Wprowadzenie Do Topologii

WPROWADZENIE DO TOPOLOGII

1 Przestrzenie metryczne przykłady przestrzeni metrycznych przestrzenie unormowane iloczyn skalarny topologia ciągi liczbowe domknięcie i wnętrze zbioru charakteryzacja zbioroacutew domkniętych

2 Odwzorowania ciągłe metryki roacutewnoważne 3 Przestrzenie metryczne zupełne twierdzenie Banacha o punkcie stałym

twierdzeniee Cantora twierdzenie Bairersquoa 4 Przestrzenie zwarte i podzbiory zwarte charakteryzacja podzbioroacutew

zwartych w R n twierdzenie Weierstrass o przyjmowaniu wartości najmniejszej i największej roacutewnoważność norm w R n lemat Lebesguelsquoa lemat o εndashsieci jednostajna ciągłość twierdzenie Borela lemat Diniego twierdzenie Arzeli twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa

5 Przestrzenie ośrodkowe 6 Przestrzenie spoacutejne 7 Twierdzenie Urysohna o zanurzeniu w kostkę Hilberta 8 Parazwartość przestrzeni metrycznych ndash twierdzenie Stonersquoa twierdzenie

Dugundjirsquoego o przedłużeniu odwzorowań zastosowania twierdzenia Dugundji

9 Iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych lemat Alexandera twierdzenie Tichonowa

PRZESTRZENIE METRYCZNE

Przestrzenią metryczną nazywamy parę (Xρ) gdzie X jest zbiorem ρ XtimesXrarr[0infin) funkcją zwaną metryką ktoacutera każdej parze (xy)isin XtimesX przyporządkowuje liczbę ρ(xy) zwaną odległością pomiędzy punktami x i y i ktoacutera spełnia trzy warunki

1) forallisinXyxρ(xy)=0hArr x=y (zwrotność)

2) forallisinXyx

ρ(xy)=ρ(yx) (symetryczność)

3) forallisinXyx

ρ(xy)le ρ(xz)+ρ(zy) (warunek troacutejkąta)

Pojęcie przestrzeni metrycznej wprowadził w 1906 roku Frēchēt

Najprostszym przykładem przestrzeni metrycznej (Xρ) jest przestrzeń dyskretna z

metryką dyskretną

ρ(xy)= Xyxyxdla

yxdlaisin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

Przestrzenie dyskretne nie są ciekawym obiektem badań z punktu widzenia topologii dla nas będą interesujące przestrzenie euklidesowe w R n

R n =( isinforall=

n xxx21

Z metryką euklidesową

ρ(xy)= sum=

minusn

iii yx

2)( gdzie )( 1 ni xxx = )( 1 ni yyy =

Bez trudu można zauważyć że tak zdefiniowane funkcje ρ spełniają warunki zwartości i symetryczności Natomiast przy sprawdzaniu warunku troacutejkąta możemy skorzystać z nieroacutewności Cauchyrsquoego

sumsumsum===

sdotlen

iii baba

Teraz możemy przystąpić do sprawdzenia warunku troacutejkąta Niech iii yxc minus= iii zxa minus= iii yzb minus= Wtedy

ρ 2 (xy)=sum=

2 =sum=

iii ba

2)( = sumsumsum===

ii bbaa

2 2 sumsumsum===

sdot+len

ii baa

2 )( sumsum==

ii ba = [ρ(xz)+ρ(zy)] 2 Zatem dla każdego xyzisinX

ρ(xy)le ρ(xz)+ρ(zy) Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność ) Ćwiczenie Sprawdzić że jeśli tane b dla każdego tisinR to )ba le ||a||middot||b||

Przykłady przestrzeni metrycznych 1 metryka dyskretna na zbiorze X

ρ(xy)= Xyxyxdla

yxdlaisin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

1 - jest nieinteresująca dla analizy

2 metryka euklidesowa

ρ(xy)= sum=

minusn

iii yx

2)( gdzie )( 1 ni xxx = )( 1 ni yyy = isinR n

3 przestrzeń l )(np Na zbiorze R n wprowadzamy metrykę

ρ(xy)=pn

pii yx

1|| ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minussum

dla pgt1

Gdy p=2 otrzymujemy metrykę euklidesową na R n Przy sprawdzaniu że ρ jest metryką jedynie warunek troacutejkąta jest trudny do sprawdzenia należy powołać się na nieroacutewność Minkowskiego

1gegt⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡le⎥

⎤⎢⎣

⎡+ sumsumsum

pii bapbaba

4 przestrzeń l p (pge 1) ||)(1

21 suminfin

infinlt=i

pip xxxl z metryką

ρ(xy)=p

pii yx

1|| ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minussum

l 2 - nazywa się przestrzenią Hilberta 5 przestrzeń ciągoacutew ograniczonych

||)( 21 xiiM

Mxxxxmx

le== forallexist ||sup)( iii

yxyx minus=ρ

6 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R | f-ciągła z metryką ][|)()(sup|)( baxxggfgf isinminus=ρ

7 C p [ab] Na zbiorze C[ab] określamy metrykę

p dxxgxfgf

|)()(|)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= intρ pge 1

Jedynie warunek troacutejkąta jest trudny do sprawdzenia Wynika on z nieroacutewności Minkowskiego dla całek

p dttgdttfdttgtf111

)|)(|()|)(|()|)()(|( intintint +le+

a oto szkic dowodu

leΔ+Δ=Δ+asymp+ sumsumint==

p tgtftgfdttgtf1

|))(())((|)|)()(|()|)()(|( ξξξξ

asympΔ+Δle sumsum==

pigoMinkowskien

1)|)(|()|)(|( ξξ p

p dttgdttf11

)|)(|()|)(|( intint +

gdzie ][ 1110 iiiiiin tttttbttta minusminus isinminus=Δ=ltltle= ξ

PRZESTRZENIE UNORMOWANE Przestrzenią unormowaną nazwiemy parę (X||middot||) gdzie X jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych natomiast funkcja ||middot|| Xrarr[0infin) zwana normą spełnia następujące warunki

1) forallisinXx

||x||=0hArr x=0

2) forallisinXyx

||x+y||le ||x||+||y||

3) forallforallisinisin RtXx

||tx||=|t|middot||x||

Każda norma wyznacza metrykę

ρ(xy)=||x-y|| Omoacutewiona poprzednio metryka euklidesowa była wyznaczona przez normę euklidesową

||x||= sum=

2 dla x=( nxx 1 )

Ogoacutelnie na zbiorze R n można wprowadzić wiele roacuteżnych norm np

a) ||x||= ||1sum=

iix - norma modułowa

b) ||x||=max| ix | i=1n ndash norma bdquomaksimumrdquo

c) ||x||= pn

)||(sum=

dla gep 1

Zanotujmy jeszcze jeden przykład przestrzeni z ktoacuterą często spotykamy się na kursie z analizy matematycznej jest to przestrzeń C[ab] wszystkich funkcji ciągłych f [ab]rarrR określonych na przedziale [ab] z normą

||f||=sup|f(x)| xisin[ab] Ćwiczenie Sprawdzić że jeśli tane b dla każdego tisinR to ba lt||a||middot||b|| oraz jeśli ta=b to

| ba |=||a||middot||b||

a-ε a+ε ( ) a

ILOCZYN SKALARNY W przestrzeniach euklidesowych R n możemy zdefiniować iloczyn skalarny

iii yxyx

Pojęcie iloczynu skalarnego będzie odgrywało bardzo ważną rolę w naszych rozważaniach związanych z ekonomią Związek pomiędzy normą i iloczynem skalarnym przedstawia roacutewność

xxx |||| 2= natomiast nieroacutewność Cauchyrsquoego można zapisać w postaci

leyx ||x||middot||y|| Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność Cauchyrsquoego

TOPOLOGIA Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną aisinX ndash ustalonym punktem oraz εgt0 ndash ustaloną liczbą dodatnią Kulą o środku aisinX i promieniu εgt0 nazywać będziemy zbioacuter

K(aε)=xisinX ρ(ax)ltε Poniższe rysunki przedstawiają kule na płaszczyźnie R 2 w metrykach odpowiednio a) euklidesowej b) modułowej i c) rdquomaksimumrdquo (a) (b) (c) Natomiast na prostej R każdy przedział (a-εa+ε) jest kulą o środku w punkcie a i promieniu ε K(aε)= (a-εa+ε) Z każdą metryką ρ XtimesXrarr[0infin) zadaną na zbiorze X związana jest rodzina Τ(ρ)sub 2 x zwana topologią wyznaczoną przez metrykę ρ

AisinΤ(ρ)hArr existforallgtisin 0εAa

K(aε)subA

Elementy rodziny T(ρ) nazywać będziemy zbiorami otwartymi Inaczej moacutewiąc zbioacuter A jest otwarty AisinΤ(ρ) gdy każdy punkt a należący do zbioru A jest środkiem pewnej kuli zawartej w zbiorze A

Topologia T(ρ) ma następujące własności

1) Oslash XisinT(ρ) 2) A BisinT(ρ)rArrAcapBisinT(ρ) (przekroacutej 2-ch zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym) 3) SsubT(ρ) Υ SAA isinrArr isinT(ρ) (suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem

otwartym) Powyższe trzy własności topologii T(ρ) posłużyły do zastąpienia pojęcia przestrzeni metrycznej przez ogoacutelniejsze pojęcie przestrzeni topologicznej Przestrzenią topologiczną nazywamy parę (XT) gdzie X jest zbiorem natomiast Tsub2 x jest pewną rodziną podzbioroacutew zbioru X ktoacutera ma następujące własności

1) Oslash XisinT 2) A BisinTrArrAcapBisinT 3) SsubT Υ SAA isinrArr isin T

Elementy z topologii T nazwiemy zbiorami otwartymi natomiast ich dopełnienia zbiorami domkniętymi Z warunku 3) topologii wynika że suma dowolnej ilości zbioroacutew otwartych jest zbiorem otwartym oraz przekroacutej dowolnej ilości zbioroacutew domkniętych jest zbiorem domkniętym Pojęcie topologii zostało ostatecznie sformułowane przez Cantora i Hausdorffa Z określenia topologii wynika że istnieje w sensie porządku wyznaczonego przez inkluzję bdquosub rdquo na zbiorze 2 x najmniejsza topologia na X oraz największa topologia na X Są nią odpowiednio topologia antydyskretna T=Oslash X oraz topologia dyskretna T=2 x Z faktu że 2 x jest topologią wynika następująca obserwacja Obserwacja

Dla dowolnej rodziny Ssub2 x istnieje najmniejsza topologia T S zawierająca S Istnieje dokładnie jedna topologia T 0 ktoacutera ma następujące własności

1) Ssub T S 2) Dla każdej topologii Tsub X2 jeśli SsubT to T 0 subT

Dowoacuted T S = Ι T TisinW gdzie W=T SsubT andT jest topologią Zauważmy że rodzina

topologii W jest niepusta bo 2 X isinW Najmniejszą topologią T S ktoacutera zawiera rodzinę Ssub 2 x można zdefiniować w trzech etapach przez konstrukcję

1) podbazy P S =Scup Oslash X 2) bazy B S = Si

nin PAAA isincapcap forall

1 Κ nisinN

3) topologii T S =ΥW Wsub B S

Zatem topologia T S wyznaczona przez rodzinę S składa się ze wszystkich zbioroacutew będących sumami skończonych przekrojoacutew z rodziny S przy tym możemy zawsze dodatkowo założyć że rodzina S zawiera zbioacuter X oraz zbioacuter pusty Z pojęciem topologii wiąże się pojęcie bazy i podbazy dla danej topologii Rodzinę BsubT nazywamy bazą dla topologii T gdy

existforallforallisinisinisin BBAxTA

xisinBsubA

Natomiast rodzinę PsubT nazywamy podbazą dla topologii T gdy

existforallforallisinisinisin PBBAxTA nΚ1

xisinB 1 capcapΚ B n subA

Każda topologia T stanowi sama dla siebie bazę i podbazę Z definicji bazy i podbazy dla topologii wynika że PsubT i BsubT Omoacutewmy na przykładach pojęcie bazy i podbazy Przykład 1

Rodziny B wszystkich kul K(xε) xisinX εgt0 stanowi bazę dla topologii T(ρ) wyznaczoną przez metrykę ρ XtimesXrarr[0infin) Aby to stwierdzić wystarczy zauważyć że kule K(xε) są otwarte w sensie topologii T(ρ) Niech yisin K( x ε) i niech η=ε-ρ(xy) Z nieroacutewności troacutejkąta wynika że K(yη)subK(xε) (bo zisinK(yη) pociąga że ρ(xz)le ρ(xy)+ρ(yz)ltρ(xy)+η =ρ(xy)+ε-ρ(xy)=ε) Przykład 2

W przypadku gdy ρ jest metryką dyskretną zbiory jednopunktowe x xisinX stanowią bazę dla topologii T(ρ) W tym przypadku T(ρ)= 2 x tzn T(ρ) jest topologią dyskretną na zbiorze X Przykład 3

