Wykład 2

Wahadło – rezonans parametryczny

C

l

B’

B

l+Δ

θ0’θ0

A

1

Wykład 2

Wahadło - rezonans parametryczny

22

2

0

)()(

)cos1)((

lE

lmgEEE

dtdm

kinB

BA

')()()( 22

Bdtd

Bdtd mllm

)cos1()( '

0

22

2' mgllEdtdm

kinB

l

gB

)cos1(22 0l

gB

)cos1(2'

2'0

)cos1()cos1()( '

0

3

0

3 ll

'

00

3 cos1)cos1()1( l 0

'

0

'' BBBB II C

l

B’

B

l+Δ

θ0’θ0

A

2

Wykład 2

......)()()()(0

2

2

0

2

021

00 xdx

Udxdx

dU xxxxxUxU

dxdUxF )(

)()()()( 0002

2

xxkxxxxFdx

Ud 3

Wykład 2Cząsteczka Ar2

Oddziaływanie van der Waalsa

6

0

12

00 2

r

R

r

RUU

Young and Freedman, University Physics, Pearson International Edition 4

Wykład 2Cząsteczka Ar2

6

0

12

00 2

r

R

r

RUU

1/

/1

1

/1

112

0

0

7

0

13

00

0

Rx

Rrx

RxRxR

UFr

kxxR

UFr

2

0

072

kgm

mR

JU

26

10

0

21

0

1063.6

1082.3

1068.1

Hzk

f

mNk

111082

1

/829.0

Young and Freedman, University Physics, Pearson International Edition

5

Wykład 1Cząsteczka H2

+

Hzf 13

0 109.6

P.W. Atkins, Chemia fizyczna, PWN6

Wykład 2 Oscylator anharmoniczny

32

3

1

2

1)( skxkxxU

022

0

2

0

2

xsxx

skxkxF

sA<<1

)2cos(2

1

2

1cos2

1))2cos()(cos( xtqtAx

))2cos(4)(cos(

))2sin(2)(sin(

2 tqtAx

tqtAx

...))2(cos)2cos()cos(2)((cos 22222 tqttqtAx 7

Np.

Wykład 2

Oscylator anharmoniczny

0...)(cos

))2cos((cos(

)2cos(4)(cos(

222

0

1

2

0

2

0

2

tAs

xtqtA

tqtA

0

22

0 0)()cos( At

)2cos(2

1

2

1cos2

02

14)2cos( 2

0

22

0

AsqqAt sAq

6

1

wyraz stały2

12

1sAx 8

Wykład 2

Oscylator anharmoniczny

2

002

1)2cos(

6

1)cos( sAtsAtAx

TsAx 2

2

1

9

Wykład 2

Drgania tłumione

Siła oporu:

vRFop

6

dla powietrza lepkość:ms

kg5108.1

Ogólnie siła oporu: bvdt

dxbFop

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki

10

Wykład 1

Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics

Siła oporu

Dla małych prędkości:

Dla dużych prędkości:

Fop = -kv

Fop = -Dv2 v

v

D =1

2CrS

C- współczynnik oporuρ- gęstośćS – przekrój poprzeczny

11

Wykład 1

Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics

Prędkość graniczna (duże prędkości):

mg= Dvt

2

vt =mg

D

Ile wynosi prędkość graniczna skoczkaspadochronowego (m=70 kg, D=0.25 kg/m)?

vt = 52.4m

s=188

km

h

Średnie prędkości graniczne w powietrzu:

Skoczek (przed otwarciem 200 km/hspadochronu)

Piłka baseballowa 150 km/hPiłka tenisowa 110 km/hPiłka pingpongowa 30 km/hKropla deszczu 25 km/hSkoczek (po otwarciu 18 km/h

spadochronu)

12

Wykład 2

Drgania tłumione

2

0

2

2,1

2

0

2

2

0

2

0

02

02

2

0

2

2

2

2

2

2

t

dtdx

dt

xd

mk

mb

dtdx

dt

xd

dtdx

dt

xd

Aex

x

bkxm

bkxm

Równanie

charakterystyczne

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki

13

21

0

Wykład 2

o

22

2,1

o

i

0

2

0

2

2,1

w zależności od relacji pomiędzy współczynnikiem tłumienia a częstością ruchu swobodnego

pierwiastki równania charakterystycznego przyjmują następujące wartości:

dwa pierwiastki

o wartościach

zespolonych

pierwiastek

podwójny

dwa pierwiastki

rzeczywiste

14

Wykład 2

1. Słabe tłumienie o

gdzie

- obserwujemy drgania o amplitudzie

malejącej w czasie

- częstotliwość drgań jest mniejsza niż

częstotliwość drgań nie tłumionych

titi eAeAx )(

2

)(

1

)cos(0 teAx t )cos()( ttA

22

2,1

o

i

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki15

Wykład 2

1. Słabe tłumienie o teAx t cos0

m

b

2

Young and Freedman, University Physics, Pearson International Edition 16

Wykład 2

czas relaksacji

etA

tA

)(

)(

logarytmiczny dekrement tłumienia

1

dobroć układu drgającego

równoważne

),(2

TttEEQ

TTmb

TtA

tA

2)(

)(ln

eTTnQ

17

Wykład 2 Tłumienie słabe o

teAx t cos0

teAteA tt

dtdx sincos 00

tg

)cos(cos0

teA t

21

12costg

)cos()cos( 00

22

0 teAteA tt

tttg sin)cos(022

22

0

2

tAdtdx sin00

)sin(cos0 ttgteA t

cos

10 )sinsincos(cos tteA t

18

Wykład 2

Drgania tłumione

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

-5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

Czas

Am

plitu

da

wychylenie

prędkość

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

-5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

położenie

prędkość

β = 0.02, ω = 0.3, φ = -0.007

β = 0.1, ω = 0.3, φ = -0.32

teAx t cos0

19

Wykład 2Średnia energia układu (słabe tłumienie)

tt

p ekAtekAkxE 222222

4

1)(cos

2

1

2

1

t

k

t

k

ekAE

temAxmE

22

222

0

22

4

1

)(cos2

1

2

1

tekAE 22

2

1

teAkdt

EdP 22 Moc tracona przez układ:

20

Wykład 2

)(cos2 22

0

22 temAvbvvFP t

op

tekAP 22

Dobroć

22

2)2/1(22

22

22

TTekA

ekA

TP

EQ

t

t

Kilka typowych wartości Q

Ziemia dla fal sejsmicznych 250-1400

Struna fortepianu lub skrzypiec 103

Rezonator mikrofal z wnęką miedzianą 104

Atom wzbudzony 107

Jądro wzbudzone 1012

21

Wykład 2

EEQ

2

22

Wykład 2

2. Tłumienie krytyczne

21

0

rozwiązanie ma postać: teBtAx )(

Jeżeli równanie charakterystyczne ma jednakowe

pierwiastki rozwiązanie jest kombinacją

wielomianu i funkcji eksponencjalnej

23

Wykład 2 Tłumienie krytyczne0

teBtAx )(

Axtx 0)0(

0)0( ABtdtdx

0xAB

tetxx )1(0

tetxx 0)1( 00

0 5 10 15 20 25 300,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Wychyle

nie

(cm

)

Czas (s)

cmx

s

1

2,0

0

1

Warunki początkowe, np.

24

Wykład 2 Tłumienie krytyczne0

teBtAx )(

Atx 0)0(

0)0( VABtdtdx

tteVx 0

s

cmV

s

1

2,0

0

1

0 5 10 15 20 25 300,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Wychyle

nie

(cm

)Czas (s)

Warunki początkowe, np.

25

Wykład 2

3. Silne tłumienie0 2

0

2

2,1

pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i ujemne

rozwiązanie równania ruchu ma postać:tt

eAeAx 21

21

czyli sumy eksponencjalnych zaników

to czy nastąpi jednorazowe przejście przez punkt

równowagi zależy od warunków początkowych

ruch aperiodyczny

26

Wykład 2 Tłumienie silne0

tteAeAx 21

21

2

0

2

2,1

021)0( xAAtx

02211 AAdtdx

102 AxA

0)( 21011 AxA

21

20

1

xA

21

10

2

xA

)( 12

21

0

21

ttxeex

Warunki początkowe, np.

27

Wykład 2

)( 12

20

2

0

212

ttxeex

2

0

2

2,1

Tłumienie bardzo silne

0

01 22

ttxexex 110

02)2(

tt

exexx

2

20

22

20

0

...))1((

0

Bardzo powolny zanik wychylenia

28

Wykład 2

porównanie czynników tłumiących dla tych trzech przypadków

mk

mb 02

0

0

2

0

2

Tłumienie słabe

Tłumienie krytyczne

Tłumienie silne

29

Wykład 2

Układ LRC

012

2

QRL

I

RIL

Cdt

dQ

dt

Qd

dt

dQ

C

Q

dtdI

012

2

QLCdt

dQ

LR

dt

Qd

2

2

4

122

0

2

2

01

2

L

RLC

LC

LR

dla 2

2

4

1

L

RLC

i rozwiązanie ma postać

)cos(0 teQQ t

30

Wykład 2

012

2

QLCdt

dQ

LR

dt

Qd

Young and Freedman, University Physics, Pearson International Edition31