Wissenschaftliches Rechnen, SS2001 Allgemeines · 2 Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 7 Kapitel 1: Numerische Integration 1.1 Wichtige Sätze aus der Analysis 1.2 Einfache

1

Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 1

Wissenschaftliches Rechnen, SS2001

Dozent: Prof. Dr. M. Gross

E-mail: [email protected]

Assistenten: D. Bauer, D. Bielser, C. Gut,A. Hubeli, E. Lamboray, R. Lütolf, M. Pauly,

T. Mengotti, S. Do-Thuong, J. Spillmann,P. Stämpfli

http://graphics.ethz.ch/Html/Lehrveranstaltungen/Vorlesungen/WR.html


Allgemeines

• Zur Vorlesung

• Skript und Textbooks• Zusatzblätter• Elektronisches Material• Tafel• Uebungsablauf - Gruppen

• Testatbedingungen: 5 aus 6

• Klausur - Hilfsmittel: 20 DIN-A4 Seiten


Uebungsplan


Motivation


Gliederung

Vorlesung Wissenschaftliches Rechnen

SS 2001


Kapitel 1: Numerische Integration

• Zentrales Thema: Numerische Behandlung vonGleichungen des Typs

• Eine unabhängige Variable x

)()(’ xfxy =

2


Kapitel 1: Numerische Integration

1.1 Wichtige Sätze aus der Analysis

1.2 Einfache Integrationsregeln1.2.1 Mittelpunktsregel

1.2.2 Trapezregel

1.2.3 Simpsonregel

1.3 Zusammengesetzte Integrationsregeln1.3.1 Simpsonregel

1.3.2 Trapezregel

Wichtig: lokale und globale Fehlerordnungen


Kapitel 1: Numerische Integration1.4 Euler-McLaurin’sche Summenformel

1.5 Romberg Integration

1.5.1 Idee

1.5.2 Verbesserung der Konvergenz

1.5.3 Abbruchkriterien

1.6 Adaptive Quadratur

1.7 Newton-Cotes Integrationsformeln

1.7.1 Lagrange Polynome und Gewichte

1.7.2 Fehlerordung

1.8 Gauss Integration

1.8.1 Optimierung der Stützstellen

1.8.2 Orthogonale Polynome (Legendre)

1.8.3 Stützstellen und Gewichte

Wichtig: lokale und globale Fehlerordnungen


Kapitel 2: Gewöhnliche Dgl.


• Eine unabhängige Variable x

),()(’ yxfxy =



2.1 Einführung2.1.1 Einfache Beispiele

2.1.2 Notation und Klassifikation - Anfangswertprobleme

2.1.3 Richtungsfelder

2.2 Analytische Lösung2.2.1 Explizite und implizite Lösungen

2.2.2 Existenz und Eindeutigkeit

2.2.3 Lösung durch Taylorreihenentwicklung

2.3 Einfache, explizite numerische Lösungsverfahren2.3.1 Euler-Verfahren

2.3.2 Verfahren von Heun

2.3.3 Fehlerordungen: lokaler und globaler Fehler



2.4 Explizite Runge-Kutta-Verfahren2.4.1 Prädiktor-Korrektor-Methoden

2.4.2 Allgemeines 4-stufiges RK-Verfahren

2.4.3 Zusammenhang mit Integrationsregeln

2.4.4 Allgemeine Herleitung (Pyramidenschema)

2.4.5 Koeffizientenberechnung

2.5 Eingebettete Verfahren undSchrittweitensteuerung

2.6 Differentialgleichungen höherer Ordnung2.6.1 Zerlegung in Systeme

2.6.2 Beispiel: Masse-Feder-System


Kapitel 2: Gewöhnliche Dgl.2.7 Stabilität

2.7.1 Inhärente Instabilität

2.7.2 Absolute Stabilität

2.7.3 Implizite Lösungsverfahren (Euler, Heun)

2.8 Steife Differentialgleichungen2.8.1 Eigenwertanalyse bei linearen Systemen

2.8.2 Nichtlineare Systeme

2.9 Randwertprobleme2.9.1 Definition

2.9.2 Analytische Lösung durch Eigenfunktionen

2.9.3 Finite Differenzen Methode

3


Kapitel 3: Partielle Dgl.


• Zwei unabhängige Variablen x, y

HFuEuDuCuBuAu yxyyxyxx =+++++


Kapitel 3: Partielle Dgl.3.1 Einführung

3.1.1 Definition

3.1.2 Elliptische, parabolische und hyperbolische PDEs

3.2 Analytische Lösungsmethoden3.2.1 Ansatz durch Variablenseparation

3.2.2 Einarbeitung von Randbedingungen

3.2.3 Beispiel: Laplace-Gleichung auf Rechteck

3.3 Numerische Lösung durch Finite Differenzen3.3.1 Prinzipielle Vorgehensweise

3.3.2 Diskretisierung der Lösungsfunktion

3.3.3 Diskrete Approximation der Dgl.


Kapitel 3: Partielle Dgl.3.3.4 Einarbeitung von Randbedingungen

3.3.5 Aufstellen des Gleichungssystems

3.4 Variationsrechnung (gewöhnliche Dgl.)3.4.1 Allgemeines Prinzip

3.4.2 Die Euler-Lagrange-Relationen

3.4.3 Starke und schwache Formen

3.4.4 Der Ritz-Ansatz

3.4.5 Beispiele


Literatur

[1] H. R. Schwarz: Numerische Mathematik, 4.Auflage, Teubner, 1997

[2] D. Faires, R. Burden: Numerical Methods, 2.Edition, Brooks/Cole Publishing, 1998

[3] J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction toNumerical Analysis, 2. Ed., Springer, 1993

[4] Wissenschaftliches Rechnen SS98,Vorlesungsskriptum von K. Jauslin, O. Meili, R.Zimmermann

