Właściwości sygnałów i splot

Krzysztof Patan

Właściwości sygnałów

Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowecharakteryzujące ten sygnał

wartość średnia

xsr = limτ→∞1τ

∫ τ2

− τ2x(t)dt

energia sygnału

Ex = limτ→∞

∫ τ2

− τ2|x(t)|2dt

moc sygnału

Px = limτ→∞1τ

∫ τ2

− τ2|x(t)|2dt

znak wartości bezwzględnej jest istotny w przypadku sygnałów owartościach zespolonych

np, energia wydzielana na oporze

E = limτ→∞

∫ τ2

− τ2u(t)i(t)dt = lim

τ→∞

1R

∫ τ2

− τ2u2(t)dt = lim

τ→∞R

∫ τ2

− τ2i2(t)dt

jeśli R = 1Ω, to E = Ex, zaś u(t) lub i(t) odgrywa rolę sygnału

x(t) jest sygnałem o ograniczonej energii jeśli 0 < Ex <∞

x(t) jest sygnałem o ograniczonej mocy jeśli 0 < Px <∞

prawdziwe są implikacje:

Ex ∈ (0,∞)⇒ Px = 0, Px ∈ (0,∞)⇒ Ex =∞

klasy sygnałów o ograniczonej energii i ograniczonej mocy sąrozłączne; sygnał może należeć tylko do jednej z tych klas

Dla sygnału dyskretnego x[n] można zdefiniować wielkościliczbowe charakteryzujące ten sygnał

wartość średnia

xsr = limN→∞

12N + 1

N∑n=−N

x[n]

energia sygnału

Ex = limN→∞

N∑n=−N

|x[n]|2

moc sygnału

Px = limN→∞

12N + 1

N∑n=−N

|x[n]|2

ã Sygnał x(t) (x[n]) ma skończony czas trwania jeżeli przybierawartości niezerowe w przedziale o skończonej długości

ã Sygnały o skończonym czasie trwania – sygnały impulsowe

ã Sygnał x(t) (x[n]) na ograniczoną wartość (jest sygnałemograniczonym) jeżeli istnieje taka stała M o skończonejwartości, że

∀t ∈ (−∞,+∞) |x(t)| 6M

lub−∞ < n < +∞ |x[n]| 6M

ã Uwaga! Każdy sygnał ograniczony o skończonym czasietrwania ma ograniczoną energię

ã Sygnały występujące w przyrodzie zawsze pochodzą zeźródeł o ograniczonej energii

ã Sygnały o ograniczonej mocy nie mają fizycznychodpowiedników, ale są wygodnymi modelamiteoretycznymi, zwłaszcza przy analizie sygnałówokresowych

ã Nie można uzasadnić celowości stosowania sygnałów onieskończonej mocy

ã Sygnały o zerowej energii są mało interesujące i nie sąstosowane nawet teoretycznie

Przykład 11 Wyznaczyć wartość średnią, energię i moc sygnału

x(t) = 2 sin(t) + cos(t) + 1

2 Wyznaczyć wartość średnią, energię i moc impulsuprostokątnego

x[n] =

1 dla |n| 6 50 dla |n| > 5

Uwaga! Wykorzystać zależności:sin2(x) = 12(1− cos(2x))cos2(x) = 12(1 + cos(2x))sin(x) cos(x) = 12 sin(2x)

Proste przekształcenia sygnałów

Przesunięcie w czasie

przejście sygnału x(t) przez układ (oprócz innychzniekształceń) powoduje jego opóźnienieopóźnienie sygnału jest spowodowane występowaniem wukładzie elementów magazynujących energię, np.indukcyjności i pojemnościjeżeli przesunięcie czasowe T > 0 to opóźniona wersja sygnałux(t) jest równa x(t− T )rozpatruje się także wyprzedzanie sygnału x(t+ T )jest to operacja nierealizowalna w świecie fizycznym(możliwość przewidywania przyszłości)operację wyprzedzenia można zastosować w przypadku, gdydysponuje się uprzednio zmierzonym sygnałemoperacje opóźnienia dla sygnałów dyskretnych wyprowadza sięw podobny sposób

Zmiana skali czasu

załóżmy a > 0, sygnał x(at) jest przeskalowaną wersją x(t)

gdy a > 1 sygnał zostaje przyspieszony

gdy a < 1 sygnał zostaje spowolnionyrozpatrzmy nagranie muzyczne

1 gdy x(t

2

)nagranie jest odtwarzane z prędkością dwukrotnie

mniejszą2 gdy x(2t) nagranie jest odtwarzane z prędkością dwukrotniewiększą

Inwersja czasu

inwersja sygnału x(t) to sygnał x(−t)inwersja czasu nie jest operacją realizowalną fizycznie

dla nagrania muzycznego to proces odtwarzania nagrania dotyłu

Przykład 2

Narysować sygnały1 x(t) = 1(t) + 1(t− T ) + 1(t− 2T )− 3 · 1(t− 3T )

