Wyk ad 5 - stabilnosc liniowych uk adów …−1{G(s)} (11) Równanie charakterystyczne - mianownik transmitancji operatorowej dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki Stabilność

Podstawy Automatyki

Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Wstęp

Stabilność

O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wy-muszenie (zakłócenie) o ograniczonej wartości jest ograniczona.

O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu rów-nowagi (rozpatrywanego punktu pracy P) powraca do niej (do pewnegostanu K ) po ustaniu działania czynników (zakłóceń z), które go z tegostanu wytrąciły.

W przypadku układów liniowych, zachowanie się układu po zaniku od-działywania, które wytrąciło go ze stanu równowagi, jest cechą charaktery-styczną danego układu i nie zależy od przebiegu oddziaływania przed jegozanikiem. (łatwa analiza)

W przypadku układów nieliniowych, ich zachowanie pod wpływem wy-muszeń i po ich zaniku może zależeć od punktu pracy układu oraz odrodzaju i wielkości wymuszeń. (trudna analiza)


Stabilność

Możliwe są trzy rodzaje zachowań układów po wytrąceniu ze stanu rów-nowagi:

1 Układ nie osiąga stanu równowagi - układ niestabilny; szczególnymprzypadkiem takiego zachowania jest wykonywanie przez układoscylacji o stałej amplitudzie - układ na granicy stabilności.

2 Układ powraca do stanu równowagi w punkcie pracy zajmowanymprzed wytrąceniem go ze stanu równowagi - układ stabilnyasymptotycznie,

3 Układ osiąga stan równowagi w innym punkcie pracy niż początkowy- układ stabilny nieasymptotycznie,


Stabilność

Rysunek 1: Układ a) niestabilny, b) stabilny asymptotycznie, c) stabilnynieasymptotycznie


Odpowiedź na wymuszenie impulsowe

Wymuszenie impulsowe jest najprostszym przypadkiem wymuszenia, po-zwalającego określić stabilność liniowego układu dynamicznego.

Impuls - Delta Diraca

x(t) = δ(t) =

{0 dla t 6= 0∞ dla t = 0

(1)

x(s) = 1 (2)

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe wyznacza się korzystając z zależności

y(t)|u(t)=δ = L−1{G (s)x(s)} −−−−−−→dla x(s)=1

y(t) = L−1{G (s)} (3)



Wybrane orginały trasformat Laplace’a po wymuszeniu impulsowym,przydatne do analizy:

L−1{

1s

}= 1(t) (4)

L−1{

1s2

}= t (5)

L−1{

1s ± α

}= e∓αt (6)

L−1{

1(s ± α)2

}= te∓αt (7)

L−1{

As + B

s2 + Cs + D

}= Ae

C2 t cos

(t

√D − C 2

4

)+

+2B − AC√

4D + C 2e

C2 t sin

(t

√D − C 2

4

) (8)

jeżeli: C 2 − 4D < 0 (nie ma pierwiastków rzeczywistych).



Rysunek 2: Przykładowe odpowiedzi impulsowe układów: 1, 2 – stabilnychnieasymptotycznie, 3, 4 - stabilnych asymptotycznie, 5, 6 – niestabilnych, 7 –układ na granicy stabilności (drgania niegasnące)


Stabilność

Równanie ruchu liniowego, stacjonarnego układu dynamicznego

and (n)y(t)

dt(n)+ · · ·+ a1

dy(t)

dt+ a0 = bm

d (m)u(t)

dt(m)+ · · ·+b1

du(t)

dt+b0 (9)

Transmitancja operatorowa

G (s) =Y (s)

U(s)=

bmsm + · · ·+ b2s

2 + b1s + b0ansn + · · ·+ a2s2 + a1s + a0

(10)

Odpowiedź impulsowa

y(t)|u(t)=δ = g(t) = L−1{G (s)} (11)

Równanie charakterystyczne - mianownik transmitancji operatorowej


Stabilność asymptotyczna

Przypadek 1: Równanie charakterystyczne ma tylko ujemne, pojedynczepierwiastki rzeczywiste.

G (s) =L(s)

an(s − s1)(s − s2) . . . (s − sn)(12)

Po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) =C1

s − s1+

C2s − s2

+ · · ·+ Cn

s − sn(13)

y(t) = L−1{G (s)} = C1es1t + C2e

s2t + ...+ Cnesnt (14)

limt→∞

y(t) = 0 jeżeli s1, . . . , sn < 0 (15)

Układ jest stabilny asymptotycznie.