[4a] Gander, W., Hrebicek, J., Solving Problems inScientific Computing using Maple and Matlab, 3.Ed., Springer, 1997


Literatur

[5] C. Edwards, D. Penny: ElementaryDifferential Equations with Boundary ValueProblems, 3. Edt., 1993

[6] W. Boyce, R. DiPrima: ElementaryDifferential Equations with Boundary ValueProblems, John Wiley, 1997

[7] F. Hildebrand: Advanced Calculus forApplications, 2. Edt., Prentice Hall, 1976

[8] Mit Vorbehalt!: Press, et al. NumericalRecipes in C, 2nd. Edt., 1992


Kapitel 1: NumerischeIntegration/Quadratur

4


Historie

• Problem der alten Griechen, einen Kreis mittelsZirkel und Lineal in ein flächengleiches Rechteckumzuwandeln [4]

App.ico


1.1 Integrationsformeln

• Ziel einer Integrationsformel ist die approximativeBerechnung des untenstehenden bestimmtenIntegrals F, wobei f(x) eine auf [a,b] integrierbare,reellwertige Funktion ist.

• Hierbei wird das Integral durch eine gewichteteSumme angenähert.

∫=b

a

dxxfF )(

i

n

ii fwF ∑

=

=1

~


1.1 Polynomapproximation revisited

• Konstruktion eines interpolierenen Polynoms vomGrad n mit dividierten Differenzen nach Newton[1]

• Koeffizienten durch rekursiv definierte dividierteDifferenzen der Form

gegeben.

))...(()()( 111

00 −=

−−−+= ∑ k

n

kkn xxxxxxccxP

],..,,[ 10 kk xxxfc =


1.1 Polynomapproximation revisited

• Rekursive Definition der dividierten Differenzenk-ter Ordnung [2]

• Wenn sowie x0,..,xn in [a,b] verschieden,dann gibt es eine Zahl ξ so dass

iki

kiiikiiikiii xx

xxxfxxxfxxxf

−−=

+

−+++++++

],..,,[],..,,[],..,,[ 1121

1

nCf ∈

!)(

],..,,[)(

10 n

fxxxf

n

n

ξ=

Dies ist von grundlegender Bedeutung für die Fehlerabschätzungvon Integrationsregeln

( )ii xfxf =][


1.1 Mittelwertsatz der Differentialrechnung

• Es sei f ∈ C [a,b] eine differenzierbare Funktion,dann existiert eine Zahl c ∈ [a,b], so dass

ab

afbfcf

−−= )()(

)(’


1.1 Zwischenwerte

• Es sei f ∈ C [a,b] eine differenzierbare Funktionund K eine Zahl zwischen f(a) und f(b), dannexistiert eine Zahl c, so dass

Kcf =)(

5


1.1 Riemann’scher Integralbegriff• Die Funktion f(x) in [a,b] heisst Riemann

integrierbar, wenn der folgende Grenzwertexistiert

• mit den Stützstellen xi und beliebigen Zahlen zi in[xi-1, xi]

• Insbesondere ergibt die Wahl äquidistanterStützstellen sowie zi=xi

∑∫=→∆

∆=n

iii

x

b

a

xzfdxxfi 0

0max)(lim)(

∑∫=∞→

−=n

ii

n

b

a

xfn

abdxxf

0

)(lim)(


1.1 Erweiterter Mittelwertsatz derIntegralrechnung

• Es sei f ∈ C [a,b] eine kontinuierliche Funktion, gintegrierbar auf [a,b] und g(x) ohneVorzeichenwechsel in [a,b], dann existiert eineZahl c, so dass

∫∫ =b

a

b

a

dxxgcfdxxgxf )()()()(

Dies ist von grundlegender Bedeutung für die Fehlerabschätzungvon Integrationsregeln


1.1 Taylorreihe• Es sei f ∈ Cn [a,b] eine differenzierbare Funktion

und f(n+1)(x) existiert auf [a,b]. Es sei x0 einebeliebige Zahl in [a,b], dann existiert eine Zahlξ(x) zwischen x0 und x, so dass

• wobei

• Restglied

)()()( xRxPxf nn +=

kn

k

k

n xxk

xfxP )(

!

)()( 0

0

0)(

−= ∑=

10

)1(

)()!1(

))(()( +

+

−+

= nn

n xxn

xfxR

ξ


1.2 Einfache Integrationsregeln

• Herleitung erfolgt jeweils über die Konstruktioneines interpolierenden Polynoms über die Knoten(Stützstellen) z. B. gemäss Newton [2].

• Fehler wird durch Restglied abgeschätzt

))..()(](,..,,[..

)](,[][)(

11010

0100

−−−−++−+=

nn

n

xxxxxxxxxf

xxxxfxfxP

))..()(()!1(

))(()()( 10

)1(

n

n

n xxxxxxn

xfxPxf −−−

+=−

+ ξ


1.2.1 Die einfache Mittelpunktregel• Wähle konstantes Polynom P0 bei x0=(a+b)/2

• Lineares Glied des Polynoms wird zu Null

• Fehler kann duch Integration des quadratischenFehlerterms ermittelt werden. Wir nutzen dasMittelwerttheorem!

