概要

基礎理論

1.応力とひずみおよび平衡方程式

2.降伏条件式

3.構成式（応力－ひずみ関係式）

有限要素法

1.有限要素法の概要

2.仮想仕事の原理式と変分原理

3.平面ひずみ弾性有限要素法定式化

FEMの基礎方程式

　

　　　

　　　

　　

　平衡方程式　

0

0

0

1.

zzyzzx

yyzyxy

xzxxyx

Gzyx

Gzyx

Gzyx

　　　

　ひずみ－変位関係式

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

zxzx

yzyz

xyxy

z

y

x

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

.2

klijklij D

　構成式　

　　応力－ひずみ関係式

)(

.3

　　　　　　　　　　　　　　

　　変位の境界条件　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　

　　　力の境界条件　　　　　　　　　

　境界条件式　

uii

tii

SonVu

SonPt

.4

応力とひずみおよび

平衡方程式

物体にはたらく力と応力

応力の定義

dA

d

AAn

PPT

0lim応力ベクトル：

dA

dN

A

N

An

0lim垂直応力：

dA

dQ

A

Q

An

0limせん断応力：

応力ベクトル

jij

j

jiji

zzzyzyxzxz

zyzyyyxyxy

zxzyxyxxxx

eeT

eeeT

eeeT

eeeT

テンソル標記で

応力テンソル

zyzzx

yzyxy

zxxyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

jiij

モーメントの釣合

＝応力テンソルの対称性

xyyxxy

二次元応力行列と主応力

y

x

y

x

yxy

yxx

y

x

n

n

n

n

T

T

0

0

y

x

yxy

yxx

n

n

0

yxy

yxx

2121212 ,0))((0 主応力 II

三次元応力の座標変換

nmlT

nmlT

nmlT

zyzxznz

zyyxyny

zxyxxnx

nTmTlT nznynxn

222nnn T

jji

j

jjini nnT

三次元応力行列と主応力

0)(

jijij

jijijjini

n

nnnT

0)(det ijij

0322

13 III

今考えている面を主応力 がはたらく主応力面とすると

上式が nj=0 以外の解をもつためには

上式を展開すると

ここで J1，J2，J3 を応力の不変量という．

上式の3実根を 1 ，2，3 とすれば

321321 ,,0 主応力

三次元応力の不変量

ijxyzzxyyzxzxyzxyzyx

ijijjjiizxyzxyxzzyyx

miixyx

I

I

I

det2

2

1

3

2223

2222

1

3213

1332212

3211

I

I

I

あるいは主応力を用いて表すと

平均垂直応力と偏差応力

13

1

3

1

3Jii

zyxm

平均垂直応力＝静水応力 ⇒塑性変形に無関係

偏差応力 ⇒塑性変形を引き起こす

ijmijij

m

m

m

zxyzxy

mzz

myy

mxx

'

'

'

'

,

,,

'

'

'

33

22

11

偏差応力の不変量

'''

6

1

)(66

1

'''2

1''''''

)(2'''2

1

0''''''

3213

213

232

221

222222

23

22

21133221

2222222

3211

J

J

J

zxyzxyxzzyyx

zxyzxyzyx

zyx

二次元x方向応力の平衡方程式

（＝釣合方程式）

0

0

xyxx

xyxyx

yxxx

x

Fyx

dxdyFdxdxdyy

dydydxx

三次元応力の平衡方程式

（＝釣合方程式）

0

0

0

0

,

ijji

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

F

Fzyx

Fzyx

Fzyx

ひずみ（微少ひずみ）の定義

垂直ひずみ

（＝垂直微少ひずみ）

zy

zz

yy

yy

xx

xx

y

u

y

u

x

u

yy

yy

y

yyyy

y

u

dy

Audyy

AuAu

dy

AuBu

せん断ひずみ

（＝微少せん断ひずみ）

zxxz

zx

yzzy

yz

xyyx

xy

z

u

x

u

y

u

z

u

x

u

y

u

2

1

2

1

2

1

yzyz

yy

yzz

z

yyzz

yz

z

u

y

u

dz

udzz

uu

dy

udyy

uu

dz

AuDu

dy

AuBu

2

1

2

1

2

1

2

1

tantan2

1

2

1

工学的せん断ひずみ

はここで ij

ひずみテンソル

(ひずみ－変位の関係式）

zyzzx

yzyxy

zxxyx

zzyzzx

yzyyxy

zxxyxx

ijji

i

j

j

iij uu

x

u

x

u

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

2

1

2

1,,

体積ひずみと偏差ひずみ

zyxzzyyxxii

i

iiV 体積ひずみ

偏差ひずみ

Vijijij

zxzxyzyzxyxy

VzVzzzzz

VyVyyyyy

VxVxxxxx

3

1'