Stabliność asymptotyczna

Rysunek 3: Położenie pierwiastków równania charakterystycznego napłaszczyznie liczb zespolonych s


Stabilność asymptotyczna

Przypadek 2: Równanie charakterystyczne ma jeden podwójny, ujemny,pierwiastek rzeczywisty, a pozostałe pierwiastki są pojedyncze, ujemne,rzeczywiste.

G (s) =L(s)

an(s − s1)2(s − s3) . . . (s − sn)(16)


G (s) =C1

s − s1+

C2(s − s1)2

+C3

s − s3+ · · ·+ Cn

s − sn(17)

y(t) = L−1{G (s)} = C1es1t + C2te

s1t + C3es3t + ...+ Cne

snt (18)

limt→∞

y(t) = 0 jeżeli s1, . . . , sn < 0 (19)

ponieważ funkcja wykładnicza es1t |s1<0 −−−−−→dla t→∞

0.

Układ jest stabilny asymptotycznie.


Stabliność asymptotyczna



Stabilność nieasymptotyczna

Przypadek 3: Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek zerowy apozostałe pierwiastki pojedyncze ujemne rzeczywiste

G (s) =L(s)

an(s)(s − s2) . . . (s − sn)(20)


G (s) =C1s

+C2

s − s2+ · · ·+ Cn

s − sn(21)

y(t) = L−1{G (s)} = C1 + C2es2t + ...+ Cne

snt (22)

limt→∞

y(t) = C1 jeżeli s2, . . . , sn < 0 (23)

Układ jest stabilny nieasymptotycznie.


Stabliność nieasymptotyczna



Brak stabilności

Przypadek 4: Równanie charakterystyczne ma dwa (lub więcej) pierwiastkizerowe a pozostałe pierwiastki pojedyncze ujemne rzeczywiste.

G (s) =L(s)

an(s)2(s − s3) . . . (s − sn)(24)


G (s) =C1s

+C2

(s)2+

C3s − s3

+ · · ·+ Cn

s − sn(25)

y(t) = L−1{G (s)} = C1 + C2t + C3es3t + ...+ Cne

snt (26)

limt→∞

y(t) =∞ ponieważ C2t →∞ (27)

Układ jest niestabilny.


Brak stabilności



Stabilność asymptotyczna (oscylacje)

Przypadek 5: Równanie charakterystyczne ma niezerowe pojedyncze pier-wiastki rzeczywiste i pierwiastki zespolone sprzężone - o ujemnych czę-ściach rzeczywistych

s1 = a + jb, s2 = a− jb (28)

G (s) =L(s)

an(s2 − 2as + a2 + b2)(s − s3) . . . (s − sn)(29)

po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) =C1s + C2

(s2 − 2as + a2 + b2)+

C3s − s3

+ · · ·+ Cn

s − sn(30)

y(t) = L−1{G (s)} = C1eat cos(bt)+

C2 + aC1b

eatsin(bt)+C3es3t+...+Cne

snt

(31)limt→∞

y(t) = 0 jeżeli a < 0, i Re(s3), . . . ,Re(sn) < 0 (32)

Układ jest stabilny asymptotycznie, z gasnącymi oscylacjami (czynnik eks-potencjalny przy funkcjach okresowych).


Stabilność asymptotyczna (oscylacje)



Brak stabilności (granica stabliności)

Przypadek 6: Równanie charakterystyczne ma niezerowe pojedyncze pier-wiastki rzeczywiste i pierwiastki zespolone sprzężone o zerowych częściachrzeczywistych

x1 = jb, x2 = −jb (33)

G (s) =L(s)

(s2 + b2)(s − s3) . . . (s − sn)(34)

po rozłożeniu na ułamki proste

G (s) =C1s + C2(s2 + b2)

+C3

s − s3+ · · ·+ Cn

s − sn(35)

y(t) = L−1{G (s)} = C1 cos(bt) +C2bsin(bt) +C3e

s3t + ...+Cnesnt (36)

Jeżeli s3, . . . , sn < 0, to układ jest na granicy stabilności, w którym ustalająsię drgania niegasnące (funkcje okresowe nie mają czynnika ekspotencjal-nego).


Brak stabilności (granica stabliności)



Stabilność

Podsumowując:

Układ jest stabilny asymptotycznie, jeżeli jego równaniecharakterystyczne układu ma pierwiastki rzeczywiste ujemne lubzespolone o ujemnych częściach rzeczywistych.

Układ ten jest stabilny nieasymptotycznie jeżeli jego równaniecharakterystyczne oprócz pierwiastków rzeczywistych ujemnych lub oujemnych częściach rzeczywistych ma jeden pierwiastek zerowy.

