WYKŁAD Z FIZYKI

FIZYKA OGÓLNA

MechanikaZalecane książki :D. Halliday, R. Resnik „Fizyka”C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman „ Mechanika”

WSTĘP

Czym jest fizyka:Fizyka jest podstawową nauką przyrodniczą zajmującą się badaniami fundamentalnych i uniwersalnych własności materii i zjawisk w otaczającym nas świecie. Własności te wynikają z wzajemnych oddziaływań fundamentalnych między elementarnymi składnikami materii . Fizyka jest nauką ścisłą i ilościową, gdyż posługuje się pojęciami wielkości fizycznych, które można ujmować ilościowo, a wyniki badań podaje w postaci liczb i praw wyrażonych matematycznie.

The myriad physical phenomena in our word are a part of one or more of the following five areas of physics:

1. Mechanics, which is concerned with motion of the material objects2. Thermodynamics, which deals with hest, temperature, and the behavior of

a large number of particles3. Electromagnetism, which involves the theory of electricity, magnetism,

and electromagnetic fields4. Relativity, which is a theory describing particles moving at any speed less

than the speed of light5. Quantum mechanics, a theory dealing with the behavior of particles at the

submicroscopic level as well as the macroscopic world(after Raymond A. Serway “ Physics For Scientists & Engineers” vol.I )

W przyrodzie występują cztery oddziaływania fundamentalne:- grawitacyjne,- elektromagnetyczne- silne (jądrowe)- słabe

Oddziaływania Względne natężenie Czas charakterystyczny

fundamentalne [s]Grawitacyjne ---ElektromagnetyczneSilne (jądrowe)Słabe

PRAWA RUCHU NEWTONA

1)

2) 3)

Dla obserwacji w układzie odniesienia nie mającym przyspieszenia

Istnieją naturalne granice stosowalności 3 prawa Newtona.Jesteśmy przekonani, że wszystkie siły i sygnały rozchodzą się ze skończoną prędkością. , gdy obie siły mierzone są w tym samym czasie. Jest to sprzeczne z faktem, że cząstka dopiero po skończonym czasie odczuwa działanie siły cząstki drugiej.Dlatego w oddziaływaniach w skali atomowej 3-cia zasada dynamiki Newtona nie zawsze jest słuszna.

Np. w zjawisku zderzenia samochodu 3-cia zasada jest poprawnym przybliżeniem bo czas trwania zderzenia jest duży w porównaniu z sygnałem świetlnym:

W czasie samochód o prędkości Przejedzie drogę:

Można więc uznać, że zjawiska zaistniały w tym samym czasie.

INERCJALNE UKŁADY ODNIESIENIA

Z drugiego prawa Newtona wynika:

dla obserwatora w układzie odniesienia nie mającym przyspieszenia – układ inercjalny

(przypadek nierelatywistyczny )

Czy laboratorium na powierzchni Ziemi jest dobrym układem inercjalnym?

Przyspieszenie laboratorium jest wynikiem dobowego obrotu Ziemi dookoła osi.

Np. ciało w spoczynku na równiku dozna przyspieszenia dośrodkowego:

( , promień Ziemi)

Ziemia obraca się z prędkością radianów na dobę ( )

(prędkość kątowa)

Przyspieszenie jakiego doznaje Ziemia w ruchu po orbicie dookoła Słońca jest o rząd wielkości mniejsze od przyspieszenia wywołanego przez obrót Ziemi dookoła osi.

