Wytrzymałość materiałów - charakterystyka

07 Wytrzymałość materiałów - charakterystyka.doc 87

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

MECHANIKA CIAŁ ODKSZTAŁCALNYCH

LITERATURA PRZEDMIOTU:

Wydanie 5 poprawione – 2012

Wydanie 2 poprawione – 2012

MAPA MYŚLI

przedstawiająca podstawowe pojęcia statyki

(mechaniki ciał sztywnych)

oraz wytrzymałości materiałów

(mechaniki ciał odkształcalnych).

Mapa myśli pokazuje związki między podstawowymi poję-

ciami statyki i wytrzymałości materiałów.


Mo

me

nty

:

- zg

ina

jące

- skrę

ca

jace

OB

LIC

ZE

NIA

WY

TR

ZY

MA

ŁO

ŚC

IOW

E

KO

NS

TR

UK

CJ

I

Do

św

iad

cze

nie

Pra

wo

fiz

yczn

e

Pra

wo

Ho

oke

’a

Ug

óln

ion

e

pra

wo

Ho

oke

’a

Ko

nie

c s

wo

bo

dn

y

Utw

ierd

ze

nie

Prz

eg

ub

ru

ch

om

y

Prz

eg

ub

nie

ruch

om

y

Sp

osó

b p

od

pa

rcia

ko

nstr

ukcji

Siły

ze

wn

ętr

zn

e b

iern

e

Inte

rpre

tacja

zn

akó

w

w r

ów

na

nia

ch

sta

tyki

Ob

cią

że

nia

ko

nstr

ukcji:

mo

me

nty

,

siły

sku

pio

ne

, siły

ro

zło

żo

ne

Re

akcje

po

dp

oro

we

Siły

ro

zło

żo

ne

Mo

me

nty

wzg

lę-

de

m p

un

ktu

lu

b o

si

Siły

sku

pio

ne:

- n

orm

aln

e

- sty

czn

e

Siły

ze

wn

ętr

zn

e c

zyn

ne

Siły

we

wn

ętr

zn

eM

eto

da

myślo

wych

prz

ekro

jów

Na

prę

że

nia

no

rma

lne

, sty

czn

e

Sta

ny n

ap

ręże

nia

(je

dn

oo

sio

wy, p

łaski, p

rze

str

ze

nn

y)

Na

prę

że

nia

głó

wn

e

Od

kszta

łce

nia

Sta

ny o

dkszta

łce

nia

Prz

em

ieszcze

nia

Hip

ote

za

ge

om

etr

yczn

a

Hip

ote

za

pła

skic

h p

rze

kro

jów

Ukła

dy s

ił: p

łaskie

, p

rze

str

ze

nn

e

Ukła

dy s

ił: z

bie

żn

e, ró

wn

ole

głe

,

do

wo

lnie

skie

row

an

e

Ide

nty

fika

cja

ukła

du

sił:

RS

= ?

n

= ?

Ró

wn

an

ia r

ów

no

wa

gi

Sta

tyka

, p

raw

a s

taty

ki

Ukła

d s

taty

czn

ie n

iew

yzn

acza

lny

n >

RS

Ukła

d s

taty

czn

ie w

yzn

acza

lny

n =

RS

Sto

pie

ń s

taty

czn

ej

nie

wyzn

acza

lno

ści

X =

n -

RS

Ukła

d r

ów

na

ń g

eo

me

tryczn

ych

X

Ro

zw

iąza

nie

ukła

du

ró

wn

ań

nS

iły w

ew

nę

trzn

e,

na

prę

że

nia

Od

kszta

łce

nia

,

prz

em

ieszcze

nia

Hip

ote

za

wytr

zym

ało

ścio

wa

Wa

run

ek

wytr

zym

ało

ścio

wy

Do

bó

r:

- o

bcią

że

ń

- w

ym

iaró

w

Kla

syczn

e m

eto

dy

wytr

zym

ało

ści ko

nstr

ukcji

Ch

ara

kte

rysty

ki g

eo

me

tryczn

e

fig

ur

pła

skic

h:

- p

ole

po

wie

rzch

ni

- śro

de

k c

iężko

ści

- m

om

en

ty s

taty

czn

e

- m

om

en

ty b

ezw

ład

no

ści

- g

łów

ne

mo

me

nty

be

zw

ład

no

ści

Mo

de

l ko

nstr

ukcji

Sp

osó

b o

bcią

że

nia

ko

nstr

ukcji

Wa

ły

Prę

ty

Be

lki

Prę

ty

uo

gó

lnio

ne

Ra

my, łu

ki

Pły

ty,

po

wło

ki

Prę

ty

cie

nko

ście

nn

e

Ro

zcią

ga

nie

Skrę

ca

nie

Zg

ina

nie

Ob

cią

że

nia

zło

żo

ne

Wytr

zym

ało

ść

zło

żo

na

Me

tod

y

en

erg

ety

czn

e

Me

tod

y

nu

me

ryczn

e

Do

św

iad

cza

lne

me

tod

y

wytr

zym

ało

ści m

ate

ria

łów

Me

tod

a e

lem

en

tów

sko

ńczo

nych

ME

S

Za

łoże

nia

, u

pro

szcze

nia

Pro

ce

du

ry, m

eto

dy

Te

oria

sp

rężysto

ści

Te

oria

pla

sty

czn

ości


CHARAKTERYSTYKA

WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Podstawą wytrzymałości materiałów są prawa statyki

oraz wnioski wypływające z doświadczenia.

Pomostem łączącym mechanikę ciał sztywnych z wytrzyma-łością jest wspomniana już zasada zesztywnienia.

Pojęcie „wytrzymałość materiałów” można traktować jako ce-chę, właściwość ciał stałych, polegającą na przeciwstawianiu się niszczącemu działaniu sił.

Zadania „wytrzymałość materiałów” jako przedmiotu opisują-cego zachowanie się ciał odkształcalnych:

określanie nośności konstrukcji (odpowiedniej wytrzymałości),

wyznaczanie przemieszczeń konstrukcji wywołanych obcią-żeniami (określanie sztywności konstrukcji).

Wytrzymałość materiałów jest częścią mechaniki o praktycz-nym, inżynierskim charakterze. W rozwiązywaniu konkretnych zadań wykorzystuje się pewne uogólnienia i uproszczenia. Uproszczenia dotyczą opisu właściwości materiału i opisu kształtu elementu konstrukcyjnego. Dzięki uproszczeniom rze-

czywisty obiekt zostaje przekształcony w pewien model, który umożliwia rozwiązanie problemu za pomocą określonego

schematu obliczeniowego. Model (schemat obliczeniowy) musi zachowywać istotne dla rozwiązywanego problemu cechy i właściwości rzeczywistego obiektu.

UPROSZCZENIA W WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW:

modelu ciała ciało jednorodne,

właściwości materiału ciało izotropowe, którego właści-wości we wszystkich kierunkach są identyczne (ciało ani-zotropowe – różne właściwości), ciało sprężyste

sposobu rozwiązywania uproszczenia inżynierskie.


Wytrzymałość materiałów posługuje się modelem cia-

ła jednorodnego, izotropowego, idealnie sprężystego

i charakteryzuje się praktycznym, inżynierskim podej-

ściem do rozwiązywanych problemów.

UWAGA: powyższy model ciała stanowi podstawę klasycznej wytrzymałości materiałów. Współczesny rozwój techniki wyma-ga zastosowania materiałów o wysokim stopniu zaawansowania technologicznego (materiały high-tech, high-technology)

1.

Wytrzymałość materiałów bada przede wszystkim siły

wewnętrzne, będące wynikiem oddziaływania między po-szczególnymi cząstkami ciała jednorodnego.

Jednym z głównych zadań wytrzymałości materiałów jest

rozwiązywanie zadań statycznie niewyznaczalnych, w których liczba niewiadomych jest większa od liczby równań równowagi. W praktyce inżynierskiej spotyka się przede wszystkim zadania statycznie niewyznaczalne.