Na zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy rodzinę P złożoną ze zbioroacutew postaci (ararr)=xisinR xgta xisinX (larr a)=xisinR xlta xisinX

Rodzina P jest podbazą dla topologii T(ρ) wyznaczonej przez metrykę ρ RtimesRrarr[0infin) ρ(xy)=|x-y| Natomiast przedziały (ab)=xisinR altxltb altb abisinR będą stanowiły bazę dla topologii T(ρ) Topologię T(ρ) nazywać będziemy topologią naturalną na zbiorze liczb rzeczywistych Przykład 4

Ciekawym przykładem topologii na zbiorze liczb rzeczywistych jest topologia Sorgenfreyrsquoa wyznaczona przez rodzinę zbioroacutew postaci

[ararr)=xisinR xge a aisinR Bazą dla tej topologii są zbiory (strzałki) postaci

[ab)=xisinR ale xltb a bisinR altb Można pokazać że topologia Sorgenfreyrsquoa nie jest wyznaczona przez żadną metrykę

CIĄGI

Niech N K =k k+1 kisinN Odwzorowanie f N K rarrX nazywamy ciągiem Ciągi oznaczać będziemy symbolem x n Podciągiem ciągu f nazywamy każde złożenie fοg gdzie g N K rarrN K jest odwzorowaniem silnie rosnącym Podciąg ciągu x n będziemy oznaczać symbolem x

kn gdzie g(k)=n k f(n)= x n Na przykład ciąg x 2 x 4 x 6 jest podciągiem ciągu x 1 x 2 x 3 Załoacuteżmy że X=(Xρ) jest przestrzenią metryczną Moacutewimy że ciąg x n jest zbieżny do punktu x (oznaczenie x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x

infinrarrnlim x n =x) gdy forallexistforall

gtgt 000 nnnε ρ(x n x)ltε

Używając pojęcia kuli możemy warunek zbieżności sformułować następująco x=

infinrarrnlim x n hArr forallexistforall

gtgt 000 nnnε x n isinK(xε)

Inaczej ciąg x n jest zbieżny do punktu x gdy w każdej kuli o środku x znajdują się prawie wszystkie (poza skończoną ilością) wyrazy ciągu x n Punkt x nazywać będziemy roacutewnież granicą ciągu x n Obserwacja

Każdy ciąg x n subX może być zbieżny do co najwyżej jednej granicy Dowoacuted

Przypuśćmy że x n rarrx x n rarry gdzie xney Niech ρ(xy)=2ε Ponieważ ze zbieżności ciągu x n do x i y wynika że kule K(xε) i K(yε) muszą zawierać prawie wszystkie wyrazy ciągu x n więc x n isinK(xε)capK(yε) dla prawie wszystkich n co jest sprzeczne z K( x ε)capK(yε)=Oslash Obserwacja

Jeśli ciąg x n jest zbieżny do punktu x x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x to każdy jego podciąg xkn

też jest zbieżny do punktu x xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x

ODWZOROWANIA CIĄGŁE Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami metrycznymi nazywamy ciągłym w punkcie Xaisin gdy

εσδρδε

ltrArrltforallexistforallisingtgt

))()(()(00

afxfaxXx

W zapisie za pomocą kul oznacza to że ])([)]([

00εδ

δεafKaKf subexistforall

Odwzorowanie f nazywamy ciągłym gdy jest ciągłe w każdym punkcie Xaisin Twierdzenie

Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłe w punkcie hArrisin Xa gdy jest spełniony warunek Heinego

)()( afxfaxXx nnn rarrrArrrarrsubforall

Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest ciągła w punkcie Xaisin Ustalmy 0gtε Woacutewczas 0gtexistδ taka że

))()(()( εσδρ ltrArrltisinforall afxfaxXx Niech axn rarr Stąd 0nexist takie że 0nn geforall δρ lt)( axn Zatem εσ lt))()(( afxf n dla 0nn ge Oznacza to że )()( afxf n rarr

lArr ) Załoacuteżmy że )()( afxfax nn rarrrArrrarr Przypuśćmy że f nie jest odwzorowaniem

ciągłym w punkcie a tzn że δρ δδε δ

ltexistforallexistgtgt

i εσ δ ge))((( afxf Niech n1

Woacutewczas ciąg nxx =δ )( nn xfax andrarr nie zbiega do f(a) sprzeczność Twierdzenie

Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr jest ciągłehArr gdy )()(1

Tuisinminus

isinforall (tzn

przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty) Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że f jest odwzorowaniem ciągłym Niech )(σTU isin i niech )(1 Ufa minusisin Wtedy

Uaf isin)( Z definicji zbioru otwartego 0gtexistε taka że ))(( UafK subε Z definicji ciągłości 0gtexistδ taka że ))(()]([ εδ afKaKf sub

Stąd )()])(([)( 11 UfafKfaK minusminus subsub εδ Pokazaliśmy że jeśli )(1 Ufa minusisin to 0gtexistδ taka że )()( 1 UfaK minussubδ co oznacza że )(1 Uf minus jest zbiorem otwartym lArr ) Załoacuteżmy że )(σTU isinforall )()(1 ρTUf isinminus Weźmy 0gtε i Xaisin Wiemy że

)(])([ σε TafK isin a stąd na podstawie założenia )()])(([1 ρε TafKf isinminus Ponieważ )])(([1 εafKfa minusisin zatem 0gtexistδ taka że )])(([)( 1 εδ afKfaK minussub Więc [ ]εδ )()]([1 afKaKf subminus co oznacza ciągłość w punkcie Xaisin (w sensie Cauchyrsquoego)

METRYKI ROacuteWNOWAŻNE

Dwie metryki ρσ na zbiorze X nazywamy roacutewnoważnymi gdy T(ρ)=T(σ)

)()( σρσρ TT =hArrequiv

Twierdzenie Dwie metryki ρ σ są roacutewnoważne gdy

0)(0)(

rarrhArrrarrforallforall xxxx nnxx n

Dowoacuted Ponieważ warunek σρ equiv można zapisać w postaci

)()( σρ TAXTAXXA

isinhArrisinforallsub

Zatem σρ equiv oznacza że każdy zbioacuter domknięty w sensie metryki ρ jest domknięty w sensie metryki σ (i na odwroacutet) Ale zauważmy że A jest domknięty w sensie metryki ρhArr gdy

AxxxnAxn

isinrArr⎯rarr⎯forallsub

co jest roacutewnoważne temu że Axxxn

a więc A

jest domknięty w sensie metryki σ Dalej teza twierdzenia jest oczywista

Przykład Na zbiorze R n rozważmy trzy metryki

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

3 maksimum ||max))()(( 113 kknknn yxyyxx minus=le

Z dalszej części tego wykładu będzie wynikało że wszystkie te metryki są roacutewnoważne

CIĄGŁOŚĆ ODWZOROWAŃ rarr)( ρXf R n

Przestrzeń R n = isinin xxx )( 1 R= rarr1 nx R | x odwzorowaniebędzie u nas oznaczała przestrzeń euklidesową z metryką

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

Oznaczmy przez iΠ R n rarr R ni le odwzorowanie ktoacutere określmy wzorem )()( ixxx ii ==Π gdzie )( 1 nxxx = ixix =)(

Rzutowanie iΠ R n rarr R na bdquoi-tą ośrdquo jest ciągłe (jednostajne) bo

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

iii ρ=minusleminusleΠminusΠ sum

Zanotujmy ogoacutelniejszą własność przestrzeni R n Twierdzenie

Ciąg sub ma R n jest zbieżny do punktu isina R n hArrrarr aam gdy forallleni

ciąg )( iam jest

zbieżny do punktu isin)(ia R )()( iaiam rarr Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że aam rarr Z ciągłości odwzorowania iΠ wynika że )()( aa imi ΠrarrΠ tzn

)()( iaiam rarr lArr ) Załoacuteżmy teraz że ni leforall )()( iaiam rarr Dla skończonej ilości ciągoacutew )( iam ni le

można dobrać liczbę 0n taką aby εερ nniaiaaan

nmni=ltminus= sumforallforall

1|)()(|)(

Pokazaliśmy że ερε

naamnmn

ltforallexistforallgegt

a to oznacza że aam rarr

Ćwiczenie 1

Udowodnić że )()( kakaaa mnk

mi rarrhArr⎯rarr⎯ forall

σ gdzie iσ dla i=12 jest metryką

modułową lub maksimum

Ćwiczenie 2 Wyprowadzić stąd wniosek że wszystkie trzy metryki w R n metryka euklidesowa

modułowa i maksimum są roacutewnoważne

Każde odwzorowanie rarrXf R n można zapisać w postaci ))()(()( 1 xfxfxf n= rarrXfi R gdzie odwzorowania if będziemy nazywać składowymi odwzorowania f

Oczywistym jest że ))(()( xfxf ii οΠ= dla ni le Zakończmy ogoacutelne rozważania następującym twierdzeniem Twierdzenie

Odwzorowanie rarr)( ρXf R n jest ciągłehArr gdy wszystkie jego składniki ff ii οΠ= są ciągłe

Dowoacuted rArr ) Załoacuteżmy że odwzorowanie rarrXf R n jest ciągłe wtedy ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe jako złożenie dwoacutech odwzorowań ciągłych lArr ) Załoacuteżmy że ni leforall ff ii οΠ= jest ciągłe Niech aam rarr Wiemy z założenia że

ni leforall ciąg )()( afaf imi rarr Z twierdzenie o ciągach zbieżnych w R n wynika że )()( afaf m rarr a to oznacza ciągłość odwzorowania f

Ćwiczenie

Udowodnić że jeśli odwzorowania )()( σρ YXf rarr oraz )()( ησ ZYg rarr są ciągłe to )()( ηρ ZXfg rarrο też jest ciągłe Dowoacuted

Niech xxm rarr Wtedy )()( xfxf m rarr oraz )]([)]([ xfgxfg m rarr tzn ))(())(( xfgxfg m οο rarr a to oznacza ciągłość złożenia fg ο

ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE

Dopełnienie zbioru otwartego nazywamy zbiorem domkniętym Bardzo często

będziemy korzystać z następujących charakteryzacji podzbioroacutew domkniętych przestrzeni metrycznych Twierdzenie

Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Podzbioacuter AsubX jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg a n subA o wyrazach należących do zbioru A ma granicę należącą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest domknięty i niech a n subA a n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn a Przypuśćmy że anotinA Ponieważ zbioacuter XA jest otwarty i aisinXA więc istnieje kula K(aε)subXA Wobec tego ponieważ wszystkie wyrazy a n należą do kuli K(aε) sprzeczność z a n isinA dla każdego n

2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest domknięty Zatem zbioacuter XA nie jest otwarty Oznacza to że istnieje punkt aisinXA taki że dla każdego εgt0 K(aε)capAne0 Wybierzmy punkty

a n isinK(an1 )capA Wybieramy ciąg a n subA ktoacutery jest zbieżny do punktu a nienależącego do

zbioru A Twierdzenie

Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Zbioacuter AsubX jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu x n zbieżnego do punktu xisinA należą do zbioru A Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że zbioacuter A jest otwarty i x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x gdzie xisinA Ponieważ A jest zbiorem otwartym więc istnieje εgt0 takie że K(xε)subA Z kolei x=

infinrarrnlim x n oznacza że istnieje n 0

takie że x n isinK(xε) dla każdego ngt n 0 2 Załoacuteżmy że zbioacuter A nie jest otwarty Woacutewczas istnieje punkt xisinA taki że

(XA)capK(xε)neφ dla każdego εgt0 Kładąc ε=n1 wybierzmy punkty x n isin(XA)capK(xε)

Mamy x n ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrn x oraz x n notinA dla każdego n=12 Stwierdzenie

Kula )( εxK jest zbiorem otwartym Dowoacuted

Niech )( εaKyisin 0)( gtminus= yaρεδ δρδ ltrArrisin )()( xyyKx Ale ερρερδρρρ =+minus=+lt+le )()()()()()( ayyaayayyxax Pokazaliśmy że

)()( εδ aKxyKx isinrArrisin tzn )()( εδ aKyK sub

DOMKNIĘCIE I WNĘTRZE ZBIORU

Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną Dla każdego zbioru AsubX zdefiniujmy operację ClA ( A ) domknięcia oraz operację IntA wnętrza zbioru

ClA= Ι F AsubF oraz F jest zbiorem domkniętym IntA=Υ U UsubA oraz U jest zbiorem otwartym

Domknięcie ClA zbioru A będziemy też oznaczać symbolem A Domknięcie A zbioru A jest najmniejszym zbiorem domkniętym zawierającym zbioacuter A Wnętrze IntA zbioru A jest największym zbiorem otwartym zawartym w zbiorze A Ćwiczenie

Operacje domknięcia i wnętrza mają następujące własności 1 AsubClA oraz IntAsubA 2 AsubBrArrClAsubClB oraz IntAsub IntB 3 Cl(Oslash)=Oslash AsubClA Cl(AcupB)=(ClAcupClB) Cl(ClA)=ClA 4 IntX=X IntAsubA Int(AcapB)=IntAcap IntB Int(IntA)=IntA

