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S GIO DC V O TO BNH NH KSCL KHI 12, THNG 01, NM 2015 TRNG THPT CHUYN L QU N Mn: TON. -------------------------- Ngy kho st:24/01/2015

i gian lm bi:180 pht, khng k thi gian pht ----------------------------------------

Cu 1 (2,0 im). Cho hm s . 4 22 1y x x a) Kho st v v th (C) ca hm s.

2 2

x b) Vit phng trnh tip tuyn d vi th (C) ti im M c honh . Tm ta cc giao im ca tip tuyn d vi th (C). Cu 2 (1,0 im).

a) Gii bt phng trnh 2 3 2lo log 32 1g log (2 1)2x x .

b) Mt ban vn ngh chun b c 3 tit mc ma, 5 tit mc n ca v 4 tit mc hp ca. Nhng thi gian bui biu din vn ngh c gii hn, ban t chc ch cho php biu din 2 tit mc ma, 2 tit mc n ca v 3 tit mc hp ca. Hi c bao nhiu cch chn cc tit mc tham gia biu din?

1 tancot 2 1 tan

xxx

Cu 3 (1,0 im). Gii phng trnh .

Cu 4 (1,0 im). Tnh tch phn 5

1

1 3 1

I dxx

x .

(2;1; 1), (1;0;3)A AB Cu 5 (1,0 im). Trong khng gian vi h ta Oxyz, cho im . Chng minh ba im A, B, O khng thng hng. Xc nh ta im M thuc ng thng OA sao cho tam gic MAB vung ti M. Cu 6 (1,0 im). Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh ch nht, hnh chiu vung gc ca nh S ln mp(ABCD) trng vi giao im O ca hai ng cho AC v BD. Bit 52, 2 ,

2SA a AC a SM a , vi M l trung im cnh AB. Tnh theo a th tch khi chp

S.ABCD v khong cch gia hai ng thng SM v AC. Cu 7 (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hnh thang cn ABCD (AD // BC) c phng trnh ng thng : 2 3AB x y 0 v ng thng . Gi I l giao im ca hai ng cho AC v BD. Tm ta cc nh ca hnh thang cn ABCD, bit

: 2AC y 02IB IA ,

honh im I: v nm trn ng thng BD. 3Ix 1;3M 2 3

32 3

(1 )( 3 3) ( 1) . ( , )

2 4 2( 2)

y x y x y x x y

x y x y

Cu 8 (1,0 im). Gii h phng trnh .

Cu 9 (1,0 im).

------ Ht ------

Cho x, y l hai s thc dng tha mn 2 3x y 7 . Tm gi tr nh nh t cbiu thc 2 2 2 2324 8(x y 2 5( ) ) ( 3)P xy y x y x y .

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S GIO DC V O TO BNH NH KSCL KHI 12, THNG 01, NM 2015TRNG THPT CHUYN L QU N P N TON. Ngy thi:24/01/2015 Cu Ni dung im

Kho st v v th (C) ca hm s 4 22 1y x x . 1,00 TX: Gii hn: lim , lim

x xy y

0,25

/ 0 10 1 2

x yy

x y

/ 34 4 ,y x x x S bin thin: Hm s nghch bin trn mi khong ( 1;0) v (1; ) , hm s ng bin trn mi khong v (0 ( ; 1 ) ;1)

0,25

Bng bin thin x -1 0 1 y + 0 - 0 + 0 - y 2 2 1

0,25 1.a

th c im cc i A(-1;2), B(1;2) v im cc tiu N(0;1). V th (C). 0,25

Vit phng trnh tip tuyn d vi th (C) ti im M c honh 22

x . Tm ta cc giao im ca tip tuyn d vi th (C).

1,00

Ta c 2 7; (2 4

)M C

. V / 2( ) 22

y 0,25

Pttt (d) c dng / 2 2 74

2 2

y y x

32 4

y x 0,25

Pt h giao im ca d v (C): 4 2 4 232 1 2 4 8 4 2 14

x x x x x x 0 0,25

1.b

2 22 4 4 2 2 02x x x 2 2 2 2, ,2 2 2x x x 2 .



