Reinhard Kulessa 1

Wykład 65.7.3 Pole elektryczne i potencjał pochodzące od

jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli

W celu wyznaczenia natężenia posłużymy się prawem Gaussa. E

R

A

A’

=const

r

r’

dA’

dA

Reinhard Kulessa 2

E

R

A

A’

r

r’

dA’

dA

=const

Zgodnie z równaniem (5.17) wyrażenia na natężenie pola i potencjał w odległości r>R od środka naładowanej nieprzewodzącej kuli są następujące:

r

QrV

rr

QrE

0

30

4)(

4)(

Powierzchnia sferyczna o promieniu r’ wewnątrz kuli obejmuje tylko część ładunku Q(r’).

(5.19a)

Reinhard Kulessa 3

3

3'3'

3

3'' 3/43/43

4)(

R

rRQr

R

RQrrQ

Wobec tego zgodnie z prawem Gaussa:

A3

3'

00

'2'' )()(

4R

rRQrQrEAdE

A

'3

0

'

4)( r

R

RQrE

r’<R (5.20)

Widzimy więc, że we wnętrzu kuli natężenie pola wzrasta liniowo wraz z odległością od środka kuli

Reinhard Kulessa 4

Dla odległości większych niż promień kuli, natężenie pola i potencjał jest takie jak we wzorze (5.19a)

Na odległości r<R od środka jednorodnie naładowanej kulipotencjał przyjmuje następującą wartość: (proszę obliczyć).

)3

1(8

3)(

2

2

0 R

r

R

QrV

(5.21)

E(r)

rR

Rysunek obok przedstawia zależność natężenia w zależności od odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli.

304 R

Q

Reinhard Kulessa 5

5.7.4 Dipol elektryczny

Policzymy potencjał i natężenie pola elektrycznego pochodzącego od dipola elektrycznego, czyli układu dwóch jednakowych ładunków o przeciwnych znakach znajdujących się w pewnej odległości od siebie. PP

-Q +Q

r

r

r

L

L cos

Potencjał w punkcie Pliczymy zgodnie z zasadąsuperpozycji.

Reinhard Kulessa 6

rr

rrq

r

Q

r

QrV

0

00

4

4

1

4

1)(

Dla dużych r zachodzi r+ || r || r- i wtedy możemy napisać

rrr

Lrr

cos

Na potencjał w punkcie P otrzymujemy wyrażenie;

-Q +Q

r

r

r

L

L cos

Reinhard Kulessa 7

QLr

rV 2

0

cos

4

1)(

(5.22)

Wyrażenie nazywamy momentem dipolowym.PQL

Otrzymujemy więc:

304

1)(

r

rPrV

(5.23)

Widzimy więc, że potencjał dipola maleje jak 1/r2, podczas gdyPotencjał ładunku punktowego maleje jak 1/r.

Reinhard Kulessa 8

W oparciu o znany potencjał policzmy natężenie pola elektrycznego pochodzące od dipola. Ponieważ mamy symetrię wokół osi x, możemy wykonać obliczenia we współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie.

x

y

P

r

E

rE

E

Gradient we współrzędnych biegunowych ma składowe:

ir

ir

r1

Mamy więc

VgradE

Reinhard Kulessa 9

Czyli,

30

30

sin

4

1

cos2

4

1

r

PE

r

PEr

iEiEE rr

Korzystając z zależności pomiędzy wersorami układów kartezjańskiego i biegunowego:

jii

jii r

cossin

sincos

Reinhard Kulessa 10

])sincos3()1cos3[(4

1 23

0

jir

PE

Składowe równoległa (x) i prostopadła (y) natężenia pola elektrycznego pochodzącego od dipola są następujące:

30

3

2

0

sincos3

4

1cos3

4

r

PE

r

PE

y

x

(5.24)

Reinhard Kulessa 11

Linie sił natężenia pola elektrycznego dipola, oraz linie ekwipotencjalne są przedstawione na poniższym rysunku.

