijker
dan wiskunde A.
Een school mag zelf beslissen of ze
Wiskunde D aanbieden. Ga dus eerst
na of dat op jouw school het geval is. Je
mag wiskunde D als profielvak (alleen
bij NT!) of als vak in het vrije deel kiezen
als je ook wiskunde B hebt gekozen. Je
volgt dan dus twee wiskundevakken,
namelijk B en D. Wiskunde D biedt vooral
een verbreding van wiskunde B. Hierdoor
krijg je te maken met onderwerpen als
kansrekening, statistiek, analytische
meetkunde, dynamische modellen,
lineaire algebra en complexe getallen.
Wiskunde D is over het algemeen niet
moeilijker dan wiskunde B. Bij veel
vervolgstudies aan universiteiten en
hogescholen krijg je te maken met
onderwerpen uit wiskunde D.
Als je kiest voor wiskunde D is het
belangrijk dat je wiskunde leuk vindt
en dat je er veel tijd in wilt stoppen. De
studielast voor wiskunde B is 600 uur en
voor wiskunde D 440 uur. Als je kiest voor
wiskunde D krijg je in totaal meer dan
1000 uur wiskunde in vwo 4, 5 en 6.
Vraag je wiskundeleraar om
advies bij je keuze.
NU IN 3 VWO, STRAKS IN DE BOVENBOUW
Om je een idee te geven van de
verschillen tussen wiskunde A en
wiskunde B staat hier een overzicht.
Er staan onderwerpen uit je derde
klas boek die typisch bij wiskunde
A/C horen, of juist bij wiskunde B.
OVERZICHT
9E EDITIE
WISKUNDE A/C IN GETAL & RUIMTE
DEEL 3 VWO 1
blz 22, 24
De opgaven 36 en 41.
blz 112
Tweedegraadsvergelijkingen mag je bij
wiskunde A/C vaak oplossen met de
grafische rekenmachine. Bij wiskunde B
moet je ze handmatig oplossen.
hoofdstuk 4
Bij wiskunde A/C wordt dieper ingegaan
op procenten en diagrammen.
WISKUNDE A/C IN GETAL & RUIMTE
DEEL 3 VWO 2
hoofdstuk 9
Bij wiskunde A/C wordt dieper ingegaan
op statistiek en krijg je met allerlei
telproblemen te maken.
WISKUNDE B IN GETAL & RUIMTE
DEEL 3 VWO 1
blz 30
De opgaven 59, 60 en 61.
blz 50 t/m 62
Meetkundige figuren kom je alleen bij
wiskunde B tegen.
blz 109,110
De opgaven 47 tot en met 52.
blz 112
Tweedegraadsvergelijkingen moet je bij
wiskunde B handmatig oplossen.
hoofdstuk 5
Bij wiskunde B wordt dieper ingegaan op
algebraïsche vaardigheden.
WISKUNDE B IN GETAL & RUIMTE
DEEL 3 VWO 2
blz 60
Het omgaan met parameters komt bij
wiskunde B regelmatig terug.
blz 70, 71
De opgaven 61 t/m 67.
hoofdstuk 6
Bij wiskunde B wordt dieper ingegaan op
sinus, cosinus en tangens en zullen ook
functies met sinus of cosinus onderzocht
worden.
10E EDITIE
WISKUNDE A/C IN GETAL & RUIMTE
DEEL 3 VWO 1
blz 16, 17
De opgaven 18 en 20.
hoofdstuk 4
Bij wiskunde A/C wordt dieper ingegaan
op procenten en diagrammen.
blz 190 t/m 193
Kwadratische vergelijkingen mag je bij
wiskunde A/C vaak met de grafische
rekenmachine oplossen. Bij wiskunde B
moet je ze handmatig kunnen oplossen.
blz 204, 206
De opgaven 47 en 53.
WISKUNDE A/C IN GETAL & RUIMTE
DEEL 3 VWO 2
blz 67, 75
De opgaven 32 en 55.
blz 100 t/m 109
Het onderwerp groei is een belangrijk
onderwerp bij wiskunde A.
blz 120
De opgave 46.
hoofdstuk 9
Bij wiskunde A/C wordt dieper ingegaan
op statistiek en krijg je met allerlei
telproblemen te maken.
WISKUNDE B IN GETAL & RUIMTE
DEEL 3 VWO 1
blz 22
De opgaven 38 t/m 40.
blz 50 t/m 79
Meetkundige figuren kom je alleen bij
wiskunde B tegen.
blz 186 t/m 189
Bij wiskunde B wordt dieper ingegaan op
algebraïsche vaardigheden.
blz 190 t/m 193
Kwadratische vergelijkingen moet je bij
wiskunde B handmatig kunnen oplossen.
blz 196
De opgaven 26 en 27.
blz 209
De opgaven 59 t/m 61.