(promień orbity Ziemi w ruchu dookoła Słońca)

ZAŁOŻENIA MECHANIKI KLASYCZNEJ

(Z praktyki wiadomo, że są dobrze spełnione)

1. Przestrzeń jest Euklidesowa2. Przestrzeń jest izotropowa: własności fizyczne są we wszystkich

kierunkach jednakowe3. Prawa ruchu Newtona są słuszne w układzie inercjalnym określonym

dla obserwatora w spoczynku na Ziemi, przy założeniu, że uwzględnia się tylko przyspieszenie Ziemi w ruchu dookoła własnej osi oraz dookoła Słońca

4. Obowiązuje prawo powszechnego ciążenia.

Istnieje siła przyciągania: między każdymi punktami

materialnymi i oddalonymi o , – stała

SIŁY W INERCJALNYCH W UKŁADACH ODNIESIENIA

Galileusz: ciało na, które nie działa żadna siła ma prędkość stałą,

Stwierdzenie to jest zwane inaczej 1-szym prawem Newtona.

WZGLĘDNOŚĆ KLASYCZNA- TRANSFORMACJA GALILEUSZA

Stan ruchu względem jakiegoś obserwatora nie może zmieniać praw przyrody.

KLASYCZNA ZASADA WZGLĘDNOŚCI

Wszystkie prawa przyrody muszą być takie same dla wszystkich obserwatorów, którzy poruszają się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Z: Układ S1 w spoczynku, Układ S2 porusza się względem S1 wzdłuż osi x-ów z prędkością

Rys. 1.1 Układ współrzędnych S1 , S2

Przyjmujemy:

odpowiednie wektory jednostkowe w układach S1 i S 2 są sobie równe :

dla początki układów współrzędnych pokrywają się

rozważamy punkt materialny M, który w układzie S1 ma współrzędne:x1,y1, z1, natomiast w układzie S2: x2, y2, z2

wówczas promień wodzący r1 (patrz rys.1.1) jest zapisany związkiem:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

podstawiając (1.2) oraz (1.3) do (1.1) otrzymujemy:

(1.4)

Przyrównując współrzędne po obu stronach równania (1.4) otrzymujemy:

(1.5a-c)

Równania (1.5 a-c) stanowią transformację współrzędnych Galileusza; TRANSFORMACJĘ GALILEUSZA (TG)

Transformacja odwrotna ma postać:

(1.6 a-c)

Układy równań (1.5 a-c) oraz (1.6 a-c) stanowią część tzw. Grupy Transformacji Galileusza

Grupa Galileusza

Transformacja opisująca przemieszczenia wzdłuż osi x, y, z, obroty oraz odbicia względem początku układu współrzędnych we wszystkich kierunkach.

Odwzorowania

Transformacje odpowiadające liniowym przesunięciom ze stałym wektorem prędkości

ZJAWISKA DYNAMICZNE I STATYCZNE W TEORII TRANSFORMACJI GALILEUSZA

1. Niezmienniczość siły

Zakładamy, że układ S2 porusza względem układu S1 ze stałą prędkością , ponadto punkt materialny M o współrzędnych x1,y1,z1, w układzie S1 oraz x2, y2, z2 w układzie S2 , porusza się w czasie t.Wówczas jego prędkości będą wynosić:

W układzie S1 :

(1.7a)

w układzie S2 :

(1.7b)

Podstawiając równanie (1.1) do (1.7a) otrzymujemy:

Korzystając z zapisu (1.7a) oraz (1.7b) otrzymujemy relację:

(1.8a)

Jest to transformacja prędkości Galileusza

Transformacja odwrotna ma zapis:

(1.8b)

Sprawdzamy, czy TG przeprowadza układ inercjalny w układ inercjalny. Szukamy więc relacji między przyspieszeniami w obu układach. Obliczamy przyspieszenia korzystając ze wzoru (1.8a).

ale z założenia:

otrzymujemy więc:

stąd:

(1.9)

Przyspieszenia w obu układach są równe , co oznacza, że TG przeprowadza układ inercjalny S1 w układ inercjalny S2.Przyspieszenie jest niezmiennicze względem TG

siła jest niezmiennicza

2. Niezmienniczość prawa zachowania pędu

Z: mamy dwa ciała o masach m, m’ stanowią one układ izolowany, na który nie działają żadne siły zewnętrzne