Układ ten jest niestabilny jeżeli jego równanie charakterystycznema więcej niż jeden pierwiastek zerowy lub pierwiastkirzeczywiste dodatnie lub zespolone o dodatnich częściachrzeczywistych.

Układ jest na granicy stabilności (generuje drgania niegasnące)jeżeli równanie charakterystyczne układu nie ma więcej niż jednegopierwiastka zerowego i nie ma pierwiastków rzeczywistych dodatnichlub zespolonych o dodatnich częściach rzeczywistych, natomiast mapierwiastki zespolone o zerowych częściach rzeczywistych.


Stabilność - kryteria stabilności

Do oceny stabilności układów liniowych wystarczy znajomość roz-kładu pierwiastków równania charakterystycznego układu na płasz-czyźnie zmiennej zespolonej s.

Problemy, które się pojawiają przy tej metodzie

obliczanie pierwiastków równań wyższych rzędów nie jest łatwe,

nie zawsze znane jest równanie charakterystyczne układu.

Inne metody określania stabilności – tzw. kryteria stabilności, które niewymagają wyznaczania wartości pierwiastków równania charakterystycz-nego:

kryteria analityczne (Hurwitza, Routha),

kryteria graficzne (kryterium Michajłowa, metoda Evansa),

kryteria graficzno–analityczne (kryterium Nyquista, rozkład D).


Kryterium Hurwitza

Kryterium Hurwitza

Kryterium Hurwitza umożliwia sprawdzenie, czy równanie algebraiczne do-wolnego stopnia ma wyłącznie pierwiastki o częściach rzeczywistych ujem-nych. Zastosowanie jego ograniczone jest do stacjonarnych liniowych ukła-dów o parametrach skupionych (LTI) i transmitancji danej w postaci ana-litycznej.

Równanie algebraiczne stopnia n o stałych rzeczywistych współczynnikach

and (n)y(t)

dt(n)+ an−1

d (n−1)y(t)

dt(n−1)+ · · ·+ a1

dy(t)

dt+ a0 (37)

ma wszystkie pierwiastki ujemne, lub o ujemnych częściach rzeczywistych,jeżeli są spełnione dwa warunki, zwane warunkami Hurwitza.

1 WARUNEK I: Wszystkie współczynniki a0, a1, . . . , an, tegorównania są różne od zera i są jednakowego znaku,

2 WARUNEK II: Wszystkie wyznaczniki minorów głównych tzw.macierzy Hurwitza ∆n są większe od zera


Kryterium Hurwitza

Macierz Hurwitza

Macierz Hurwitza ma następującą postać

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an−1 an 0 − 0 0 0an−3 an−2 an−1 − 0 0 0an−5 an−4 an−3 − 0 0 0− − − − − − −0 0 0 − a2 a3 a40 0 0 − a0 a1 a20 0 0 − 0 0 a0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n×n

(38)

Dla warunku II, wystarczy policzyć wyznczniki minorów 2, . . . , n − 1.


Kryterium Hurwitza- przykład 1

Wyznaczyć macierz Hurwitza dla równania czwartego stopnia

a4s4 + a3s

3 + a2s2 + a1s + a0 = 0 (39)

∆4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a3 a4 0 0a1 a2 a3 a40 a0 a1 a20 0 0 a0

∣∣∣∣∣∣∣∣ (40)

Jego podwyznacznikami głównymi są:

∆2 =

∣∣∣∣ a3 a1a4 a2

∣∣∣∣ (41)

∆3 =

∣∣∣∣∣∣a3 a1 0a4 a2 a00 a3 a1

∣∣∣∣∣∣ (42)


Kryterium Hurwitza - przykład 2

Wyznaczyć zakres wartości wzmocnienia kp, zapewniający stabilną pracęukładu.

Gs =

1(Ts+1)4

1 + 1(Ts+1)4 kp

=1

(Ts + 1)4 + kp

(43)

Równanie charakterystyczne układu:

(Ts + 1)4 + kp = 0 (44)


Kryterium Hurwitza

Uwagi do kryterium Hurwitza

UWAGA 1: Możliwość wystąpienia stabilności nieasymptotycznej za-chodzi gdy w równaniu charakterystycznym stopnia n współczynnik a0 = 0(równanie ma jeden pierwiastek zerowy), natomiast pozostałe współczyn-niki są większe od zera.

Po podzieleniu stron równania charakterystycznego przez s, otrzymuje sięrównanie stopnia n − 1, w odniesieniu do którego należy zastosować kry-terium Hurwitza w celu sprawdzenia znaku pozostałych pierwiastków.