WISKUNDE B IN GETAL & RUIMTE
DEEL 3 VWO 2
hoofdstuk 6
Bij wiskunde B wordt dieper ingegaan op
sinus, cosinus en tangens en zullen ook
functies met sinus of cosinus onderzocht
worden.
blz 76 t/m 80
Het omgaan met parameters komt bij
wiskunde B regelmatig terug.
blz 121
De opgaven 50 t/m 52.
VOORBEELDOPGAVEVWO A/C
© Noordhoff Uitgevers bv Getallen en variabelen 43
1
58 a In China zijn er per 12 vrouwen 13 mannen. Het totaal aantal inwoners is 1,36 miljard.
Hoeveel mannen telt China meer dan vrouwen?b In Qatar wonen 24 vrouwen per 100 mannen. Qatar heeft een
populatie van 2,05 miljoen inwoners. Hoeveel mannen wonen er in Qatar?
Een rivier splitst zich in drie takken, zie fi guur 1.2. Bij een aanvoer van minder dan 2400 m3/s verhouden de afvoeren in de takken I, II en III zich als 3 : 4 : 5.a Bereken de afvoeren in I, II en III als er 2340 m3/s
wordt aangevoerd. De afvoer in tak II mag niet meer zijn dan 800 m3/s. Als deze afvoer meer dreigt te worden, dan zorgt de stuw in II ervoor dat de afvoer daar 800 m3/s is. De afvoeren in I en III verhouden zich dan als 3 : 5.b Bereken de afvoeren in I, II en III als er 3000 m3/s
wordt aangevoerd.c Bereken de aanvoer als de afvoer via tak III 1500 m3/s is.
58
59A
Informatief Stuw in rivier
Stuwen worden in rivieren aangelegd om waterstromen te sturen. Er zijn vaste stuwen en er zijn regelbare stuwen.Ze worden gebruikt om het water in hoger gelegen gebieden vast te houden of juist om te voorkomen dat lager gelegen gebieden overstromen. Verder wordt met stuwen gegarandeerd dat de scheepvaart een minimale waterstand heeft. In Nederland worden stuwen ook gebruikt om water uit de Rijn via de IJssel naar het IJsselmeer te voeren.
In een land heeft het parlement 150 zetels. Er zijn 5 politieke partijen, die we van groot naar klein A, B, C, D en E noemen. Bij verkiezingen voor het parlement stemmen de mensen in de verhouding a : b : c : d : e op deze partijen.a Neem aan dat de verhouding 5 : 4 : 3 : 2 : 1 is. Licht toe dat er dan twee mogelijkheden zijn om een
meerderheid te vormen met twee partijen. Welke mogelijkheden zijn dat en hoeveel zetels heeft zo’n
coalitie?b Laat zien dat er geen meerderheid van twee partijen te vormen
is als de verhouding 10 : 9 : 8 : 7 : 6 is. c Onderzoek wat de verhouding a : b : c : d : e is als er steeds
5 zetels zitten tussen twee in grootte opeenvolgende partijen. d Bedenk een verhouding a : b : c : d : e zo, dat de partijen A en
E samen wel een meerderheid hebben maar de partijen B, C en D niet.
60A
fi guur 1.2
01_G&R_256133_H01.indd 43 9/24/14 6:40 PM© Noordhoff Uitgevers bv92 Hoofdstuk 2
2
77 In fi guur 2.20 zie je een gedeelte van de
plattegrond van een badplaats.
Op hoeveel manieren kun je zonder omwegen
a van S naar T lopen
b van S naar U lopen
c van S naar het strand lopen
d van S via Y naar het strand lopen?
78 Bij agility, een hondensport die afkomstig is uit Engeland,
gaat het om de behendigheid van de honden en de
samenwerking met het baasje. Wedstrijdleider Boom zet een
parkoers uit dat bestaat uit drie verschillende hoogtetoestellen,
vier verschillende raakvlaktoestellen, twee verschillende
doorgangen en één slalomtoestel. Met nummers geeft hij aan
in welke volgorde de toestellen moeten worden afgewerkt.
a Hoeveel parkoersen kan Boom uitzetten?
b Hoeveel parkoersen zijn mogelijk als de vier
raakvlaktoestellen direct achter elkaar staan?
c Hoeveel parkoersen zijn mogelijk als het parkoers begint
met het slalomtoestel en de rest per soort bij elkaar staat?