',','

3

1

3

1''

3

1

3

1''

3

1

3

1''

降伏条件

単軸応力状態の降伏条件

多軸応力状態の降伏条件 (1)

多軸応力状態の降伏条件 (2)

主せん断応力と最大せん断応力

213

132

321

321

321

2

1

2

1

2

1

:,,

:,,

主せん断応力

主応力

2

,,max

:

31max321

321max

max

最大せん断応力

Trescaの降伏条件 (1864)

達したとき降伏する．（せん断降伏応力）に

が材料固有の臨界値最大せん断応力 TCmax

せん断降伏応力ここで

のときあるいは

:

2

2

1,

2

1,

2

1max

,,max

31max

321

133221

321max

T

TT

TT

k

kC

kC

Trescaの降伏条件における

臨界値の決定

2

2

,0,

22

0,

31

321

31

321

YT

TT

TT

YT

Y

Y

k

kC

kk

C

にあるとき純粋せん断の降伏状態

とすると，力を単軸引張試験の降伏応

Misesの降伏条件 (1913)

はせん断降伏応力ここで :

6

1

'''2

1''

2

1

2213

232

221

23

22

212

M

MM

ijij

k

kC

J

に達したとき降伏．が材料固有の臨界値不変量

次ののエネルギー＝偏差応力材料中のせん断ひずみ

MCJ2

2

Misesの降伏条件における

臨界値の決定

3

,0,

3

0,

2

321

2

321

YM

MM

MM

YM

Y

Y

k

kC

kk

C

にあるとき純粋せん断の降伏状態

とすると，力を単軸引張試験の降伏応

降伏曲面・降伏曲線

主応力空間における降伏曲面 π平面上の降伏曲線

降伏条件式の実験的検証

応力－ひずみ関係式

＝構成式

弾性体の構成式 (1)

（一般化されたフックの法則）

ijkkijijkkijeij

zxezx

ezxyxz

ez

yzeyz

eyzxzy

ey

xyexy

exyzyx

ex

EGEE

GE

GE

GE

GE

2

11

22

1,

1

22

1,

1

22

1,

1

ではである．テンソル標記

はポアソン比は横弾性係数，はヤング率，ここで

弾性体の構成式 (2)

（一般化されたフックの法則）

ekl

eijkl

eklklijjkiljlikij

ezx

ezxzx

ey

ex

ezz

eyz

eyzyz

ex

ez

eyy

exy

exyxy

ez

ey

exx

DG

GGE

GGE

GGE

212

12

2,)1()21)(1(

2,)1()21)(1(

2,)1()21)(1(

テンソル標記では

してあるいはその逆関係と

弾性体の構成式 (3)

（一般化されたフックの法則）

ijmije

ij

zxzx

ezxm

zez

yzyz

eyzm

yey

xyxy

exym

xex

EG

GEG

GEG

GEG

21

2

'

22

1,

21

2

'

22

1,

21

2

'

22

1,

21

2

'

テンソル標記では

差応力を用いて表すとまたフックの法則を偏

Reussの構成式

0'''

'

'''

'

dddd

dd

ddddddd

d

zyxpz

py

px

ijpij

zx

pzx

yz

pyz

xy

pxy

z

pz

y

py

x

px

ijpij

条件を満足している．上式は塑性体積一定の

テンソル標記すると

仮定した塑性構成式の方向に一致する”と

の方向は偏差応力”塑性ひずみ増分

剛塑性体の構成式

（Levy-Misesの式）

ddddd

ddddd

ddddd

zxzxpzxyxz

pz

yzyzpyzxzy

py

xyxypxyzyx

px

2

1,

2

1

3

2

2

1,

2

1

3

2

2

1,

2

1

3

2

力成分で表すと上式を変形し，一般応

弾塑性体の構成式

（Prandtle-Reussの式）

ddEG

dddd

dG

ddddd

EG

dd

dG

ddddd

EG

dd

dG

ddddd

EG

dd

ddd

ijijmijp

ijeijij

zxzxzx

zxzmz

z

yzyzyz

yzymy

y

xyxyxy

xyxmx

x

pij

eijij

'21

2

'

22,'

21

2

'

22,'

21

2

'

22,'

21

2

'

テンソル標記すると

塑性ひずみ増分弾性ひずみ増分全ひずみ増分

相当応力と相当塑性ひずみ増分

222222

222222

213

232

221

23

22

21

2

1

3

2

'

62

1

2

1'''