Reinhard Kulessa 12

5.7.5 Jednorodnie naładowany dysk

x Pdy

R

y

2

122 )(y x

Wyliczymy potencjał i natężenie pola elektrycznego na osi jednorodnie naładowanego dysku, który podzielimy na pierścienie o promieniu y i szerokości dy

Na pojedynczym pierścieniuznajduje się ładunek dq. Potencjał pochodzący od żółtego pierścienia w punkcie P wynosi:

Reinhard Kulessa 13

2204

xy

dqdV

Całkowity potencjał uzyskamy całkując po wszystkich pierścieniach

R

xy

dqV

022

04

1

Ładunek dq zawarty w pierścieniu wynosi dq = 2 y dy.

Na całkowity potencjał w punkcie P uzyskamy:

Reinhard Kulessa 14

xxR

xy

xy

dyyV

R

R

22

0

022

0

022

0

2

2

4

2

Pole elektryczne ma składową tylko w kierunku x. Mamy więc

dx

dVEE x

Reinhard Kulessa 15

21

222

0

21

222

0

12

2

xR

x

R

Q

xxRR

Q

xE

Po zróżniczkowaniu otrzymamy na wartość natężenie pola elektrycznego w punkcie P na osi dysku wartość:

Reinhard Kulessa 16

x

y

dr

r -

Pz

5.8 Rozkład potencjału dla zadanego ładunku na multipole

Aby obliczyć potencjał w punkcie P pochodzący od zadanego rozkładu ładunku w objętości stosujemy wzór (5.10).

Reinhard Kulessa 17

r

drV

)(

4

1)(

0

(5.10)

W ten sposób wyrażony potencjał, który jest funkcją wyrażenia możemy rozłożyć w szereg Taylora.ξr1

Przypomnienie!

Jeśli mamy jakąś ogólną funkcję to rozwinięcie tej funkcji w szereg Taylora wokół wygląda następująco:

),,f( 1 32 0

Reinhard Kulessa 18

jji

iji

ii i

ffff

3

1,

23

1321

)0,0,0(

!2

1)0,0,0()0,0,0(),,(

Rozwijając w szereg Taylora funkcję;

21233

222

211 ])()()[(

11

xxxr

Policzenie odpowiednich pochodnych cząstkowych pozostawiam Państwu.

Na następnej stronie przedstawione są otrzymane wyrażenia na pochodne cząstkowe.

Reinhard Kulessa 19

5

2

0

2

3

0

3

1)0,0,0(

r

rxxf

r

xf

rf

ijji

ji

i

i

i.t.d.

A więc dla r> możemy potencjał V(r) przedstawić następująco:

Reinhard Kulessa 20

dr

rxx

r

x

rrV

i jii

ijjiiij

3

1 ,5

2

3

)3(

!2

11)()(

dr

rxx

r

Pr

r

QrV ji

ij

ijji )()3(

!2

1)(

5

2

3

Równanie to możemy napisać w następującej postaci:(5.25)

Potencjałmonopola

Potencjał dipola

Potencjałkwadrupola

Widzimy więc, momentem monopolowym jest całkowity ładunek układu Q. Jest to wielkość skalarna.

Reinhard Kulessa 21

Składowe wektora momentu dipolowego są następujące:

dddP )(,)(,)( 321

Powyższe jest uogólnieniem wprowadzonego poprzedniomomentu dipolowego dwóch ładunków +Q i -Q.

Trzeci człon (3cz) w wyrażeniu (5.25) możemy przekształcić do następującej postaci:

Wskazówka: korzystamy z tożsamości:

ijijjiji 2233

1

Reinhard Kulessa 22

ijij

ijji Qr

rxxcz

5

2 )3(

6

13

W wyrażeniu tym zdefiniowaliśmy tensor momentu kwadrupolowego Qij,, który w układzie kartezjańskim ma następującą postać:

dQ ijjiij )3)(( 2 (5.26)

Reinhard Kulessa 23

ij

ijjiij

r

rxxQ

r

Pr

r

QrV

5

2

3

)3(

6

1)(

(5.27)

Przedyskutujmy uzyskane wyrażenie:• kolejne składniki maleją ze wzrostem r coraz szybciej wyraz monopolowy 1/r wyraz dipolowy 1/r2

wyraz kwadrupolowy 1/r3

• tensor momentu kwadrupolowego zdefiniowany w r.(5.26 ma tylko pięć niezależnych składników. Wynika to z tego, Qij=Qjj , oraz z faktu, że Qii=0.• Ponieważ V(r) jest skalarem, każdy z momentów jest

odpowiednio mnożony przez wielkość zależną od r tak, aby uzyskać skalar.