2 x(t) = r(t)− r(t− a)gdzie r(t) = t dla t > 0

3 x[n] = 1[n+ 2] + 1[n− 4]4 dany jest sygnał

x(t) =

cos(t) dla − π 6 t 6 π

0 w innych przypadkach

dokonać opóźnienia sygnału o 5 jednostek czasu, anastępnie dokonać jego inwersji

Składowe sygnału

sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię parzystą jeśli

x(t) = x(−t) lub x[n] = x[−n]

sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię nieparzystą jeśli

x(t) = −x(−t) lub x[n] = −x[−n]

każdy sygnał można zdekomponować na zmienną parzystąxp(t) i nieparzystą xn(t)

składowa parzysta – xp(t) =x(t) + x(−t)

2

składowa nieparzysta – xn(t) =x(t)− x(−t)

2

Przykład 3

Wyznaczyć składowe parzystą i nieparzystą sygnału sinusoidalnego

Składowe sygnału

sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię parzystą jeśli

x(t) = x(−t) lub x[n] = x[−n]

sygnał x(t) (x[n]) ma symetrię nieparzystą jeśli

x(t) = −x(−t) lub x[n] = −x[−n]

każdy sygnał można zdekomponować na zmienną parzystąxp(t) i nieparzystą xn(t)

składowa parzysta – xp(t) =x(t) + x(−t)

2

składowa nieparzysta – xn(t) =x(t)− x(−t)

2

Przykład 3

Wyznaczyć składowe parzystą i nieparzystą sygnału sinusoidalnego

Sygnały okresowe

Sygnały okresowe tworzą ważną klasę sygnałów

Sygnał nazywa się okresowym o okresie T jeśli

∃T > 0, ∀t ∈ R x(t) = x(t+ T )

W każdej chwili czasu t przesunięcie na osi czasu o okres lubjego wielokrotność nie zmienia wartości sygnału

Liczbę T nazywa się okresem podstawowym sygnału

Własności sygnałów okresowych

wartość średnia

xsr =1T

∫ T2

−T2x(t)dt lub xsr =

1T

∫<T>x(t)dt

Wartość średnia sygnału okresowego jest równa wartościśredniej w jednym okresie T

energia sygnału

Ex = limn→∞nEx(T ), Ex(T ) =

∫ T2

−T2|x(t)|2dt

Jeżeli energia sygnału przypadająca na podedynczy okresEx(T ) jest różna od zera, to całkowita energia sygnału Exjest nieskończona

moc sygnału

Px =1T

∫ T2

− t2|x(t)|2dt lub 1

T

∫<T>|x(t)|2dt

Moc średnia sygnału okresowego jest równa mocy średniej wjednym okresie T

wartość skutecznaxsk =

√Px

Wartość skuteczna jest często wykorzystywana w analizieobwodów elektrycznych

Dystrybucja Diraca (delta Diraca, impuls jednostkowy)

Dystrybucja Diraca – impuls o nieskończenie krótkim czasietrwania, nieskończonej amplitudzie i polu równym jednościSygnał spełnia warunki1

δ(t) = 0 dla t 6= 02 ∫ ∞

−∞δ(t)dt = 1

Stosując przesunięcie w czasie1

δ(t− t0) = 0 dla t 6= t02 ∫ ∞

−∞δ(t− t0)dt = 1

Właściwości dystrybucji Diraca

∫ ∞−∞kδ(t)dt = k

0δ(t) = 0

x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)

Całka dystrybucji Diraca∫ t−∞δ(τ)dτ = 1(t), czyli

d

dt1(t) = δ(t)

Reprezentacja sygnału ciągłego

Sygnał ciągły x(t) można zaproksymować za pomocą sumyprzesuniętych przeskalowanych impulsów

t∆0

x(t)x(t)

AAK

x(t) = x(k∆), k∆ < t < (k + 1)∆

impuls jednostkowy δ∆(t)

t∆0

1∆

δ∆(t) – pole powierzchni = 1

t(k+1)∆k∆

x(k∆)

