Embed Size (px)
DESCRIPTION
Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D Spelen en Delen. Frank Thuijsman 1 juli 2010. Inhoudsopgave Boekje. Een Bankroet Probleem uit de Talmud Coöperatieve Spelen Rationaliteit en Kennis Spelen in Strategische Vorm Matrixspelen - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Department of Knowledge Engineering
Workshop Speltheorie t.b.v. Netwerk Wiskunde D
Spelen en DelenFrank Thuijsman 1 juli 2010
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 3/55
Inhoudsopgave Boekje
1. Een Bankroet Probleem uit de Talmud2. Coöperatieve Spelen3. Rationaliteit en Kennis4. Spelen in Strategische Vorm5. Matrixspelen6. “Huwelijksproblemen”7. Eindopdrachten8. Antwoorden
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 4/55
Programma vanmiddag
1. Een Bankroet Probleem uit de Talmud2. Coöperatieve Spelen3. 4. Spelen in Strategische Vorm5. Matrixspelen6. “Huwelijksproblemen”7. 8.
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 5/55
Een Bankroet Probleem uit de Talmud
100 200 300
100 33.33
200 33.33
300 33.33
Nalatenschap
Weduwe
50
75
75
50
100
150
“Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’
Hoe moet 400 verdeeld worden?
Wat als een vierde weduwe 400 claimt?
Gelijk Proportioneel???
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 6/55
De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft,
als eerst de claims van de andere spelers betaald worden.
Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
100 200 300
100 50
200 75
300 75
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S)
De nucleolus van het spel
0 0 0 0 0 100 2000
100 200 300
100
200
300
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 7/55
Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen
100 200 300
A 100 33.33
B 200 33.33
C 300 33.33
De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft,
als eerst de claims van de andere spelers betaald worden.
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S)
De nucleolus van het spel
0 0 0 0 0 0 0 100
100 200 300
A 100
B 200
C 300
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 8/55
De waarde van coalitie S is het bedrag dat overblijft,
als eerst de claims van de andere spelers betaald worden.
Talmud Probleem en Coöperatieve Spelen
100 200 300
100 50
200 100
300 150
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S)
De nucleolus van het spel
0 0 0 0 0 100 200 300
100 200 300
100
200
300
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 9/55
Coöperatieve Spelen
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
kosten of winsten verdelen op basis van de waarden van de coalities
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 10/55
De Core S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
(14,0,0) (0,14,0)
(0,0,14)
(6,0,8)
(6,8,0)
(0,7,7)
(7,7,0)
(7,0,7)
Leeg
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 11/55
Lloyd S. Shapley
A value for n-person games, In: Contribution to the Theory of Games, Kuhn and Tucker (eds), Princeton, 1953
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 12/55
De Shapley-waarde
Voor coöperatieve spelen is er precies één oplossingsconcept dat voldoet aan de eigenschappen:
- Anonimiteit
- Efficiëntie
- Dummy
- Additiviteit
De Shapley-waarde Φ geeft elke speler
het gemiddelde van zijn marginale bijdragen
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 13/55
De Shapley-waardeS Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
A B C
A-B-C
A-C-B
B-A-C
B-C-A
C-A-B
C-B-A
Som:
Φ:
6 3 5
6 3 5
2 7 5
3 7 4
4 3 7
3 4 7
24 27 33
4 4.5 5.5
Marginale bijdragen
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 14/55
David Schmeidler
The nucleolus of a characteristic function game, SIAM Journal of Applied Mathematics 17, 1969
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 15/55
(14,0,0) (0,14,0)
(0,0,14)
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6-2 7-2 7-2 9-2 11-2 11-2 14
(4,5,5) de nucleolus
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6 7 7 9 11 11 14
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 6-x 7-x 7-x 9-x 11-x 11-x 14
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 4 5 5 7 9 9 14
LeegΦ = (4, 4.5, 5.5)
De Nucleolus
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 16/55
100 200 300
A 100 33.33 50 50
B 200 33.33 75 100
C 300 33.33 75 150
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 0 0 100
(100,0,0) (0,100,0)
(0,0,100)
de nucleolus
Talmud-spelen
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 17/55
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
Talmud-spelen
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 0 100 200
(200,0,0) (0,200,0)
(0,0,200)
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 18/55
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
Talmud-spelen
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 0 100 200
(200,0,0) (0,200,0)
(0,0,200)
de nucleolus
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 19/55
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
Talmud-spelen
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 100 200 300
(300,0,0) (0,300,0)
(0,0,300)
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 20/55
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
Talmud-spelen
S Ø A B C AB AC BC ABC
v(S) 0 0 0 0 0 100 200 300
(300,0,0) (0,300,0)
(0,0,300)
de nucleolus
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 21/55
Een Bankroet Probleem uit de Talmud
100 200 300
100 33.33
200 33.33
300 33.33
Nalatenschap
Weduwe
50
75
75
50
100
150
“Andere verdeelproblemen moeten op dezelfde manier opgelost worden.’’