)](2

[)]([][ 00 abba

fabxfdxxfb

a

−+=−=∫

3)2(

20

)2(2

0

)2(

)(24

)()(

!2

)()(

!2

))((ab

fdxxx

fdxxx

xf b

a

b

a

−=−=− ∫∫ξξξ

0)(2

],[)(],[ 2

010

010 =−=−∫ b

a

b

a

xxxxf

dxxxxxfApp.ico


1.2.2 Die einfache Trapezregel

• Wähle nun lineares Glied mit x0=a und x1=b

• Integration des quadratischen Terms zurFehlerbestimmung

Mittelpunktregel ist von linearer Präzision, jedoch in einemkonstanten Polynom “verkleidet”

3)2(

)(24

)()](

2[)(: ab

fab

bafdxxfM

b

a

−+−+=∫ξ

)(2

)()())(],[][( 0100 ab

bfafdxxxxxfxf

b

a

−+=−+∫

3)2()2(

)(12

)())((

!2

))((ab

fdxbxax

xfb

a

−−=−−∫ξξ

App.ico

6


Die einfache Trapezregel

• Vollständige Gleichung

• Beim Uebergang zu linearen Polynomen ist keineweitere Verbesserung der Fehlerordnung möglich!

3)2(

)(12

)()(

2

)()()(: ab

fab

bfafdxxfT

b

a

−−−+=∫ξ


1.2.3 Die einfache Simpsonregel

• Wähle quadratisches Interpolationspolynom

• mit den Stützstellen x0=a, x1=(a+b)/2,x2=b

• nach diversen algebraischen Umformungen durchMaple erhalten wir

∫∫ ≈b

a

b

a

dxxPdxxfS )()(: 2

dxba

xaxbba

afaxba

afafSb

a

))2

)(](,2

,[)](2

,[][(:+−−++−++∫

)]()2

(4)([6

)(: bfba

fafab

dxxfSb

a

+++−≈∫


Die einfache Simpsonregel

• Fehlerberechnung erfolgt in Analogie durchFehlerformel für Taylor-Reihen

• so dass wir die vollständige Simpson-Regel nachfolgender Gleichung erhalten

5)4(

)(2880

)(ab

flerSimpsonfeh −−= ξ

5)4(

)(2880

)()(

24)(

6)(: ab

fbf

bafaf

abdxxfS

b

a

−−

+

++−=∫

ξ

App.ico

Auch hierbei ergibt sich der kubische Fehlerterm wieder zu Null, sodass die resultierende Fehlerordnung den Grad 5 hat.


Beispiele aus [2]

App.ico


1.3 Zusammengesetzte Regeln• Fehler der beschriebenen Integrationsformeln

hängt in der k-ten Potenz von der Intervallbreiteh=(b-a) ab.

• Aufteilung des Integrals in Teilintegrale(Linearität des Operators) der Breite h=(b-a)/n

• Zunächst äquidistante Stützstellen (Knoten) beia=x0<…<xn=b gegeben.

• Erweiterung der Simpson-Integrationsformel,wobei x2j-2<ξi<x2j und f ∈ C(4) [a,b]

• Umsortierung und Zusammenfassung derFunktionswerte ergibt


1.3.1 Composite Simpson

• Da f ∈ C4 [a,b] ist die 4. Ableitung auf [a,b]beschränkt und es gilt

∑∑

∑∑ ∫∫

==−

−

==

−+

++==−

2/

1

)4(52/

112

1)2/(

120

2/

1

)(90

)]()(4

)(2)([3

)()(2

22

n

jjn

n

jj

n

jj

n

j

x

x

b

a

fh

xfxf

xfxfh

dxxfdxxfj

j

ξ

)(max)()(min],[

)4()4(

],[

)4( xffxfbax

jbax ∈∈

≤≤ ξ

7


Composite Simpson• Somit

• und

• schliesslich existiert gemäss Zwischenwerttheoremein µ

)(max2

)()(min2 ],[

)4(2/

1

)4(

],[

)4( xfn

fxfn

bax

n

jj

bax∈=

∈

≤≤ ∑ ξ

)(max)(2

)(min],[

)4(2/

1

)4(

],[

)4( xffn

xfbax

n

jj

bax ∈=∈≤≤ ∑ ξ

∑=

=2/

1

)4()4( )(2

)(n

jjf

nf ξµ


Fehlerterm

• Daher kann der Fehlerterm wie folgt geschriebenwerden:

• Die vollständige Simpsonregel lautet dann fürgerade n

)(180

)()(

90)4(

42/

1

)4(5

µξ fabh

fh n

jj

−−=− ∑=

)(180

)()]()(4

)(2)([3

)(

)4(42/

112

1)2/(

12

µfabh

bfxf

xfafh

dxxf

n

jj

n

jj

b

a

−−+

++=

∑

∑∫

=−

−

=


1.3.2 Composite Trapezregel• In Analogie können auch Trapez- und

Mittelpunktsregel entsprechend erweitert werden.

• Für die Trapezregel gilt dann

• wobei f ∈ C2 in [a,b] und n beliebig gerade oderungerade.

• Gleiches gilt für die Mittelpunktregel

)(12

)()]()(2)([

2)( )2(

21

1

µfabh

bfxfafh

dxxfn

jj

b

a

−−++= ∑∫−

=

)(6

)()(2)( )2(

22/

0

µfabh

xfhdxxfn

jj

b

a

−+= ∑∫=


Newton-Cotes Formeln

• Verallgemeinerung des Ansatzes für beiliebigePolynomgrade führt zu Newton-Cotes Formeln.

• n=3: 3/8 Regel

• n=4: Milne Regel O(h7)

• n=6: Weddle’s Regel O(h9)

Man übe die Herleitung dieser Formeln mit Maple.


Kurze Zusammenfassung

• Was sollte man bisher gelernt haben?– Einfache Integrationsregeln (M, T, S)

– Konstruktion durch interpolierende Polynome

– Fehlerabschätzungen und ihre Anwendung

– Zusammengesetzte Integrationsregeln (M, T, S)

– Fehlerabschätzungen dazu


1.4 Euler-McLaurin Summenformel

• Grundidee besteht darin, den Fehler derTrapezregel asymptotisch für h->0 mittels einerTaylorreihe zu entwickeln.

• Dazu Taylorreihe in f

• D ist der Differentialoperator d/dx

)()()1(!