Poniższe dwa twierdzenia są charakteryzacją operacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych Twierdzenie

Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x forall

hArrisin0ε

A AcapK(xε)neOslash

Dowoacuted 1 Wiemy że K(xε) jest zbiorem otwartym Zatem jeśli AcapK(xε)=Oslash to A subXK(xε) i w konsekwencji xnotin A 2 Z kolei jeśli xnotin A to istnieje zbioacuter domknięty F taki że FA sub oraz xnotinF Stąd istnieje kula otwarta K(xε)subXF co pociąga AcapK(xε)=Oslash

Z powyższego twierdzenia jako wniosek otrzymujemy Twierdzenie

Niech (Xρ) będzie przestrzenią metryczną Wtedy dla dowolnego zbioru AsubX x

existsub

hArrisinAxn

A x ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnn x

PODPRZESTRZEŃ

Niech (XT) będzie przestrzenią topologiczną a YsubX niepustym podzbiorem Łatwo

sprawdzić że rodzina T Y =Acap Y AisinT spełnia aksjomaty topologii Parę (Y T Y ) będziemy nazywać podprzestrzenią przestrzeni topologicznej (XT) Podobnie definiujemy podprzestrzeń metryczną (Yσ) przestrzeni metrycznej (Xρ) gdzie metryka σ jest określona wzorem σ(xy)=ρ(xy) dla x yisinY Ponieważ

K σ (xε)=K ρ (xε) cap Y dla xisinY więc topologia T(σ) wyznaczona przez metrykę σ jest roacutewna topologii T Y =T(ρ)| Y

Na przykład traktując Y=[01] jako podprzestrzeń R stwierdzamy że zbioacuter A=[021 )

jest otwarty w podprzestrzeni Y ale nie jest otwarty w R

PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE

Ciąg Xxn sub spełnia w przestrzeni metrycznej (Xρ) warunek Cauchyrsquoego gdy ερ

εltforallexistforall

)(00 0

mnnmnn

Definicja Przestrzeń metryczna (Xρ) jest zupełna gdy każdy ciąg Xxn sub spełniający

warunek Cauchyrsquoego jest zbieżny

Przykłady przestrzeni metrycznych zupełnych 1 przestrzenie dyskretne 2 przestrzeń euklidesowa R n 3 przestrzeń funkcji ciągłych rarr= ][][ bafbaC R z metryką sup

][|)()(sup|)( baxxgxfgf isinminus=ρ (dowoacuted zupełności jest roacutewnoważny temu że granica ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą + zupełność liczb rzeczywistych)

Przykłady przestrzeni metrycznych ktoacutere nie są zupełne

1 przestrzeń liczb wymiernych

2 przestrzeń funkcji ciągłych C[ab] z metryką int minus=b

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

0int int ⎯⎯ rarr⎯

+minus

+=minus=minus infinrarr

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

= infinrarrmnmn mnffρ Ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego w przestrzeni

C[ab] z metryką ρ Zauważmy że ]20[isinforallx ⎩⎨⎧

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

Ponieważ isinf R[02] ndash f jest całkowalna w sensie Riemanna i ]20[Cf notin

leminusint ndxffn Gdyby ciąg nf był zbieżny to ]20[Cg isinexist fg ne taka że

0|)()(|2

rarrminusint dxxgxfn Stąd int intint rarrminus+minusleminus2

0|||||| dxgfdxffdxgf nn

Więc otrzymalibyśmy że 0||2

=minusint dxgf A stąd istniałby zbioacuter ]20[subE 0)( =Eu taki

że )()( xgxf = dla Ex ]20[isin co jest niemożliwe

Ćwiczenie Pokazać że jeśli isinh R[ab] i 0geh to

0)(0)( =hArr=int xhdxxhb

dla )(][ hEbaxisin

gdzie )(hE - oznacza zbioacuter punktoacutew nieciągłości funkcji h

Z powyższego ćwiczenie otrzymalibyśmy że )()( xgxf = dla )(]20[|)(|]20[ fEgfEx subminusisin 1)( =fE

Z powyższego otrzymalibyśmy że 1)(lim)(lim0)1(11

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

Jednym z podstawowych twierdzeń o przestrzeniach metrycznych zupełnych jest Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

Jeżeli dla odwzorowania )()( ρρ XXf rarr przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie istnieje )10[isinα taka że

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt Xx isin taki że )( xxf = Punkt Xx isin nazywamy punktem stałym odwzorowania f a odwzorowanie f spełniające warunek () nazywany odwzorowaniem zwężającym Twierdzenie Banacha można wypowiedzieć następująco

Każde odwzorowanie zwężające z przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt stały Dowoacuted

Ustalmy punkt Xx isin0 Zdefiniujmy przez indukcję )( 01 xfx = )( 12 xfx = Pokażemy że powyżej zdefiniowany ciąg nx spełnia warunek Cauchyrsquoego bo

)())()(()())()(()( 102

10212132 xxxfxfxxxfxfxx ρααραρρρ le=le= )()( 10

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

1101121 xxxxxxxfxfxx nn

nnnnnn ραραααρρρ +++++ =lele=

)()( 101

21 xxxx nnn ραρ +++ le

mn lt le+++le minus+++ )()()()( 1211 mmnnnnmn xxxxxxxx ρρρρ

le+++=+++le minusminusminus+ ]1)[()()()( 11010

nmnmnn xxxxxxxx ααραραραρα

1)( 1010 ⎯⎯ rarr⎯minus

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

Z powyższego wynika że ερ

)(00 0

mnnnmn

Ponieważ X jest przestrzenią zupełną więc xexist taki że xxn rarr Warunek zwężenie () pociąga że f jest odwzorowaniem (jednostajnie) ciągłym Wobec tego

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr+infinrarr tzn )( xxf =

Sprawdźmy jeszcze że x jest jedynym punktem stałym Przypuśćmy że xy neexist taki że f(y)=y Woacutewczas

)()())()(()( yxyxyfxfyx ραρρρ ltle= sprzeczność

)(sup)( AyxyxAd isin= ρ

Twierdzenie Cantora W przestrzeni metrycznej zupełnej X każdy ciąg zstępujący zbioroacutew domkniętych i

niepustych 321 supsupsup FFF taki że 0)(lim =

infinrarr nnFd

ma przekroacutej niepusty neinfin

1nnF Oslash

Dowoacuted nforall wybierzmy punkt nn Fp isin Ponieważ 0)( rarrnFd więc ciąg np spełnia warunek

Couchyrsquoego Niech nnpp

infinrarr= lim Ponieważ 321 supsupsup FFF dla każdego 0n prawie

wszystkie wyrazy ciągu np należą do 0nF ( 0nn ge ) Stąd 0nforall

0nFpisin (0nF jest zbiorem

domkniętym) Więc Ιinfin

isin1n

nFp Zauważmy dodatkowo że Ιinfin

nFp bo jeśli Ιinfin

isin1n

nFg to

0)()( rarrle nFdgpρ czyli że 0)( =gpρ tzn gp =

Definicje

1 Zbioacuter XD sub nazywamy zbiorem gęstym w X gdy necapforallforallgtisin

Oslash (np zbioacuter

Q licz wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych R) 2 Zbioacuter XE sub nazywamy zbiorem brzegowym gdy XE jest gęsty w X 3 Zbioacuter XF sub nazywamy zbiorem nigdziegęstym gdy istnieje zbioacuter brzegowy i

domknięty AF sup

4 Zbioacuter Υinfin

nFE ktoacutery jest sumą przeliczalnej ilości zbioroacutew nigdziegęstych

nazywamy zbiorem I kategorii Twierdzenie Bairersquoa

W przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) każdy zbioacuter I kategorii jest zbiorem brzegowym Dowoacuted

Niech Υinfin

nEE gdzie nE - jest domknięty i brzegowy Pokażemy że

necapforallforallgtisin

EXxKXx

Oslash Ustalmy punkt Xx isin0 i 0gtε Przez indukcję określimy ciąg

kul domkniętych )()( nnnn yxXyxK ερε leisin= taki że

1) )()( 11 nnnn xKxK εε sub++

2) nn10 ltlt ε

3) =cap nnn ExK )( ε Oslash

Realizacja Weźmy neisin ExKx )( 01 ε Oslash Istnieje 11

1 ltε takie że

1011 )()2( ExKxK εε sub Stąd 101111 )()2()( ExKxKxK εεε subsub Załoacuteżmy że mamy już określoną kulę )( nnxK ε Wybierzmy 11 )( ++ isin nnnn ExKx ε i 01 gt+nε takie że

111 )()2( +++ sub nnnnn ExKxK εε Mamy 111 )()( +++ sub nnnnn ExKxK εε Indukcja została

zakończona Z twierdzenia Cantora pexist takie że Ιinfin

nnxKp ε (Kule )( nnxK ε są

zbiorami domkniętymi) Zauważmy że nforall nExKp )( 0 εisin

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

Jeśli w przestrzeni metrycznej zupełnej ρ(X ) nie ma punktoacutew izolowanych (tzn xxn

xXxXx n

rarrexistforallsubisin

) to wtedy 1|| wx ge (przestrzeń X jest nieprzeliczalna)

Dowoacuted Przypuśćmy że 10 aaX = jest zbiorem przeliczalnym Niech nn aE = Zbioacuter

nE jest zbiorem nigdziegęstym Z twierdzenia Bairersquoa 01

neinfin

nEX ne 10 aaX Oslash

sprzeczność z 10 aaX =

PRZESTRZENIE ZWARTE

PODZBIORY ZWARTE Definicja

Przestrzeń metryczną (Xρ) nazywamy zwartą gdy z każdego ciągu x n subX można wybrać podciąg zbieżny w X Podzbioacuter AsubX nazwiemy zwartym gdy z każdego ciągua n subA można wybrać podciąg zbieżny do elementu z A Twierdzenie

Obraz ciągły przestrzeni zwartej jest przestrzenią zwartą Dowoacuted

Niech f (Xρ) ⎯rarr⎯na (Yσ) będzie odwzorowaniem ciągłym przestrzeni zwartej X na przestrzeń metryczną Y Niech y n będzie dowolnym ciągiem w Y Ponieważ f jest bdquonardquo więc istnieje ciąg x n subX taki że f(x n )= y n dla każdego n Z ciągu x n wybierzmy podciąg x

kn zbieżny do xisinX xkn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x Z ciągłości odwzorowania f mamy

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

kn )=f(x)=y Pokazaliśmy że z ciągu y n można wybrać podciąg zbieżny

Przykłady przestrzeni zwartych 1 Odcinek domknięty [10]subR jest podzbiorem zwartym Wynika to z twierdzenia

Weierstrassa że każdy ciąg x n subR ograniczony zawiera podciąg zbieżny 2 Każda kostka domknięta KsubR n K=[ab]timestimes[ab] K=(x 1 x n )isinR n x i isin[ab]

dla i=12n jest podzbiorem zwartym w R n

Dowoacuted Niech x n isinK będzie dowolnym ciągiem Oznaczmy przez x i =x(i) dla i=12n Ze

zwartości [ab] wynika że z ciągu x n (i) iisinN można wybrać podciąg zbieżny x n (i) nisinA 1 z kolei z ciągu x n (z) nisinA 1 można wybrać podciąg zbieżny x n (z) nisinA 2 gdzie A 2 subA 1 Po n-krokach otrzymamy rodziny n-zbioroacutew nieskończonych A i Nsup A 1 sup sup A n o tej własności że dla każdego i ciąg x n (i) nisinA i jest zbieżny do punktu x i Zatem ciąg x m misinA n jest zbieżny do punktu x=(x 1 x n ) 3 Każdy podzbioacuter domknięty AsubX przestrzeni zwartej (Xρ) jest podzbiorem zwartym

Wynika to natychmiast z definicji zwartości Z definicji podzbioru zwartego oraz z charakteryzacji zbioroacutew domkniętych wynika

Obserwacja Każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty Następujące twierdzenie jest wzmocnieniem powyższej obserwacji

Twierdzenie W przestrzeni metrycznej (X ρ) każdy podzbioacuter zwarty jest domknięty i ograniczony

Dowoacuted Pozostaje do udowodnienia ograniczoność zbioru zwartego AsubX Przypuśćmy że zbioacuter

AsubX nie jest ograniczony tzn ( )[ ]naKXAx nn

XxAaNn nn

capisinexistforallforallisinisinisin

Powołując się na zwartość zbioru A można wybrać podciąg n k taki że x

kn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk x oraz akn ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk a

