1

Wykład 7. Pole magnetyczne

Siła magnetyczna

W pobliżu przewodników z prądem elektrycznym i magnesów działają siły magnetyczne

-magnes trwały, elektromagnes, silnik elektryczny, prądnica, monitor komputerowy...

-pole magnetyczne Ziemi

- XIX w. Oersted: kompas ulega również wychyleniu w pobliżu przewodnika, w którym płynie prąd i zmienia kierunek wychylenia wraz ze zmianą kierunku prądu.

Oddziaływanie pomiędzy prądem i magnesem - pole magnetyczne.

Siłę działającą na ładunek q poruszający się w polu magnetycznym z prędkością v wiążemy z indukcją magnetyczną B.

Związek pomiędzy siłą magnetyczną a indukcją magnetyczną B :

F – siła Lorentza; B- indukcja pola magnetycznego

lub inaczej: gdzie θ jest kątem pomiędzy wektorami v i B.

Siła jest równa zeru gdy cząstka nie porusza się oraz gdy wektor prędkości v jest równoległy do wektora B (θ = 0º) lub do niego antyrównoległy (θ = 180º). Natomiast maksimum siły występuje gdy wektor prędkości v jest prostopadły do wektora B (θ = 90º).

Jednostką indukcji B jest tesla; (T); 1 T = 1 N/(Am) = 1 Vs/m2.

Zakres pól magnetycznych:

Źródło pola B Bmaks. [ T ]

Pracujący mózg 10-13

Ziemia ≈ 4·10-5

Elektromagnes 2

Cewka nadprzewodząca 20

Cewka impulsowa 70

2

Wektor F jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory v i B. Zwrot F jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu wektora v do wektora B (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek wektora F ~ v x B tak jak na rysunku poniżej

Reguła prawej ręki wyznacza kierunek działania siły w polu magnetycznym

Zwrot wektora F pokazany na rysunku powyżej odpowiada dodatniemu ładunkowi q. Dla ładunku ujemnego kierunek jest ten sam ale zwrot przeciwny.

Linie pola magnetycznego, kierunek pola

Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując tzw. linie pola magnetycznego czyli linie wektora indukcji magnetycznej B.

Wektor B jest styczny do tych linii pola w każdym punkcie, a rozmieszczenie linii obrazuje wielkość pola - im gęściej rozmieszczone są linie tym silniejsze jest pole.

Linie pola przechodzą przez magnes i tworzą zawsze zamknięte pętle.

Najsilniejsze pole występuje w pobliżu końców magnesu czyli w pobliżu biegunów magnetycznych. Koniec magnesu, z którego wychodzą linie nazywamy północnym biegunem magnesu (N), a ten do którego wchodzą linie biegunem południowym (S).

Doświadczalnie stwierdzono, że bez względu na kształt magnesów, bieguny przeciwne przyciągają się, a jednakowe bieguny odpychają się.

Pole magnetyczne Ziemi - biegun geomagnetyczny nie pokrywa się z geograficznym biegunem północnym. Aktualnie znajduje się w północnej Kanadzie.

3

Ruch naładowanych cz ąstek w polu magnetycznym

� wektor siły F działającej na naładowaną cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym jest zawsze prostopadły do wektora prędkości v i wektora B.

� siła F nie może zmienić wartości prędkości v, a co za tym idzie nie może zmienić energii kinetycznej cząstki. Siła F może jedynie zmienić kierunek prędkości v, zakrzywić tor jej ruchu. Siła magnetyczna jest więc siłą dośrodkową.

Cząstka z prędkością v wpada do jednorodnego stałego pola magnetycznego o indukcji B :

Prędkość początkową cząstki (z którą wlatuje w obszar pola B) możemy rozłożyć na dwie składowe: jedną równoległą , a drugą prostopadłą do pola B.

Siła magnetyczna związana jest tylko ze składową prędkości prostopadłą do pola B (θ = 90º) natomiast nie zależy od składowej równoległej do pola (θ = 0º).

Siła magnetyczna zmienia więc tylko składową prędkości prostopadłą do pola B, natomiast składowa prędkości równoległa pozostaje stała.

