Wykład IV i Vakraw/dydaktyka/mmf/mmf_wyk_4_5_extended.pdf · Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne Ortogonalność zachodzi w sensie iloczynu skalarnego

Wykład IV i V

• Definicja wielomianów ortogonalnych,

• Waga i jej własności,

• Własności wielomianów ortogonalnych,

• Równania różniczkowe dla wielomianów

ortogonalnych,

• Wzór Rodriguesa,

• Normy wielomianów ortogonalnych,

• Związki rekurencyjne dla wielomianów

ortogonalnych,

• Funkcje tworzące dla wielomianów ortogonalnych.

Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne

Definicja

( ) ( ) ,,0,1 ++= − xaxbxaxQ n

n

n

n

nn

( )

( ) ,

, nn

n

ba

xQ - wielomian stopnia n

- współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej x

- dziedzina wielomianu

Ortogonalność

( ) ( ) ( ) mnmnmn dxxQxQxQQ ,)(,

)(x - waga

• Ortogonalność zachodzi w sensie iloczynu skalarnego z wagą,

• Waga oraz dziedzina całkowicie definiują rodziny wielomianów

ortogonalnych,

• Wielomiany nie są unormowane w sensie iloczynu skalarnego z wagą.


Wielomiany ortogonalne są użyteczne w wielu

dziedzinach fizyki, np. elektrodynamice, teorii pola,

mechanice kwantowej (oscylator harmoniczny, atom

wodoru…), optyce i in. Jest to kilka rodzin

wielomianów (wielomiany Legendre’a, Hermite’a,

Laguerre’a i in.), takich że wielomiany różnych

stopni, należące do jednej rodziny, są ortogonalne w

sensie przedstawionym poniżej

Ogólna definicja iloczynu

skalarnego z wagą

Własności wagi

• Znikanie wyrażenia B na krańcach dziedziny,

• Pochodna logarytmiczna wagi,

( ) ( ) ( ) 01

2

201 ,,)(

)(ln BxBxBxBAxAxA

xB

xA++=+==

=

( ) ( ) ( ) ( ) 0== BB


Wagi są różne dla różnych rodzin wielomianów, ale

mają pewne wspólne własności. Np. pochodna

logarytmiczna wagi zawsze daje się zapisać jako

funkcja wymierna (iloraz wielomianów 1. i 2. stopnia,

których współczynniki zależą od rodziny

wielomianów)

Nazwa Symbol WagaDziedzina ( ) , ),(x

Legendre’a ( )xPn ( )1,1−21)(,0)(

1)(

xxBxA

x

−==

=

)(),( xBxA

Hermite’a

Laguerre’a

Czebyszewa

( )xH n

( )xLn

( )xTn

( )+− ,

( ),0

( )1,1−

1)(,2)(

)(2

=−=

= −

xBxxA

ex x

xxBxxA

exx x

=−=

−= −

)(,)(

1,)(

( )2

212

1)(,)(

1)(

xxBxxA

xx

−==

−=−


• Rodzaje wielomianów ortogonalnych

(umownie)

Własności wielomianów ortogonalnych

• Zbiór wielomianów ortogonalnych danego typu stopnia stanowi

bazę w przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż ,

określonych na przedziale

Nn

N

( ) ,

Wniosek: każdą potęgę można przedstawić jako kombinację liniową

wielomianów

kx

kQQQ ,, 10

• Wielomian jest ortogonalny do wszystkich potęg nQ ,, nkxk

( ) 1,2,1,0,0, −== nkQx n

k

• Wielomian ma n różnych pierwiastków rzeczywistych,nQ

( ) ( )( ) ( )nnn xxxxxxaxQ −−−= 21

• Wielomiany można uzyskać z potęg w wyniku

ortogonalizacji Grama-Schmidta nQ ,2,1,0, =kxk


Ortogonalność zachodzi w sensie iloczynu skalarnego z wagą (por. definicja

ortogonalności wielomianów powyżej). Dowód: 𝑥𝑘 jest kombinacją liniową

wielomianów 𝑄0, 𝑄1, … , 𝑄𝑘, 𝑘 < 𝑛, które wszystkie są ortogonalne do 𝑄𝑛.

Dowód na następnym slajdzie


Równania różniczkowe dla wielomianów ortogonalnych

Można wykazać, że

( ) const,,0, === n

k QVnkxV

( ) nnn QQBQBAxV =++=)(

Porównując współczynniki przy najwyższej potędze równościnx

uzyskuje się, że

( ) 21 1 BnAn ++=

Podstawiając wyrażenia na A, B, uzyskuje się równania różniczkowe na

poszczególne typy wielomianów


( ) ( ) nnn QBQBAQBxV ++=

=

1)(

Zdefiniujmy wielomian V(x) stopnia n

Dowód na następnym slajdzie. Skoro 𝑉(𝑥) jest ortogonalne

do wszystkich potęg 𝑥𝑘, 𝑘 < 𝑛 to jest proporcjonalne do

𝑄𝑛, gdzie γ – współczynnik proporcjonalności



• Wielomiany Legendre’a nP

( ) ( ) 0121 2 =++−− nnn PnnPxPx

• Wielomiany Hermite’a nH

022 =+− nnn nHHxH

• Wielomiany Laguerre’a nL

( ) 01 =++−+ nnn nLLxLx

• Wielomiany Czebyszewa nT

( ) 01 22 =+−− nnn TnTxTx


Równania różniczkowe dla poszczególnych typów wielomianów

Wzór Rodriguesa

( ) ( ) ( )( )nn

nn BxQxQ

1~=

Ogólniej, można wykazać że

( )( )