Hoe moet 400 verdeeld worden?
Wat als een vierde weduwe 400 claimt?
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 22/55
Een andere Mishna uit deTalmud luidt:
“Twee houden een kleed vast; de een claimt het hele kleed, de ander claimt de helft. Dan krijgt de een 3/4, de ander 1/4.”
Baba Metzia 2a, Fol. 1, Babylonian Talmud, Epstein, ed, 1935
De Oplossing
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 23/55
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
samen 125
100
200
De één claimt 100, de ander allesdus 25 is voor de ander;de rest (100) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft
samen 125
100
200 25
samen 125
100 50
200 25+50
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 24/55
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
Ieder claimt alles,dus elk krijgt de helft
samen 66.66
100 33.33
300 33.33
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 25/55
Consistentie
100 200 300
100 33.33 50 50
200 33.33 75 100
300 33.33 75 150
samen 250
200
300
De één claimt 200, de ander allesdus 50 is voor de ander;de rest (200) claimen beiden, dus daarvan krijgt elk de helft
samen 250
200
300 50
samen 250
100 100
200 50+100
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 26/55
Marek M. Kaminski
‘Hydraulic’ rationing, Mathematical Social Sciences 40, 2000
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 27/55
50
50 100
100
150
150
Communicerende Vaten
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 28/55
Communicerende Vaten: 100
33.3333.33 33.33
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 29/55
Communicerende Vaten: 200
7550
75
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 30/55
Communicerende Vaten: 300
150
100
50
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 31/55
Communicerende Vaten: 400
50
125 225
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 32/55
Communicerende Vaten: 400 voor 4
125100
50
125
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 33/55
Spelen in Strategische Vorm
Nash-evenwicht voor een n-persoons spel:
Een n-tal strategieën, voor elke speler één,
met de eigenschap dat voor elke speler
zijn strategie een beste antwoord is
tegen de strategieën van de anderen.
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 34/55
Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54, 1951
1994: Nobelprijs EconomieJohn F. Nash John C. HarsanyiReinhard Selten
“A Beautiful Mind”
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 35/55
Evenwicht in een Bimatrixspel?
Speler 2
Speler 1 4,0 0,3
-1,3 5,0
“gemengde acties”
1-p
p
1-q q
“verwachte uitbetalingen”
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 36/55
Evenwicht in een Bimatrixspel?
Speler 2
Speler 1 4,0 0,3
-1,3 5,0
4(1-q) = 4-4q
-(1-q)+5q = -1+6q
1-q q
Als q = 0.5, dan geldt 4-4q = -1+6q, en dan is Boven even goed als Onder voor speler 1.
De verwachte uitbetaling voor speler 1 is dan 2,ongeacht of hij Boven of Onder kiest.
Verwachteuitbetaling:
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 37/55
Evenwicht in een Bimatrixspel?
Speler 2
Speler 1 4,0 0,3
-1,3 5,0
1-p
p
3p 3(1-p)
Als p = 0.5, dan geldt 3p = 3(1-p), en dan is Links even goed als Rechts voor speler 2.
De verwachte uitbetaling voor speler 2 is dan 1.5,ongeacht of hij Links of Rechts kiest.
Verwachte uitbetaling:
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 38/55
Evenwicht in een Bimatrixspel!
Speler 2
Speler 1 4,0 0,3
-1,3 5,0
een “gemengd” evenwicht
0.5
0.5
0.5 0.5
met (verwachte) uitbetaling (2, 1.5)
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 39/55
Matrixspelen
Speler 2
Speler 1 4,-4 0,0
-1,1 5,-5
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 40/55
Matrixspelen
Speler 2
Speler 1 4 0
-1 5
1-p
p
4-5p 5p
p10
5
4
0
-1
Verwachte uitbetaling:
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 41/55
Matrixspelen
Speler 1 wil p zo kiezendat het minimum van 4-5p en 5pmaximaal is.Bij p = 0.4, minimum 2.
