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Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen derSoftwarezuverlässigkeit und theoretische
InformatikFakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809
WS 2008/09
Diskrete Strukturen
Vorlesung Diskrete Strukturen WS 08/09Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München
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Kapitel V – Algebraische Strukturen • Algebraische Strukturen
– Grundlagen
– Gruppen
– Endliche Körper
• Zahlenkörper
• Polynomkörper
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Kapitel V – Algebra; Körper• Definition:
Eine Algebra mit zwei zweistelligen
Operatoren und heißt , falls
. ist eine abelsche Gruppe
mit neutralem Element 0 .
. ist ein Monoid mit neutral
Rin
em Element 1
g
R1
R2
R3.
(
A S, ,
S,
S
S, S.
a b c
) ( ) ( )
( ) ( ) (c )
a b a c a,b,c S
b c a b a a a,b,c S
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Kapitel V – Algebra; Körper• Definition:
Eine Algebra mit zwei zweistelligen
Operatoren und heißt , falls
. ist ein abelscher Gruppe
mit neutralem Element 0 .
. 0 ist eine abelsche
Körper
K1
K Gruppe mit
neutralem
2
A S, ,
S,
S
S \ ,
Element 1
. ( ) ( ) ( )
(Das Rechts-Distributivgesetz folgt aus den
übrigen Eigensch
K
afte
3
n.)
S.
a b c a b a c a,b,c S
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Kapitel V – Algebra; Körper• Beispiele
(wobei im weiteren Verlauf häufig durch + und ⊙ durch ersetzt werden)
2 2 2
: kommutativer (in Bezug auf ) Ring
1: kommutativer Ring
: Körper
: Körper
n n n
, ,
, , n ,n
, , , , ,
, ,
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Kapitel V – Algebra; Körper• Beispiel:
Setzt man K = {0,1,a,b} und definiert eine Addition und Multiplikation wie folgt:
so bildet K,⊕,⊙ einen Körper.
0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 0 b a
a a b 0 1
b b a 1 0
⊙ 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a b 1
b 0 b 1 a
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Kapitel V – Algebra; Körper• Endliche Körper sind in der Kryptographie und in
der Computer-Algebra sehr nutzlich.• Frage: wie findet man endliche Körper?• Wir werden eine erste Antwort durch diesen Satz
geben:Satz: Bezeichnet man mit +n und n die Addition bzw. Multiplikation Modulo n, so gilt:
ℤn, +n, n ist ein Körper n ist Primzahl.• Zur Vorbereitung brauchen wir einige
Grundeigenschaften des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen.
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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler
Definition:
Seien a, b ℕ. Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte natürliche Zahl, die sowohl a als auch b teilt, d.h.
ggT(a, b) := max{k ℕ | k|a und k|b}
wobei k|m eine Abkürzung für „k teilt m“ ist.
Sind a1,…, an ℕ, n 3, dann definieren wir
ggT(a1,…, an) := ggT(ggT(a1,…, an-1), an).
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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler
Satz: Seien x, y 2 Nmit x · y :
1. Wenn y mod x = 0 dann ggT(x,y) = x
2. Wenn y mod x > 0 dann ggT(x,y) = ggT(x,y mod x)
Beweis:
1. Klar. Zu 2. : Es gilt y = (y mod x) + by/xc x. Daraus folgt für alle z 2 N:
(z|x und z|y) gdw. (z|x und z|(y mod x)).
Damit haben (x,y) und (x, y mod x) dieselben gemeinsamen Teiler, und so ggT(x, y) = ggT(x, y mod x).
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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler
Der Satz führt zum Euklidischen Algorithmus zur Berechnung vom ggT zweier Zahlen:
(Euklid von Alexandria, ca. 325–265 v. Chr.)
Procedure ggT (x, y ℕmit x y)
if y mod x = 0 then return xelse return ggT(y mod x, x)
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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler
Satz: Seien x, y 2 N. Es gibt a, b 2 Zmit
ggT(x,y) = a x + b y
Beweis: Durch Induktion über max{x,y}.
Basis: max{x,y}=1.
Dann x=1=y und ggT(x,y) = 1 = 1 x + 0 y.
Schritt: max{x,y} > 1.
O.b.d.A. sei x · y. Wir betrachten zwei Fälle.
Fall 1. y mod x = 0. Dann ggT(x,y) = x = 1 x + 0 y.
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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler
Fall 2. y mod x > 0. In diesem Fall gelten x < y und ggT(x, y) = ggT(y mod x, x). Wir haben
max{y mod x, x} = x < y ·max{x,y}
und so (Induktionsannahme) gibt es a´, b´ 2 Zmit
ggT(x,y) = ggT(y mod x, x) = a´ (y mod x) + b´ x
Mit y mod x = y - by/xc x erhalten wir
ggT(x,y) = a´ (y -by/xc x) + b´ x
= (b´-by/xc a´) x + a´ y.
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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler
Der Beweis des Satzes führt zu einem Algorithmus für die Berechnung der Zahlen a und b, dem ErweitetenEuklidischen Algorithmus:
Procedure ErwggT(Zahlen x,y ℕmit x y)
if y mod x = 0 then return (1, 0)else
(a´, b´) Ã ErwggT(y mod x, x);(a , b) Ã (b´-by/xc a´ , a´);return (a, b)
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Kapitel V – Algebra; Körper• Größter gemeinsamer Teiler
Beispiel mit x= 45, y = 63.
ggT(45,63) 9 = (1 – b63/45c· (-2)) · 45 + (-2) · 63 = = 3 · 45 + (-2) · 63
ggT(18,45) 9 = (0 – b45/18c· 1) · 18 + 1 · 45 = = -2 · 18 + 1 · 45
ggT( 9,18) 9 = 1 · 9 + 0 · 18=9
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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern
Satz: In jedem Körper K gilt für alle a K :
a 0 = 0 a = 0
Beweis:
Es sei a ein beliebiges Element aus K. Dann folgt aus den Axiomen:
0 + (a 0) = a 0 = a (0 + 0) = (a 0) + (a 0).
Die Kürzungsregel ergibt 0 = a 0 □
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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern
Satz: In jedem Körper K gilt für alle a,b 2 K:
a b = 0 a = 0 oder b = 0.
(Körper sind nullteilerfremd)
Beweis:
Seien a,b mit a b = 0. Falls a 0, so existiert ein multiplikatives Inverses a−1 von a. Unter Verwendung des Satzes auf der letzten Seite folgt damit: b = 1 b = a−1 a b = a−1 0 = 0.
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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern
Satz: ℤn, +n, n ist ein Körper , n ist Primzahl.
Beweis:
()): Wir beweisen die Kontraposition. Sei n 2 N eine zusammengesetzte Zahl (also keine Primzahl). Dann gibt es Zahlen a,b, mit 1 < a · b < n und a b = n. Insbesondere gilt a 0 b.
Aus a b = n folgt a n b = 0. Damit gilt
a 0 b und a n b = 0. Aus dem Satz auf der vorigen Seite folgt, dass ℤn, +n, n kein Körper ist.
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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern
Satz: ℤn, +n, n ist ein Körper , n ist Primzahl.
Beweis:
((): Sei n 2 N beliebig. ℤn, +n ist eine abelscheGruppe. Darüber hinaus ist n assoziativ und kommutativ mit neutralem Element 1. Die Distributivgesetze gelten.
Wir zeigen: Wenn n eine Primzahl ist, dann hat jedes Element von ℤn ein inverses Element.
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Kapitel V – Algebra; Körper• Eigenschaften von Körpern
Beweis (Forts.):Sei n Primzahl. Zu zeigen ist : für jedes x ℤn gibt es ein y ℤn mit (x n y) 1.Sei x ℤn beliebig. Mit n Primzahl gilt ggT(x,n) = 1. Es existieren also Zahlen a, b 2 Zmit a · x + b · n = 1 (Erweiterter Euklidischer Algorithmus).Damit gilt (a n x) +n (b n n) ´ 1.Aus (b n n) ´ 0 folgt (a n x) ´ 1. Wähle y := a.