PODSTAWOWYMI MODELAMI NOMINALNYMI W WYTRZY-

MAŁOŚCI MATERIAŁÓW SĄ PRĘTY, WAŁY I BELKI.

PRĘTY – ROZCIĄGANIE

WAŁY – SKRĘCANIE

BELKI –ZGINANIE

PRĘT UOGÓLNIONY ROZCIĄGANIE + SKRĘCANIE +

+ ZGINANIE

1 Patrz rozdział 14: Zagadnienia wybrane


Model nominalny (fizyczny) w sposób uproszczony powinien wiernie przedstawiać badany fragment rzeczywistości (muszą być spełnione prawa podobieństwa modelowego). Korzysta on ze zbioru pojęć właściwych dla badanej rzeczywistości. Uprosz-czenia, będące istotnym elementem wytrzymałości materiałów, muszą być w modelu nominalnym odpowiednio uzasadnione i doświadczalnie zweryfikowane.

Pręt uogólniony, uzupełniony o pojęcia siły uogólnionej oraz prze-mieszczenia uogólnionego stanowi podstawowe narzędzie umożliwiają-ce zastosowanie w praktyce inżynierskiej METOD ENERGETYCZNYCH.

SIŁY WEWNĘTRZNE

W wytrzymałości materiałów siły zewnętrzne czynne są siłami obciążającymi konstrukcję. Siły zewnętrzne bierne ujawniają się po uwolnieniu konstrukcji od więzów. Dla ujawnienia sił we-

wnętrznych korzysta się z tzw. zasady myślowych przekro-

jów.

Zasada myślowych przekrojów polega na dokonaniu my-

ślowego (wirtualnego) przekroju konstrukcji i myślowego

(wirtualnego) rozdzielenia ciała na dwie części. Dzięki te-mu rozdzieleniu ujawniają się siły wewnętrzne, które muszą być w równowadze z siłami zewnętrznymi, działającymi na rozpatrywaną część ciała.

PŁASZCZYZNA MYŚLOWEGO PRZEKROJU

- siły zewnętrzne czynne i bierne

1F

3F

M1

M2

4F

2F

MiFi ,

Idea myślowych przekrojów


Siły wewnętrzne w myślowo podzielonym ciele stałym

Uporządkowane siły wewnętrzne

N – siła normalna (siła osiowa),

TY, TZ – siły poprzeczne (siły tnące, siły ścinające),

MX – moment skręcający,

MY, MZ – momenty zginające.


PROSTE PRZYPADKI OBCIĄŻEŃ:

rozciąganie (ściskanie), gdy działa tylko siła N; siła N skie-rowana na zewnątrz rozpatrywanego przekroju jest siłą do-datnią, powodującą rozciąganie (znak „+”); siła N skierowana do wewnątrz powoduje ściskanie (znak „–”);

ścinanie, gdy działa jedna z sił poprzecznych TY lub TZ;

skręcanie, gdy działa moment skręcający MX;

zginanie, gdy działa jeden z momentów zginających; moment MZ powoduje zginanie przekroju w płaszczyźnie XY (piono-wej), natomiast moment MY zginanie w płaszczyźnie XZ (po-ziomej).

W praktyce inżynierskiej najczęściej spotyka się złożone

przypadki obciążenia, będące kombinacją wymienionych wy-

żej prostych przypadków. Złożone przypadki obciążeń są ko-

lejną charakterystyczną cechą wytrzymałości materiałów.


NAPRĘŻENIA

Statycznie równoważne układy sił

STATYKA CIAŁA SZTYWNEGO – analiza sił zewnętrznych (badanie związków miedzy obciążeniami i reakcjami więzów).

WYTRZYMAŁOŚC MATERIAŁÓW – analiza „wytrzymałości” konstrukcji (zdolności do przenoszenia obciążeń i zachowania sztywności – podatności na odkształcenia).

Do oceny wytrzymałości danego przekroju

wprowadzono pojęcie naprężenia.

Definicja naprężenia

Naprężeniem w punkcie C nazywa się wektor zdefiniowa-

ny zależnością:

dA

dN

A

NlimA

0.

