Upload
zia-mcfadden
View
31
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Wykład 15. Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa c.d. Własności wartości oczekiwanej Wariancja zmiennej losowej Własności wariancji Odchylenie standardowe. Rozkład dwumianowy Rozkład geometryczny Zastosowania. Szkic wykładu. Wartość oczekiwana. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 1
Wykład 15Wykład 15
Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa c.d. Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa c.d.
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 2
Szkic wykładuSzkic wykładu
Własności wartości oczekiwanejWłasności wartości oczekiwanej Wariancja zmiennej losowejWariancja zmiennej losowej Własności wariancjiWłasności wariancji Odchylenie standardoweOdchylenie standardowe
Rozkład dwumianowyRozkład dwumianowy Rozkład geometrycznyRozkład geometryczny ZastosowaniaZastosowania
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 3
Wartość oczekiwanaWartość oczekiwana
Definicja - skończona przestrzeń zdarzeń elementarnych, X zmienna losowa określona w . Wartością oczekiwaną zmiennej X
nazywamy liczbę E(X) = w X(w)* P({w}).
Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo
prawdopodobne, to P({w}) = 1/card() czyli
)(
)(
)(
card
X
XE
Przykład Rzucamy jedną kostką do gry. Liczba wyrzuconych oczek X jest zmienną losową o wartościach 1,2,3,4,5,6 i ma rozkład jednostajny P(X=i)=1/6.
Zatem E(X)= (1+2+...6)/6 = 3.5
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 4
Wartość oczekiwana zmiennej Wartość oczekiwana zmiennej dyskretnejdyskretnej
Niech X będzie zmienną losową dyskretną określoną w pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych . Wtedy
E(X) = x x*fX(x)
Zmienna X przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości.
Ta suma ma tylko skończonąliczbę składników różnych od 0
Ostatecznie EX = w X(w)*P({w}) = x X(w)= x x*P({w})
= x x*P(X=x) = x x*fX(x)
......................................X(w)=x1 X(w)=x2 X(w)=xn
P({w}) = P(X=x1) P({w}) = P(X=x2)
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 5
PrzykładPrzykład
Zmienna losowa przypisująca losowi wygraną ma rozkład prawdopodobieństwa f : f(x1)=P(X=x1) = n1/n , f(x2)=P(X=x2) = n2/n ... f(xk)=P(X=xk) = nk/n
Wartość oczekiwana zmiennej X , EX= i=1...k (xi *ni/n)= i=1...k (xi *ni)/n
1 los = EX zł Zysk = n *EX Suma wygranych = i=1...k xi *ni
W pewnej loterii sprzedaje się n losów, z których n1 wygrywa sumę x1 zł., n2 - wygrywa x2 zł., ...nk losów wygrywa xk zł.
Loterię nazywamy sprawiedliwą, jeśli suma wygranych jest równa ilości pieniędzy uzyskanych ze sprzedaży biletów.
Jaka powinna być cena jednego losu, żeby loteria była sprawiedliwa?
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 6
PrzykładPrzykład
Rozważmy program :x:= 0; p := false;while p = false do x.= x+1; p := random({true,false}) od
Ponieważ P(X=k)= 1/2k
Niech prawdopodobieństwo wyboru obu wartości
= 1/2(np rzucamy monetą)
Zatem E(X) = kN k/ 2k =2
Niech X oznacza zmienną losową taką, że X = i, jeśli program zatrzymuje się po i-krokach (tzn. w której iteracji po raz pierwszy wypadło ‘true’ )
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 7
PrzykładPrzykład
5 biletów po 1,20zł 4 bilety po 2,40 zł
1,202,40
4,80
6 biletów po 4,80 zł
W tramwaju zgasło światło i pasażer skasował losowo wyciągnięty bilet. Jaka jest wartość oczekiwana jego opłaty za przejazd?
Rozkład prawdopodobieństwa fX:
f(1,20)= 5/15 f(2,40)= 4/15 f(4,80)= 6/15
biletCena tego biletu
X
EX = 1,20 *5/15 + 2,40* 4/15+ 4,80 * 6/15 = 2,96
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 8
Własności wartości oczekiwanejWłasności wartości oczekiwanej
- przestrzeń zdarzeń, w której określone są zmienne losowe X i Y.
Twierdzenie 1
E(cX) = c E(X)E(X + Y) = E(X) + E(Y)E(a) = aE(X – E(X)) = 0
Twierdzenie 2
Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to E(X * Y) = E(X) * E(Y).
Dowód Tw. 2:E(X*Y) = w Y(w) *X(w) * P({w}) = xX(),y Y() x*y P(X=x i Y=y) = xX(),y Y() x*y P(X=x)*P(y=y) = xX() x* P(X=x) *( yY() y * P(Y=y) ) = E(X) * E(Y).
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 9
WariancjaWariancja
Definicja VX = E((X-EX)2)
Uwaga Rozważmy dwie zmienne o rozkładach {(100,1/2), (100,1/2)}, {(2,1/3), (-1,2/3)} Mamy EX = EY = 0. Chociaż zmienne bardzo się różnią, to wartości oczekiwane są takie same.
Nowy parametr, który charakteryzuje rozrzut wartości zmiennej losowej.
Niech X ma rozkład prawdopodobieństwa {(xi,pi)} i=1,...n.Oznaczmy EX= m. Wtedy VX = ((x1- m)2*p1 +...+ (xn –m)2 *pn.
Co to znaczy, że VX jest małą liczbą?
Twierdzenie VX = E(X2) – (EX) 2
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że X przyjmuje wartość dużo różniącą się od m jest małe.