)()()(

1

)(

xfxfehk

xfxfhxf hDk

k

k

+−=+=+ ∑∞

=

))()(()1()( 1 xfhxfexf hD −+−= −

8


Euler-McLaurin Summenformel

• Reihenentwicklung des inversen Operators ergibt

• Bk sind die Bernoulli-Zahlen

• Die ungeraden Bernoulli-Zahlen sind für k>1gleich Null

))()(()(!

2/1)()( 1

2

1 xfhxfhDk

BhDxf k

k

k −+

+−= −

∞

=

− ∑

1

0

1 )(!

)1( −∞

=

− ∑=− k

k

khD hDk

Be

−++=++ −−

∞

=

+

∑∫ ))()(()!2(

)())()((2

)12()12(2

1

2 xfhxfhk

Bdttfxfhxf

h kkk

k

khx

xCopyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 44


• Anwendung auf n Teilintervalle der Trapezregelergibt

• Konvergenz obiger Summe nicht garantiert,jedoch für h->0 asymptotische Partialsummen

−

+=++=

−−∞

=

−

=

∑

∫∑

))()(()!2(

)()]()(2)([2

)(

)12()12(2

1

2

1

1

afbfhk

B

dttfbfxfafh

hT

kkk

k

k

b

a

n

jj

)()()( 12

1

hRhcdxxfhT Nk

N

kk

b

a

+=

++= ∑∫



• Restglied [3] der Ordnung O(h2N+2) für h->0

)()!22(

)()( )22(22221 ξ+++

+ +−= NNN

N fN

BabhhR

Da c1 i. A. ungleich Null, ist die Fehlerordnung der Trapezregelquadratisch.

Die vorliegende Formel ist zur Konvergenzbeschleunigung vonIntegrationsverfahren von herausragender Bedeutung.


Zusatz: Herleitung Euler-McLaurin

• Taylorreihe

• substituiert durch da

• x0 substituiert durch x (da für alle x0 gültig)

∑∞

=

−+=1

00)(

0 !))((

)()(k

kk

k

xxxfxfxf

hx +0 0xxh −=

∑∞

=+=+

1

0)(

00 !))((

)()(k

kk

k

hxfxfhxf

∑∞

=+=+

1

)(

!))((

)()(k

kk

k

hxfxfhxf

x


Herleitung Euler-McLaurin

• Einführung des Differentialoperators

• Substitution der Reihenentwicklung

dxd

D =

∑

∑∞

=

∞

=

+=

+=+

1

1

!)(

)(

!

)()()(

k

kk

k

kk

k

hxfDxf

k

hxfdxd

xfhxf

∑∞

=+=

1 !)(

1k

khD

khD

e

)()1()()( xfexfhxf hD −+=+



• Auflösen

• wobei sich durch die Bernoulli-Zahlendarstellen lässt

• eingesetzt in f(x) ergibt sich

( ))()()1()( 1 xfhxfexf hD −+−= −

1

0

1 )(!

)1( −∞

=

− ∑=− k

k

khD hDkB

e

1)1( −−hDekB

( ))()()(!

)( 1

0

xfhxfhDkB

xf k

k

k −+= −∞

=∑ App.ico

9



• Bernoulli-Zahlen für k ∈ N0

• Herauslösen der ersten beiden Glieder aus derSumme

( ))()()(!2

1)()(

2

11 xfhxfhDkB

hDxfk

kk −+

+−= ∑

∞

=

−−

720120246211!421

0301

061

21

1

6543210

k

B

k

k −−



• wobei

( ) ( )

( )( )

∫

∫∫

+

−−−

=

−+=

−+=

−+=−+

hx

x

dttfh

xFhxFh

dxxfdxhxfh

xfDhxfDh

xfhxfhD

)(1

)()(1

)()(1

)()(1

)()()( 111

Anwendung der Operatorenalgebra: Inverses Element desDifferentialoperators ist der Integraloperator.



• Nach Einsetzen ergibt sich

• Addition von und Multiplikationmit h ergibt

( )

( ))()()(!

)()(21

)(1

)(

2

1 xfhxfhDk

B

xfhxfdttfh

xf

k

kk

hx

x

−++

−+−=

∑

∫∞

=

−

+

( )

( ))()()()(!

)()()(2

2

1 xfhxfDhk

B

dttfxfhxfh

k

kkk

hx

x

−++

=++

∑

∫∞

=

−

+

( ))()(21

xfhxf −+



• Die ungeraden Bernoulli-Zahlen sind für k>1gleich Null. Somit ergibt sich nach Umformungder Summe und Auswerten desDifferentialoperators

( )

( ))()()!2(

)()()(2

)12()12(

1

22 xfhxfhk

B

dttfxfhxfh

kk

k

kk

hx

x

−−∞

=

+

−++

=++

∑

∫

Dies stellt eine Restgliedentwicklung für die Trapezregel dar.


1.5 Romberg Integration [2], [1]• Idee: Verbesserung des Konvergenzverhaltens der

Trapezregel durch Extrapolation.