79 Tijdens een ckv-les kleuren de leerlingen de
vlakverdeling hiernaast. Van de tien rechthoeken moeten
er vier gekleurd worden met rood, geel, blauw en paars.
Elke kleur moet één keer gebruikt worden. De andere
rechthoeken blijven wit. Zo ontstaat een Mondriaan-
compositie.
Hoeveel composities zijn mogelijk?
80 Smartphones en tablets kunnen vergrendeld worden
tegen oneigenlijk gebruik door derden. Daarvoor zijn
verschillende methoden. Eva beveiligt haar smartphone
met een 4-cijferige pincode.
a Hoeveel mogelijke pincodes zijn er?
Eva ontgrendelt vaak haar smartphone en zet hem direct
daarna weer op stand-by. Op de foto hiernaast zie je de
telefoon van Eva waarop zij net haar pincode heeft
ingevoerd. Er zijn duidelijk vier vingerafdrukken
zichtbaar.
b Hoeveel pincodes zijn er mogelijk?
c Volgens Luuk is het voor Eva beter om slechts drie
verschillende cijfers te gebruiken in haar pincode,
want bij drie vingerafdrukken zijn er meer pincodes
mogelijk.
Laat met een berekening zien dat Luuk gelijk heeft.
77
fi guur 2.20
78
79
80
02_G&R_256133_H02.indd 92 9/24/14 7:10 PM
VOORBEELDOPGAVEVWO B
© Noordhoff Uitgevers bv36 Hoofdstuk 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Voorbeeld
Gegeven zijn de functies fp(x) = 14 x 2 + px − 5.
Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafi eken van fp liggen.
Uitwerking
xtop = −b
2a= −
p2 ? 1
4
= −p12
= − 2p, dus p = − 12 xtop.
ytop = 14 xtop
2 + pxtop − 5
p = −12 xtop
Dus de formule van de kromme is y = − 14 x 2 − 5.
61 Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafi eken van fp liggen.
a fp(x) = − 18 x 2 + px − 6 c fp(x) = p 2x 2 − 2px + 3
b fp(x) = px 2 + 6x + p d fp(x) = px 2 − px + 1
Gegeven zijn de functies fp(x) = −x2 + px + 2p.Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafi eken van fp liggen.
Informatief Parameters met GeoGebra
De tekening hiernaast is gemaakt met het programma GeoGebra. In het digitale boek staat een link naar een filmpje waarin je kunt zien hoe dat is gedaan.
f ytop = 14 xtop
2 + −12 xtop ? xtop− 5
ytop = 14 xtop
2 − 12 x 2
top −5
ytop = − 14 xtop
2 − 5
61
62A
01_G&R_255669_H01.indd 36 8/12/14 4:22 PM
© Noordhoff Uitgevers bv150 Hoofdstuk 4
4
19 In fi guur 4.28 is het punt A het gemeenschappelijke raakpunt van de cirkels met middelpunt M en middelpunt N. De gemeenschappelijke raaklijn is l.Bewijs dat MN ⊥ l.
20 Vanuit het punt A zijn de raaklijnen k en l aan de cirkel met middelpunt M getekend. De raakpunten zijn P en Q. Zie fi guur 4.29.Gebruik de stelling van Pythagoras om te bewijzen dat AP = AQ.
21 Op de cirkel met middelpunt M, straal 3 en middellijn AB liggen de punten C en D zo, dat AC = 3 en AD = 4. Zie fi guur 4.30.a Bereken BC en BD.b Onderzoek met een berekening of het punt B op de
cirkel ligt waarvan CD middellijn is.
6 Gegeven is de cirkel c1 met middelpunt M en straal 3 en de cirkel c2 met middelpunt N en straal 5.De lijn k raakt c1 in A en c2 in B. Het gemeenschappelijke raakpunt van c1 en c2 is P en de gemeenschappelijke raaklijn in P is l.De lijnen k en l snijden elkaar in Q. Zie fi guur 4.31.Bereken PQ.
D 23 Luuk maakt van drie halve boomstammen een bankje als in fi guur 4.32. De diameter van de boomstammen aan de onderkant is 2 dm, de diameter van de bovenste stam is 4 dm.Bereken de hoogte van het bankje in mm nauwkeurig.
19
M
N
l
A
fi guur 4.28
20
M
k
P
Q
A
l
fi guur 4.29
21
A BM
C
D
3
4
3
fi guur 4.30
22A
c1
c2
M A
Ql
B
P
k
N
fi guur 4.31
D 23
fi guur 4.32
Book 1.indb 150 8/12/14 4:17 PM
VOORBEELDOPGAVEVWO D
© Noordhoff Uitgevers bv86 Hoofdstuk 2
2
4
R 76 Floris gebruikt de formule S =u0
1 − r om
3 + 6 + 12 + 24 + 48 + ... te berekenen.Geef commentaar.
