電子が満たすべき：運動方程式：Schrödinger方程式

（波動方程式）

波動関数：

€

ϕ = Asin 2π xλ

, Acos 2π

xλ

€

∂∂xϕ = Akx cos kxx( )

波数ベクトル k：

€

k =2πλ

€

∂ 2

∂x2ϕ = −Akx

2sin kxx( ) = −kx2ϕ

量子論：物質波（ド・ブロイ波）

€

p =hλ

=hk2π

= hk

€

E −V =p2

2m=

h2k 2

2m

€

∂ 2

∂x2ϕ +

∂ 2

∂y 2ϕ +

∂ 2

∂z2ϕ = −Ak2sin k ⋅ r( )

= −k2ϕ = −2mh2

E +V( )ϕ運動エネルギー

€

−h2

2m∇2ϕ −Vϕ = Eϕ：Schrödinger方程式

€

p = −ih∇等価演算子

r

(x,y,z)

φ

θ

Ｘ

Ｙ

Ｚ

ｘ

ｙ

ｚ

H∧

Ψ(x,y ,z) = EΨ(x,y ,z)

H∧

= −2

h2m

ˆ ∇ 2 − Ze2

4πε0r

ˆ ∇ 2 = ∂ 2

∂x 2 + ∂ 2

∂y 2 + ∂ 2

∂z2

(x, y, z)→ (r,θ ,φ)Ψ(r,θ ,φ) = Rn ,l(r) ⋅ Θl, ml

(θ ) ⋅Φml(φ)

Yl ,ml(θ,φ) = Θl, ml

(θ) ⋅Φml(φ )

Ψ(r,θ ,φ) = Rn,l(r ) ⋅Yl ,ml(θ ,φ)

En = −R∞ ⋅chn 2

R∞ = Z2me4

8ch3ε02= 1.097× 107(m −1)

中心力場中のSchrödinger方程式

水素類似原子（モデル）のエネルギー

水素原子のエネルギーレベルn =1,2,3,...l = 0,1,2,3,...(n −1)ml = −l,−l +1,−l + 2,...0,1,...l−1, l

n =1

2 ⇒l = 0,1,3 ⇒l = 0,1,2,45

n =∞

⇒ l = 0

En = −RH •chn2−

R H•ch

水素原子のエネルギレベル

0

0

-1,0,1

0

-1,0,1

-2,-1,0,1,2

n l ml

0(s)

0(s)

1(p)

0(s)

1(p)

2(d)

1

2

3

電子軌道

1s2

2s2

2p6

3s2

3p6

3d10

€

lz = h ⋅ml

€

l2 = h2l l +1( )

量子数と電子軌道

€

4 3 ± 3

€

358 π

sin3θ ⋅ exp ±3iφ( )

波動関数の動径依存性

Ψ(r,θ,φ)2 r2 sinθφ=0

2π

∫θ = 0

π

∫ dθdφ

€

R ⋅ 4πr2dr動径分布関数

波動関数の動径分布

波動関数の角度依存波動関数の形

€

ϕ1s

€

ϕ1s( )2

€

ϕ2px

€

ϕ2px( )2

€

ϕ3d3z2−r2

€

ϕ3d3z2−r2( )

2

€

ϕ3dx2−y2

€

ϕ3dxy

€

ϕ3dx2−y2( )

2

€

ϕ3dxy( )2

水素波動関数の形（２）