• Voraussetzung: Restgliedentwicklung durchEuler-McLaurin Summenformel

• Restglied der Ordnung O(h2N+2) für h->0

)()()( 12

1

hRhcdxxfhT Nk

N

kk

b

a

+=

++= ∑∫

)()!22(

)()( )22(22221 ξ+++

+ +−= NNN

N fN

BabhhR


1.5.1 Idee der Romberg Integration• Allgemeiner: Es sei M ein durch eine

Integrationsformel N(h) der Ordnung O(h) zuapproximierender Wert, wobei der Fehler

• Eine Halbierung der Intervallbreite h->h/2 ergibt

• Elimination des Terms für c1 durch Subtraktion(*2) der beiden Gleichungen

k

kk

b

a

hchNdxxfM ∑∫∞

=

=−=1

)())((

k

k

kk

hc

hNM

2)

2(

1∑

∞

=+=

10


Romberg Integration

• Wir schreiben im folgenden N1(h) = N(h)

• Damit ergibt sich eine Approximationsformelquadratischer Ordnung O(h2) (*)

−+−+= −

∞

=∑ k

k

k

kk h

hchN

hN

hNM

12 2

))()2

(()2

(

))()2

(()2

()( 1112 hNh

Nh

NhN −+=

−−= −

∞

=∑ k

kk

k hchNM )21

1()(1

22

Durch Intervallhalbierung und Subtraktion lässt sich offenbar dieFehlerordnung einer gegebenen Integrationsregel verbessern.


Romberg Integration• Erneut Ersatz von h->h/2

• Multiplikation von obiger Gleichung mit 4 undSubtraktion von * eliminiert den Term für c2

• Ausgeschrieben ergibt sich

• bzw.

−−= −

∞

=∑ k

k

kk

k

hc

hNM

2)

21

1()2

(1

22

∑∞

=−−

−

−+−=

32122 2

11

21

1)()2

(43k

kkkk hchN

hNM

∑∞

=−−

−

−+

−+=

321

22

2 21

121

131

3

)()2

()

2(

k

kkkk hc

hNh

NhNM


Romberg Integration• Mit Einführung von N3(h) erhalten wir eine

Approximationsformel kubischer Ordnung O(h3)

• Fortsetzung dieser Methodik für beliebige j=2,..,Jergibt eine Rekursionsformel für die Verbesserungder Fehlerordnung einer Integrationsformel N(h)der Ordnung O(hj)

∑∞

=−−

−

−+=

3213 2

11

2

11

3

1)(

k

kkkk hchNM

12

)()2

()

2()(

1

11

1 −

−+= −

−−

− j

jj

jj

hNh

NhNhN


Pyramidenschema


Anwendung: Composite Trapezregel• Wir erinnern uns: Die zusammengesetzte

Trapezregel lautete

• Verallgemeinerung der Formel für mk=2k-1 ergibtbei einer Schrittweite von hk=(b-a)/mk

)(12

)()]()(2)([

2)( )2(

21

1

µfabh

bfxfafh

dxxfm

ii

b

a

−−++= ∑∫−

=

)(12

)()]()(2)([

2)( )2(

212

1

1

kk

ik

kb

a

fabh

bfihafafh

dxxfk

µ−−+

++= ∑∫

−

=

−


Andere Schreibweise• Für den Anteil der Trapezregel schreiben wir

• Allgemeine Formel für die rekursive Verfeinerungder Intervallbreite bei der Trapezregel

• für k=2,..,n

)]()([21

1,1 bfafh

R +=

)]([21

211,11,2 hafhRR ++=

))]3()(([21

3321,21,3 hafhafhRR ++++=

]∑−

=−− −++=

22

111,11, ))12(([

21

k

ikkkk hiafhRR

App.ico

11


1.5.2 Verbesserung der Konvergenz

• Verbesserung durch Anwendung der zu Beginnillustrierten Idee der rekursiven Intervallhalbierungund Subtraktion

• Einsetzen der Euler-McLaurin Relationen für dieTrapezregel (*)

• Ersatz von hk durch hk/2

Trotz der sukzessiven Verbesserung der Ergebnisse bleibt dieFehlerordnung erhalten (quadratisch im Falle der Trapezregel).

ik

iik

ik

iik

b

a

hchchcRdxxf 2

2

21

2

11,)( ∑∑∫

∞

=

∞

=+==−


Verbesserung der Konvergenz

• Wir erhalten

• Multiplikation mit 4 und Subtraktion von (*)

• Da die EulerMcLaurin Reihe der Trapezregel nurgerade Glieder enthält, haben wir dieKonvergenzordnung von quadratisch nach quartischverbessert.

i

ik

ii

kik

iik

b

a

hc

hchcRdxxf

44)(

2

2

212

11

1,1 ∑∑∫∞

=+

∞

=+ +==−

ik

ii

iikk

k

b

a

hcRR

Rdxxf 2

21

11,1,1

1,1 441

33)( ∑∫

∞

=−

−+

+

−=

−

+−


Allgemeine Relation

• Rekursive Definition der Rk,j durch Mittelung derberechneten Werte

• Allgemein für k=2,..,n sowie j=2,..,k gilt dann

−

−+= −

−−−− 14 1

1,11,1,, j

jkjkjkjk

RRRR

−

+= −

31,11,

1,2,kk

kk

RRRR


Romberg Pyramide

• Dreiecksschema

• Berechnung einer neuen Zeile in der Tabelle durcherneutes Auswerten der Trapezregel auf Stufehn+1.

nnnn RRR

RR

R

,2,1,

2,21,2

1,1

...

......

App.ico


1.5.3 Abbruchkriterien

• Oberste Reihe der Tabelle zur Beobachtung derKonvergenz

• Abbruch durch ε-Kriterium

• Voraussetzung für den Erfolg der Methode, dassdie asymptotische Entwicklung für f(x) gilt, d.h. fgenügend oft in [a,b] differenzierbar ist.

• Relativer Fehler

ε<− −− 1,1, kkkk RR


Abbruchkriterien

• Rekursive Approximation des Ausdrucks

• Kann auf Extrapolation mittels der rekursivenVerfahren von Aitken/Neville zurückgeführtwerden.

• Hierbei werden die Werte für T(hk) für einige Parameterwerte vonhk>0 berechnet und die zugehörigen Interpolationspolynome ander ausserhalb der Stützstellen liegenden Stelle h=0ausgewertet.

