Wiskunde en filosofie - fi.uu.nl Wiskunde en filosofie Inleiding Filosofen stellen vragen als â€wat is wiskunde?’, â€hoe krij-gen we kennis van wiskunde?’,

  • View
    217

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Wiskunde en filosofie - fi.uu.nl Wiskunde en filosofie Inleiding Filosofen stellen vragen als...

  • 40 Wiskunde en filosofie

    Inleiding

    Filosofen stellen vragen als wat is wiskunde?, hoe krij-gen we kennis van wiskunde?, wordt wiskunde ontdektof uitgevonden?. In het algemeen staan filosofen op gro-te afstand van de alledaagse wiskundige praktijk. Filoso-fische vragen zijn voor de praktijk niet belangrijk. Wis-kundigen de naam zegt het al bedrijven wiskunde.Voor hen is wiskunde een gereedschap. Je kunt er bere-keningen mee maken, kansen bepalen, modellen ontwik-kelen, enzovoort. Wiskunde werkt! Daar gaat het om. In onderstaand vraaggesprek worden vragen van de filo-soof Nico Krijn voorgelegd aan de wiskundige ManuelNepveu. Beiden werken bij TNO. Het idee voor een vraag-gesprek is daar aan de koffietafel ontstaan. Het resultaatis een woordenwisseling waarbij de wiskundige zelfshandtastelijk wordt.

    fig. 1 De vreemdeling zegt: [...] In het algemeen rekenen we getallen toch tot de dingen die bestaan? En Theatetus ant-woordt: Ja, als iets daartoe gerekend dient te worden, dan wel het getal. [PLATO, Sophist, 238A]

    Vraaggesprek

    NK: De vraag wat wiskunde is dat is de vraag naar degrondslagen van de wiskunde kan op twee manieren be-naderd worden. Ten eerste kan onderzocht worden of dewiskunde te reduceren is tot een andere discipline. Ditbrengt met zich mee dat alle wiskundige uitspraken wor-den vertaald in de taal van de andere discipline. Daar zijntwee redenen voor. Het is de wens naar eenvoud en eenconceptuele economie, en de overtuiging dat de elemen-

    ten die het domein van de andere discipline vormen dui-delijker en beter te begrijpen zijn dan die van de wiskun-de. In de negentiende en twintigste eeuw is geprobeerdalle wiskunde te vertalen in logica en verzamelingen-leer.1 De andere benadering van de grondslagen van dewiskunde is een zoektocht naar de bestaansvorm. Platoen zijn tijdgenoten zochten naar de bestaansvorm van ge-tallen. Bij dit soort onderzoek was de vraag niet hoe ge-tallen functioneren in meetkundige formules maar hoe zijbestaan. Tegenwoordig stelt men, abstracter, dat wiskun-de gaat over structuren. Echter, de vraag blijft: hoe be-staan die wiskundige structuren?

    fig. 2 Stelling 26 - Wiskunde is zelf niet een wetenschap, maar een moment in de daad, die het bedrijven van wetenschap is. [BROUWER, L.E.J., 1907]

    Er zijn grofweg drie manieren waarop wiskunde kan be-staan. Ten eerste kun je aannemen dat de wiskunde als hetware is af te lezen aan de natuur. Volgens dit zogenaamdenaturalisme is wiskunde louter een abstractie van de ma-terile wereld. Volgens de tweede stroming het realis-me bestaat de wiskunde op zichzelf onafhankelijk vande materile wereld in een abstracte wereld. Plato is eenbelangrijke vertegenwoordiger van dit realisme. De Ne-derlander Brouwer vertegenwoordigt met het door hemontwikkelde intutionisme een derde stroming: wiskundeontstaat in de mens en is onafhankelijk van de ervaring.Wiskundige objecten bestaan alleen voor zover zij de re-sultaten zijn van mijn constructies. Er is volgens Brouwer

    Wiskunde en filosofie

    Wat de een ziet als een praktisch gereedschap, kan de ander zien als de meest zui-vere, want contextloze, manier van denken. Breng twee van deze zienswijzen bij el-kaar en er kan een boeiende discussie ontstaan. Filosoof Nico Krijn en wiskundigeManuel Nepveu brachten deze gedachte in de praktijk en doen verslag.

