89SAN MARCOS REGULAR 2009 - III ÁLGEBRA15

TEMA

LOGARITMOS

ÁLGEBRA - TEMA 15

El matemático y teólogo escocés John Napier (1550-1617)publicó la primera tabla de logaritmos en el año 1614, elcual llevaba por título: Mirifici Logarithmorum CanonisDescriptio, que significa una descripción de la maravillosaregla de los logaritmos.A lo largo de la historia se han establecido muchas tablas delogaritmos, pero la más usada es la de los logaritmosdecimales, la cual fue elaborada por el matemático inglés

Henry Briggs (1561-1631), profesor de la Universidad deLondres y Oxford, en colaboración con Napier.La teoría de logaritmos es una herramienta fundamentalpara resolver ecuaciones de la forma: ax = b, se emplea enquímica (para calcular el pH de las soluciones químicas), enarqueología (antigüedad de un resto fósil), en economía(análisis financiero), en acústica y telecomunicaciones (eldecibelio dB es una unidad logarítmica).

I. DEFINICIÓNSiendo a y b números reales positivos, donde a 1,definiremos al logaritmo de la siguiente manera:

xalog b x a = b

Ejemplos:• 3

2log 8 3 2 8 • 43log 81 4 2 81

II. ANTILOGARITMOSiendo a y b números reales y positivos, donde a 1,definiremos al antilogaritmo de la siguiente manera.

a alog b x b antilog x

Ejemplos:

2 2antilog 3 8 log 8 3

3 3antilog 4 81 log 81 4

2. "El logaritmo de la base siempre es 1".

a log a 1

3. "La potencia de base a y exponente logab es iguala b".

alog b a b

4. "Dos logaritmos de una misma base son iguales, siy solo si, los números son iguales".

a a log b log c b = c

Cuando a = 10; tenemos log10b = logb.

Cuando a = e; tenemos logeb = lnb, el cual es llamadologaritmo natural o neperiano.

IDEAS FUERZA antiloga(logab) = b.

loga(antilogab) = b.

IDEAS FUERZA

III. CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓNDE LOGARITMO1. "El logaritmo de 1 en cualquier base siempre es cero".

a log 1 0

IV. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

A. Logaritmo del producto"En cualquier base a (a > 0; a 1), el logaritmo del

producto de dos números reales y positivos es igual

a la suma de los logaritmos de los números".

a a a log (xy) log x + log y

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90 SAN MARCOS REGULAR 2009 - III15

TEMA ÁLGEBRA

V. ECUACIÓN EXPONENCIALSea: x

aa = b x = log b

Ejemplo:

Resolver: x22 = 3 x = log 3

Resolver: 2x 355 = 3 2x-3 = log 3

51

x= (3 + log 3)2

VI. ECUACIÓN LOGARÍTMICASea: f(x) > 0 g(x) > 0.Entonces:

a alog f(x) log g(x) f(x) = g(x)

Ejemplo:

Resolver: 2 2log (3x 5) log 7

I.5

3x 5 0 x3

(restricción)

II. 2 2log (3x 5) log 7 3x 5 7

x = 4

Como5

43 C.S. = {4}

VII. INECUACIÓN EXPONENCIAL

I.x

c cxx

c c

log a log b; si c>1a b

log a log b; si 0<c<1

II.x

c cxx

c c

log a log b; si c>1a b

log a log b; si 0<c<1

VIII.INECUACIÓN LOGARÍTMICA

a a

Si a>1; f(x) > g(x) > 0log f(x) log g(x)

Si 0<a<1; 0 < f(x) < g(x)

B. Logaritmo del cociente"En cualquier base a (a>0; a 1), el logaritmo delcociente de dos números reales positivos es igual ala diferencia entre el logaritmo del dividendo y ellogaritmo del divisor".

a a ab log log b log cc

Esta propiedad también se puede utilizar cuandoes el producto de más de 2 factores:

loga(b1b2b3...bn) = logab1+logab2 + ... + logabn

SUGERENCIASSi c = b, tenemos:

ab

1log b =

log a

E. Regla de la cadena

a b a log b . log c = log c

Tener en cuenta que esta propiedad también seaplica:

1 2 n-1a 1 b 2 b 3 b n a nlog b . log b . log b ... log b = log b

SUGERENCIAS

Ahora si b = 1, entonces a ab 1

log =logc c

operando: a a a1

log =log 1 - log cc

a a1

log = - log cc

Cologaritmo: sea un número b real positivo, encualquier base o real positiva diferente de 1, tenemos:

a a a1colog b = log log bb

C. Logaritmo de la potencia"En cualquier base a (a>0; a 1), el logaritmo deuna potencia de base real positiva b y exponentereal c, es igual al producto del exponente por ellogaritmo de la base de la potencia"

ca a log b = c log b

D. Cambio de baseSean a, b, c números reales positivos diferentesde uno, tenemos:

ca

c

log blog b =

log a

SUGERENCIAS

Si solo conocemos que b

0c

entonces:

a a a

blog = log |b| - log |c|

c

Si solo conocemos que bc > 0 entonces:

loga(bc) = loga|b|+ loga|c|

nm

aa

mlog b = log b

n

IDEAS FUERZA

LOGARITMOS

91SAN MARCOS REGULAR 2009 - III ÁLGEBRA

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15TEMA

Problema 1Si: xlog8 20 = 1 + log45.Indique el valor de:

4x2 - 2x + 1San Marcos 2006-I

Nivel intermedio

A) 4 B) 7 C) 2/3D) 2 E) 3/2

Resolución:La expresión:xlog8 20 = 1 + log45log8 20x = log44 + log45

3

x3

8 4log 20 log 20

Entonces:20x/3 = 201/2

x/3 = 1/2 x = 3/2Luego:? = 4(3/2)2 – 2(3/2) + 1? = 9 – 3 + 1

Respuesta: B) 7

Problema 2

Si: log a00 m

Hallar: alog a0

San Marcos 2006 - IINivel intermedio

A) m/(m – 2) B) (m – 1)/(m – 2)C) (m+2)/m D) m – 1E) 2m – 3

Resolución:De:log a.100 = mlog a + log 100 = m ; log a = m – 2Cambiando de base:

aloga.10 loga 1log a0

loga loga

Reempazando:

m 2 1 m – 1?m 2 m – 2

Respuesta: B) (m–1)/(m–2)

Problema 3Si:log 15 = a ; log 21 = b y log 35 = c.Calcular: log 49.

San Marcos 2005-INivel fácil

A) b + c – a B) a – b + cC) 2a – b + c D) b – 2a + cE) c – a – b

Resolución:Tenemos:log 3 + log 5 = a ... (1)log 3 + log 7 = b ... (2)

(2) – (1) :log 7 – log 5 = b – a ... (3)log 7 + log 5 = c ... (4)

(3) + (4):2log7 = b + c – alog 49 = b + c – a

Respuesta: A) b + c – a

NIVEL I

1. Calcular el logaritmo en base 16 del

logaritmo de 2 2 en base 8.

A) –1/4 B) 4C) –4 D) 5E) 4

2. Si: a3b3 = a + b; ab 1 a + b > 0,

hallar "x", de: ablog x(a b) 64.

A) 1/2 B) 2C) 8 D) 4E) 6

3. Si: a b= (log3a)(log3b);

5 9a 0 b 0; hallar : E 3 .

A) 27 B) 45C) 15 D) 25E) 9

4. Resolver:

27

57

log (x 9x 5)10

log x 4

A) 9 B) 13C) 21 D) 11E) 15

NIVEL II

5. Hallar "x", en:

13log(2x) 2logx log4

A) 0,5 B) 1C) –5 D) 2E) 1/2

6. Si: a > b > c > 1, reducir:

c2 2

c b

log a 1E

log b.log a c

A)12 B)

acb

C) abc D) 1E) 2

7. Dada la ecuación:xlog4 + log(log3) = log(log81)

El valor de "x" que le verifica es:A) 6 B) 1C) 8 D) 5E) 4

8. Si: log2 = a; log3 = b, hallar ellogaritmo de 5 en base 6 en térmi-nos de "a" y "b".

A) 1 B)a ba b

C)a bab

D)1 aa b

E)a 1a b

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92 SAN MARCOS REGULAR 2009 - III15

TEMA ÁLGEBRA

1. Resolver: 4x = 2(14x) +3(49x).

Proporcionando su solución.

________________________________________

2. Resolver:x2 22

2 log1 log x(1,25) (0,64)

________________________________________

3. Resolver:2x 3(1 x )x 3

Hallar:3x 9x

________________________________________

4. Resolver:

2 2

1 1log x log x 2

________________________________________

5. Hallar la mayor solución: 21 logx log x 1

________________________________________

6. Indicar el producto de todas las soluciones de:2

2 ln(x 8)log(x 8).log(2 x)ln(2 x)

________________________________________

7. Indicar el producto de todas las soluciones de:

2log x(2x) 2

x1 log log x2

________________________________________

8. Resolver: 20,3 0,3log x 1 log 4 x 1

e indicar cuántos valores de "x" la verifican.

________________________________________

9. Resolver:

logax + logyb = 3

logxa + logby =32

Encontrar uno de los valores de "xy".

________________________________________

10. Señalar el producto de las raíces:2 2x 22 x

________________________________________

9. Si: 10a = 27; 10b = 15, hallar: log2,en términos de "a" y "b".

A)1 (a 3b 3)3

B)1 (a 3b 3)3

C)1 (3b a 3)3

D)1 (3b a 3)3

E)1 (a 3b 3)3

10. Calcular x x , si:

log x5log77 5log 5 loglog x

A) 5 B) 7

C) 5 7 D) 5

E) 5 5

11. Resolver:

3 12

Log (Log (x 2)) 0

A) 2; 5 B)52;2

C) 1; 2 D) 2; 4

E)51;2

12. Resolver:

2Log 1 x 1 0

A) 1; 1

B) ; 1 1;

C) ; 1 1;

D) [–1; 1]

E) {–1; 1}

NIVEL III

13. Resolver:

3(9x) – 10(3x) + 3 < 0

A) x 1; 1

B) x 1; 1

C) x

D) x 0; 1

E)

14. Resolver:x 1 x 1 x 1 x27 9 3 3

A) ; 1

B) [–2; 1]

C) ; 2

D) [–1; 1]

E) [–1; 2]

15. Resolver:2x 3 x 21 5 25

A) 3; 2

B) 3; 3

C) 3; 2

D) 2; 3

E) [–2; 2]