• Vgl. [1], pp. 117 ff., 133 ff.• Richardson Extrapolation im Kontext von Differentialgleichungen

k

kk

b

a

hcdxxfhT ∑∫∞

=

+=1

)()(

12


1.6 Adaptive Quadratur [2], [1]

• Idee: Adaptive Verfeinerung des Integrationsintervallsim Sinne eines Bisektionsalgorithmus.

• Fehlerschätzung sollte unter Vermeidung derBerechnung von höheren Ableitungen der Funktionerfolgen.

• Einfache Simpsonformel

( )[ ] 5)4(

)(90

)()(4)(

3)(: h

fbfhafaf

hdxxfS

b

a

ξ−+++=∫


Abbruchkriterium

• Herleitung eines Abbruchkriteriums durch erneutesAuswerten der Simpsonregel bei halber Intervallbreite:h->h/2

)(180

)(2)]()

23

(4

)(2)2

(4)([6

)(

)4(

4

µfab

h

bfh

af

hafh

afafh

dxxfb

a

−

−++

++++=∫


Abbruchkriterium

• Dies kann wie folgt umgeschrieben werden

• Vereinfachende Annahme, dass f(4)(ξ)= f(4)(µ)• Somit folgt

)(161

90),

2()

2,()( )4(

5

µfh

bba

Sba

aSdxxfb

a

−+++=∫

5)4(

)4(5

)(90

)(),()(

161

90),

2()

2,( h

fbaSf

hb

baS

baaS

ξξ −≈

−+++

)(90

),2

()2

,(),(1516 )4(

5

ξfh

bba

Sba

aSbaS ≈

+−+−


Fehler

• Daraus lässt sich eine Fehlerabschätzungkonstruieren:

),2

()2

,(),(151

),2

()2

,()(

bba

Sba

aSbaS

bba

Sba

aSdxxfb

a

+−+−

≈+−+−∫

Nach Intervallhalbierung approximiert die Simpsonregel den exaktenWert des Integrals 15 mal besser, als dass sie mit dembekannten Wert von S(a,b) übereinstimmt.

Wenn die Ergebnisse der Simpsonregel vor und nachIntervallhalbierung innerhalb von 15ε liegen, so approximiert diezweite Berechnung das exakte Ergebnis innerhalb von ε.


Fehlerschätzung

• Es gilt also

• Beispiel mit

• Relatives Fehlerkriterium besser

ε

ε

<+−+−

<+−+−

∫ ),2

()2

,()(

15),2

()2

,(),(

bba

Sba

aSdxxfthen

bba

Sba

aSbaSif

b

a

App.ico


Rekursiver Algorithmus

• Rekursive Subdivision des Integrationsintervalls

proc Adap(f,a,b)

h=(b-a)/2;

i1=Simpson(f,a,b,h);

i2=Simpson(f,a,b,h/2);

if (abs(i1 - i2)< 15*eps*abs(i2))

return i2;

else return Adap(f,a,(a+b)/2) + Adap(f,(a+b)/2,b);

end;

13


Bemerkungen

• Vorgabe von ε funktioniert nur bei gutartigenFunktionen.

• Kann zu Stack Overflow führen.

• In MATLAB (schlecht) als quad() implementiert.

• Zusätzlich Romberg verwendbar.

• Statt 15 ε wird oft noch eine Sicherheitsmargemitgegeben.

• Weitere Details siehe [3].


Beispielfunktion aus [2]

< 1.1*10^-5

Adaptiv:

93 Funktionsauswertungen

Simpson:

177 Funktionsauswertungen


1.7 Newton-Cotes Integrationsformeln [1]• Verallgemeinerung der behandelten

Integrationsformeln durch Approximation derFunktion durch Lagrange-Polynome Lk(x)

• Zunächst äquidistante Stützstellen (Knoten) beia=x0<…<xn=b gegeben.

• Konstruktion eines Polynoms

• Berechnung des Integrals

∑∑ ∫∫==

−===n

kkk

n

k

b

akk

b

ann xfwabdxxLxfdxxPQ

00

)()(:)()()(:

∑=

=n

kkkn xLxfxP

0

)()()(


1.7.1 Lagrange Polynome (revisited)• Gegeben seien n+1 Stützstellen x0<…<xn ,

paarweise verschieden, dann existieren n+1Lagrange-Polynome der Form

• mit der Eigenschaft

• (Kronecker-Delta)

• Interpolierendes Polynom der Form

)(

)(:)(

0jk

jn

jkj

k xx

xxxL

−−

∏=≠=

{ elsekjfallsxL kjjk ,0,:1)( === δ

∑=

=n

kkkn xLxfxP

0

)()()(App.ico


Gewichte

• Berechnung der Gewichte wk ist wegen derEigenschaften der Lagrange-Polynome rechteinfach

• Variablensubstitution zur Rückführung auf einIntegral über das Einheitsintervall [a,b]->[0,1]

• x=a+(b-a)t sowie dx=(b-a)dt

∫∫ −−

∏−

=−

=≠=

b

a jk

jn

jkj

b

akk dx

xx

xx

abdxxL

abw

)(

)(

)(1

)()(

10


Gewichte

• Resultierende Gewichte

• Eine Berechnung für n=2 ergibt die Simpson-Koeffizienten

∫ −−∏=

≠=

1

00 )(

)(dt

jk

jntw

n

jkj

k

App.ico

)4(6

)()()(: 210

2

02 fff

abxfwabQ

kkk ++−=−= ∑

=

In Analogie können höhergradige Polynomapproximationen zurHerleitung weiterer Integrationsformeln herangezogen werden.

3/8 Regel, Milne-Regel, etc. bei äquidistanten Stützstellen.

14


Eindeutigkeit

• Satz: Zu n+1 beliebig vorgegebenen, paarweiseverschiedenen Stützstellen existiert eine eindeutigbestimmbare, interpolatorische Quadraturformel

• deren Genauigkeitsgrad mindestens gleich n ist.