  • Nieuwe Wiskrant 24-2/december 2004 41

    geen Platonisch rijk met wiskundige objecten. Tot welkestroming behoor jij?

    MN: Strikt genomen ben ik geen wiskundige maar ster-renkundige met een fikse wiskundige belangstelling.Mijn werk heeft me trouwens steeds meer de toegepastewiskundige kant opgedreven.Wiskunde is voor veel wetenschapsbeoefenaren een ge-reedschap, maar zuivere wiskundigen zullen deze opvat-ting wat eenzijdig vinden. Zij kunnen zich bezighoudenmet wiskunde die (nog?) nergens toepassing vindt ofwaarvan niet een-twee-drie vaststaat dat die ooit beteke-nis zou kunnen krijgen als hulpmiddel, als gereedschap.Zij beoefenen wiskunde als lart pour lart, zoals eentheoretische fysicus naar elektromagnetische velden kijktzonder ook maar in de verste verten aan antennes en ra-diootjes te denken. Anderzijds kan een bepaald stuk wiskunde inderdaad alsgereedschap dienen voor een ander stuk wiskunde. Zowordt de zogenaamde Hoofdstelling van de algebra2prachtig bewezen met resultaten uit de niet tot de algebrabehorende theorie van de analytische functies.Je stelt een directe vraag over het bestaan van de wiskun-de, maar er komt geen direct antwoord, ben ik bang. Alswiskundigen spreken over het bestaan van getallen, be-doelen zij dat zij getallen kunnen terugbrengen tot iets an-ders. In mijn eerste jaar analyse in Utrecht werd getoondhoe de rele getallen geconstrueerd konden worden metbehulp van zet je schrap equivalentieklassen vanCauchy-rijen van rationale getallen. Een mondvol, maarde essentie is dat rele getallen teruggebracht worden totiets anders. En dat andere kennen de wiskundigen al. Ei-genlijk zijn rele getallen niets anders dan ...Dit is echter niet wat filosofen onder bestaan lijken teverstaan. Zoals je in je vraag aangeeft, zijn er mathematicidie zich thuis voelen bij de beeldspraak dat iets geconstru-eerd wordt door de menselijke geest en dat er niet van eenvoorafgaand bestaan kan worden gesproken. Bestond Au-strali in het jaar 1400? Voor de Aboriginals wel, voor degemiddelde Hagenaar van toen zeker niet. Anderzijds, eensuperieure geest zoals ooit beschreven door de Franse wis-en sterrenkundige Pierre-Simon de Laplace zou zeggen datAustrali in 1400 bestond in objectieve zin. Kun je op zo'nmanier ook tegen het bestaan van rele getallen aankijken? Ik voel me hier hoogst ongemakkelijk bij. Ik heb wel eenshoren zeggen dat de muziek van Mozart direct uit de he-mel komt. Iets dergelijks zou je ook kunnen beweren vanbepaalde stukken wiskunde. De theorie van de analyti-sche functies is zo oogverblindend mooi dat je je als hetware niet kunt voorstellen dat dit puur en alleen mensen-werk is. Anderzijds zijn er ook stukken wiskunde waarhet zwoegen aan is af te zien. Je zou kunnen denken datde eerste soort al bestaat en alleen maar zichtbaar ge-maakt moet worden, terwijl de tweede soort zuiver en al-leen een menselijke uitvinding is. Ik houd beide uitdruk-kingen voor zuivere beeldspraak. Als je het niet als beeld-spraak ziet, dan maak je een probleem. Het gevaar is dat

    je verstrikt raakt in allerhande discussies die meer mettaal te maken hebben dan met een buitentalige werkelijk-heid. Anders gezegd, we hebben dan te maken met eenschijnprobleem. Ik geef toe dat daarmee deze discussiemeteen doodgeslagen wordt, het is niet anders. Maar wekunnen het natuurlijk ook over schijnproblemen hebben

    fig. 3 [..] that what is called a mathematical discovery had much better be called a mathematical invention. [WITTGENSTEIN, L.,1939]