3

Vy c 3 im: / / /2 7 2 2 1 2 2 1; , , 2 , , 2M 2 4 2 4 2 4

M M

0,25

Gii bt phng trnh 2 32 1log log (2 1) log 32x x 2 . 0,50

KX 12 1 0 2

x x (*) Vi k (*), pt 2 3log (2 1) log (2 1) 1 log 3x x 2

2 3 3 2log 3.log (2 1) log (2 1) 1 log 3x x

0,25 2.a

2 3log 3 1 log (2 1) 1 log 3x 2 3log (2 1) 1x 2 1 3 1x x i chiu (*), tp nghim: 1 ;1

2S

0,25

Mt ban vn ngh chun b c 3 tit mc ma, 5 tit mc n ca v 4 titmc hp ca. Nhng thi gian bui biu din vn ngh c gii hn, ban t chcch cho php biu din 2 tit mc ma, 2 tit mc n ca v 3 tit mc hp ca.Hi c bao nhiu cch chn cc tit mc tham gia biu din?

0,50

Mi cch chn 2 tit mc ma trong 3 tit mc ma l mt t hp chp 2 ca3, suy ra s cch chn 2 tit mc ma: 2C 3 3. Mi cch chn 2 tit mc n ca trong 5 tit mc n ca l mt t hp chp 2ca 5, suy ra s cch chn 2 tit mc n ca: 2C 5 10.Mi cch chn 3 tit mc hp ca trong 4 tit mc hp ca l mt t hp chp 3ca 4, suy ra s cch chn 3 tit mc hp ca: 3C 4 4.

0,25

2.b

Theo quy tc nhn, s cch chn cc tit mc tham gia biu din: 3.10.4 = 120 0,25 Gii phng trnh 1 tancot 2

1 tanxxx

. 1,00

K: sin 2 0

2cos 0 tan 1

4

x x kx

x kx

0,25

Vi K pt tan 2 tan2 4

x x 0,25

22 4

x x k 0,25

3

Kt hp K, ta c nghim: ,4

x k k 0,25

Tnh tch phn 5

1

1 3 1

I dxx x .

1,00 4

t 2 13 1, 0 3

tt x t x 23

dx tdti cn: 1 2; 5x t x t 4. 0,25



4

4

22

1I 2 1

dtt

4

2

1 1( )1 1

I dtt t

0,25

42ln 1 ln 1I t t 0,25 2 ln 3 ln 5I 0,25

Cho im . Chng minh ba im A, B, O khng thnghng. Xc nh ta im M thuc ng thng OA sao cho tam gic MAB vung ti M.

(2;1; 1), (1;0;3)A AB 1,00

Ta c (3;1;2) (3;1;2)OB OA AB B 0.25

* khng cng phng: O, A, B khng thng hng. (2;1; 1), (1;0;3)OA AB 0.25 Ta c v (2 ; ; ) (2 ; ; )OM t OA t t t M t t t

2; 1; 1), (2 3; 1; 2t t t BM t t t

(2 )AM

Tam gic MAB vung ti M th . 0 (2 2)(2 3) ( 1)( 1) ( 1))( 2) 0AM BM t t t t t t

2 56 11 5 0 1, 6

t t t t .

0.25

5

A (loi) v 1 (2;1; 1)t M 5 5 5 5; )6 6

( ;6 3

t M tha bi ton. 0,25 Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh ch nht, hnh chiu vung gcca nh S ln mp(ABCD) trng vi giao im O ca hai ng cho AC v BD. Bit 52, 2 ,

2SA a AC a SM a , vi M l trung im cnh AB. Tnh

theo a th tch khi chp S.ABCD v khong cch gia hai ng thng SM vAC.

N

MO

A

B C

D

S

H

K

1,00

T gi thit , ( ) ,SO ABCD SO AC OA a 2 2SO SA OA a 0,25

6

2 2 1: 2

OSM O OM SM SO a Ta c 2 2: 2 , 3A BC B BC MO a AB AC BC a


5

3.

