Wielomiany

El»bieta Sadowska-Owczorz

19 listopada 2018

De�nicja

Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =

n∑k=0

akxk .

De�nicja

Funkcj¡ wielomianow¡ nazywamy funkcj¦ W : K→ K postaci

W (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =

n∑k=0

akxk .

De�nicja

Stopniem stW wielomianu W nazywamy liczb¦ ze zbioru N0

tak¡, »e

stW = max {k ∈ N : ak 6= 0}

De�nicja

Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =

n∑k=0

akxk .

De�nicja

Funkcj¡ wielomianow¡ nazywamy funkcj¦ W : K→ K postaci

W (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =

n∑k=0

akxk .

De�nicja

Stopniem stW wielomianu W nazywamy liczb¦ ze zbioru N0

tak¡, »e

stW = max {k ∈ N : ak 6= 0}

De�nicja

Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =

n∑k=0

akxk .

De�nicja

Funkcj¡ wielomianow¡ nazywamy funkcj¦ W : K→ K postaci

W (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 =

n∑k=0

akxk .

De�nicja

Stopniem stW wielomianu W nazywamy liczb¦ ze zbioru N0

tak¡, »e

stW = max {k ∈ N : ak 6= 0}

De�nicja

Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie

i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:

(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)

(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)

st (W + V ) ¬ stW + stV

st (W · V ) = stW · stV

De�nicja

Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦

de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:

(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)

Ponadto, je±li a 6= 0,

st (a ·W ) = stW

De�nicja

Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie

i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:

(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)

(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)

Ponadto

st (W + V ) ¬ stW + stV

st (W · V ) = stW · stV

De�nicja

Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦

de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:

(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)

Ponadto, je±li a 6= 0,

st (a ·W ) = stW

De�nicja

Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie

i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:

(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)

(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)

Ponadto

st (W + V ) ¬ stW + stV

st (W · V ) = stW · stV

De�nicja

Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦

de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:

(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)

Ponadto, je±li a 6= 0,

st (a ·W ) = stW

De�nicja

Dla danych dwóch wielumianów W ,V : K→ K dodawanie

i mno»enie de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:

(W + V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W + V ) (x) =W (x) + V (x)

(W · V ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (W · V ) (x) = W (x) · V (x)

Ponadto

st (W + V ) ¬ stW + stV

st (W · V ) = stW · stV

De�nicja

Dla danego wielumianu W : K→ K mno»enie przez liczb¦

de�niujemy w nast¦puj¡cy sposób:

(a ·W ) : K→ K oraz ∀x ∈ K (a ·W ) (x) = a ·W (x)

Ponadto, je±li a 6= 0,

st (a ·W ) = stW

Twierdzenie

Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie

jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e

W = P · V + R ,

stR < stV .

De�nicja

Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko

wtedy, gdy R ≡ 0.

Twierdzenie

Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie

jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e

W = P · V + R ,

stR < stV .

De�nicja

Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko

wtedy, gdy R ≡ 0.

Twierdzenie

Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie

jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e

W = P · V + R ,

stR < stV .

De�nicja

Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko

wtedy, gdy R ≡ 0.

Twierdzenie

Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie

jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e

W = P · V + R ,

stR < stV .

De�nicja

Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko

wtedy, gdy R ≡ 0.

Twierdzenie

Dla danych dwóch wielomianów W ,V : K→ K istnieje dokªadnie

jedna para wielomianów P,R : K→ K, takich, »e

W = P · V + R ,

stR < stV .

De�nicja

Wielomian W jest podzielny przez wielomian V wtedy i tylko

wtedy, gdy R ≡ 0.

Oznaczenie :

V (x) |W (x)

De�nicja

Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦ a, »eW (a) = 0.

Twierdzenie (Bézout)

Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x − a) wtedy i tyko

wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W .

De�nicja

Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦ a, »eW (a) = 0.

Twierdzenie (Bézout)

Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x − a) wtedy i tyko

wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W .

De�nicja

Pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦ a, »eW (a) = 0.

Twierdzenie (Bézout)

Wielomian W jest podzielny przez dwumian (x − a) wtedy i tyko

wtedy, gdy a jest pierwiastkiem wielomianu W .

(x − a) |W (x) ⇐⇒ W (a) = 0

De�nicja

k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦

a, »e

(x − a)k |W (x),

(x − a)k+1 6 |W (x).

De�nicja

k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦

a, »e

(x − a)k |W (x),

(x − a)k+1 6 |W (x).

De�nicja

k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W nazywamy tak¡ liczb¦

a, »e

(x − a)k |W (x),

(x − a)k+1 6 |W (x).

Twierdzenie

Je±li wielomian W (x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0

stopnia n o wspóªczynnikach caªkowitych ma pierwiastki wymierne,

to s¡ one postacip

q, gdzie p | a0 i q | an.

Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki)

Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi¢ w postaci:

W (x) = A ·n∏

i=1

(x − ai )αi

m∏j=1

(x2 + bjx + cj

)βj,

gdzie ∆j < 0 dla j = 1, . . . ,m.

Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry)

Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma

pierwiastek zespolony.

Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki)

Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi¢ w postaci:

W (x) = A ·n∏

i=1

(x − ai )αi .

Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki)

Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi¢ w postaci:

W (x) = A ·n∏

i=1

(x − ai )αi

m∏j=1

(x2 + bjx + cj

)βj,

gdzie ∆j < 0 dla j = 1, . . . ,m.

Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry)

Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma

pierwiastek zespolony.

Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki)

Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi¢ w postaci:

W (x) = A ·n∏

i=1

(x − ai )αi .

Twierdzenie (Rozkªad wielomianu rzeczywistego na czynniki)

Ka»dy wielomian rzeczywisty W mo»na przedstawi¢ w postaci:

W (x) = A ·n∏

i=1

(x − ai )αi

m∏j=1

(x2 + bjx + cj

)βj,

gdzie ∆j < 0 dla j = 1, . . . ,m.

Twierdzenie (Zasadnicze twierdzenie algebry)

Ka»dy wielomian zespolony stopnia co najmniej pierwszego ma

pierwiastek zespolony.

Twierdzenie (Rozkªad wielomianu zespolonego na czynniki)

Ka»dy wielomian zespolony W mo»na przedstawi¢ w postaci:

W (x) = A ·n∏

i=1

(x − ai )αi .