W rezultacie cząstka przemieszcza się ze stałą prędkością wzdłuż pola B równocześnie zataczając pod wpływem siły magnetycznej okręgi w płaszczyźnie prostopadłej do pola. Cząsteczka porusza się po spirali.

4

Zjawisko odchylania toru naładowanych cząstek w polu magnetycznym znalazło szerokie zastosowanie w technice i nauce. Jednym z przykładów jest lampa kineskopowa w telewizorze czy monitorze:

-pole magnetyczne jest przyłożone wzdłuż kierunku x i kierunku y.

-Pole Bx, w zależności od zwrotu (+x, −x) odchyla elektrony w górę lub w dół ekranu, natomiast pole By, w zależności od zwrotu (+y, −y) odchyla wiązkę elektronów w prawo lub w lewo. W ten sposób sterujemy wiązką elektronów, która przebiega (skanuje) cały ekran docierając do każdego punktu ekranu (piksela).

Innym przykład stanowi spektrometr masowy:

Cząstka (jon) o masie m i ładunku q wyemitowana ze źródła Z zostaje przyspieszona napięciem U po czym wlatuje w obszar jednorodnego pola magnetycznego B prostopadłego do toru cząstki.

- wektor skierowany przed płaszczyznę rysunku

- wektor skierowany za płaszczyznę rysunku

Pole magnetyczne zakrzywia tor cząstki, tak że porusza się ona po półokręgu o promieniu R

gdzie v jest prędkością z jaką porusza się cząstka. Tę prędkość uzyskuje ona dzięki przyłożonemu napięciu U.

5

Zmiana energii potencjalnej ładunku przy pokonywaniu różnicy potencjału U jest równa energii kinetycznej jaką uzyskuje ładunek

lub

Stąd otrzymujemy wyrażenie na prędkość v

>>>>>>>> >>>>>>>>>>

Znając R>>>m

Zakrzywianie toru cząstek w polu magnetycznym jest również wykorzystywane w urządzeniach zwanych akceleratorami. Akceleratory - urządzenia służące do przyspieszania cząstek naładowanych, znalazły szerokie zastosowanie w nauce, technice i medycynie.

6

Działanie pola magnetycznego na przewodnik z pr ądem

W polu magnetycznym znajduje się odcinek l przewodnika, a wektor długości l ma zwrot zgodny ze zwrotem prądu.

Ponieważ siła magnetyczna działa na ładunki w ruchu zatem działa na cały przewodnik z prądem;

gdzie N jest liczbą elektronów zawartych w danym przewodniku o długości l i przekroju

poprzecznym S, a vu ich średnią prędkością unoszenia. Jeżeli n jest koncentracją elektronów (ilością elektronów w jednostce objętości)

to

natężenie prądu w przewodniku wynosi:

Podstawiając te wyrażenia do wzoru na siłę otrzymujemy

lub w zapisie wektorowym

7

Obwód z pr ądem

Prostokątna ramka o bokach a i b umieszczona w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. obwód z prądem. Przez ramkę płynie prąd o natężeniu I, a normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt θ z polem B tak jak na rysunku.

Taka ramka stanowi podstawowy element silnika elektrycznego.

Rozpatrujemy siłę działającą na każdy z boków.

Siły Fb działające na boki b znoszą się wzajemnie.

Siły Fa działające na boki a też się znoszą ale tworzą parę sił dającą wypadkowy moment siły obracający ramkę

lub w zapisie wektorowym (na podstawie definicji iloczynu wektorowego)

Siła Fa wynosi

więc

gdzie S = ab jest powierzchnią ramki.

Więc

gdzie S jest wektorem powierzchni.

8

Magnetyczny moment dipolowy

Wielkość wektorową nazywamy magnetycznym momentem dipolowym. Wektor µ jest prostopadły do płaszczyzny ramki z prądem.

Pole magnetyczne działa więc na ramkę z prądem momentem skręcającym

obracając ją tak jak igłę kompasu, która umieszczona w polu magnetycznym obraca się ustawiając zgodnie z polem.

