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FUNCIONES DOMINIOS

FUNCIONES ESPECIALES

GRAFICAS DE FUNCIONES

DEFINICIONES BSICAS

PAR ORDENADO.- Es un ente matemtico formado por dos elementos,

denotado por (a ; b), donde a es la primera componente y b es la segunda componente. En trminos de conjunto de el par ordenado (a ; b) se define como:

(a; b) = a ; a ; b

Igualdad de pares ordenados.- Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus primeras y segundas componentes son iguales respectivamente, es decir:

(a; b) = (c ; d) a = c b = d

Ejemplo.-1.- Si los pares ordenadas (2x + 3y; 7x - 2y), (13;8) son iguales, hallar el valor de (x-y)

Solucin :

Ya que los pares ordenados son iguales, por definicin se cumple.

2x + 3y = 13 ................... (1)

7x 2y = 8 ..................... (2)

Resolviendo el sistema por determinantes.

EJERCICIOS

1. Calcular : (x + y) si los pares ordenados.

((a + b) x (a-b) y; 2a2 2b) y

(4 ab; (a-b)x + (a + b)y) son iguales.

Rpta. 2a.

2. Si los pares ordenados

y son iguales, determine el valor numrico de :

Rpta. 17

PRODUCTO CARTESIANO

Dado dos conjuntos A y B no vacos, se define el producto cartesiano A x B como el conjunto de pares ordenados (a, b) tal que a A b B; es decir:

A x B = {(a;b) / a A b B}

En el conjunto de pares ordenados (a,b), las primeras componentes se encuentran en el conjunto A y las segundas componentes en el conjunto B.

Ejemplo 2.- Dado los conjuntos

A = {1, 2} y B = {a, b}

Determine a) A x B

b) B x A

SOLUCIN

a. Mediante el Diagrama de rbol

ABA x B

a(1; a)

1

b(1; b)

a(2; a)

2

b(2; b)

A x B = {(1;a), (1;b), (2;a), (2;b)}

b. De otro lado

BAB x A

1(a;1)

a

2(a;2)

1(b;1)

b

2(b;2)

B x A = {(a;1), (a;2), (b;1), (b;2)}

En este ejemplo vemos que :

A x B B x A

OBSERVACIN.- El producto cartesiano se puede extender a tres o ms conjuntos no vacos, es decir:

AxBxC={(a,b,c)/ a A bB c C}

Donde (a, b, c) es un terma ordenada definida en trminos de conjuntos.

(a, b ,c) = { {a}, {a, b}, {a, b, c}}

PROPIEDADES GENERALES DEL PRODUCTO CARTESIANO

1. Si n(A) es el nmero de elementos del conjunto A y n(B) es el nmero de elementos del conjunto B, entonces n (A x B) = n(A).n(B) es el nmero de elementos del producto cartesiano A x B.

2. El producto cartesiano en general no es conmutativo , es decir

A x B B x A, a menos que A = B.

3. A x B = ; si A es vaco o B es vaco.

4. N (A x B x C) = n(A) . n(B). n(C)


A = {X Z/ 6 < x 2 < 12}

B ={X Z/ -4 x + 3 < 9}

Cuntos elementos tiene, A x B?

Solucin :

Para el conjunto A, se cumple:

6 < x 2 < 12

Sumando 2 a todos los miembros de la desigualdad, se obtiene.

8 < x < 14

A = {9,10,11,12,13} n(A) = 5

Para el conjunto B, se cumple:

-4 X + 3 < 9

Adicionando 3 a todos los miembros de la desigualdad, se obtiene:

-7 x < 6

B = { -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;-1;-2;

-3;-4;-5}

Con lo cual n(B) = 13

n (A x B) = n (A).n (B)= (5) (13)= 65


A B

1

2

3

a

e

Determine grficamente :

i) A x B ii) B x A

Solucin

i) Grfica de : A x B

B

a b

A

3

2

1

0

ii) Grfica de B x A

1 2 3

B

A

b

a

0

de i) y ii) vemos que : A x B B x A

EJERCICIO

1. Dado los conjuntos

A = {X N / X2 -2 < 23}

B = {X Z+0 / X2- 3 < 6}

C = {X Z / 3 < X 6 12}

Cuntos elementos tiene : A x B x C?

Rpta. : 108

RELACIONES

Definicin.- Dadas dos conjuntos A y B no vacos, se llama una relacin R de A en B a un subconjunto cualquiera de A x B.

R es una relacin de A en B R A x B

Nota.- Una relacin de A en B se llama tambin relacin binaria.

Definicin.- Un conjunto R es una relacin en A si y solo s R A x A

Ejemplo 5.- Dado el conjunto

A = {1, 3, 5} y una relacin R en A definida por :

(x , y) R y = x + 2

Cuantos elementos tiene R.

Solucin :

Notemos que el conjunto A x A es :

A x A = {(1;1), (1;3), (1;5); (3;1)

(3;3),(3;5),(5,1);(5;3);(5,5)}

Luego una relacin R en A de elementos (x, y) tal que y = x + 2 es:

R = {(1;3), (3;5)}; vemos que la relacin R tiene 2 elementos.

Ejemplo 6.- Sea el conjunto

A = {2, 4 ,6 ,8}. Donde las relaciones R1 y R2 en A estn dadas por :

R1 = {(x , y}/ x + y = 10}

R2= {(x , y) / y = x}

Hallar : n (R1) y n (R2)

Solucin :

Teniendo en cuenta que :

R1 = {(x, y}/ x + y = 10} entonces

R1 = {(2;8), (4;6),(8;2),(6;4)}

De otro lado

R2= {(x, y)/y =x} entonces

R2= {(2;2); (4;4);(6;6);(8;8)}

n(R1) = 4 y n(R2) = 4

CLASES DE RELACIONES

A. Relaciones reflexivas.- Dado un conjunto R de pares ordenados R es una relacin reflexiva en A

Si : a A ; (a ; a) R

B. Relaciones Simtricas.- Dado un conjunto R de pares ordenados R es una relacin simtrica en A.

Si : (a;b) R (b; a) R

C. Relaciones transitivas.- Dado un conjunto R de pares ordenados la relacin R en un conjunto A es una relacin transitiva en A.

Si : (a;b) R (b;c) R (a;c) R

D. Relaciones de equivalencia.- Una relacin R en un conjunto no vaco A es una relacin de equivalencia en A, si en forma simultanea satisface las siguientes condiciones:

i. R es reflexiva :

a A ; ( a ; a ) R

ii. R es simtrica :

(a ; b ) R (b; a) R

iii. R es transitiva.

[(a;b) R (b;c) R] (a;c) R

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN

B

A

R

x

y

Dom (R)

Rang (R)

(x,y) R

R es una relacin de A en B si

R A x B ; donde :

A x B = {(x,y) / x A y B)

Dominio de la relacin R .- Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de R, es decir:

Dom (R) = x/ (x, y) R C. A.

Rango de la relacin R.- Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de R, es decir:

Rang (R) = y /(x,y) R B

Ejemplo.- Dado los conjuntos

R

A

B

5

6

7

8

1

2

3

4

Donde R es una relacin de A definida por:

R = (1,5), (2,8), (3,5), (2,7)

Determine : Dom (R) y Rang (R)

Solucin:

Como el dominio est determinado por las primeras componentes.

Dom (R) = 1, 2, 3

De otro lado como el rango est determinado por las segundas componentes :

Rang (R) = 5, 8, 7

EJERCICIOS

1) Dado los conjuntos:

A = 1, 4, 9 B = 2, 8, 9

R1 y R2 son relaciones de A en B tal que:

R1 = (a, b) A x B / a b

R2 = (a, b) A x B / a + b 6

Determine : n (R1) + n (R2)

Rpta. 9

2) Dado el conjunto

A = 1, 2, 3, 4, 6, 8 y la relacin R en A : R = (x,y) /5 es divisor de x + y, hallar la suma de todos los elementos del dominio de R.

Rpta. ______

3) Dada la relacin R definida en los nmeros reales:

R = (x, y) / x-y 6

el valor veritativo de :

I. R es simtrica

II. R es reflexiva

III. R es transitiva

IV. R no es de equivalencia

es:Rpta. V V F V

FUNCIONES

Dado dos conjuntos no vacos A y B y una relacin f A x B, se define:

f es una funcin de A en B si y solamente si para cada x A existe a lo ms un elemento y B , tal que el par ordenado (x, y) f .

Observacin.- Dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente; para la funcin f.

(x; y) f (x; z) f y = z

Siendo A = Conjunto de partida

YB = Conjunto de llegada

i) Son funciones:

f2

1

2

3

4

B

A

5

4

5

B

A

f1

a

b

c

d

e

f

B

A

f3

1

2

3

ii) No son funciones

1

2

3

4

5

B

A

f4

f5

A

B

8

7

6

2

3

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIN

Dominio de f: Dom (f)

Se llama tambin pre-imagen y es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A. (Dom (f) A)

Rango de f = Rang (f)

Llamado tambin imagen, recorrido o contradominio, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B (Rang. (f) B)

Ejemplo.- Dada la relacin representada por el diagrama sagital.

a

b

j c

k d

i

i

B

A

f1

e

f

g l

h m

i

Hallar Dom (f) Rang (f)

Solucin:

Vemos que la funcin est dada por:

f= (a; f) , (b ; e) , (c; f) , (d;h), (i;g)

luego por definicin:

Dom (f) = a; b; c; d; i

Rang (f) = f ; e; h; g

APLICACIN

La funcin f se denomina aplicacin de A en B si y solamente si todo elemento x A sin excepcin, tiene asignado un elemento y B y solamente uno, en tal caso se denota de la siguiente forma:

f

f : A B A B

Para este caso

Dom (f) = A Rang (f) B

FUNCIN REAL DE VARIANTE REAL

Si los conjuntos A y B, de partida y llegada respectivamente de una funcin f son conjuntos de nmeros reales, entonces f es una funcin real de variable real y por ello f tendr una representacin grfica en el plano R2. Existe una relacin unvoca entre la variable independiente x y su imagen la variable dependiente y; es decir:

f = (x; y) R x R/ x Dom(f) y = f(x)

Propiedades Geomtrica.- Una relacin f R x R es una funcin real, si y solo s, toda recta vertical o paralela al eje y corta a la grfica f a lo ms en un punto.

Respecto a las grficas:

y

L

L

y

f2

f1

x

x

0

0

f1 es funcin

L corta en un punto

f2 no es funcin

L corta en dos puntos

FUNCIONES ESPECIALES

Funcin constante.- Se simboliza por C y su regla de correspondencia est dada por C (x) = f(x) = k

0

k

f

x

y

i) Don (f) R ii) Rang (f) = K

Funcin Identidad.- Se simboliza por I, y su regla de correspondencia es:

I (x) = f (x) = x

y

y

f

0

45

i) Dom (f) = R

ii) Rang (f) = R

Funcin Valor Absoluto.- Su regla de correspondencia est dada por:

x ; x 0

y = f(x) = x0 ; x = 0

-x ; x 0

y

f(x) =x

x

0

i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = [0;

Funcin Signo.- Se simboliza por sgn su regla de correspondencia est dada por:

-1 ; x 0

y = f(x) = sgn (x) 0 ; x = 0

1 ; x 0

x

y

-1

0

1

i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = -1, 0, 1

Funcin raz cuadrada.- Se simboliza por el signo radical y su regla de correspondencia es:

y = f(x) =

0

x

1

F(x)=

y

1

i) Dom(f) =[0; ii) Rang (f) = [0;

Funcin cbica.- Est determinada por la regla de correspondencia.

y = f(x) = x3

y

f(x) = x3

81

1 2

0

x

I) Dom (f) = R

II) Rang (f) = R

Funcin Escaln Unitario.- Est denotado por U y su regla de correspondencia es:

0 ; x 0

y = f(x) = U (x) =

1 ; x 1

0

1

x

U(x)

f(x)= U(x)

i) Dom (f) = [0; ii) Rang (f) = 1

Funcin Cuadrtica.- La regla de correspondencia de esta funcin est dada por:

y = f(x) = ax2 + bx + c ; a 0

Se presentan dos casos

f(x)=ax2+bx+c

1. a 0

x

X2

X1

c

h

Vrtice = v (h,k)

k

V(h; k) = V

i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = [-k;

2. a 0

k

Vrtice = V(h,k)

x1

x2

h

c

V(h; k) = V

i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = - , k

Funcin Inverso multiplicativo

Es aquella funcin cuya regla de correspondencia es:

y = f(x) = ; donde x 0

x

y

f(x) =

i) Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) = R -0

Funcin mximo entero.- Es aquella funcin definida por:

f(x) = [x] ; Si n x n + 1 ; n z

Dando valores a n

-2 ; Si 2 x -1

-1 ; Si 1 x 0

f(x) = [x] 0 ; Si 0 x 1

1 ; Si 1 x 2

2 ; Si 2 x 3

y

1

2

1

x

-3 -2 -1 1 2 3

x

-1

-2

i) Don (f) = R ii) Rang (f) = Z

EJERCICIOS

1. Hallar el dominio y rango de la funcin:

f (x) = ; x 0

Solucin

x ; x 0

Dado que x =

x ; x 0

la regla de la correspondencia de la funcin f(x), donde x 0; es :

; x 0

f (x)

; x 0

y

Graficando:

f(x) =

2

x

i) Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) = 0, 2

-

-

5

7

2

5

;

x

y

y

x

+

x

-

2a

4ac

-

b

-

;

2

a

2

b

x

1

x

x

x

+

2

x

x

x

=

+

0

x

x

-

x

=

x

x

x

+

2

21

4

24

26

2

7

3

2

2

8

3

13

X

=

-

-

-

-

=

-

-

=

3

21

4

91

16

2

7

3

2

8

7

13

2

Y

=

-

-

-

=

-

=

+

-

+

-

+

+

-

-

-

+

3

2

1

1

3

3

2

5

1

4

y

x

y

x

y

x

y

x

;

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