k

knkn WBB −=

1

kW - wielomian stopnia k, spełniający związek rekurencyjny

( ) nnkkk QWWWBknAWBW~

,1, 01 ==−++=+



Przy pomocy wzoru Rodriguesa można wyznaczyć wielomiany ෨𝑄𝑛 proporcjonalne

do właściwych wielomianów ortogonalnych 𝑄𝑛. Stałe proporcjonalności 𝑓𝑛 takie że

𝑄𝑛 = 𝑓𝑣 ෨𝑄𝑛 są umowne i zostaną podane w dalszej części wykładu. Ważne jest, że

przy pomocy wzoru Rodriguesa każdy wielomian ortogonalny można wyznaczyć

wyłącznie za pomocą wagi i jej pochodnych.



++= −1m

m

m

mm xxwW

- współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej xmmw ,

Posługując się tym związkiem, można określićDla 𝑚 = 𝑛 współczynniki 𝑤𝑛, 𝑣𝑛pokrywają się ze współczynnikami przy

najwyższych potęgach wielomianu ෨𝑄𝑛


( ) ( ) ( )( )

0,!

!21,21 2

1 =−=−−−=+ n

n

nkkkn

nwWknxWxW



( ) 0,2,21 =−=−=+ n

n

nkkk wxWWW

( ) ( ) ( ) ( ) +−=−=−+−+=−

+ nnwWknxWxWn

n

n

nkkk

1

1 1,1,


Współczynniki wyznacza się analogicznie jak w przykładzie na poprzedniej transparencji. Dla wielomianów Czebyszewa – por. skrypt

do ćwiczeń z rozwiązaniami

Sprawdzenie warunku ortogonalności.

Wykonując k-krotnie całkowanie przez części, otrzymujemy

( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )

nn

kn

kk

knnknnk

nnk

n

knnknnk

nnk

n

k

QQ

nkWBk

BkdxBxk

dxBxkBWxdxBxkBx

dxBxQx

=−

=−==−

=−=−

==

−−

+

−−−−

−−

−

−−−

~

,0!1

!1

~,

1

1

111

11

1

111


Korzystamy ze związku 𝜌𝐵𝑛 (𝑘) = 𝜌𝐵𝑛−𝑘𝑊𝑘 ⇒𝜌𝐵𝑛 (𝑛−1) = 𝜌𝐵𝑊𝑛−1, itd, oraz z właściwości wagi

𝜌 𝛼 𝐵 𝛼 = 𝜌 𝛽 𝐵 𝛽 = 0.

Zauważmy, że ostatniej całki nie można wykonać dla 𝑘 = 𝑛,

więc uzyskany wynik jest prawdziwy dla 𝑘 < 𝑛. Skoro

wielomian ෨𝑄𝑛 jest ortogonalny do wszystkich potęg 𝑥𝑘, 𝑘 <𝑛, to jest proporcjonalny do wielomianu ortogonalnego

𝑄𝑛który ma tę własność.

Ostateczna postać wzoru Rodriguesa ( ) ( )xQfxQ nnn

~=


( ) ( ) ( ) ( )( )

0,!2

!2,1

!2

1~

!2

12

)(2 ==−

−=

−= nnn

nn

n

n

nn

n

n bn

nax

nP

nP



( )( )( ) ( ) ( ) +−=−===

−−+− nnbaexexLLn

n

n

n

nxnx

nn

11,1,

~


( )( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )0,1,11

!12

!11

~

!12

!11

212212 ==−−−

−−=

−

−−=

−

nn

nnn

n

n

n baxxn

nT

n

nT

( ) ( ) ( )( )0,2,1

~1

22

==−=−= −

n

n

n

nxxn

n

n

n baeeHH


Współczynniki 𝑓𝑛 dla poszczególnych wielomianów

są umowne i wynikają z wcześniejszej tradycji


Przykładowe wielomiany Lagrange’a Pn, n=3,6


Przykładowe wielomiany Hermite’a Hn, n=4,5


Przykładowe wielomiany Laguerre’a Ln, n=5 dla różnych wag


Przykładowe wielomiany Czebyszewa Tn, n=3,6

Normy wielomianów ortogonalnych

( ) ( ) ( ) ( )( )

==++== −

dxBxfaQxaQxbxaQQQnnn

nnn

n

nn

n

n

n

nnnn ,,, 12

Wykonując k-krotnie całkowanie przez części, otrzymujemy

( ) −=

dxBfanQ n

nn

n

n !12


Korzystamy z faktu, że wielomian 𝑄𝑛 jest

ortogonalny do wszystkich potęg 𝑥𝑘, 𝑘 < 𝑛.


( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) 12

2

22

112

!2

!21

!2

1

!2

!2!1 12

22

1

1

2

2

2

+=

+

++=−

−−= +

−

nn

nn

n

ndxx

nn

nnP n

n

n

n

n

n

n

n


• Wielomiany Laguerre’anL

( )1!!0

2++=

+− nndxxenL nx

n


3,2,1,2

,12

22

0 ===−

nTTnn

( ) ( ) !212!122

ndxenH nxnnn

n =−−=

−

−


Prosta całka z rozkładu Gaussa

Wprost z definicji funkcji

gamma Eulera

Obliczenie podobne jak dla

wielomianów Legendre’a

Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych


( )jn

j

jnnnnnnn QxQQ

cQcQcQcxQ ,1

,21111 =++= −−++

2

1

2

11

1

1

1

1

−

−−

+

+

+

+

=

−=

=

n

n

n

nn

n

n

n

nn

n

nn

Q

Q

a

ac

a

b

a

bc

a

ac

Są to związki pomiędzy wielomianami stopni n, n+1, n-1, obowiązujące dla wszystkich klas wielomianów. Umożliwiają one obliczanie

całek, zawierających iloczyny wielomianów różnych stopni (przy skorzystaniu z relacji ortogonalności dla wielomianów).

Wyprowadzenie i przykłady obliczania ww. całek na następnych transparencjach.


• Wielomiany Legendre’anP

111212

1−+

++

+

+= nnn P

n

nP

n

nxP

• Wielomiany Hermite’anH

• Wielomiany Laguerre’anL ( ) ( ) 11 12 −+ +−+++−= nnnn LnnLnLxL


3,2,1,4

1;1,

4

1

4

1110021 =+==++= −+ nTTxTTTTxT nnn

112

1−+ += nnn nHHxH


Związki rekurencyjne dla poszczególnych typów wielomianów ortogonalnych


Funkcje tworzące dla wielomianów ortogonalnych

( )( )

=

=0 !

~

,n

nn wn

xQwx

Ze wzoru Rodriguesa ( )( )

( ) ( )

=

=0 !

1,

n

n

n

nn

xBxdx

d

n

w

xwx

Ze wzoru całkowego

Cauchy’ego ( ) ( )( ) ( )

−

=C

nn Cxxdz

xz

zBz

ixBx Int,

2

1

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) −−

=−−

=

−

=−

=

+

Cnn

nn

C

nn

n

zwBxz

dzz

xidz

xz

zBw

xz

z

xiwx

xz

n

xzdx

d

1

2

11

2

1,

!1

0

1

Wielomian stopnia 2 w mianowniku ma dwa pierwiastki (bieguny rzędu 1)

( )( )

( )( )zBw

z

xwx

Czz

Czxz

w

w

−=

→

→

→

→

1

1,

Int

Int1

20

2

10

1

Z metody residuów

To jest równość formalna, ułatwiająca dalsze obliczenia. C jest

dowolną krzywą zawierającą punkt x, funkcja podcałkowa ma

biegun 1. rzędu w z=x.

Funkcja podcałkowa jest sumą

szeregu geometrycznego o

ilorazie Τ𝑤𝐵 𝑧 − 𝑥

Tych własności pierwiastków 𝑧1, 𝑧2 nie

da się ogólnie pokazać, po prostu tak

zawsze wychodzi

Funkcje tworzące są powszechnie używane w wielu działach

matematyki. Funkcję tworzącą dla wielomianów ortogonalnych można

traktować jak „szereg Taylora” dla małych wartości w, którego

współczynnikami są wielomiany ෪𝑄𝑛

1



( ) ( ) ( )2

02

0 21

1,

441

1~

!,

+−=

++==

=

= xxP

wwxxP

n

wwx

n

n

n

n

n

n


• Wielomiany Laguerre’anL



( ) ( ) ( ) x

n

n

n

wxw

n

n

n

en

xHexHn

wwx 2

0

2

0

22

!,

~

!, +−

=

−−

=

===

( )( )

w

wx

n

n

n ewn

wxL −

−

+

= −= 1

10 1

1

!

( )2

2

0 44

4

wwx

wwxT

n

n

n+−

−=

=

Tej funkcji tworzącej nie da się uzyskać z ogólnego wzoru (metoda: patrz

skrypt do ćwiczeń z rozwiązaniami). Funkcja tworząca dla ෨𝑇𝑛uzyskiwana ze

wzoru ogólnego jest bardzo skomplikowana i niepraktyczna



Documents

Wykład IV i Vakraw/dydaktyka/mmf/mmf_wyk_4_5_extended.pdf · Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne Ortogonalność zachodzi w sensie iloczynu skalarnego