2

3

pzx

pyz

pxy

pz

py

px

p

p

ppijij

pijij

p

p

zxyzxyxzzyyx

ddddddd

d

ddddW

dW

れるといい，次式で定義さを相当塑性ひずみ増分

るとき　に関して次式が成立す塑性仕事増分

る材では次式のようにな

ーゼスを相当応力と呼び，ミ数値換算して評価できる関

降伏応力に降伏応力の程度を単軸多軸応力状態における

二次元平面ひずみ

弾性有限要素法

FEM＝Finite Element Method

解析対象物体(連続体)を有限個の要素に分割し，各要素について剛性方程式を構成し，それらを全要素について重ね合わせる

有限要素法とは

固体力学解析用有限要素法

弾塑性有限要素法

・弾性有限要素法（静的陽解法） ・微少変形弾塑性有限要素法

（静的陽解法・静的陰解法） ・大変形弾塑性有限要素法

（静的陽解法・静的陰解法・動的陽解法）

剛塑性有限要素法

（静的陰解法）

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理 ポテンシャル

停留の原理

(4) 構成方程式 (6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

弾性FEMの基礎方程式

＝弾性境界値問題

　

　　　

　　　

　　

　平衡方程式　

0

0

0

1.

zzyzzx

yyzyxy

xzxxyx

Gzyx

Gzyx

Gzyx

　　　

　ひずみー変位関係式

z

u

x

w

y

w

z

v

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

zxzx

yzyz

xyxy

z

y

x

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

.2

klijeijkl

e

ij

e

ij

ijkkij

kleijklij

DUU

EE

D

2

1,

2111

)(

.3

　構成式　　　

　　応力－ひずみ関係式

　　　　　　　　　　　　　　

　　変位の境界条件　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　

　　　力の境界条件　　　　　　　　　

　境界条件式　

uii

tii

SonVu

SonPt

.4

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理 ポテンシャル

停留の原理

(4) 構成方程式 (6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

仮想仕事の原理式

0)()( , tS

iii

V

iijji dSuPtdSuG

　

tS

ii

V

ii

V

ijji dSuPdVuGdV

静的可容応力：平衡方程式と力学的境界条件を満足する応力

動的可容変位：ひずみ－変位関係式と幾何学的境界条件を満足する変位

仮想変位：動的可容変位の変分

静的可容応力と仮想変位に対して次式が成り立つ．

上式にガウスの発散定理を適用すると次の仮想仕事の原理式を得る

可容応力と仮想変位によってなされる内部仕事が外部仕事に等しいことを表す．

変分原理

V

iiS

iiV

e dVuGdSuPdVUt

,0

Vklij

klij

e

iii dVU

uuu

2

2

1

今，真の変位をui，それからわずかに異なる任意の可容変位をui+uiとすると，

ひずみエネルギ関数Ueが正値2次形式の場合，上式右辺第2項は正であるから

仮想仕事の原理式は弾性体の全ポテンシャルエネルギΦの第一変分が零である

ことを表しているポテンシャルエネルギ停留の原理に置き換えることができる．

iii uuu

となり，真の変位に対するポテンシャルエネルギは最小値をとる．

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理 ポテンシャル

停留の原理

(4) 構成方程式 (6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

2次元平面ひずみ変形状態の

ひずみと応力

000

0

0

2221

1211

33

2221

1211

00

0

0

33

22112211 )()21)(1(

E

平面ひずみ変形状態における

応力－ひずみ関係式

D

Ev

xy

y

x

z

y

x

または

2

)1(2

2100

011

01

1

)21)(1(

)1(

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理 ポテンシャル

停留の原理

(4) 構成方程式 (6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

三角形3節点要素と形状関数

は線形の関数である．

の値をとる．つの節点での

，それ以外では節点

の性質形状関数

yxN

yxN

yxN

,ii

02

1,i

,

形状関数の具体形

vNvNvNvNyxv

uNuNuNuNyxu

332211

332211

),(

),(

3

3

2

2

1

1

321

321

000

000

v

u

v

u

v

u

NNN

NNN

v

u

dNu

あるいはマトリックスの形で

または

形状関数の計算

yxxxyyyxyxN

yxxxyyyxyxN

yxxxyyyxyxN

)()()(2

1

)()()(2

1

)()()(2

1

122112213

311331132

233223321

)(2

1

1

1

det2

33

22

11

要素の面積

yx

yx

yx

の座標値であり，におけるは節点ただし， yxyx ,,

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理 ポテンシャル

停留の原理

(4) 構成方程式 (6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

ひずみ－変位マトリックス (1)

（Bマトリックス）

vx

Nu

y

N

vx

Nu

y

Nv

x

Nu

y

Nv

x

Nu

y

N

x

v

y

u

vy

Nv

y

Nv

y

Nv

y

N

y

v

ux

Nu

x

Nu

x

Nu

x

N

x

u

xyxy

y

x

33

33

22

22

11

11

33

22

11

33

22

11

2

ひずみ－変位マトリックス (2)

（Bマトリックス）

3

3

2

2

1

1

332211

321

321

000

000

2

v

u

v

u

v

u

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

y

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

xy

y

x

xy

y

x

マトリックスの形式で書くと

ひずみ－変位マトリックス (3)

（Bマトリックス）

の形になっているから，そのｘおよびｙに関する勾配は

ただし

)(2

1yCxbaN

c

y

Nb

x

N

2

1,

2

1

123312231

213132321

,,

,,

xxcxxcxxc

yybyybyyb

と書けるので，これをひずみ－変位マトリックスに代入すると

ひずみ－変位マトリックス (4)

（Bマトリックス）

したがってひずみ－変位関係式は

3

3

2

2

1

1

332211

321

321

000

000

2

v

u

v

u

v

u

bcbcbc

ccc

bbb

xy

y

x

xy

y

x

または

dB

さらに

dBDD

弾性FEM定式化の流れ

(3) 変分原理

(2) 仮想仕事の原理式

(7) 有限要素方程式

(1) 釣合方程式

離散化

ガウスの発散定理 ポテンシャル

停留の原理

(4) 構成方程式 (6) ひずみ－変位関係式

(5) 形状関数

離散化(要素剛性方程式) (1)

三角形3節点要素について，仮想仕事の原理式の左辺（内部仕事）は

V

T

V

xy

y

x

xyyx

V

Vijij

dV

dV

dV

dV

2

2 121222221111

離散化(要素剛性方程式) (2)

仮想仕事の原理式の右辺（外部仕事）は

S

T

V

T

V y

x

yxV y

x

yx

SV

Sii

Vii

dStudVbu

dSt

tuudV

b

buu

dSututdVubub

dSutdVub

)()( 22112211

離散化(要素剛性方程式) (3)

ここで以下の関係式がる

dBDD

dNu

dB

よって三角形3節点要素に関する仮想仕事の原理式は

ee

e

S

TT

V

TT

V

TT

dStNddVbNd

dVdBDBd

][

離散化(要素剛性方程式) (4)

ここで仮想変位は定数であり，積分の外に出してもよいので

任意の仮想変位に対して上式が成立するためには [ ] 内は常に0

0][

eee S

T

V

T

V

TTdStNdVbNddVBDBd

eee S

T

V

T

V

TdStNdVbNddVBDB ][

これが解くべき剛性方程式である．左辺の積分内のマトリックスを

eT

V

TKBDBdVBDB

e

とおくとことにする．△ は三角形要素の面積である．

離散化(要素剛性方程式) (5)

仮想仕事の原理式の右辺第１項の物体力の項は

y

x

y

x

y

x

V y

x

V

T

b

b

b

b

b

b

dVb

b

N

N

N

N

N

N

dVbNee 3

0

0

0

0

0

0

3

3

2

2

1

1

ただし物体力は要素内で一定と仮定

離散化(要素剛性方程式) (6)

右辺第１項表面力の項は，

例えば面2-3に右図のように

表面力が分布しているなら

形状関数マトリックスを

次のように書き直して

3

3

2

2

1

1

01000

00100

v

u

v

u

v

u

L

l

L

lL

l

L

l

v

u

離散化(要素剛性方程式) (7)

これより表面力の項は次式のようになる

ただし表面力は面2-3上で等分布荷重とした．

y

x

y

x

S y

x

S

T

t

t

t

tLdS

t

t

L

lL

lL

lL

l

dStNee

0

0

2

0

0

10

01

00

00

離散化(要素剛性方程式) (8)

最終的に要素剛性方程式は次式のように書き換えられる

ee fdK

節点変位:

3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

d 節点力:

3

3

2

2

1

1

y

x

y

x

y

x

e

f

f

f

f

f

f

f

要素剛性マトリックス:eK

全体剛性方程式

下図に示すような複数要素からなる系の全体系に関する仮想仕事の原理

のマトリックス表示は

これより全体系に関する剛性方程式は次のように得られる

0

e

e

e

eTfdKd

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弾性有限要素法解析の流れ

領域の要素分割，境界条件の設定

要素剛性マトリックスの計算

全体剛性マトリックスの計算

等価節点力，変位拘束の導入

連立一次方程式を解き節点変位を求める

節点変位からひずみ，応力の計算

結果の出力，可視化

Pre-Processor

FEM Analysis

Pre-Processor