Energia potencjalna dipola magnetycznego związana z jego orientacją w zewnętrznym polu magnetycznym dana jest równaniem

Widzimy, że energia osiąga minimum dla momentu dipolowego µ równoległego do zewnętrznego pola magnetycznego B, a maksimum gdy moment dipolowy jest skierowany przeciwnie do pola:

Ustawienie momentu dipolowego (pętli z prądem) w zewnętrznym polu magnetycznym odpowiadające a) maksimum, b) minimum energii

Moment dipolowy elektronu krążącego po orbicie o promieniu r wynosi

Natężenie prądu I wytwarzanego przez elektron o ładunku e przebiegający orbitę

w czasie T (okres obiegu) wynosi gdzie v jest prędkością elektronu.

Stąd

L = mvr jest momentem pędu elektronu.

9

Prawo Ampère'a - Pole wokół przewodnika z pr ądem

Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są zamkniętymi współśrodkowymi okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika tak jak pokazano na rysunku poniżej. Wektor B jest styczny do tych linii pola w każdym punkcie.

Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyznaczamy stosując następującą zasadę: jeśli kciuk prawej ręki wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kierunek B (linie pola B krążą wokół prądu). Natomiast wartość pola B wokół przewodnika z prądem można obliczyć z korzystając z prawa Ampère'a.

Prawo Ampère'a

Stała µ0 = 4π·10-7 Tm/A, jest tzw. przenikalnością magnetyczną próżni. Gdy pole magnetyczne jest wytworzone nie w próżni ale w jakimś ośrodku to fakt ten uwzględniamy wprowadzając stałą materiałową µr, zwaną względną przenikalnością magnetyczną ośrodka tak, że prawo Ampère'a przyjmuje postać

Przykład - prostoliniowy przewodnik

na zewnątrz przewodnika

wewnątrz przewodnika:

Pole magnetyczne wewnątrz nieskończonego, prostoliniowego przewodnika z prądem rośnie proporcjonalnie do r w miarę przechodzenia od

środka do powierzchni przewodnika.

10

Przykład - cewka (solenoid)

Pole magnetyczne wewnątrz cewki przez którą płynie prąd o natężeniu I

- suma wektorowa pól wytwarzanych przez wszystkie zwoje.

- W punktach na zewnątrz cewki pole wytworzone przez części górne i dolne zwojów znosi się częściowo, natomiast wewnątrz cewki pola wytworzone przez poszczególne zwoje sumują się.

Jeżeli mamy do czynienia z solenoidem tj. z cewką o ciasno przylegających zwojach, której długość jest znacznie większa od jej średnicy to możemy przyjąć, że pole magnetyczne wewnątrz solenoidu jest jednorodne, a na zewnątrz równe zeru.

Na podstawie prawa Ampère'a

pole magnetyczne wewnątrz solenoidu

11

Oddziaływanie równoległych przewodników z pr ądem

Dwa prostoliniowe przewodniki z prądem umieszczone równoległe w próżni w odległości d od siebie.

Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu w odległości d pole magnetyczne,

które wynosi

W tym polu znajduje się przewodnik b, w którym płynie prąd Ib. Na odcinek l tego

przewodnika działa siła

Dwa równoległe przewodniki z prądem oddziaływają na siebie za pośrednictwem pola magnetycznego. Przewodniki, w których prądy płyną w tych samych kierunkach przyciągają się, a te w których prądy mają kierunki przeciwne odpychają się.

Jeżeli: d = 1m oraz, że w przewodnikach płyną jednakowe prądy Ia = Ib = I. i siła przyciągania przewodników, na 1 m ich długości, wynosi2·10-7 N to mówimy, że natężenie prądu w tych przewodnikach jest równe jednemu amperowi.

12

Prawo Biota-Savarta

Prawo Biota-Savarta, pozwala obliczyć pole B z rozkładu prądu. To prawo jest matematycznie równoważne z prawem Ampère'a. Jednak prawo Ampère'a można stosować tylko gdy znana jest symetria pola (trzeba ją znać do obliczenie odpowiedniej całki). Gdy ta symetria nie jest znana to wówczas dzielimy przewodnik z prądem na różniczkowo małe elementy i stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole jakie one wytwarzają w danym punkcie. Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów żeby uzyskać wypadkowy wektor B.

Krzywoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu I. Zaznaczony jest element dl tego przewodnika i pole dB jakie wytwarza w punkcie P.

. Pole dB wytworzone przez element dl przewodnika

Zgodnie z prawem Biota-Savarta pole dB w punkcie P wynosi

Wartość liczbowa dB jest więc dana równaniem

13

Przykład

Jako przykład zastosowania prawa Biota-Savarta obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem w punkcie P :

Z prawa Biota-Savarta znajdujemy pole dB pochodzące od elementu dl (położonego na szczycie okręgu)

element dl jest prostopadły do r.

Pole dB można rozłożyć na dwie składowe, tak jak na rysunku. Suma wszystkich składowych dBy jest równa zeru bo dla każdego elementu przewodnika dl ta składowa znosi się z odpowiednią składową elementu leżącego po przeciwnej

stronie okręgu. Wystarczy więc zsumować składowe dBx. Ponieważ

zatem

Ponadto, zgodnie z rysunkiem

oraz

Ostatecznie więc otrzymujemy

Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów dl prądu. Wykonujemy teraz sumowanie (całkowanie), żeby obliczyć wypadkowe pole B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)

14

Indukcja elektromagnetyczna

24.1 Prawo indukcji Faradaya

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu siły elektromotorycznej SEM w obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła pola magnetycznego i tego obwodu.

W obwodzie jest indukowana siła elektromotoryczna indukcji (SEM indukcji).

W obwodzie zamkniętym SEM indukcji wywołuje przepływ prądu indukcyjnego i w konsekwencji powstanie wytwarzanego przez ten prąd indukowanego pola magnetycznego.

1.

Powstawanie siły elektromotorycznej indukcji w obwodzie, indukowany prąd (czerwona strzałka) oraz wytwarzane przez niego pole magnetyczne indukcji

Indukowane: siła elektromotoryczna, prąd i pole magnetyczne powstają w obwodzie tylko podczas ruchu magnesu.

Gdy magnes spoczywa to bez względu na to czy znajduje się w oddaleniu od obwodu czy bezpośrednio przy nim nie obserwujemy zjawiska indukcji.

Ponadto, gdy magnes rusza z miejsca i zwiększa swoją prędkość to rośnie indukowane pole magnetyczne, co oznacza, że rosną SEM indukcji i prąd indukowany.

Dzieje się tak aż do chwili gdy magnes zacznie poruszać się ze stałą prędkością. Natomiast gdy magnes zatrzymuje się (jego prędkość maleje) to indukowane pole, SEM i prąd również maleją zanikając do zera z chwilą zatrzymania magnesu.

Prąd indukcyjny obserwujemy gdy źródło pola magnetycznego porusza się względem nieruchomej pętli (obwodu), ale również gdy przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego. Oznacza to, że dla powstania prądu indukcyjnego potrzebny jest względny ruch źródła pola magnetycznego i przewodnika.

15

Na podstawie powyższych obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że o powstawaniu siły elektromotorycznej indukcji decyduje szybkość zmian strumienia magnetycznego ΦB. Ilościowy związek przedstawia prawo Faradaya

Analogicznie jak strumień pola elektrycznego E, strumień pola magnetycznego B

przez powierzchnię S jest dany ogólnym wzorem

który dla płaskiego obwodu w jednorodnym polu magnetycznym wyrażenie upraszcza się do postaci

gdzie α jest kątem między polem B, a wektorem powierzchni S (normalną do powierzchni).

Widzimy, że możemy zmienić strumień magnetyczny, i w konsekwencji wyindukować prąd w obwodzie, zmieniając wartość pola magnetycznego w obszarze, w którym znajduje się przewodnik.

Również zmiana wielkości powierzchni S obwodu powoduje zmianę strumienia magnetycznego. W trakcie zwiększania (lub zmniejszania) powierzchni zmienia się liczba linii pola magnetycznego przenikających (obejmowanych) przez powierzchnię S obwodu. W rezultacie w obwodzie zostaje wyindukowany prąd.