∑=

−=n

kkkn xfwabQ

0

)()(:

∫−=

b

akk dxxL

abw )(

)(1


1.7.2 Fehlerordnung

• Gemäss Definition liefern die Newton-CotesIntegrationsformeln den exakten Wert fürPolynome vom Grad <=n

• Der Fehler En[f] ist ein lineares Funktional in f

• Eine Quadraturformel besitzt also denGenauigkeitsgrad m ∈ N, falls

∑∫=

−−=−=n

kkk

b

ann xfwabdxxfQIfE

0

)()()(][

mjxEmjfürxE jn

jn >≠== ,0][,..0,0][


Fehlerterm

• Das Fehlerfunktional ergibt sich aus denbekannten Restgliedformeln

• Satz: Ist n gerade und ist f(x) ∈ Cn+2in [a,b], so istder Quadraturfehler der geschlossenen Newton-Cotes Formel gegeben durch

∫ ∏∫=

+

−+

=−=b

a

n

ii

nb

ann dxxx

nxf

dxxPxffE0

)1(

)()!1(

))(())()((][

ξ

∫ ∏=

+

−+

=b

a

n

ii

n

n dxxxxn

ffE

0

)2(

)()!2(

)(][

ξ


Fehlerterm

• Satz: Ist n ungerade und ist f(x) ∈ Cn+1in [a,b], soist der Quadraturfehler der geschlossenen Newton-Cotes Formel gegeben durch

• Beweise siehe Woche 1, [2], [3].

∫∏=

+

−+

=b

a

n

ii

n

n dxxxn

ffE

0

)1(

)()!1(

)(][

ξ

• Geschlossene Newton-Cotes Formel bedeutet, dass sowohlAnfangs- als auch Endpunkt des Intervalls Integrationsstützstelleist.

• Offene Newton-Cotes Formeln zur Herleitung derMittelpunktregel und Tangententrapezregel.


Bemerkungen

• Newton-Cotes Formeln offen und geschlossen

• Können auch als zusammengesetzte Regelnformuliert werden

• Polynomgrade n>=8 sind aufgrund derOszillationsneigung der Lagrange-Polynome nichtmehr sinnvoll

• Wahl von geraden n ist aufgrund derFehlerordnungen vorteilhafter


1.8 Gauss-Quadratur

• Bisher: Feste, nicht-optimale Wahl derStützstellen x0<…<xn - oftmals äquidistant a+kh

• Idee: Wähle Stützstellen xk und Gewichte wk, sodass die resultierende interpolatorischeQuadraturformel maximale Genauigkeit besitzt

• Wir betrachten dazu das Integrationsintervall von[-1,1]

][][)()(1

1

1

fEQfExfwdxxf nnn

n

kkk +=+= ∑∫

=−

15


1.8.1 Optimierung der Stützstellen

• Gesucht: Stützstellen xk und Gewichte wk also 2nParameter.

• Die Klasse der Polynome vom Grad 2n-1 besitztebenfalls 2n Parameter (Koeffizienten)

• z. B. Monome der Form

• Beispiel: Berechnung einer Quadraturformel für

in

iin xaxP ∑

−

==

12

0

)(

)()()( 2211

1

1

xfwxfwdxxf +≈∫−


Beispiel: 2 Stützstellen

• Wähle als approximierendes Polynom

• Das Integral über das Polynom ergibt sich zu

• Obige Formel muss also das exakte Ergebnisliefern für f(x)=1, x, x2, x3

i

ii xaxPxf ∑

==≈

3

03 )()(

( )

∫∫∫∫

∫

−−−−

−

+++

=+++

1

1

33

1

1

22

1

11

1

10

1

1

33

2210

1 dxxadxxaxdxadxa

dxxaxaxaa


Beispiel: 2 Stützstellen

• Somit erhalten wir folgendes Gleichungssystem

• mit den Lösungen

21111

121 ==⋅+⋅ ∫

−

dxww ∫−

==⋅+⋅1

12211 0xdxxwxw

∫−

==⋅+⋅1

1

2222

211 3

2dxxxwxw ∫

−

==⋅+⋅1

1

3322

311 0dxxxwxw

121 == ww33

1 −=x33

2 =xApp.ico


Resultierende Integrationsformel

• Die einfache (Gauss’sche) Integrationsformel

• liefert ein exaktes Ergebnis für Polynome vomGrad n<4.

][)33

()33

()( 4

1

1

fEffdxxf ++−=∫−

• Durch geschickte Wahl von Stützstellen und Gewichten könnenwir die Integrationsordnung nahezu um den Faktor 2 verbessern.

• Grosser Nachteil: Die Berechnung der Parameter führt zu einemnichtlinearen Gleichungssystem


1.8.2 Orthogonale Polynome

• Definition: Zwei Funktionen f(x) und g(x) ∈ L2

heissen orthogonal, wenn

• <,>: Inneres Produkt (verallgemeinertesSkalarprodukt).

• Die wie folgt definierten Legendre-PolynomeHn(x)

0)()(, =>=< ∫∞

∞−

dxxgxfgf

0N∈−= nxdx

d

nxH n

n

n

nn ,])1[(!2

1)( 2


Zusatzblatt: Orthogonalität und innereProdukte am Beispiel

( ) ( )tûtu ωsin⋅= ( ) ( )tuR

ti1=

( ) ( ) ( )titutP ⋅= ( ) ( )tutuR

⋅= 1

( ) ( )dt 2

0

tutuR

û ⋅⋅ ∫Π

π212

Vû

uR

ûP effw 220

2

2

2

==⋅

=

2, uuu =

~ ( )tu

( )ti

inneres Produkt

wirksame Momentanleistung

1. Widerstand

16


Zusatzblatt: Orthogonalität und innereProdukte

( ) ( ) ( )tûcdt

tduCti ωω cos⋅⋅⋅=⋅=

( ) ( ) ( )tit utP ⋅=

( ) ( )t tûC ωωω sincos2 ⋅⋅=

( ) ( ) 0sincos2

2

0

2

=⋅= ∫w dt�

�

ûCP πω

0sincos, =da

~

( )ti

( )tu

2. Kondensator


Orthogonale Polynome

• wobei

• sind gegenseitig orthogonal im Intervall [-1,1]

• Ferner hat Hn(x) genau n einfache Nullstellen in ]-1,1[für n>=1

• Siehe [1], pp. 222ff.