Jednostką naprężenia jest paskal [Pa]: 2m

niuton .

PRAKTYKA INŻYNIERSKA: megapaskal, 1 MPa = 106 Pa.


ZWIĄZKI MIĘDZY SIŁAMI WEWNĘTRZNYMI

I NAPRĘŻENIAMI

Schemat sił wywołanych naprężeniami w myślowym przekroju z układem osi XYZ:

UWAGA: równania statyki można formułować tylko dla sił. W równaniach równowagi dla przestrzennego układu sił wystę-

pują siły xdA, xydA, xzdA. Dla sześciu równań statyki otrzymu-je się:

A A A

xzzxyyx dAT,dAT,dAP ,

A A

xzxy

A

xyxzx .ydAσM,zdAσM,dAzτyτM

Poniższa tabela pokazuje związek między naprężeniami i siłami wewnętrznymi:

Naprężenia

normalne :

rozciąganie prętów N, zginanie w płaszczyźnie pionowej MZ, zginanie w płaszczyźnie poziomej MY

Naprężenia

styczne xy, xz:

ścinanie TY, ścinanie TZ, skręcanie MXY


ODKSZTAŁCENIA I PRZEMIESZCZENIA Działanie sił – odkształcenia i przemieszczenia.

Odkształcenia i przemieszczenia

RODZAJE ODKSZTAŁCEŃ:

– liniowe, które są określane jako wektor o początku w pew-nym punkcie ciała nieodkształconego i końcu w tym samym punkcie ciała odkształconego,

– kątowe, które są określane za pomocą kąta zawartego po-między dowolnie krótkim odcinkiem związanym z rozpatry-wanym ciałem przed odkształceniem i po jego odkształce-niu.

Przemieszczenia ciała są wynikiem odkształceń.

Wydłużenie liniowe (odkształcenie wzdłużne, wydłużenie względne, jednostkowe, właściwe) określa się z zależności

.dy

dy'dy

y

y'ylim,

dx

dx'dx

x

x'xlim

yy

xx

00

Odkształcenia postaciowe (odkształcenie poprzeczne, kąt od-kształcenia postaciowego) są określone:

.yx,xy 0


DOŚWIADCZALNE PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA. – określa związek pomiędzy naprężeniami i odkształceniami, – dostarcza podstawowych informacji o właściwościach wy-

trzymałościowych materiałów, – umożliwia prowadzenie obliczeń wytrzymałościowych wyko-

rzystujących warunek wytrzymałościowy.

Wykres rozciągania dla materiału z wyraźną granicą plastyczności

Odcinek OA – liniowa zależność między obciążeniem i wydłu-

żeniem. Jest to więc zakres ważności prawa Hooke'a. Prawo Hooke’a to związek fizyczny:

E

= F/A0, – naprężenie, A0 – początkowy przekrój próbki;

= L/L0, – wydłużenie względne próbki, L0 – początkowa długość próbki;

E – współczynnik proporcjonalności, charakteryzujący odkształ-calność materiału, moduł (współczynnik) sprężystości

wzdłużnej, moduł Younga [MPa].


Punkt A – granica proporcjonalności. Punkt B – granica sprężystości. Punkt C, D – granica plastyczności. Punkt E – wytrzymałość na rozciąganie

(wytrzymałość doraźną).

Za pomocą statycznej próby rozciągania określa się podsta-wowe właściwości mechaniczne (wytrzymałościowe) stosowa-nych w praktyce inżynierskiej materiałów konstrukcyjnych:

– moduł Younga E [MPa,

– współczynnik Poissona, wyrażona jako stosunek wydłużenia

poprzecznego do wzdłużnego, oznaczona symbolem

,'

– wydłużenie wzdłużne, ' – wydłużenie po-przeczne; liczba Poissona mieści się w prze-

dziale 0 < < 0,5 ( = 0 – korek, beton, = 0,5 – kauczuk);

– granica plastyczności Re [MPa];

– wytrzymałość na rozciąganie Rm [MPa],

– wydłużenie, zdefiniowane zależnością ,%L

LLA u 100

0

0

gdzie: L0 – długość początkowa próbki, Lu – długość próbki po zerwaniu;

– przewężenie, zdefiniowane zależnością ,%A

AAZ

u

u1000

gdzie: A0 – początkowy przekrój próbki, Au – przekrój próbki po zerwaniu.