    NK: Ja, ja, ik had een zeker vermoeden dat je niet een een-voudig antwoord zou geven als: Ik behoor voor honderdprocent tot de tweede stroming, volgende vraag alstu-blieft. Je laat je niet in een hokje duwen, dat zal ik voorje doen. Je combineert in feite de opvattingen vanLudwig Wittgenstein en Kurt Gdel. Wittgenstein, die ikverzuimde in mijn overzicht hierboven op te nemen, isvan mening dat wiskunde wordt uitgevonden. Gdel staatin de traditie van het realisme van Plato. Hij beschouwtwiskundige objecten als werkelijke objecten, die onaf-hankelijk bestaan van onze definities en constructies.Die objecten bestaan in een niet zintuiglijk waarneemba-re wereld. Echter, deze wereld is volgens Gdel een es-sentieel onderdeel van onze actuele wereld. Als je aan-neemt dat de objecten van de wiskunde op een of anderemanier bestaan, dan is het welhaast vanzelfsprekend datje die objecten kunt ontdekken. Dat is inderdaad de over-tuiging van Gdel. Wat Gdel betreft is er dus een wis-kundige hemel, maar een die op aarde bestaat.Wittgenstein en Gdel kun je beschouwen als twee tegen-polen. Alleen heeft Wittgenstein niets gepresteerd opwiskundig gebied, terwijl Gdel met zijn ontdekkingende wereld op zijn kop zette. Wittgenstein noemde de stel-lingen van Gdel zelfs hocus-pocus. Stel dat je nognooit een penseel hebt vastgehouden. Je hebt nog nooiteen eenvoudig stilleven geschilderd, en je verkondigt datde schilderijen van Rembrandt niet zijn aan te zien, en datRembrandts opvattingen over kunst geen hout snijden!Op de ontdekkingen van Gdel kom ik later terug.Als een stuk van de wiskunde waar het zwoegen aan isaf te zien wordt uitgevonden, hoe verklaar je dan datwiskundigen langs verschillende wegen dezelfde ontdek-

  • 42 Wiskunde en filosofie

    king doen, zoals twee sterrenkundigen dit voorbeeldmoet je aanspreken dezelfde bestaande ster ontdekken.Zo ontdekte Gottfried Leibniz bijna gelijktijdig en onaf-hankelijk van Isaac Newton de differentiaal- en integraal-rekening. Bovendien blijken verscheidene en tevens sterkverschillende stukken wiskunde vaak onderling verbon-den te zijn. De Zwitserse wiskundige Leonhard Eulerheeft een aantal ontdekkingen van dergelijke dwarsver-banden op zijn naam staan.Een voorbeeld van zon verrassend dwarsverband is Eu-lers vergelijking .Substitutie van geeft: . Hier wordt hetgeometrisch domein waartoe pi, de cosinus en sinus beho-ren, verbonden met het domein van de complexe getallen.Tevens constateer je zelf dat de Hoofdstelling van de al-gebra prachtig bewezen is met resultaten uit de theorie vande analytische functies. Dat duidt toch op een hechtbouwwerk waarin constructies worden ontdekt die de de-len van het bouwwerk met elkaar verbinden, kortom opbestaande wiskundige objecten.

    fig. 4 Euclides schreef zijn Elementen omstreeks 300 v. Chr., een veel-omvattende verhandeling over geometrie, verhoudin-gen, en de getallentheorie. De afbeelding toont propositie 47 uit boek I, de stelling van Pythagoras.

    MN: Als twee wiskundigen van hetzelfde stelsel axiomasuitgaan, kunnen ze hetzelfde ontdekken. Maar