Jeżeli równanie to spełni warunki Hurwitza to oznaczać będzie, że układposiada jeden pierwiastek zerowy a pozostałe pierwiastki są ujemnelub mają części rzeczywiste ujemne i sprawdzany układ jest stabilnynieasymptotycznie.

UWAGA 2: Kryterium Hurwitza nie umożliwia badania stabilności układuz opóźnieniami.


Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista umożliwia ocenę stabilności układu zamkniętego napodstawie charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego.

Transmitancja układu zamkniętego

GZ (s) =G1(s)

1 + G1(s)G2(s)(45)

Transmitancja układu otwartego

G0(s) = G1(s)G2(s) (46)


Uproszczone kryterium Nyquista

Uproszczone kryterium Nyquista

W przypadku kiedy równanie charakterystyczne układu otwartego niema pierwiastków dodatnich lub o dodatnich częściach rzeczywistych (możemieć dowolna liczbę pierwiastów zerowych), układ zamknięty jest stabilny,jeżeli charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartego nie obej-muje punktu o współrzędnych {–1, j0}.

’Nie obejmuje’ oznacza, że przy przesuwaniu się wzdłuż charakterystyki wkierunku wzrastających pulsacji, punkt {–1, j0} pozostaje po lewej stroniecharakterystyki

UWAGA: Uproszczone kryterium Nyquista nie obejmuje przypadków kiedyrównanie charakterystyczne układu otwartego, oprócz ujemnych lub zero-wych, ma także pierwiastki dodatnie lub o dodatnich częściach rzeczywi-stych.


Kryterium Nyquista

Cechy kryterium Nyquista

charakterystyka częstotliwościowa układu otwartego, napodstawie której określana jest stabilność układu zamkniętego, możebyć łatwo wyznaczana analitycznie lub doświadczalnie,

kryterium umożliwia nie tylko stwierdzenie faktu stabilności, lecztakże umożliwia projektowanie układu o określonychwłaściwościach dynamicznych,

kryterium umożliwia badanie stabilności układów zawierającychelementy opóźniające.


Kryterium Nyquista

Rysunek 9: Charakterystyki aplitudowe-fazowe układu otwartego w przypadku1) stabilnego układu zamkniętego, 2) niestabilnego układu zamkniętego

Warunki Nyquista

M(ω−π) < 1; gdzie ω−π : ϕ(ω−π) = −π (47)

ϕ(ωp) > −π; gdzie ωp : M(ωp) = 1 (48)


Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk układówstabilnych

Rysunek 10: Przykłady charakterystyk amplitudowo – fazowych układówotwartych, odpowiadających: stabilnym układom zamkniętym - charakterystykanie obejmuje punktu {−1, j0}


Kryterium Nyquista - przykłady charakterystyk układówniestabilnych

Rysunek 11: Przykłady charakterystyk amplitudowo – fazowych układówotwartych, odpowiadających: niestabilnym układom zamkniętym -charakterystyka obejmuje punkt {−1, j0}


Kryterium Nyquista


Kryterium Nyquista - charaktersytyki Bodego

Warunki Nyquista dla charakterystykamplitudowej i fazowej

L(ω−π) = 20 logM(ω−π) < 0;(49)

ϕ(ωp) > −π; gdzie L(ωp) = 0 (50)


Kryterium Nyquista - zapas modułu i zapas fazy

Zapas modułu

∆M =1

M(ω−π)(51)

∆L = −20 logM(ω−π) (52)

Zapas fazy

∆ϕ = π + ϕ(ωp) (53)

Zapas modułu i fazy układu sta-bilnego ma wartości dodatnie.

PRAKTYKA PRZEMYSŁOWA

30 deg < ∆ϕ < 60 deg (54)

2 ¬ ∆M ¬ 4→ 6dB ¬ ∆L ¬ 12dB(55)


Kryterium Nyquista - przykład 1

Stosując kryterium Nyquista zbadać stabilność układu

G0(s) =1

s3 + 3s2 + s + 1(56)


Kryterium Nyquista - przykład 2

Stosując kryterium Nyquista zbadać stabilność układu i wyznaczyćzapasy stabilności.

G0(s) =10

(0.1s + 1)(0.001s + 1)

10.3s

(57)


Podstawy Automatyki

Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019


Documents

Wyk ad 5 - stabilnosc liniowych uk adów …−1{G(s)} (11) Równanie charakterystyczne - mianownik transmitancji operatorowej dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki Stabilność