PRAWO HOOKE’A: E

.

Naprężenie: A

P , wydłużenie:

L

L ,

Druga postać prawa Hooke’a: .

AE

LPL

EA – sztywność przekroju na rozciąganie.


Wykresy rozciągania dla najczęściej stosowanych materiałów w budowie maszyn:

Porównanie wykresów rozciągania stali węglowej poddanej obróbce cieplnej

Wykres rozciągania materiału bez wyraź-nej granicy plastyczności (wyznaczanie

umownej granicy plastyczności)

Porównanie wykresów rozciągania stali, duralu (stopy AL.) i brązu (stopy Cu)

Wykres ściskania i rozciągania żeliwa

NAPRĘŻENIA DOPUSZCZALNE

Naprężenia dopuszczalne są miarą wytężenia materiału:

,nnieb

dop

gdzie: nieb – naprężenie przyjęte za niebezpieczne (granica plastycz-

ności, wytrzymałość materiału na rozciąganie), n – współczynnik bezpieczeństwa.

Współczynnik bezpieczeństwa n musi być większy od 1.

Wyznaczanie właściwego współczynnika bezpieczeństwa należy do trudniejszych zagadnień w obliczeniach wytrzymałościowych. Przy dobo-rze n należy uwzględnić wiele czynników, co wymaga dużej wiedzy teo-retycznej oraz olbrzymiego doświadczenia zawodowego (patrz tablica).


Wg: M. E. Niezgodziński, T. Niezgodziński: WZORY, WYKRESY I TABLICE WYTRZYMAŁOŚCIOWE. Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 2007


W przypadku braku bliższych danych, w pierwszym przybliżeniu moż-na określić współczynnik bezpieczeństwa jako iloczyn czterech współ-czynników cząstkowych z tablicy przedstawionej na poprzedniej stronie:

4321 xxxxn

gdzie x1 – współczynnik pewności założeń przy budowie modelu mate-matycznego, x2 – współczynnik ważności projektowanego wyrobu, x3 – współczynnik jednorodności materiału, x4 – współczynnik zachowania kształtu. Dla danych przedstawionych w tabeli, współczynnik bezpie-

czeństwa n = 1,0 6,12.

Właściwy dobór współczynnika bezpieczeństwa to jedno z podsta-wowych zagadnień w projektowaniu. Wymagania:

Znajomość całokształtu problemów konstrukcyjnych, technologicz-

nych i eksploatacyjnych – WIEDZA SYSTEMOWA, z uwzględnie-niem wpływu działalności inżynierskiej na środowisko (otoczenie).

Posiadanie wiedzy teoretyczną (wiedza jawna), oraz odpowiedniej

wiedzy praktycznej (wiedza ukryta).

Odpowiedzialność i samokontrola, asertywność, umiejętność

podejmowania decyzji i skalkulowanego ryzyka.

CZYNNIKI WPŁYWĄJACE NA WYBÓR WSPÓŁCZYNNIKA

BEZPIECZEŃSTWA:

1. Niejednorodna struktura materiału (wtrącenia).

2. Naprężenia wstępne (obróbka cieplna, naprężenia montażowe, na-prężenia termiczne).

3. Charakter obciążenia:

losowość obciążenia (obciążenia przypadkowe),

zmienność obciążenia (zmęczenie materiałów),

obciążenia dynamiczne (udarowe).

4. Warunki eksploatacji (zużycie, korozja).

5. Spiętrzenia naprężeń (karby, niedokładności wykonania i obciąże-nia).

6. Niedoskonałość metod obliczeniowych:

zbyt daleko idące uproszczenia,

błędy modelowania,

niedoskonałość metod analitycznych.


