WWW.ToanPhoThong.TK

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1. Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện các bước sauBước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

Bước 2. Tính .

Ví dụ 1. Tính tích phân .Giải

Bảng xét dấu

.

Ví dụ 2. Tính tích phân .Giải

.Bảng xét dấu

WWW.Toan PhoThong.TK 1

WWW.ToanPhoThong.TK

.

2. Dạng 2

Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện:Cách 1.

Tách rồi sử dụng dạng 1 ở trên.

Cách 2.Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Ví dụ 3. Tính tích phân .Giải

Cách 1.

.Cách 2.Bảng xét dấu

x –1 0 1 2x – 0 + +

x – 1 – – 0 +

.Vậy .

3. Dạng 3

WWW.Toan PhoThong.TK 2

WWW.ToanPhoThong.TK

Để tính các tích phân và , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b].

Bước 2.

+ Nếu thì và .

+ Nếu thì và .

Ví dụ 4. Tính tích phân .Giải

Đặt .Bảng xét dấu

x 0 1 3 4h(x) + 0 – 0 +

.

Ví dụ 5. Tính tích phân .Giải

Đặt .Bảng xét dấu

x 0 1 2h(x) – 0 +

.

B. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích hình thang cong

WWW.Toan PhoThong.TK 3

WWW.ToanPhoThong.TK

Cho hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các

đường và trục hoành là: .

Phương pháp giải toán

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và Ox.Giải

Do nên:

.Vậy (đvdt).

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và Ox.

GiảiBảng xét dấu

x 0 1 3y – 0 + 0

.

Vậy (đvdt).

2. Diện tích hình phẳng

2.1. Trường hợp 1Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

các đường là: .Phương pháp giải toán

WWW.Toan PhoThong.TK 4

WWW.ToanPhoThong.TK

Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b].

Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .2.2. Trường hợp 2Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

các đường là: .

Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình

.

Phương pháp giải toán

Bước 1. Giải phương trình .

Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn .

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

, .

Giải

Đặt

(loại).

Bảng xét dấux 0 1 2

h(x) – 0 + 0

.

Vậy (đvdt).

Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường .Giải

WWW.Toan PhoThong.TK 5

WWW.ToanPhoThong.TK

Đặt

.Bảng xét dấu

x 1 2 3h(x) 0 + 0 – 0

.

Vậy (đvdt).

Chú ý:

1) Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì phải vẽ hình, tuy nhiên hầu hết rất khó xác định đúng miền phẳng cần tính diện tích (có thể vì thế mà đề thi Đại học không ra).

2) Nếu trong khoảng phương trình không có nghiệm thì ta có thể dùng công thức:

3) Nếu tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta giải như trên nhưng nhớ đổi vai trò x cho y (xem ví dụ 9).

Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .

GiảiPhương trình hoành độ giao điểm:

.Vậy (đvdt).

Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành.Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

WWW.Toan PhoThong.TK 6

WWW.ToanPhoThong.TK

.

Vậy (đvdt).

Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi và .Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

.Bảng xét dấu

x 0 1 3 5 + 0 – 0 +

.

Vậy (đvdt).

Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .Giải

Phương trình hoành độ giao điểm:

WWW.Toan PhoThong.TK 7

WWW.ToanPhoThong.TK

Bảng xét dấux 0 1 3

– 0 +

.

Vậy (đvdt).

Ví dụ 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi .Giải

Ta có: .

Phương trình tung độ giao điểm: .

.

Vậy (đvdt).Cách khác:

Vẽ hình ta thấy S bằng diện tích hình tròn bán kính nên .

II. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

1. Trường hợp 1Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

, và quay quanh trục Ox là: .

Ví dụ 1. Tính thể tích hình cầu do hình tròn quay quanh Ox.Giải

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là .

Phương trình

.

WWW.Toan PhoThong.TK 8

WWW.ToanPhoThong.TK

Vậy (đvtt).

2. Trường hợp 2Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

, và quay quanh trục Oy là: .

Ví dụ 2. Tính thể tích hình khối do ellipse quay quanh Oy.Giải

Tung độ giao điểm của (E) và Oy là .