⇒ x(k∆)δ∆(t− k∆)∆

⇓

x(t) =∞∑−∞x(k∆)δ∆(t−k∆)∆

w granicy, gdy ∆→ 0

x(t) =∫ ∞−∞x(τ)δ(t− τ)dτ

δ(t) – impuls jednostkowy

impuls jednostkowy jest sygnałem, który podany nawejście dowolnego liniowego układu stacjonarnegopowoduje wygenerowanie odpowiedzi równej odpowiedziimpulsowej tego układu:

δ(t) ∗ h(t) = h(t) ∀h(t)

gdzie h(t) – odpowiedź impulsowa

x(t) y(t)Systemciągły

δ∆(t) −→ h∆(t)

x(t) =∞∑k=−∞x(k∆)δ∆(t−k∆)∆ −→ y(t) =

∞∑k=−∞x(k∆)h∆(t−k∆)∆

Odpowiedź impulsowa

δ(t)→ h(t)

w granicy, gdy ∆→ 0

x(t) =∫ ∞−∞x(τ)δ(t− τ)dτ −→ y(t) =

∫ ∞−∞x(τ)h(t− τ)dτ︸ ︷︷ ︸splot

Operowanie splotem w czasie ciągłym

y(t) = x(t) ∗ h(t) =∫ ∞−∞x(τ)h(t− τ)dτ

h(τ) odwróć−−−−→ h(−τ) przesuń−−−−→ h(t− τ)pomnóż−−−−→ x(τ)h(t− τ) scałkuj−−−−→

∫∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ

Przykład 4

t31

x(t)

1 *

t-2 -1

h(t)1

τ31

x(τ)

1

τt+1 t+2

h(t− τ)1

Operowanie splotem w czasie ciągłym

y(t) = x(t) ∗ h(t) =∫ ∞−∞x(τ)h(t− τ)dτ

h(τ) odwróć−−−−→ h(−τ) przesuń−−−−→ h(t− τ)pomnóż−−−−→ x(τ)h(t− τ) scałkuj−−−−→

∫∞−∞ x(τ)h(t− τ)dτ

Przykład 4

t31

x(t)

1 *

t-2 -1

h(t)1

τ31

x(τ)

1

τt+1 t+2

h(t− τ)1

Przykład 4 – cd

Przedział x(τ) ∗ h(t− τ) Wyjście

t < −1 0 ⇒ y(t) = 0

−1 < t < 0

1 t+2

t+1

⇒ y(t) = 12 (t+ 1)2

0 < t < 1

t+1 t+2

1⇒ y(t) = 12

1 < t < 2

t+1 t+23

1⇒ y(t) = 12−

12 (t−1)

2

t > 2 0 ⇒ y(t) = 0

Pytanie: Jak wygląda y(t) w całej dziedzinie?

Właściwości splotu w czasie ciągłym

1 Przemienność: x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)

2 Łączność:

x(t) ∗ (v(t) ∗ w(t)) = (x(t) ∗ v(t)) ∗ w(t)

3 Rozdzielność względem dodawania:

x(t) ∗ (v(t) + w(t)) = x(t) ∗ v(t) + x(t) ∗ w(t)

4 Przesunięcie w dziedzinie czasu:

y(t− t0) = x(t− t0) ∗ h(t) = x(t) ∗ h(t− t0)

5 Splot z impulsem jednostkowym:

x(t) = x(t) ∗ δ(t), x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)

6 Pochodna splotu:

d

dt(x(t) ∗ v(t)) = dx(t)

dt∗ v(t)

założenia: (i) funkcja x(t) jest różniczkowalna, (ii) splot x(t) ∗ v(t)istnieje i jest różniczkowalny

7 Całka splotu:∫ t−∞x(τ) ∗ v(τ)dτ =

∫ t−∞x(τ)dτ ∗ v(τ) = x(τ) ∗

∫ t−∞v(τ)dτ

Próbkowanie

Sygnał dyskretny (spróbkowany) otrzymujemy z ciągłego(próbkowanego) poprzez próbkowanie

Do próbkowania wykorzystuje się sygnał próbkujący

Jako sygnału próbkującego wykorzystuje się sygnał impulsowy ookresie Ts

δTs(t) =∞∑

n=−∞δ(t− nTs) (1)

sygnał (1) nosi nazwę okresowego sygnału impulsowego lub sygnaługrzebieniowego

Sygnał spróbkowany ma postać

xs(t) = x(t)∞∑

n=−∞δ(t−nTs) =

∞∑n=−∞x(t)δ(t−nTs) =

∞∑n=−∞x(nTs)δ(t−nTs)

Sygnał spróbkowany jest równy zeru z wyjątkiem dyskretnych chwilczasowych, w których jest reprezentowany przez impulsy δ o polurównym x(nTs)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6t

x(t)

0.985

0.99

0.995

1

1.005

1.01

-6 -4 -2 0 2 4 6t

δTs(t)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6t

xs(t)

x(t) xs(t)

δTs(t)

Reprezentacja sygnału dyskretnego

Sygnał dyskretny można reprezentować jako kombinację liniowąprzesuniętych sygnałów δ[n]

x[n]

n

-10 1 2

x[−1]

x[0]x[1] x[2]

x[1]δ[n−1]

n1

x[1]

x[0]δ[n]

n0

x[0]

x[2]δ[n−2]

n2

x[2]

x[−1]δ[n+1]

n

-1

x[−1]

Sposób formalny

x[n] = · · ·+x[−2]δ[n+2]+x[−1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+. . .

czyli

x[n] =∞∑k=−∞

x[k]δ[n− k]

gdzie

x[k] – współczynniki, δ[n− k] – sygnały bazowe

x[n] y[n]Systemdyskretny

Załóżmy, że system jest liniowy

Zdefiniujmy hk[n] jako odpowiedź na sygnał δ[n− k]

δ[n− k]→ hk[n]

Z zasady superpozycji otrzymujemy

x[n] =∞∑k=−∞

x[k]δ[n− k]→ y[n] =∞∑k=−∞

x[k]hk[n]

Odpowiedź impulsowa

Załóżmy, że system jest liniowy i niezmienny w czasie

δ[n]→ h[n]

Z zasady niezmienności w czasie otrzymujemy

δ[n− k]→ h[n− k]

Ostatecznie

x[n] =∞∑k=−∞

x[k]δ[n− k]→ y[n] =∞∑k=−∞

x[k]h[n− k]︸ ︷︷ ︸splot

Operowanie splotem w czasie dyskretnym

y[n] = x[n] ∗ h[n] =∞∑k=−∞x[k]h[n− k]

Interpretacja

n0

δ[n]1 −→

n0

h[n]

⇓

nk

x[k]δ[n−k]−→

nk

x[k]h[n−k]

sumujemy po wszystkich k

Przykład 5

n-1

x[n]1

0 n0

h[n]2

1

-1-1

⇓

k-1

x[k]1

0

kn

h[n−k] 2

1

-1 -1

y[n] = 0, dla n < −1y[−1] = x[0]h[−1] = 1 · 1 = 1y[0] = x[0]h[0] + x[1]h[−1] = 1 · 2 + 0 · 1 = 2y[1] = x[0]h[1] + x[1]h[0] + x[2]h[−1] =

1 · [−1] + 0 · 2 + [−1] · 1 = −2y[2] = x[0]h[2] + x[1]h[1] + x[2]h[0] =

1 · [−1] + 0 · [−1] + [−1] · 2 = −3y[3]=x[1]h[2]+x[2]h[1] = 0·[−1]+[−1]·[−1] = 1y[4] = x[2]h[2] = [−1] · [−1] = 1y[n] = 0, dla n > 4

Schemat obliczeniowy splotu w czasie dyskretnym

h[0] h[1] h[2] h[3]

x[0] x[0]h[0] x[0]h[1] x[0]h[2] x[0]h[3]

x[1] x[1]h[0] x[1]h[1] x[1]h[2] x[1]h[3]

x[2] x[2]h[0] x[2]h[1] x[2]h[2] x[2]h[3]

x[3] x[3]h[0] x[3]h[1] x[3]h[2] x[3]h[3]

Właściwości splotu w czasie dyskretnym

1 Przemienność:

x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]

2 Łączność:

x[n] ∗ (v[n] ∗ w[n]) = (x[n] ∗ v[n]) ∗ w[n]

3 Rozdzielność względem dodawania:

x[n] ∗ (v[n] + w[n]) = x[n] ∗ v[n] + x[n] ∗ w[n]

4 Przesunięcie w dziedzinie czasu:

y[n− k] = x[n− k] ∗ h[n] = x[n] ∗ h[n− k]

5 Splot z impulsem jednostkowym:

x[n] ∗ δ[n− n0]=x[n− n0] (x[n] ∗ δ[n]=x[n])

6 Sumator: y[n] =∑nk=−∞ x[k]

jeśli x[n] = δ[n] to

h[n] =n∑

k=−∞δ[k] = u[n]

gdzie u[n] – skok jednostkowy, czyli

y[n] = x[n] ∗ h[n] = x[n] ∗ u[n] =n∑

k=−∞x[k]

7 Odpowiedź na skok jednostkowy:

s[n] = u[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ u[n] =n∑

k=−∞h[k]