W nowocześnie rozumianej wytrzymałości materiałów zaczyna domi-nować tendencja do precyzyjnego określania rzeczywistych współczyn-ników bezpieczeństwa. Jest to zagadnienie o złożonym charakterze, wymagającym uwzględnienia następujących aspektów:

ekonomicznych (kosztów projektowanych konstrukcji),

bezpiecznej pracy konstrukcji,

niezawodnej pracy konstrukcji.

Uwzględnienie tych i innych aspektów powoduje, że obliczenia wy-trzymałościowe stają się coraz bardziej skomplikowane, odpowiedzialne i wymagają stosowania najnowszych osiągnięć nauki, techniki kompute-rowej i informatyki. OBLICZENIA TE MAJĄ CHARAKTER SYSTEMOWY

(MECHATRONICZNY) – PROJEKTOWANIE SYSTEMOWE (projekto-

wanie uwzględniające optymalizację konstrukcji).

Konstrukcja bezpieczna oprócz spełnienia warunków bezpiecznej

pracy (wytrzymałości i sztywności) musi także sygnalizować przeciąże-

nie konstrukcji (rysy, pęknięcia, osiadanie). Konstrukcja powinna być tak zaprojektowana, aby umożliwić ewakuację ludzi i sprzętu (nie ulegać nagłemu, nie sygnalizowanemu zniszczeniu).

WARUNEK WYTRZYMAŁOŚCIOWY

Warunek wytrzymałościowy (warunek wytrzymałości) ma postać:

.dopmax

Warunek wytrzymałościowy stanowi podstawę obliczeń wytrzymało-ściowych na „naprężenia dopuszczalne”. Prostota tego warunku powo-duje, że dominuje on w procesach projektowania większości konstrukcji inżynierskich. Z warunku wynika, że o wytrzymałości całej konstrukcji decyduje jej najsłabszy element, w którym pojawią się naprężenia do-puszczalne. Korzystanie z niego umożliwia zrealizowanie obu zadań wy-trzymałości materiałów, czyli:

– określenie dopuszczalnych obciążeń konstrukcji o znanych wy-

miarach,

– określenie koniecznych wymiarów konstrukcji dla zadanego ob-

ciążenia. Postawą obliczeń wytrzymałościowych są właściwości materiału uzy-

skane za pomocą statycznej próby rozciągania.


INNE WARUNKI WYTRZYMAŁOŚCIOWE: Warunek sztywności konstrukcji

dopLL .

Warunek stateczności konstrukcji (konstrukcje cienkościenne)

krPP , gdzie Pkr to obciążenie krytyczne dla danej konstrukcji.

Warunek wytrzymałości zmęczeniowej. Inne – np. warunek na pełzanie(wzrost odkształceń przy stałym po-

ziomie naprężeń), relaksacja (zmiana naprężeń przy stałym poziomie odkształceń).

PRAKTYKA INŻYNIERSKA: jednoczesne spełnianie ww. warunków.

Obliczenia wytrzymałościowe oparte na koncepcji naprężeń dopusz-

czalnych są powszechnie stosowane w praktyce inżynierskiej. Ich wadą

jest to, że o bezpieczeństwie całej konstrukcji decyduje wartość na-

prężenia w jednym tylko miejscu. Jest to sposób projektowania zakła-dający, że o wytrzymałości całej konstrukcji decyduje jej najsłabszy ele-ment. Gdy w konstrukcji występują spiętrzenia naprężeń, ścisłe trzyma-

nie się tego sposobu (koncepcji, filozofii projektowania) prowadzi do jej przewymiarowania. W związku z tendencją do urealniania współczynni-ków bezpieczeństwa coraz częściej stosuje się inne koncepcję obliczeń wytrzymałościowych.

INNE METODY PROJEKTOWANIA

BEZPIECZNYCH KONSTRUKCJI

1. Metoda obciążeń granicznych – dopuszcza występowanie w konstruk-cji odkształceń plastycznych (schematyzacja wykresów rozciągania).