4-5p 5p
p10 0.4
5
4
0
-1
2
Speler 2
Speler 1 4 0
-1 5
1-p
p
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 42/55
Matrixspelen
Speler 2 wil q zo kiezendat het maximum van 4-4q en -1+6qminimaal is.Bij q = 0.5, maximum 2.
1-q q
q10 0.5
5
4
0
-1
2
Speler 2
Speler 1 4 0
-1 5
4-4q
-1+6q
4-4q -1+6q
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 43/55
De Waarde van het Spel
q10 0.5
5
4
0
-1
2
4-4q -1+6q
p10 0.4
5
4
0
-1
2
het maximum van de minima = 2 = het minimum van de maxima
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 44/55
De Minimax-stellingJohn von Neumann, 1928
Voor elk matrixspel bestaat ereen getal v, de waarde, en optimale strategieën x en y, zodat x aan speler 1 een uitbetaling van minstens ven y aan speler 1 een uitbetaling van hoogstens v garandeert.
In andere woorden: Voor elke matrix A geldt: max min xAy = min max xAy
x y y x
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 45/55
John von Neumann Oskar Morgenstern
Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 46/55
Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 47/55
Het Oplossen van (Bi-)Matrixspelen
• Matrixspelen kunnen opgelost worden m.b.v. lineair programmeren; bijv. met de simplexmethode.
• De minimax-stelling kan bewezen worden met de dualiteitsstelling van lineair programmeren.
• Voor bimatrixspelen kunnen evenwichten gevonden worden d.m.v. een pivoting algoritme dat lijkt op de simplexmethode.
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 48/55
“Huwelijksproblemen” 1 2 3 4 5
Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Harry Lenny
Conny Lenny Harry Gerry Freddy Kenny
Dolly Harry Lenny Freddy Gerry Kenny
Emmy Harry Kenny Gerry Lenny Freddy
1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly
Gerry Dolly Anny Betty Emmy Conny
Harry Emmy Anny Dolly Betty Conny
Kenny Emmy Conny Anny Dolly Betty
Lenny Emmy Anny Betty Conny Dolly
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 49/55
“Huwelijksproblemen” 1 2 3 4 5
Anny Freddy Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Lenny
Conny Lenny Gerry Freddy Kenny
Dolly Lenny Freddy Gerry Kenny
Kenny Gerry Lenny Freddy
1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny Dolly
Gerry Dolly Anny Betty Conny
Anny Dolly Betty Conny
Kenny Conny Anny Dolly Betty
Lenny Anny Betty Conny Dolly
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 50/55
“Huwelijksproblemen” 1 2 3 4 5
Anny Freddy Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Lenny
Conny Lenny Gerry Freddy Kenny
Dolly Lenny Gerry Kenny
Kenny Gerry Lenny Freddy
1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny
Gerry Dolly Anny Betty Conny
Anny Dolly Betty Conny
Kenny Conny Anny Dolly Betty
Lenny Anny Betty Conny Dolly
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 51/55
“Huwelijksproblemen”
Lloyd S. Shapley
College admissions and the stability of marriage, American Mathematical Monthly 69, 1962
David Gale
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 52/55
“Huwelijksproblemen” 1 2 3 4 5
Anny Freddy Harry Kenny Gerry Lenny
Betty Gerry Kenny Freddy Harry Lenny
Conny Lenny Harry Gerry Freddy Kenny
Dolly Harry Lenny Freddy Gerry Kenny
Emmy Harry Kenny Gerry Lenny Freddy
1 2 3 4 5
Freddy Conny Betty Anny Emmy Dolly
Gerry Dolly Anny Betty Emmy Conny
Harry Emmy Anny Dolly Betty Conny
Kenny Emmy Conny Anny Dolly Betty
Lenny Emmy Anny Betty Conny Dolly
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 53/55
“Huwelijksproblemen”
Gale-Shapley algoritme:
- Geeft de beste stabiele koppeling voor de “aanzoekers”
- Ook toepasbaar wanneer de groepen niet even groot zijn
- Ook wanneer niet elk aan elk gekoppeld wil worden
- Ook toepasbaar voor “college admissions”
Department of Knowledge Engineering
1 juli 2010 54/55
Hartelijk Dank voor Uw Aandacht!