Stąd ρ(x

kn akn ) ⎯⎯ rarr⎯ infinrarrk ρ(xa)

co jest sprzeczne z założeniem że ( ) infin⎯⎯ rarr⎯le infinrarrknnk kk

axn ρ

Twierdzenie W przestrzeni euklidesowej R n zbioacuter AsubR n jest zwarty wtedy i tylko wtedy gdy jest

domknięty i ograniczony Dowoacuted

Wobec poprzedniego twierdzenia pozostało nam do udowodnienia że zbioacuter AsubR n ktoacutery jest domknięty i ograniczony musi być zbiorem zwartym Ponieważ zbioacuter AsubR n jest ograniczony więc istnieje kostka domknięta K taka że AsubK Wiemy że kostki domknięte są zwarte a zatem podzbiory domknięte i ograniczone jako podzbiory domknięte kostek zwartych też są zbiorami zwartymi

Lemat o ε-sieci

W przestrzeni zwartej metrycznej (X ρ) dla każdego elementu εgt0 istnieje skończony zbioacuter punktoacutew x 1 x n isinX taki że () ( ) ( )εε 1 nxKxKX cupcup= Κ

Dowoacuted Ustalmy εgt0 i przypuśćmy że warunek () nie zachodzi Niech Xx isin1 będzie

dowolnym punktem Wybierzmy ( )ε 12 xKXx isin a ogoacutelnie przez indukcję

( )Υn

iin xKXx

=+ isin ε Gdy dla każdego n ( )Υ

ε neOslash to możnaby było wybrać ciąg

nx spełniający warunek

( )Υn

=+ isinforall ε

Co pociągałoby że ( ) ερ gerArrneforall mn

mnxxmn

Z kolei z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny xkn x

kn rarrx Więc otrzymalibyśmy że

( ) ερ ltlk nn xx

dla prawie wszystkich kl 0nge sprzeczność

Wniosek

Każde odwzorowanie ciągłe ( ) ( )σρ YXf rarr pomiędzy przestrzeniami zwartymi metrycznym jest jednostajnie ciągłe tzn

( ) ( ) εσδρδε

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

Ustalmy εgt0 Rodzina 2

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= minus ε jest pokryciem otwartym

przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa istnieje δgt0 taka że

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isinrArrlt minus

isinisinexistforall 2

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

2)()( εyKzfxf Zatem ( ) εσ lt)()( zfxf

Pokazaliśmy że ( ) ( ) εσδρ

δltrArrltexistforall

gtisin

zfxfzxXzx

Twierdzenie Weierstrassa Funkcja ciągła rarrXf R określona na przestrzeni zwartej metrycznej X przyjmuje

wartość najmniejszą i największą Dowoacuted

Obraz f(X) jako podzbioacuter zwarty zbioru liczb rzeczywistych R jest domknięty i ograniczony Zatem istnieją liczby ABisinR takie że

)(sup xfAXxisin

= oraz )(inf xfBXxisin

Z definicji kresoacutew wynika że istnieją ciągi y n z n subX takie że )(lim nnyfA

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

infinrarr= Z kolei ze zwartości X wynika że można z tych ciągoacutew wybrać podciągi

zbieżne Wobec tego załoacuteżmy dodatkowo aby nie zmieniać oznaczeń że α⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnny β⎯⎯ rarr⎯ infinrarrnnz Z ciągłości f otrzymujemy że A=f(α) B=f(β)

NORMY ROacuteWNOWAŻNE Pokażemy że z twierdzenia Weierstrassa wynika twierdzenie moacutewiące że w przestrzeni euklidesowej R n wszystkie normy są roacutewnoważne tzn topologie wyznaczone przez te normy wyznaczają topologię euklidesową Lemat

Niech |||| będzie normą euklidesową w R n a || niech oznacza dowolną normę Woacutewczas istnieją liczby dodatnie aAgt0 takie że

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

Dowoacuted Oznaczmy przez S=xisinR n ||x||=1 ndash sferę jednostkową Na podstawie twierdzenia

Weierstrassa funkcja ( )infinrarr 0 Sf przyjmuje wartość najmniejszą a=f(x 0 ) i największą A=f(y 0 ) dla x 0 y 0 isinS Ponieważ x 0ne0 więc a=f(x 0 )=| x 0 |gt0 Zatem dla każdego punktu xne0

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

oczywiście że powyższa nieroacutewność zachodzi też dla x=0

Wniosek

Każde dwie normy w R n są roacutewnoważne tzn wyznaczają metryki roacutewnoważne Dowoacuted

Z nieroacutewności |||||||||| xAxxa lele

Wynika nieroacutewność

)()()( 000 raAxK

arxKrxK ρσρ subsub

gdzie ρ i σ są metrykami wyznaczonymi przez || i |||| ρ(xy)=|x-y| oraz σ(xy)=||x-y||

Lemat Niech || R n rarr[0infin) będzie normą w przestrzeni R n

Lemat Każda norma || R n rarr[0infin) określona w przestrzeni euklidesowej R n jest odwzorowaniem ciągłym Dowoacuted Niech f(x)=|x| oznacza normę oraz e i =(00100) wektor jednostkowy Woacutewczas

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

Z powyższego wynika

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

co już daje ciągłość normy

Definicja Rodzinę P złożoną z podzbioroacutew otwartych przestrzeni metrycznej (Xρ) taką że

PUUX isin= Υ nazywać będziemy pokryciem otwartym przestrzeni X Lemat Lebesguersquoa Dla każdego pokrycia otwartego P przestrzeni metrycznej zwartej (Xρ) istnieje liczba ε=ε(P)gt0 taka że każdy podzbioacuter XA sub o średnicy mniejszej niż ε d(A)ltε jest zawarty w pewnym (jakimś) elemencie z pokrycia P Dowoacuted

Przypuśćmy że lemat nie jest prawdziwy Oznacza to że dla n1

=ε istnieje zbioacuter

XAn sub n

Ad n1)( lt taki że UAn nsub dla każdego PU isin Wybierzmy ciąg na o

elementach ze zbioroacutew nA nn Aa isin a następnie wybierzmy z tego ciągu podciąg zbieżny aa knk

⎯⎯ rarr⎯ infinrarr Ponieważ P jest pokryciem otwartym więc istnieje PU isin0 oraz isin0n N takie że

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

dla prawie wszystkich k Stąd już wynika że

)3( Un

aKAkn subsub

dla prawie wszystkich k sprzeczność z przypuszczeniem UAkn nsub dla każdego PU isin

Twierdzenie (Borela) Przestrzeń metryczna jest zwarta hArr gdy z każdego pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Dowoacuted rArr ) załoacuteżmy że (X ρ ) jest przestrzenią zwartą i niech P będzie pokryciem otwartym przestrzeni X Z lematu Lebesguersquoa exist liczba η =2ε ηη = (P) taka że UxK

Xxsubforall

isin)( ε dla

pewnego PU isin Z lematu o ε-sieci exist ciąg skończony Xxx n isin1 taki że

)()( 1 εε nxKxKX cupcup= Dla każdego ni le wybierzmy PUi isin takie że ii UxK sub)( ε Rodzina nUU 1 jest skończonym pokryciem X

)()( 11 nn UUxKxKX cupcupsubcupcup= εε PUU n sub1 lArr ) załoacuteżmy że z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać pokrycie skończone i przypuśćmy że istnieje ciąg Xxx sub 21 z ktoacuterego nie można wybrać podciągu zbieżnego Oznacza to że zbioacuter 211 xxA = jest domknięty a także zbiory

1+= nnn xxA też są domknięte Wobec powyższego zbiory nn AXU = są otwarte a

rodzina 21 UUP = jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej X bo =infin

1nnA Oslash (stąd

poprzez prawa de Morgana Ι ΥΥinfin

===1 11

nn UAXAXX ) Z rodziny P można wybrać

pokrycie skończone knn nnUUXk

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

(bo 21 supsup AA ) więc )(

kk nn AXUX == gdzie neknA Oslash sprzeczność

Wniosek Jeśli 21 FF sup jest ciągiem zstępującym zbioroacutew domkniętych i niepustych w

przestrzeni metrycznej zwartej ρ(X ) to przekroacutej neinfin

1nnF Oslash jest niepusty

Dowoacuted

Przypuśćmy że =infin

1nnF Oslash Woacutewczas Υ

n XFX Stąd nexist takie że

XFXFX n =cupcup )()( 1 ale nFXFXFX 21 subsubsub Stąd nFXX = nenF Oslash sprzeczność Lemat (Dini) Załoacuteżmy że dany jest ciąg funkcji ciągłych realrarrXfn określonych na przestrzeni zwartej X i spełniający następujące warunki 1 )()( 1 xfxf nnXxn +isin

leforallforall

2 fxfxf nXx)()( rarrforall

isin-ciągła

wtedy ffX

n ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯ tzn εε

ltminusforallforallexistforallisingegt

)()(000

xfxf nXxnnn

Dowoacuted Ustalmy 0gtε Niech εltminusisin= )()( xfxfXxU nn Zbioacuter nU jest otwarty bo

)(1 εminusinfin= minusnn gU gdzie )()()( xfxfxg nn minus= Ponadto wobec założenia 1 1+subforall nnn

UU oraz

Υinfin

n XU Ze zwartości istnieje 0n takie że 0

1 nUUX cupcup= co pociąga że 0nUX = a

to oznacza że εltminusforallforallisinge

xfxf nXxnn

Twierdzenie Arzeli Niech )( ρXX = będzie przestrzenią metryczną zwartą Przez )( realXC oznaczmy przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych określonych na X z metryką bdquosupremumrdquo Xxxgxfgfd isinminus= )()(sup)( W tej części podamy warunki wystarczające na to aby zbioacuter )( realsub XCM był prezwarty tzn aby miał następujące własności

z każdego ciągu Mfn sub można wybrać podciąg knf zbieżny do Xf isin (nie

zakładamy że Mf isin ) Moacutewimy że rodzina )( realsub XCM tworzy rodzinę funkcji jednakowo ciągłą gdy εδρ

δεltminusrArrltforallexistforall

isingtgt)()()(

00yfxfyx

Lemat Jeśli ciąg funkcji 21 =realrarr nXfn tworzy rodzinę jednakowo ciągłą i ciąg liczbowy )(xfn jest zbieżny na pewnym zbiorze gęstym XD sub to wtedy ciąg )( realsub XCfn jest zbieżny do pewnej funkcji f )()( xfxfff

Xnn ⎯⎯ rarr⎯rarr ⎯rarr⎯

Dowoacuted Pokażemy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego ε

εltminusforallforallexistforall

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

Ustalmy 0gtε Z jednakowej ciągłości istnieje 0gtδ taka że (1) 3)()()(

εδρ ltminusrArrltforallforall

isinyfxfyx nnXyxn

Powołując się na lemat o ε -sieci możemy przedstawić przestrzeń X w postaci (2) )()( 0 δδ mxKxKX cupcup= gdzie Dxi isin Ponieważ w każdym z punktoacutew Dxi isin ciąg liczbowy )( in xf jest zbieżny więc jest spełniony warunek Cauchyrsquoego a biorąc pod uwagę że zbioacuter mxx 0 jest skończony możemy znaleźć Nn isin0 takie że

(3) 3)()(0

εltminusforallforallge inminnm

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

εεε ++ltminus+minus+minusle

minus+minus+minus=minus

44 344 2144 344 2144 344 21ciagloscajednostajn

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

Udowodniliśmy że ciąg nf spełnia warunek Cauchyrsquoego Twierdzenie Arzeli Z każdego ciągu 21 =realrarr nXfn funkcji wspoacutelnie ograniczonych i tworzących rodzinę jednakowo ciągłą można wybrać podciąg

knf zbieżny ffXkn ⎯⎯ rarr⎯ ⎯rarr⎯

Dowoacuted Niech 21 xxD = będzie zbiorem przeliczalnym i gęstym w przestrzeni X Na podstawie poprzedniego lematu wystarczy znaleźć podciąg nn ff

ksub ktoacutery jest zbieżny w

każdym punkcie Dxi isin Można utworzyć następującą tablicę

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

gdzie nf1 jest podciągiem ciągu nf zbieżnym w punkcie 1x (taki podciąg istnieje na podstawie twierdzenia Weierstrassa) Z kolei nf 2 jest podciągiem ciągu nf1 zbieżnym w punkcie Dx i isin2 Zauważmy że ciąg przekątniowy nnf jest zbieżny w każdym punkcie

Dxi isin Oczywiście ciąg ten jest podciągiem ciągu nf

TWIERDZENIE STONErsquoA-WEIERSTRASSA

Przygotowanie Niech X będzie przestrzenią zwartą Oznaczmy przez

fXfXC realrarr= )( -jest funkcją ciągłą z metryką Xxxgxfgf isinminus= )()(sup)(ρ Definicja Podzbioacuter )(XCP sub nazywamy pierścieniem funkcji gdy Pgfgfgf

Pgfisinsdotminus+forall

Pierścień P rozroacuteżnia punkty przestrzeni X gdy )()(

yfxfPfPyx

neexistforallisinisin

Np w [ ]10C zbioacuter wielomianoacutew jest takim pierścieniem ktoacutery rozroacuteżnia punkty z [ ]10 bo są one rozroacuteżniane przez jedną funkcję xxf equiv)( Lemat 1

Istnieje ciąg wielomianoacutew [ ] 2110 =realrarr nwn taki że [ ]

xxwn ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ 10)(

Dowoacuted

Zdefiniujmy [ ])(21)(0)( 2

11 xwxxwwxw nnn minus+=equiv + dla 32=n

Udowodnimy najpierw że (1)

[ ]xxwnxn

leleforallforallisin

n=1 dla n=1 warunek (1) jest oczywisty

)1()( +rArr nTnT Załoacuteżmy że xxwn lele )(0 Wtedy

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +minussdotminus=minusminusminus=minus + ))((

211)()(

21)()( 2

1 xwxxwxxwxxwxxwx nnnnn

Z założenia indukcyjnego 1)( lele xxwn dla [ ]10isinx Stąd 0)( geminus xwx n oraz

[ ] 0)(211 ge+minus xwx n Zatem 0)()( 11 gele ++ xwxxw nn Z definicji wielomianu )(xwn oraz z

(1) wynika że (2) 1)()( 1 lelele + xxwxw nn dla [ ]10isinx

Z punktu (2) otrzymujemy że [ ]

)()(lim10

xfxfnnfx=existforall

infinrarrisin Ale z definicji wielomianu nw

otrzymujemy że f spełnia roacutewnanie [ ])(21)()( 2 xfxxfxf minus+= Stąd

xxftznxfx ==minus )(0)(2 bo 0gef Z lematu Diniego [ ]

xxfxwn =⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ )()(10

Lemat 2 Jeśli X jest przestrzenią zwartą a pierścień )(XCP sub jest domknięty i zawiera wszystkie funkcje stałe to wtedy PgfPgfPgf

Pgfisinisinisinforall

isin)min()max(

Dowoacuted Załoacuteżmy że Pf isin Ponieważ X jest przestrzenią zwartą więc istnieje 0gtc

takie że cxfXx

leforallisin

)( Z założenia Pcf isin oraz 1)(

leforallisin c

Z poprzedniego lematu exist

ciąg wielomianoacutew [ ] realrarr10)(xwn takich że

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

Z domkniętości pierścienia P wynika że Pcfisin a zatem Pf

c isin=sdot Z kolei

[ ])()()()(21))(max( xgxfxgxfxgf minus++= [ ])()()()(

21))(min( xgxfxgxfxgf minusminus+=

Lemat 3 Jeśli pierścień )(XCP sub zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to

)()()()( )(

bfbfafaf babaPfXCfXba ba

==existforallforallisinisinisin

Dowoacuted 1 Załoacuteżmy że ba = połoacuteżmy )()()( bfafxf ba =equiv

2 Załoacuteżmy że ba ne Phisinexist takie że )()( bhah ne Niech )()()()()(

ahbhahxhxg

minusminus

Mamy 0)( =ag 1)( =bg i Pg isin Połoacuteżmy [ ] )()()()()( afxgafbfxf ba +minus= Mamy Pf ba isin oraz

)()()()( bfbfafaf baba ==

Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa Niech X będzie przestrzenią zwartą metryczną a )(XCP sub pierścieniem domkniętym ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Woacutewczas )(XCP =

Dowoacuted Pokażemy że ερ εε ε

ltexistforallforallisinisingt

ffPfXCf

Ustalmy 0gtε i )(XCf isin Dla każdej pary

Xba isin wybierzmy Pf ba isin takie że )()()()( bfbfafaf baba == Zbiory ε+ltisin= )()( xfxfXxU baba εminusgtisin= )()( xfxfXxV baba są otwarte w X oraz

baba VbUa isinisin Przy ustalonym Xbisin z rodziny

XabaUisin wybierzmy pokrycie skończone

baba nUU

1 przestrzeni X Niech nixfxf bab i

le= )(min)( Mamy Pfb isin oraz

ε+lt )()( xfxfb Niech ba

= Ι Wtedy εminusgt )()( xfxfb dla bVxisin Z pokrycia

XbVb isin wybieramy skończone 1 mbb VV Niech mjxfxf

jb le= )(max)(ε Wtedy

Pf isinε oraz εε minusgtforallisin

)()( xfxfXx

a także )()( εε +lt xfxf

Wniosek Niech X będzie przestrzenią zwartą Jeśli )(XCP sub jest pierścieniem funkcji ciągłych ktoacutery zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty to woacutewczas P jest podzbiorem gęstym w )(XC Dowoacuted powyższego wniosku

Jest konsekwencją twierdzenia Stonersquoa-Weierstrassa i z faktu że zbioacuter ffPfXCfP nn rarrsubexistisin= )( jest pierścieniem i podzbiorem domkniętym w X

Oczywiste jest że P zawiera wszystkie funkcje stałe i rozdziela punkty Stąd P jest gęsty w )(XC bo z tw S-W )(XCP =

Wniosek (tw Weierstrassa) W przestrzeni ][ baC zbioacuter wielomianoacutew jest gęsty Inaczej każda funkcja ciągła

realrarr][ baf jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego wielomianoacutew Wniosek (tw Weierstrassa) Jeśli nK realsub jest zwarty to zbioacuter wielomianoacutew nndashzmiennych określonych na K jest gęsty w )(KC Dowoacuted Rodzina P wielomianoacutew postaci sum sdotsdot=

niin xxaxxw

1)( αα zawiera wszystkie

funkcje stałe i rozdziela punkty w K

PRZESTRZENIE OŚRODKOWE Definicja Przestrzeń metryczną )( ρX nazywamy ośrodkową gdy istnieje zbioacuter XD sub co najwyżej przeliczalny i gęsty w X STWIERDZENIE Przestrzeń euklidesowa nreal jest ośrodkowa (zbioacuter punktoacutew o wspoacutełrzędnych wymiernych jest przeliczalny i gęsty w nreal )

STWIERDZENIE Każda przestrzeń metryczna dyskretna mocy nieprzeliczalnej nie jest ośrodkowa Twierdzenie Każda przestrzeń metryczna zwarta jest ośrodkowa Dowoacuted

Z lematu o ε -sieci infinltexistforall nAnA

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1 Stąd zbioacuter Υinfin

jest gęsty i przeliczalny w X Twierdzenie Jeśli X jest przestrzenią zwartą to przestrzeń )(XC jest ośrodkowa Dowoacuted Ustalmy zbioacuter 21 ddD = przeliczalny i gęsty w X

Ddisinforall niech )()( dxxfd ρ=

gdzie ρ jest metryką w X Funkcje Ddfd isin są ciągłe bo )()()( yxyfxf dd ρleminus (war troacutejkąta) Rozważmy zbioacuter P

sum sdotsdot=hArrisink

kiikii

idii xfxfccxgPg

11)()()( gdzie Nii k isin1

Zbioacuter P jest gęsty w )(XC PRZYKŁAD Przestrzeń ffC |)( realrarrreal=realreal jest ciągła i ograniczona z metryką sup

realisinminus= xxgxfgf )()(sup)(ρ nie jest ośrodkowa DOWOacuteD Niech 10)()( subrealrealisin= NfCfE oraz ]10[)( subrealf Ponieważ każdą funkcję 10 rarrNg można rozszerzyć do funkcji ciągłej realrarrrealg ( g może być kawałkami liniowa) zatem moc geE moc continuumodwzgNg =minusrarr 10 (każdą funkcję 10 rarrNg można uważać za funkcję charakterystyczną zbioru )1(1minus= gA moc zbioru tych funkcji jest roacutewna mocy zbioru wszystkich podzbioroacutew zbioru N) Zauważmy że

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

Z powyższego wynika że każdy zbioacuter gęsty w )( realrealC jest mocy continuum (bo

kule ( ) ]10[1021 rarrrealrarr fNffK są parami rozłączne i jest ich continuum

więc jeśli D jest gęsty to wybierając po jednym punkcie ( ) DdfKd ff isinisin 2

1 otrzymamy że D zawiera podzbioacuter mocy continuum)

ĆWICZENIE Udowodnić że każda funkcja ciągła realrarrrealf 2π -okresowa jest granicą ciągu jednostajnie zbieżnego funkcji postaci

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

PRZESTRZENIE SPOacuteJNE

Definicja Zbioacuter XA sub nazywamy spoacutejnym gdy nie istnieją zbiory niepuste otwarte XVU sub takie że VUA cupsub oraz necapcap VUA Oslash Uwaga W przestrzeni dyskretnej jedyne zbiory spoacutejne to zbiory jednopunktowe Twierdzenie Prosta real jest zbiorem spoacutejnym Dowoacuted Przypuśćmy że real nie jest zbiorem spoacutejnym Tzn że istnieją zbiory otwarte

realsubVU takie że neU Oslash =capcup=realne VUVUV Oslash

Weźmy VbUa isinisin i załoacuteżmy że ba lt Niech )(sup Uxbaxx isinisin= Ponieważ V jest zbiorem otwartym więc bx lt Z faktu że UVVU real=real= wynika że zbiory UV są tez domknięte Z domkniętości U otrzymamy że Ux isin (bo

xxUx nn rarrsubexist ) Z kolei ponieważ zbioacuter U jest też otwarty więc )()(

0baUxx capsub+minusexist

gtεε

ε Stąd ε+geisinisin )(sup xUxbax co jest sprzeczne z

definicją liczby x Można pokazać że jedyne zbiory spoacutejne w real to przedziały postaci

]()[][)()[)(]()( bababababbaa infininfinminusinfinminusinfinreal oraz zbiory jednopunktowe a i b Twierdzenie Obraz spoacutejny przestrzeni spoacutejnej jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Załoacuteżmy że )()( σρ YXf na⎯rarr⎯ jest ciągła X ndash jest przestrzenią spoacutejną i przypuśćmy że Y nie jest przestrzenią spoacutejną tzn że istnieją zbiory otwarte niepuste i rozłączne YVU sub takie że =cap=cup VUYVU Oslash Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus są otwarte )()( 11 VfUfX minusminus cup= oraz )()( 11 VfUf minusminus cap Przy tym neminus )(1 Uf Oslash )(1 Vf minusne a to oznacza że X nie jest przestrzenią spoacutejną Wniosek ( własność Darboux) Jeśli realrarr)( ρXf jest odwzorowaniem ciągłym z przestrzeni spoacutejnej X to )(Xf jest zbiorem spoacutejnym (equivprzedziałem lub punktem) w real

Definicja Drogą od punktu a do punktu b w przestrzeni metrycznej )( ρX nazywamy zbioacuter

[ ]βαf gdzie [ ] Xf rarrβα jest odwzorowaniem ciągłym oraz bfaf == )()( βα

a b α β Twierdzenie Jeśli dla każdej pary punktoacutew Xba isin istnieje droga łącząca te punkty to X jest przestrzenią spoacutejną Dowoacuted Przypuśćmy że X nie jest przestrzenią spoacutejną tzn XVU subexist UV- otwarte takie że

neU Oslash =capcup=ne VUVUXV Oslash Wybierzmy punkty VbUa isinisin Niech [ ] Xf rarrβα będzie drogą taką że bfaf == )()( βα Woacutewczas zbiory )()( 11 VfUf minusminus

są otwarte niepuste rozłączne i )()(][ 11 VfUf minusminus cup=βα co przeczy spoacutejności [ ]βα Krzywa Peano (1890) Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat ( odcinek [01] można w sposoacuteb ciągły odwzorować na kostkę n- wymiarową ]10[]10[ timestimes=nI ) 1f 3 4 9 0 1 2 3 2 8 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 6 2f Przekształcenie Peano nff lim=

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

TWIERDZENIE URYSOHNA O ZANURZANIU

Odległość punktu od zbioru Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Zdefiniujmy

)(inf)( AaaxAx isin= ρρ Funkcja )()( axxf ρ= jest ciągła

Dowoacuted Ustalmy liczbę 0gtε oraz punkt Aaisin taki że ερρ +lt )()( Axax Weźmy dowolny punkt Xxisin wtedy ερρρρρρ ++lt+lele )()()()()()( AxxxaxxxaxAx Z powyższego otrzymujemy że )()()(

xxAxAx

Xxxρρρ leminusforall

isin co pociąga jednostajną

ciągłość odwzorowania )0[ infinrarrXf Podprzestrzeń Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej )( ρX Oczywistym jest że metryka ρ obcięta do zbioru AAtimes spełnia warunki 1-3 metryki Przestrzeń )( ρA nazywać będziemy podprzestrzenią metryczną przestrzeni X Zanurzenie Odwzorowanie )()( σρ YXf rarr nazywamy zanurzeniem gdy f jest ciągłe i roacuteżnowartościowe oraz gdy istnieje odwzorowanie ciągłe XXfg rarr)( takie że

Xxxxfg

isinforall= ))(( ο ( )(Xf traktujemy jako podprzestrzeń przestrzeni Y w tym przypadku

będziemy też moacutewili że przestrzeń X jest homeomorficzna z podzbiorem przestrzeni Y oraz że f jest homeomorfizmem przestrzeni X na pewien podzbioacuter przestrzeni Y w przypadku gdy

YXf =)( odwzorowanie f nazywać będziemy homeomorfizmem) Kostka Hilberta infinI Zdefiniujmy

]10[)( 21 isin=infinixxxI

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

Twierdzenie Urysohna Każda przestrzeń metryczna ośrodkowa X jest homeomorficzna z podzbiorem kostki infinI Dowoacuted Niech ρ będzie metryką w przestrzeni X Możemy założyć że metryka ρ jest ograniczona przez 1 bo w przeciwnym przypadku można ją zastąpić przez metrykę roacutewnoważną

)(1min)( yxyx ρσ = Niech 21 ddD = będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X Zdefiniujmy odwzorowanie ciągłe infinrarr IXf wzorem ( ))()()( 21 dxdxxf ρρ= Odwzorowanie f jest roacuteżnowartościowe bo dla yx ne istnieje punkt Ddi isin taki że )()( ii dydx ρρ lt Stąd )()( yfxf ii ne gdzie if oznacza i-tą składową odwzorowania f Aby sprawdzić ciągłość odwzorowania odwrotnego XXff rarrminus )(1 wystarczy udowodnić następującą implikację

xxxfxf nn rarrrArrrarr )()( Ustalmy 0gtε Ponieważ zbioacuter D jest gęsty w X więc istnieje j takie że

3)( ερ ltjdx Z założenia wynika że )()( xfxf jnj rarr

Stąd 0nexist takie że 3)()( ερρ +lt jj pxpx dla 0nn ge

Zatem dla 0nn ge εερρρρ =+lt+le 3)(2)()()( jnjjn pxxddxxx

PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO Niech )( dX będzie przestrzenią metryczną Dla dowolnego niepustego zbioru

XA sub i punktu Xxisin oznaczmy przez )(inf)( AaaxdAxd isin=

odległość punktu x od zbioru A Funkcja realisinni )( AxdxX α jest ciągła Lemat 1 Niech wiUi isin będzie pokryciem otwartym przestrzeni metrycznej )( dX Wtedy istnieje pokrycie otwarte wiVi isin i lokalnie skończone takie że ii UV sub dla każdego

wiisin Dowoacuted 1

Zdefiniujemy przez indukcję

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(2) )()( ii UXxdxd = Stwierdzamy że (3)

nforall zbiory nV są otwarte i nn UV sub

(4) Υwn

nVXisin

Istotnie niech n(x) będzie najmniejszą liczbą naturalną taką że )( xnUxisin Wtedy 0)( =xdi dla ni lt (bo iUxnotin ) Stąd )( xnVxisin

(5) Rodzina wnVn isin jest lokalnie skończona W tym celu ustalamy punkt Xxisin oraz

wskaźnik wiisin taki że iUxisin Mamy 0)( gt= Sxdi Rozważmy zbioacuter 2)( SydyV i gt=

Zbioacuter V jest otoczeniem otwartym punktu x Sprawdzimy że =cap nVV empty dla każdego

2max Sin gt Bo gdyby istniał punkt nVVz capisin to wtedy

(a) 2)( SzdVz i gtrArrisin oraz

(b) 21)( Sn

zdVzni in ltltrArrisinandlt sprzeczność

Inny dowoacuted lematu o następującym sformułowaniu

W każde pokrycie otwarte P przestrzeni metrycznej ośrodkowej X można wpisać pokrycie otwarte lokalnie skończone Q

Dowoacuted 2 Dla każdego x wybieramy liczbę 0gtxε taką że UxK x sub)2( ε dla pewnego PU isin Ponieważ X jest przestrzenią ośrodkową zatem z pokrycia XxxK x isin)( ε można wybrać

pokrycie przeliczalne infin== 1nnwW Z kolei z definicji kul )( xxK ε wynika że istnieje

pokrycie PanU n subisin takie że nnwnUW subforall

nyxxn UxKxKxKW subsubsub= )2()()( εεε Zdefiniujmy zbiory otwarte nV

00 UV = ( )11 minuscupcup= nnn WWUV Rodzina wnVQ n isin= jest pokryciem otwartym przestrzeni X bo dla każdego

)( xnVxXx isinisin gdzie )(xn jest najmniejszą liczbą taką że )( xnWxisin Ponadto =cap kxn VW )( empty dla )(xnk gt co oznacza że pokrycie Q jest lokalnie skończone

Twierdzenie Stonersquoa W każde pokrycie otwarte SsU s isin przestrzeni metrycznej )( dX można wpisać pokrycie otwarte i lokalnie skończone Dowoacuted Załoacuteżmy że zbioacuter S jest dobrze uporządkowany Zdefiniujemy przez indukcję zbiory

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

Zbiory snH wnisin Ssisin mają następujące własności

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 1 gdzie ( ) AaaKAK isin= )( εε Υ

Własność (2) jest oczywista

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

gdzie BbAabadBAd isinisin= )(inf)( Własność (3) jest oczywista (4) SswnHX sn isinisin= Υ Udowodnimy tę własność Ustalmy punkt x Weźmy najmniejszy wskaźnik Sxs isin)( że

)( xsUxisin Następnie wybierzmy wnisin tak aby )(1 xsUn

xK sub⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Twierdzę że )( xsnHxisin

Istotnie ( )n

UXxd xs1 )( ge ponadto ( )

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

Hxd tn1 lt pociąga tUxisin co

jest sprzeczne z wyborem wskaźnika )(xs ) Zdefiniujmy

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

subforall oraz rodzina SswnG sn isinisin jest pokryciem otwartym przestrzeni X

Następnie zdefiniujmy SsGG snn isin= Υ

Z lematu wynika że istnieje pokrycie otwarte i lokalnie skończone wnQn isin przestrzeni X takie że nn

nGQ subforall Niech

snnsn GQV cap= Zachodzą następujące związki (6) ssn UV sub bo ssnsn UGV subsub dla każdego wnisin (7) SswnVX sn isinisin= Υ (oczywiste) Na koniec pokażemy że (8) rodzina SswnV sn isinisin jest lokalnie skończona W tym celu ustalmy punkt Xxisin Istnieje otoczenie otwarte W punktu x oraz liczba n taka że

=capforallge

QW empty

Z kolei z określenia zbioroacutew snH oraz snG wynika że kula ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

61 przecina co najwyżej

jeden ze zbioroacutew siG dla ni lt Stąd zbioacuter ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛cap=

61 jest otoczeniem otwartym

punktu x ktoacutere przecina co najwyżej jeden ze zbioroacutew tnG dla wnisin St isin Definicja Niech XA sub będzie niepustym podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (Xd) Rodzinę troacutejek Sssss aU isinϕ gdzie AaAXAXU sss isinrarrsub ]10[ ϕ nazywamy układem Dugundjirsquoego dla zbioru A gdy spełnione są następujące warunki

(i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni XA

(ii) necapforallforallforallisingtpartisin

aKUsSsAa

empty )3( δaKas isinrArr

(iii) forallisinSs

odwzorowanie ciągłe ]10[ rarrAXsϕ zadane jest wzorem

sumisin

ss UXxd

Jak widać z definicji (iii) rodzina odwzorowań Sss isinϕ zwana rozkładem jedności pokrycia SsU s isin jest określona jednoznacznie i poprawnie dzięki lokalnej skończoności i otwartości pokrycia SnU n isin przestrzeni XA Lemat 2 Rodzina troacutejek Sssss aU isinϕ tworzy układ Dugundjirsquoego dla zbioru domkniętego

XA sub o ile tylko (i) rodzina SsU s isin jest pokryciem otwartym i lokalnie skończonym

przestrzeni AX wpisanym w pokrycie AXxAxdxK 41 ))(( isin

(ii) istnieje zbioacuter AXx Sss subisin taki że dla każdego ))(( 4

1 AxdxKUSs sss subisin oraz )()( 45 Axdaxd sss le

Dowoacuted Wystarczy sprawdzić tylko warunek (ii) definicji układu Dugundjirsquoego Załoacuteżmy że

necap )( δaKU s empty i niech )( δaKUx s capisin Spełnione są następujące nieroacutewności 1 δlt)( xad bo )( δaKxisin 2 )()( 4

1 Axdxxd ss lt bo ))(( 41 AxdxKUx sss subisin

3 )()( 45 Axdaxd sss lt

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

1 AxdaxdxxdAxd sss δ a x sx sU A

Zatem na podstawie 1-4 oraz z nieroacutewności troacutejkąta

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

AxdAxdAxdAxdaxdxxdxadaad

ssssss

Teraz łatwo zauważyć że posługując się definicją odległości punktu od zbioru oraz

korzystając z twierdzenia Stonersquoa otrzymujemy istnienie co najmniej jednego układu Dugundjirsquoego dla każdego niepustego podzbioru domkniętego XA sub przestrzeni metrycznej X Twierdzenie Dugundjirsquoego Niech będzie dane odwzorowanie ciągłe YAf rarr określone na niepustym podzbiorze domkniętym A przestrzeni metrycznej X i przyjmujące wartości w przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Załoacuteżmy że Sssss aUD isin= ϕ jest układem Dugundjirsquoego dla zbioru A Wtedy odwzorowanie YXfD rarr zadane wzorem

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

jest ciągłe Definicja Odwzorowanie Df zadane powyższym wzorem nazywać będziemy przedłużeniem Dugundjirsquoego dla odwzorowania f (względem układu D)

Nie będziemy tutaj definiowali przestrzeni topologicznej liniowej lokalnie wypukłej Szczegoacutelnym przypadkiem takiej przestrzeni są przestrzenie unormowane definicje podamy poniżej Definicja przestrzeni unormowanej ( ) sdot+= XX Przestrzeń X spełnia aksjomaty przestrzeni liniowej i aksjomaty normy

(I) aksjomaty przestrzeni liniowej XXX ⎯rarr⎯times +

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

=+forallexistisinisin

4 0=+existforallisinisin

yxXyXx

XX ⎯rarr⎯timesreal bull

5 realisin=sdotforallisin

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

=sdotforallforallisinrealisin

7 xxxXx

βαβαβα

+=+forallforallisinrealisin

8 yxyxXyx

αααα

(II) aksjomaty normy )0[ infinrarrXx

(i) 00 =hArr=forallisin

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

=forallforallrealisinisin

Norma wyznacza metrykę realrarrtimes XXd yxyxd minus=)(

Każdą przestrzeń unormowaną możemy traktować jako przestrzeń metryczną z wyżej określoną metryką Jeśli metryka wyznaczona przez normę jest zupełna to przestrzeń unormowaną nazywamy przestrzenią Banacha Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego Z określenia odwzorowania Df wynika że wystarczy zbadać jego ciągłość w punkcie

Aa partisin Niech W będzie dowolnym otoczeniem wypukłym punktu )(af Z ciągłości odwzorowania YAf rarr wynika że istnieje liczba 0gtδ taka że (1) [ ] WAaKf subcap)3( δ Teraz z warunku (ii) definicji układu Dugundjirsquoego oraz z (1) otrzymujemy (2) necap )( δaKU s empty Waf s isinrArr )(

Z wypukłości zbioru W oraz z definicji odwzorowania Df otrzymujemy że (3) WaKf D sub)]([ δ co już kończy dowoacuted ciągłości odwzorowania Df

O PEWNYCH ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA DUGUNDJIrsquoEGO

W tej części wyjaśnimy dlaczego odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości w sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni unormowanej Y ma przedłużenie ciągłe

SXF rarr

Twierdzenie Załoacuteżmy że Y jest przestrzenią unormowaną ośrodkową o wymiarze nieskończonym Niech 1 =isin= yYyS będzie sferą jednostkową Wtedy istnieje odwzorowanie ciągłe

SXr rarr takie że xxr =)( dla Sxisin (r -nazywać będziemy retrakcją przestrzeni X na S) Dowoacuted Niech QYyYyA 1 =geisin= gdzie 1 ltisin= yYyQ ze zbioru A wybierzmy zbioacuter przeliczalny i gęsty AE sub o tej własności że (1) F

EFforallsub

skończony hipFnotinrArr 0

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

realisin== sum sumisin isin

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

jest najmniejszą hiperpłaszczyzną zawierającą zbioacuter F Zbioacuter hipF jest zbiorem nigdziegęstym bo wymiar przestrzeni Y jest nieskończony

Ustalmy bazę przeliczalną NnWn isin dla topologii podprzestrzeni A Zbioacuter E skonstruujemy za pomocą indukcji w następujący sposoacuteb ( 1i ) Niech 011 We isin będzie dowolnym elementem zbioru AW sub1 roacuteżnym od zera

)( 1+ni Załoacuteżmy że już wybraliśmy punkty Aee n isin1 takie że )(0)0( 111 nnnn eehipeehipWe notinisin minus Ponieważ Y jest przestrzenią nieskończenie

wymiarową więc zbioacuter (3) neehipC 0 1= jest zbiorem nigdziegęstym Wybierzmy punkt CWe nn 11 ++ isin Z wyboru punktu 1+ne wynika że )(0 11 +notin neehip ) Stąd zbioacuter 21 eeE = ma własność (1) Niech rodzina wIIiUi subeisin będzie pokryciem otwartym i lokalnie skończonym przestrzeni Q wpisanym w pokrycie ( ) QyAydyK isin)( 4

1 gdzie yxyxd minus=)( Dla dowolnego Iiisin wybieramy punkt Qyi isin oraz punkt Eai isin o tej własności że (5) ( )( )AydyKU iii 4

1sub oraz ( ) ( )Aydayd iii 45lt

Na podstawie lematu 2 oraz twierdzenie Dugundjirsquoego odwzorowanie YYf D rarr będące przedłużeniem Dugundjirsquoego odwzorowania AyyyfYAf isin=rarr )( względem układu

Iiiii aUD isin= ϕ jest ciągłe Z określenia odwzorowania wynika że (6) FhipFQfAYf )()( Υsub= skończony i EF sub

Ale z własności (1) otrzymujemy że )()(0 AYfQf =notin Stąd odwzorowanie SXr rarr zadane wzorem

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

jest ciągłe i spełnia warunek xxr =)( dla Sxisin

) Przypuśćmy że 11 0 +isin neehip tzn 1

=sum= ni

et Z założenia indukcyjnego wynika że

01 ne+nt (poroacutewnać warunek (1)) Stąd Ceehipett

in =isin= sum

11 )0( sprzeczność z

wyborem punktu Cen notin+1 Wniosek

Każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr określone na podzbiorze domkniętym XA sub przestrzeni metrycznej X przyjmujące wartości na sferze jednostkowej 1 =isin= yYyS przestrzeni metrycznej unormowanej nieskończenie wymiarowej Y ma

przedłużenie ciągłe SXF rarr tzn fAF =| Dowoacuted Niech SYr rarr będzie retrakcją przestrzeni Y na sferę jednostkową a YXf D rarr dowolnym przedłużeniem ciągłym Dugundjirsquoego odwzorowania f względem pewnego układu D Wtedy złożenie DfrF ο= jest szukanym odwzorowaniem Wniosek Kula jednostkowa 1 le= xxB przestrzeni liniowej unormowanej ośrodkowej nieskończenie wymiarowej nie ma własności punktu stałego Dowoacuted Niech SXr rarr będzie retrakcją przestrzeni X na sferę 1 =isin= xXxS Zdefiniujmy BBf rarr wzorem )()( xrxf minus= dla Bxisin Odwzorowanie f nie ma punktu stałego Przykład

0cX = 0lim)( 21 == nxxxX

|max| 0cnxx n isin= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

Przypuśćmy że xxFBx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxxf Przypuśćmy że xxf

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

21 11 xxxxxxxxx nn minus====minus= minus Ale

( ) 01011

2 =forallrArr=rArr=minusrArrinfinlt sumsuminfin

i xxxx sprzeczność

Twierdzenie) Niech XAsub będzie podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej ośrodkowej X takiej że nAX lt)dim( Wtedy każde odwzorowanie ciągłe SAf rarr w sferę (n-1)-wymiarową 1 =realisin= xxS n ma przedłużenie ciągłe Dowoacuted Wybierzmy układ Dugundjirsquoego Iiiii aU isin ϕ subI N dla zbioru A taki że IiUi isin jest pokryciem otwartym (przestrzeni A) lokalnie skończonym i o krotności nle Z określenia odwzorowania Df wynika że

BIiafFnFhipFAXf i capisinsublesub )(||)( Υ gdzie

1 lerealisin= xxB n Zatem zbioacuter )( AXf jest zbiorem I kategorii i miary zero Istotnie więc punkt

)( AXfBbisin Zdefiniujmy odwzorowanie SbBr rarr w następujący sposoacuteb r(x)=punkt przecięcia ze sferą S poacutełprostej o początku b i przechodzącej przez x

Odwzorowanie ))(()( xfrxF Dο= Xxisin spełnia tezę twierdzenia ) Udowodnione wyżej twierdzenie podał w 1935 roku Hurewicz (Uumlber Abbildungen topologischer Rauumlme auf die n-dimensionale Spore Fund Math (1935) str 144-150) nawiązując do wcześniejszego tw Aleksandrowa (PSAlekrandow Dimenrionstheorie Ein Beitung zur Geometrie der abgeschlossememem Mengen Math Ann 106(1932) 161-236) Wniosek Przestrzeń nreal ma wymiar nge (jest to zasadnicze twierdzenie wymiaru należące do Lebesguersquoa) Dowoacuted Kula otwarta nK realsub)10( ma wymiar nge bo inaczej korzystając z poprzedniego tw otrzymalibyśmy że istnieje retrakcja kuli domkniętej )10(KB = na jej brzeg BS part= co jest sprzeczne z twierdzeniem Brouwera o punkcie stałym Z kolei kula otwarta )10(K jest homeomorficzna z przestrzenią nreal

PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH

W tej części będziemy rozważać przestrzenie ogoacutelniejsze od przestrzeni metrycznych będą to przestrzenie topologiczne Przestrzenia topologiczną nazywamy parę )( TX gdzie X jest zbiorem a XT 2sub topologią tzn rodziną zbioroacutew spełniającą następujące warunki

1 Oslash X Tisin 2 TBATBA isincaprArrisin 3 A ΥrArrsub T A Tisin

Wprowadziliśmy pojęcie topologii ze względu na bardzo ważne twierdzenie

Tichonowa moacutewiące że produkt kartezjański przestrzeni zwartych jest przestrzenia zwartą Ale przedtem wprowadzimy pojęcia ktoacutere będą potrzebne do zrozumienia wyżej wypowiedzianego zdania Niech S będzie zbiorem niepustym oraz SsX s isin rodziną zbioroacutew niepustych Zbioacuter

)(| ssSs

s XsxXSxSsX isinrarr=isinprodisinΥ

nazwiemy produktem kartezjańskim zbioroacutew SsX s isin a odwzorowanie

sss XSsX rarrisinprodΠ )()( sxxs =Π rzutowaniem na oś sX Załoacuteżmy teraz że na każdym ze zbioroacutew sX jest zadana topologia sT W produkcie kartezjańskim

SsXX s isinprod= wprowadzimy topologię T jako najmniejszą z topologii przy ktoacuterej każde rzutowanie

ss XX rarrΠ jest ciągłe tzn spełniony jest warunek TUsTU s

isinΠforall minus

isin)(1

Topologię T definiujemy w następujący sposoacuteb WUUxTW nssTUTUWx n

subΠcapcapΠisinexistforallhArrisin minusminus

isinisinisin)()( 1

Pominiemy proste sprawdzenie że warunki 1-3 definicji topologii są spełnione Rodzinę TB sub nazywamy podbazą dla topologii T gdy spełniony jest warunek

WUUxTW nBUUWx n

subcapcapisinexistforallhArrisinisinisin

Według powyższej definicji zbiory postaci SsTUU ss isinisinΠminus )(1 tworzą podbazę dla topologii produktu kartezjańskiego Przestrzeń topologiczna nazywamy zwartą gdy dla każdego pokrycia otwartego

TP sub (tzn spełniającego warunek XP =Υ ) można znaleźć skończoną podrodzinę PUU n sub 1 taką że nUUX cupcup= 1 tzn przestrzeń X jest zwarta gdy z każdego

pokrycia otwartego można wybrać pokrycie skończone Lemat Alexandera

Jeśli w przestrzeni topologicznej )( TX istnieje podbaza TB sub o tej własności że z każdego pokrycia BP sub (złożonego z elementoacutew podbazy B ) można wybrać pokrycie skończone PQ sub to wtedy X jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Przypuśćmy że istnieje pokrycie TP sub takie że dla każdej skończonej rodziny

PQ sub (1) QX Υne Powołując się na lemat Kuratowskiego-Zorna rodzinę P można powiększyć do rodziny maksymalnej o wyżej wspomnianej własności Pokażemy że rodzina BPcap jest pokryciem przestrzeni X W wobec założenia lematu będzie pociągało że można z rodziny BPcap wybrać pokrycie skończone sprzeczność z przypuszczeniem (1) Ustalmy punkt Xxisin oraz element PU isin taki że Uxisin Z definicji podbazy otrzymujemy istnienie rodziny BBB n sub 1 (2) UBBx n subcapcapisin 1 Pokażemy że jeden ze zbioroacutew iB ni le należy do P co będzie kończyło dowoacuted że rodzina

BP cap jest pokryciem Przypuśćmy że (3) PBini

notinforallle

Z maksymalności rodziny P wynika że dla każdego ni le istnieją zbiory PUU iij

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

Z powyższego otrzymujemy że

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

Υ co jest sprzeczne z przypuszczeniem (1)

Twierdzenie Tichonowa Produkt kartezjański SsX s isinΠ przestrzeni zwartych ( )ss TX Ssisin jest przestrzenią zwartą Dowoacuted Jak już wspomnieliśmy zbiory postaci )(1 Us

minusΠ gdzie SsTU s isinisin tworzą podbazę B dla topologii T produktu kartezjańskiego SsXX s isinΠ= Powołując się na lemat Alexandera wystarczy stwierdzić że z każdego pokrycia zbiorami z podbazy B można wybrać pokrycie skończone Ustalmy pokrycie BP sub Korzystając ze zwartości przestrzeni

sX Ssisin wystarczy pokazać że istnieje wskaźnik Ssisin o tej własności że )()( 11 UWx sssPWXx ss

minusminus

isinisinΠ=subΠexistforall sXU sub

Gdyby tak nie było to dla każdego punktu Ssisin znaleźlibyśmy punkt ss Xx isin taki że )(1

ss xminusΠ nie zawiera się w żadnym z elementoacutew pokrycia P Wtedy punkt x )( 1 Ssxx ss isinΠ= minusΙ

nie zawiera się w żadnym z elementoacutew rodziny P co przeczy temu że P jest pokryciem produktu X

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted

Twierdzenie Stonersquoa-Weierstrassa

Dowoacuted

Pokażemy że Ustalmy i Dla każdej pary wybierzmy takie że Zbiory są otwarte w oraz

Przy ustalonym z rodziny wybierzmy pokrycie skończone przestrzeni Niech Mamy oraz Niech Wtedy dla Z pokrycia wybieramy skończone Niech Wtedy oraz a także

Wniosek

Dowoacuted powyższego wniosku

Dowoacuted

PRZESTRZENIE OŚRODKOWE

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted


Odległość punktu od zbioru

Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy

Twierdzenie Urysohna

Dowoacuted

PARAZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE DUGUNDJIrsquoEGO

Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2

Twierdzenie Stonersquoa

Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja

Definicja przestrzeni unormowanej

Dowoacuted twierdzenia Dugundjirsquoego


Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

PRZESTRZENIE METRYCZNE

Przestrzenią metryczną nazywamy parę (Xρ) gdzie X jest zbiorem ρ XtimesXrarr[0infin) funkcją zwaną metryką ktoacutera każdej parze (xy)isin XtimesX przyporządkowuje liczbę ρ(xy) zwaną odległością pomiędzy punktami x i y i ktoacutera spełnia trzy warunki

1) forallisinXyxρ(xy)=0hArr x=y (zwrotność)

2) forallisinXyx

ρ(xy)=ρ(yx) (symetryczność)

3) forallisinXyx

ρ(xy)le ρ(xz)+ρ(zy) (warunek troacutejkąta)

Pojęcie przestrzeni metrycznej wprowadził w 1906 roku Frēchēt

Najprostszym przykładem przestrzeni metrycznej (Xρ) jest przestrzeń dyskretna z

metryką dyskretną

ρ(xy)= Xyxyxdla

yxdlaisin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

Przestrzenie dyskretne nie są ciekawym obiektem badań z punktu widzenia topologii dla nas będą interesujące przestrzenie euklidesowe w R n

R n =( isinforall=

n xxx21

Z metryką euklidesową

ρ(xy)= sum=

minusn

iii yx

2)( gdzie )( 1 ni xxx = )( 1 ni yyy =

Bez trudu można zauważyć że tak zdefiniowane funkcje ρ spełniają warunki zwartości i symetryczności Natomiast przy sprawdzaniu warunku troacutejkąta możemy skorzystać z nieroacutewności Cauchyrsquoego

sumsumsum===

sdotlen

iii baba

Teraz możemy przystąpić do sprawdzenia warunku troacutejkąta Niech iii yxc minus= iii zxa minus= iii yzb minus= Wtedy

ρ 2 (xy)=sum=

2 =sum=

iii ba

2)( = sumsumsum===

ii bbaa

2 2 sumsumsum===

sdot+len

ii baa

2 )( sumsum==

ii ba = [ρ(xz)+ρ(zy)] 2 Zatem dla każdego xyzisinX

ρ(xy)le ρ(xz)+ρ(zy) Ćwiczenie Udowodnić nieroacutewność ) Ćwiczenie Sprawdzić że jeśli tane b dla każdego tisinR to )ba le ||a||middot||b||