1)(0 =xH xxH =)(1

=+

≠=∫

− jifallsn

jifalls

dxxHxH ji

122

0

)()(1

1


Verallgemeinerung• Satz: Es existiert genau eine Quadraturformel

• welche maximalen Genauigkeitsgrad (2n-1)besitzt. Die Stützstellen xk sind die Nullstellen desn-ten Legendre-Polynoms Hn(x) und dieIntegrationsgewichte sind durch die aus denNewton-Cotes Regeln bekannten Gewichte

]1,1[)(1

12 −∈= ∑=

− k

n

kkkn xxfwQ

),..,1(,)(1

1

1

11

nkdxxLdxxx

xxw k

jk

jn

jkj

k ==−−

∏= ∫∫−− ≠

=


Faktorisierung eines Polynoms

• Beweis: Das Polynom vom Grad 2n-1 kann wie folgtfaktorisiert werden

• Gn-1(x) ist ein Polynom vom Grad n-1, welches alsLinearkombination von Legendre-Polynomengeschrieben werden kann

• Restglied Rn-1(x) ist Polynom vom Grad n-1

)()(*)()( 1112 xRxHxGxP nnnn −−− +=

∑−

=− =

1

01 )()(

n

iiin xHhxG


Faktorisierung eines Polynoms

• Da {H(x)} paarweise orthogonal (Orthogonalbasis),muss gelten

∫∫∫−

−−

−−

− +=1

11

1

11

1

112 )()()()( dxxRdxxHxGdxxP nnnn

∫∑ ∫−

−

−

= −

+=1

11

1

0

1

1

)()()( dxxRdxxHxHh nn

n

iii

∫−

−=1

11 )( dxxRn

• Man kann also das Integral über ein Polynom des Grades 2n-1auf ein Integral über ein Polynom vom Grad n-1 zurückführen.


1.8.3 Stützstellen und Gewichte• Wir stellen nun eine interpolatorische

Integrationsformel über n Stützstellen x1<…<xn

gemäss Newton-Cotes auf.

• Diese hat einen Genauigkeitsgrad von mindestens n-1

• Wahl von xk als Nullstellen von Hn(x) liefertzusätzlich

• da Rn-1 ein Polynom von Grad n-1 ist und damit exaktintegriert wird

∑∑∑=

−=

−=

− +=n

kknk

n

kknknk

n

kknk xRwxHxGwxPw

11

11

112 )()()()(

∫∫∑∑−

−−

−=

−=

− ===1

112

1

11

11

112 )()()()( dxxPdxxRxRwxPw nn

n

kknk

n

kknk

17


Gewichte

• Die Gewichte sind durch die Newton-CotesRelationen gegeben

• Sehr leistungsfähiges Integrationsverfahren beikomplexen Funktionen

• Geschickte Wahl der Stützstellen als Nullstellen orthogonalerPolynome erlaubt die exakte Integration von Polynomen bis 2n-1

),..,1(,)(1

1

1

11

nkdxxLdxxx

xxw k

jk

jn

jkj

k ==−−

∏= ∫∫−− ≠

=

App.ico


Bemerkungen

• Kann auch mit anderen othogonalen Polynomenberechnet werden (Chebyshev, Laguerre, Hermite)

• Integrationsintervall wird transformiert zu

• x=(a+b+(b-a)t)/2 sowie dx=(b-a)/2dt

• Grosse Bedeutung im Kontext FEM (StiffnessBerechnung)

• Weitere Themen sind Integrale mit Singularitäten,multidimensionale Integrale, etc.


Zusatzblatt: Exaktheit der Regel

( ) ( ) [ ]fEdxxPdxxf n

b

a

n

b

a

+= ∫∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dxxLxfdxxPxfwabQb

a

i

n

ii

b

a

n

n

iiin :

00∫∑∫∑

====⋅−=

( ) ( ) ( )∑=

=n

iiin xLxfxP

0

( )∫−=

b

a

ii dxxLab

w1

( ) )(0

MonomxaxPn

i

iin ∑

==

( ) 0fuer exakt 0

== ∫∑∫=

ii

n

ii

b

a

n adxxadxxP


Zusatzblatt: Exaktheit der Regel

[ ] nixfIQfE

ntsgradGenauigkeii

nn ≤==−= ,,0

:

für

( ) ( )dxxLwxfwb

a

ii

n

iiii ∫∑ =

=0

( ) n von Basis formen } ℘xLi{

( ) ( ) 0fürauch gilt d.h.0

== ∑=

i

n

iiin lxLlxP

( ) ( )∑ ∫∫ ==> dxxLldxxP iin

( ) ( )xLxfwQ k

n

iiiin allefür sein exakt muss:

0∑

==

( ) ( ) kdxxLwxLwb

a

kk

n

liki ∀== ∫∑

=

0

( )xLf k=

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Wissenschaftliches Rechnen, SS2001 Allgemeines · 2 Copyright: M. Gross, ETHZ, 1999, 2000, 2001. 7 Kapitel 1: Numerische Integration 1.1 Wichtige Sätze aus der Analysis 1.2 Einfache