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 10
PrzykładPrzykład
Rozważmy zmienną losową o rozkładzie zero-jedynkowym
Wtedy EX = p oraz
VX = E((X- EX)2) = (1-p) 2 p +(0-p) 2(1-p) = p(1-p)
pprawdopz
pprawdopzX .
1.
10
Definicja Liczbę sqrt( VX) nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej X.
Na egzaminie jest 30 zadań i za każde można dostać 1 punkt o ile poprawnie odpowie się na 3 wykluczające się pytania. Jaka jest wartość oczekiwana zmiennej losowej opisującej wynik egzaminu i jaka jest wariancja tej zmiennej.
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 11
Własności wariancjiWłasności wariancji
Wniosek Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to V(X-Y) = V(X+Y).
TwierdzenieV(c) = 0V(cX) = c 2 V(X)V(X + Y) = V(X) + V(Y) o ile X i Y są niezależne
Dowód V(X+Y) = E((X+Y - E(X+Y)) 2 )= E((X-EX + Y-EY) 2)=E((X-EX)2 +2(X-EX)(Y-EY) + (Y-EY) 2)=E ((X-EX)2 ) + E(2(X-EX)(Y-EY)) + E((Y-EY)2) =V(X) + V(Y).
Ponieważ X i Y są niezależne więc również (X-c) i (Y-c) są zmiennymi niezależnymi.
E(2(X-EX)(Y-EY))= 0
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 12
Schemat BernoulliegoSchemat Bernoulliego
Niech D będzie pewnym doświadczeniem, w wyniku którego może zajść zdarzenie A lub zdarzenie A’(przeciwne).
Zakładamy, że doświadczenie D może być wielokrotnie powtarzane oraz P(A) =p niezależnie od tego ile razy wykonujemy to doświadczenie.
Ciąg n-krotnie wykonanych doświadczeń D, D1,.... Dn nazywa się schematem Bernoulliego.
Zdarzenie elementarne
Ciąg n-elementowy o wyrazach A lub A’
Card()= 2 n
sukces porażka
P(n,k,p) = (n nad k) p k (1-p)n-kWzór Bernoulliego
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 13
C.d. Rozkład dwumianowyC.d. Rozkład dwumianowy
Rozkładem dwumianowym nazywamy rozkład prawdopodobieństwa określony wzorem
f(k) = (n nad k) p k (1-p)n-k dla k=0,1,...n f(x) = 0 dla pozostałych x
Jaka jest wartość oczekiwana zmiennej losowej X o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p?
E(X) = n*p oraz V(X) = n*p*(1-p)
Zamiast badać zmienną X rozważmy zmienną Xi, taką, że Xi(sukces w i-tym doświadczeniu)=1 i Xi(porażka)=0 .
Mamy P(Xi=1) =p P(Xi=0)=1-p. Czyli E(Xi) = p E(Xi
2)= p, V(Xi) = p(1-p) X= X1 + ...+ Xn
Zmienneniezależne
Zatem E(X)= E(Xi)=np V(X)= V(Xi)= np(1-p)
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 14
Rozkład geometrycznyRozkład geometryczny
Rozkładem geometrycznym nazywamy funkcję określoną następująco:
f(k) = P(X=k) = p (1-p)k-1
Zmienna X wyraża czas oczekiwania na sukces
Wartość oczekiwana zmiennej X
Uwaga Zmienna X przyjmuje jako wartości wszystkie liczby naturalne
pppkXEk
k /1)1(**)(1
1
Przykład Niech P(żarówka przepali się w ciągu 1godziny)=q.
Jeśli q jest małe to możemy założyć, że zdarzenia „żarówka przepali się w ciągu k tej godziny” są niezależne. Wtedy
P(żarówka przepali się w ciągu k-tej godziny) = (1-q) k-1 q
Spodziewany czas oczekiwania na przepalenie się żarówki wynosi 1/q.
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 15
ZastosowanieZastosowanie
Dla ustalenia liczby ryb w jeziorze odławiamy pewną liczbę ryb, np. 1000sztuk. Złapane ryby znakujemy i wpuszczamy je do jeziora. Po upływie pewnego czasu dokonujemy odłowu uzyskując np.: 1200 ryb, wśród których było 25 znakowanych.
)(
))((Nn
Cc
Bb
NP N liczba ryb = liczba kul w urnieB ryby znakowane = kule białeC ryby nieznakowane = kule czarnen ryby odłowione = liczba losowań zależnychb wyłowione znakowane =wylosowane białec wyłowione nieznakowane = wylosowane czarne
Prawdopodobieństwo wylosowania b kul białych i c kul czarnych w n losowaniach
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 16
Cd. rybyCd. ryby
Aby na podstawie tych danych empirycznych oszacować liczbę ryb w jeziorze zastosujemy zasadę największej wiarygodności, polegającej na wyznaczeniu takiej liczby N, aby prawdopodobieństwo PN miało wartość największą.
PN/P N-1 >1 dla N<B*n/b
PN/P N-1 <1 dla N> B*n/b
bnBNN
BnBNnNN
P
PBN
bnBb
Nn
Nn
BNbn
Bb
N
N
())((
)(*
)(
))(( 2
1
1
1
PN osiąga największą wartość dla N = [B n/b]
23 stycznia 2002 15MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa c.d. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 17
PrzykładPrzykład
Dany jest ciąg rosnący e1, ..., en oraz element x, ei, x [a,b]. Rozważmy algorytm
If x< e1 then i :=0 elseif x en then i:= n else
i := 1; while x ei+1 do
i := i+1 odfi
fi
a=e0 e1, e2, e3, ..., en, e n+1=b
xAlgorytm wyszukuje takie i, że ei x< e1+1
P(x [ei, ei+1)) = (ei+1- ei)/(b-a)=oznpi
EX = 1*p0 + 2*p n + i=1...(n-1) (2+i) pi n+1