16

Zmianę strumienia magnetycznego można uzyskać poprzez obrót obwodu w polu magnetycznym (zmiana kąta α).

Jeżeli ramka obraca się z prędkością kątową ω = α/t to strumień

a SEM indukcji

Indukowana jest zmienna SEM i tym samym zmienny prąd. Ten sposób jest właśnie wykorzystywany powszechnie w prądnicach (generatorach prądu).

17

Reguła Lenza Prąd indukowany ma taki kierunek, że wytwarzany przez niego własny strumień magnetyczny przeciwdziała pierwotnym zmianom strumienia, które go wywołały.

Prąd i indukowany w obwodzie ma taki kierunek, że pole indukcji Bi przez niego wytworzone przeciwdziała zmianom zewnętrznego pola B (np. od magnesu).

Gdy pole B narasta to pole Bi jest przeciwne do niego (przeciwdziałając wzrostowi), natomiast gdy pole B maleje to pole Bi jest z nim zgodne (kompensując spadek).

Ramka wyciągana z obszaru pola magnetycznego ze stałą prędkością v

W wyniki ruchu ramki maleje strumień pola przez ten obwód ponieważ malej obszar ramki, który wciąż pozostaje w polu magnetycznym; przez ramkę przenika coraz mniej linii pola B.

Jeżeli ramka przesuwa się o odcinek ∆x to obszar ramki o powierzchni ∆S wysuwa się z pola B i strumień przenikający przez ramkę maleje o

gdzie a jest szerokością ramki. Jeżeli ta zmiana nastąpiła w czasie ∆t to zgodnie z prawem Faradaya wyindukowała się siła

elektromotoryczna

gdzie v jest prędkością ruchu ramki.

Jeżeli ramka jest wykonana z przewodnika o oporze R to w obwodzie płynie prąd indukcji (zaznaczony na rysunku 24.6 niebieskimi strzałkami) o

natężeniu

18

Indukcyjność

Transformator

Powszechnie stosowanym urządzeniem, w którym wykorzystano zjawisko indukcji elektromagnetycznej jest transformator. W urządzeniu tym dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej). Jedna z tych cewek jest zasilana prądem przemiennym wytwarzającym w niej zmienne pole magnetyczne, które z kolei wywołuje SEM indukcji w drugiej cewce. Ponieważ obie cewki obejmują te same linie pola B to zmiana strumienia magnetycznego

jest w nich jednakowa. Zgodnie z prawem Faradaya

oraz

gdzie N1 jest liczba zwojów w cewce pierwotnej, a N2 liczbą zwojów w cewce

wtórnej. Stosunek napięć w obu cewkach wynosi zatem

- regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże i odwrotnie

- Generatory wytwarzają na ogół prąd o niskim napięciu. Chcąc zminimalizować straty mocy w liniach przesyłowych zamieniamy to niskie napięcie na wysokie, a przed odbiornikiem transformujemy je z powrotem na niskie.

19

Indukcyjno ść własna

Gdy nat ężenie pr ądu przepływaj ącego przez obwód zmienia si ę to zmienia się też, wytworzony przez ten pr ąd, strumie ń pola magnetycznego przenikaj ący obwód, wi ęc zgodnie z prawem indukcji Faradaya indukuje si ę w obwodzie SEM.

Tę siłę elektromotoryczną nazywamy siłą elektromotoryczną samoindukcji, a samo zjawisko zjawiskiem indukcji własnej.

Jeżeli obwód (cewka) zawiera N zwojów to

Całkowitym strumień NΦ zawarty w obwodzie jest proporcjonalny do natężenie prądu płynącego przez obwód

Stałą

nazywamy indukcyjnością (współczynnikiem indukcji własnej lub współczynnikiem samoindukcji).

Zróżniczkowanie równania prowadzi do wyrażenia

otrzymujemy wyrażenie na siłę elektromotoryczną samoindukcji

Jednostką indukcyjności L jest henr (H); 1 H = 1 Vs/A.