Ciało o masie m ma prędkość: w układzie S1 oraz w układzie S2

Ciało o masie m’ ma prędkość: w układzie S1 oraz w układzie S2

Układ S2 porusza się względem S1 ze stałą prędkością

Rys. 1.2 Ciała o masach m i m’ w układzie S1 , S2

Zasada zachowania pędu wymaga aby w układzie S1 było spełnione równanie:

(1.10)

Z transformacji prędkości Galileusza mamy zgodnie ze wzorem (1.8a)

(1.11a)

(1.11b)

Wstawiając (1.11a) i (1.11b) do (1.10) otrzymujemy:

; po przekształceniu:

(1.12)

jest stałe zgodnie z założeniemtak więc równanie (1.12) przyjmie postać:

(1.13)

Oznacza to, że zasada zachowania pędu jest spełniona w układzie S2.

Prawo zachowania pędu pozostaje niezmiennicze we wszystkich układach inercjalnych poruszających się względem siebie ze stałymi prędkościami.

Mechanika klasyczna –przypomnienie

1.Enegia kinetyczna

Różniczkowa praca siły jest zdefiniowana:

(1.14)

Jest to praca wykonana przez siłę na odcinku .

Jeżeli siła jest stała wzdłuż drogi od A do B, to całkowita praca wynosi:

(1.15a)

(1.15b)

Gdzie a jest kątem miedzy oraz

Rys. 1.3 Układ współrzędnych i zaznaczony tor

Jeżeli jest wypadkową wszystkich sił działających na cząstkę to wyrażenie (1.15a) można zapisać:

(1.16)

Ale , wzór (1.16) po przekształceniu można zapisać:

(1.17)

Zapisujemy wyrażenie korzystając z następującego

przekształcenia:

stąd otrzymujemy:

(1.18)

(1.18)

Wstawiamy wyrażenie (1.18) do (1.17), po przekształceniu i zmianie granic całkowania otrzymujemy:

(1.19)

Wyrażenie (1.19) stanowi definicje energii kinetycznej.

(1.20)

Wniosek:Praca wykonana nad cząstką swobodną jest równa zmianie energii kinetycznej cząstki.

2. Siły zachowawcze – energia potencjalna

Def. Siły zachowawczej:Praca wykonana przez siłę zachowawczą Fc , która powoduje przemieszczenie ciała od punktu A do B jest niezależna od toru łączącego te punkty. Praca ta zależy od punktu początkowego i końcowego

Rys. 1.4 Układ współrzędnych i tor ciała

(1.21)

Dla sił zachowawczych praca wykonana na drodze zamkniętej jest równa zeroPrzykłady sił zachowawczych, siły pól: elektrycznego E, grawitacyjnego, centralnego.

Siła tarcia nie jest siłą zachowawczą

Przykład (K1):

praca wykonana przez siłę grawitacyjną:

Rys. 1.5 Układ współrzędnych

Z: siła działa wzdłuż osi (-y)

(K1.1)

(K1.2)

Korzystając z definicji pracy, otrzymujemy:

(K1.3a)

(K1.3b)

Ze związku (K1.3b) wynika, że praca w polu grawitacyjnym, nie zależy od toru, tak więc siła grawitacyjna jest siłą zachowawczą.

Energię potencjalną U definiujemy, jako pracę wykonaną przez siły zachowawcze.

(niezależnie od toru) (K1.4)

Skalarna funkcja U(x,y,z) jest energią potencjalną, która jest związana z siłą zachowawczą . Wielkości UA oraz UB są to wartości funkcji U(x,y,z) wyznaczone w punktach końcowych toru.

Zwykle punkt B wybiera się w nieskończoności i przyjmuje się, że energia potencjalna w tym punkcie: UB=0. Oznacza to, że w punkcie B pole zachowawcze (potencjalne) nie działa na dane ciało. Wówczas możemy zapisać:

(K1.5)

Wzór (K1.5) stanowi definicję energii potencjalnej (w tym przypadku liczonej w punkcie A).

