Wiskunde en natuurkunde voor chemici 2.1 Wiskunde en Natuurkunde voor Chemici 2 (5112WNVC6Y) WISKUNDE
Wiskunde en natuurkunde voor chemici 2.1 Wiskunde en Natuurkunde voor Chemici 2 (5112WNVC6Y) WISKUNDE
Wiskunde en natuurkunde voor chemici 2.1 Wiskunde en Natuurkunde voor Chemici 2 (5112WNVC6Y) WISKUNDE
Wiskunde en natuurkunde voor chemici 2.1 Wiskunde en Natuurkunde voor Chemici 2 (5112WNVC6Y) WISKUNDE

Wiskunde en natuurkunde voor chemici 2.1 Wiskunde en Natuurkunde voor Chemici 2 (5112WNVC6Y) WISKUNDE

  • View
    5

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Wiskunde en natuurkunde voor chemici 2.1 Wiskunde en Natuurkunde voor Chemici 2 (5112WNVC6Y)...

  • . m UNIVERSITEIT VAN AMSTERDAM Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

    Tentatnen • • • • x X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • X M X X M • M X X M X X X M X M X M • X X X X M

    • • X X X K • • X X X X N X X X X X X X N X X X X X

    • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

    Wiskunde en Natuurkunde voor Chemici 2 (5112WNVC6Y) WISKUNDE

    Datum: 31 maart 2017 Tijdstip: 14.00 - 17.00 uur

    Aantal bedrukte pagina's: 3 (inclusief voorblad) Aantal vraagstukken : 5 Maximaal aantal te behalen punten: 90. Bij elke vraag staat het bijbehorende aantal punten vermeld. Cijfer= (behaalde punten +10)/10

    VOORDAT U BEGINT • Wacht tot u de instructie krijgt het boekje te openen. • Controleer of uw versie van het tentamen compleet is. • Schrijf uw naam en studentnummer en indien van toepassing versienummer op

    elk vel papier dat u inlevert en nummer de pagina's. • U dient uw mobiele telefoon uit te schakelen en te bewaren in uw jas of tas. Uw jas en

    tas moeten onder uw tafel liggen. • Toegestane hulpmiddelen: eenvoudige rekenmachine (zeker niet grafisch).

    HUISHOUDELIJKE MEDEDELINGEN • De eerste 30 minuten en de laatste 15 minuten mag u de zaal niet verlaten, ook niet voor het

    bezoeken van het toilet. • Op verzoek van de examinator (of diens vertegenwoordiger) moet u zich kunnen legitimeren

    met een bewijs van inschrijving of een geldig legitimatiebewijs. • Tijdens het tentamen is toiletbezoek niet toegestaan, tenzij de surveillant hier toestemming voor

    geeft. • 15 minuten voor het eind wordt u gewaarschuwd dat het inlevertijdstip nadert. • Vul indien van toepassing na afloop van het tentamen alstublieft het evaluatieformulier in.

    Succes!

  • TENTAMEN WISKUNDE Il VOOR SCHEIKUNDIGEN 31 mrt 2017 Gebruik van een grafische rekenmachine is niet toegestaan. Beargumenteer antwoorden, werk bereke- ningen en afleidingen uit. Elke opgave levert maximaal het vermelde aantal punten op. Het cijfer wordt berekend volgens: Cijfer = I + score : I 0

    OPGAVE 1 Gegeven is het vectorveld

    _, 2y i - 2x j F(x,y) = ( )2 x+y

    De weg W bestaat uit twee stukken: w1 loopt in een rechte lijn van A(l,0) naar B(l,1), wz loopt in een rechte lijn van B(l,1) naar C(0,1).

    y w2 C(O, I )o---.--~--------Q B(I, I)

    ' ' ' '--4 W3 '

    ' ' w \ 11' l \ \ I I

    0 A(I,O) X

    ga Bepaal door parametrisering van w1 en w2 de wegintegraal:

    f 2y 2x w -(x_+_y )-2 dx - -(x_+_y )-2 dy 6b Bepaal een potentiaal van het veld F. 3C De weg w3 loopt over een cirkelboog van (0,1) naar (1,0), zoals (gestippeld)

    getekend hierboven. Bepaal de wegintegraal:

    f 2y 2x ---dx - ---dy w3 (x + y)2 (x + y)2 OPGAVE2 Gegeven voor functies x(t) en y(t) is het stelsel differentiaalvergelijkingen:

    (X' (t)) = (X + 3y) y'(t) 3x + y (DV 1)

    Hierin herken je de matrix: N = G i) 6a Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van matrix N. 6b Geef in parametervorm de oplossingskromme ( van DV1) die voor t = 0 door

    het punt (1,2) gaat.

    Voor de veldlijnen van het vectorveld uit het rechterlid van DV 1 geldt de diffe- rentiaalvergelijking: dy/dx = (3x + y)/(x + 3y). Na substitutie van v = y/x gaat deze over in de differentiaalvergelijking:

    dv 3(1- v2) dx x(1 + 3v) (DV 2)

    ge Los deze differentiaalvergelijking (DV 2) op en bepaal daarmee een (nette) vergelijking in x en y voor de oplossing die gaat door het punt (1,2).

  • OPGAVE 3 9a Bepaal de algemene oplossing y(x) van de differentiaalvergelijking:

    y" - 2 y' + y = 2x 9b Bepaal de oplossing y(x) van het beginwaardeprobleem:

    dy 2y 3 - - - = X , y(2) = 6 dx X

    OPGAVE4 Gegeven is de parameterkromme:

    {x = c?s t + t sint t E [O, Zrr] y = sm t - t cos t Bij deze kromme definiëren wij de plaats-, snelheid- en versnellingvectoren:

    __ dr __ dv V = dt ' a= dt -. = (cos t + t sin t) r . , sm t - t cost

    7a Toon aan dat de vectoren ren ä steeds loodrecht op elkaar staan. 8b Leid af dat voor de booglengte L van deze kromme geldt:

    L = f0 2 rr .../t2 cos2 t + t2 sin2 t dt

    en bereken L door deze integraal te bepalen.

    OPGAVE 5 Gegeven is de functie:

    h(x,y) = x2 + xy2 - 2y

    Het oppervlak z = h(x, y) noemen wij H: In het xy-vlak ligt het punt P0 = (1, -1) en op J{ ligt daarboven P = (1, -1, 4). 3a Reken vóór dat de gradiënt Vh in P0 gelijk is aan 3i - 4j. "b Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan J{ in punt P. se De waarde van de richtingsafgeleide van h in P0 aan vari-

    eert met de gekozen richting r. Bepaal de laagste waarde die de richtingsafgeleide van h in P0 aanneemt.

    "d Bereken de bolcoördinaten [R, ¢, 0] van het punt P. Voor de naamgeving daarbij zie het diagram hiernaast.

    y

    BIJZONDERE SUBSTITUTIES

    in integrand substitutie gevolgen voorwaarden x en y I 2 cosx cosx = -=L

    x = 2arctany y = tan{ l+y2 dx =-2-dy lxl