Energia pola magnetycznego

Energia może być zgromadzona w polu magnetycznym.

Rozważmy na przykład obwód zawierający cewkę o indukcyjności L. Jeżeli do obwodu włączymy źródło SEM (np. baterię) to prąd w obwodzie narasta od zera do wartości maksymalnej I0. Zmiana prądu w obwodzie powoduje powstanie na końcach cewki różnicy potencjałów ∆V (SEM indukcji ε) przeciwnej do SEM

przyłożonej

Do pokonania tej różnicy potencjałów przez ładunek dq potrzeba jest energia

(praca) dW

20

Energię tę (pobraną ze źródła SEM) ładunek przekazuje cewce więc energia cewki wzrasta o dW. Całkowita energia magnetyczna zgromadzona w cewce podczas

narastania prądu od zera do I0 wynosi więc

Jeżeli rozpatrywana cewka ma długości l i powierzchnię przekroju S, to jej objętość jest równa iloczynowi lS i gęstość energii magnetycznej zgromadzonej w

cewce wynosi

lub na podstawie równania

Przypomnijmy, że dla cewki indukcyjność i pole magnetyczne dane są

odpowiednio przez wyrażenia

oraz

co prowadzi do wyrażenie opisującego gęstość energii magnetycznej w postaci

Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni istnieje pole magnetyczne o indukcji B to możemy uważać, że w tym punkcie jest zmagazynowana energia w ilości

na jednostkę objętości

21

Równania Maxwella

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Przypomnijmy, że analogicznie jak strumień pola elektrycznego E, strumień pola magnetycznego B przez powierzchnię S jest dany ogólnym wzorem

Jednak, jak już podkreślaliśmy istnieje zasadnicza różnica między stałym polem magnetycznym i elektrycznym, różnica pomiędzy liniami pola elektrycznego i magnetycznego.

Linie pola magnetycznego są zawsze liniami zamkniętymi podczas gdy linie pola elektrycznego zaczynają się i kończą na ładunkach.

Ponieważ linie pola B są krzywymi zamkniętymi, więc dowolna powierzchnia zamknięta otaczająca źródło pola magnetycznego jest przecinana przez tyle samo linii wychodzących ze źródła co wchodzących do niego (rysunek 26.1).

Rys. 26.1. Linie pola B przechodzące przez zamknięte powierzchnie Gaussa (linie przerywane)

W konsekwencji strumień pola magnetycznego przez zamkniętą powierzchnię jest równy zeru

Ten ogólny związek znany jako prawo Gaussa dla pola magnetycznego.

22

Indukowane wirowe pole elektryczne

Zmianom pola magnetycznego towarzyszy zawsze powstanie pola elektrycznego.

Jako przykład rozpatrzmy jednorodne pole magnetyczne B, którego wartość maleje z czasem ze stałą szybkością dB/dt. Na rysunku 26.2 poniżej pokazano natężenie pola elektrycznego E wyindukowanego przez to malejące pole B. Kierunek wyindukowanego pola elektrycznego określamy z reguły Lenza, analogicznie jak znajdowaliśmy kierunek indukowanego prądu (który to pole elektryczne wywołuje w przewodniku).

Zauważmy przy tym, że obecność pętli (obwodu) nie jest konieczna. Jeżeli go nie będzie, to nie będziemy obserwować przepływu prądu jednak indukowane pole elektryczne E będzie nadal istnieć.

Rys. 26.2. Linie pola elektrycznego wytworzonego przez malejące pole magnetyczne

Linie indukowanego pola elektrycznego mają kształt koncentrycznych okręgów (zamkniętych linii) co w zasadniczy sposób różni je od linii pola E związanego z ładunkami, które nie mogą być liniami zamkniętymi bo zawsze zaczynają się na ładunkach dodatnich i kończą na ujemnych.

Zapamiętajmy, że indukowane pola elektryczne nie są związane z ładunkiem, ale ze zmianą strumienia magnetycznego.

Indukowane pole elektryczne nazywamy (ze względu na kształt linii) wirowym polem elektrycznym.