Wzór (K1.5) można przedstawić:

(K1.6)

Zapis (K1.6) posiada równoważną postać:

(K1.7)

grad gradient, jest operatorem obliczania pochodnej kierunkowej i oznacza się go przez Ñ (nabla)

We współrzędnych kartezjańskich operator Ñ ma postać:

(K1.8)

Gradient skalara jest wektorem, który ma kierunek najszybszego wzrostu skalara. Wartość gradientu jest równa liczbowo pochodnej kierunkowej tego skalara.

Przykład (K2): badanie stanu równowagi dla szczególnego przypadku energii potencjalnej; U=U(x)

Rys. 1.6 Zależność energii potencjalnej od x: U=U(x)

Jak widać na przedstawionej graficznie zależności U=U(x).

Tym samym zgodnie ze wzorem (K1.7) F=0 dla tych wartości x.W tych punktach znajdują się położenia równowagi, jednakże nie musi to być równowaga trwała.

Rozważmy kolejno przypadki:

1. dla

Wniosek: małe przesunięcie z punktu powoduje, że siła F dąży

do zwiększenia przesunięcia ciała, analogicznie zjawisko

zajdzie dla rozważań w punkcie . W punktach

oraz jest stan równowagi nietrwałej.

2. dla

Wniosek: małe przesuniecie z punktu powoduje, ze siła dąży

do przesunięcia ciała do pierwotnego położenia ( ). W punkcie jest stan równowagi trwałej.

Zasada zachowania energii mechanicznej:

Dla stanu początkowego A oraz stanu końcowego B:

(K2.1)Ruch drgający:

Przykłady ruchu drgającego:

- wahadło matematyczne,- sprężyna,- atomy w ciele stałym

1. Wychylenie i siła

Szukamy wyrażenia na siłę, która powoduje ruch oscylacyjny np. sinusoidalny.

(1.22)

gdzie: – amplituda (maksymalne wychylenie dla ),

( - okres ), jest prędkością kątową

- faza początkowa ruchu (dla t=0)

Szukamy wyrażenia na prędkość oraz na przyspieszenie :

(1.23)

(1.24)

Znając możemy zapisać wyrażenie na siłę , która musi działać na ciało, ażeby poruszało się ono ruchem harmonicznym (np. sinusoidalnym) z przyśpieszeniem . Zgodnie z zasadami dynamiki Newtona otrzymujemy:

(1.25)

(1.26)

jest stałą sprężystości zdefiniowaną :

(1.27)

Stąd otrzymujemy relację:

(1.28)

Wychylenie w ruchu harmonicznym można zilustrować za pomocą wektora wirującego.

Wychylenie ciała w ruchu harmonicznym (sinusoidalnym) dla ruchu wzdłuż osi x, można rozważyć, jako składową x-ową wektora , którego moduł (amplituda ruchu harmonicznego).Wektor obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół osi O, z prędkością kątową i dla t=0, tworzy kąt z osią y

Rys. 1.7 Układ współrzędnych i wektor wirujący

2. Energia kinetyczna

Korzystamy z definicji energii kinetycznej, podstawiając za prędkość wyrażenie (1.23) otrzymujemy:

(1.29)

lub po przekształceniu:

(1.30a)

(1.30b)

Dla energia kinetyczna przyjmuje wartość maksymalną:

(1.31)

3. Energia potencjalna

Korzystamy z relacji opisanej wzorem (K1.6), rozważamy przypadek jednowymiarowy:

(1.32)

(1.33)

Całkujemy wyrażenie (1.33)

(1.34)

(1.35)

Wykorzystując związek otrzymujemy:

(1.36)

Dla energia potencjalna przyjmuje wartość maksymalną:

(1.37)

4. Energia całkowita

(1.38a)

(1.38b)(1.39)

Rys. 1.8 Przypadek jednowymiarowy; zależność energii kinetycznej i potencjalnej od wychylenia.