Phương trình

.

Vậy (đvtt).

3. Trường hợp 3Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

và quay quanh trục Ox là:

.

Ví dụ 3. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2, y2 = x quay quanh Ox.

Giải

Hoành độ giao điểm: .

.

Vậy (đvtt).

4. Trường hợp 4

WWW.Toan PhoThong.TK 9

WWW.ToanPhoThong.TK

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

và quay quanh trục Oy là:

.

Ví dụ 4. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

quay quanh Oy.Giải

Tung độ giao điểm: .

.

Vậy (đvtt).

BÀI TẬP

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau

1) ,

2) ,

3)

4) ,

5) ,

6) ,

7)

8) và trục hoành

9) và trục hoành

10)

11)

12)

13)

WWW.Toan PhoThong.TK 10

WWW.ToanPhoThong.TK

14)

15)

16) ,

17) ,

18) ,

19) ,

20) ,

21) ,

22) ,

23) ,

24) ,

25) ,

26)

Bài 2. Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi các đường

1) , quay quanh Ox

2) , quay quanh Oy

3) và quay quanh Ox

4) quay quanh Oy

5) quay quanh Oy

6) ellipse quay quanh Ox

7) ellipse quay quanh Oy

8) quay quanh Ox

9) quay quanh Ox

10) quay quanh Ox

HƯỚNG DẪN GIẢI

WWW.Toan PhoThong.TK 11

WWW.ToanPhoThong.TK

Bài 1.

1) = 4 (đvdt).

2) (đvdt).

3)

= 9(đvdt).

4) (loại).

.

Vậy (đvdt).

5) (loại).

.

Vậy (đvdt).

6) .

= 1(đvdt).

7) .

.

Vậy (đvdt).

8) .

WWW.Toan PhoThong.TK 12

WWW.ToanPhoThong.TK

.

Vậy (đvdt).

9) .

= 3(đvdt).

10)

.

Vậy (đvdt).

11)

WWW.Toan PhoThong.TK 13

WWW.ToanPhoThong.TK

.

Vậy (đvdt).

12) .Bảng xét dấu

x 0 1 3 4 + 0 – 0 +

= 8(đvdt).

13) .Bảng xét dấu

x 0 1 3 + 0 – 0

.

Vậy (đvdt).

14) Tung độ giao điểm

WWW.Toan PhoThong.TK 14

WWW.ToanPhoThong.TK

= …

Vậy (đvdt).

15) Tung độ giao điểm

= …

Vậy (đvdt).

16)

= 3(đvdt).

17) Hoành độ giao điểm

.

Vậy (đvdt).

18) .

Đặt

.Vậy (đvdt).

19) .

Đặt

WWW.Toan PhoThong.TK 15

WWW.ToanPhoThong.TK

.

Vậy (đvdt).

20) .Vậy .

21)

.

Vậy (đvdt).

22) Tọa độ giao điểm

Ta có:

.

Vậy (đvdt).

23)

.

WWW.Toan PhoThong.TK 16

WWW.ToanPhoThong.TK

Vậy (đvdt).

24) .

Vậy (đvdt).

25)

.

Vậy (đvdt).

26)

.

Vậy .

Bài 2.

1) .

Vậy (đvtt).

2) Ta có .Vậy (đvtt).

3) Ta có .

Vậy (đvtt).

4) Ta có

WWW.Toan PhoThong.TK 17

WWW.ToanPhoThong.TK

.

Vậy (đvtt).

5) Tung độ giao điểm và Oy:

.Cách khác:

Hình khối tròn xoay là hình cầu bán kính R = 2 nên . Vậy (đvtt).

6) Hoành độ giao điểm và Ox là .

Ta có:

.Vậy (đvtt).

7) Tung độ giao điểm và Oy là .

.Vậy (đvtt).

8) Hoành độ giao điểm

.Vậy (đvtt).

9) Hoành độ giao điểm

.

Vậy (đvtt).

WWW.Toan PhoThong.TK 18

WWW.ToanPhoThong.TK

10) Hoành độ giao điểm

.

Vậy (đvtt).

WWW.Toan PhoThong.TK 19