Wykład VI

Twierdzenie o wzajemności

Spadek napięcia i starta mocy w przewodach zasilających

Dzielnik napięcia, rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierzy i woltomierzy

Liniowość i nieliniowość obwodu elektrycznego

Elementy nieliniowe i ich charakterystyki

Twierdzenie o wzajemności

• Jeżeli w dowolną gałąź obwodu liniowego pasywnego włączy się idealne źródło napięcia stałego E, a w drugą również dowolną gałąź – idealny amperomierz, to po przełączeniu źródła napięcia i amperomierza z zachowaniem ich biegunowości wychylenie wskazówki będzie identyczne.

Rys. 1. Rysunek objaśniający twierdzenie o wzajemności a) schemat obwodu elektrycznego z jednym źródłem napięcia i z amperomierzem w jednej gałęzi b) schemat tego obwodu po zamianie miejsce źródła napięcia i amperomierza dobór oczek niezależnych

• Prawdziwość twierdzenia można łatwo udowodnić posługując się równaniami oczkowymi:

• Prąd Il obliczony metodą wyznaczników:

• Po przełączeniu źródła napięcia E do gałęzi l układu równań zmienią się tylko o, tyle, że napięcie źródłowe E wystąpi tylko w wierszu l. Wówczas prąd Ik wyniesie:

• Ponieważ podwyznaczniki Dkl i Dlk są sobie równe ze względu na symetrię wyznacznika charakterystycznego względem przekątnej głównej, musi zachodzić równość Ik = Il

0

.............................................................................

0

.............................................................................

0

.............................................................................

0

0

2211

ln12211

2211

222222121

111212111

nnnlnlknknn

nllklkll

nknlklkkkkk

nnllkk

nnllkk

IRIRIRIRIR

IRIRIRIRIR

IRIRIRIRIR

IRIRIRIRIR

IRIRIRIRIR

ED

DI kllkl

1

ED

DI lkklk

1

Spadek napięcia i starta mocy w przewodach zasilających

• Spadek napięcia U w linii jest równy różnicy napięć na początku i na końcu linii lub określonego odcinka linii.

• Rezystancja linii:

• Procentowy spadek napięcia:

• Z przepływem prądu przez linię łączy się starta mocy:

• Strata mocy w linii jest równa iloczynowi rezystancji linii i kwadratu prądu w linii.

S

l

S

lRl

22

%100%

U

UU I

SU

lI

SU

lU

200200

%

22 2I

S

lIPP l

Rys. 2. Szkic do objaśnienia spadku napięcia linii prądu stałego a) linia elektryczna b), c) schemat zastępczy linii

Dzielnik napięcia, rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierzy i woltomierzy

• Jeżeli napięcie źródła zasilającego jest za wysokie do bezpośredniego zasilania odbiornika, stosuje się tzw. dzielnik napięcia.

• Szeregowe i równoległe łączenie oporników znajduje w miernictwie elektrycznym zastosowanie również w układach służących do rozszerzania zakresu pomiarowego woltomierzy i amperomierzy.

• Rs – rezystancja opornika włączanego w szereg z woltomierzem

• RV – rezystancja woltomierza

Vs RnR )1(

URR

R

RRU

U d

21

1

1

20,

1

Rys. 3. Schemat dzielnika napięcia

• Rb – rezystancja bocznika• Ra – rezystancja amperomierza

1n

RR ab

Rys. 4. Załączenie woltomierza a) z jednym opornikiem szeregowym b) z kilkoma opornikami i przełącznikiem wielozakresowym

Rys. 5. Załączenie amperomierza z bocznikiem a) schemat połączeń b) schemat zastępczy

Liniowość i nieliniowość obwodu elektrycznego

• W zależności od odpowiedzi obwodu na różne wymuszenia dzieli się obwody elektryczne lub gałęzie obwodów elektrycznych na:

a) liniowe, czyli linearne, spełniające zasadę superpozycji;b) nieliniowe czyli nielinearne, nie spełniające zasady superpozycji.

• Zasada superpozycji w układzie fizycznym polega na tym, że odpowiedź układu na kilka wymuszeń działających jednocześnie jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne wymuszenia działające oddzielnie (do układów fizycznych zalicza się również obwody elektryczne, gałęzie obwodów elektrycznych, a nawet poszczególne elementy obwodu).

• Obwód elektryczny jest liniowy, gdy wszystkie jego elementy są liniowe.• Obwód zawierający przynajmniej jeden element nieliniowy jest obwodem nieliniowym.• Jeżeli dowolne napięcie U1 doprowadzone do zacisków odbiornika rezystancyjnego

wywołuje w nim prąd I1, a napięcie U2 – prąd I2, to odbiornik jest liniowy, gdy zgodnie z zasadą superpozycji doprowadzone do jego zacisków napięcie U = U1 +U2 wywoła w nim prąd I = I1 + I2. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy tzn. gdy rezystancja odbiornika R ma stałą wartość, niezależną od płynącego przezeń prądu.

2

2

1

1

I

U

I

U

• Cewka jest elementem liniowym, jeżeli jej indukcyjność nie zależy od płynącego przez nią prądu. Kondensator jest elementem liniowym, jeżeli jego pojemność nie zależy od napięcie na jego okładzinach.

• Źródło napięcia jest liniowe, jeżeli jego napięcie źródłowe oraz rezystancja wewnętrzna są niezależne od płynącego przez nie prądu.

Rys. 6. Wykres zależności U = f(I) dla elementu rezystancyjnego liniowego

Elementy nieliniowe i ich charakterystyki

• Elementy nieliniowe niesterowane są to takie elementy, które dadzą się opisać za pomocą jednej charakterystyki U = f (I) lub I = f (U). Należą do nich np. żarówki, diody, łuk elektryczny itp.

• Elementy nieliniowe sterowane, które można opisać za pomocą rodziny charakterystyk dla różnych wartości parametru czynnika sterującego.

• Elementy nieliniowe o charakterystyce symetrycznej odznaczają się symetrią krzywych I = f (U) bądź U = f (I) względem początku układu, co można zapisać w postaci zależności

• I = f (U) = - f (-U) lub U = f (I) = - f (-I)

Rys. 7. Charakterystyki napięciowo – prądowe a) żarówki o żarniku wolframowym b) lampy żelazo – wodorowej c) elementu rezystancyjnego półprzewodnikowego d) łuku elektrycznego

• Rezystancja statyczna RS nieliniowego elementu rezystancyjnego jest stosunek napięcia na jego zaciskach do płynącego przezeń prądu.

• Rezystancja dynamiczna Rdyn elementu rezystancyjnego nieliniowego jest to stosunek elementarnego przyrostu napięcia na jego zaciskach do odpowiadającego mu przyrostu prądu

I

URS

dI

dU

I

UR

Idyn

0

lim

Rys. 8. Wyznaczanie graficzne rezystancji dynamicznej a) przykład rezystancji dynamicznej dodatniej b) przykład rezystancji dynamicznej ujemnej