Składanie ruchów sinusoidalnych

Przykłady do rozwiązania:1.Znajdź wypadkowe wychylenie gdy:

,

dla :

a) ,

b) ,

c)

2.Znajdź wypadkowe wychylenie ruchów sinusoidalnych o kierunkach wzajemnie prostopadłych, gdy:

,

,

dla:

a) ,

b) oraz

Przykład (K3): Złożenie ruchów sinusoidalnych w tym samym kierunku o różnych prędkościach kątowych .Z:

Kąt między wektorami i zależy od czasu

(K3.1)

Wypadkowa amplituda, wyliczona metodą dodawania wektorów, wynosi:

(K3.2)

Dla: maksimum amplitudy

minimum amplitudy

Amplituda wypadkowa jest modulowana, a częstość modulacji dana jest związkiem:

(K3.3)

Rys. 1.9 Zmodulowana amplituda

Dla przypadku otrzymujemy:

(K3.4)

(K3.5)

Ze wzoru (K3.5) wynika, że ruch wypadkowy jest ruchem sinusoidalnym o

częstości i amplitudzie

Rys. 1.10 Składanie ruchów o tej samej amplitudzie

Oscylacje anharmoniczne

Ruch harmoniczny jest wynikiem działania siły (dla przypadku jednowymiarowego).Energia potencjalna zgodnie z równaniem (1.25) wynosi:

względem położenia równowagi .

Dla równowagi w punkcie energia potencjalna wyraża się wzorem:

.

Korzystamy ze znanych związków:

(1. 40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

Przykład (K4):

Energia potencjalna nie jest kwadratową funkcją x, ale posiada

minimum.

Rys. 1.11 Przypadek jednowymiarowy: zależność energii potencjalnej od x

Ponieważ nie można przekroczyć energii całkowitej (zaznaczona linia ciągłą

na rys. 1.11) cząstka oscyluje wokół położenia równowagi między

punktami oraz

Rozwijamy w szereg wokół :

0

0 0( ) ( )pp p

x x

dEE E x x x

dx

(K4.1)

, gdyż odpowiada to minimum energii. Korzystając

ze wzoru (1.41), wyrażenie (K4.1) przyjmuje postać:

(K4.2)

gdzie (K4.3)

człon odpowiada oscylacjom harmonicznym

człon odpowiada oscylacjom anharmonicznym.

Siła w takim ruchu jest wyrażona wzorem:

(K4.4)

Drugi człon wzoru (K4.4) jest siłą anharmoniczną.

Oscylacje tłumione

Są to oscylacje z zanikającą amplitudą w skutek działania siły hamującej (tarcia). Dla przypadku oscylatora jednowymiarowego całkowita siła wynosi:

(1.44)

(1.45)

gdzie l jest współczynnikiem tarcia

Równanie (1.44) zapisujemy w postaci:

(1.46a)

Po przekształceniu i wprowadzeniu redefinicji parametrów otrzymujemy:

(1.46b)

gdzie:

( jest częstością drgań własnych oscylatora bez tłumienia)

Dla małego tłumienia: , rozwiązanie równania (1.46b) zapisujemy w

postaci:

(1.47)

gdzie: i (faza początkowa) są określone warunkami początkowymi.

Wstawiając proponowane rozwiązanie (1.47) do równania (1.46b) otrzymujemy wyrażenie na częstotliwość drgań oscylatora tłumionego:

(1.48)

Rysunek przedstawia zależność x od , widać, że amplituda drgań jest malejąca funkcją .

Rys. 1.12 Drgania tłumione: zależność wypadkowego wychylenia od

Dla dużego tłumienia , wyrażenie na (1.48) ma wartość urojoną.

Oznacza to, że ciało nie porusza się ruchem oscylacyjnym, ale po wychyleniu z położenia równowagi powraca do tego położenia bez przejścia przez maksimum wychylenia, lub tylko raz przez nie przechodzi.