1 3. .3 3S ABCD

V AB BC SO a 0,25

Gi N trung im BC / / ( , ) ( , ( )) ( , ( ))M N AC d SM AC d AC SMN d O SMN OMN O : : , (OMN O OH MN SO MN MN SOH )

, ( ): ( ) (SOH O OK SH OK SMN OK d O SMN 0,25

OMN O : 3 3, ,2 2

aON a OM OH MN OH a 4

2 2

. 5: ( , ) 19

OS OHSOH O d SM AC OK a OS OH

7 0,25

Cho hnh thang cn ABCD (AD // BC) c phng trnh ng thng v ng thng: 2 3AB x y 0 0: 2AC y . Gi I l giao im ca hai

ng cho AC v BD. Tm ta cc nh ca hnh thang cn ABCD, bit 2IB IA , honh im I: v 3Ix 1;3M nm trn ng thng BD.

E

I

A D

B C

F M

1,00

Ta c A l giao im ca AB v AC nn 1;2A . 0,25 Ly im . Gi 0;2E AC 2 3;F a a AB sao cho EF // BD. Khi EF 2 2EF AE BI EF AE

BI AI AE AI

2 2 1

2 3 2 2 11.5

aa a

a

0,25

Vi th l vtcp ca ng thng BD. Nn chn vtpt ca BD l

1a

EF 1; 1 1; 1 BD xn . Pt : 4y 0 2;2 BD AC I

5; 1BD AB BTa c 3 32 2;

2 2IB IBIB ID ID ID DID IA

2 .

1 3 2 2;22

IA IAIA IC IC IC C IC IB

.

0,25

7

Vi 115

a th 7 1;5 5

EF

l vtcp ca ng thng BD. Nn chn vtpt ca

BD l . Do , 1; 7n : 7 22BD x y 0 8;2I (loi). 0,25


6

Gii h phng trnh. 2 3

32 3

(1 )( 3 3) ( 1) . (1) ( , )

2 4 2( 2) (2)

y x y x y x x y

x y x y

(I) 1,00

KX: 2 20

0, 1 1, 1x y x yx y x y

Nhn xt 1, 1x y khng l nghim ca h. Xt th pt (1) ca h (I) 1y 2 2( 1) 3( 1) ( 1) ( 1)x x y y y x y 0

2

3 01 1 1

x x xy y y

0,25

,1

xt ty

0.

. Khi , pt (1) tr thnh 4 2 3 23 0 1 2 3 0 1t t t t t t t t 0,25

Vi t = 1, th 11

x y xy

1 , th vo pt(2), ta c

3 32 3 2 3

22

2 233 33

22

2 233 33

1 2 4 2 1 1 2 4 1 0

11 6 04 1 4 1

6 11 1 04 1 4 1

x x x x x x x x

x xx xx x x x

x xx xx x x x

0,25

8

2 1 51 0 12

x x x x . 1 5 3 5 .

2 2x y Vi

i chiu K, h phng c nghim 1 5 3 5; ;2 2

x y

.

0,25

Cho x, y l hai s thc dng tha mn 2 3x y 7 . Tm gi tr nh nht ca biu thc 2 2 2 2324 8(x y 2 5( ) ) ( 3)P xy y x y x y .

1,00

Ta c 22 2 3 36( 1)( 1) (2 2)(3 3) 36 5

2x yx y x y x y xy . 0,25

9

Ta c 22 2 2 25( ) 2 5( ) 2x y x y x y x y0

v

2 2 2

2 2

( 3) 9 2 6 62( 3) 8( ) ( 3)

x y x y xy x yx y xy x y x y

0,25



7

Suy ra 32( ) 24 2( 3)P xy x y x y xy t , 0;t x y xy t 5 , 3( ) 2 24 2 6P f t t t Ta c 23/

2 23 3

(2 6) 824.2( ) 2 2 0, 0;53 (2 6) (2 6)

tf t t

t t

Vy hm s f(t) nghch bin trn na khong 0;5 . Suy ra 3min ( ) (5) 10 48 2f t f .

0,25

Vy 3 2min 10 48 2, 1

xP khi

y 0,25

Ch : Mi cch gii khc ng u cho im ti a. ------ Ht ----



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