2. Metoda naprężeń granicznych: obciążenie obliczeniowe )e(

ii PP ,

gdzie )e(

iP – i-te obciążenie charakterystyczne (przenoszone siły, ciężar

własny, temperatura itp.), i – współczynniki obciążeń stałych, zmien-nych oraz uplastycznienia materiału.

3. Metoda stanów granicznych – stanu granicznego nośności lub stanu granicznego użytkowania. Metoda oparta jest na skodyfikowanych międzynarodowych przepisach i normach (Eurokody).

4. Metoda elementów skończonych MES (Finite Element Metod FEM)

Zalety MES: określanie rzeczywistych współczynników bezpieczeństwa, odejście od filozofii projektowania na „najbardziej obciążony element”

i dążenie do wyrównania wartości naprężeń w całej konstrukcji.

Wady MES: eksperyment numeryczny, konieczność doświadczalnej weryfikacji rozwiązań.


ZASADA SUPERPOZYCJI Podstawa: prawo Hooke’a (liniowy związek między obciążeniem i odkształceniem).

Rezultaty działania kilku sił są równe sumie (algebraicznej lub geometrycznej) rezultatów,

otrzymywanych w wyniku działania każdej siły oddzielnie.

ZADANIA STATYCZNIE WYZNACZALNE I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

W wytrzymałości materiałów przeważają zagadnienia sta-

tycznie niewyznaczalne, tzn. takie, gdzie liczba niewiadomych przekracza liczbę równań równowagi, które mogą być napisane dla tego zagadnienia. Różnica między liczbą niewiadomych a

liczbą równań równowagi określa tzw. stopień statycznej nie-

wyznaczalności zadania.

Rozwiązanie zadania statycznie niewyznaczalnego: – określenie stopnia statycznej niewyznaczalności zadania

i wielkości statycznie niewyznaczalnych,

– utworzenie odpowiedniej liczby tzw. równań geometrycz-

nych z wykorzystaniem warunków nierozdzielności (łączno-ści) konstrukcji.

STOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI ZALEŻY

OD SPOSOBU PODPARCIA KONSTRUKCJI.

INTERPRETACJA ZNAKÓW W RÓWNANIACH STATYKI w

wytrzymałości materiałów wymaga bezwzględnego przestrze-

gania zasady zgodności odkształceń elementów konstruk-

cji ze znakami sił założonymi w równaniach statyki.


Zadania statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne

Schemat konstrukcji

Schemat sił

Liczba równań statyki

RS

Liczba nie-

wiadomych n

Stopień statycznej niewyznaczalno-

ści

X = n – RS

2 2 0

2 3 1

1 1 0

1 2 1

2 2 0

2 3 1


RACHUNEK JEDNOSTEK

Wielokrotności i podwielokrotności jednostek podstawowych:

mega (M) 106 1000000

kilo (K) 103 1000

centy (c) 10–2

0,01

mili (m) 10–3

0,001

mikro () 10–6

0,000001

nano (n) 10–9

0,000000001

PRZELICZNIK JEDNOSTEK

KONTROLA POPRAWNOŚCI WZORÓW

PRZYKŁAD Za pomocą prawa Hooke'a obliczyć przelicznik jednostek, je-

żeli P jest wyrażone w kiloniutonach [kN], L w metrach [m], E w megapaskalach [MPa], A w centymetrach kwadratowych [cm

2].

.mmm

mm

m

cm

kN

MN

cmMN

mkN

cmm

MN

mkNL

,mmEA

PLL

43

2

24

32

3

2

2

101

10

1

10

10

1

PRZYKŁAD Określić związek pomiędzy momentem skręcającym, mocą i

liczbą obrotów wału przenoszącego tę moc.

Z dynamiki znany jest wzór: N = M , gdzie N [kW] – moc, MS

[Nm] – moment skręcający, [rad/s] – prędkość kątowa. Po

podstawieniu: = 2, gdzie [1/s] – częstość kątowa, n = 60 [obr/min], otrzymuje się:

.mN9550mN3,9549mN2

1060

s

1

60

2min

obr1

kW1

s

mN10

min

obr

kW

n

NM

33

S

Documents

Wytrzymałość materiałów - charakterystyka