23

Natężenia kołowego pola elektrycznego pokazanego na rysunku 26.2 jest zgodnie z równaniem związane z indukowaną siłą elektromotoryczna

relacją

gdzie całkowanie odbywa się po drodze, na której działa siła to jest wzdłuż linii pola elektrycznego.

W polu elektrycznym pokazanym na rysunku 26.2 ładunki elektryczne poruszają się po torach kołowych więc równanie (26.3) przyjmuje postać

Korzystając z równania (26.3) możemy zapisać uogólnione prawo indukcji Faradaya w postaci

które możemy wyrazić następująco:

Cyrkulacja wektora natężenia pola E po dowolnym zamkniętym konturze jest równa szybkości zmiany strumienia magnetycznego przechodzącego przez ten kontur.

Indukowane pole magnetyczne

W poprzednim paragrafie dowiedzieliśmy się, że zmianom pola magnetycznego towarzyszy zawsze powstanie pola elektrycznego.

Teraz zajmiemy się powiązaniem prędkości zmian pola elektrycznego z wielkością wywołanego tymi zmianami pola magnetycznego.

W tym celu rozpatrzmy obwód elektryczny zawierający kondensator cylindryczny pokazany na rysunku 26.3. W stanie ustalonym pole elektryczne w kondensatorze jest stałe. Natomiast gdy ładujemy lub rozładowujemy kondensator to do okładek dopływa (lub z nich ubywa) ładunek i w konsekwencji zmienia się pole elektryczne E w kondensatorze.

Doświadczenie pokazuje, że pomiędzy okładkami kondensatora powstaje pole magnetyczne wytworzone przez zmieniające się pole elektryczne. Linie pola, pokazane na rysunku 26.3, mają kształt okręgów tak jak linie pola wokół przewodnika z prądem.

24

Pole magnetyczne B wytworzone przez zmienne pole elektryczne E pomiędzy okładkami kondensatora

Pole magnetyczne jest wytwarzane w kondensatorze tylko podczas jego ładowania lub rozładowania. Tak więc pole magnetyczne może być wytwarzane zarówno przez przepływ prądu (prawo Ampère'a) jak i przez zmienne pole elektryczne.

Na tej podstawie Maxwell uogólnił prawo Ampère'a do postaci

(26.6)

Sprawdźmy czy stosując tę modyfikację uzyskamy poprawny wynik na pole B pomiędzy okładkami.

Z prawa Gaussa wynika, że strumień pola elektrycznego pomiędzy okładkami kondensatora wynosi

(26.7)

Różniczkując to wyrażenie obustronnie po dt otrzymujemy

(26.8)

Przypomnijmy, że zgodnie z prawem Ampère'a

(26.9)

Podstawiając za prąd I (równanie 26.8) otrzymujemy wyrażenie

(26.10)

25

identyczne z wyrazem dodanym przez Maxwella do prawa Ampère'a.

Podsumowując:

Zmianom pola elektrycznego towarzyszy zawsze powstanie pola magnetycznego.

Mówiąc o polu magnetycznym wytwarzanym przez zmienne pole elektryczne. możemy posłużyć się pojęciem prądu przesunięcia

Równania Maxwella

Zestawione są poznane przez nas dotychczas cztery prawa, które opisują ogół zjawisk elektromagnetycznych. Są to równania Maxwella. Przedstawione równania sformułowano dla próżni tj. gdy w ośrodku nie ma dielektryków i materiałów magnetycznych.

Równania Maxwella (dla próżni)

Prawo Równanie

1 prawo Gaussa dla elektryczności

2 prawo Gaussa dla magnetyzmu

3 uogólnione prawo Faradaya

4 uogólnione prawo Ampère'a

Pole magnetyczne, źródła pola, własności. Prawo Biota – Savarta. Pole magnetyczne od przewodnika prostoliniowego, kołowego, solenoidu. Sens fizyczny wektorów natężenia pola magnetycznego i indukcji magnetycznej. Prawo

26

przepływu prądu. Siła elektrodynamiczna. Moment magnetyczny. Moment siły i energia momentu magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym.