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Rock Hoffman Minh Pham Megan Seymour “The Car and the Truck” Write Up The problem called “The Car and the Truck” deals with a car and truck travelling along a straight road at different times and different velocities. The car starts an hour earlier than the truck and has a velocity that is indicated by the velocity (mph) vs. time (hour) graph on page 317, which starts out concave down and increasing until t= 2 hours, when the derivative is equal to zero, and the rest of the graph is decreasing. An hour later, at t=1,the truck starts to travel at a constant velocity of 50 mph. The problem first asks the distance that the car has travelled in the first hour. Then it asks the rate of change, or the derivative, of the distance between the car and the truck at t = 3 hours, in addition to the real life significance of the fact that the car’s velocity is maximized at t = 2 hours. Next, the question asks to find when the distance between the car and the truck is the greatest and what that distance is. The problem the goes on to ask when the truck overtakes the car (in time) and at what distance from the starting point. Finally, the problem hypothetically proposes that both vehicles start at the same time and asks for the graph of the two functions when both having initial values of (0,0) and to determine how many times the truck and car pass each other and what it means in terms of the distance between the two pass one another. One must use his or her knowledge of area under the curve of velocity graphs, the Fundamental Theorem of Calculus, integrals, and critical thinking to answer this problem accurately. Concepts: The way to calculate distance from a velocity equation is by taking the integral of that equation. The velocity equation is the derivative of the position function. The integral is essentially the area under the graph. To calculate this algebraically, one must take the

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Rock   Hoffman Minh   Pham 

Megan   Seymour “The   Car   and   the   Truck”   Write   Up 

The   problem   called   “The   Car   and   the   Truck”   deals   with   a   car   and   truck   travelling   along   a 

straight   road   at   different   times   and   different   velocities.   The   car   starts   an   hour   earlier   than   the 

truck   and   has   a   velocity   that   is   indicated   by   the   velocity   (mph)   vs.   time   (hour)   graph   on   page 

317,   which   starts   out   concave   down   and   increasing   until   t=   2   hours,   when   the   derivative   is   equal 

to   zero,   and   the   rest   of   the   graph   is   decreasing.   An   hour   later,   at   t=1,the   truck   starts   to   travel   at 

a   constant   velocity   of   50   mph.   The   problem   first   asks   the   distance   that   the   car   has   travelled   in 

the   first   hour.   Then   it   asks   the   rate   of   change,   or   the   derivative,   of   the   distance   between   the   car 

and   the   truck   at      t   =   3   hours,   in   addition   to   the   real   life   significance   of   the   fact   that   the   car’s 

velocity   is   maximized   at   t   =   2   hours.   Next,   the   question   asks   to   find   when   the   distance   between 

the   car   and   the   truck   is   the   greatest   and   what   that   distance   is.   The   problem   the   goes   on   to   ask 

when   the   truck   overtakes   the   car   (in   time)   and   at   what   distance   from   the   starting   point.   Finally, 

the   problem   hypothetically   proposes   that   both   vehicles   start   at   the   same   time   and   asks   for   the 

graph   of   the   two   functions   when   both   having   initial   values   of   (0,0)   and   to   determine   how   many 

times   the   truck   and   car   pass   each   other   and   what   it   means   in   terms   of   the   distance   between   the 

two   pass   one   another.   One   must   use   his   or   her   knowledge   of   area   under   the   curve   of   velocity 

graphs,   the   Fundamental   Theorem   of   Calculus,   integrals,   and   critical   thinking   to   answer   this 

problem   accurately. 

 Concepts:  

The   way   to   calculate   distance   from   a   velocity   equation   is   by   taking   the   integral   of   that 

equation.   The   velocity   equation   is   the   derivative   of   the   position   function.   The   integral   is 

essentially   the   area   under   the   graph.   To   calculate   this   algebraically,   one   must   take   the 

antiderivative   of   the   equation,   but   in   the   case   of   this   problem,   since   the   graph   is   given,   one   must 

solve   the   problem   graphically. 

The   graphical   was   to   correctly   execute   taking   an   Integral   to   get   the   total   distance 

traveled   is   by   looking   at   the   area   under   the   velocity   curve.   One   can   estimate   this   through   taking 

Riemann's   sums   or   just   counting   the   number   of   boxes   under   the   curve.   A   Riemann’s   sum   can 

be   an   overestimate   or   an   underestimate   depending   on   the   nature   of   the   graph   and   what   kind   of 

sum   the   student   chooses   to   use.  

To   take   a   Riemann   sum: 

The   student   must   first   split   the   graph   into   intervals,   which   don’t   have   to   necessarily   be 

equal,   but   they   have   to   be   known.   These   intervals   will   be   known   as   t n    ,   and   knowing   them   is 

essential   in   taking   Riemann   sums.   Then,   for   left   hand   sums   one   takes   the   f(t)   value   from   the   left 

side   of   the   interval   and   multiplies   it   by   the   interval.   One   has   to   execute   this   for   all   of   the   intervals 

and   then   the   sum   will   be   complete.   For   a   right   hand   sum   one   would   do   the   same   thing   but   using 

the   f(t)   value   from   the   right   side   of   the   interval. 

 

A   general   Riemann   sum   for   f   on   the   interval   [a,b]   is   a   sum   of   the   form: 

f(c i )  i    ,∑n

i=1tΔ  

Where   1   is   the   initial   (starting)   point   and   n   is   the   end   point.    is   the   value   of   interval,   i,   and   f(c i )tΔ  

is   the   output   value   at   this   interval,   which   can   be   any   point   on   this   interval,   whether   left­most, 

right­most,   or   even   mid   point. 

 

This   is   how   one   sets   up   an   integral: 

Suppose   f   is   continuous   for    .   The   definite   integral   of   f   from   a   to   b   can   be   written a ≤ t ≤ b  

as,    (t)dt∫b

af  

However,   one   must   remember,   in   order   to   get   the   correct   distance   that   is   being   asked 

for,   one   must   determine   the   bounds   of   this   Integral.   Or,   graphically   speaking,   one   must   know   the 

beginning   (left   endpoint)   and   the   end   (right   endpoint)   of   the   portion   of   the   velocity   graph   their   are 

seeking   to   integrate. 

 Solutions:   

a. When   the   truck   starts,   the   car   has   traveled   1   hour   already.   The   distance   traveled   by   the car   can   be   found   by   the   total   area   in   the   velocity   graph   from   0   to   1   hour,   which   is   7 rectangles.   Each   triangle   is   5   miles;   therefore,   the   total   distance   is   35   hours.  

            

 b. Velocity   of   car   at   3pm:   67   mph 

Velocity   of   truck   at   3pm:   50   mph  We   call   function   f(x)   as   the   distance   between   the   car   and   the   truck:  F(x)   =   f(car)   –   f(truck)  The   rate   of   change   of   the   distance   between   the   car   and   the   truck   will   be   the   derivative of   the   function   f(x),   which   is   the   difference   in   velocity.  F’(x)   =   f’(Car)   –   f’(truck) F’(x)   =   v(car)      –   v(truck)  F’(3)   =   67­   50   =   17   mph  Therefore,   at   3pm,   the   distance   between   the   car   and   the   truck   is   increasing   at   17   miles per   hour.   

When   the   car’s   velocity   is   maximized   at   2pm,   the   rate   of   the   distance   between   the   car and   the   truck   (F’(x)   =   f’(Car)   –   f’(truck))   will   be   the   greatest   since   the   truck’s   velocity stays   constant   and   so   the   difference   between   them   will   be   the   greatest.   

c. When   the   car   is   ahead   of   the   truck,   the   distance   between   the   car   and   the   truck   will   keep increasing   until   the   truck’s   velocity   catches   up   with   the   car’s   velocity.   Therefore,   the greatest   distance   will   occur   when   v   (truck)=   v(car).   Since   v   (truck)   is   always   50mph,   v (car)   will   be   50mph   at   t   =   4.3   hours   (4:15pm).  The   distance   traveled   by   the   car   from   t=0   to   t=4.3   is   the   area   under   the   v   (car)   graph, which   is   around   50   squares;   therefore   the   distance   is   250   miles  

                                          The   distance   traveled   by   the   truck   from   t=   1   to   t=   4.3   is   50   *   3.3   =   165   miles      (33 squares)  

Therefore,   the   greatest   distance   is   250   ­   165   =   85   miles   (17   squares)             

            

  

 d. The   truck   overtakes   the   car   when   the   distance   traveled   by   the   car   and   the   truck   are 

equal.   This   means   that   the   area   under   the   curve   v(car)   and   the   area   under   the   curve v(truck)   are   equal.   Until   the   time   4.3,   the   distance   of   the   car   and   the   truck   are   the greatest   apart.   After   t   =4.3,   the   truck   starts   catching   up   to   the   car,   and   so   the   gap between   their   distance   get   smaller.   Under   the   graph   below,   the   red   shaded   part represents   the   total   distance   apart   between   the   car   and   the   truck   until   t   =   4.3.   To   cancel 

it   out,   we   have   to   find   the   area   that   is   equal   to   that   total   distance   after   t   =   4.3   so   that the   differences   can   cancel   out.   The   corresponding   time   will   be   the   time   where   the   car and   the   truck   have   traveled   the   same   distance.  The   number   of   squares   before   t=   4.3:   17   squares  Therefore,   the   time   will   be:   t   =   8.3   (where   the   17   squares   after   4.3)   =   8:25pm  

 

  

      

e.                  

f. The   graphs   intersect   twice,   at   t   =   0.7   and   4.3   hours.  ­ The   first   intersection   point   (t   =   0.7)   means   that   v(car)   =   v(truck).   Before   t=0.7, 

v(truck)   is   greater   than   v(car),   which   means   that   the   truck   is   traveling   away   from   the 

car   car.   After   t=   0.7,   v(car)   becomes   greater   than   v(truck),   which   means   that   the   car is   catching   up   with   the   truck   and   closing   the   distance   between   them.  

­ The   second   intersection   point   (t   =   4.3)   also   means   that   v(car)   =   v(truck).   At   this   point, the   distance   apart   between   the   car   and   the   truck   are   the   greatest.   Before   t   =4.3, v(car)   is   greater   than   v(truck),   which   means   that   the   car   is   traveling   away   from   the truck.   After   t=   0.7,   v(truck)   becomes   greater   than   v(car),   which   means   that   the   truck is   catching   up   with   the   car   and   closing   the   distance   between   them.