ρ(xy)= Xyxyxdla

yxdlaisin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

ρ(xy)= sum=

minusn

iii yx

ρ(xy)=pn

pii yx

1|| ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minussum

dla pgt1

1gegt⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡le⎥

⎤⎢⎣

⎡+ sumsumsum

pii bapbaba

21 suminfin

infinlt=i

pip xxxl z metryką

ρ(xy)=p

pii yx

1|| ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minussum

||)( 21 xiiM

Mxxxxmx

yxyx minus=ρ

p dxxgxfgf

|)()(|)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= intρ pge 1

p dttgdttfdttgtf111

)|)(|()|)(|()|)()(|( intintint +le+

a oto szkic dowodu

p tgtftgfdttgtf1

|))(())((|)|)()(|()|)()(|( ξξξξ

pigoMinkowskien

1)|)(|()|)(|( ξξ p

p dttgdttf11

)|)(|()|)(|( intint +

1) forallisinXx

||x||=0hArr x=0

2) forallisinXyx

||x+y||le ||x||+||y||

||x||= sum=

2 dla x=( nxx 1 )

a) ||x||= ||1sum=

c) ||x||= pn

)||(sum=

dla gep 1

a-ε a+ε ( ) a

iii yxyx

K(aε)subA

1 Κ nisinN

xisinBsubA

CIĄGI

εσδρδε

))()(()(00

afxfaxXx

00εδ

Tuisinminus

isinforall (tzn

0)(0)(

)()( σρ TAXTAXXA

AxxxnAxn

a więc A

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

ciąg )( iam jest

1|)()(|)(

naamnmn

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

ρ(xy)= Xyxyxdla

yxdlaisin

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

ρ(xy)= sum=

minusn

iii yx

ρ(xy)=pn

pii yx

1|| ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minussum

dla pgt1

1gegt⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡le⎥

⎤⎢⎣

⎡+ sumsumsum

pii bapbaba

21 suminfin

infinlt=i

pip xxxl z metryką

ρ(xy)=p

pii yx

1|| ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛minussum

||)( 21 xiiM

Mxxxxmx

yxyx minus=ρ

p dxxgxfgf

|)()(|)( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= intρ pge 1

p dttgdttfdttgtf111

)|)(|()|)(|()|)()(|( intintint +le+

a oto szkic dowodu

p tgtftgfdttgtf1

|))(())((|)|)()(|()|)()(|( ξξξξ

pigoMinkowskien

1)|)(|()|)(|( ξξ p

p dttgdttf11

)|)(|()|)(|( intint +

1) forallisinXx

||x||=0hArr x=0

2) forallisinXyx

||x+y||le ||x||+||y||

||x||= sum=

2 dla x=( nxx 1 )

a) ||x||= ||1sum=

c) ||x||= pn

)||(sum=

dla gep 1

a-ε a+ε ( ) a

iii yxyx

K(aε)subA

1 Κ nisinN

xisinBsubA

CIĄGI

εσδρδε

))()(()(00

afxfaxXx

00εδ

Tuisinminus

isinforall (tzn

0)(0)(

)()( σρ TAXTAXXA

AxxxnAxn

a więc A

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

ciąg )( iam jest

1|)()(|)(

naamnmn

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

pigoMinkowskien

1)|)(|()|)(|( ξξ p

p dttgdttf11

)|)(|()|)(|( intint +

1) forallisinXx

||x||=0hArr x=0

2) forallisinXyx

||x+y||le ||x||+||y||

||x||= sum=

2 dla x=( nxx 1 )

a) ||x||= ||1sum=

c) ||x||= pn

)||(sum=

dla gep 1

a-ε a+ε ( ) a

iii yxyx

K(aε)subA

1 Κ nisinN

xisinBsubA

CIĄGI

εσδρδε

))()(()(00

afxfaxXx

00εδ

Tuisinminus

isinforall (tzn

0)(0)(

)()( σρ TAXTAXXA

AxxxnAxn

a więc A

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

ciąg )( iam jest

1|)()(|)(

naamnmn

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

a-ε a+ε ( ) a

iii yxyx

K(aε)subA

1 Κ nisinN

xisinBsubA

CIĄGI

εσδρδε

))()(()(00

afxfaxXx

00εδ

Tuisinminus

isinforall (tzn

0)(0)(

)()( σρ TAXTAXXA

AxxxnAxn

a więc A

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

ciąg )( iam jest

1|)()(|)(

naamnmn

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

1 Κ nisinN

xisinBsubA

CIĄGI

εσδρδε

))()(()(00

afxfaxXx

00εδ

Tuisinminus

isinforall (tzn

0)(0)(

)()( σρ TAXTAXXA

AxxxnAxn

a więc A

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

ciąg )( iam jest

1|)()(|)(

naamnmn

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

xisinBsubA

CIĄGI

εσδρδε

))()(()(00

afxfaxXx

00εδ

Tuisinminus

isinforall (tzn

0)(0)(

)()( σρ TAXTAXXA

AxxxnAxn

a więc A

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

ciąg )( iam jest

1|)()(|)(

naamnmn

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

CIĄGI

εσδρδε

))()(()(00

afxfaxXx

00εδ

Tuisinminus

isinforall (tzn

0)(0)(

)()( σρ TAXTAXXA

AxxxnAxn

a więc A

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

ciąg )( iam jest

1|)()(|)(

naamnmn

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Tuisinminus

isinforall (tzn

0)(0)(

)()( σρ TAXTAXXA

AxxxnAxn

a więc A

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

ciąg )( iam jest

1|)()(|)(

naamnmn

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

1 euklidesową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

2111 )())()((ρ

2 modułową sum=

minus=n

iiinn yxyyxx

1112 ||))()((ρ

minus=n

iiyixyx

2))()(()(ρ

)(|)()(||)()(||)()(|1

2 yxiyixiyixyxn

ciąg )( iam jest

1|)()(|)(

naamnmn

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Ćwiczenie

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

hArrisin0ε

existsub

hArrisinAxn

PODPRZESTRZEŃ

)(00 0

mnnmnn

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

dxxgxfgf |)()(|)(ρ

Dowoacuted

f 1 (x) f 2 (x) 1 2

⎩⎨⎧

isinisin

=]21[1]10[

1)(|)()(|2

+minus

mn mndxxxdxxfxf

1)( ⎯⎯ rarr⎯+

minus+

isinisin

=rarr]10[0]21[1

)()(xdlaxdla

0|)()(|2

dla )(][ hEbaxisin

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

====+minus rarrrarr

xyxyyxx

sprzeczność

() )())()((

yxyfxfXyx

αρρ leforallisin

10 ltle α

)())()(()())()(()( 102

232 xxxx ραρ le

)()()())()(()( 10

)()( 101

ltminus

minusle infinrarr

mnn xxxx

αρα

ααρα

)(00 0

mnnnmn

)()(limlim 1

xfxfxx nnnn===

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

infinrarr nnFd

1nnF Oslash

isin1n

nFg to

Definicje

domknięty AF sup

Niech Υinfin

EXxKXx

2) nn10 ltlt ε

1 ltε takie że

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Stąd ExKExKpn

n )()( 01

0 εε subisininfin

Wniosek

xXxXx n

neinfin

PRZESTRZENIE ZWARTE

infinrarrklim y k =

infinrarrklim f(x

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

XxAaNn nn

Stąd ρ(x

axn ρ

Lemat o ε-sieci

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

( )Υn

iin xKXx

( )Υn

=+ isinforall ε

mnxxmn

( ) ερ ltlk nn xx

Wniosek

)()(00

yfxfyxXyx

Dowoacuted

1 YyyKfP isin⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

εδρ yKfzxzxYyXzx

Stąd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛isin

gtisin

zfxfzxXzx

)(sup xfAXxisin

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

infinrarr= oraz

)(lim nnzfB

|||||||||| xAxxanRx

leleforallisin

mamy Sxx

isin||||

i w konsekwencji

Axxa lele

Stąd już

||||||||||0

xAxxax

leleforallne

Wniosek

)()()( 000 raAxK

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

sumsumsum===

lesdotlesdot==n

iii xMexexxxf

111||||||||||)(

minusltminusn

iii xxMxfxf

00 |||)()(|

XAn sub n

aKakn sub⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛isin

)3( Un

aKAkn subsub

Xxsubforall

isin)( ε dla

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

1nnA Oslash (stąd

===1 11

ltltcupcup= 1

1 Ponieważ

knn UU subsub 1

Dowoacuted

leforallforall

isin-ciągła

wtedy ffX

)()(000

xfxf nXxnnn

UU oraz

Υinfin

xfxf nXxnn

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

isingtgt)()()(

00yfxfyx

isingegt)()(

00 0xfxf nmXxnnmn

isinyfxfyx nnXyxn

(3) 3)()(0

333)()()()()()(

)()()()()()()()(

xwzbieznosc

ciagloscajednostajn

nininimimmnm

xfxfxfxfxfxf

xfxfxfxfxfxfxfxf

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

44434241

34333231

24232221

14131211

ffffffffffffffff

yfxfPfPyx

Dowoacuted

[ ]xxwnxn

[ ] [ ] ⎥⎦⎤

211)()(

21)()( 2

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

)()(lim10

isin)min()max(

takie że cxfXx

leforallisin

leforallisin c

)()()( 22

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎯⎯ rarr⎯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎯rarr⎯

c isin=sdot Z kolei

)()()()( )(

ahbhahxhxg

minusminus

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

ffPfXCf

baba nUU

)()( xfxfXx

niin xxaxxw

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

takie że ΥnAa n

aKXisin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

kiikii

idii xfxfccxgPg

1)(]10[

gerArrneforallrarr

gfgfNgf

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

suminfin

isinrealisin+0

)sincos(n

nnnn Nmbanxbnxa

gtεε

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

ff n ⎯⎯⎯ rarr⎯ ⎯⎯ rarr⎯ ]10[

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

xxAxAx

Xxxxfg

z metryką ρ

)()(21)( 2121

1yyyxxxyxyx

iiii ==minus= sum

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

wiisin Dowoacuted 1

(1) 11 UV = Ιni

inn nxdxUV

lt ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ltcap=

1)( gdzie

(4) Υwn

nVXisin

(b) 21)( Sn

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

nUXxdXxH n

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ge⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛isincap

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ geisin=

lt nHxdXx

nUXxdXxH tn

(2) ssn Un

HK sub⎟⎠⎞

(3) ( )n

HHdst st1 gerArrlt

xK sub⎟⎠⎞

Istotnie ( )n

nHxd tn

geforalllt

(bo ( )n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nHKG snsn 3

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Mamy (5) snsn

nGQ subforall Niech

=capforallge

QW empty

⎜⎝⎛

⎜⎝⎛cap=

aKUsSsAa

(iii) forallisinSs

sumisin

ss UXxd

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

4 δlt)(43 Axd s bo δ+le+le )()()()( 4

δδδδδδ

32)()()()()()()()(

=+=sdot+lt+=

=++lt++le

ssssss

⎪⎩

⎪⎨⎧

isinisin

= sumisinSs

sxsD AXxdlaaf

Axdlaxfxf )(

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

1 xyyxXyx

+=+forallisin

2 zyxzyxXzyx

++=++forallisin

3 xxXxX

yxXyXx

11 xxXx

6 )()(

βαβαβα

7 xxxXx

βαβαβα

8 yxyxXyx

αααα

(ii) yxyxXyx

+le+forallisin

(iii) xrrxrXx

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

SXF rarr

EFforallsub

(2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

aFa Fa

aa ttatFhip 1)(

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

(7) )()()(

xfxfxr

D= Yxisin

=sum= ni

in =isin= sum

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

1)( 2121 xx

X434 21

1)(1 lerArrle xFx

=existisin

)( tzn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎯rarr⎯

)( 2121 xxx

xx F stąd

1123121

xxxxxxx

+= minus 0

lim ne+

xn sprzeczność

Przykład

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

2lX = )(1

221 infinlt= sum

=iixxxX

suminfin

iixx ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

x=exist )(

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ minus= 1)( 21

221 xxxxx Stąd

212312

( ) 01011

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

)(| ssSs

isinΠforall minus

isin)(1

isinisinisin)()( 1

WUUxTW nBUUWx n

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

notinforallle

i isin)(1 że

(4) XUUB iij

ii =cupcupcup )(1

(5) XUB ik

⎠⎞⎜

⎝⎛cup⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1ΥΙ

Stąd już XUU ik

ki=cup

minusminus

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Twierdzenie Arzeli

Dowoacuted

Przygotowanie

Lemat 1

Dowoacuted

Lemat 2

Dowoacuted

Lemat 3

Dowoacuted


Dowoacuted



Wniosek


Dowoacuted


Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted


Definicja

Uwaga

Twierdzenie

Dowoacuted

Twierdzenie

Dowoacuted

Definicja

Twierdzenie

Dowoacuted



Dowoacuted

Podprzestrzeń

Zanurzenie

Zdefiniujmy


Dowoacuted


Lemat 1

Dowoacuted 1


Dowoacuted 2


Dowoacuted

Definicja

Lemat 2

Dowoacuted

Definicja




Twierdzenie

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Wniosek

Dowoacuted

Documents

Wprowadzenie Do Topologii