77 Een heimachine slaat een betonnen paal in de grond.Bij de eerste klap gaat de paal 200 cm de grond in. Bij elke volgende klap gaat de paal 20% minder ver de grond in dan bij de voorgaande klap.Hoe ver kan de heimachine de paal maximaal de grond in slaan?
A 78 Peter laat een bal vallen van 135 cm hoogte. De bal komt bij het stuiteren telkens terug tot 70% van de vorige hoogte.Hoeveel cm heeft de bal in totaal afgelegd als hij is uitgestuiterd?
A 79 Bungeejumpen is een sport voor waaghalzen. Je springt van een brug af aan een lang elastiek. Juist voordat je het wateroppervlak bereikt, is het elastiek maximaal uitgerekt, waarna je weer terugveert. Vervolgens val je weer naar beneden, enzovoort.Ga ervan uit dat het elastiek bij de eerste val 40 meter uitrekt. Neem verder aan dat je bij het terugveren telkens een afstand van 40% van de vorige val overbrugt en dat je bij het opnieuw vallen 75% van de zojuist teruggeveerde afstand overbrugt.Bereken hoeveel meter de bungeejumper in totaal afl egt.
A 80 Gegeven is de stapel van 8 kubussen in fi guur 2.8. De ribbe van de onderste kubus is 6 cm. Vier hoekpunten van de tweede kubus vallen samen met de middens van de onderste kubus. Enzovoort.De ribben van de opeenvolgende kubussen vormen een meetkundige rij.a Bereken in mm nauwkeurig de hoogte van de stapel in de fi guur.
Hoe ver je ook doorgaat met stapelen, de hoogte van de gehele stapel komt niet boven een grenswaarde.b Bereken deze grenswaarde in mm nauwkeurig.c De totale inhoud van de stapel kubussen heeft ook een
grenswaarde. Bereken deze grenswaarde in mm3 nauwkeurig.
6 cm
fi guur 2.8
02_G&R_255658_H02.indd 86 9/23/14 12:32 PM
© Noordhoff Uitgevers bv Matrices 173
1
4
39 Onderzoek of de matrices rij-equivalent zijn.
a A = °1 3 42 0 53 1 6
¢ en B = °1 3 40 2 10 4 3
¢
b C = °1 3 42 0 63 1 6
¢ en D = °1 0 30 1 −30 3 1
¢
x1 − x2 + 2x3 = p Gegeven het stelsel •2x1 + 3x2 + 4x3 = 10 3x1 − 2x2 + 4x3 = 15
Druk de oplossing van het stelsel uit in p.
In fi guur 4.11 zie je een aantal stangen waaraan de gewichten G1, G2, G3, G4 en G5 hangen. De massa’s van de gewichten zijn zo gekozen dat het systeem in evenwicht is. Volgens de hefboomwet van Archimedes geldt voor elk draaipunt dat het product van de lengte van de arm en het gewicht dat aan die arm hangt links en rechts gelijk moet zijn. Hieruit volgt bijvoorbeeld6(G1 + G2) = 10(G3 + G4 + G5).
a Licht toe dat er oneindig veel waarden voor G1, G2, G3, G4 en G5 zijn.
b Bereken G1, G2, G3, G4 en G5 als de gewichten samen 800 gram wegen.
40A
41A
fi guur 4.11
G1 G2 G3
6 10
2 8 2
3 2
8
G4 G5
Geschiedenis Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss werd in 1777 geboren in Braunschweig, in het huidige Niedersachsen. Zijn eerste baanbrekende wiskundige ontdekkingen deed hij al toen hij nog een tiener was. Zo was zijn constructie van een regelmatige zeventienhoek met passer en liniaal de eerste wezenlijke vooruitgang in de klassieke meetkunde sinds de tijd van de oude Grieken. Zijn hoofdwerk, de Disquisitiones Arithmeticae, voltooide Gauss op 21-jarige leeftijd. Dit werk was van fundamenteel belang voor de getaltheorie. In diverse andere gebieden binnen de exacte wetenschappen zorgde zijn werk voor belangrijke nieuwe inzichten, bijvoorbeeld in de statistiek, de analyse, de astronomie, de mechanica en de optica. Gauss wordt algemeen erkend als een van de briljantste wiskundigen uit de geschiedenis. Om deze reden wordt hij soms de koning van de wiskunde genoemd. Hij overleed in 1855 in Göttingen.
04_G&R_255658_H04_4.3.indd 173 9/23/14 12:36 PM
WWW.GETALENRUIMTE.NOORDHOFF.NL
